Ứng dụng của khai triển taylor trong chứng minh bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH NGỌC THỨC

ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH NGỌC THỨC

ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp.
Mã số: 8 46 01 12.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. PHAN THANH NAM

Bình Định - 2023

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. Xấp xỉ Taylor mở rộng và một số tính chất 4

1.1. Xấp xỉ Taylor mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Tính chất chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng . . . . . . . . . . . 9

Chương 2. Ước lượng sai số của xấp xỉ Taylor mở rộng 13

2.1. Đánh giá sai số xấp xỉ Taylor mở rộng của hàm chuỗi lũy thừa . . 13

2.2. Ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Kết luận 27

Tài liệu tham khảo 28

1

LỜI NÓI ĐẦU

Các xấp xỉ Taylor ước lượng gần đúng (hoặc xấp xỉ các hàm phi tuyến bằng
các hàm đa thức) đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học. Việc
xấp xỉ các hàm phi tuyến bằng các hàm đa thức sẽ giúp cho việc tính tốn, ước
lượng giá trị tại một điểm, đạo hàm các cấp, tích phân trở nên dễ dàng hơn. Để

có thể xấp xỉ các hàm Taylor theo nghĩa thơng thường thì các hàm phi tuyến
được xấp xỉ phải giả sử là các hàm giải tích, tức là phải khả vi vô hạn lần, hoặc
khả vi hữu hạn lần. Tuy nhiên, có nhiều bài tốn nảy sinh trong các ứng dụng
kĩ thuật thực tế các hàm phi tuyến cần xấp xỉ khơng khả vi, thậm chí khơng xác
định tại điểm cần xấp xỉ. Trong trường hợp đó thay vì sử dụng các xấp xỉ các
hàm phi tuyến theo nghĩa thơng thường thì ta phải dùng các xấp xỉ Taylor mở
rộng.

Ví dụ: Xét hàm thực f : (a, b) → R. Chúng ta cần tìm giá trị gần đúng của

hàm f(x) tại điểm lân cận gần a. Ta nhận thấy rằng hàm này không xác định

tại điểm x = a nên ta không thể dùng các xấp xỉ Taylor tại điểm lân cận gần a

theo nghĩa thông thường. Trong trường hợp này ta sẽ sử dụng khái niệm xấp xỉ

Taylor như sau. Giả sử hàm này có đạo hàm cấp k, k = 0, 1, 2, ..., n, trên khoảng

(a, b) và tồn tại giới hạn hữu hạn f (k)(a+) = limx→a+ f (k)(x). Ta kí hiệu:

+ n f (k)(a+) (x − a)k.
Tnf,a (x) :=
k!
k=0

f,a+

Khi đó hàm Tn (x) được gọi là đa thức xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n loại
thứ nhất. Và đa thức này có thể sử dụng để tính giá trị gần đúng của hàm f(x)
tại x thuộc lân cận gần a.

Trong các bài báo [8], [20], [24], [25], [26], [27] và [28], các khai triển Taylor
mở rộng đã được sử dụng hữu hiệu để chứng minh một số bất đẳng thức phi
tuyến. Đặc biệt, trong các bài báo [13], [15], [16], [17], [21], [22], [23], [30], [31],
[32], các khai triển Taylor đã được sử dụng trong chứng minh một số bất đẳng
thức đa thức lượng giác hỗn hợp và có ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật.

2

Đề án nhằm giới thiệu hai khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng (loại thứ nhất
và loại thứ hai), nghiên cứu các tính chất của hai loại xấp xỉ này và ước lượng
các sai số của chúng. Từ đó, áp dụng vào chứng minh một số bất đẳng thức phi
tuyến sơ cấp hoặc phổ biến trong kỹ thuật.

Đề án ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo thì nội dung chính được bố cục
gồm hai chương.

Chương 1 dành cho việc giới thiệu các khái niệm và một số tính chất cơ bản
về các loại xấp xỉ Taylor mở rộng, gồm ba mục chính. Mục 1.1 trình bày khái
niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất. Mục 1.2 trình bày khái niệm xấp xỉ Taylor
mở rộng thứ hai. Mục 1.3 trình bày các tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ Taylor
mở rộng.

Chương 2 trình bày các ước lượng sai số của các xấp xỉ Taylor mở rộng và
áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức phi tuyến, gồm hai mục. Mục 2.1 trình
bày cơng thức đánh giá sai số của các ước lượng Taylor mở rộng. Mục 2.2 trình
bày một số ví dụ ứng dụng.

Đề án đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy PGS. TS.
Phan Thanh Nam. Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.

Thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn nghiêm khắc và động viên tôi rất nhiều
trong suốt q trình hồn thành luận văn. Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơn
Ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn
- Thống kê và các Phịng chức năng đã tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành
khóa học này. Tơi xin chân thành cảm ơn các quý Thầy Cô đã tham gia giảng
dạy, nhiệt tình truyền đạt cho chúng tơi nhiều kiến thức quý báu. Cuối cùng,
tôi muốn gửi lời cảm ơn đến bạn bè, anh chị học viên cao học khóa 24B những
người đã chia sẻ động viên cùng giúp đỡ trong suốt khóa học.

3
Nhân dịp này, tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, trường Trung học
phổ thông Trần Cao Vân đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi được tham gia khóa
học. Đề án như là một món quà đầy ý nghĩa để bày tỏ sự biết ơn đến bố mẹ, gia
đình hai bên đã ln ln động viên ủng hộ tơi tham gia và hồn thành khóa
học.

Quy Nhơn, tháng 10 năm 2023
Học viên

Huỳnh Ngọc Thức

Chương 1

Xấp xỉ Taylor mở rộng và
một số tính chất

Trong chương này, tơi trình bày và làm rõ các khái niệm về một số xấp xỉ
Taylor mở rộng. Mục 1.1 trình bày khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất.
Mục 1.2 trình bày khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai. Mục 1.3 trình bày
các tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ Taylor mở rộng.Tôi minh họa việc áp dụng

các hàm sai số trong q trình tổng qt hóa một bất đẳng thức lượng giác.

1.1. Xấp xỉ Taylor mở rộng

1.1.1. Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất

Xét hàm thực f : (a, b) → R. Giả sử hàm f(x) này có đạo hàm cấp k,
k = 0, 1, 2, ..., n và tồn tại giới hạn hữu hạn f (k)(a+) = limx→a+ f (k)(x). Với x
thuộc lân cận bên phải của a ta kí hiệu:

+ n f (k)(a+)
Tnf,a (x) := (x − a)k. (1.1)
k!
k=0

f,a+

Và gọi là Tn (x) trong (1.1) là xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n thứ nhất phía

bên phải tại x = a của hàm f(x).

Tương tự, xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n thứ nhất phía bên trái tại x = b của
hàm f(x) được định nghĩa như sau:

T f,b− n (x) = n f (k)(b−) (x − b)k, (1.2)

k=0 k!

trong đó f (k)(b−) = lim f (b)(x), với k = 0, 1, ..., n.

x→b−

5

Ví dụ 1.1. Cho hàm số sau

cosx (1.3)

1 − cos x
2

f (x) = x2

với x ∈ (0, π2 ). Viết các khai triển Taylor mở rộng bậc n, n = 0, 1, ..., 6, thứ nhất

phía bên phải tại x = 0

Đầu tiên, ta xét trường hợp n = 0. Theo (1.1), ta có

f,0+ f (0+) (x − 0) , 0 (1.4)
T0 (x) =
0!

trong đó cosx

+ 1 − cos x (1.5)
f (0 ) = lim f (x) = lim 2 . 2

x→o+ x→0+ x

Ta nhận thấy rằng, giới hạn ở trên là dạng vơ định 00. Do đó, ta áp dụng công

thức Lô-pi-tan

lim m(x) = lim m (x)
x→0+ n(x) x→0+ n (x)

(hai lần) để tính giới hạn trên. Khi đó, ta có

+ cosx

1 − cos x
f (0 ) = lim 2 2

x→0+ x

= lim cosx

x→0+ 1 − cos x
2
(x2)

(−cosx) .cos x −(−cosx).(cos x )
2 2
cos2 x2
= lim
x→0+ 2x

sinx.cos x +cosx. −1 sin x
2 2 2

cos2 x2
= lim
x→0+ 2x

sinx.cos x +cosx. −1 sin x
2 2 2
cos2 x2
= lim
(2x)
x→0+

(sinx.cos x +cosx. −1 .sin x ) .cos2 x −(sinx.cos x +cosx. −1 sin x ).(cos2 x )
2 2 2 2 2 2 2 2
cos4 x2
= lim
x→0+ 2

= (1 − 1) : 2 = 3.
4 8

Thay vào công thức 1.4, ta thu được

T0f,0+(x) = 38 .

6

Với các trường hợp n = 1, 2, ..., 6, trong [23] đã tính tốn được các kết quả

sau:
T1f,0+(x) = T0f,0+(x) = 38 ,

f,0+ f,0+ 3 x2
T2 (x) = T3 (x) = + ,
8 128

f,0+ f,0+ 3 x2 7x4
T4 (x) = T5 (x) = + + ,
8 128 5120

và

f,0+ 3 x2 7x4 416x6
T6 (x) = + + + .
8 128 5120 3440640

1.1.2. Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai

Từ khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất, người ta đã đưa ra xấp xỉ
Taylor mở rộng thứ hai có độ chính xác cao hơn [33]. Cụ thể như sau:

Với n ∈ N0, ta kí hiệu:

Rnf,a+(x) = f (x) − Tnf,a+(x), (1.6)

và gọi là phần dư của xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất trong lân cận bên phải
của a. Tiếp theo, ta kí hiệu

Tn−1 f,a+ (x)+ (b−a) 1 n Rn−1 f,a+ (b−)(x−a)n, n≥1,
f (b−), n=0
Tnf;a+,b−(x) = (1.7)

và gọi là xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cận bên phải của a.

Tương tự, ta cũng có định nghĩa xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cận
bên trái của b như sau:

Kí hiệu

Rnf,b−(x) = f (x) − Tnf,b−(x) (1.8)

và gọi là phần dư của xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất trong lân cận bên trái của
b và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cận bên trái của b được xác định
theo công thức sau:

Tn−1 f,b− (x)+ (a−b) 1 n Rn−1 f,b− (a+)(x−b)n, n≥1,
f (a+), n=0.
Tnf;b−,a+(x) = (1.9)

7

Nhận xét 1.1. Sự khác biệt với xấp xỉ Taylor mở rộng thứ thứ nhất bên phải

của a và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai bên phải của a là số hạng cuối cùng
f (n)(a+) được thay thế bằng đại lượng (b−a)n 1 Rn−1 f,a+(b−)(x − a)n.

Ví dụ 1.2. Cho hàm số sau

cosx

1 − cos x

2

f (x) = x2
với x ∈ (0, π2 ). Viết các xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n, n = 0, 1, ..., 6, thứ hai phía
bên phải tại x = 0 cho hàm f(x).

Trường hợp n = 0, theo 1.7, ta có

cos π2
f,0+,( π2 )− 1 − cos π 4
− 4
T0 (x) = f (b ) = π 2 = 2 .
(2) π

Trường hợp n = 1, theo ví dụ 1 ở trên, ta có

T0f,0+ = 38 .

Suy ra, cos x

f,0+ f,0+ 1 − cos x 3
2
R0 (x) = f (x) − T0 (x) = 2 −
x 8

Theo công thức 1.7, xấp xỉ Taylor mở rộng bậc 1 thứ hai phía bên phải tại x = 0

là

f,0+,( π2 )− f,0+ 1 f,0+ π −

T1 (x) = T0 + π R0 ( ) x
(2) 2

31 1 − cos ππ2 3
= + π. cos 2
π2 − x2

8 (2) (2) 8

31 1 3 (1.10)
= + π . π 2 − x.

8 (2) (2) 8

Tương tự, với n = 2, n = 4, n = 6 và nhận được các kết quả sau:

f ;0+,( π2 )− 3 x2 1 cos( π2 ) 3 3 4( 4π2 − 38 )x2
T2 (x) = + π 2 1− π − =+ ,
8 (2) ( π2 )2 cos 22 8 8 π 2

f ;0+,( π2 )− 3 x2 x4 1 cos( π2 ) − 3 − ( π2 )2
T4 (x) = + + π 4 ( π2 )2 1− 8 128
8 128 ( 2 ) π

cos 2

2

= 3 + x2 + 16( 4π2 − 38 − π2 512 )x4 ,
8 128 π4

8

f ;0+,( π2 )− 3 x2 7x4 x6 1 cos( π2 ) − 3 − ( π2 )2 − 7( π2 )4
T6 (x) = + + + π6 ( π2 )2 1− 8 128 5120
8 128 5120 ( 2 ) π

cos 2

2

= 3 + x2 + 7x4 + 64( π2 4 − 83 − 512 π2 − 81920 7x4 )x6 .
8 128 5120 π6

Lưu ý: Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai được xem xét lần đầu tiên trong [1]
[H.Cox 1951]. Sau đó, được trình bày lại trong [19].

Với các xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai định nghĩa ở trên, ta kí hiệu

Rnf;a+,b−(x) = f (x) − Tnf;a+,b−(x) (1.11)

Rnf;b−,a+(x) = f (x) − Tnf;b−,a+(x) (1.12)

và gọi là các phần dư của các xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai tương ứng

Mục tiêu của đề án là nghiên cứu một số tính chất của các xấp xỉ Taylor mở
rộng và ước lượng các sai số của xấp xỉ này. Sau đây, ta xét một ví dụ tìm cơng
thức tính các sai số cho xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai.

Ví dụ 1.3. Cho hàm số sau

cosx

1 − cos x
2

f (x) = x2

với x ∈ (0, π ). Viết các công thức sai số xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n, n = 0, 2, 4, 6,
2

thứ hai phía bên phải tại x = 0 cho hàm f(x).

Với n = 0, ta có

f ;0+,( π2 )− (x) = f (x) − Tn f ;0+,( π2 )− 1 cosx 4
R0 (x) = 2 (1 − x ) − 2
x cos 2 π

Tương tự, ta có

f ;0+,( π2 )− 1 cosx 3 4( 4π2 − 38 )x2
R2 (x) = − 2 (1 − x ) − +
x cos 2 8 π 2

f ;0+,( π2 )− 1 cosx 3 + x2 + 16( 4π2 − 38 − π2 512 )x4
R4 (x) = 2 (1 − x ) −
x cos 2 8 128 π4

f ;0+,( π2 )− 1 cosx 3 + x2 + 7x4 + 64( π2 4 − 83 − 512 π2 − 81920 7π4 )x6 .

R6 (x) = 2 (1 − x ) −
x cos 2 8 128 5120 π4

9

1.2. Tính chất chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng

Trong mục này, tơi trình bày tính chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng cho
hàm f(x). Định lý 2 trong [7] cung cấp một tính chất quan trọng này và tơi trình
bày làm rõ dưới đây.

Định lý 1.1. Giả sử f(x) là một hàm xác định trên khoảng (a, b) và n là một
số nguyên dương sao cho f (k)(a+), f (k)(b−) với k ∈ 0, 1, 2, ..., n, tồn tại.

(i) Giả sử rằng (−1)nf (n)(x) tăng trên (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b) ta có
bất đẳng thức sau đúng

Tnf;b−,a+(x) < f (x) < Tnf,b−(x), (1.13)

tức là

n−1 f (k)(b−) (x − b)k + 1 f (a+ n−1 ) − (a − b)kf (k)(b−) (x − b)n
k! k! (1.14)
n
(a − b) k=0
k=0

n < f (x) < f (k)(b−) (x − b)k.
k!

k=0

Hơn nữa, nếu (−1)nf (n)(x) giảm trên (a, b) thì bất đẳng thức đảo ngược của
(1.13) đúng.

(ii) Giả sử rằng f (n)(x) tăng trên (a, b) thì với mọi x ∈ (a, b) bất đẳng thức

sau đúng

Tnf,a+(x) < f (x) < Tnf;a+,b−(x). (1.15)

Hơn nữa, nếu f (n)(x) giảm trên (a, b) thì bất đẳng thức đảo ngược của (1.15)
đúng.

Chứng minh. n−1 h(x) = f (x) − f (k)(b−) (x − b)k,
(i) Ta kí hiệu: k!

và k=0

g(x) = (b − x)n, (x ∈ (a, b)).

10
Vì h(k)(b−) = 0 và g(k)(b−) = 0 với k = 0, 1, 2, ..., n − 1 nên ta có

h(x) h(x) − h(b−)
g(x) = g(x) − g(b−)

h (x) h (x) − h (b−)
g (x) = g (x) − g (b−)

h (x) h (x) − h (b−)
= −,
g (x) g (x) − g (b )

...

h(n−1)(x) = h(n−1)(x) − h(n−1)(b−)
g(n−1)(x) g(n−1)(x) − g(n−1)(b−)

và

h(n)(x) (−1)nf (n)(x)
g(n)(x) = n! .

Vì (−1)nf (n)(x) tăng trên (a, b) nên g(n)(x) h(n)(x) cũng tăng trên (a, b). Suy ra, các

hàm

h(n)(x) h(n−1)(x) h (x) h(x)
g(n)(x) , g(n−1)(x) , ..., g (x) , g(x)

cũng tăng trên (a, b). Lưu ý rằng

lim h(x) = 1 + n−1 (a − b)kf (k)(b−)
n (f (a ) − )
n→a g(x) (a − b)+ k!

k=0

và lim h(x) = lim h (x) = · · · = lim h(n)(x) (−1)nf (n)(b−)

Do đó − = ).
n→b g(x) n→b g (x) (n) n!
− − n→b g (x)

1 f (a+ n−1 ) − (a − b)kf (k)(b−) ) < h(x) < (−1)nf (n)(b−) ).
(b − a)n k! g(x) n!
k=0

Nhân ngược g(x) chéo lên trên, ta thu được bất đẳng thức (1.14). Nếu (−1)nf (n)(x)
giảm trên (a, b), chúng ta có thể chứng minh rằng bất đẳng thức nghịch đảo đúng
như cách trên.

(ii) Để chứng minh (ii), chúng ta định nghĩa các hàm sau:

n−1 h(x) = f (x) − f k(a+) (x − a)k,
k!

k=0

11
và

g(x) = (x − a)n, x ∈ (a, b).

Dễ dàng thấy rằng h(k)(a+) = 0 và g(k)(a+) = 0 với k = 0, 1, 2, ..., n − 1.

Do đó chúng ta có

h(x) h(x) − h(a+)
= +,

g(x) g(x) − g(a )

h (x) h (x) − h (a+)
= +,
g (x) g (x) − g (a )

h (x) h (x) − h (a+)
= +,
g (x) g (x) − g (a )

.....

h(n−1)(x) = h(n−1)(x) − h(n−1)(a+) ,
g(n−1)(x) g(n−1)(x) − g(n−1)(a+)

h(n)(x) f (n)(x)
g(n)(x) = n! .

Nếu f (n)(x) tăng trên (a, b), thì g(n)(x) h(n)(x) tăng trên (a, b). Suy ra, các hàm:

h(n)(x) h(n−1)(x) h (x) h(x)
g(n)(x) , g(n−1)(x) , ..., g (x) , g(x)

cũng tăng trên (a, b).

Lưu ý rằng

lim h(x) = lim h (x) = ... = lim h(n)(x) f (n)(a+)
+ =
n→a g(x) n→a g (x) (n) n!

+ + n→a g (x)

và 1 − n−1 (b − a)kf (k)(a+)

lim h(x) = n (f (b ) − k! )
−
n→b g(x) (b − a)
k=0

Do đó, ta thu được

f (n)(a+) ) < h(x) < 1 − n−1 (b − a)kf (k)(a+)
n (f (b ) − )
n! g(x) (b − a) k!
k=0

12
Bất đẳng thức này kéo theo bất đẳng thức (1.15). Lập luận tương tự như
trên, chúng ta có thể chứng minh rằng bất đẳng thức ngược của (1.15) là đúng
với giả thiết f(x) đang giảm trên (a, b). Điều này hoàn thành việc chứng minh.
Chúng ta gọi định lý này là định lý về các phép xấp xỉ Taylor mở rộng thứ
nhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai. Một số thay đổi của định lý này chúng
ta xem xét trong các bài báo [4], [5], [6]. Lưu ý rằng trong các bài báo [25], [29],
[26], [27] và [28] được gọi là Định lý Wu-Debnath.

Chương 2

Ước lượng sai số của xấp xỉ
Taylor mở rộng

Trong chương này, tôi nghiên cứu các ước lượng sai số và áp dụng vào một
số các chứng minh bất đẳng thức phi tuyến. Mục 2.1 trình bày cơng thức đánh
giá sai số của các ước lượng Taylor mở rộng. Mục 2.2 trình bày một số ví dụ ứng
dụng.

2.1. Đánh giá sai số xấp xỉ Taylor mở rộng của hàm chuỗi
lũy thừa

Trong phần này, tôi giới thiệu và xem xét một số hàm sai số đối với xấp xỉ

Taylor mở rộng thứ nhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai của hàm giải tích

thực f : [a, b] → R. Lưu ý rằng đối với các hàm f (a) = f (a+) và f (b) = f (b−).

Chúng ta hãy xem xét một hàm giải tích thực f : [a, b] → R mở rộng chuỗi lũy

thừa như sau: ∞

f (x) = ck(x − a)k,

k=0

Trong đó, ck ∈ R và ck ≥ 0 với mọi k ∈ N0.

Định lý 1. Cho f : [a, b] → R là một hàm giải tích như sau mở rộng chuỗi lũy
thừa:

∞ (2.1)

f (x) = ck(x − a)k,

k=0

trong đó ck ∈ R. Thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) f (a) = f (b) = 0,

14
(ii) ∀x ∈ (a, b), f (x) > 0. Khi đó:
+ Tồn tại Ua = (a, a1) ⊆ (a, b) của a sao cho:

f (x) > 0 với x ∈ Ua, f (a1) = 0
và f (x) < 0 với x ∈ (a1, a2), với một số a2 ≤ b,
+ Tồn tại Ub = (b1, b) ⊆ (a, b) của b sao cho:

f (x) < 0 với x ∈ Ub, f (b1) = 0
và f (x) > 0 với x ∈ (b2, b1), với một số b2 ≥ a.
Nhận xét 2.1. Điều kiện f (x) > 0 với x ∈ Ua cho thấy hàm f đang tăng trong
lân cận phải Ua ⊆ (a, b) của a. Dựa trên [15] tồn tại k1 ∈ N sao cho:

f (a) = ... = f (k1−1)(a) = 0 và f (k1)(a) > 0.

Tương tự, điều kiện f (x) < 0 với x ∈ Ub cho thấy hàm f đang giảm ở lân cận
bên trái (a, b) của b. Dựa trên [15] tồn tại k2 ∈ N sao cho:

f (b) = ... = f (k2−1)(b) = 0 và f (k2)(b) < 0.

Dựa trên định lí 2.1 trong [32] định lí sau đây đúng.

Định lý 2. Cho φ : [a, b] → R là hàm khả vi m lần ( đối với một số m ≥ 2, m ∈ N)

thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) φ(m)(x) < 0 với x ∈ (a, b) (trong đó: φ(m) là đạo hàm cấp m);
(b) Tồn tại một lân cận phải Ua ⊆ (a, b) của (a), sao cho:

φ(x) > 0, φ (x) > 0, ..., φm−1(x) > 0; (2.2)
(c) Tồn tại một lân cận trái Ub ⊆ (a, b) của (b), sao cho:

φ(x) < 0, φ (x) < 0, ..., φm−1(x) < 0;

Khi đó, hàm φ có đúng một x0 ∈ (a, b), và φ(x) > 0 với x ∈ (x, x0), và φ(x) < 0
với x ∈ (x0, b).

15
Ngồi ra, hàm φ có đúng một cực đại cục bộ trong (a, b), tức là tồn tại chính
xác một t0 ∈ (a, x0) ⊂ (a, b) sao cho φ(t0) > 0 là giá trị lớn nhất trên khoảng
(0, x0) tức là (a, b).

Nhận xét 2.2. Định lý trên còn thể hiện được sự cải tiến của Định lý 3 trong
[27].

Chúng ta hãy xem xét phần cịn lại của phép tính gần đúng Taylor mở rộng
thứ hai trong lân cận bên phải của a.

∞ 1

f,a+ −
Rnf;a+,b−(x) = f (x) − Tnf;a+,b−(x) = ck(x − a)k − (b − a)n Rn−1 (b )(x − a) (2.3)n

k=n

f ;a+,b−

với x ∈ (a, b) và n ≥ 1. Lưu ý rằng theo [33] Tn (x) > f (x) với x ∈ (a, b).
Tôi giới thiệu hàm:

ϕ(x) = |Rnf;a+,b−(x)|Tn−1 f,a (x) + (b − a)n 1 Rn−1 f,a (b)(x − a)n − f (x)

f ;a+,b−

là hàm sai số của phép gần đúng Taylor mở rộng thứ hai của f với Tn (x).

Định lý 3. Đối với hàm lồi ϕ(x) điều sau đây đúng:

ϕn(x) = (b − a)n n! Rn−1 f,a (b) − f (n)(x) (2.4)

và

ϕ(n)(a) > 0, ϕ(n)(b) < 0 (2.5)

Chứng minh 1. Từ định nghĩa của ϕ(x) dễ dàng tính được ϕ(n)(x). Bây giờ ta
tập trung vào dấu của ϕ(n)(a) và ϕ(n)(b).

ϕ(n)(a) = (b − a)n n! Rn−1 f,a (b) − f (n)(a)
= (b − a)n n! (f (b) − Tn−1 f,a (b)) − f (n)(a)
= (b − a)n n! (f (b) − Tnf,a(b)) > 0

(2.6)

16

Dựa trên dạng Lagrange của khai triển Taylor mở rộng, đối với một số ξb ∈
(a, b), điều sau đây đúng:

ϕ(n)(b) = (b − a)n n! Rn−1 f,a (b) − f (n)(b)
= (b − a)n n! (f (b) − Tn−1 f,a (b)) − f (n)(b)
= f (n)(ξb) − f (n)(b) < 0
(2.7)

Điều này hoàn thành việc chứng minh: ϕ(x) thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii)
của định lý 1. Do đó, tồn tại lân cận bên phải của a sao cho ϕ (x) < 0.

Bây giờ, ta xét hàm:

ψ(x) = ϕ (x) (2.8)

Hàm số cũng như tất cả các đạo hàm của nó là các hàm giải tích thực nên
do đó tất cả các số 0 (nếu có) của các hàm đó điều bị cơ lập.

Bây giờ, chúng ta kiểm tra các điều kiện (a), (b) và (c) của Định lý 2 trong
[33].

Điều kiện (a)ψ(n)(x) < 0 với x ∈ (a, b) suy ra từ định nghĩa của hàm ϕ.
Bây giờ chúng ta xét điều kiện (b) của Định lý 2 [33]. Tồn tại a1 ∈ (a, b] sao
cho ψ(a1) = 0 và ψ(x) > 0 với x ∈ (a, a1).
Chúng ta hãy chú ý rằng ψ(a) = 0 và ψ(a1) = 0. Lặp lại bước trên (a, a1) tồn
tại dưới dạng a2 ∈ (a, a1) sao cho ψ (a2) = 0 và ψ (x) > 0 với x ∈ (a, a2). Tiếp tục
quy trình này ta kết luận rằng tồn tại dãy a < an < an−1 < ... < ai < ... < a2 <
a1 ≤ b như vậy:
ψ(i)(ai + 1) = 0 và ψ(i)(x) > 0 với x ∈ (a, ai + 1), i = 0, 1, 2, ..., n − 1.
Do đó, với mọi x ∈ Ua = (a, an) điều sau đây đúng:

ψ(x) > 0, ψ (x) > 0, ..., ψ(n−1)(x) > 0.

Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào điều kiện (c) của Định lý 2 [33]. Tồn
tại b1 ∈ (a, b) sao cho ψ(b1) = 0 và ψ(x) < 0 với x ∈ (b1, b). Vì ψ(a) = 0 tồn tại
b ∈ [a, b1) sao cho ψb1 = 0, ψ(b1) = 0 và ψ(x) > 0 với x ∈ (b1, b1). Áp dụng Định

17
lý 1 [33], ta kết luận tồn tại b2 ∈ (b1, b1) sao cho:

ψ (x) > 0 với x ∈ (b1, b2), ψ (b2) = 0 và ψ (x) < 0 với x ∈ (b2, b1).

Tiếp tục lập luận này ta kết luận rằng tồn tại dãy a < bn < bn−1 < ... < bi <
... < b2 < b1 < b sao cho ψ(i)(bi+1) = 0 với i = 0, 1, 2, ..., n − 1.
Bây giờ đối với hàm ψ(i)(x) ta chứng minh tính duy nhất của các số bi+1 ∈ (a, b)
với i = 0, 1, 2, ..., n − 1.

Ta có ψ(n−1)(x) < 0 với x ∈ (a, b) ( điều kiện (a)) và dựa trên Định lý 3
[33], chúng ta kết luận rằng hàm ψ(n−1)(x) đang giảm với bn ∈ (a, b). Hơn nữa,
ψ(n−2)(a) = 0 và ψ(n−2)(x) đang tăng trên (a, bn) và giảm dần trên (bn, b) và do
đó, nó có một số duy nhất bn−1 ∈ (bn, b). Chúng ta kết luận rằng hàm ψ(x) có
một số duy nhất b1 ∈ (b2, b).

Cuối cùng, ta kết luận rằng với mọi x ∈ Ub = (b1, b) ta có bất đẳng thức sau:

ψ(x) < 0, ψ (x) < 0, ..., ψ(n−1)(x) < 0.

Như vậy, ta chứng minh được ψ(x) thoản mãn các điều kiện (a), (b), (c) của
Định lý 2 [33]. Do đó, khẳng định của định lý sau đây đúng.

Định lý 4. Xét hàm sai số của phép gần đúng Taylor mở rộng thứ hai của hàm

f,a+,b−

f với Tm (x), m ∈ N0:

ϕm(x) = |Rf;a+,b− m (x)| = T f;a+,b− m (x) − f (x) (2.9)

với x ∈ [a, b].

Khi đó, với m ∈ n hàm ϕm(x) đạt cực đại tại đúng một điểm x0 ∈ (a, b) và
ϕm(x) tăng trên (a, x0) và giảm trên (x0, b)

Chúng ta xác định sai số của phép tính gần đúng Taylor mở rộng thứ hai đối
với m ∈ N0 bằng:

Φm = max (Tmf;a+b−(x) − f (x)). (2.10)

x∈[a,b]