Phương trình hàm với các tính chất đặc trưng của hàm số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (409.59 KB, 44 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

Sinh viên: Đặng Văn Phong

Lớp, khoa: K22 ĐHSP Toán CLC, Khoa KHTN Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Mạnh Cường

Thanh Hóa, 4/2023

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

1.2.1 Hàm số liên tục tại một điểm. . . . 10

1.2.2 Hàm số liên tục trên một khoảng (đoạn). . . . 11

1.3 Phép tính vi phân của hàm số một biến. . . 13

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CÓ YẾU TỐ LIÊN TỤC, KHẢ VI 15 2.1 Phương trình hàm có nhiều biến tự do. . . . 15

2.2 Phương trình hàm có một biến tự do. . . 24

2.3 Phương trình hàm có yếu tố lượng giác, biểu thức có thể chuyển về dạng lượng giác. . . . 28

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT, DỰA VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ VÀ GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ 33 3.1 Phương trình hàm với phương pháp thế và giá trị đặc biệt. . . 33

3.2 Phương trình hàm với phương pháp thế dựa vào giá trị của biến số và giá trị của hàm số. . . . 34

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Kết luận 39

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp chun ngành Tốn học với Đề tài “Phương trình hàm với các tính chất đặc trưng của hàm số” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng nghỉ của bản thân và được sự giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ của thầy cô, bạn bè và người thân. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến mọi người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập và nghiên cứu khoa học vừa qua.

Em xin gửi lời cảm ơn đển Ban Giám Hiệu trường Đại học Hồng Đức đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi để các sinh viên học tập,nghiên cứu để hoàn thành quá trình học tập.

Em xin trân trọng gửi đến thầy cơ giảng viên giảng dạy bộ mơn Tốn đã giúp đỡ và chỉ bảo em trong q trình làm khóa luận cũng như cung cấp tài liệu bổ ích.

Cảm ơn Thầy Nguyễn Mạnh Cường – giảng viên giảng dạy bộ môn Tốn người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho bài luận này lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã ln bên cạnh, ủng hộ, động viên.

Em xin chân thành cảm ơn!

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

∥x∥X chuẩn của véc tơ x trong không gian X

A × B tích Descartes của hai tập A và B

span(A) khơng gian tuyến tính sinh bởi tập A

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Hàm số là một nội dung rất quan trọng không chỉ ở tốn học phổ thơng mà cịn ở tốn học hiện đại, nó thực sự chiếm vai trị đặc biệt trong ngành tốn học và có rất nhiều ứng dụng trong khoa học, hàm số là đối tượng để nghiên cứu và cơng cụ để giải quyết các bài tốn cũng như các vấn đề toán học.

Trong toán học phổ thơng thì một trong những chun đề khơng thể thiếu được để bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thơng đó là dạng bài toán xác định hàm số thỏa mãn các điều kiện nào đó cho trước, nói riêng đó là bài tốn về phương trình hàm. Các bài tốn phương trình hàm thậm chí xuất hiện trong đề thi các kỳ thi olympic toán học cho học sinh, sinh viên. Trong rất nhiều các bài tốn về phương trình hàm thì các bài tốn gắn liền với khái niệm hàm số, những tính chất cơ bản liên quan đến giải tích được đặc biệt quan tâm, vì qua các bài tốn bài người học có cơ hội nghiên cứu, trao dồi, rèn luyện về các kiến thức về hàm số: đồng biến, nghịch biến, tính liên tục, đạo hàm,... Do đó em đã chọn đề tài "Phương trình hàm với các tính chất đặc trưng của hàm số" để làm chủ đề khóa luận tốt nghiệp của mình.

Khóa luận của em tuy không phải là kết quả mới về mặt khoa học nhưng đó là sự nổ lực của bản thân và chỉ bảo tận tình của các thầy cơ giáo, em đã hệ thống và trình bày theo sự hiểu biết của mình. Qua đây cho phép em được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cơ trong bộ mơn: Giải tích và

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

PPDH Toán, Khoa KHTN, Trường Đại học Hồng Đức đã giao đề tài và ân cần chỉ bảo để em hồn thành khóa luận này.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống một số dạng tốn cụ thể về phương trình hàm. Giải các bài tốn, ví dụ về phương trình hàm sử dụng các tính chất của hàm số.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các ánh xạ, hàm số, phương trình hàm. 4. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp giải tích, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. - Thảo luận nhóm, liên hệ trao đổi nghiên cứu với các Thầy cô giáo.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1. Ánh xạ

*) Cho hai tập hợp A và B. Ta gọi là ánh xạ f từ A đến B một quy tắc sao cho mỗi phần tử a ∈ A ứng với mỗi phần tử duy nhất b ∈ B.

Kí hiệu: f: A → B, b được gọi là ảnh của phần tử a và được kí hiệu là f (a).

Ta quan tâm đến hai tập hợp sau đây:

f (A) = nf (a)| a ∈ Ao được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f và f−1(b) =

a ∈ A| f (a) = b o

là tạo ảnh toàn phần của phần tử b.

*) Ánh xạ f : A → B được gọi là đơn ánh nếu như với mọi a1, a2 ∈ A mà

*) Ánh xạ f : A → B được gọi là toàn ánh nếu như mọi phần tử b ∈ B đều tồn tại phần tử a ∈ A sao cho f (a) = b.

Chú ý: f là toàn ánh ⇔ f (A) = B.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

*) Ánh xạ f : A → B được gọi là song ánh nếu như nó vừa là đơn ánh,

Khi đó với mọi b ∈ B đều có duy nhất a ∈ A sao cho f (a) = b.

Ta xây dựng một ánh xạ Gtừ B đến Anhư sau: Với mọi b ∈ B ta đặt tương ứng với a ∈ A mà f (a) = b. Ánh xạ g : B → A như vậy được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f và được kí hiệu f−1.

X được gọi là tập xác định của hàm số và thường được kí hiệu là D. Ta còn viết f : D → R. f (x0) là giá trị của hàm số tại điểm x0 ∈ D.

T =nf (x)|x ∈ Do được gọi là tập giá trị của hàm số f. Chú ý: +) t ∈ T ⇔ phương trình f (x) = t có nghiệm x ∈ D.

+) t ∈ T ⇒ t có thể viết được dưới dạng t = f (x) với x ∈ D. Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm bất động của hàm f nếu như f (x0) = x. *) Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược.

*) Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), phép toán lấy hàm hợp đối với các hàm

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Chú ý: Giả sử f : N∗ → N∗ là hàm nhân tính. Khi đó f hồn tồn được xác định nếu biết giá trị của nó tại các điểm nguyên tố.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

đơn điệu thật sự trên khoảng đó.

Từ khái niệm về hàm số đơn điệu ta có:

+) Mọi hàm đơn điệu thực sự trên một khoảng đều là đơn ánh trên khoảng đó.

+) Nếu f : D →R; g : D →R là hai hàm tăng thì f + g tăng.

+) Nếu f : D → R; g : D → R là hai hàm tăng và khơng âm thì f (x)g(x) là hàm tăng.

+) Nếu hàm f đơn điệu trên khoảng (a; b) thì phương trình f (x) = m có nhiều nhất là một nghiệm trên khoảng đó.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kì T mà khơng là hàm tuần hồn với bất kì chu kì nào bé hơn T.

1.1.7. Hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

1.2.1 Hàm số liên tục tại một điểm.

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:

f (x) = f (x0).

Hàm số f (x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó khơng liên tục tại đó. Định nghĩa 1.2.2 Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạn [a; b]; x0 ∈ [a; b]. Hàm số f (x) được gọi là liên tục trái (hoặc phải) tại x0 nếu

Định lý 1.2.1 Điều kiện ắt có và đủ để hàm số f (x) liên tục tại điểm x0 là nó liên tục phải trái tại điểm đó.

f (x) liên tục tại x0 ⇔   

f (x) liên tục phải tại x0. f (x) liên tục trái tại x0.

Định lý 1.2.2 Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại x0 (mẫu khác 0 tại x0) là hàm số liên tục tại điểm đó.

Định lý 1.2.3 Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại x0 và hàm số z = g(y) liên tục tại điểm y0 = f (x0) thì hàm hợp g (f (x)) liên tục tại điểm x0.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

1.2.2 Hàm số liên tục trên một khoảng (đoạn).

Định nghĩa 1.2.3 Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a, b) và f (x) liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.

f (x) liên tục trên (a; b) ⇔ ∀x0 ∈ (a; b) : f (x) liên tục tại x0. f (x) liên tục trên [a; b] ⇔

f (x) liên tục phải tại a. ∀x0 ∈ (a; b) : f (x) liên tục tại x0.

f (x) liên tục trái tại b. Chú ý:

*)Đồ thị của một hàm số liên tục trên khoảng (hay đoạn) là một "đường liền"trên khoảng (đoạn) đó.

*)Ta quy ước rằng nếu nói y = f (x) là hàm số liên tục mà không chỉ số trên khoảng (đoạn) nào thì có nghĩa là nó liên tục trên tập xác định của nó. Định lý 1.2.4 Nếu hàm số f (x) liên tục tại x0 ∈ (a; b) và f (x0) > 0 (hoặc f (x0) < 0) thì tồn tại một lân cận (x0 − δ, x0 + δ) của điểm x0 sao cho f (x) > 0 (hoặc f (x) < 0 với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Định lý 1.2.6 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trên đoạn đó.

f (x) liên tục trên [a; b] ⇒   

∃x0 ∈ [a; b] : f (x0) = supa≤x≤bf (x) ∃x1 ∈ [a; b] : f (x1) = infa≤x≤bf (x)

Định lý 1.2.7 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và nếu f (a).f (b) < 0 thì có ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.

Định lý 1.2.8 Nếu hàm sốf (x)liên tục trên đoạn [a; b]vàf (x) = A, f (b) = B thì hàm số đó nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B.

Định lý 1.2.9 Nếu hàm số y = f (x) liên tục và tăng (giảm) nghiêm ngặt trên đoạn [a; b] thì hàm số ngược x = φ(y) cũng liên tục và tăng (giảm) nghiêm ngặt trên đoạn [c, d], trong đó:

c = f (a), d = f (b) (hoặc c = f (b), d = f (a))

tăng (giảm) nghiêm ngặt trên [c; d].

Chú ý: Nếu hàm số f (x) là đơn ánh, liên tục trên một khoảng nào đó thì nó đơn điệu thực sự trên khoảng đó.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

1.3Phép tính vi phân của hàm số một biến.

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm số y = f (x). Xác đinh trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

Định nghĩa tương tự, đạo hàm bên trái của y = f (x) tại điểm x0 là giới hạn (hữu hạn) bên trái, nếu có:

f′(x−0) = lim∆x→0−f (x0+∆x)−f (x0)∆x .

Chú ý: Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi các đạo hàm phải và trái tồn tại và bằng nhau.

Định nghĩa 1.3.3 Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.

Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a; b) và có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái b.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Định lý 1.3.1 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

f′(x0) có đạo hàm tại x0 ⇒ f (x) liên tục tại x0.

Chú ý: Điều ngược lại là không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm x0 có thể khơng có đạo hàm tại điểm đó.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CĨ YẾU TỐ LIÊN TỤC, KHẢ VI

Bài tốn 1 (Phương trình hàm Cauchy). xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

1. Từ điều kiện (1), ta thấy chỉ cần giả thiết f (x) là hàm liên tục tại một điểm x0 ∈ R cho trước là đủ. Khi đó, hàm f (x) thỏa mãn (1) sẽ liên tục trên

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

2. Kết quả của Bài tốn 1 sẽ khơng thay đổi nếu ta thay R bằng [a, +∞) hoặc (−∞, β] tùy ý.

Bài toán 2. Xác định các hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈R. (5)

Giải. Nhận xét bằng f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (5). Xét trường hợp f (x) ̸≡ 0. Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0) ̸= 0.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

g(u + v) = g(u).g(v), ∀u, v ∈R. (3)

Theo Bài tốn 2 thì (3) ⇔ g(t) = at, ∀t ∈ R (a > 0 tùy ý) và do đó

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (1) theo biến x và y ta được

Nhận xét. Ngồi các giả thiết quen biết về tính liên tục và tính khả vi của hàm cần tìm, trong phương trình hàm số cịn có rất nhiều giả thiết dạng khác như tìm nghiệm của các phương trình hàm trên một tập tùy ý của R và chỉ địi hỏi hàm số cần tìm giới nội(bị chặn), đơn điệu hoặc liên tục một

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Vì g(x) liên tục trên R, nên (2) là phương trình hàm Cauchy và do đó g(x) = ax. Suy ra f (x) = ax + b(a, b ∈ R). Thử lại ta thấy nghiệm f (x) =

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Giải. Từ điều kiện Bài toán suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+. Nếu tồn tại x0 > 0 sao cho f (x0) = 0 thì từ (1) suy ra

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Bài tốn 9. Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trong R\ {0} thoả mãn

Theo kết quả của những bài toán trên, suy ra g(u) = au + b. Hàm g(u) ̸= 0, ∀u ̸= 0 khi và chỉ khi

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Theo những kết quả của những bài trên, thì g(u) = au + b. Do đó f (x) =

Thử lại điều kiện của bài toán suy ra α = ±1, tức là f (x) = x hoặc f (x) = x1. Do f (x) là hàm liên tục nên f (x) = x. Vậy các hàm f (x) = 0 hoặc f (x) = x thoả mãn bài ra.

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

2.2Phương trình hàm có một biến tự do.

Bài tốn 1. Tìm tất cả các hàm liên tục f : R →R thỏa mãn điều kiện

Như vậyg(x)là hàm số chẵn, do đó ta chỉ cần chứng minhg(x)là hàm hằng với x > 0. Trước hết ta chú ý rằng với x > 0 thì g(x) = −g(x2) = g(x4). vậy g là hàm hằng trên dãy (xn).

Do g liên tục nên g(a) = lim g(xn) = g(lim xn) = g(1) = 0.

vậy g(x) = 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số cần tìm là f (x) = x, ∀x ∈ R. Hiển nhiên hàm số f (x) = x thỏa mãn u cầu bài tốn.

Bài tốn 2. Tìm tất cả các hàm liên tục f: R+ →R+ thỏa mãn

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Giải. Ta sẽ chứng minh f là hàm hằng. Lấy bất kỳ a ≥ 0. Ta xét hai trường hợp:

1) 0 ≤ a ≤ 12 : Xét dãy số (xn) như sau:

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

. Lập luận như phần trên ta cóf (a) = f 12. Vậy f là hàm hằng vớix ≥ 0. Dễ kiểm tra được rằng f là hàm chẵn.

Do đó tất cả các hàm số cần tìm f (x) = C với mọi x(C là hằng số tùy ý). Bài toán 3. Cho g(x) = 1+x2x2.

Hãy tìm tất cả các hàm f xác định, liên tục trên khoảng (−1; 1) và thỏa mãn hệ thức

(1 − x2)f (g(x)) = 1 + x22f (x) với mọi x ∈ (−1; 1). (1) Giải.

Xét hàm số f0(x) = (1−x1 2)2g(x), ∀x ∈ (−1; 1).

Như vậy f0(x) là một hàm số cần tìm. Bây giờ ta tìm tất cả các hàm số khác thỏa mãn đầu bài.

Đặt h(x) = ff (x)

0(x), ∀x ∈ (−1; 1).

Khi đó h(x) liên tục và h(g(x)) = h(x), ∀x ∈ (−1; 1). (1a) Ta sẽ chứng minh rằng h là hàm hằng trên khoảng (−1; 1). Thật vậy, lấy a ∈ (−1; 1) \ {0} tùy ý.

Xây dựng dãy (xn) như sau:

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Từ đây suy ra xn ∈ (−1; 1), với mọi n ∈ N, nghĩa là dãy (xn) bị chặn. a. −1 < a < 0: Khi đó −1 < xn < 0, với mọi n ∈ N.

n − 1 < 0, điều này hiển nhiên đúng, do đó (xn) là dãy tăng. b. 0 ≤ a < 1: Khi đó 0 < xn < 1 với mọi n ∈ N4. Lập luận hoàn toàn như trên thấy răng (xn) là dãy giảm.

Trong cả hai trường hợp, dãy (xn) ln đơn điệu và bị chặn. Do đó tồn tại giới hạn lim xn = b. Viết lại (1b) dưới dạng:

Vậy h(a) = lim h(xn) = h(lim xn) = h(b) = h(0). Điều này chứng tỏ h(x) không đổi trên (−1; 1). Vì vậy tất cả các hàm số cần tìm là:

f (x) = 1−xh(0)2 với h(0) tuỳ ý hay f (x) = 1−xC 2, C tuỳ ý.

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

2.3Phương trình hàm có yếu tố lượng giác, biểu thức có thể chuyển về dạng lượng giác.

Bài tốn 1. Tìm các hàmf (x) xác định, liên tục trên R và thoả mãn các trái với giả thiết |f (x0) < 1|.

Vậy tồn tại x1 ̸= 0 sao cho 0 < f (x1) < 1 và f (x) > 0, ∀x ∈ (− |x1| , |x1|)

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

= 2 cos nα cos α − cos(n − 1)α

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

g(u) = f (tanu), ∀u, v ∈ −π2,π2.

lặp lại lập luận và trình tự cách giải của phương trình Cauchy đối với

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Khi đó có thể viết (1) dưới dạng:

f (sin u) + f (sin v) = f (sin(u + v)) , hay g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ −π2, π2.

trong đóg(u) = f (sin u). Lặp lại trình tự cách giải phương trình Cauchy cho trường hợp này, ta được

g(u) = αu, ∀u ∈ h−π

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

x = cos u, y = cos v, u, v ∈ [0, π], thì xy −p1 − y2.√

1 − x2. Khi đó có thể viết (1) dưới dạng

f (cos u) + f (cos v) = f (cos(u + v)), hay

g(u + v) = g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ [0, π], trong đó g(u) = f (cos u).

Lập luận tương tự như cách giải phương trình Cauchy, ta được: g(u) = au, a ∈ R, ∀u ∈ [0, π].

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚIPHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ GIÁTRỊ ĐẶC BIỆT, DỰA VÀO GIÁTRỊ CỦA BIẾN SỐ VÀ GIÁ TRỊ

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

bài tốn.

Bài tốn 2. Tìm tất cả các hàm f : R → R thoả mãn

xf (y) + yf (x) = (x + y)f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.(2)

Vậy nếu đặt a = f (−1 − f (1)) + 1 thì f (a) = −1.Thay y = a và đặt b = f (0) ta cóf (xf (a) + x) = ax + f (x) ⇒ f (x) = −ax + b.Thay biểu thức của f (x) vào phương trìnhhàm đã cho ta có:

a2xy − abx − ax + b = xy − ax + b.Bằng cách đồng nhất các hệ số ta được a = ±1, b = 0.Vậy f (x) = x, f (x) = −x, ∀x ∈ R.

Thử lại thấy thoả mãn.