HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC potx

1
v1.0
BÀI 1
HÀM SỐ -GIỚI HẠN - LIÊN TỤC
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn
2
v1.0
LÍ THUYẾT
1. Hàm số mộtbiếnsố: Định nghĩa, đồ thị,tínhđơn điệu, tính chẵnlẻ,…,
hàm số hợpvàhàmngược.
2. Dãy số:Kháiniệmdãysố,dãyđơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn
tồntạigiớihạn, các định lí về giớihạn.
3. Giớihạn: Khái niệm, các tính chấtcủagiớihạnhàmsố,VCB,VCL,các
phương pháp tính giớihạn.
4. Sự liên tụccủahàms
ố:Hàmsố liên tụcvàcáctínhchất.
3
v1.0
VÍ DỤ 1
Cho các hàm số và
Xác định hàm số hợpcủagvàf,hàmhợpcủafvàg.
Hướng dẫn:
•Mộthàmsốđượcxácđịnh khi biếttậpxácđịnh và công thứccủa
hàm sốđó.
•Kháiniệmhàmsố hợp:
“Cho
thỏamãn
•Hàmhợpcủavà:
f: ,f(x) 2x
g: ,g(x) 1 x
:X ,x u (x) 

f:U ,u y f(u)
:,()(())hX x hx f x

f
(x) U, x X


4
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)
Lờigiải:
Hàm số hợpcủagvàflà:
và hàm số hợp của f và g là:
Nhận xét:
•
•Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp
của g và f”.
h: , x h(x)
h(x) g(f(x)) g(2x) 2x 1


k: , x k(x)
k(x) f(g(x)) f(1 x) 2(1 x) 2x 2


f(g(x)) g(f(x))
5
v1.0
Hàm hợpcủahaihàmsố f(u)=cosuvàu(x)=2xlàhàmsố nào sau đây?
VÍ DỤ 2

a. h(x) = cos(2x)
b. h(x) = 2cosx
c. h(x) = cosx
d. h(x) = 2cos(2x)
6
v1.0
Hàm hợpcủahaihàmsố f(u)=cosuvàu(x)=2xlàhàmsố nào sau đây?


f(u(x)) f(2x) cos(2x)


VÍ DỤ 2 (tiếp theo)
a. h(x) = cos(2x)
b. h(x) = 2cosx
c. h(x) = cosx
d. h(x) = 2cos(2x)
a. h(x) = cos(2x) 
x
x
x
7
v1.0
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
a. Dãy bị chặn trên.
b. Dãy đơn điệu tăng.
c. Dãy đơn điệu giảm.
d. Dãy bị chặn.
VÍ DỤ 3
Cho dãy số:





n 1;2;3, 4; ;n; 
8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem lại khái niệm về dãy đơn điệu và bị chặn
Dãy gọi là:
•Dãy tăng nếu x
n
< x
n+1
•Dãy giảm nếu x
n
> x
n+1
•Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm
•Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x
•Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho x
n
•Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Như vậy, dãy là bị chặn nếu có các số m và M sao cho


x
n
mx M, n
n



n

 
n

 
M, n


m, n
9
v1.0
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
a. Dãy bị chặn trên.
b. Dãy đơn điệu tăng.
c. Dãy đơn điệu giảm.
d. Dãy bị chặn.

x
x
x
n
n
xn




12
(x 1 x 2)


(1 2 3 4 )


Cho dãy số:




n 1;2;3, 4; ;n; 
Nhận xét:
Sai lầm thường gặp:
•Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy
vừa
đơn điệu tăng,
vừa
đơn điệu giảm”;
•Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên
hoặc
bị chặn dưới”.
10
v1.0
Cho dãy số:
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
a. Dãy đơn điệu.
b. Dãy đơn điệutăng.
c. Dãy đơn điệugiảm.

d. Dãy bị chặn.







nn
1 1;1; 1;1; , 1 ,  
VÍ DỤ 4
11
v1.0
Cho dãy số:
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
a. Dãy đơn điệu.
b. Dãy đơn điệutăng.
c. Dãy đơn điệugiảm.
d. Dãy bị chặn.







nn
1 1;1; 1;1; , 1 ,  
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
a. Dãy đơn điệu.

b. Dãy đơn điệu tăng.
c. Dãy đơn điệu giảm.
d. Dãy bị chặn.

x
x
x
12
x1x1

 
23
x1x 1


n
n
1x (1) 1,n


12
v1.0
Mệnh đề nào
sai
?
a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ
b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ
c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.
d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ.
VÍ DỤ 5

13
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)
Hướng dẫn:
Bài 1, mục 1.2.2:
Dãy {x
n
} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để . Trong
trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ.
Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ.
n
x
lim x a


14
v1.0
Mệnh đề nào
sai
?
a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ
b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ
c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.
d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ.
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)
Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Hiểu sai khái niệm
•Dãy hội tụ;
•Dãy phân kì;
=> Đọc kĩ các khái niệm.

a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ
b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ
c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.
d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ.

x
x
x
15
v1.0
Mệnh đề nào
đúng
?
a. Dãy bị chặn thì hội tụ.
b. Dãy hội tụ thì bị chặn.
c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn.
d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn.
VÍ DỤ 6
16
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem lại mục 1.2.3 (tr.13)
1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn
Định lý:
Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì:
•Dãy đólàdãy bị chặn;
•Giới hạn là duy nhất.
17
v1.0

Mệnh đề nào
đúng
?
a. Dãy bị chặn thì hội tụ.
b. Dãy hội tụ thì bị chặn.
c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn.
d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn.
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
Chú ý: vừa là dãy bị chặn, vừa là dãy phân kì nhưng không hội tụ.

n
(1)
a. Dãy bị chặn thì hội tụ.
b. Dãy hội tụ thì bị chặn.
c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn.
d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn.

x
x
x
18
v1.0
Hàm số f(x) gọilàmộtVCBkhix anếu:
x0
xa
xa
xa
a. limf(x) a
b. lim f(x)
c. limf(x)

d. limf(x) 0








VÍ DỤ 7
19
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem khái niệm VCB, VCL (tr.16)
1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé
1.3.3.1. Khái niệm
• Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi
nếu
Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn
của hàm số, ta suy ra rằng nếu:
f(x) A khi x a thì f(x) A (x) 
x2
limf(x) 0


xa
Trong đólàmột VCB khi
• Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi
nếu
xa

(x)
xa
x2
lim F(x)


20
v1.0
Nhận xét:
Sai lầm thường gặp:
•Hiểu VCB là rất nhỏ nên cho rằng f(x) là VCB khi nếu
cũng như VCL là số rất lớn.
nên cho rằng f(x) là VCL khi nếu
• Không để ý đến quá trình . Chú ý cùng là một hàm số f(x), có lúc
là VCB, có lúc là VCL tùy thuộc vào quá trình x tiến đến đâu.
Ví dụ: f(x) = x là VCB khi và là VCL khi
xa
xa
limf(x)



x 
xa
xa
limf(x)


xa
x0

xa
x0
xa
xa
a. limf(x) a
b. lim f(x)
c
d. lim f(x) 0
. limf(x)









x
x
x
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)
21
v1.0
Hàm số f(x) gọilàmộtVCLkhix anếu:
x0
xa
xa
xa
a. lim f(x)

b. lim f (x)
c. limf(x)
d. li m f (x) 0








VÍ DỤ 8
22
v1.0
Hàm số f(x) gọilàmộtVCLkhix anếu:
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)
x
xa
xa
xa
0
b. lim f
a. lim f(x)

c. limf(x)
d. li m f ( )
(x)
x0











x
x
x
23
v1.0
2
f(x) x

VCB nào sau đây là tương đương với VCB khi x0 ?


1
2
3
2
4
2
x
a. f (x) arcsin x
b. f (x) e 1
c. f (x) 1 cos x

d. f (x ) arc tg x




VÍ DỤ 9
24
v1.0
VÍ DỤ 9 (Tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem phần “So sánh các vô cùng bé” (tr. 17) và “các vô cùng bé
tương đương thường gặp”(tr.18).
Chẳng hạn, là VCB bậc cao hơn nếu m>n và cùng bậc nếu m= n khi
m
x
n
x
Bậc của các VCB
Định nghĩa:
Giả sử là hai VCB khi .
•Nếu; ta nói rằng là VCB bậc cao hơn.
•Nếu ; ta nói rằng là VCB bậc thấp hơn.
•Nếu ; ta nói rằng và là hai VCB cùng bậc.
•Nếu không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB và
(x), (x)
xa
xa
(x)
lim 0
(x)





xa
(x)
lim
(x)




xa
(x)
lim A ( 0, )
(x)




xa
(x)
lim
(x)



(x)

(x)


x0
25
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
u
sinu t
g
uarcsinuarct
g
uln(u1)(e 1)u

    
Khi u = u(x)  0 , ta có:
•Nhận xét: 2 VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc.
xa
xa
(x)
lim 1
(x)




VCB tương đương
• Định nghĩa:
Hai VCB và khác 0 khi gọi là tương đương với nhau
nếu
(x)
(x)
•Ký hiệu:

(x) (x)
Một số các VCB tương đương thường gặp (nên ghi nhớ) là: