Giáo trình -Thiên văn học đại cương doc

PHẦN A

THIÊN VĂN
(Astronomy)

Chương I:
HỆ MẶT TRỜI (CẤU TRÚC VÀ CHUYỂN ĐỘNG)


I. QUAN NIỆM CŨ VỀ HỆ MẶT TRỜI: HỆ ĐỊA TÂM.
1. Quan niệm của Aristotle về vũ trụ (384(322 TCN).
Aristotle là mt nhà trit hc v i thi c. Nhng t tng ca ông có nh hng sâu
sc n nhiu th h. Mc dù  thi ông ngi ta không s dng toán hc và tin hành thí
nghim nhng ông vn c coi là cha  ca vt lý vi tác phm “Vt lý hc”. Theo ông
v tr c cu thành bi 4 yu t
 c bn là: t, nc, không khí và la. Mi nguyên t
u có v trí t nhiên trong v tr. V trí t nhiên ca t là a cu, trung tâm bt ng ca
v tr (Qua quan sát nguyt thc thi này ngi ta ã bit Trái t không phi là da bt
mà có hình cu). V trí t nhiên ca nc là phn khi cu bao bc ngoài a cu. V trí t
nhiên ca không khí và la là hai ph
n khi cu bc ngoài. Mt cu ngoài cùng là gii hn
v trí ca la, có gn các sao bt ng, ó là gii hn ca v tr. Mi nguyên t khi b
cng bc ri khi v trí t nhiên u có xu hng tr v v trí t nhiên c. Th gii t
Mt trng tr lên là ca tri, là th gii linh thiêng. Chuyn ng t nhiên c
a các thiên
th  ây là chuyn ng tròn, vì ng tròn là hoàn thin nht. Th gii di Mt trng
là th gii trn tc nên chuyn ng là ng thng, mt ng không hoàn thin. Tt c
các thiên th u có dng hình cu ( mt hình dng hoàn thin. V tr ã tn ti và s tn
ti mãi, vnh hng, bt bin. Theo ông thì không có chân không và vt nng r

i t do nhanh
hn vt nh.
Nh vy t các truyn thuyt s khai v v tr n Aristotle v tr ã có tâm là Trái t
vi các nh lut c hc c hiu mt cách trc quan, thiu chính xác.


Hình 3: Hệ địa tâm Aristotle





2. Hệ địa tâm của Ptolemy.
Ti th k III TCN Thiên vn bt u tách thành mt khoa hc riêng bit. Các nhà
Thiên vn ã thc hin các quan sát v chuyn ng ca các hành tinh (Xem li phn nhp
môn) . H a ra lý thuyt v ni lun, ngoi lun và tâm sai. Ptolemy (87(165) ã hoàn
chnh các lý thuyt ó và xây dng mt mô hình v tr gm Mt tri, Mt trng, các hành
tinh: Thy, Kim, Ha, Mc, Th
và Trái t theo trt t sau (trong tác phm “Almagest”):
- Trái t nm yên  trung tâm v tr.
- Gii hn ca v tr là mt vòm cu trên có gn các sao. Vòm cu này quay u quanh
mt trc xuyên qua Trái t.
- Mt trng, Mt tri chuyn ng u quanh Trái t cùng chiu vi chiu quay ca
vòm cu nhng vi chu k khác nhau nên chúng dch chuyn i vi các sao.
- Các hành tinh chuyn ng u theo nhng vòng tròn nh (Epicycle: N
i lun); tâm
ca vòng tròn nh này chuyn ng theo các vòng tròn ln (deferent: ngoi lun) quanh
Trái t. Có th tâm ca vòng tròn ln lch khi Trái t ( nó có tâm sai (eccentric).
- Trái t, Mt tri, tâm vòng tròn nh ca Kim tinh, Thy tinh luôn nm trên mt
ng thng.

Nh vy mô hình v tr a tâm ca Ptolemy tha mãn cho vic gii thích chuyn ng
nhìn thy ca thiên th trên thiên cu. ng thi nó phù hp vi kinh thánh v s sáng to
ra th gii ca Chúa trong 6 ngày, vi Trái t là trung tâm. Vì vy thuyt a tâm Ptolemy
c giáo hi tán ng và tn ti c ngàn nm.



Hình 4 : Hệ địa tâm Ptolemy
Theo quan im c hc v s tng i ca chuyn ng ta có th chn vt bt k làm
mc ta , cho nó ng yên và so sánh s chuyn ng ca vt khác i vi nó. Nu ta
chn úng thì vic tính toán, quan sát c d dàng.  ây Ptolemy ã gn tâm ca h vi
Trái t. ó là mt vic làm không khôn ngoan nu không nói là sai l
m, vì nó a n
nhng tính toán phc tp, ri rm. Các tu s ã tng phi tht lên khi hc nó: “Ti sao
Chúa li sáng to ra mt mô hình phin toái n th”.









II. HỆ NHẬT TÂM COPERNICUS ( CUỘC CÁCH MẠNG LỚN TRONG THIÊN VĂN
).
Mc dù có nhiu phin toái nhng do c Giáo hi ng h, mô hình H a tâm
Ptolemy vn tn ti nhiu th k. Nó ã khin khoa hc dm chân ti ch. Nhiu nhà khoa
hc ã nghi ng v tính xác thc ca nó. Nhng trc th lc Nhà th cha ai dám nêu ra
mt gi thuyt khác. Mãi n thi i Phc hng, vào th k 16 Nicolaus Copernicus, mt

nhà khoa hc BaLan, mi d
ng cm vch ra chân lý. Tuy vy, trong nhng nm dài ca
cuc i, ông vn phc v nhà th vi vi cng v th ký và bác s, trong s che ch ca
ông bác là giáo ch. Ông ã tham gia nhiu hot ng xã hi, ã i xut dng du lch hc
hi nhiu. Nhng vn yêu thích thiên vn và toán hc, ông ã mit mài nghiên cu bu tri
trong nhng iu ki
n ht sc khó khn và bng nhng dng c thô s ông vn thu c
nhng kt qu khá chính xác. Ch n nhng ngày cui i ông mi dám công b kt qu
nghiên cu ca mình trong cun sách “De Revolutionibus orbis um coeleftium” (V s
quay ca Thiên cu)  tránh s tr thù ca giáo hi. H Nht tâm Copernicus ra i m
u cho cuc cách mng trong nhn thc ca con ngi v v tr. M
c dù vn phi dùng
các khái nim ni lun, ngoi lun, tâm sai nh Ptolemy nhng Copernicus ã có khái
nim v tính tng i ca chuyn ng. Ông ã nhn thy vic Trái t quay quanh Mt
tri là cái có tht, vic Trái t ng yên ch là o nh. Ông ch rõ:
- Mt tri là trung tâm ca v tr.
- Các hành tinh (Thy, Kim, Trái t, Ha, Mc, Th) chuyn ng u quanh Mt tri
theo q
i o tròn, cùng chiu và gn nh  trong cùng mt mt phng. Càng  xa Mt tri
chu k chuyn ng ca hành tinh càng ln.
- Trái t cng là mt hành tinh chuyn ng quanh Mt tri, ng thi t quay quanh
mt trc xuyên tâm.
- Mt trng chuyn ng tròn quanh Trái t (V tinh ca Trái t).
- Thy tinh, Kim tinh  gn Mt tri hn Trái t (có qu o chuyn ng bé h
n) Ha
tinh, Mc tinh, Th tinh có qi o ln hn ( xa Mt tri hn).
Vy cu trúc ca h là gm Mt tri  tâm và các hành tinh theo th t xa dn là: Thy,
Kim, Trái t, Ha, Mc, Th.
-  mt khong rt xa là mt cu có cha các sao bt ng.

Hình 5 : Hệ Nhật tâm Copernicus
- Mc dù còn nhiu im thiu chính xác cn phi hoàn thin Copernicus ã a ra mt
mô hình úng n v h Mt tri. Cho n nay ngi ta ã hoàn toàn công nhn nó. Nhng
cuc u tranh  khng nh chân lý này ã phi kéo dài hàng chc nm vi s dng cm
hy sinh ca nhiu nhà khoa hc thi by gi.





III. KEPLER VÀ SỰ HỒN THIỆN HỆ NHẬT TÂM.

Sau Copernicus là thi k tranh lun d di v v trí ca Trái t và Mt tri. Tycho
Brahe, mt nhà Thiên vn giàu có x an mch ã b gn 30 nm tri quan sát và ghi chép
rt k v chuyn ng ca các hành tinh, hy vng ó s là c s kim tra lý thuyt. Ơng
cht i  li tồn b s liu cho cng s ca mình là Kepler, mt nhà thiên vn và tốn
hc c x
 lý. Qua nhiu ln tính tốn, th i th li, Kepler thy nu coi hành tinh
chuyn ng u trên qi o tròn thì s khơng khp vi s liu. Ơng cho là s liu khơng
th sai c, mà h nht tâm Copernicus là cha chính xác. Ơng ã b sung bng 3 nh
lut sau:
* Định luật 1: Định luật về qũi đạo: Các hành tinh chuyển động trên qũi đạo hình
elip với Mặt trời ở tại mộ
t tiêu điểm.
- Khi hành tinh chuyn ng theo ng tròn thì nó ln cách u tâm (Mt tri).
Nhng nu nó chuyn ng theo hình elip vi Mt tri  ti mt tiêu im thì có lúc nó 
gn Mt tri, có lúc nó  xa. im gn nht gi là im cn nht (Perihelion: P), im xa
nht gi là vin nht (Aphelion: A). Khong cách trung bình t Trái t n Mt tri c
g
i là mt n v thiên vn (1AU150.000.000km).

 sai khác gia ng tròn và elip c xác nh bi tâm sai e. Qi o chuyn ng
ca các hành tinh có tâm sai tng i nh nên có th coi là tròn.
Xét biu thc tốn hc ca nh lut này:








Hình 6: Elip
0 : tâm elip
F, F’ : tiêu im, Mt tri ti F
H : hành tinh
r : bán kính vect ca hành tinh trong h ta  cc tâm F
 : góc xác nh v trí H trong h ta  c
c tâm F
0A = a = bán trc ln
0B = b = bán trc nh
A : im vin nht; P : im cn nht
Tâm sai e =
22
'FO F O a b
aa a
−
==

rc = khong gn nht = a (1(e)
rv = khong xa nht = a (1+ e)

p = thơng s tiêu = FT =
2
b
a
= a(1-
2
e
); (FT
⊥
AP)
+ Cách vẽ Elip trên giấy:
Ti tâm 0 v 2 ng tròn bán kính a và b

BA
bnhỏtrụcBánB
alớntrụcBánA
00
0
0
⊥
⎭
⎬
⎫
==
==

k xyo bt k ct ng tròn nh ti R, ln ti Q, t R k rr’//0A, t Q k qq’/0B
2 ng này ct nhau ti mt im. ó là mt im ca lip. C th xác nh các im
khác.
B

A
F’
0F
P
T
H
r
ϕ

T B quay mt cung bán kính bng 0A ct 0a ti F và F’ là hai tiêu im ca elip.

Hình 6’
+ Cách v trên bng: Elip có tính cht là tng khong cách t mt im bt k trên elip
n 2 tiêu là không i nên có th áp dng  v hình: Ti 2 tiêu óng 2 inh. Ct mt si
dây c nh vào 2 im ó. Lun phn theo dây và quay s to thành elip (hình 6’)
Biu thc toàn hc ca nh lut 1 là phng trình ng elip trong h ta  cc:
p
r
1ecos
=
+
ϕ

* Định luật 2: Định luật về tốc độ diện tích
Đường nối giữa một hành tinh với Mặt trời (bán kính vectơ của hành tinh) quét những
diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Hay : Tốc độ diện tích mà
bán kính vectơ của hành tinh quét được là một hằng số.
Din tích mà bán kính vect r quét trong khong thi gian (t rt gn vi din tích ca
tam giác FTT’ có áy là TT’, ng cao FT’. Din tích ó là bng : 

∆ϕ=
2
2
1
r










Hình 7
 : Góc mà bán kính vect quét c trong quãng thi gian t. Khi t càng nh thì
din tích tam giác càng gn vi din tích mà bán kính vect quét. Ta có :ds =
1
2
2
r d
Tc  din tích là :

d
t
d
r
d
t

dS
ϕ
=
2
2
1

Biu thc toán hc ca nh lut 2 là:
Cconst
dt
d
r ==
ϕ
2


Hình 8

r∆ϕ
T
∆
ϕ
F
r
T’

- Theo nh lut này thì hành tinh s không chuyn ng u trên qi o. Trên hình ta
thy din tích FH
1
H

2
= FH
3
H
4
. Do ó cung H
1
H
2
〉 H
3
H
4
, hay vn tc ca hành tinh  cn
im ln hn  vin im (vi cùng t). Nu gi v là vn tc chuyn ng tròn ca hành
tinh, vc: vn tc ti cn im; vv: vn tc ti vin im thì:
e
e
vv
e
e
vv
v
c
+
−
=
−
+
=

1
1
1
1

Vi Trái t v  29,8 km/s
- Sau mt chu k chuyn ng T hành tinh s quét c toàn b elip, tc din tích elip
là ab. Vy hng s C s là
2 ab
T
π
.
* Định luật 3 : Định luật về chu kỳ
Bình phương chu kỳ chuyển động của hành tinh tỷ lệ với lập phương bán trục lớn qũi
đạo của nó.
Gi s vi hành tinh 1 ta có :

3
1
2
1
a~T


Vi hành tinh 2 là :

3
2
2
2

a~T
Vi hành tinh 3 thì

2
3
T ~
3
3
a (vi a : bán trc ln; T : chu k)
thì ta có t l sau :

const
K
a
T
a
T
a
T
=
=
=
=
3
3
2
3
3
2
2

2
3
1
2
1

Trong ó K là hng s, hay h s t l.
Nu ly bán trc ln qua n v thiên vn (AU), ly chu k bng chu k chuyn ng
ca Trái t quanh Mt tri (T = 1 nm) thì K = 1
Khi ó T
2
= a
3

- Nh vy hành tinh  càng xa Mt tri (a ln) thì càng chuyn ng chm (T ln).
- Trong công thc này không có tâm sai nên dù hành tinh có qu o dt th nào i na,
ch cn bán trc ln không i thì chu k chuyn ng ca nó cng không i.
Nhn xét: Nh vy Kepler ã hiu chnh qi o chuyn ng ca các hành tinh quanh
Mt tri mt cách khá úng n. Tuy nhiên, cng nh Copernicus ông không gii thích

c nguyên nhân ca chuyn ng. iu này phi i n Newton. Nhng trc tiên phi
im qua công lao to ln ca Galileo i vi thiên vn và c hc nói chung.

IV. GALILEO VÀ KỶ NGUYÊN MỚI TRONG THIÊN VĂN.

Không th không nhc ti Galileo trong giáo trình thiên vn c. Vì chính ông là
ngi góp công u cho vic xây dng nn thiên vn hin i. Ông là ngi u tiên trong
lch s bit s dng các dng c quang hc vào vic quan sát bu tri. Nh s phóng
i ca nó mà tm nhìn ca con ngi c nâng lên rt nhiu. ó là ngày 7(01(1610,
ngày m u cho k nguyên mi ca Thiên vn, ngày Galileo dùng ng nhòm có  phóng
i hn 1000 ln 
quan sát bu tri. Ông ã thy Mt trng có các vt li lõm (mm núi,
ming núi la) nh di Trái t ch không hoàn ho, linh thiêng nh Aristotle quan nim.
Ông còn thy c các v tinh ca sao Mc. Ông nhìn thy Ngân hà không phi là mt di
liên tc mà là tp hp rt nhiu sao. Ông thy sao Kim cng thay i hình dng (tun sao)
ging nh Mt trng (tun trng). Tt c nhng kt qu
ó làm giàu thêm hiu bit v h
Mt tri và v tr.
Nhng ngoài ra Galileo còn có nhng óng góp rt quan trng cho vt lý. T nm 25
tui ông ã làm thí nghim vi vt ri t do có trng lng khác nhau. T ó ông bác b ý
kin ca Aristotle là vt nng ri nhanh hn vt nh. Nhng thí nghim n gin ca
Galileo có th coi là là m u cho khoa hc
thực nghiệm. Trong cuốn sách “Đối thoại về
hai hệ thống thế
gii: h Ptolemy và h Copernicus”, ông ã công khai ng h t tng
Copernicus, mnh m  phá nhng sai lm ca Aristotle (tn ti ã trên 2000 nm) và 
ra nhng nguyên lý c bn cho C hc. Phân tích chuyn ng ca hòn bi trên mt phng
Galileo ã ch ra nguyên lý quán tính (mà sau này Newtn phát biu thành nh lut 1), ch
ra nguyên nhân ca vic duy trì quán tính là gia tc bng không hay “vt chu tác dng kh
ln nhau ca các vt khác”; t
c ông ã nhìn thy mi liên h gia gia tc và lc. (Aristotle
cho rng tác dng lc làm thay i v trí). Ông bác b lp lun ca phái Aristotle cho rng

nu Trái t quay thì nhng vt gn không cht vi Trái t s b trôi theo ngc chiu
quay bng nguyên lý quán tính. Tác phm ca ông toát ra tinh thn ca các nguyên lý c
bn ca c hc mà nhng nhà bác hc th h sau t tên là nguyên lý tng i Galileo,
phép bin 
i Galileo. ó là nhng nguyên lý cơ bản của cơ học cổ điển (xem Lương
Duyên
Bình ( Vt lý i cng tp 1). Ông là ngi nhit tình khng nh thuyt Nht tâm
Copernicus dù b Nhà th xét x, giám sát cht ch. Ông là biu tng cho sc mnh
không th b khut phc ca khoa hc.

V. NEWTON VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC CỔ ĐIỂN.

Các vn  v chuyn ng ca các thiên th ch c sáng t sau Newton. Ông chính
là ngi khai sinh môn c hc thiên th trong Thiên vn. ng thi, trong quá trình hoàn
thin các dng c quang hc  quan sát bu thi ông ã khai sinh môn quang hình.
Newton là nhân vt v i nht trong khoa hc. T tng ca ông nh hng rt mnh m
lên Th gii quan ca loài ngi trong sut mt chng dài lch s. Ta s
i sâu vào các
nh lut Newton  gii thích chuyn ng ca các thiên th.
1. Ba định luật cơ học của Newton.
a) Định luật 1 : Về quán tính
Mọi vật sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều nếu không có lực tác dụng vào nó.
Hay: Chất điểm cô lập bảo toàn trạng thái chuyển động của nó.
Trong nh lut này ta cn chú ý n vn  h qui chiu. H qui chiu mà trong ó
nh lut 1 là úng gi là h qui chiu
quán tính.
Ngi ta cho rng ó là h qui chiu có gc  tâm Mt tri và ba trc hng ti ba ngôi
sao c nh (H qui chiu Copernicus). Còn h qui chiu gn vi Trái t thì sao? Ta s
xét trong phn Trái t. Trong các quan sát thiên vn vn  h qui chiu và tính tng
i ca chuyn ng là rt quan trng, ta cn chú ý.

b) Định luật 2 : Lực và gia tốc
Phát biểu cho chất điểm ở trạng thái chịu tác dụng của lực bên ngoài.

- Gia tc mà vt hay cht im thu c di tác dng ca tổng hợp lực bên ngồi tác
dụng vào nó tỷ lệ thuận với lực tác dụng đó và tỷ lệ nghịch với khối lượng của nó.

m
F
a
→
→
=
Nh vy Newton  ch ra c ngun nhân ca s chuyn ng hay ơng ã khai sinh
mơn ng lc hc.
- nh lut 2 còn c gi là phng trình c bn ca c hc.

→
F
= m
→
a
(1)
- Hay có th phát biu nh mt nh lý v ng lng.

dt
)vm(d
→
=
→
F (2)

Trong ó m khi lng ca cht im
→
v : vận tốc của chất điểm
m
→
v : là mt i lng vt lý c trng cho chuyn ng v mt ng lc hc, ch
kh nng truyn ng, gi là ng lng.
-Có thể đặt m
→
v
=
→
K là động lượng thì từ (2) có thể viết lại :

dt
Kd
→
=
→
F
(3)
Phng trình này gi là phng trình c bn ca ng lc hc cht im và có th phát
trin nh sau:  bin thiên ng lng ca cht im trong mt n v thi gian bng lc
tác dng lên nó.
Hay  bin thiên ca ng lng t K1 n K2 trong khong thi gian t t1 n t2 là
:
2
1
t
21

t
KK K Fdt∆= − =
∫

i lng
→
F
dt gi là xung lng ca lc, c trng cho tác dng lc theo thi gian.
nh lut 2 s phát biu:  bin thiên ng lng ca cht
điểm theo thời gian bằng
xung lượng của lực tác dụng lên nó trong khoảng thời gian đó.
- Hay có th vit di dng nh lý v mơmen ng lng: nu t (2) ta nhân hu
hng 2 v ca phng trình vi vect
→
r
→
r =
→
OM ( O: gốc tọa độ, M : chất điểm)
→
r ×
dt
)vm(d
→
=
→
r x
→
F
bin i :

dt
)vm(dr
→→
×
=
→
r
×
→
F
dt
d
(
→
r × m
→
v
) =
→
r ×
→
F
dt
d
(
→
r ×
→
K ) =
→

r ×
→
F
Trong ó
→
r ×
→
K gi là vect mơmen ng lng -
→
L

→
L

=
→
r
×
→
K


Và
→
r ×
→
F gi là mômen lc ca lc
→
F ñoái vôùi taâm 0 −M
0

(
→
F )
M
o
(
→
F
) =
→
r
×
→
F

nh lut có dng :
o
dL
M(F)
dt
=
(4)
- Định luật phát biểu: Đạo hàm theo thời gian của momen động lượng đối với tâm 0
của một chất điểm bằng mômen lực theo tâm 0 tác dụng lên chất điểm đó.
Cách vit (2), (3), (4) không phi ca Newton nhng nó tin li  xét trng hp cht
im chuyn ng trong trng lc xuyên tâm (Giá lc i qua gc ta ) mà H Mt tri
là mt ví d.
c) Định luật 3 : Về phản lực
Mỗi lực tác dụng luôn luôn có phản lực, bằng và ngược hướng.
(Chú ý : im t ca 2 lc là khác nhau nên chúng không cân bng nhau)

BAAB
FF
→→
−=
Nh vy các vt trong t nhiên cùng tng tác ln nhau. Trái t hút mi vt nm trên
nó, nhng mi vt cng tác dng ngc tr li Trái t. Kt qu là ta tn ti, i li trên qu
cu tròn này mà không b ri vào không khí.
2. Định luật vạn vật hấp dẫn.
Trc Newton các nhà thiên vn không gii thích c nguyên nhân ca chuyn ng
ca các hành tinh quanh Mt tri. Copernicus cho rng Mt tri ã c “phú bm” cho
mt “kh nng hút”. Kepler cho rng các vt có kh nng hút nhau nh nam châm. Galileo
cho rng nu không có gì tác dng lên thì các hành tinh c chuyn ng thng u mãi
(nguyên lý quán tính) và ông cho rng ã có mt lc “kéo theo” nào ó khin hành tinh
chuyn ng theo qi o Elip. n th k XVII, hai nhà bác hc là Borelli và Hooke ã

i n nhng ý tng v lc hp dn. Nhng ch có Newton mi phát biu c thành
nh lut hoàn chnh (1650).
- Newton suy lun nh sau: T nh lut I ông cho rng nu không có lc tác dng thì
các hành tinh s ng yên hoc chuyn ng vi vn tc không i trong h qui chiu có
tâm là Mt tri.
Nhng các hành tinh ã
không chuyn ng theo
ng thng mà b lch, tc
thay i v
n tc. S thay i
này theo nh lut 2 phi do
mt lc nào ó tác dng. Lc
ó hng t hành tinh v tâm
Mt tri ( Lc hng tâm).

Hình 10
Theo ông lc ó có bn cht ging trng lc trên Trái t, tc t l nghch vi bình phng
khong cách. Ông ã tính toán th vi Mt trng và thy lc gi cho Mt trng chuyn
ng quanh Trái t có bn cht nh trng lc. Ông tip tc suy lun i vi các hành tinh
trong h Mt tri bng cách t 3 nh lut Kepler và các nh lut c hc c
a mình rút ra
biu thc ca lc chi phi chuyn ng ca các hành tinh. Và ông ã tìm ra nh lut vn
vt hp dn (Xem thêm giáo trình Thiên vn Phm Vit Trinh).






a) Phát biểu định luật:
Hai chất điểm khối lượng m và m’ đặt
cách nhau một khoảng r sẽ hút nhau bằng
một lực có phương là đường thẳng nối 2
chất điểm đó, có cường độ tỷ lệ thuận với
hai khối lượng m và m’ và tỉ lệ nghịch với
bình phương khoảng cách r




Hình 11

2
mm '

FF'G
r
==
(Chú ý : F và F’ là cp lc - phn lc theo nh lut 3 Newtn; F t vào m và F’ t
vào m’).
G : h s t l, ph thuc n v, gi là hng s hp dn v tr. Trong h SI ta có:
G = 6,67.10
−11
Nm
2
/kg
2

Hay = 6,67.10
−11
m
3
/kg.s
2

Chú thích : Công thức trên chỉ phát biểu cho chất điểm
- Trng hp vt m, m’ có kích thc rt nh so vi khong cách r gia chúng thì vt
có th coi là cht im và có th áp dng nh lut (trng hp h Mt tri).
-
Trng hp m, m’ là hai qu cu ng cht, r là khong cách gia 2 tâm cng c
Newton chng minh là có th áp dng nh lut.
-
Newton cng cho rng mt cái v vt cht hình cu, ng tính thì hút mt ht  ngoài
v ta nh khi lng ca v tp trung vào tâm nó. Cái v này không tác dng lc hp dn
vào ht  bên trong nó ( trng hp Trái t)

-
Trong các trng hp khác ta s áp dng phng pháp tích phân da vào tính chng
chp ca lc hp dn.

b) Tính chất của lực hấp dẫn:
- Lc hp dn là ph bin cho toàn th mi vt trong v tr.
-
Lc hp dn là lc hút, nó ph thuc vào khong cách và khối lượng của vật. Về mặt
vật lý, khối lượng hấp dẫn (Theo định
lut này) và khi lng quán tính (theo nh lut 1
và 2) là hai i lng vt lý khác nhau. Nhng ngi ta thy chúng là ng nht và mãi
n Einstein mi gii thích c iu ó.
-
nh lut vn vt hp dn còn th hin nhng quan im ca c hc c in Newton
v không gian, thi gian. Nó có nhng sai lm mà sau này Einstein ã bác b và a ra
nhng quan nim mi, úng n hn. Ta s xét k trong phn các thuyt tng i ca
Einstein.
-
Sau này, ngi ta nhn thy hp dn là mt trong bn loi tng tác c bn ca t
nhiên (tng tác hp dn, tng tác in t, tng tác mnh, tng tác yu). Tuy v cng
 nó là tng tác yu nht, nhng li là tng tác ph bin nht trong v tr và óng vai
trò quan trng trong vic hình thành và phát trin ca các thiên th và ca toàn v tr (Sinh
viên s t
tìm hiu thêm và có th vit bài thu hoch v  tài này).
 ây ta s a ra mt s iu cn thit  hiu thêm v c ch chuyn ng ca các
hành tinh. ó là khái nim trng lc hp dn. Xung quanh vt có khi lng tn ti
trng
hấp dẫn. Bất kỳ vật nào khác có khối lượng được đặt vào trong trng này u chu
tác dng ca lc hp dn. Trng hp dn là trng th (tc công chuyn di mt vt trong
trng ca lc không ph thuc vào ng i mà ch ph thuc vào im u và im

cui). Do ó c nng ca trng c bo toàn :
r
m
m'
→
F 'F
→

const
r
Mm
G
mv
WWW
tđ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=+=
2
2

trong ó :
2
2
mv

= W
d


năngThếW
r
GM
m
t
==−
và vì ây là trng lc xun tâm nên mơ men ng lng c bo tồn :

constL
)F(M
dt
Ld
o
=
==
→
→
→
0

(Xem Vt lý i cng ( Lng Dun Bình tp 1)


VI. BÀI TỐN 2 VẬT ( PHÁT BIỂU LẠI ĐỊNH LUẬT KEPLER).

Trong vt lý ta thng gp bài tốn xét chuyn ng ca 2 vt di tác dng ca lc

tng h gia chúng (Ta có th tham kho trong giáo trình c hc hoc c lý thuyt). 
ây ta ch chú ý n nhng kt lun có liên quan n chuyn ng ca các thiên th. Trong
thc t khơng th có ch hai thiên th tn ti cơ lp và tng tác ln nhau. Nhng  n
gin ta hãy xét trng h
p h hai vt ã. Ta bit chuyn ng ca hai vt m1, m2 có th
qui li thành chuyn ng ca mt vt rút gn có khi lng m =
12
12
mm
mm+
quanh mt khi
tâm 0
(là im chia khong ni
gia 2 vt theo t l
12
21
rm
rm
=

Hình 12
Chuyn ng ca vt trong h qui chiu gn vi khi tâm s qui v bài tốn chuyn
ng ca vt rút gn trong trng xun tâm, ri t ó suy ra chuyn ng ca m1, m2.
Nhng trong trng hp m1 = M >> m2 = m, tc mt vt có khi lng vơ cùng ln so
vi vt kia thì ta có th coi khi tâm ca h nm ngay ti M hay M ng n, m chuyn
ng.
Trong trng hp trng xun tâm là trng th
hp dn
)(
r

)r(U 0>α
α−
=
thì q
đạo chuyển động của m sẽ là một
trong các ng Conic (tròn, elip, parabol, hyperbol) tu
thuc vào c nng tồn phn ca nó (Tc tùy thuc vào vn tc và khong cách n tâm
lc). Tóm li, gii bài tốn này a n cách phát biu li 3 nh lut Kepler tng qt hn
nh sau:
1. Định luật Kepler tổng qt.
a) Định luật 1:
Di tác dng ca lc hp dn tng h, mt thiên th m có th chuyn ng trong
trng lc hp dn ca thiên th kia (M>>m) theo mt trong các ng Conic, tu thuc
vào vn tc ban u ca vt (vo) tính t cn im  lúc này có mơ un cc tiu)

r
1
r
2
m
2
m
1
0

Bảng 2: Bảng tóm tắt dạng quĩ đạo

C nng
tồn phn
Dng qu

o
Vn tc ban u Tâm sai Bán trc ln
E
o
< 0 Tròn
2
G(M m)
v
r
τ
+
=

e=0 a = r
E
o
< 0 Elip
2
e
21
vG(Mm)
ra
⎛⎞
=+ −
⎜⎟
⎝⎠

0<e<1 Nu thì a>r
Nu thì a<r
E

o
>0 Parabol
22
p
2G(M m)
v2v
r
τ
+
==

e=1
E
o
>0 Hyperbol
2
H
21
vG(Mm)
ra
⎛
⎞
=
++
⎜
⎝
⎠

e>1

b) Định luật 2 :
Định luật 2 của Kepler về tốc độ diện tích của bán kính vectơ là tương đương với định
luật bảo tồn mơ men động lượng.
Tht vy, t nh lut 2 Kepler ta có :

ω=
ϕ
=
ϕ
=
dt
d
vì
const
dt
d
r
dt
dS
2
2
1

t ó ta có :

const

m
mr
=
ω
2
2

mà mr
2
 = L
Vy biu thc ca nh lut 2 là :

const
m
L
=
2

có ngha là mơ men ng lng L c bo tồn. Trong phn V ta thy ây chính là
tính cht ca trng th hp dn.
Hình 13: Họ các q đạo của vật ứng với v
o
khác nhau

- Khi mô men ng lng c bo toàn (vect L) = const thì vt chuyn ng trên
mt mt phng c nh i qua tâm lc và vuông góc vi vect L. ây chính là mt phng
qu o chuyn ng ca các hành tinh quanh Mt tri.
c) Định luật 3 : Khi xét bài toán 2 vật định luật 3 có thể phát biu mt cách chính xác
hn nh sau :
T s gia tích ca bình phng chu k chuyn ng ca mt thiên th quanh mt

thiên th khác vi tng khi lng ca chúng và lp phng bán trc ln là mt i lng
không i (bng
2
4
G
π
) và i vi mi cp vt u có giá tr nh nhau :

const
G
a
)mM(T
=
π
=
+
2
3
2
4

2. Một số ví dụ về áp dụng định luật Kepler trong thiên văn.
a) Xác định vận tốc vũ trụ của thiên thể:
- T nh lut 1 ca Kepler ta thy mt vt trên mt thiên th có th chuyn ng
quanh thiên th ó theo nhng qu o khác nhau, tu thuc vào vn tc ban u ca nó.
Vận tốc vũ trụ cấp 1 của vật là vận tốc để vật chuyển động theo qu o tròn sát thiên
th :
2
T
GM

V
r
=
(M, r : khi lng và bán kính thiên th)
trong ó ta coi khi lng vt vô cùng nh so vi khi lng thiên th : m << M
hay có th vit :
1
GM
V
r
=

- Vận tốc vũ trụ cấp 2 : là vận tốc Parabol, giúp vật thoát khỏi thiên th :

22
PT
GM
v2 2v
r
==

hay
2
Tp
vv =
- Vic tính các vn tc v tr làm c s cho vic du hành v tr và phóng v tinh. (Ta
s xét li  phn Trái t). Trong thc t có phc tp hn vì còn ph thuc nhiu yu t
khác.
- Da vào vn tc v tr ta có th xác nh c thiên th có khí quyn hay không.
Thiên th mun gi c các phân t khí  tr thành khí quyn ca nó thì vn tc chuy

n
ng nhit trung bình vpt ca phân t khí phi tha mãn iu kin :
v
pt
< 0,2 v
II


Trong ó :
2
3
pt
K
T
V
m
=

K : hng s Bolztmann
T : Nhit  thiên th
m : Khi lng ca phân t khí
vII : Vn tc v tr cp 2 ca thiên th
b) Xác định khối lượng của thiên thể:
* Gi s :
-
khi lng ca Mt tri là M
-
khi lng ca hành tinh là m
-
khi lng ca v tinh là m1

-
chu k chuyn ng ca hành tinh quanh Mt tri là T, chu k chuyn ng ca
v tinh quanh hành tinh là T1.

- a : bán trc ln qu o hành tinh
-
a1 : Bán trc ln qu o v tinh
Áp dng nh lut 3 ta có :

3
1
3
1
2
1
2
a
a
)mm(T
)mM(T
=
+
+

hay
23
1
2
1
3

1
Ta
Ta
mm
mM
=
+
+

trong thc t M>>m
m>>m
1

nên mt cách gn úng ta có :
32
1
32
1
aT
M
maT
=
chu k chuyn ng T, T1 và bán trc ln a, a1 có th xác nh bng quan trc. T ó
ta có th suy ra c t s khi lng gia Mt tri và hành tinh. Nh vy, da vào nh
lut 3 Kepler ta có th xác nh c t s gia khi lng Mt tri và khi lng hành
tinh, nu hành tinh có v tinh.
- Trong trng hp ca Trái t có v tinh là Mt trng thì ta phi tính khác, vì kh
i
lng Trái t không quá ln so vi khi lng Mt trng nên t s
M

m
s mc sai s ln.
Và do chênh lch khi lng không quá ln nh vy nên di tác dng ca lc tng h
Mt trng và Trái t s chuyn ng quanh khi tâm 0.
Ta có :

11
2
m
m
r
r
=
Hình 14
Bng quan trc ngi ta có th xác nh c r1 = 4635km
Ngi ta cng xác nh c khong cách t Trái t n Mt trng 384.400km. T ó
r2 = 384.4000(4635=379.765km.
Do ó :
2
11
379.765
81.5
4635
rm
mr
== = ln
Vy bit khi lng ca Trái t (s tính  chng sau) s tính c khi lng ca
Mt trng :

kg.,

,
.
,
m
m
22
24
1
10367
581
106
581
===

Bit chu k chuyn ng ca Trái t quanh Mt tri và bán trc ln là : T = 365,25
ngày; a = 149.106km và chu k chuyn ng ca Mt trng quanh Trái t, bán trc
ln là: T1 =27,32 ngày; a1 = 0,38.106km, ta có th tính M :

2
1
3
11
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
+
T
T
a
a
mm
mM


2
1
3
1
1
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
+
T
T
a
a
m
m
m
M

T
D 0
r
1
r
2

32
11
12

2
6
6
MmaT
11
mmaT
1 149.10 27,32
11
81,5 0,38.10 365,25
330000
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
=+ −
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+ −
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
≈

Hay = 330000m
Vy bit khi lng Trái t, tính c khi lng Mt tri:
M = 330000.6.10
24

= 1,98.10
30
kg
- Bit khi lng Mt tri d dàng tính c khi lng ca các hành tinh có v tinh
nh ã nêu trên. Ví d, vi sao Mc, t s. Vy khi lng sao Mc :

30
26
M 1,98.10
m 19.10 kg
1050 1050
== =

VII. BÀI TOÁN NHIỀU VẬT (NHIỄU LOẠN).
Bài toàn 2 vt va xét là bài toán lý tng. Trong thc t vn vt hp dn ln nhau nên
dù ít hay nhiu chuyn ng ca vt s b bin dng so vi bài toán 2 vt. Ví d: T bài
toán 2 vt suy ra chuyn ng ca Mt trng quanh Trái t theo qi o hình Elip. Nhng
ngoài b Trái t hút, Mt trng còn chu lc hp dn t phía Mt tri và các hành tinh khác
v.v Nhng lc ó gi là nhi
u lon và làm qi o Mt trng tr nên phc tp hn. Trong
c hc ta bit  gii mt bài toán mt h n vt ta phi lp mt h gm 3 bc t do cho mi
vt, tc h 3n phng trình. Vic gii h nhiu phng trình là rt phc tp. Trong c hc
thiên th ngi ta có th gii gn úng bng cách phân cp các nhi
u lon, xem cái nào nh
hng nhiu n chuyn ng ca thiên th  t có th gii bài toán theo mc  chính
xác khác nhau. Ví d, trong bài toán chuyn ng ca mt s hành tinh thì s tng tác
gia hành tinh và Mt tri là chính yu. Nhiu lon do các hành tinh khác gây ra có h s
nh hn nhiu nên có th b qua. Qu o ca hành tinh có th coi hoàn toàn nh các nh
lut Kepler. Trong mt s trng hp khác do tính toán k

 nhiu lon mà ngi ta ã tìm
ra các hành tinh mi (xem phn sau). Nhìn chung, bài toán nhiu lon là mt bài toán phc
tp. Ngay bài toán 3 vt ngi ta cng cha th gii quyt c trit . Tuy vy, không
phi là không th tính c. Bng chng là có th d oán c Nht, Nguyt, Thc, mt
hin tng có c do chuyn ng tng i ca 3 vt là Mt tri, Mt tr
ng, Trái t.
Ngày nay nh có s h tr ca máy tính ngi ta có th gii quyt c chính xác và mau
l hn các bài toán nhiu lon, th hin trong vic phóng thành công các tàu v tr lên các
hành tinh.

VIII. SỰ PHÁT HIỆN THÊM CÁC THÀNH VIÊN TRONG HỆ MẶT TRỜI. VẤN ĐỀ SỰ
BỀN VỮNG CỦA HỆ.
1. Sự phát hiện tiểu hành tinh.
n th k XVIII s hành tinh mà con ngi bit n ch gm: Thy, Kim, Trái t,
Ha, Mc, Th.
Khi so sánh khong cách t Mt tri n các hành tinh hai nhà thiên vn c là Titius
và Bode ã thy có mt qui lut là: Nu cng thêm 4 cho 1 dãy cp s nhân : 0, 3, 6, 12,
24, 48, 96… thì s có mt dãy s mi tha mãn khá tt trât t n các hành tinh:


Hành tinh Th
y
Ki
m
Trái t Ha? Mc Th
Khong cách
(bng vtv (10)
4 7 10 16 2
8
52 100

Có iu trong dãy s trên con s 28 không ng vi hành tinh nào. Mãi n cui th k
XVIII nhà thiên vn Ý là Piazzi ã quan sát thy thiên th này. Và nhà toán hc Gauss ã
tính toán thy qu o ca nó ng vi khong cách n Mt tri bng 2,77 vtv. Thiên th
này có kích thc rt bé nên c gi là tiu hành tinh (Asteroid). Ngày này ngi ta ã
tìm c trên hai ngàn hành tinh tí hon nh vy  vùng gia Ha tinh và Mc tinh. Ngi
ta cho rng chúng là do mt hành tinh ln b
v ra.
2. Sự phát hiện các hành tinh mới.
Nm 1781 nhà thiên vn ngi Anh là Hershell ã phát hin thêm hành tinh th 7 nm
ngoài Th tinh và t tên là Thiên vng tinh. Gii quyt bài toán nhiu lon ca chuyn
ng ca hành tinh này nhà toán hc Pháp Le Verrier ã ch ra c qu o ca hành tinh
mi gây ra nhiu lon ó. Vào nm 1846 ngi ta ã quan sát c hành tinh mi này và
t tên nó là Hi vng tinh. Nm 1930 ngi ta ã tìm ra hành tinh xa nht ca h Mt
tri là Diêm Vng.

3. Sao chổi - Một thành viên của hệ Mặt trời. (Comet)
T rt xa xa ca con ngi ã nhiu dp chng kin s xut hin ca sao chi. ó là
mt ngôi sao l, sáng và có uôi dài - nh du hiu báo trc nhiu tai ha khng khip.
Ngày nay con ngi ã bit sao Chi cng là mt thiên th trong h Mt tri nhng có
khi lng rt bé và qu o rt dt, vì vy vin i
m thng lt ra ngoài phm vi ca H
Mt tri nên thnh thong ta mi quan sát c sao chi nh mt v khách l t V tr ti.
4. Vành đai Kuiper.
Ngày nay ngi ta còn phát hin c mt vành ai các tiu hành tinh chuyn ng
quanh Mt tri  khong cách xa hn Diêm vng. Nh vy, phm vi ca h Mt tri có
th c m rng ra xa hn. Ngi có công phát hin là nhà thiên vn M Kuiper và n
thiên vn ngi M gc Vit Lu L Hng (Luu Jean) vào nhng nm 90 ca th k này.
5. Vấn đề sự bền vững của hệ Mặt trời.
H Mt tri là h gm Mt tri và rt nhiu nhân vt khác là 9 hành tinh, tiu hành tinh,
sao chi. Chúng ch yu chuyn ng theo qu o hình Elip theo nh lut Kepler dí tác

dng ca lc hp dn t phía Mt tri. Nhng theo nh lut vn vt hp dn thì chúng vn
tng tác ln nhau. Vy nhng “nhiu lon” này liu có nh hng n qu 
o ca chúng,
và nh vy nh hng n s bn vng ca h Mt tri không? Vn  này ã c nghiên
cu t lâu. c bit chú ý là công trình ca các nhà toán hc Laplase, Lagrarges, Le
Verrier. H ch ra rng các nhiu lon ó là không áng k, h Mt tri có th coi là bn
vng.

IX. BỨC TRANH TỔNG QUÁT HIỆN NAY VỀ HỆ MẶT TRỜI.
Cho n nay ngi ta ã hiu c tng i k v cu trúc ca H Mt tri. H gm
có mt ngôi sao nm  tâm là Mt
trời và 9 hành tinh quay xung quanh theo thứ tự : Thủy
tinh,
Kim tinh, Trái t, Ha tinh, Mc tinh, Th tinh, Thiên vng tinh, Hi vng tinh và
Diêm vng tinh (Các s liu chính v hành tinh c ghi  ph lc). Ngoài ra còn các tiu
hành tinh, sao chi, bi khí, thiên thch, sao bng v.v…
- Các hành tinh quay quanh Mt tri theo qu o hình elip theo ngc chiu kim ng
h (nhìn v bc Thiên cc) và hu nh trên cùng mt mt phng (Ch có qu o ca Diêm
vng là lch nhiu nht). Các elip nói chung có tâm sai bé nên qu o ca m
t s hành
tinh có th coi là tròn.

- Ngoài ra, các hành tinh còn t quay quanh mình, hu ht theo cùng chiu quay quanh
Mt tri, tr Kim tinh và Thiên vng tinh quay theo chiu ngc li. Trc t quay có th
nghiêng so vi mt phng qi o quanh Mt tri.
- Tr Kim tinh, Thy tinh, các hành tinh u có các v tinh
quay xung quanh, hu ht
theo cùng chiu chuyn ng ca hành tinh quanh Mt tri. Mt trng là v tinh duy nht
ca Trái t.
- Các hành tinh c chia làm 2 nhóm: Nhóm Trái t gm các hành tinh có kích thc

nh nhng khi lng riêng ln, có th rn nh Thy, Kim, Trái t, Ha, Diêm và nhóm
khng l gm các hành tinh ln khi lng riêng nh (th bng, khí) nh Mc, Th, Thiên
vng, Hi vng.
- So vi kích thc c
a h Mt tri thì kích thích ca các hành tinh là rt bé, có ngha
là gia các hành tinh còn nhng khong không gian trng rng, vô tn. Rt khó th hin
úng t l kích thc các hành tinh và khong cách gia chúng trên trang giy  có c
hình nh úng v h Mt tri trong giáo trình này.









Hình 15
- Hu ht các hành tinh u có khí quyn, mt s hành tinh còn có các vành khí xung
quanh (Ví d: Th tinh). Tuy nhiên, theo quan sát hin nay ch duy nht Trái t có i
u
kin nhit , áp sut… thích hp  có s sng.
- Ngoài ra, chúng ta có th nghiên cu k v các hành tinh bng cách c thêm các
sách tham kho. V vn  ngun gc ca h Mt tri ta s tr li  chng cui ca giáo
trình này.
- Theo tin mi nht (ngày 9.10.1999) các nhà thiên vn ã phát hin ra hành tinh th 10
trong h Mt tri (hành tinh X) nm cách Mt tri xa gp ngàn ln Diêm vng, có khi
lng ln hn sao Mc và làm lch hng các sao Chi mt cách áng k.

Chú ý: Những hình ảnh này chỉ có tính chất minh họa, không
úng t l thc.


Hình 16


Chương 2
TRÁI ĐẤT : HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA LÝ
VÀ CHUYỂN ĐỘNG

I. HÌNH DẠNG, KÍCH THƯỚC VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA TRÁI ĐẤT.
1. Hình dạng và kích thước.
- Người xưa thường quan niệm Trái đất bằng phẳng, bầu trời như một cái vung úp
xuống và nếu đi mãi ta sẽ gặp đường chân trời, có thể leo lên đó để lên trời. Nhưng từ thời
Aristotle qua quan sát Nhật, Nguyệt thực ơng đã đốn rằng Trái đất phải có dạng cầu. Mãi
đến thế kỷ 16 Magellan đã thám hiểm Trái đất bằng tàu biển. Nhưng ơng đi mãi khơng gặp
chân trời mà lại trở
về chỗ cũ, chứng tỏ Trái đất tròn. Đến thời Newton ơng cho rằng dưới
tác dụng của lực vạn vật hấp dẫn các thiên thể phải có dạng cầu, đúng hơn là phỏng cầu, vì
hơi phình ở giữa. Ngày nay các kết quả nghiên cứu cho thấy kết luận của Newton là đúng.
Người ta còn có thể nhìn thấy Trái đất hình cầu từ trên các tàu vũ trụ. Việc đo bán kính
Trái đất cũng
đã được tiến hành từ rất lâu. Ở Aicập từ thế kỷ thứ 3 TCN Eratoxten đã tiến

hành đo bán kính Trái đất khá chính xác R = 6400km.
Thực ra Trái đất hơ dẹt ở hai đầu nên bán kính ở xích đạo là: a = 6378,16km
Ở vùng địa cực là:
b = 6356,78km
vậy độ dẹt của Trái đất là:

ab 1
a298,25
−
ε= =




Số liệu này do hội Thiên văn quốc tế ghi nhận từ năm 1964.
2. Khối lượng Trái đất.
Sau khi xây dựng định luật vạn vật hấp dẫn, người ta có thể áp dụng nó để xác định
khối lượng Trái đất. Đã có nhiều phương pháp xác định khác nhau. Ví dụ: Thí nghiệm của
Cavendish người Anh 1978 (hơn một thế kỷ sau Newton) dùng cân xoắn để xác định hằng
số hấp dẫn G (xem sách lớp 10 - Vật lý).







Hình 18: Thí nghiệm Cavendish

Biết giá trị của G và gia tốc rơi tự do g ta có thể xác định được khối lượng của Trái đất

theo cơng thức : g =
2
M
G
R



Hình 17: Trái đất nhìn từ vũ trụ
F
M
m
m
F
M

- Có thể tính ra công thức này bằng cách : Biết lực tác dụng lên vật rơi tự do khối lượng m
là lực trọng trường F=
2
M
m
G
R
R: là bán kính Trái đất (coi vật rơi từ độ cao h << R).
Từ định luật 2: Newton F = ma thì ở đây a = g nên
2
M
G
R
.)

Từ đó : M =
262
24
11
gR 9,81(6,4.10 )
6.10
G 6,68.10
−
==

- Khối lượng chính xác được chấp nhận của Trái đất có ghi trong phụ lục.

II. HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA LÝ.

Để xác định vị trí của một vật trên Trái đất ta sử dụng hệ tọa độ địa lý.










Hình 19
Trái đất có dạng hình cầu và tự quay quanh trục (tưởng tượng) đi qua tâm của nó. Trục
đó cắt mặt đất tại 2 điểm: Địa cực
Bắc (B) và địa cực nam (N).
Mặt phẳng đi qua tâm vuông góc với địa cực BN cắt trái đất theo một đường tròn gọi

là xích đạo và chia Trái đất làm 2 nửa hình cầu: Bán cầu Bắc chứa địa cực Bắc và bán cầu
Nam chứa địa cực Nam. Ở Bán cầu Bắc nhìn về địa cực bắc sẽ thấy Trái đất quay ngược
chiều kim đồng hồ.
Các vòng tròn nhỏ song song với xích đạo gọi là vĩ tuyến φ. Xích đạo có vĩ
độ bằng 0o
(φ = 0o). Ở bán cầu bắc có vĩ độ dương thay đổi từ 0o ở xích đạo và 90o ở địa cực Bắc (0o
(90o).
Ở bán cầu Nam có vĩ độ âm, thay đổi từ 0
o
→
-90
0
ở địa cực Nam (0
o
→ −90
o
).
Những vòng tròn đi qua hai địa cực được gọi là các kinh tuyến
λ. Người ta định ra một
kinh tuyến làm gốc (0
0
) đó là đường kinh tuyến đi qua Greenwich ở Luân đôn (Anh). Kinh
độ có thể tính từ kinh tuyến gốc theo chiều tự quay của Trái đất (từ 0
o
đến 360
o
) hoặc qui
định 0
o
→ 180

o
(độ đông) và 0
o
→180
o
(độ tây).
Như vậy tọa độ của một điểm M trên Trái đất sẽ được xác định bởi vĩ độ φ và kinh độ
λ.
Ví dụ : Hà nội có φ = 21o1’12”

λ = 105
o
52’12”
Thành phố Hồ Chí Minh : φ= 10o45’

λ = 106
o
40’12”
Thủ đô Pháp (Paris) : φ = 48o52’12”

λ = 2
o
19’48”
(Chú ý : Nhiều sách ghi φTP.HCM = 10
o
30’)
Do Trái đất có dạng phỏng cầu nên người ta còn đưa ra những khái niệm vĩ độ khác,
như: vĩ độ địa tâm, vĩ độ trắc địa, vĩ độ thiên văn …

ϕ

B
B
A
N
λ
0
M
G

III. CHUYỂN ĐỘNG TỰ QUAY QUANH TRỤC CỦA TRÁI ĐẤT.

Ngày nay ai cũng biết Trái đất tự quay. Do ảo giác ta cảm thấy Trái đất đứng yên,
Mặt trời và cả bầu trời quay. “Mặt trời mọc ở đằng đông, lặn ở đằng tây” kỳ thực là do
Trái đất tự quay theo chiều ngược lại: từ tây sang đông.
Do Trái đất quay nên ở một nơi trên Trái đất ta sẽ thấy Mặt trời mọc, lên giữa đỉnh đầu
và lặn, bóng đêm xuất hi
ện. Khoảng cách giữa 2 lần mọc của Mặt trời là một ngày ( đêm
tức một vòng quay của Trái đất, là 24 giờ. Do đó vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm
trên xích đạo Trái đất sẽ là:

s/rad.,

,.
T
5
1027
606024
14322
−
==

π
=ω
v =
ω R = 7,2.10
−5
.6,4.10
6
= 460m/s










Hình 20 : Con lắc Foucoult

Để chứng minh Trái đất tự quay năm 1851 nhà vật lý người Pháp Foucault đã sử dụng
dao động của con lắc. Con lắc này cân nặng 28kg, treo bằng sợi dây dài 0,7m gắn chặt vào
trần điện Patheon ở Pháp. Sau một thời gian dấu quét của con lắc xuống nền nhà rải cát
không phải là một đường thẳng duy nhất mà là nhiều đường thẳng chéo nhau, tựa hồ mặt
phẳng con lắc đã di dịch từ đông sang tây. Theo nguyên lý c
ơ học thì mặt phẳng dao động
của con lắc hoàn toàn đứng yên, không xê dịch, khi chỉ có trọng lực tác dụng lên nó. Như
vậy chính mặt sàn, hay quả đất đã xê dịch theo chiều từ tây sang đông.
Vận tốc quay của con lắc tỉ lệ với vĩ độ nơi đặt nó.
Ở địa cực

0
0
2 360
15 /
24Tg
π
ω
== = giờ
Ở vĩ độφ:ω
φ
= ω.sinφ = 150/giờ .sinφ
Ở xích đạo φ = 0 nên ω
φ
= 0 hay con lắc đứng yên so với mặt đất.








Hình 21

- Do chuyển động tự quay nên các hệ qui chiếu gắn trên mặt đất xét một cách chính xác
sẽ không phải là các hệ qui chiếu quán tính. Trong hệ quay có những lực quán tính tác
dụng vào vật nằm trong hệ. Đó là lực ly tâm quán tính và lực Coriolis.
- Lực ly tâm quán tính (nên gọi là lực ly trục quán tính):
Khi đứng yên trên mặt đất, vật có khối lượng m sẽ chịu lực ly tâm quán tính tác dụng.

→
F = −m )r(
→→→
×ω×ω
28k
g
67m
ω
ω
ϕ
ω

Hay lc ny cú giỏ tr bng lc
hng tõm nhng hng ra ngoi :
F=
m
2
r
(r l khong cỏch n trc quay
ca Trỏi t)

Hỡnh 22

- Lc ny s nh hng n gia tc trng trng ca Trỏi t (s xột sau)
- Lc Coriolis:
Khi vt chuyn ng vi vn tc tng i v (so vi Trỏi t nm yờn) thỡ khi tớnh n
s quay ca Trỏi t nú s b nh hng ca lc quỏn tớnh Coriolis:
c
F2mv

=
ì



Lc ny khin cho cỏc vt chuyn ng trờn Trỏi t. (Vớ d: dũng sụng chy, giú,
ng ra xe la ) b lch so vi hng chuyn ng ca nú. Bc bỏn cu lch hng t
trỏi sang phi so vi chuyn ng ca vt. nam cu ngc li, t phi qua trỏi.











Hỡnh 23

Vớ d: hỡnh 23: Giú thi t xớch o lờn bc cc b lch thnh giú ụng bc (AB). Giú
thi t bc cc xung xớch o b lch thnh Tõy nam (BA). bỏn cu Nam ngc li.

IV. CHUYN NG TRấN QU O QUANH MT TRI.

Ngy nay chuyn Trỏi t chuyn ng quanh Mt tri tuõn theo 3 nh lut Keoler
khụng cũn l vn phi tranh cói na.
Qu o chuyn ng ca Trỏi t cú tõm sai tng i nh (0,0167) nờn trong nhiu

trng hp cú th coi nú l trũn a=150.106km. Trong thc t ti im vin nht A Trỏi t
cỏch Mt tri amax=152.106km, cũn cn nht P thỡ amin=147.106km.









Hỡnh 24

B
B
A
A
A
A
B
B
B
N



A

F F
Maởt trụứi

Traựi
ủaỏt

0
R

F
r

Thời gian Trái đất đi hết một vòng quanh Mặt trời gọi là năm vũ trụ bằng 365 ngày
06giờ 09phút 5,5giây (365,25 ngày).
Do ảo ảnh ta thường cho rằng Mặt trời chuyển động chứ không phải Trái đất. Ta có thể
giải thích ở hình dưới. (Hình 25)













Hình 25

Khi Trái đất di chuyển từ vị trí 1 sang 2, 3 ta tưởng rằng Trái đất đứng yên, do đó sẽ
thấy Mặt trời di chuyển trên vòm trời từ 1’ đến 3’. Quĩ đạo chuyển động nhìn thấy của

mặt trời trong một năm được gọi là Hoàng đạo, thực tế đó là quĩ đạo chuyển động của Trái
đất quanh Mặt trời. Trong khi chuyển động trục Trái đất luôn nghiêng với mặt phẳng quĩ

đạo chuyển động của nó một góc 66033’.(Độ nghiêng này có thể bị thay đổi do tiến động,
chương động, sẽ xét ở sau).









Gia tốc góc của Trái đất khi chuyển động quanh Mặt trời là
s/rad.

7
102
606024365
2
−
≈
π
=ω

Ứng với vận tốc tròn là v =ω. R= 2.10
-7
.150.10
6

= 30km/s


V. SỰ DI CHUYỂN CỦA TRỤC QUAY CỦA TRÁI ĐẤT.

1. Tiến động.
Nếu Trái đất có dạng thực đúng là một khối cầu, mật độ vật chất phân bố đều và tuyệt
đối rắn thì phương trục quay sẽ không bị thay đổi. Nhưng vì Trái đất có dạng phỏng cầu,
phình ra ở giữa nên lực tác dụng lên từng phần không đều, lực tác dụng từ Mặt trời lên Trái
đất không thể coi như trường hợp chất điểm. Nó có thể coi như tổ
ng hợp của 3 lực : lực F
tác dụng lên khối cầu tưởng tương tách ra ở phần trong khối phỏng cầu và đặt tại tâm 0, lực
F1 tác dụng lên phần nhô của nửa vành xích đạo nằm gần Mặt trời và F2 ở phần kia. Vì F1
> F2 nên kết quả là lực hút Mặt trời có xu hướng kéo mặt phẳng xích đạo Trái đất trùng với
mặt phẳng hoàng đạo. Nhưng vì trái đất tự quay quanh trục như con quay trong cơ h
ọc
nên kết quả là trục quay CC’ của Trái đất sẽ đảo quanh pháp tuyến OH của mặt phẳng
3’
1’
2’
1
2
3
1 2
66
o
33’
Hình 26
66
o

33’

Hoàng đạo và quét thành một hình nón với góc ở đỉnh ( 46o54’ với chu kỳ xác định. Hiện
tượng quay vòng của trục Trái đất quanh Hoàng cực H được gọi là Tiến động, với bán kính
góc 23o27’ và chu kỳ ( 26000 năm. Hiện nay thiên cực bắc (giao điểm của trục Trái đất với
thiên cầu bắc) ở gần sao ( của chòm Gấu nhỏ, đó là sao Bắc cực. Sau 13000 năm thì sao
Chức nữ (sao ( của Chòm Thiên cầm) sẽ được gọi là sao B
ắc cực.









Hình 27
2. Chương động.
Nhiễu loạn bé do Mặt trăng gây ra làm cho trục Trái đất di chuyển gọi là chương động.
Khi đó, trục quay di chuyển quanh cực theo elip có bán trục lớn là 9”21, bán trục nhỏ 6”86.
Tổng hợp lại, do tiến động và chương động cực vũ trụ dịch chuyển trên nền trời sao
theo một đường uốn khúc dạng hình sin.

Hình 28

3. Sự di chuyển của cực Trái đất trên mặt của nó.
Vì Trái đất không tuyệt đối rắn và trên bề mặt của nó còn nước, khí quyển nên kết quả
là sự quay của nó sẽ không hoàn toàn như của một vật rắn. Do đó địa cực Trái đất di
chuyển rất phức tạp. Tuy nhiên sự dao động đó tương đối nhỏ, không đáng kể.

VI. TRỌNG TRƯỜNG CỦA TRÁI ĐẤT.

1. Trường hấp dẫn của Trái đất.
Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton phát biểu cho trường hợp Trái đất là hình cầu,
đồng chất, đứng yên. Khi đó lực tương tác giữa nó và một vật trên bề mặt của nó sẽ là lực
tương tác giữa 2 chất điểm:

2
R
M
m
GF =
M : khối lượng Trái đất; m : khối lượng vật
M
C
P
H
0
C
F
2
F
1
→
F

R : Bán kính Trái đất
Theo định luật 2 lực này truyền cho vật một gia tốc a :

g
R
GM
a
maF
==
=
2

Như vậy gia tốc này không phụ thuộc vào khối lượng của vật. Hay nói cách khác, lực
hấp dẫn của Trái đất truyền cho mọi vật ở một nơi cùng một gia tốc. Tuy nhiên Trái đất
thực không hoàn toàn giống mô hình lý tưởng trên. Vì vậy ta sẽ xét khái niệm sau :
2. Trọng lực và gia tốc trọng trường.
- Trọng lực, theo nghĩa nôm na là lực hút của Trái đất tác dụng lên vật nằm trên bề mặt
của nó (P)
- Một cách gần đúng nó chính là lực hấp dẫn tác dụng lên vật:
2
R
M
m
GFP
hd
==
Lực này gây cho vật gia tốc rơi tự do (gia tốc trọng trường) không phụ thuộc khối
lượng vật :

2
R
GM
m

F
g
==

- Tuy nhiên xét một cách chính xác thì vì Trái đất không phải hoàn toàn là hình cầu,
không đồng chất và quay nên trọng lực sẽ không đồng nhất với lực hấp dẫn. Trọng lực phụ
thuộc những yếu tố sau :
a) Vĩ độ địa lý : (Trái đất dẹt)
Các kết quả quan sát cho thấy gia tốc trọng trường phụ thuộc vào vĩ độ địa lý. Xét từ
xích đạo đến địa cực (R giảm) thì gia tốc trọng trường tăng dần :
Vĩ độ ( 0
o
20
o
40
o
60
o
80
o
90
o

Gia tốc g(cm/s2) 978,0 978,7 980,2 981,9 983,1 983,2
b) Trái đất không đồng tính:
Khối lượng riêng của Trái đất thay đổi từ tâm ra, khối lượng riêng của lớp vỏ cũng thay
đổi từ vùng này sang vùng khác. Do đó trong lực trên bề mặt Trái đất không đồng nhất.
Bằng cách đo di thường trọng lực này người ta có thể phát hiện ra được những mỏ khoáng
sản, dầu khí nằm sâu trong lòng đất.
c) Trái đất quay - tác dụng của lực quán tính:

2
2
'PT
Mm
R
FGm
M
R
→→
=≤




Hình 29
g
g
ϕ

ω
R
r
2
→
F

F
→
)a(F
1
1
→
ϕ

Lực ly tâm quán tính F
→
tác dụng lên địa điểm có vĩ độ φ có thể phân tích làm 2 thành
phần
1
F
→
và
2
→
F
.
2
→
F
làm thay đổi hướng của gia tốc trọng trường, khiến nó không hướng
vào tâm Trái đất (từ g thành gφ). Thành phần
1
F
→
làm biến đổi giá trị của gia tốc trọng
trường nó gây ra một gia tốc a1 ngược hướng với gia tốc trọng trường g:

ϕ= cos
m
F
a
1

mà F = m.ω
2
r
= mω
2
Rcosϕ
Vậy a1 = ω
2
Rcos
2
φ
Do đó : g
φ
=g-a
1
= g - ω
2
Rcos
2
φ

Càng tiến về địa cực (φ tăng) thì g
φ

càng tăng.
d) Phụ thuộc độ cao so với bề mặt Trái đất.
Tại một điểm cách mặt đất một độ cao h lực trọng trường tác dụng lên vật là
:
2
()
h
M
m
Pmg G
R
h
==
+

từ đó
2
()
h
M
gG
R
h
=
+


2
22
1

1
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+
=
R
h
g
R
h
R
GM
g
h

Phân tích theo phép triển khai nhị thức, lấy gần đúng :

R
h
R
h
211
2
−≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−

Do đó :

h
h
gg12
R
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠

(Trong đó: g : Gia tốc rơi tự do trên bề mặt Trái đất = 9,8m/s2)
Như vậy gia tốc rơi tự do và trọng lực giảm khi vật lên cao (giảm chậm, khoảng 1% khi
lên cao 30km)
Vậy lực hấp dẫn của Trái đất và trọng lực là 2 khái niệm khác nhau, trong đó trọng lực có
ý nghĩa bao quát hơn. Tuy vậy một cách gần đúng ta vẫn có thể coi trọng lực là lực hấp
dẫn của Trái đất tác dụng lên v
ật và g = 9,8m/s2.
3. Khối lượng và trọng lượng.
Như đã xét ở trên ta thấy trọng lực tác dụng lên một vật thay đổi theo vị trí của vật trên
Trái đất. Nhưng ở cùng một nơi, trọng lực tỷ lệ với khối lượng của vật, vì tại một nơi trên
Trái đất gia tốc rơi tự do cho mọi vật là như nhau:

g
m
P
m
P
==
2

2
1
1

(P1, P2 : trọng lực của vật 1 và 2, m1,m2: khối lượng của vật 1 và 2).
Từ đó ta có tỷ lệ: