chuyên đề về về phương trình hàm (phương trình hàm với cặp biến tự do)

Bài 2
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO
I/ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI CÁC PHÉP TÍNH SỐ HỌC
Trong I/ này, ta giải các bai toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính số học
đơn giản (cộng, trừ, nhân, chia) của đối số sang các phép tính đối với các giá trị hàm
tương ứng.
Ta sẽ giải quyết các bài toán trên trong lớp các hàm xác định và liên tục trên toàn trục
thực.
Bài toán 1. ( Phương trình hàm Cauchy). Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R thỏa
mãn điều kiện sau
󽜩 󽜪
),()( yfxfyxf 󽜬󽜾󽜬
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (1)
Giải. Từ (1) suy ra
)()(,0)0( xfxff 󽜮󽜾󽜮󽜾
và với
xy 󽜾
thì
),(2)2( xfxf 󽜾
.Rx 󽟏󽜣
(2)
Giả sử với
k
nguyên dương,
)()( xkfkxf 󽜾
,
.Rx 󽟏󽜣
Khi đó

󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
xkxfxkf 󽜬󽜾󽜬 )1(
)()( xfkxf 󽜬󽜾
󽜩 󽜪
NnRxxfkxfxkf 󽟏󽜣󽟏󽜣󽜬󽜾󽜬󽜾 ,),(1)()(
Từ đó, theo nguyên lí quy nạp, ta có
.),()( Rxxnfnxf 󽟏󽜣󽜾
Kết hợp với tính chất
)()( xfxf 󽜮󽜾󽜮
ta được
.,),()( RxZmxmfmxf 󽟏󽜣󽟏󽜣󽜾
Từ (2) ta có
.
2
2
2
2
2
2)(
2
2
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾󽜾
󽟸
󽟹

󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾
n
n
x
f
x
f
x
fxf
Từ đó suy ra
)(
2
1
2
xf
x
f
nn
󽜾

󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
,
,Rx 󽟏󽜣
.Nn 󽟏󽜣
(4)
Kết hợp (3) và (4), ta được
),1(
22
f
mm
f
nn
󽜾
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
Zm 󽟏󽜣
,
󽜬
󽟏 Nn
.
Sử dụng giả thiết liên tục của hàm

)(xf
, suy ra
,)( axxf 󽜾
,Rx 󽟏󽜣
).1(fa 󽜾
Thử lại, ta thấy hàm
axxf 󽜾)(
thỏa mãn phương trình (1).
Kết luận :
axxf 󽜾)(
với
Ra 󽟏
tùy ý.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
1
Nhận xét.
1/ Từ điều kiện (1), ta thấy chỉ cần giả thiết
)(xf
là hàm liên tục tại một điểm
Rx 󽟏
0
cho trước là đủ. Khi đó, hàm
)(xf
thỏa mãn (1) sẽ liên tục trên R.
Thật vậy, theo giả thiết thì
)(
0
)(lim
0

xf
xf
xx
󽜾
󽞯
và với mỗi
Rx 󽟏
1
ta đều có
󽜩 󽜪
.),()()(
0101
Rxxfxfxxxfxf 󽟏󽜣󽜮󽜬󽜬󽜮󽜾
Từ đó suy ra
󽜩 󽜪
)()(lim)(lim
0101
1
1
xfxfxxxfxf
xx
xx
󽜮󽜬󽜬󽜮󽜾
󽞯
󽞯
).()()()(
1010
xfxfxfxf 󽜾󽜮󽜬󽜾
2/ Kết quả của Bài toán 1 sẽ không thay đổi nếu ta thay R bằng
󽝜

󽜪
󽞦󽜬,α
hoặc
󽜩
󽝞
β,󽞦󽜮
tùy ý.
Bài toán 2. Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
)()( yfxfyxf 󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (5)
Giải. Nhận xét rằng
0)( 󽞻xf
là một nghiệm của (5). Xét trường hợp
)(xf
0󽞻
󽜰
.
Khi đó tồn tại
Rx 󽟏
0
sao cho
0)(
0
󽞺xf
. Theo (5) thì

󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
0)()()(
000
󽞺󽜮󽜾󽜮󽜬󽜾 xxfxfxxxfxf
,
Rx 󽟏󽜣
.
Suy ra
0)( 󽞺xf
,
Rx 󽟏󽜣
và
0
222
)(
2
󽜿
󽟻
󽟼
󽟺
󽟫
󽟬
󽟪
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾

󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜬󽜾
x
f
xx
fxf
,
Rx 󽟏󽜣
.
Đặt
))(()()(ln
)(xg
exfxgxf 󽜾󽜾
. Khi đó
)(xg
liên tục trên R và
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
yxfyxg 󽜬󽜾󽜬 ln
󽝜 󽝞
)()(ln yfxf󽜾
=
)()()(ln)(ln ygxgyfxf 󽜬󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
.

Theo Bài toán 1 thì
bxxg 󽜾)(
,
Rb 󽟏
tùy ý. Vậy
( )
bx x
f x e a󽜾 󽜾
với
0󽜿a
tùy ý.
Kết luận
󽜩 󽜪
󽟫
󽟬
󽟪
󽜿󽜾
󽞻
0,)(
0)(
aaxf
xf
x
Bài toán 3. Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
󽟰
󽟯
󽟰

󽟮
󽟭
󽟏󽜣󽞺
󽟏󽜣󽜾󽜮
Rxxf
Ryx
yf
xf
yxf
,0)(
,,
)(
)(
(6)
Giải. Đặt
zyx 󽜾󽜮
thì
yzx 󽜬󽜾
và
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
2
(6)
󽜩 󽜪
Ryz
yf
yxf
xf 󽟏󽜣
󽜮
󽜾󽟜 ,,

)(
)(
Do đó
󽜩 󽜪
󽟯
󽟮
󽟭
󽟏󽜣󽞺
󽟏󽜣󽜾󽜬
Rxxf
Ryzyfzfyzf
,0)(
,),()(
Từ kết quả của Bài toán 2 và do
0)( 󽞺xf
suy ra
x
axf 󽜾)(
, với
0󽜿a
tùy ý.
Kết luận
x
axf 󽜾)(
, trong đó
0󽜿a
tùy ý.
Bài toán 4. Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R \

󽝼 󽝾
0
thỏa mãn điều kiện
󽝼 󽝾
0\,),()()( Ryxyfxfxyf 󽟏󽜣󽜾
(7)
Giải.
Thay
1󽜾y
vào (7) ta được
󽜩 󽜪
0)1(1)( 󽜾󽜮 fxf
,
Rx 󽟏󽜣
. (8)
Nếu
1)1( 󽞺f
thì từ (8) suy ra
0)( 󽞻xf
và nghiệm này thỏa mãn (7).
Xét
1)1( 󽜾f
. Khi đó
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾

󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾
x
fxf
x
xff
1
)(
1
)1(
,
󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏󽜣
Vậy
0)( 󽞺xf
với mọi
󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏
và do đó
󽝜 󽝞
0)()()()(
2
2
󽜿󽜾󽜾 xfxfxfxf
,

󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏󽜣
a) Xét
󽜬
󽟏 Ryx,
Đặt
vu
eyex 󽜾󽜾 ,
và
)()( tgef
t
󽜾
. Khi đó ta có
󽜩 󽜪
Rvuvgugvug 󽟏󽜣󽜾󽜬 ,),()(
(9)
Theo Bài toán 2 thì (9)
Rtatg
t
󽟏󽜣󽜾󽟜 ,)(
(
0󽜿a
tùy ý) và do đó
󽜩 󽜪
󽜬
󽟏󽜣󽜾󽜾󽜾󽜾󽜾󽜾 Rxxxeaaefxf
a
x
axuu
,)()(

ln
ln
lnln α
, (10)
trong đó
aln󽜾α
.
b) Khi
󽜮
󽟏 Ryx,
thì
󽜬
󽟏 Rxy
. Với
xy 󽜾
, từ (7) và kết quả phần a), ta có
󽝜 󽝞
󽜩 󽜪
RRxxxxfxf 󽟏󽟏󽜣󽜾󽜾󽜾 β
β
β
,,)()()(
2
22
2
tùy ý.
Do
)(xf
là hàm liên tục trên
󽜾

R
, nên
󽟫
󽟫
󽟬
󽟪
󽟏󽜣󽜮
󽟏󽜣
󽜾
󽜮
󽜮
Rxx
Rxx
xf
,
,
)(
β
β
Kết hợp a) và b) và thử lại các kết quả, ta có
Kết luận
Nghiệm của (7) là một trong các hàm sau
1)
0)( 󽞻xf
,
󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏󽜣
,
2)
α

xxf 󽜾)(
,
󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏󽜣
,
R󽟏α
tùy ý,
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
3
3)
󽟯
󽟮
󽟭
󽟏󽜣󽜮
󽟏󽜣
󽜾
󽜮
󽜬
.,
,
)(
ưtùyRxx
Rxx
xf
β
β
Bài toán 5. Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R \

󽝼 󽝾
0
thỏa mãn điều kiện
)()()( yfxfxyf 󽜬󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
\
󽝼 󽝾
0
. (11)
Giải.
a) Trước hết xét
󽜬
󽟏 Ryx,
.
Đặt
vu
eyex 󽜾󽜾 ,
và
)()( tgef
t
󽜾
. Khi đó (11) có dạng
󽜩 󽜪
),()( vgugvug 󽜬󽜾󽜬
., Rvu 󽟏󽜣
(12)
Theo Bài toán 1 thì (12)
bttg 󽜾󽟜 )(
và do đó

RaRxxaxf 󽟏󽟏󽜣󽜾
󽜬
,,ln)(
tùy ý.
b) Khi
󽜬
󽟏 Ryx,
thì
󽜬
󽟏 Rxy
. Với
xy 󽜾
, từ (11) và theo kết
quả phần a), ta có
,ln)ln(
2
1
)(
2
1
)(
22
xbxbxfxf 󽜾󽜾󽜾
󽜮
󽟏󽜣 Rx
, với
Rb 󽟏
tùy ý.
Thử lại, ta thấy hàm
xbxf ln)( 󽜾

với
Rb 󽟏
tùy ý, thỏa mãn các điều kiện của bài
toán đặt ra.
Kết luận :
xbxf ln)( 󽜾
,
󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏󽜣
,với
Rb 󽟏
tùy ý.
Bài toán 6. Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
)()()( yfxfxyf 󽜮󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (13)
Giải. Từ (13) với
0󽜾󽜾 yx
, ta có
0)0()0()0( 󽜾󽜮󽜾 fff
Và với mọi
Rx 󽟏
và
0󽜾y
ta được
)0()()0( fxff 󽜮󽜾
Hay

0)( 󽞻xf
. Ngược lại, hàm
0)( 󽞻xf
thỏa mãn (13).
Kết luận :
0)( 󽞻xf
Bài toán 7. Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên
󽜬
R
thỏa mãn điều kiện
),()( yfxf
y
x
f 󽜮󽜾
󽟸
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟨
󽟩
󽟧
󽜬
󽟏󽜣 Ryx,
. (14)
Giải. Đặt
t
y

x
󽜾
. Khi đó
ytx 󽜾
và
(14)
)()()( yftyftf 󽜮󽜾󽟜
󽜬
󽟏󽜣󽜬󽜾󽟜 Rytyftftf ,),()()(
.
Theo kết quả của Bài toán 5, thì
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
4
xbxf ln)( 󽜾
,
󽜬
󽟏󽜣 Rx
,
Rb 󽟏
tùy ý.
Kết luận :
xbxf ln)( 󽜾
,
󽜬
󽟏󽜣 Rx
,
Rb 󽟏
tùy ý.
Nhận xét.

Lời giải của các Bài toán 1-7 dựa vào giả thiết liên tục của hàm số cần tìm. Nếu ta
thay giả thiết liên tục bằng giả thiết khả vi thì lớp hàm nhận được vẫn không thay đổi và
phương pháp giải sẽ ngắn gọn hơn nhiều.
Bài toán 8. Tìm các hàm
)(xf
xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện \
󽜩 󽜪
)()( yfxfyxf 󽜬󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (15)
Giải. Lần lượt lấy đạo ham hai vế của (15) theo biến
yvàx
, ta được
󽜩 󽜪
)('' xfyxf 󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
(16)
󽜩 󽜪
)('' yfyxf 󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
(`17)
Các đẳng thức (16) – (17) cho ta
)(')(' yfxf 󽜾
với mọi
Ryx 󽟏,
. Do vậy,
constxf 󽞻)('

, hay
baxxf 󽜬󽜾)(
. Thế vào (15), ta được
axxf 󽜾)(
với
Ra 󽟏
tùy ý
󽜩 󽜪
0󽜾b
.
Kết luận
axxf 󽜾)(
,
Rx 󽟏󽜣
,
Ra 󽟏
tùy ý.
Bài toán 9. Tìm các hàm
)(xf
xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
)()( yfxfyxf 󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (18)
Giải. Nhận xét rằng
0)( 󽞻xf
là một nghiệm của (18). Xét trường hợp
0)( 󽞻
󽜰

xf
. Theo (18) thì
󽜩 󽜪
0)()()()(
000
󽞺󽜮󽜾󽜮󽜬󽜾 xxfxfxxxfxf
,
Rx 󽟏󽜣
.
Suy ra
0)( 󽞺xf
,
Rx 󽟏󽜣
.
Mặt khác, từ (18) ta có
󽜩 󽜪
0)()(
2
󽞴󽜾 xfxf
,
Rx 󽟏󽜣
Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (18) theo biến
à yx v
, ta được
󽜩 󽜪
' '( ) ( )f x y f x f y󽜬 󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
(19)
󽜩 󽜪

' ( ) '( )f x y f x f y󽜬 󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
(20)
Các đẳng thức (19) – (20) cho ta
'( ) '( )
( ) ( )
f x f y
f x f y
󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
hay
󽜩 󽜪
a + b
ln ( ) ' ( )
x
f x a f x e󽞻 󽟜 󽜾
.
Thế vào (18), ta được
󽜩 󽜪
a
( ) , 0
x
f x e b󽜾 󽜾
.
Kết luận
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
5

a
( ) 0,
( ) , vói a tùy ý, .
x
f x
f x e x R
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾 󽜣 󽟏
󽟬
Bài toán 10. Tìm các hàm f(x) xác định và khả vi trên
R
󽜬
thỏa mãn điều kiện
f(xy) = f(x) + f(y),
,x y R
󽜬
󽜣 󽟏
(21)
Giải.
Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (21) theo biến x và y, ta được
yf’(xy) = f’(x),
,x y R
󽜬
󽜣 󽟏
(22)
xf’(xy) = f’(y),
,x y R
󽜬

󽜣 󽟏
(23)
Các đẳng thức (22)-(23) cho ta : xf’(x) = yf’(y),
,x y R
󽜬
󽜣 󽟏
Do đó, xf’(x)
,c x R
󽜬
󽞻 󽜣 󽟏
Vì vậy, f(x) =
lnc x d󽜬
Thế vào (21) ta được: f(x) =
ln , 0.c x x󽜣 󽜿
Kết luận:
f(x) =
ln , 0c x x󽜣 󽜿
, với x tùy ý.
Nhận xét.
Ngoài các giả thiết quen biết về tính liên tục và tính khả vi của hàm cần
tìm, trong phương trình hàm còn có rất nhiều giả thiết dạng khác như tìm
nghiệm của các phương trình hàm trên một tập tùy ý của R và chỉ đòi hỏi
hàm số cần tìm giới nội (bị chặn), đơn điệu hoặc liên tục một phía trên các
tập đó,…
Bài toán 11. Tìm các hàm f(x) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều
kiện
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y R󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
(24)
Giải.
Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (24) ta được f(0) = 0 và f(2x) = 2f(x)

x R󽜣 󽟏
.
Từ đó suy ra f(x) > 0 khi x > 0 và f(mx) = mf(x),
x R󽜣 󽟏
,
m N
󽜬
󽟏
(25)
Trong (25), thay x bởi
x
m
, ta được
1
( ), ,
x
f f x x R m N
m m
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Do f(x) đồng biến trên R, nên
1 1 1 1
( )f f x f x
n n n n
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜮 󽜽 󽜽 󽟜 󽜮 󽜽 󽜽
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸

󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
Suy ra
󽜩 󽜪
1 1 1 1
1 ( ) (1)f f x f x
n n n n
󽜮 󽜽 󽜽 󽟜 󽜮 󽜽 󽜽
Do đó
0
lim f ( ) 0 (0).
x
x f
󽞯
󽜾 󽜾
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
6
Tóm lại f(x) là hàm liên tục tại x = 0 và
x R󽜣 󽟏
󽝜 󽝞
0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) 0,
y y
f x y f x f y
󽞯 󽞯
󽜬 󽜮 󽜾 󽜾
do đó f(x) liên tục tại mọi điểm
x R󽟏
. Theo Bài toán 1,
( ) ax, 0f x a󽜾 󽜿

.
Kết luận
( ) ax, ,f x x R󽜾 󽜣 󽟏
với a > 0 tùy ý.
Bài toán 12. Xác định các hàm f(x) đồng biến trên
R
󽜬
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ), ,f xy f x f y x y R
󽜬
󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
(26)
Giải.
Đặt
,
u v
x e y e󽜾 󽜾
và
( ) ( ).
t
f e g t󽜾
Khi đó g(t) là hàm đồng biến trên R và
(26) có dạng : g(u+v) = g(u) + g(v),
,u v R󽜣 󽟏
(27)
Theo Bài toán 11 thì (27)
( ) , 0g t bt b󽟜 󽜾 󽜿
tùy ý và do đó ta có
( ) ln , , 0.f x b x x R b
󽜬

󽜾 󽜣 󽟏 󽜿
Kết luận
( ) ln , , 0f x b x x R b
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏 󽜿
tùy ý.
Bài toán 13. Cho c > 0. Xác định các hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện
󽝜 󽝞
( ) ( ) ( ), ,
( ) , 1,1
f x y f x f y x y R
f x c x
󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
󽟭
󽟰
󽟮
󽞤 󽜣 󽟏 󽜮
󽟰
󽟯
(28)
Giải.
Từ (28) suy ra
( ) ( ), ,f qx qf x q Q x R󽜾 󽜣 󽟏 󽟏
Giả sử
󽝼 󽝾
n
x
là dãy số thực và
󽝼 󽝾
n

q
là dãy số hữu tỷ tùy ý sao cho
lim 0,lim ,
lim( ) 0, , 0, .
n n
n n
n n n n
n
x q
q x x q n N
󽞯󽞦 󽞯󽞦
󽞯󽞦
󽜾 󽜾 󽜬󽞦
󽜾 󽞺 󽜣 󽟏
(để lập dãy
󽝼 󽝾
n
q
thỏa mãn các điều kiện trên, chỉ cần cho ứng với mỗi số tự
nhiên n một số hữu tỉ
n
q
sao cho
3
1 1
,
n
n n
q
x x

󽜽 󽜽
Trong đó
( ) , .
n n
f q x M n Z
󽜬
󽞤 󽜣 󽟏
Khi đó
1 1
( ) ( ) , .
n n n n n
n n
f x f q x f q x n N
q q
󽟧 󽟷
󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Do đó
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
7
lim ( ) 0 (0).
n
n
f x f
󽞯󽞦
󽜾 󽜾
Vậy f(x) liên tục tại x = 0 và
󽝜 󽝞

0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) 0,
y y
f x y f x f y
󽞯 󽞯
󽜬 󽜮 󽜾 󽜾
suy ra f(x) liên tục tại mọi điểm
x R󽟏
. Theo Bài toán 1, f(x) = ax với
a R󽟏
và
a c󽞤
Bài toán 14. Cho c > 0. Xác định các hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện
󽝜 󽝞
( ) ( ) ( ), ,
( ) , 1,1
f x y f x f y x y R
f x c x
󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽟭
󽟰
󽟮
󽞤 󽜣 󽟏 󽜮
󽟰
󽟯
(29)
Giải. Nhận xét rằng
( ) 0f x 󽞻
là một nghiệm.
Giả sử

0
( ) 0f x 󽞺
thì
0 0
( ) ( ) ( ), .f x f x f x x x R󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
Từ (29) suy ra f(x) > p) với mọi
x R󽟏
.
Đặt
ln ( ) ( )f x g x󽜾
( )
( ( ) )
g x
f x e󽜾
. Khi đó (29) có dạng
g(x+y) = g(x) + g(y),
, .x y R󽜣 󽟏
(30)
Vì f(x) giới nội trong
󽝜 󽝞
1,1󽜮
. Tương tự như Bài toán 13, từ (30) suy rằng
g(x) liên tục trong R và
( ) xg x α󽜾
, với
Rα 󽟏
tùy ý sao cho
ln cα 󽞤
Vậy
ax

( ) ( ln )f x e cα󽜾 󽞤
hoặc
( ) 0f x 󽞻
Kế t luậ n
+ Nếu
0 1c󽜽 󽞤
thì
( ) 0f x 󽞻
+ Nếu c > 1 thì
ax
( ) 0
( )
f x
f x e
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾
󽟬
với
Rα 󽟏
tùy ý sao cho
ln cα 󽞤
.
BÀI TẬP
1. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên
󽝜 󽝞
0,1
thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞

( ) ( ) ( ), , , 0,1f x y f x f y x y x y󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽜬 󽟏
.
2. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên
󽝜 󽝞
0,1
thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞
( ) ( ) ( ), , , 0,1f xy f x f y x y x y󽜾 󽜬 󽜣 󽜬 󽟏
.
3. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
(2 ) 2 ( ) ( ), , .f x y f x f y x y R󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
4. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) , , .f x f y f x y xy x y R󽜬 󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
5. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) sinx.sin , , .f x f y f x y y x y R󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
6. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
8
( ) ( ) ( ) ( ), , , .f xyz f x f y f z x y z R󽜾 󽜣 󽟏
7. Cho hàm số f:
R R󽞯
thỏa mãn các điều kiện
( ) , ( ) ( ) ( ), ,f x x f x y f x f y x y R󽞤 󽜬 󽞤 󽜬 󽜣 󽟏
Chứng minh rằng
( ) , .f x x x R󽞻 󽟏
8. Tồn tại hay không tồn tại một hàm f:
R R󽞯
thỏa mãn bất đẳng thức
2

( ( ) ( ) ( ) , , , .f x f y x y x y R x y󽜮 󽞤 󽜮 󽜣 󽟏 󽞺
II/ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH
Từ cặp số dương x, y chúng ta có thể lập vô số các đại lượng trung bình. Trong II/
này, chúng ta sẽ xét một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung
bình thường gặp trong chương trình toán học ở bậc phổ thông cơ sở như các đại lượng
trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa, trung bình bình phương. Những
đại lượng này được sắp xếp theo thứ tự sau:
󽝼 󽝾 󽝼 󽝾
2 2
2
min , ax , ,( , 0).
2 2
xy x y x y
x y xy m x y x y
x y
󽜬 󽜬
󽞤 󽞤 󽞤 󽞤 󽞤 󽜿
󽜬
(1)
Bài toán 1. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:
( ) ( )
,
2 2
x y f x f y
f x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹

Giải.
Đặt
( ) (0) ( )f x f g x󽜮 󽜾
, ta có g(x) liên tục trên R với g(0) = 0 và
( ) ( )
,
2 2
x y g x g y
g x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Lần lượt cho y = 0 và x = 0, thì
( )
,
2 2
x g x
g
󽟧 󽟷
󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
( )
, ,
2 2
y g y
g x y R
󽟧 󽟷

󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Do vậy
, , .
2 2 2
x y x y
g g g x y R
󽜬
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
Hay
( ) ( ) ( ), , .g x y g x g y x y R󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
Vì g(x) liên tục trên R, nên (i) là phương trình hàm Cauchy và do đó
g(x) = ax. Suy ra f(x) = ax + b (a,b
󽟏
R). Thử lại ta thấy nghiệm f(x) = ax+b
thỏa mãn (1).
Kết luận:
f(x) = ax+b,
,a b R󽟏
tùy ý.
Bài toán 2. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
9
( ) ( ), ,
2

x y
f f x f y x y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
. (2)
Giải.
Từ điều kiện (2) suy ra
( ) 0,f x x R󽞴 󽜣 󽟏
. Nếu tồn tại
0
x
để f(
0
x
) = 0 thì
0
0
( ) ( ) 0, ,
2
x y
f f x f y y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Tức là

( ) 0.f x 󽞻
Xét trường hợp f(x) > 0,
x R󽜣 󽟏
. Khi đó
2)
ln ( ) ln ( )
ln , , ,
2 2
x y f x f y
f x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Hay
( ) ( )
, , ,
2 2
x y g x g y
g x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Trong đó g(x) = lnf(x). Theo kết quả của bài toán 1 thì g(x) = ax + b.
Suy ra nghiệm của Bài toán 2 có dạng
ax
( ) , ,

b
f x e a b R
󽜬
󽜾 󽟏
tùy ý.
Kết luận:
ax
( ) 0
( )
b
f x
f x e
󽜬
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾
󽟬
a,b tùy ý thuộc R.
Bài toán 3.
Tìm hàm f:
R R
󽜬
󽞯
xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
2 ( ) ( )
, ,
2 ( ) ( )
x y f x f y
f x y R

f x f y
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽜬
󽟩 󽟹
(3)
Giải.
Theo giả thiết, ta có
(3)
2
, , ,
1 1
2
( ) ( )
x y
f x y R
f x f y
󽜬
󽟧 󽟷
󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽜬
hay
( ) ( )
, , ,
2 2
x y g x g y

g x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Trong đó
1
( )
( )
g x
f x
󽜾
. Theo bài toán 1 thì g(x) = ax +b.
Vì g(x) > 0 với mọi
x R󽟏
nên a = 0 và g(x) = b (b > 0) và f(x) =
1
b
,b > 0.
Kết luận:
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
10
1
( ) , 0f x b
b
󽞻 󽜿
tùy ý.
Bài toán 4. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
( ) ( )
, ,
2 2
f x f y
x y
f x y R
󽜬
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(4)
Giải. Từ giả thiết suy ra
( ) 0,f x x R󽞴 󽜣 󽟏
. Vì vậy
(4)
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
2
( ) ( )
( , , ,
2 2
f x f y
x y
f x y R
󽜬
󽟪 󽟺

󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟫 󽟻
󽟬 󽟼
hay
( ) ( )
, , ,
2 2
x y g x g y
g x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
với
󽝜 󽝞
2
( ) ( ) 0
g x f x󽜾 󽞴
Theo kết quả của Bài toán 1 thì g(x) = ax + b. Vì
( ) 0,g x x R󽞴 󽜣 󽟏
nên a =
0 và
0b 󽞴
. Suy ra
( ) , 0f x b b󽜾 󽞴
.
Kết luận:
( ) , 0f x b b󽜾 󽞴
tùy ý.

Bài toán 5. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên
R
󽜬
thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
( ) ( ), ,f xy f x f y x y R
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
(5)
Giải.
Từ điều kiện của Bài toán suy ra
( ) 0,f x x R
󽜬
󽞴 󽜣 󽟏
.
Nếu tồn tại
0
0x 󽜿
sao cho
0
( ) 0f x 󽜾
thì từ (5) suy ra
󽜩 󽜪
0 0
( ) ( ) 0,f x y f x f y y R
󽜬
󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
Trong trường hợp này
( ) 0.f x 󽞻
Nếu f(x) > 0,

x R
󽜬
󽜣 󽟏
thì đặt
, , ( ) ( ).
u v u
x e y e f e g u󽜾 󽜾 󽜾
Khi đó g(u) liên tục trên R và (5) có dạng:
( ) ( ), ,
2
u v
g g u g v u v R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo kết quả của bài toán 2, thì
( ) 0
,
( )
au b
g u
a b R
g u e
󽜬
󽞻
󽟪
󽟏
󽟫

󽜾
󽟬
tùy ý.
Vậy
ln
( ) 0
( ) , 0
a x b a
f x
f x e cx c
󽜬
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾 󽜾 󽞴
󽟬
Kết luận:
( ) 0
( ) ;
a
f x
f x cx a R
󽞻
󽟭
󽟮
󽜾 󽟏
󽟯
c > 0 tùy ý.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM

11
Bài toán 6. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên
R
󽜬
thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
( ) ( )
, ,
2
f x f y
f xy x y R
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
(6)
Giải.
Vì x > 0,y > 0 nên có thể đặt
,
u v
x e y e󽜾 󽜾
và
( ) ( )
u
f e g u󽜾
. Khi đó g(u) liên tục
trên R và (6) có dạng
( ) ( )
, ,
2 2
u v g u g v

g u v R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo kết quả của Bài toán 1, thì g(u) = au + b.
Kết luận:
F(x) = alnx + b, a,b
󽟏
R tùy ý.
Bài toán 7. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên
R
󽜬
thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
2
, ,
1 1
( ) ( )
f xy x y R
f x f y
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽜬
(7)
Giải.
Ta có
󽜩 󽜪
1 1

1
( ) ( )
, ,
2
f x f y
x y R
f xy
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
hay
󽜩 󽜪
( ) ( )
, ,
2
g x g y
g xy x y R
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
Trong đó
1
( )
( )
g x
f x
󽜾
. Theo kết quả của Bài toán 6 thì g(x) = a lnx + b.
Để f(x) liên tục trong
R

󽜬
thì
( ) 0g x 󽞺
với mọi
x R
󽜬
󽟏
. Điều đó tương đương
với a = 0, b
󽞺
0.
Kết luận:
󽝼 󽝾
( ) \ 0f x b R󽞻 󽟏
tùy ý.
Bài toán 8. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên
R
󽜬
thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
( ) ( )
. , ,
2
f x f y
f xy x y R
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏

(8)
Giải. Từ giả thiết suy ra
( ) 0,f x x R
󽜬
󽞴 󽜣 󽟏
Đặt
,
u v
x e y e󽜾 󽜾
.
2
( ) ( )
u
f e g u
󽟪 󽟺
󽜾
󽟬 󽟼
Khi đó
( ) 0,g u u R󽞴 󽜣 󽟏
và (8) có dạng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
12
( ) ( )
, ,
2 2
u v g u g v
g u v R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷

󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo kết quả của Bài toán 1, thì g(u) = au +b. Để
( ) 0,g u u R󽞴 󽜣 󽟏
phải
chọn a = 0 và
0b 󽞴
. Vậy
( ) , 0f x c c󽞻 󽞴
tùy ý.
Bài toán 9. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trong R\
󽝼 󽝾
0
thỏa mãn điều
kiện
2 2
, , , 0
1 1 1 1
( ) ( )
f x y x y
x y f x f y
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬 󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹

(9)
Giải.
Đặt
1 1
, ,
1
( ).
1
u v
x y
g u
f
u
󽜾 󽜾
󽜾
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Khi đó
( ) 0g u 󽞺
với mọi
0u 󽞺
và (9) có dạng
( ) ( )
, , , 0.
2 2
u v g u g v
g u v u v
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷

󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo kết quả của bài Bài toán 1, suy ra g(u) = au + b. Hàm
( ) 0, 0g u u󽞺 󽜣 󽞺
khi và chỉ khi
( ) , 0
( ) , 0.
g u au a
g u b b
󽜾 󽞺
󽟪
󽟫
󽜾 󽞺
󽟬
Vậy
( ) , 0,
1
( ) , 0.
x
f x a
a
f x b
b
󽟪
󽜾 󽞺
󽟫
󽟫
󽟫
󽜾 󽞺

󽟫
󽟬
Thử lại ta thấy các hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện của bài toán đã cho.
Kết luận:
( ) , 0
1
( ) , 0
x
f x a
a
f x b
b
󽟪
󽜾 󽞺
󽟫
󽟫
󽟫
󽜾 󽞺
󽟫
󽟬
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
13
Bài toán 10. Tìm các hàm f(x) xác định liên tục trên R\
󽝼 󽝾
0
và thỏa mãn điều
kiện
2 ( ) ( )
, , , 0

1 1
2
f x f y
f x y x y
x y
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(10)
Giải. Đặt
1 1 1
, , ( ).u v f g u
x y u
󽟧 󽟷
󽜾 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Khi đó g(u) liên tục trên R\
󽝼 󽝾
0
và (10) có dạng
( ) ( )
, , , 0
2 2

u v g u g v
g u v u v
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo Bài toán 1, thì g(u) = au + b. do đó
( )
a
f x b
x
󽜾 󽜬
.
Kết luận:
( ) ; ,
a
f x b a b R
x
󽜾 󽜬 󽟏
tùy ý.
Bài toán 11. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R\
󽝼 󽝾
0
thỏa mãn điều
kiện
2
( ) ( ), , ; 0
1 1
f f x f y x y x y

x y
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(11)
Giải. Từ điều kiện của bài toán, suy ra
( ) 0, 0f x x󽞴 󽜣 󽞺
. Nếu tồn tại
0
0x 󽞺
sao
cho
0
( ) 0f x 󽜾
thì
0 0
0
2
( ) ( ) 0, , 0.
1 1
f f x f y y x y
x y
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸

󽜾 󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Suy ra
( ) 0.f x 󽞻
Nếu f(x) > 0,
0x󽜣 󽞺
thì
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
14
(11)
2 ln ( ) ln ( )
ln , , ; 0
1 1
2
f x f y
f x y x y
x y
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟜 󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹

Hay
2 ( ) ( )
, , ; 0
1 1
2
g x g y
g x y x y
x y
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
với
( ) ln ( )g x f x󽜾
. Theo kết quả của Bài toán 10 thì
( )
a
g x b
x
󽜾 󽜬
. Do đó
/
( ) .
a x b
f x e

󽜬
󽜾
Kết luận:
/
( ) 0,
( ) ; , .
a x b
f x
f x e a b R
󽜬
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾 󽟏
󽟬
Bài toán 12. Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R\
󽝼 󽝾
0
và thỏa mãn
điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
( ) ( )
2
, , ; 0.
1 1
2
f x f y
f x y x y
x y

󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(12)
Giải.
Từ giả thiết suy ra
( ) 0, 0.f x x󽞴 󽜣 󽞺
Vậy
(12)
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2
2 2
( ) ( )
2
, , ; 0,
1 1
2
f x f y
f x y x y
x y
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷
󽟫 󽟻
󽟨 󽟸

󽜬
󽟫 󽟻
󽟨 󽟸
󽟜 󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟫 󽟻
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Hay
2 2
2
1 1
2
, , ; 0.
2
f f
u v
f u v u v
u v
󽟪 󽟺 󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻 󽟫 󽟻
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹

󽟬 󽟼 󽟬 󽟼
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽜬
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Từ đó suy ra
( ) ( )
, , ; 0,
2 2
u v g u g v
g u v u v
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Trong đó
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
15
2
1
( ) 0, 0.g u f u
u
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷
󽜾 󽞴 󽜣 󽞺
󽟨 󽟸

󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Theo Bài toán 1 thì g(u) = au + b và để
( ) 0g u 󽞴
với mọi
0u 󽞺
thì a = 0
và
0.b 󽞴
Vậy
( ) , 0.f x c c󽞻 󽞴
Kết luận:
( ) , 0f x c c󽞻 󽞴
tùy ý.
Bài toán 13. Tìm các hàm f(x)
󽞴
0 xác định, liên tục trên
R
󽜬
và thỏa mãn
điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
2 2
( ) ( )
, ,
2 2
f x f y
x y

f x y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
. (13)
Giải. theo giả thiết
( ) 0f x 󽞴
.x R
󽜬
󽜣 󽟏
Suy ra
(13)
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2
2 2
2 2
( ) ( )
, , .
2 2
f x f y
x y
f x y R
󽜬
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷

󽜬
󽜬
󽟫 󽟻
󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Hay
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
, , 0,
2 2
g u g v
u v
g u v
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜣 󽜿
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Trong đó
󽝜 󽝞
2
( ) ( ) 0, 0g u f u u󽜾 󽞴 󽜣 󽜿
Từ đó suy ra
( ) ( )
, , 0,

2 2
u v h u h v
h u v
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽜿
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
trong đó
( ) ( ).h u g u󽜾
Theo Bài toán 1 thì h(u) = au + b,
0,u󽜣 󽜿
Do đó
2
( ) axg x b󽜾 󽜬
. Để
( ) 0, 0g x x󽞴 󽜣 󽜿
cần phải chọn a
󽞴
0 và b
󽞴
0.
Kết luận:
2
( ) axf x b󽜾 󽜬
với a,b
󽞴
0 tùy ý.
Bài toán 14. Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện
2 2

( ) ( )
, , .
2 2
x y f x f y
f x y R
󽟧 󽟷
󽜬 󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(14)
Giải.
Từ giả thiết, ta có
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
16
󽜩 󽜪
( ) , .f x f x x R󽜾 󽜣 󽟏
Đặt
,x u y v󽜾 󽜾
(u,v
󽞴
0). Khi đó
(14)
( ) ( )
, , 0.
2 2
u v f u f v
f u v

󽟧 󽟷
󽜬 󽜬
󽟜 󽜾 󽜣 󽞴
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Đặt
󽜩 󽜪
( ), 0,f u g u u󽜾 󽞴
Ta được
( ) ( )
, , 0.
2 2
u v g u g v
g u v
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽞴
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo Bài toán 1 thì g(u) = au + b. Do đó
( )f u au b󽜾 󽜬
và
2
( )f u au b󽜾 󽜬
với mọi u
󽞴
0.
Suy ra
󽜩 󽜪

2
( ) ax , , .f x f x b a b R󽜾 󽜾 󽜬 󽟏
Thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện của bài toán đặt ra khi
a
󽞴
0, b
󽞴
0.
Kết luận:
2
( ) ax ; ,f x b a b R󽜾 󽜬 󽟏
tùy ý.
Bài toán 15.
Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn các điều kiện
2 2
( ) ( ), , .
2
x y
f f x f y x y R
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(15)
Giải.
Từ giả thiết suy ra
( ) 0, 0.f x x󽞴 󽜣 󽞴
Nếu tồn tại

0
x
sao cho f(
0
x
) = 0 thì
2 2
0
0
( ) ( ) 0, ,
2
x y
f f x f y y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
nên
0
( ) 0, .
2
x
f x x󽞻 󽜣 󽞴
Đổi vai trò
0
x
bằng

0
2
x
và sử dụng phương pháp quy nạp, ta được
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
17
󽜩 󽜪
0
0, .
2
n
x
f n N
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Vì f(x) liên tục tại x = 0 nên
󽜩 󽜪
0
lim (0) 0.
2
n
n
x
f f
󽞯󽞦

󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Do đó
2
0
( ) (0) 0, 0.
2
2
x
x
f f f x f x
󽟧 󽟷
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜾 󽜾 󽜣 󽞴
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽟩 󽟹
Vậy
( ) 0, 0f x x󽞻 󽜣 󽞴
. Mặt khác, cũng từ (15), ta có
󽜩 󽜪
󽝜 󽝞
2 2

2
( ) ( ) ,
2
x x
f f x f x f x
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Nên
( ) 0, .f x x R󽞻 󽜣 󽟏
Giả sử
( ) 0, .f x x R󽞺 󽜣 󽟏
Nếu
1
x󽜥
để
1
( ) 0f x 󽜽
thì theo (15) ta có
2 2
1
1
( ) ( ),
2
x y
f f x f y y R
󽟧 󽟷

󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
dẫn đến f(y) < 0
y R󽜣 󽟏
, trái với giả thiết. Do đó f(x) > 0,
x R󽜣 󽟏
và
(15)
2 2
ln ( ) ln ( )
ln , , .
2 2
x y f x f y
f x y R
󽟧 󽟷
󽜬 󽜬
󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Đặt lnf(x) = g(x). Khi đó g(x) liên tục trên R và
2 2
( ) ( )
, , .
2 2
x y g x g y
g x y R

󽟧 󽟷
󽜬 󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo Bài toán 14 thì
2
( )g u au b󽜾 󽜬
với mọi
u R󽟏
.
Vậy
2
ax
( )
b
f x e
󽜬
󽜾
và thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện của bài toán đặt ra
Kết luận:
2
ax
( ) 0
( )
b
f x
f x e
󽜬

󽞻
󽟪
󽟫
󽜾
󽟬
;
,a b R󽟏
tùy ý.
Bài toán 16. Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
18
2 2
2
, , .
1 1
2
( ) ( )
x y
f x y R
f x f y
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽜬
(16)
Giải.

Từ giả thiết suy ra
( ) 0,f x x R󽞺 󽜣 󽟏
. Khi đó
(16)
2 2
1 1
1
( ) ( )
, ,
2
2
f x f y
x y R
x y
f
󽜬
󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟧 󽟷
󽜬
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Đặt
1
( ) , ,
( )
g x x R
f x
󽜾 󽜣 󽟏
Ta có

( ) 0,g x x R󽞺 󽜣 󽟏
, g(x) liên tục trên R và
2 2
( ) ( )
, , .
2 2
x y g x g y
g x y R
󽟧 󽟷
󽜬 󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo bài toán 14 thì
2
( ) ax , .g x b x R󽜾 󽜣 󽟏
Để
( ) 0,g x x R󽞺 󽜣 󽟏
thì
0ab 󽞴
và
0b 󽞺
. Vậy
2
1
( )
ax
f x
b

󽜾
󽜬
với
, : 0, 0.a b R ab b󽟏 󽞴 󽞺
Thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện của bài toán đặt ra.
Kết luận:
2
1
( )
ax
f x
b
󽜾
󽜬
, với
0, 0ab b󽞴 󽞺
tùy ý.
Nhận xét. Nếu trong các Bài toán 1-16, điều kiện f(x) liên tục được thay bằng điều
kiện f(x) khả vi thì lời giải của các bài toán đó sẽ ngắn gọn hơn nhiều.
Bài toán 17. Tìm các hàm f(x) xác định, khả vi trên R và thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
, , .
2 2
x y f x f y
f x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹

(17)
Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (17) theo x và y, ta có
1 '( )
' , ,
2 2 2
1 '( )
' , .
2 2 2
x y f x
f x R
x y f y
f y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Suy ra
'( ) '( ), ,f x f y x y R󽜾 󽜣 󽟏
, nghĩa là
'( ) onsf x c t󽜾
. Do đó f(x) = ax + b
và hàm này rõ ràng thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM

19
Kết luận:
( ) ax ; ,f x b a b R󽜾 󽜬 󽟏
tuỳ ý.
Bài toán 18.
Tìm các hàm f(x) xác định, khả vi trong
R
󽜬
và thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
( ) ( ), ,f xy f x f y x y R
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
. (18)
Giải. Từ (18) ta có
( ) 0,f x x R
󽜬
󽞴 󽜣 󽟏
. Ta thấy, nếu tồn tại
0
x R
󽜬
󽟏
sao cho
0
( ) 0f x 󽜾
,
thì từ (18) suy ra
( ) 0f x 󽞻
. Giả thiết rằng f(x) > 0

x R
󽜬
󽜣 󽟏
. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế
của (18) theo x và y, ta có
󽜩 󽜪
'( ) ( )
' , ,
2 2 ( ) ( )
y f x f y
f xy x y R
xy f x f y
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
,
󽜩 󽜪
'( ) ( )
' , ,
2 2 ( ) ( )
x f y f x
f xy x y R
xy f x f y
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
.
(Chú ý:
󽜩 󽜪
'f xy
là giá trị
'( )f t

tại
t xy󽜾
.)
Từ đó suy ra
'( ) yf '( )
, , 0,
( ) ( )
xf x y
x y
f x f y
󽜾 󽜣 󽜿
Và vì vậy
'( )
, 0,
( )
f x a
x
f x x
󽜾 󽜣 󽜿
Trong đó
a
là hằng số bất kì. Do đó
ln
( ) ; 0,
a x b a
f x e cx c a R
󽜬
󽜾 󽜾 󽜿 󽟏
tùy ý.
Từ

( ) 0f x 󽞴
suy ra
( ) , 0.
a
f x cx c󽜾 󽜿
Vậy
( ) 0
( ) , 0, .
a
f x
f x cx c a R
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾 󽜿 󽟏
󽟬
Và các hàm này rõ ràng thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Kết luận:
( ) 0
( ) , 0, .
a
f x
f x cx c a R
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾 󽜿 󽟏
󽟬
Bài toán 19.
Tìm các hàm

( ) 0f x 󽞴
xác định, khả vi trên
R
󽜬
và thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
2 2
( ) ( )
, ,
2 2
f x f y
x y
f x y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(19)
Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (19) theo x và y, ta có
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
20
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
2 2 2 2

2 '( ) ( )
' , , ,
2
( ) ( )
2
2
2
2
x x y f x f x
f x y R
x y
f x f y
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽜬
󽜬
󽟩 󽟹
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
2 2 2 2
2 '( ) ( )
' , , .
2
( ) ( )
2
2

2
2
y x y f y f y
f x y R
x y
f x f y
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽜬
󽜬
󽟩 󽟹
(Chú ý:
2 2
'
2
x y
f
󽟧 󽟷
󽜬
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
là giá trị
'( )f t
tại
2 2

2
x y
t
󽜬
󽜾
).
Suy ra
'( ) ( ) '( ) ( )
, ,
f x f x f y f y
x y R
x y
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
.
Do đó f’(x)f(x) = ax và vì thế
2
( ) ax , , 0,f x b a b x R
󽜬
󽜾 󽜬 󽜣 󽞴 󽟏
và hàm này
rõ ràng thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Kết luận:
2
( ) ax , , 0f x b a b󽜾 󽜬 󽞴
bất kỳ,
x R
󽜬
󽜣 󽟏
BÀI TẬP

1. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( )
, , , .
3 3
x y z f x f y f z
f x y z R
󽜬 󽜬 󽜬 󽜾
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
2. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
1 2 1 2
( ) ( ), , .
3 3 3 3
f x y f x f y x y R
󽟧 󽟷
󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
3. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
1 2
3 3
1 2
( ) ( ) , , .
3 3
f x y f x f y x y R
󽟧 󽟷
󽜬 󽜾 󽜣 󽟏

󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
4. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
1 2
1 2
3 3
3 3
( ) ( ) , , .f x y f x f y x y R
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
5. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên
󽝼 󽝾
\ 0R
thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
3 3 3
3
( ) ( ) ( )
3
, , , .
1 1 1
3
f x f y f z
f x y z R
x y z
󽜬
󽟧 󽟷

󽟨 󽟸
󽜬 󽜬
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽜬 󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
7. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
21
󽜩 󽜪
( ) ( ) ( ), , , 0.x y f xy f x f y x y R x y󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 󽜬 󽞺
8. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
( ) yf ( ) ( ) ( )( ), , , 0.xf y x f x f y x y x y R x y󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 󽜬 󽞺
9. Chứng minh rằng mọi hàm f:
R R󽞯
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) ( ), ,f xy x y f xy f x f y x y R󽜬 󽜬 󽞻 󽜬 󽜬 󽜣 󽟏
Khi và chỉ chi
( ) ( ) ( ); , .f x y f x f y x y R󽜬 󽞻 󽜬 󽟏
III/ HÀM SỐ SINH BỞI CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁC, HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
Trong Bài 1, V, chúng ta đã liệt kê các đặc trưng hàm của các hàm số
lượng giác, lượng giác ngược và của các hàm hyperbolic. Chẳng hạn, đối với
hàm f(x) = cos x, ta có đặc trưng hàm dạng
( ) ( ) 2 ( ) ( ), , .f x y f x y f x f y x y R󽜬 󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
(0)
Trong III/ này sẽ khảo sát các bài toán ngược, tức là xét bài toán xác

định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện dạng (0).
Bài toán 1. Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn điều
kiện
0 0
( ) ( ) 2 ( ) ( ), , ,
(0) 1, : ( ) 1.
f x y f x y f x f y x y R
f x R f x
󽜬 󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
󽟭
󽟰
󽟮
󽜾 󽜥 󽟏 󽜽
󽟰
󽟯
(1)
Giải.
Vì f(0) = 1 và f(x) liên tục trên R nên
0ε󽜥 󽜿
sao cho f(x) > 0,
󽜩 󽜪
,x ε ε󽜣 󽟏 󽜮
(2)
Khi đó theo (2) với
0
n N󽟏
đủ lớn thì
0
0
0.

2
n
x
f
󽟧 󽟷
󽜿
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Nhận xét rằng:
0
1,
2
n
x
f n
󽟧 󽟷
󽜽 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦
Thật vậy, nếu
0
1
2
n
x
f
󽟭 󽟽
󽞴
󽟮 󽟾

󽟯 󽟿
với n nguyên dương nào đó thì theo (1), ta có
2
0 0
1
2 1 1
2 2
n n
x x
f f
󽜮
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞴
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
2
0 0
2 1
2 1 1
2 2
n n
x x
f
󽜮 󽜮
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞴

󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
󽜩 󽜪
2
0
0
2 1 1
2
x
f x f
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞴
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
22
trái với giả thiết
󽜩 󽜪
0
1.f x 󽜽
Vậy tồn tại
1
0x 󽞺
sao cho

󽜩 󽜪
1
0 1
f x󽜽 󽜽
và
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1 1
0, ,
f x x x x󽜿 󽜣 󽟏 󽜮
(chỉ cần
chọn
0
0
1
2
n
x
x 󽜾
). Đặt
󽜩 󽜪
1
cos ,0
2
f x
π
α α󽜾 󽜽 󽜽
Từ (1) suy ra
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
2

2
1 1
2 2 1 2cos 1 cos2f x f x α α󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜾
󽟪 󽟺
󽟬 󽟼
Giả sử
󽜩 󽜪
1
cos , 1,2, ,
f kx k k nα
󽜬
󽜾 󽜣 󽜾 󽟏󽞦
. Khi đó
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1 1 1
1
f n x f nx x󽜬 󽜾 󽜬
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1 1 1
2 1
2cos cos 1
cos 1
f nx f x f n x
n c n
n

α α α
α
󽜾 󽜮 󽜮
󽜾 󽜮 󽜮
󽜾 󽜬
Từ đó suy ra
󽜩 󽜪
1
cos ,
f mx ma m
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏󽞦
. Mặt khác, đổi vai trò của x và y trong
(1), ta có
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
, ,f x y f y x x y󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 󽞢
. Do đó
󽜩 󽜪
f x
là hàm chẵn trên
󽞢
và như
vậy
󽜩 󽜪
1
cos ,
f mx ma m󽜾 󽜣 󽟏󽞣
.
Cho
1

2
x
x y󽜾 󽜾
, từ (1) ta nhận được
󽜩 󽜪
2
1
2
1
1
1 cos
cos
2 2 2 2
f x
x
f
α α
󽜬
󽟪 󽟺
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Do vậy
1
cos
2 2

x
f
α
󽟧 󽟷
󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Giả sử
1
cos , 1,2, ,
2 2
k k
x
f k n
α
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽜾 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦
Khi đó cho
1
1
2
k
x
x y
󽜬
󽜾 󽜾

, từ (1) ta thu được
2
2
1 1
1 1
1 cos
1
2
cos
2 2 2 2 2
n
n n n
x x
f f
α
α
󽜬 󽜬
󽜬
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜬 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Do vậy
1
cos ,
2 2
n n

x
f n
α
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦
(4)
(3) và (4) cho ta
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
23
1
cos , ,
2 2
n n
mx
m
f n m
α
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦 󽞣
(5)
Vì
󽜩 󽜪

f x
và
cos x
là các hàm liên tục trên
󽞢
nên
(5)
󽜩 󽜪
1
cosf x t tα󽟜 󽜾
󽜩 󽜪
cosf x ax󽟜 󽜾
, với
1
, .a x
x
α
󽜾 󽜣 󽟏 󽞢
Thử lại ta thấy
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
cos 0f x ax a󽜾 󽞺
thỏa mãn các điều kiện của bài toán
Kết luận:
󽜩 󽜪
cos ,f x ax a󽜾 󽟏󽞢
\
󽝼 󽝾
0
tùy ý.
Bài toán 2. Tìm các hàm

󽜩 󽜪
f x
xác định, liên tục trên
󽞢
và thỏa mãn các điều
kiện
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
0 0
2 , ,
0 1, : 1
f x y f x y f x f y x y
f x f x
󽜬 󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
󽟭
󽟰
󽟮
󽜾 󽜥 󽟏 󽜿
󽟰
󽟯
󽞢
󽞢
(6)
Giải: vì
󽜩 󽜪
0
1
f x 󽜾
và
󽜩 󽜪

f x
liên tục tại x = 0 nên
0ε󽜥 󽜿
sao cho
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
0, ,f x x ε ε󽜿 󽜣 󽟏 󽜮
(7)
Khi đó theo (7) với
0
n 󽟏󽞦
đủ lớn thì
0
0
0
2
n
x
f
󽟧 󽟷
󽜿
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Nhận xét rằng
0
1,
2
n
x
f n
󽟧 󽟷

󽜿 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦
.
Thật vậy, nếu tồn tại
n
󽜬
󽟏 󽞦
sao cho
0
1
2
n
x
f
󽟧 󽟷
󽞤
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
thì theo (6) ta có
󽜩 󽜪
2
0 0
1
2
0 0
2 1
2
0

0
2 1 1,
2 2
2 1 1
2 2

2 1 1,
2
n n
n n
x x
f f
x x
f f
x
f x f
󽜮
󽜮 󽜮
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞤
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞤
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻

󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞤
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
trái với giả thiết
󽜩 󽜪
0
1
f x 󽜿
.
Do đó tồn tại
1
0x 󽞺
sao cho
󽜩 󽜪
1
1
f x 󽜿
và
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
0, ,f x x x x󽜿 󽜣 󽟏 󽜮
(chỉ cần chọn
0
0

1
2
n
x
x 󽜾
).
Đặt
󽜩 󽜪
1
,0
f x chα α󽜾 󽜽
. Từ (6) suy ra
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
24
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
2
2
1 1
2 2 1 2 1 2 .f x f x ch chα α󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜾
󽟪 󽟺
󽟬 󽟼
Giả sử
󽜩 󽜪
1
, 1,2, ,
f kx chk k mα
󽜬
󽜾 󽜣 󽜾 󽟏󽞦
. Khi đó

󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1 1 1
1
f m x f mx x󽜬 󽜾 󽜬
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1 1 1
2 1
f mx f x f m x󽜾 󽜮 󽜮
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
2 1
1
chm ch ch m
ch m
α α α
α
󽜾 󽜮 󽜮
󽜾 󽜬
Vậy
󽜩 󽜪
1
,
f mx chm mα
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏󽞦
. Mặt khác, đổi vai trò x và y trong (6), ta có
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪

, ,f x y f y x x y󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 󽞢
. Vậy
󽜩 󽜪
f x
là hàm chẵn trên
󽞢
và do đó
󽜩 󽜪
1
,f mx chm mα󽜾 󽜣 󽟏󽞣
. (8)
Cho
1
2
x
x y󽜾 󽜾
, từ (6) ta nhận được
󽜩 󽜪
2
1
2
1
1
1
2 2 2 2
f x
x
ch
f ch
α α

󽜬
󽟪 󽟺
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Do vậy
1
2 2
x
f ch
α
󽟧 󽟷
󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Giả sử
1
, 1,2, ,
2 2
k k
x
f ch k n
α
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽜾 󽟏

󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦
Khi đó cho
1
1
2
n
x
x y
󽜬
󽜾 󽜾
, từ (6) ta thu được
2
1 1
1
1
1
2 2 2
n n
x x
f f
󽜬
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜬
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼

2
1
1
2
2 2
n
n
ch
ch
α
α
󽜬
󽜬
󽜾 󽜾
Do vậy
1
,
2 2
n n
x
f ch n
α
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦
(9)
(8) và (9) cho ta
1

, ,
2 2
n n
mx
m
f ch n m
α
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦 󽞣
. (10)
Vì
󽜩 󽜪
f x
và
chx
là các hàm liên tục trên
󽞢
nên
(10)
󽜩 󽜪
1
,
f x t ch tα󽟜 󽜾
󽜩 󽜪
,f x chax󽟜 󽜾
với

1
, .
a
a x
x
󽜾 󽜣 󽟏 󽞢
Thử lại ta thấy
󽜩 󽜪
f x chax󽜾
󽜩 󽜪
0a 󽞺
rõ ràng thỏa mãn các điều kiện của bài
toán.
Kết luận:
󽜩 󽜪
,f x chax a󽜾 󽟏󽞢
\
󽝼 󽝾
0
bất kỳ.
Bài toán 3. Cho
0b 󽜿
. Tìm các hàm
󽜩 󽜪
f x 󽞻 0
xác định, liên tục trong
󽜩 󽜪
󽝼 󽝾
2 : , , 0, 1, 2, D x bk x b b k󽜾 󽜬 󽟏 󽜮 󽜾 󽞲 󽞲
VINAMATH.COM

VINAMATH.COM
25