Ứng dụng phương pháp vectơ trong giải toán hình học phẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.62 MB, 73 trang )

Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

1.5.1. Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» hai iºm . . . 9

1.5.2. Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» ba iºm . . . 10

1.5.3. Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» nhi·u iºm . . . 11

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

MÐ U

1. Lỵ do chồn Ã ti

Trong chữỡng trẳnh hẳnh hồc phờ thổng, chúng ta ữủc nghiản cựu lỵ thuyát vectỡ, vên dửng cổng cử vectỡ chựng minh cĂc tẵnh chĐt hẳnh hồc, xƠy dỹng cĂc hằ thực lữủng cụng nhữ thỹc hiằn cĂc tẵnh toĂn liản quan án ở di, gõc v diằn tẵch. Viằc xƠy dỹng khĂi niằm vectỡ Â dăn án sỹ hẳnh thnh nhỳng cĂch tiáp cên mợi v phữỡng phĂp mợi giÊi cĂc bi toĂn hẳnh hồc, trong õ cổng cử chừ yáu l cĂc php bián ời Ôi số. CĂc bi toĂn hẳnh hồc trong chữỡng trẳnh THCS chừ yáu ữủc nhẳn nhên bơng phữỡng phĂp trỹc quan, dỹa trản nhỳng khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn nhĐt cừa hẳnh hồc (im, ữớng thng, gõc, khoÊng cĂch,...). KhĂc vợi cĂc phữỡng phĂp ữủc dũng khi giÊi toĂn hẳnh hồc bêc THCS, vectỡ ữủc xƠy dỹng dỹa trản cĂc khĂi niằm im, phữỡng, hữợng v ở di oÔn thng nản s liản quan án cĂc khĂi niằm khĂc trong hẳnh hồc v cĂc quan h» giúa chóng. ¥y l cì sð º chóng ta cõ th diạn Ôt mởt bi toĂn hẳnh hồc thuƯn túy dữợi dÔng ngổn ngỳ vectỡ. Viằc giÊi cĂc bi toĂn hẳnh hồc bơng phữỡng phĂp vectỡ s gõp phƯn phĂt trin tữ duy sĂng tÔo cho ngữới hồc, ỗng thới rn luyằn nhỳng k nông tẵnh toĂn, suy luên logic, biát cĂch nhẳn nhên bi toĂn theo nhiÃu gõc ở khĂc nhau. Tứ nhỳng phƠn tẵch v Ănh gi¡ ð tr¶n, tỉi lüa chån · t i Ùng dưng phữỡng phĂp vectỡ trong giÊi toĂn hẳnh hồc phng. Ã ti têp trung lm ró mởt số dÔng toĂn hẳnh hồc phng cõ th giÊi bơng phữỡng phĂp vectỡ, ỗng thới qua õ giúp ngữới hồc thĐy ữủc tẵnh ữu viằt cừa phữỡng phĂp vectỡ.

2. ối tữủng nghiản cựu

Vectỡ v cĂc php toĂn trản vectỡ. 3. PhÔm vi nghiản cựu

CĂc bi toĂn hẳnh hồc phng cõ th giÊi bơng phữỡng ph¡p vectì. 4. Mưc ti¶u nghi¶n cùu cõa · t i

- Tẳm hiu v hằ thống cĂc kián thực vÃ vectỡ.

- Nghiản cựu mởt số kắ thuêt sỷ dửng vectỡ trong hẳnh hồc phng, bao gỗm: php chiáu vectỡ, tƠm t cỹ, k thuêt dũng tẵch vổ hữợng v tẵch ngoi cừa hai

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

5. Phữỡng phĂp nghiản cựu

- Phữỡng phĂp nghiản cựu lỵ luên: ồc v nghiản cựu sĂch giĂo khoa, giĂo trẳnh, ti liằu liản quan tợi ựng dửng cừa phữỡng phĂp vectỡ.

- Phữỡng phĂp tờng kát kinh nghiằm: Tờng kát kinh nghiằm cừa bÊn thƠn v cĂc bÔn b, anh ch tờng hủp v hằ thống hõa cĂc kián thực vÃ vĐn Ã nghiản cựu Ưy ừ v khoa hồc, kát hủp ữa vo cĂc vẵ dử minh hồa chi tiát.

- Phữỡng phĂp lĐy ỵ kián chuyản gia: LĐy ỵ kián cừa giÊng viản trỹc tiáp hữợng dăn v cĂc giÊng viản khĂc hon thiằn vÃ mt nởi dung cụng nhữ hẳnh thực.

6. ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn cừa Ã ti

Ã ti cõ giĂ tr vÃ mt lỵ thuyát v ựng dửng. Cõ th sỷ dửng luên vôn lm ti liằu tham kh£o d nh cho gi¡o vi¶n, sinh vi¶n ng nh To¡n, °c bi»t cho håc sinh trong qu¡ tr¼nh håc to¡n ð chữỡng trẳnh phờ thổng. Tứ õ giúp hồc sinh cõ hựng thú, phĂt trin cho hồc sinh nông lỹc tữ duy, giúp hồc sinh nhên thĐy mối liản hằ giỳa tri thực toĂn hồc.

7. Kát cĐu cừa luên vôn

Ngoi phƯn m Ưu v kát luên, nởi dung luên vôn dỹ kián ữủc chia thnh hai chữỡng:

- Chữỡng 1. Kián thực cỡ s

- Chữỡng 2. K thuêt sỷ dửng phữỡng phĂp vectỡ trong giÊi toĂn hẳnh phng.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

CHìèNG 1 KIN THÙC CÌ SÐ

Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc dnh trẳnh by cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ b£n cõa vectì, c¡c ph²p to¡n vectì, t¥m t¿ cü, tẵch vổ hữợng v tẵch ngoi cừa hai vectỡ. Nởi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o tø c¡c t i liằu [1], [2], [5].

1.1 KhĂi niằm v tẵnh chĐt cừa vectỡ

nh nghắa 1.1. Vectỡ l mởt oÔn thng cõ hữợng. Mët vectì k½ hi»u l −→

AB, −CD−→,... Vectì câ iºm Ưu v im cuối trũng nhau nhữAA ữủc gồi l 0 . nh nghắa 1.2. Vợi mội vectỡ AB (khĂc vectì −→0) ÷íng th¯ng AB ÷đc gåi l gi¡ cõa vectỡ AB. Cỏn ối vợi vectỡ AA thẳ mồi ữớng th¯ng i qua A ÷đc gåi l gi¡ cõa nâ.

Hai vectỡ cũng phữỡng náu giĂ cừa chúng song song hoc trịng nhau. Ph÷ìng cõa−→AB l ph÷ìng (song song) cõa ÷íng th¯ng AB.

i·u ki»n º hai vectì −→AB, −−→CD cịng ph÷ìng l AB = k.

CD, k R. Hữợng cừaAB l hữợng tứ A án B.

Hai vectỡ AB, CD cũng hữợng khi v ch¿ khi−→AB, −−→CD cịng ph÷ìng v hai tia AB, CD cũng hữợng. Kẵ hiằu AB^^ CD.

iÃu kiằn hai vectỡ AB , CD ngữủc hữợng l AB = k.CD, k < 0.

Vectỡ 0 thẳ cũng phữỡng, cũng hữợng vỵi måi vectì. ë d i cõa −→AB l ë d i cừa oÔn thng AB. Kỵ hiằu |AB|.

nh nghắa 1.3. Hai vectỡ AB , CD ữủc gồi l bơng nhau náu chúng cũng hữợng v cũng ở di. Kẵ hiằu AB = −−→CD.

i·u ki»n º hai vectì −→AB , −−→CD b¬ng nhau n¸u −→AB^^ −−→CD v |−→AB| = |−−→CD|. Hai vectì −→AB, −CD−→ èi nhau n¸u −→AB + −−CD→ = −→0. Kẵ hiằu AB = - CD.

nh nghắa 1.4. Cho hai vectì −→a v −→b ·u kh¡c vectì −→0. Tø iºm O b§t ký, ta v³ c¡c vectì −→OA = −→a v −OB→ = −→b . Gâc [AOB vỵi sè o tứ 00 án 1800 ữủc

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

gồi l gâc giúa hai vectì−→a v −→b . Ta k½ hi»u gâc giúa hai vectì −→a v −→b l (−→a,−→b ).

1.2 C¡c ph²p to¡n vectì

1.2.1 Ph²p cëng vectì

ành ngh¾a 1.5. Cho hai vectì −→a v −→b . L§y iºm A b§t ký x¡c ành c¡c iºm B v C sao cho −→AB =−→a, −BC→ =−→b . Khi â −→AC ÷đc gåi l têng cõa hai vectì −

→a v −→b . K½ hi»u: −→AC = −→a + −→b .

Quy tc 3 im vÃ php cởng vectỡ.

Vợi 3 im bĐt ký A, B, C ta câ: −→AC = −→AB + −BC→. Khi iºm A v C tròng nhau: −→AB + −→BA = −→AA = −→0.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

1.2.2Ph²p trø vectì

ành ngh¾a 1.6. Hi»u cõa hai vectì−→a v −→b, k½ hi»u −→a - −→b l têng cõa vectì −→a v vectì èi cõa vectì −→b , tùc l −→a - −→b =−→a + (b ). Php lĐy hiằu cừa hai vectỡ

Náu k 0 thẳ vectỡ k.a cũng hữợng vectỡ a. Náu k < 0 thẳ vectỡ k.a ngữủc hữợng vectỡ −→a. H» qu£ 1.1. Vỵi måi −→a v sè thüc k, ta cõ:

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

nh lẵ 1.4. Náu G l trồng tƠm cừa tam giĂc ABC thẳ vợi måi iºm M ta câ:

N¸u câ mët trong hai vectỡ a ,

b l vectỡ 0 thẳ (a,b ) nhên mởt giĂ tr tũy

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

1.4.2 Hữợng v diằn tẵch Ôi số cừa tam giĂc

1.4.2.1 Hữợng cừa tam giĂc

Cho tam giĂcABC, ta thĐy cĂc hữợngA B C; B → C → A; C → A → B trũng nhau. CĂc hữợng trũng nhau õ gồi l hữợng cừa tam giĂcABC. ữỡng nhiản cĂc tam giĂcABC, BCA, CAB cõ cũng hữợng. Náu hữợng cừa tam giĂcABC trũng vợi hữợng cừa mt phng thẳ ta nõi tam giĂc cõ hữợng dữỡng (thuên). Náu tam giĂc ABC cõ hữợng ngữủc vợi hữợng cừa mt phng thẳ ta nõi tam giĂc ABC cõ huợng Ơm (nghch).

1.4.2.2Diằn tẵch Ôi số cừa tam giĂc

Diằn tẵch Ôi số cừa tam giĂc ABC l mởt số, kẵ hiằu S[ABC]v xĂc nh nhữ sau: Tữỡng tü ta câ : S[BCA] = S[CAB].

1.4.2.3Mèi li¶n h» giúa diằn tẵch Ôi số v diằn tẵch hẳnh hồc cừa tam giĂc KhĂi niằm diằn tẵch hẳnh hồc chẵnh l khĂi niằm diằn tẵch m ta văn hiu theo nghắa thổng thữớng. Tuy nhiản, khi cƯn phƠn biằt khĂi niằm diằn tẵch v diằn tẵch Ôi số thẳ ngữới ta thữớng thay thuêt ngỳ "diằn tẵch" bi thuêt ngỳ "diằn tẵch hẳnh hồc".

* ối vợi mởt tam giĂc thẳ diằn tẵch Ôi số v diằn tẵch hẳnh hồc cừa nõ ữủc liản hằ vợi nhau bi nh lẵ sau Ơy :

Náu tam giĂc ABC cõ hữợng dữỡng thẳ S[ABC] = S(ABC). Náu tam giĂc ABC cõ hữợng Ơm thẳ S[ABC] = S(ABC). é Ơy, S(ABC) ch diằn tẵch h¼nh håc cõa tam gi¡c ABC.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

ii) Vỵi måi iºm M ta câ S[ABC] = S[MAB] + S[MBC] + S[MCA] (h» thùc Sa-lì). Nhªn x²t 1.1. Tø khĂi niằm v tẵnh chĐt cừa tẵch ngoi hai vectỡ, ta cõ ngay kát quÊ sau Ơy:

Diằn tẵch tam gi¡c: SABC = 1

1.5.1 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» hai iºm

M»nh · 1.1. Cho hai iºm A, B v hai số thỹc x, y khổng ỗng thới bơng 0. Khi õ, tỗn tÔi duy nhĐt im I sao cho

V¸ ph£i cõa (1.2) l mët vectì ho n to n x¡c nh, nản tứ (1.2) suy ra tỗn tÔi duy nhĐt imI thọa mÂn (1.1). Mằnh Ã ữủc chựng minh. ành ngh¾a 1.10. C¡c sè x, y (x + y ̸= 0) ÷đc gåi l tåa ë t¿ cü cõa iºm I v

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

vi¸t I(x, y) èi vợi hằ hai im A, B, náu cõ hằ thực (1.1).

Nhên xt 1.4. KhĂi niằm tƠm t cỹ I(x, y) ÷đc coi l mð rëng cõa kh¡i ni»m trung iºm cừa mởt oÔn thngAB vẳ I(1, 1) chẵnh l trung im cừa oÔn thng

l cổng thực trung im quen thuởc trong hẳnh hồc.

1.5.2 Tồa ở tƠm t cỹ cừa h» ba iºm

M»nh · 1.2. Cho ba iºm A, B, C v ba sè thüc x, y, z thäa m¢n i·u ki»n x +y + z ̸= 0. Khi â, tỗn tÔi duy nhĐt im I = I(x, y, z) sao cho

V¸ ph£i cõa (1.6) l mët vectì ho n to n xĂc nh, nản tứ (1.6) suy ra tỗn tÔi duy nhĐt imI = I(x, y, z) thọa mÂn (1.6), tực l thọa mÂn yảu cƯu mằnh Ã.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

ành ngh¾a 1.11. C¡c sè x, y, z(x + y + z ̸= 0) ÷đc gåi l tåa ë t¿ cü cõa iºm I v vi¸t I(x, y, z) èi vỵi h» ba iºm A, B, C (èi vỵi tam giĂc ABC náu A, B, C

Nhên xt 1.6. KhĂi niằm tƠm t cỹ I(x, y, z) ữủc coi l mð rëng cõa kh¡i ni»m trång t¥m cõa tam gi¡c ABC vẳ I(1, 1, 1) chẵnh l trồng tƠm G cõa tam gi¡c ABC.

l cỉng thùc trång t¥m quen thc èi vỵi tam gi¡c.

M»nh · 1.3. Gi£ sû (x, y, z) v (x′, y′, z′) l c¡c tåa ë t¿ cü cõa cịng iºm I èi vỵi h» ba iºm A, B, C. Khi â,

1.5.3 Tåa ë t¥m t¿ cü cõa h» nhi·u iºm

ành ngh¾a 1.12. Cho n iºm A1, A2, ..., An v n sè thüc k1, k2, ..., kn thäa m¢n i·u ki»n:k1+ k2+ ... + kn̸= 0. Khi õ, náu tỗn tÔi duy nhĐt mởt im G sao cho: thẳ G ữủc gồi l tƠm t cỹ cõa h» iºm Ai gn vỵi c¡c h» sè ki.

Trong trữớng hủp cĂc hằ sốki bơng nhau thẳ i = (1, n) thẳ G ữủc gồi l trồng tƠm cừa h» n iºm Ai, i = 1, n.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

nh lẵ 1.8. Náu G l tƠm t cỹ thẳ mồi im O bĐt ký ta cõ:

AB l vectỡ bĐt kẳ. Qua A, B k cĂc ữớng thng song song vỵi ℓ, chóng ct ∆ theo thù tü A', B'. VectỡAB ữủc gồi l hẳnh chiáu cừa vectỡ AB qua php chiáu phữỡng lản ữớng thng .

Hin nhiản, náu hai vectỡ bơng nhau thẳ cĂc hẳnh chiáu cừa chúng qua cũng mởt php chiáu vectỡ cụng bơng nhau.

Nhên x²t 1.7. Khi nâi ¸n ph²p chi¸u vectì m khỉng nõi ró phữỡng chiáu thẳ ta hiu õ l php chiáu vectỡ cõ phữỡng vuổng gõc vợi ữớng thng chiáu. nh lẵ 1.9. Gồi f l php chiáu vectỡ phữỡng lản ữớng thng . Ta cõ:

f(a +

b ) = f (−→a ) + f (−→b ). f(k.−→a ) = k.f (−→a ).

f(−→a ) =−→

0 ⇔ Gi¡ cõa −→a song song vỵi ℓ. f(−→a ) = −→a ⇔ Gi¡ cõa −→a song song vỵi ∆.

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

CHìèNG 2

Kò THUT S DệNG PHìèNG PHP VECTè TRONG GII TON HNH HÅC PHNG

Trong ch÷ìng n y, chóng ta s sỷ dửng cĂc kắ thuêt vectỡ: Php chiáu, tƠm t cỹ, tẵch vổ hữợng, tẵch ngoi trong viằc giÊi toĂn hẳnh hồc phng. CĂc ti liằu tham khÊo ữủc sỷ dửng trong chữỡng bao gỗm [1], [2], [3], [4], [5], [6], [?], [?].

Vẵ dử 2.1. Cho hẳnh bẳnh hnh ABCD vỵi c¡c iºm X, Y, Z, T theo thù tü thc c¡c ÷íng th¯ng AB, BC, CD, DA. Gåi O1, O2, O3, O4 theo thự tỹ l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp cĂc tam giĂcBXY , CY Z, DZT , AT X. Chựng minh rơng O1O2O3O4 l hẳnh bẳnh h nh.

Gåi f, g l c¡c ph²p chi¸u vectì vng gâc l¶n AB, AD.

Ta s³ chùng minh hai vectì −−−→O1O4 v O2O3 cõ hẳnh chiáu qua hai php chiáu f v g l bơng nhau. Thêt vêy,

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Vẵ dư 2.2. Cho tam gi¡c ABC v O, H l¦n lữủt l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp v trỹc tƠm cõa tam gi¡c. Chùng minh r¬ng

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Theo k¸t qu£ vøa chùng minh ta câ −−→OH = 3−→

OG, dăn án kát quÊ quen thuởc: Trong tam giĂc, trửc tƠm, trồng tƠm v tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp nơm trản mởt ữớng thng (ữớng thng Euler).

Vẵ dử 2.3. Cho tam giĂc ABC, M l im bĐt kẳ trong tam giĂc. AM , BM, CM lƯn lữủt cưt BC, CA, AB tÔi A, B, C. Chựng minh rơng M l trång t¥m tam gi¡c ABC khi v ch¿ khi M l trồng tƠm tam giĂc ABC.

GiÊi. Ta cõ M nơm trong tam gi¡c ABC n¶n ∃α, β, γ ̸= 0 sao cho

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

V½ dư 2.4. Cho tam gi¡cABC, c¡c iºmM, N, P thc c¡c ÷íng th¯ngBC, CA, AB. Chựng minh rơng: AM , BN , CP ỗng quy tÔi tƠm t cỹ cừa hằ im A, B, C ùng vỵi c¡c h» sè {α, β, γ} khi v ch¿ chi

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

V½ dư 2.5. Cho△ABC, v³ c¡c trung tuy¸nAM , BN , CP v c¡c ph¥n gi¡cAD, BE, CF. C¡c iºm X, Y, Z thuëc cĂc cÔnh BC, CA, AB sao cho \M AD =XAD[, [N BE =

Y BE,P CF =[ ZCF[. Chùng minh r¬ng AX, BY , CZ ỗng quy. GiÊi.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

LĐy C1, B1 tữỡng ựng thuởc cĂc tia AB, AC sao cho: AC1 = AC, AB1 = AB Gåi M1= AX B1C1, dạ thĐy M1 l trung im cừa B1C1.

▷ 2.1. Cho tam gi¡c ABC v iºm M thay êi trong tam gi¡c. H, I, K theo tù tü l hẳnh chiáu cừa M trản cĂc ữớng thng BC, CA, AB. Tẳm qu tẵch trồng tƠm G cừa tam gi¡c HIK.

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

▷ 2.2. Cho tam gi¡c ABC v im M nơm trong tam giĂc. CĂc ữớng th¯ng AM, BM, CM theo th÷ tü ctBC, CA, AB tÔi A1, B1, C1. Gồi A2, B2, C2 theo thự tü l trung iºm cõaB1C1, C1A1, A1B1. C¡c ÷íng th¯ng M A2, M B2, M C2 theo thù tü ct BC, CA, AB tÔi A3, B3, C3. Chựng minh rơng:

a) AA3, BB3, CC3 ỗng quy tÔi mởt im (kẵ hiằu l K). b) M K i qua trång t¥m cõa tam giĂc A1B1C1. thẳ G ữủc gồi l tƠm t cü cõa h» iºm Ai gn vỵi c¡c h» sè ki.

Náu trong mởt bi toĂn hẳnh hồc m giÊ thiát v kát luên cừa nõ chựa biu thực dÔng (*) hoc liản quan án biu thực dÔng (*) thẳ iÃu â gđi cho ta dịng t¥m t¿ cü trong (*) rút gồn vÃ dÔng ỡn giÊn nhĐt v tián hnh giÊi bi toĂn trong trữớng hủp õ. PhƯn lợn nhỳng bi toĂn nhữ tẳm têp hủp im, khÊo sĂt ë d i c¡c vectì, kh£o s¡t t½nh th¯ng h ng cõa 3 im... ta thữớng sỷ dửng tƠm t cỹ giÊi chúng.

2.2.1.1 Dỹng v tẳm im

dỹng imM thọa mÂn iÃu kiằn (*) ta cƯn rút gồn vá trĂi cừa (*) v· mët biºu thùc ch¿ cán 1 vectì phư thuëc v o M. Sau â sû döng quy tc ba iºm ho°c quy tc h¼nh b¼nh h nh ho°c quy tc nhƠn mởt vectỡ vợi mởt số thỹc.

Vẵ dử 2.6. Cho tam gi¡c ABC. T¼m iºm M sao cho:

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Gi£i. Tø gi£ thi¸t ta suy ra:

Cho c¡c iºm A1, A2, . . . , An v n + 1 sè thüc x1, x2, . . . , xn, k vợi k > 0. Tẳm têp hủp im M sao cho: giÊi bi toĂn trản ta cƯn thỹc hiằn cĂc bữợc sau:

- Rút gồn biu thực vectỡ trong d§u ë d i v· mët vectì phư thc M. - Tẳm im cố nh cõ liản quan án M.

Vẵ dử 2.7. Cho bèn iºm ph¥n bi»t A, B, C, D. Tẳm têp hủp im M sao cho:

GiÊi. Nhẳn vo vá trĂi cừa giÊ thiát ta thĐy tỗn tÔi duy nhĐt imM0 l tƠm t cỹ cừa 4 im Â cho vợi cĂc t cỹ tữỡng ựng l 1, 2, 3, 4. Ta câ:

AC| = 2AD (D l iºm cè ành) Tứ cĂc kát quÊ trản ta suy ra 5M0M = AD v iÃu ny cho thĐy:

- Náu AD = 0 thẳ têp M l im M0

- Náu AD = 0 thẳ têp M l ữớng trỏn tƠm M0, bĂn kẵnh R = AD

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

B i to¡n 2.

Cho c¡c iºm A1, A2, . . . , An v n sè thüc x1, x2. . . xk. Vỵi iºm M thc mët ÷íng th¯ng (d)(ho°c ÷íng trán (O) ho°c mët h¼nhF n o dâ), ta x¡c ành iºm

º gi£i b i to¡n trản ta cƯn thỹc hiằn cĂc bữợc sau:

- Rút gồn biºu thùc v²ctì ð v¸ tr¡i v· mët v²ctì phư thuởc M. - Ch ra tẵnh chĐt cừa M vợi N.

Vẵ dử 2.8. Cho hai im A, B v ữớng trán (O). Vỵi méi iºm M thc (O) ta x¡c ành iºm N sao cho −−→M N =−−→

M A +−−→M B. Tẳm têp hủp N khi M thay ời trản (O). GiÊi. Gồi I l trung im cừa oÔn AB, ta câ: Gåi O' l iºm èi xùng cõa O qua I.

Vẳ I v O cố nh nản O' cố ành. Hiºn nhi¶n O'N = OM = R (khỉng êi).

2.2.1.3 B i to¡n cüc trà v· ë d i vectì

Cho c¡c iºm A1, A2, . . . , An v n sè thüc x1, x2. . . xk. Vỵi iºm M thc mởt ữớng thng (d)(hoc ữớng trỏn (O) hoc mởt hẳnhF n o dâ), ta x¡c ành iºm

min hoc max.

Muốn vêy, ta cƯn rút gồn biu thùc vectì trong d§u ë d i v· mët vectì phư thuëc M. Sau â, ta t¼m min ho°c max ë d i vectì â.

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

2.2.2 V½ dư minh hồa

Vẵ dử 2.9. Cho ABC cõ ba cÔnh BC = a, CA = b, AB = c. Gåi I l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp ABC. Chựng minh rơng I l t¥m t¿ cü cõa h» ba iºm A,B,C ùng

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Vẵ dử 2.10. Cho tam giĂc ABC.

1)HÂy düng iºm I l t¥m t¿ cü cõa ba iºm A, B, C ùng vỵi bë sè (3; −2; 1). 2)Chựng minh rơng ữớng thng nối hai im M N ÷đc x¡c ành tø h» thùc −−→

M N = 3−−→

M A − 2−−→

M B +−−→

M C luæn i qua mët im cố nh. 3) Tẳm qu tẵch cừa M sao cho: |3−−→M A − 2−−→

Gi£i. 1) iºm I l t¥m t¿ cü cõa bë ba iºm A, B, C ùng vợi bở số (3; 2; 1) nản im I cƯn tẳm thoÊ mÂn hằ thực sau:

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

2)Theo tẵnh chĐt cừa tƠm t cỹ ta cõ:

Do õ ba iºm M, N, I ln th¯ng h ng, hay måi ÷íng th¯ng nèi hai iºm M, N ·u i qua mët im cố nh.

3) Theo tẵnh chĐt cừa tƠm t cỹ ta suy ra:

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

4) Gåi G l trång t¥m cõa △ABC v F l trung iºm cõa cÔnh BC.

Suy ra qu tẵch cừa M chẵnh l ữớng trung trỹc cừa oÔn thng GF vợi G l trồng t¥m cõa △ABC v F l trung iºm cõa BC.

5) Gåi P l t¥m t¿ cü cõa hai iºm A, B ùng vỵi bë sè (2;1) v K l trung im

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Theo tẵnh chĐt cừa tƠm t cü ta câ :

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Gåidl ÷íng th¯ng quaG 4

3; 1 v vuổng gõc vợi ữớng thng : x2y 3 = 0 nản ữớng thngd cõ vec tỡ phĂp tuyán nd(2; 1).

Vẵ dử 2.12. Chựng minh rơng cĂc ÷íng th¯ng i qua mët ¿nh cõa tam gi¡c v tiáp im cừa ữớng trỏn nởi tiáp vợi cÔnh ối ỗng quy tÔi mởt im K.

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Do â K ∈ AA1.

T÷ìng tü, ta chùng minh ÷đcK ∈ BB1 vK CC1. Vêy ba ữớngAA1, BB1, CC1

2.2.3 Bi tªp tü luy»n

▷ 2.3. Cho tam gi¡c ABC câ trång tƠm G, v im M bĐt ký. Gồi A, B, C lƯn luủt ối xựng vợiM qua trung im BC, CA, AB. Chựng minh rơng AA, BB, CC ỗng quy tÔi mởt dim thuởc M G.

2.4. Cho tam giĂc ABC.

1) X¡c ành iºm I sao cho nâ l t¥m t¿ cü cõa ba iºm A, B, C ùng vỵi bë sè: (1; 3; −2). X¡c ành iºm D sao cho nâ l t¥m t¿ cü cõa hai iºm B, C ựng vợi bở

2.3.1.1 Tẵnh ở di oÔn thng hoc kho£ng c¡ch giúa hai iºm

- Chån mët c°p vectì l m cì sð. â l c°p vectì câ ë d i x¡c nh v gõc tÔo bi chúng xĂc nh. Cp vectỡ cỡ s luổn tỗn tÔi trong giÊ thiát cừa bi to¡n. Xem AB l mët vectì v biºu thà nâ qua cỡ s Â chồn.

- Sỷ dửng cổng thực tẵnh tẵch vổ hữợng cừa chẵnh AB v phối hủp vợi cĂc hơng ng thực vÃ tẵch vổ hữợng.

- KhoÊng cĂch giỳa hai im chẵnh l ở di oÔn thng nối hai iºm â.

V½ dư 2.13. ChoB, C, D l ba im theo thỷ tỹ cũng nơm trn mởt ữớng thng

</div>