Một số vấn đề về đồ thị euler, đồ thị hamilton và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
NGUYỄN PHẠM THANH ĐỊNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒ THỊ EULER,
ĐỒ THỊ HAMILTON VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN PHẠM THANH ĐỊNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒ THỊ EULER,
ĐỒ THỊ HAMILTON VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 8460113

Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Văn Vũ

i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài “Một số vấn đề về đồ thị Euler, đồ thị Hamilton và
ứng dụng” là kết quả nghiên cứu của tôi thực hiện với sự định hướng của thầy hướng
dẫn, và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác cho tới thời
điểm hiện tại.

Các nội dung và kết quả sử dụng trong đề án đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.
Nếu có điều gì khơng trung thực, tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề án của mình.

Bình Định, ngày 17 tháng 10 năm 2023
Tác giả

Nguyễn Phạm Thanh Định

ii

Mục lục

Lời cam đoan i

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Định nghĩa đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Các thuật ngữ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Đường đi, chu trình. Đồ thị liên thơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Đồ thị đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Đồ thị vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Đồ thị bánh xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.4 Đồ thị lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.5 Đồ thị hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.6 Đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Một số bài toán liên quan đến đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Đồ thị Euler và các bài toán liên quan 26

2.1 Đồ thị Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Tính chất và dấu hiệu nhận biết đồ thị Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Ứng dụng của đồ thị Euler trong bài toán người đưa thư Trung Hoa (Chinese

postman problem). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

iii

2.4 Một số bài toán liên quan đến đồ thị Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Đồ thị Hamilton và một số bài toán liên quan 46

3.1 Đồ thị Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Tính chất và dấu hiệu nhận biết đồ thị Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Một số bài toán lên quan đến đồ thị Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Ứng dụng của đồ thị Hamilton trong bài toán Người đi du lịch (Travelling

Salesman Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Tài liệu tham khảo 68

1

Mở đầu

Lý thuyết đồ thị là một trong những nhánh quan trọng của toán học rời rạc đã được
nghiên cứu từ lâu. Một trong những cột mốc đầu tiờn l li gii bi toỏn "Koănigsberg
Bridges" ca nh toỏn học lỗi lạc Leonhard Euler vào năm 1736. Tương truyền đây là một
vấn đề nảy sinh từ chính địa phương Koănigsberg, ú ngi ta t ra cõu hi liu rằng có
thể đi qua tất cả các cây cầu của thành phố một lần duy nhất và trở về điểm xuất phát
hay không. Euler đã chứng minh rằng điều này khơng thể thực hiện được khi phát biểu
lại bài tốn dưới hình thức mới về đồ thị theo cách diễn đạt của tốn học hiện đại. Kết
quả này đơi khi được xem như là định lý đầu tiên trong lý thuyết đồ thị, và còn là một
cột mốc của ngành tô-pô học. Cho đến nay, Lý thuyết đồ thị phục vụ như một mơ hình
tốn học cho bất kỳ hệ thống nào liên quan đến mối quan hệ nhị phân. Đó là một cách
thuận tiện để biểu diễn thơng tin liên quan đến mối quan hệ giữa các đối tượng, do đó nó
được ứng dũng rộng rãi trong Tin học, Sinh học và ngay cả khong các ngành khoa học xã
hội.

Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton là hai chủ đề kinh điển trong mọi giáo trình về đồ thị.
Chúng liên quan đến các hành trình đặc biệt đi qua tất cả các cạnh (đồ thị Euler) hoặc
đi qua tất cả các đỉnh (đồ thị Hamilton) của một đồ thị. Bên cạnh ý nghĩa nội tại về mặt
lý thuyết, hai lớp đồ thị ấy cịn có những ứng dụng to lớn trong nhiều loại mơ hình ứng
dụng xuất phát từ thực tiễn, chẳng hạn trong việc tối ưu hóa qng đường di chuyển (bài
tốn người đưa thư, bài toán người du lịch, . . . ).

Hiện nay đồ thị vẫn còn chưa là một mảng chính trong chương trình Tốn THPT, mặc
dù các bài toán được giải quyết sử dụng ý tưởng từ đồ thị thường xuyên xuất hiện trong

2

các đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học quốc tế cũng như khu vực. Nhiều bài tốn
rất khó như thế đã được giải quyết trọn vẹn với hình thức trình bày trong sáng sử dụng
thuật ngữ của đồ thị.

Đề tài này tập trung vào việc tìm hiểu các khái niệm và kết quả chính liên quan đến
các đồ thị Euler và Hamilton, và sau đó phát biểu một số bài tốn vận dụng có liên quan,
trong đó có một số được sưu tầm từ kỳ thi Olympic Tốn phổ thơng các nước. Về mặt
nội dung, đề án được chia làm ba chương như sau.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tác giả hệ thống hoá một số khái niệm và đối tượng cơ bản của lý
thuyết đồ thị làm cơ sở cho việc trình bày các nội dung chính tiếp theo.

Chương 2: Đồ thị Euler và các bài toán liên quan

Nội dung của chương dành cho việc nghiên cứu về mặt lý thuyết lớp các đồ thị Euler.

Tiếp theo, tác giả đưa ra một số vấn đề minh hoạ thực tế ứng dụng của các đồ thị Euler
cũng như vận dụng chúng vào các bài toán phổ thơng có ý tưởng liên quan.

Chương 3: Đồ thị Hamilton và các bài toán liên quan

Đây là phần cuối của đề tài, tập trung vào việc khảo sát một vài kết qủa cơ bản về
các đồ thị Hamilton. Trên cơ sở đó, tác giả chọn lọc đưa ra một số ứng dụng của đồ thị
Hamilton vào một số mơ hình thực tế (bài tốn người du lịch). Sau cùng là một số bài
toán minh hoạ việc vận dụng đồ thị Hamilton trong Tốn phổ thơng.

Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Vũ. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, người đã tận tình giúp đỡ để tác giả có thể hồn
thành đề án một cách tốt nhất. Xin chân thành cảm ơn q thầy cơ khoa Tốn và Thống
kê, Phịng đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô tham gia
giảng dạy cho lớp Cao học Phương pháp Tốn sơ cấp Khóa K24B đã tạo điều kiện giúp
đỡ cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả cũng xin cảm ơn

3

gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tác giả trong q trình học tập và
hồn thành đề án này. Hy vọng rằng đề tài này sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo hữu
ích cho các bạn sinh viên, học viên cao học đang tìm tịi nghiên cứu về những chủ đề có
liên quan.

4

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương hiện tại nhằm hệ thống hóa lại một số khái niệm và thuật
ngữ cơ bản trong lý thuyết đồ thị. Hiện nay có rất nhiều tài liệu chuyên khảo về
đồ thị phù hợp với các mức độ người đọc khác nhau. Để thống nhất, trong khuôn
khổ nội dung sau đây chúng tôi dựa theo các tài liệu [2, 3, 4].

1.1. Định nghĩa đồ thị

Định nghĩa 1.1.1.
ˆ Đơn đồ thị vô hướng là một cặp G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E

là tập các cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các
cạnh.
ˆ Đa đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp
khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Hai cạnh
e1 và e2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.
Rõ ràng mỗi đơn đồ thị đều là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị nào cũng

5

Hình 1.1: Ví dụ đơn đồ thị vơ hướng và đa đồ thị vơ hướng

là đơn đồ thị, vì trong đa đồ thị có thể có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối một cặp
đỉnh nào đó.
Định nghĩa 1.1.2. ˆ Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các

đỉnh, và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là
các cung (cạnh có hướng).
ˆ Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp
có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Hai cung e1, e2
tương ứng với cùng một cặp đỉnh được gọi là cung lặp.

Hình 1.2: Ví dụ đơn đồ thị có hướng và đa đồ thị có hướng

6

Trong các phần tiếp theo chủ yếu chúng ta sẽ làm việc với đơn đồ thị vô hướng
và đơn đồ thị có hướng. Vì vậy, để cho ngắn gọn, ta sẽ bỏ qua tính từ đơn khi nhắc
đến chúng.

1.2. Các thuật ngữ cơ bản

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày một số thuật ngữ cơ bản của lý thuyết đồ
thị. Trước tiên, ta xét các thuật ngữ mô tả các đỉnh và cạnh của đồ thị vô hướng.
Định nghĩa 1.2.1. Hai cạnh (cung) a, b được gọi là kề nhau, nếu:

(i) Chúng khác nhau.
(ii) Chúng có đỉnh chung (nếu a, b là cung, thì khơng phụ thuộc vào đỉnh chung

đó là đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung b).
Định nghĩa 1.2.2. Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau
nếu (u, v) là cạnh của đồ thị G. Nếu e = (u, v) là cạnh của đồ thị thì ta nói cạnh
này là liên thuộc với hai đỉnh u và v, hoăc cũng nói là cạnh e là nối đỉnh u và đỉnh
v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh (u, v).

Để đặc trưng cho số cạnh liên thuộc với một đỉnh, người ta đưa vào định nghĩa
sau đây.
Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên
thuộc với nó và sẽ ký hiệu là deg(v).
Ví dụ 1.2.4 ([3]). Xét đồ thị cho trong hình 1.3 , ta có

deg(a) = 1, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(f ) = 3,
deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = 0.

7

b c d

a f eg
Hình 1.3: Đồ thị vơ hướng G

Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 được gọi là đỉnh treo. Trong ví dụ trên
đỉnh g là đỉnh cô lập, a và d là các đỉnh treo. Kết quả sau đây cho ta mối liên hệ
giữa dãy bậc đỉnh và số cạnh của đồ thị.
Định lý 1.2.5 ([3]). Giả sử G = (V, E) là đồ thị vơ hướng với m cạnh. Khi đó

2m = deg(v)

i∈V

Chứng minh. Rõ ràng mỗi cạnh e = (u, v) được tính một lần trong deg(u) và một
lần trong deg(v). Từ đó suy ra tổng tất cả các bậc của các đỉnh bằng hai lần số
cạnh.
Ví dụ 1.2.6 ([3]). Đồ thị với n đỉnh và mỗi đỉnh có bậc là 6 có bao nhiêu cạnh?
Giải. Theo định lý 1.2.5 , ta có 2m = 6n. Từ đó suy ra số cạnh của đồ thị là 3n.
Hệ quả 1.2.7 ([3]). Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ là một số chẵn.
Chứng minh. Giả sử đồ thị (đa đồ thị) G = (V, E) có n đỉnh, m cạnh

V = {x1, x2, . . . , xk, xk+1, . . . , xn−1, xn}

8

Các đỉnh x1, x2, . . . , xk bậc lẻ và xk+1, . . . , xn−1, xn bậc chẵn. Theo định lý 1.2.5 ta
có đẳng thức:

m (x1) + m (x2) + . . . + m (xk) + m (xk+1) + . . . + m (xn−1) + m (xn) = 2m

A B

Vì B là tổng của các số chẵn nên B là một số chẵn. Do đó, A = 2m − B phải là

một số chẵn.

Số chẵn A là tổng của k số lẻ, nên k phải chẵn. Bởi vậy, số đỉnh bậc lẻ trong đồ

thị (đa đồ thị) bất kỳ phải là một số chẵn.

Ta xét các thuật ngữ tương tự cho đồ thị có hướng.

Định nghĩa 1.2.8. Nếu e = (u, v) là cung của đồ thị có hướng G thì ta nói hai
đỉnh u và v là kề nhau, và nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói cung
này là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v. Đỉnh u (tương ứng v) được gọi là đỉnh
đầu (cuối) của cung (u, v).

Tương tự như khái niệm bậc, đối với đồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc
ra (vào) của một đỉnh.

Định nghĩa 1.2.9. Ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của của đỉnh v trong đồ thị có
hướng là số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu là deg+(v) (tương
ứng deg−(v)).

Ví dụ 1.2.10 ([3]). Xét đồ thị cho trong hình 1.4. Ta có
deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg−(C) = 1, deg(D) = 2, deg−(E) = 2.

deg+(A) = 3, deg+(B) = 2, deg+(C) = 2, deg+(D) = 2, deg+(E) = 1.

9

A E

B

C D

Hình 1.4: Đồ thị có hướng G

Do mỗi cung (u, v) sẽ được tính một lần trong bán bậc vào của đỉnh v và một lần
trong bán bậc ra của đỉnh u nên sử dụng phương pháp đếm tương tự như trường
hợp vô hướng ta đi đến kết quả sau.

Định lý 1.2.11 ([3]). Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng. Khi đó

deg+(v) = deg−(v) = |E|

v∈V v∈V

Rất nhiều tính chất của đồ thị có hướng khơng phụ thuộc vào hướng trên các

cung của nó. Vì vậy, trong nhiều trường hợp sẽ thuận tiện hơn nếu ta bỏ qua hướng

trên các cung của đồ thị. Đồ thị vô hướng thu được bằng cách bỏ qua hướng trên

các cung được gọi là đồ thị vô hướng nền tương ứng với đồ thị có hướng đã cho.

1.3. Đường đi, chu trình. Đồ thị liên thông

Định nghĩa 1.3.1. Cho đơn đồ thị G = (V, E). Đường đi trong G là một dãy hữu
hạn hoặc vô hạn các cạnh ((vi,1, vi,2))i=1,...,n trong đó vi,2 = vi+1,1 với mọi i. Độ dài
của đường đi hữu hạn là số cạnh trong dãy.

Đường đi độ dài n + 1 từ v1,1 đến vn,2 là dãy

(v1,1, v2,1, . . . , vn,1, vn,2) = (v1,1, v1,2, v2,2, . . . , vn,2)

10

Đường đi được gọi là khép kín (chu trình) nếu v1,1 = vn,2.

Ví dụ 1.3.2 ([3]). Xét đồ thị vơ hướng cho trong hình 1.5 :

a b c a b c

d e f d e f

Hình 1.5: Đường đi trên đồ thị

Ta có: a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4. Cịn d, e, c, a khơng là đường đi, do
(e, c) không phải là cạnh của đồ thị. Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4. Đường đi
a, b, e, d, a, b có độ dài là 5 không phải là đường đi đơn, do cạnh (a, b) có mặt trong
nó hai lần.

Khái niệm đường đi và chu trình trên đồ thị có hướng được định nghĩa hồn
tồn tương tự như trường hợp đồ thị vô hướng chỉ khác là ta có chú ý đến hướng
trên các cung.
Định nghĩa 1.3.3. Cho đa đồ thị G = (V, E). Đường đi trong G là một dãy hữu
hạn hoặc vô hạn các cạnh ((vi,1, vi,2))i=1,...,n trong đó vi,2 = vi+1,1 với mọi i. Độ dài
của đường đi hữu hạn là số cạnh trong dãy.

Đường đi độ dài n + 1 từ v1,1 đến vn,2 là dãy

(v1,1, v1,2, . . . , vn,1, vn,2) = (v1,1, v1,2, v2,2, . . . , vn,2)

Đường đi được gọi là khép kín (chu trình) nếu v1,1 = vn,2.

11

Ví dụ 1.3.4 ([3]). Trên đồ thị có hướng cho trong hình 1.5 a, d, c, f, e là đường đi
đơn độ dài 4. Còn d, e, c, a không là đường đi, do (e, c) không phải là cung của đồ
thị. Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4 . Đường đi a, b˙, e, d, a, b có độ dài là 5 không
phải là đường đi đơn, do cung (a, b) có mặt trong nó hai lần.

Sử dụng khái niệm đường đi, người ta định nghĩa tính liên thơng của các đồ thị
như sau đây.

Định nghĩa 1.3.5. Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thơng nếu ln
tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

Ví dụ 1.3.6 ([3]). Trong hình 1.6: Đồ thị G là liên thơng, cịn đồ thị H là không
liên thông.

a b

c H1

d e

H2 H3

f g

G H

Hình 1.6: Đồ thị liên thông G và đồ thị H gồm 3 thành phần liên thông H1, H2, H3

Định nghĩa 1.3.7. Ta gọi đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị H = (W, F ),
trong đó W ⊆ V và F ⊆ E.

Trong trường hợp đồ thị là không liên thông, nó sẽ rã ra thành một số đồ thị
con liên thơng đơi một khơng có đỉnh chung. Những đồ thị con liên thông như vậy
ta sẽ gọi là các thành phần liên thông của đồ thị.

12

Ví dụ 1.3.8 ([3]). Đồ thị H trong hình 1.6 gồm 3 thành phần liên thông H1, H2, H3.

Định nghĩa 1.3.9. Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ v cùng với
các cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ
thị. Cạnh e được gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần
liên thơng của đồ thị.

Ví dụ 1.3.10 ([3]). Trong đồ thị G ở hình 1.6, đỉnh d và e là đỉnh rẽ nhánh, còn

các cạnh (d, g) và (e, f ) là cầu.

Đối với đồ thị có hướng có hai khái niệm liên thơng phụ thuộc vào việc ta có
xét đến hướng trên các cung hay khơng.

Định nghĩa 1.3.11. Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thơng mạnh nếu
ln tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

Định nghĩa 1.3.12. Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thông yếu nếu đồ
thị vô hướng tương ứng với nó là đồ thị vơ hướng liên thơng.

Rõ ràng nếu đồ thị là liên thông mạnh thì nó cũng là liên thơng yếu, nhưng điều
ngược lại là khơng ln đúng, như chỉ ra trong ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1.3.13 ([3]). Trong hình 1.7 đồ thị G là liên thơng mạnh, cịn H là liên
thơng yếu nhưng không là liên thông mạnh.

Một câu hỏi đặt ra là khi nào có thể định hướng các cạnh của một đồ thị vô
hướng liên thơng để có thể thu được đồ thị có hướng liên thông mạnh? Ta sẽ gọi
đồ thị như vậy là đồ thị định hướng được. Định lý dưới đây cho ta tiêu chuẩn nhận
biết một đồ thị có là định hướng được hay không.

13

A B A B

E E

C D C D

Hình 1.7: Đồ thị liên thơng mạnh G và đồ thị liên thông yếu H

Định lý 1.3.14 ([3]). Đồ thị vô hướng liên thông là định hướng được khi và chỉ khi
mỗi cạnh của nó nằm trên ít nhất một chu trình.

Chứng minh. ˆ Điều kiện cần: Giả sử (u, v) là một cạnh của đồ thị. Từ sự tồn
tại đường đi có hướng từ u đến v và ngược lại suy ra (u, v) phải nằm trên ít
nhất một chu trình.

ˆ Điều kiện đủ: Thủ tục sau đây cho phép định hướng các cạnh của đồ thị để
thu được đồ thị có hướng liên thơng mạnh. Giả sử C là một chu trình nào đó
trong đồ thị. Định hướng các cạnh trên chu trình này theo một hướng đi vịng
theo nó. Nếu tất cả các cạnh của đồ thị là đã được định hướng thì kết thúc
thủ tục. Ngược lại, chọn e là một cạnh chưa định hướng có chung đỉnh với ít
nhất một trong số các cạnh đã định hướng. Theo giả thiết tìm được chu trình
C′ chứa cạnh e. Định hướng các cạnh chưa được định hướng của C′ theo một
hướng dọc theo chu trình này (khơng định hướng lại các cạnh đã có hướng).
Thủ tục trên sẽ được lặp lại cho đến khi tất cả các cạnh của đồ thị được định
hướng. Khi đó ta thu được đồ thị có hướng liên thơng mạnh.

14

1.4. Một số dạng đồ thị đặc biệt

1.4.1. Đồ thị đầy đủ

Hình 1.8: Đồ thị đầy đủ

Định nghĩa 1.4.1. Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi Kn, là đơn đồ thị vô hướng
mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó ln có cạnh nối.

Các đồ thị K3, K4, K5 cho trong hình 1.8 dưới đây.
Đồ thị đầy đủ Kn có tất cả n(n − 1)/2 cạnh, nó là đơn đồ thị có nhiều cạnh nhất.

1.4.2. Đồ thị vòng

Định nghĩa 1.4.2. Đồ thị vòng Cn, n ≥ 3, gồm n đỉnh v1, v2, . . . , vn và các cạnh
(v1, v2) , (v2, v3) , . . . , (vn−1, vn) , (vn, v1) .

Đồ thị vòng C3, C4, C5, C6 cho trong hình 1.9 .

15

C3 C4 C4 C6

Hình 1.9: Đồ thị vòng C3, C4, C5, C6

1.4.3. Đồ thị bánh xe

Định nghĩa 1.4.3. Đồ thị Wn thu được từ Cn bằng cách bổ sung vào một đỉnh
mới nối với tất cả các đỉnh của Cn (xem hình 1.10).

Hình 1.10: Đồ thị bánh xe W4, W5, W6, W7, W8, W9

1.4.4. Đồ thị lập phương

Định nghĩa 1.4.4. Đồ thị lập phương n đỉnh Qn là đồ thị với các đỉnh biểu diễn
2n xâu nhị phân độ dài n. Hai đỉnh của nó là kề nhau nếu như hai xâu nhị phân