PHƯƠNG TRÌNH hàm TRÊN lớp hàm KHẢ VI

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM KHẢ VI
Trường THPT
chuyên Biên Hòa
I.Kiến thức cần nhớ
1.Định nghĩa đạo hàm
-Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) và x0 là một điểm thuộc khoảng
đó. Khi đó, đạo hàm của hàm số tại x0 là

f ' ( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

-Hàm số f(x) xác định trên khoảng K . Khi đó f(x) có đạo hàm trên K
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K
- Đạo hàm bên phải của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng [ x0 , b )
kí hiệu là
f ' ( x0+ ) được xác định bởi f ' ( x0+ ) = lim+
x→ x
0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

- Đạo hàm bên tr ái của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng ( a, x0 ]
kí hiệu là

( )

( )

f ' x0− được xác định bởi f ' x0− = lim−
x→ x

- Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0

⇔∃

o

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

f ' ( x0+ ) , f ' ( x0− ) và f ' ( x0+ ) = f ' ( x0− )

= f ' ( x0 )
2. Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó
f ' ( x ) = 0∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) = c∀x ∈ [ a, b] (c: hằng số)
3. Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó
f ' ( x ) = k∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) = kx + c∀x ∈ [ a, b] (k, c: hằng số)


x

4.

f ( x ) = g ( x)∀x ∈ [ a, b] ⇔ f ( x) = ∫ g (t )dt + f (a )
'

với g(x) là hàm xác định

a

và liên tục trên [a,b]
II. Một số kĩ năng giải phương trình hàm trên lớp hàm khả vi.
1.Sử dụng các kết quả sau :
+/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạo hàm trên (a,b). Khi đó
f ' ( x ) = 0∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) = c∀x ∈ [ a, b] (c: hằng số)
+/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó
f ' ( x ) = k∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) = kx + c∀x ∈ [ a, b] (k, c: hằng số)
x

+/ f ( x ) = g ( x)∀x ∈ [ a, b] ⇔ f ( x) = ∫ g (t )dt + f (a )
'

với g(x) là hàm xác

a

định và liên tục trên [a,b]
VD1 : Tìm tất cả các hàm f,g :R+
f ' ( x) = −

g ( x)
x

→

R có đạo hàm trên R+ thỏa mãn

f ( x)
; g ' ( x ) = − x ∀x ∈ R +

Giải : Ta có
[ x.( f(x) + g(x) ) ]’ = x( f’(x) + g’(x))+f(x) + g(x)
= x( −

g ( x) f ( x)
−
)+f(x)
x
x

⇒

x[f(x) + g(x) ] = a

⇒

f(x) + g(x) = x

a

∀x

∀x

+ g(x) = 0 ∀x > 0

>0 ( a : hằng số)

>0 (1)

'

Tương tự , có

 f ( x) − g ( x) 

 = 0 ∀ x
x

>0

⇒ f(x)

–g(x) =bx

∀x

>0 (b: hằng số)

(2)
Từ (1)&(2)

⇒

f ( x) =

1a

 + bx 
2 x




; g ( x) = 2  x − bx  ∀ x >0 ( a ,b là hằng số ∈
1 a




R)
VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R

→

R có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn


f(x) = f’’(x) ∀x ∈ R
Giải : Ta có
f(x) = f’’(x)

⇔

Đặt g(x) = f(x)- f’(x)

⇒

f(x)- f’(x) + f’(x)- f’’(x) = 0
g(x) + g’(x) = 0

⇔(
⇔

g(x) ex)’ = 0

⇔

g(x) ex+ g’(x) ex = 0

g(x) ex = c ( c : Hằng số)

f(x)- f’(x) =c.e-x

⇔
⇔

⇔

⇔

f(x)e-x - f’(x).e-x =c.e-2x
(f(x)e-x)’ = c.e-2x
c

f(x)e-x = - 2 e-2x +b

⇔ f(x)

= a.e-x +bex ( a,b: hằng số) ∀x ∈ R

Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f(x) = a.e-x +bex ∀x ∈ R
VD3: Tìm tất cả các hàm f :R

→

R có đạo hàm trên R thỏa mãn

f’(x)sinx – f(x)cosx = sin2x ∀x ∈ R (1)
Giải: Xét x ∈ ( kπ , (k + 1)π )
'

f ( x)
 f ( x) 
= x + Ck
Khi đó (1) ⇔ 
 =1⇒
sin
x
sin
x



⇔ f ( x ) = ( x + C k ) sin x ∀x ∈ ( kπ , (k + 1)π )

Đặt g(x) = Cksinx = f(x)-x.sinx
Vì f(x) có đạo hàm trên trên R nên g(x) cũng có đạo hàm trên R
⇒

k
k
g ' ( kπ + ) = g ' ( kπ − ) ⇒ ( − 1) C k = ( − 1) C k −1 ∀k

⇒

Ck = Ck-1

⇒

f ( x) = ( a + x ) sin x ∀x ∈ R

∀k ⇒

Đặt Ck =a

∀k

( a: hằng số)

Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f ( x) = ( a + x ) sin x ∀x ∈ R
2.Sử dụng định nghĩa đạo hàm
VD1: Tìm tất cả các hàm f :R

→

R có đạo hàm trên R thỏa mãn

f(x+y)=f(x) +f(y) +2xy ∀x, y ∈ R (1)


Giải: +/ Cho x = y = 0

⇒

f(0) = 0

+/ Với y ≠ 0 .Với mỗi x ∈ R ta có
f ( x + y ) − f ( x) f ( y ) − f (0)
=
+ 2 x (2)
f(x+y)-f(x)=f(y) +2xy ⇔
y
y

Cho y → 0 khi đó (2) ⇒ f ' ( x ) = f ' ( 0) + 2 x = 2 x + a ( với a = f’(0))
⇒ f ( x) = x 2 + ax + b

Vì f(0) = 0 nên b=0 . ⇒ f ( x) = x 2 + ax ∀x ∈ R , thử lại hàm số này thỏa mãn
Vậy f ( x) = x 2 + ax ∀x ∈ R
VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R
f ( x + y) =

→

R có đạo hàm trên R thỏa mãn

f ( x) + f ( y )
1 − f ( x) f ( y )

∀x, y ∈ R (1)

2
Giải : cho y=0 ⇒ f ( x) = 1 − f ( x) f (0) ⇔ f (0)[1 + f ( x)] = 0 ⇔ f (0) = 0

f ( x) + f (0)

f ( x + y) − f ( x) f ( y) 1 + f 2 ( x)
1 + f 2 ( x)
⇔
⇒ f ( x + y ) − f ( x) = f ( y )
=
1 − f ( x) f ( y )
y
y 1 − f ( x) f ( y )

Từ (1)
(2)
Cho y

⇒ lim

→0

f ( y)
= f ' (0) = a := const

(Vì f(0) = 0)
y

y →0

t

Khi đó (2)

⇒

’

2

f (x) = a( 1+f (x))

⇔

t

f ' ( x)
f ' ( x)
=
a
⇔∫
dx = ∫ a.dx = ax + b
2
1 + f 2 ( x)
0 1 + f ( x)

0

⇒ f ( x ) = tan(ax + b)

Thử lại

⇒

b = 0. Vậy f(x) = tan(ax) ∀x ∈ R , a là hằng số bất kì

(*) Chú ý: Khi hàm số cần tìm chưa có đạo hàm thì ta phải chứng minh
nó có đạo hàm trên tập tương ứng.
VD3: Tìm tất cả các hàm f :R

→

2
3
R thỏa mãn f ( x) − f ( y ) ≤ x − y

(1)
2

Giải: Với mỗi x∈ R , từ (1) ta có

f ( x) − f ( y )
≤ x− y
x− y

∀x , y ∈ R

⇔0≤

Cho y → x

⇒

f ( x) − f ( y )
≤
x− y

x− y

f ( x) − f ( y )
→ 0 ⇒ f ' ( x) = 0 ⇒ f ( x) = a := const ∀x ∈ R
x− y

Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn. Vậy f(x) = a ∀x ∈ R
VD4: Tìm tất cả các hàm f,g: R

→

R, thỏa mãn

f ( y ) − f ( x) − g ( x)( y − x) ≤ M y − x

m+ 2

(1) ∀x, y ∈ R ( M ,m là 2

số dương cho trước)
Giải:
+/ Thay y = x và x= y ta có f ( x ) − f ( y ) − g ( y )( x − y ) ≤ M x − y

m+ 2

+/ Từ (1) và (2) ta có ( g ( x) − g ( y ) ) ( x − y ) =
f ( y ) − f ( x) − g ( x)( y − x) + f ( x) − f ( y ) − g ( y )( x − y )
≤
≤
⇒

f ( y ) − f ( x) − g ( x)( y − x) + f ( x ) − f ( y ) − g ( y )( x − y )
2M x − y

2+ m

g ( y ) − g ( x)
1+ m
≤ 2M y − x
y−x

Cố định x, cho y → x
⇒

⇒

g ( y ) − g ( x)
→ 0 ⇒ g ' ( x) = 0

y−x

g(x) = a :=const ∀x ∈ R

+/ Thay g(x) = a vào (1) ta có f ( y ) − f ( x) − a ( y − x) ≤ M y − x
⇔

Cố định x, cho y → x

⇒

f ( y ) − f ( x)
1+ m
−a ≤ M y−x
y−x

f ( y ) − f ( x)
−a →0
y−x

⇒ f ' ( x) = a ⇒ f(x) = ax +b ( b : hằng số)

Thử lại hai hàm số f(x) = ax + b và g(x) = a thấy thỏa mãn .
Vậy f(x) = ax + b và g(x) = a ∀x ∈ R

m+2

(2)

VD5: Tìm tất cả các hàm f :R

→

R thỏa mãn

i) f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y ) ∀x, y ∈ R (1)
ii) lim
x →0

f ( x)
=1
x

(2)

Giải: Từ (1) ta có f(x) = f((x+y)+(-y))

≤

f(x+y) + f(-y)

⇒ − f (− y ) ≤ f ( x + y ) − f ( x) ≤ f ( y )
f (− y ) f ( x + y ) − f ( y ) f ( y )
⇒
≤
≤
−y
y
y

Cho
⇒

y → 0+ ⇒

f (− y )
→1
−y

f ( x + y) − f ( y)
y
y →0 +

lim

và

với y > 0

f ( y)
→ 1 ( do (2))
y

= 1 ⇒ ∃f ' ( y + ) = 1

+

Tương tự xét y < 0

⇒

∃f ' ( y − ) = 1

Do đó ∃f ' ( y ) = 1 ∀y ∈ R

⇒

f(y) = y + c ( c: hằng số)

Thử lại ta có c = 0.
Vậy f(x) = x ∀x ∈ R
3.Sử dụng phưong pháp lấy đạo hàm theo từng biến
VD1 : Tìm tất cả các hàm f :R

→

R có đạo hàm trên R thỏa mãn

f(x+y) = f(x) +f(y) ∀x, y ∈ R
Giải : Lấy đạo hàm hai vế lần lượt theo biến x , y ta có
f’(x+y) = f’(x) ∀x, y ∈ R
f’(x+y) = f’(y) ∀x, y ∈ R
⇒ f’(x)

= f’(y) ∀x, y ∈ R

⇒

f’(x) = a ∀x ∈ R ( a : hằng số)

⇒

Thử lại

⇒

f(x) = ax +b

b = 0 . Vậy f(x) = ax ∀x ∈ R

VD2: : Tìm tất cả các hàm f :R

→

R có đạo hàm trên R thỏa mãn

f(x+y) = f(x) .f(y) ∀x, y ∈ R (1)


Giải : +/ Dễ thấy f(x) = 0 là một nghiệm
+/ Nếu ∃x0 ∈ R, f ( x0 ) ≠ 0
Ta có f(x0) = f(x + (x0-x)) = f(x).f(x0-x) ≠ 0∀x ∈ R
⇒

f(x) ≠ 0∀x ∈ R

Mặt khác từ (1) ta có

  x 
f ( x) =  f  

  2 

2

>0 ∀x ∈ R

Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có
f’(x+y) = f’(x).f(y) ∀x, y ∈ R
f’(x+y) = f(x).f’(y) ∀x, y ∈ R
⇒ f’(x).f(y)=

⇒

f(x).f’(y) ∀x, y ∈ R

f ' ( x) f ' ( y )
f ' ( x)
∀
x
,
y
∈
R
⇒
=
= a:= const
f ( x)
f ( y)
f ( x)

⇒ [ln f ( x)]' = a ⇒ f ( x) = e ax +b ( b: hằng

số) ∀x ∈ R
Thử lại

⇒

b = 0. Vậy f(x) = 0 hoặc f ( x) = e ax ∀x ∈ R

VD3: Tìm tất cả các hàm f : R+*

→

R có đạo hàm trên R+* thỏa mãn

f(xy) = f(x) +f(y) ∀x, y ∈ R+* (1)
Giải:
Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có
yf’(xy) = f’(x) ∀x, y ∈ R+*
xf’(xy) = f’(y) ∀x, y ∈ R+*
⇒ x. f ' ( x) = y. f ' ( y ) ∀x, y ∈ R+* ⇒ x. f ' ( x) = a :=const ∀x ∈ R+*
⇒ f ( x) = a. ln x + b ∀x ∈ R+*

Thử lại

⇒

(b:= const)

b = 0. Vậy f ( x) = a. ln x ∀x ∈ R+*

VD4 : Tìm tất cả các hàm f :R

→

R có đạo hàm trên R thỏa mãn

f(x+y) = f(x) + f(y) +2xy ∀x, y ∈ R (1)
Giải: +/ Cho x = y = 0

⇒

f(0) = 0


+/ Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có
f’(x+y) = f’(x) +2y ∀x, y ∈ R
f’(x+y) = f’(y) +2x ∀x, y ∈ R
⇒ f’(x)

-2x = f’(y) -2y ∀x, y ∈ R
⇒

Thử lại

⇒

⇒

f’(x) -2x = a ∀x ∈ R ( a : hằng số)

f(x) = x2 + ax +b

b = 0 . Vậy f(x) = x2 + ax ∀x ∈ R

VD5 : Tìm tất cả các hàm f :R

→

R có đạo hàm trên R thỏa mãn

 x + y  f ( y ) − f ( x)
f '
∀x, y ∈ R; x ≠ y (1)
=
y−x
 2 

Giải: +/ Trong (1) thay x bởi x-y và y bởi x +y ta có
f ' ( x) =

f ( x + y) − f ( x − y)
∀x, y ∈ R; y ≠ 0 (2)
2y

f ' ( x + y) − f ' ( x − y)
⇒ f ( x) =
∀x, y ∈ R; y ≠ 0
2y
''

'
Do (2) nên f ( x + y ) =

f ( x + 2 y ) − f ( x)
f ( x) − f ( x − y )
f ' ( x − y) =
và
2y
2y

⇒ f

''

( x) =

f ( x + 2 y) − 2 f ( x) + f ( x − 2 y )
∀x, y ∈ R; y ≠ 0
4y2

⇒ f

'''

( x) =

f ' ( x + 2 y ) − 2 f ' ( x) + f ' ( x − 2 y )
4y2

=

1  f ( x + 3 y) − f ( x + y)
f ( x + y) − f ( x − y) f ( x − y) − f ( x − 3 y) 
−2
+

2 
2y
2y
2y
4y 


1

= 8 y 3 ( f ( x + 3 y ) − 3 f ( x + y) + 3 f ( x − y ) − f ( x − 3 y ) ∀x, y ∈ R; y ≠ 0 (3)
x+ y

 2 

'
Mặt khác theo (1) ta lại có f ( y ) − f ( x) = ( y − x) f 

⇒

và
Thay vào (3)

f ( x + 3 y ) − f ( x − 3 y ) = 6 yf ' ( x )

f ( x + y ) − f ( x − y ) = 2 yf ' ( x )

⇒

f’’’(x) = 0 ∀x ∈ R

⇒

f’’(x) = a ∀x ∈ R


f’(x) = ax+b ∀x ∈ R

⇒
⇒

f(x) =

1 2
ax + bx + c ∀x ∈ R
2

Thử lại thỏa mãn . vậy f(x) =

1 2
ax + bx + c ∀x ∈ R
2

III. Bài tập rèn luyện
Bài 1 . Cho h > 0 . Tìm tất cả các hàm f :R

→

R thỏa mãn

f ( x + h) − f ( x − h) < h 2 ∀x ∈ R
Bài 2. Tìm hàm f(x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn
f(x+y) +f(x-y) = 2 f(x) f(y) ∀x, y ∈ R
Bài 3. Cho n là một số tụ nhiên . Tìm hàm f(x) không âm , có đạo hàm
trên R thỏa mãn
 xn + yn
f

2


Bài 4. a/Cho f :R


=



→

f 2 ( x) + f 2 ( y )
2

R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn

f’’(x) + k2f(x) = 0 ∀x ∈ R , k>0
CMR: f(x) = Acos kx + B sinkx ∀x ∈ R , k>0 ,( A,B: hằng số)
b/ Cho f :R

→

R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn

f’’(x) - k2f(x) = 0 ∀x ∈ R , k>0
CMR: f(x) = Aekx+ B e-kx ∀x ∈ R , k>0 ,( A,B: hằng số)
Bài 5. Cho

α >0

. Tìm tất cả các hàm f :R

→

R có đạo hàm trên R thỏa

mãn
f ( x) − f ( y )
= f ' ( α x + (1 − α ) y ) ∀ x , y ∈ R
x− y

Bài 6. Tìm f :R

→

R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f(x) = - f’’(x)

∀x ∈ R

Bài 7.Cho hàm f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp 2 trên R thỏa mãn
f ' ( x ) ≤ 1 ∀x ∈ R

CMR: ∃x ∈ R sao cho f’’(x) = 0


Bài 8: Cho 2 hàm f(x) và g(x) khác hằng số và có đạo hàm trên R thỏa mãn
f’(0) =0 và
i)

f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) ∀x, y ∈ R

ii)

g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y) ∀x, y ∈ R

CMR : f2(x) + g2(x) = 1 ∀x ∈ R