Ứng dụng phép nghịch đảo để giải toán hình học phẳng

Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán phổ thông thì phần hình học phẳng là một phần rất hay và
quan trọng của môn toán bên cạnh những vấn đề về giải tích, đại số, bất đẳng thức, số
học…Phần hình học phẳng là một trong những mảng kiến thức mà học sinh được làm quen
từ những năm tiểu học như về những khái niệm cơ bản ban đầu về hình vuông, hình chữ
nhật, hình tròn…
Khi lên cấp Trung học cơ sở thì học sinh dần làm quen với những vấn đề phức tạp
hơn của hình học phẳng chẳng hạn như những bài toán về chứng minh song song, thẳng
hàng, đồng qui, các định lí nổi tiếng của hình học phẳng như Talet, Pitago, Men nê lê uyt,
Xê Va…những vấn đề rất hay và khó của hình học phẳng như những bài toán về chứng
minh thẳng hàng, đồng qui, quĩ tích, dựng hình là những dạng bài tập mà học sinh thường
gặp nhiều khó khăn trong khi học, vì không có nhiều công cụ cũng như định lí để giải đối
với cấp Trung học cơ sở.
Khi lên cấp Trung học phổ thông thì học sinh cũng được tiếp tục học một phần về
hình học phẳng nhưng chủ yếu là sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Nhưng
Trong các kì thi học sinh giỏi ở cấp Trung học phổ thông thì thường không thể thiếu bài tập
hình học phẳng, bài tập này thường gây không ít khó khăn cho học sinh vì dạng bài tập rất
phong phú và đa dạng. Nhưng khó nhất vẫn là những dạng bài tập về sự thẳng hàng, đồng
qui, quĩ tích. Học sinh thường lúng túng, khó khăn khi gặp những dạng bài tập này.
Để làm tốt những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhiều định lí, đặc biệt
là không thể thiếu các kiến thức về phép biến hình, các phép biến hình mà trong chương
trình mà các em thường được học là phép tịnh tiến, phép đối xứng, trục, đối xứng tâm, phép
vị tự, phép quay. Đó là những phép biến hình rất quan trọng trong chương trình toán phổ
thông. Nhưng sẽ có một thiếu sót rất lớn nếu như không nói tới những ứng dụng của phép
nghịch đảo, phép biến hình này có nhiều ứng dụng rất hay và thú vị nhưng rất ít học sinh
biết đến phép biến hình này vì trong chương trình phổ thông đại trà không có dạy.
Cho nên qua một thời gian tìm tòi, nghiên cứu và tham khảo các tài liệu khác nhau,
tôi đã phát hiện ra những ứng dụng rất hay của phép biến hình này và đã đem vào ứng dụng

cho đội tuyển học sinh giỏi của trường và thu được một số kết quả khả quan.
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 1
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

II. NỘI DUNG CỤ THỂ
Các vấn đề trong bài viết được trình bày theo hai phần:
Phần thứ nhất: Là hệ thống lí thuyết liên quan đến phép nghịch đảo: Định nghĩa;các định
lí, hệ quả…được trình bày một cách chi tiết.
Phần thứ hai: Là một số bài tập về nhiều thể loại của hình học phẳng được giải bằng phép
nghịch đảo.
ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÍ
Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số
0k ≠
. Nếu ứng với mỗi điểm M của mặt phẳng
khác với điểm O ta tìm được điểm
'M
trên đường thẳng OM sao cho
. 'OM OM k=
thì
phép biến hình
( ) 'f M M=
gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k. Ta thường kí hiệu
phép nghịch đảo đó là
( , )f O k
. Phép nghịch đảo f hoàn toàn được xác định nếu biết cực O
và phương tích k của nó.
Các tính chất
a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì
. ' '.OM OM OM OM k= =

nghĩa là nếu
' ( )M f M=
thì ta cũng có
( ')M f M=
. Do đó
( )f f M M=o
hay
2
f
là phép đồng nhất.
b) Nếu
0k >
thì hai điểm M và
' ( )M f M=
cùng nằm về một phía đối với điểm O.
Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo
( , )f O k
là đường tròn tâm O và có
bán kính bằng
k
. Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo
( , )f O k
.
Ta có
( )
2
. 'OM OM k k= =
.
Cần lưu ý rằng nếu điểm M nằm ở miền trong của đường tròn nghịch đảo thì điểm
' ( )M f M=

sẽ nằm ở miền ngoài đường tròn nghịch đảo và ngược lại.
c) Nếu
0k <
thì hai điểm M và
' ( )M f M=
nằm về hai phía đối với điểm O. Khi đó
ta không có điểm kép và do đó không có đường tròn nghịch đảo vì
0k <
.
Vì
. 'OM OM k=
không đổi nên nếu điểm M tiến lại gần điểm O thì điểm
'M
càng di
xa điểm O. Ta vẽ đường tròn đường kính
'MM
và từ O vẽ vẽ đường thẳng vuông góc với
'MM
cắt đường tròn đó tại A và B. Ta có
. . 'OAOB OM OM k= =
.
Nếu
' ( )N f N=
qua phép nghịch đảo với
0k <
đã cho thì ta cũng có
. '. . ' OM OMOAOB ON ON= =
. Khi đó bốn điểm
, ', ,N N A B
cùng nằm trên một đường tròn.

Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 2
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Các định lí
Định lí 1
Nếu phép nghịch đảo
( , )f O k
có phương tích
0k >
thì mọi đường tròn đi qua hai điểm
tương ứng M và
' ( )M f M=
đều trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo
đó.
Chứng minh
Theo giả thiết ta có
. 'OM OM k=
.
Giả sử (C) là một đường tròn bất kì qua M và
' ( )M f M=
. Khi đó:
( )
2
. '
( )/( )
P OM OM k
O C
= =
(1).

Nếu đường tròn nghịch đảo tâm O có bán kính
R k=
thì hệ thức (1) chứng tỏ rằng đường tròn (C)
trực giao với đường tròn (O) . Suy ra mọi đường tròn qua M và
'M
(tạo nên một chùm
đường tròn) đều trực giao với đường tròn nghịch dảo tâm O bán kính
R k=
.
Hệ quả: Qua phép nghịch đảo với phương tích
0k >
, mọi đường tròn trực giao với đường
tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó.
Định lí 2. Cho phép nghịch dảo
( , )f O k
với
0k >
. Nếu có hai đường tròn trực giao với
đường tròn nghịch đảo tâm O và cắt nhau tại M,
'M
thì hai điểm này là hai điểm tương ứng
của phép nghịch đảo
( , )f O k
đã cho.
Chứng minh
Giả sử hai đường tròn
( ) ( )
1 2
,C C
trực giao với đường tròn nghịch đảo (O) và chúng cắt nhau

tại M và
'M
.
Trục đẳng phương
'MM
của hai đường
tròn
( ) ( )
1 2
,C C
đi qua tâm O của đường tròn
nghịch đảo và điểm O nằm ngoài đoạn
'MM
vì
O phải nằm ngoài hai đường tròn
( ) ( )
1 2
,C C
.
Đường tròn (O) trực giao với hai đường tròn
( ) ( )
1 2
,C C
nên ta có:
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 3
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

( )
2
1 2

( )/( ) ( )/( )
P P k
O C O C
= =
. Do đó
. 'OM OM k=
suy ra đpcm.
Định lí 3. Đối với một phép nghịch đảo
( , )f O k
bất kì , hai điểm A, B không thẳng hàng
với cực nghịch đảo, cùng với ảnh của chúng là
' ( ), ' ( )A f A B f B= =
củng nằm trên một
đường tròn.
Chứng minh
Vì
. ' . 'OAOA OBOB k= =
nên bốn điểm
, ', , 'A A B B
Cùng nằm trên một đường tròn.
Định lí 4. Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực là
( , )f O k
và
'( , ')f O k
là một phép vị
tự tâm O tỉ số
'k
k
.
Chứng minh

Nếu phép nghịch đảo
( , )f O k
biến M thành
'M
và phép nghịch đảo
'( , ')f O k
biến
'M

thành
"M
thì:
. ' , '. " 'OM OM k OM OM k= =
. Do đó suy ra
" '
'
OM k
k
OM
=
. Vậy tích của hai
phép nghịch đảo đó là phép vị tự tâm O tỉ số
'k
k
.
Nói chung tích của hai phép trên không có tính chất giao hoán trừ trường hợp
'k k=
.
Hệ quả. Hình dạng ảnh của một hình H trong một phép nghịch đảo không phụ thuộc
vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí cực nghịch đảo.

Thật vậy giả sử
1
H
là ảnh của H trong phép nghịch đảo
1 1
( , )f O k
và
2
H
là ảnh của
hình H trong phép nghịch đảo
2 2
( , )f O k
, khi đó:
1
1 1 2 2 2 2 2 2
( ), ( ) ( ) ( )H f H H f H H f H f H
−
= = ⇒ = =
. Do đó:
( )
1 1 2 2 1 2 2 2
( ) ( ) ( )H f f H f f H V H
 
 
= = =o
. Với V là một phép vị tự . Do đó
1
H
và

2
H
là hai
hình đồng dạng.
Định lí 5. Cho hai điểm A, B và ảnh
', 'A B
của chúng trong một phép nghịch đảo cực O,
phương tích k. Độ dài các đoạn thẳng AB và
' 'A B
lien hệ với nhau bởi hệ thức.

' '
.
AB
A B k
OAOB
=
' '
.
AB
A B k
OAOB
=


Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 4
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Chứng minh
Ta xét hai trường hợp:

a) Ba điểm O, A, B không thẳng hàng
Ta có
. ' . 'OAOA OBOB=
hay
'
'
OA OB
OB OA
=
.
Vậy hai tam giác OAB và
' 'OB A
đồng dạng nên:
' ' ' '.
. .
A B OA OA OA k
AB OB OAOB OAOB
= = =
Do đó:
' '
.
AB
A B k
OAOB
=
' '
.
AB
A B k
OAOB

=
.
b) Ba điểm O, A, B thẳng hàng:
Khi đó ta có
( )
' ' ' ' ; ' ' .
. .
OA OB
k k AB
A B OB OA A B k k
OB OA OAOB OAOB
−
−
= − = − = =
Lấy trị số tuyệt đối hai vế ta có:
' '
.
AB
A B k
OAOB
=
.
SỰ BẢO TỒN GÓC QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 5
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

1. Định nghĩa. Cho hai đường cong
( )
1
C

và
( )
2
C
cắt nhau tại một điểm A và tại đó
chúng có các tiếp tuyến. Ta gọi góc giữa hai tiếp tuyến đó là góc của hai đường cong đã cho
tai điểm A.
2. Bổ đề. Cho phép nghịch đảo
( , )f O k
biến đường cong
( )
C
thành đường cong
( )
'C
. Nếu A,
'A
là hai điểm tương ứng trên
( )
C
,
( )
'C
và tại đó chúng có các tiếp tuyến thì các
tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng
'AA
.
Chứng minh
Ta lấy trên
( )

C
,
( )
'C
hai điểm tương ứng
M và
'M
khá gần A và
'A
sao cho khoảng cách
OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần tới A. Bốn
điểm A, M,
'M
,
'A
luôn luôn thuộc một đường
tròn (K) và theo hệ thức:

' '
.
MA
M A k
OAOM
=

Khi điểm M đến trùng với A thì điểm
'M
đến trùng với
'A
. Khi đó các cát tuyến AM và

' 'A M
của
Các đường tròn
( )
C
và
( )
'C
đến trùng với các tiếp tuyến At và
' 'A t
của chúng ở A và
'A
.
Gọi (K
0
) là đường tròn đi qua bốn điểm A, M,
'M
,
'A
ở vị trí tiếp xúc , thì (K
0
) sẽ tiếp xúc
với
( )
C
và
( )
'C
tại A và
'A

. Khi đó các tiếp tuyến At và
' 'A t
đồng thời cũng là tiếp tuyến
của đường tròn (K
0
) đi qua A,
'A
nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường
trung trực của dây
'AA
.
3. Định lí. Phép nghịch đảo bảo tồn góc.
Chứng minh
Giả sử qua phép nghịch đảo f, hai đường cong
(C) và (D) cắt nhau tại một điểm A biến thành các đường
cong
( ')C
và
( ')D
cắt nhau tại điểm
' ( )A f A=
.
Theo bổ đề các tiếp tuyến At và
' 'A t
của (C) và
( ')C
tại A và
'A
đối xứng với nhau qua đường trung trực
D của đoạn

'AA
. Tương tự các tiếp tuyến Au và
' 'A u
của (D) và
( ')D
tại A và
'A
cũng đối xứng nhau
Qua d . Vậy hai góc
( , )At Au
và
( ' ', ' ')A t A u
đối xứng
nhau qua d nên chúng có độ lớn hình học bằng nhau nhưng ngược hướng. Ta có
( ' ', ' ') ( , )A t A u At Au= −
.
ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 6
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Từ định nghĩa, ta suy ra rằng phép nghịch đảo biến mỗi đường thẳng đi qua cực
nghịch đảo thành chính đường thẳng đó. Còn đối với đường thẳng không đi qua cực nghịch
đảo thì ảnh của nó được xác định bởi các định lí sau đây.
1. Định lí 1. Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo O
thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo trừ điểm O.
Ngược lại một đường tròn đi qua cực nghịch đảo O (trừ điểm O) thì có ảnh là một
đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo đó.
Chứng minh
Giả sử d là một đường thẳng không đi qua
cực nghịch đảo O. Gọi H là chân đường vuông góc hạ

từ O xuống d và
'H
là ảnh của H qua phép nghịc đảo
( , )f O k
. Ta có:
. 'OH OH k=
Ta lấy một điểm M khác với H và giả sử
' ( )M f M=
. Vì bốn điểm
, ', , 'M M H H
cùng thuộc
một đường tròn nên:
( , ') ( ' , ' ')HM HH M M M H=
Vì
( , ')
2
HM HH
π
=
nên
( ' , ' ')
2
M M M H
π
=
.
Do đó
'M
nằm trên đường tròn tâm I đường kính
'OH

. Khi M chạy trên đường thẳng d thì
điểm
' ( )M f M=
chạy trên đường tròn tâm I nói trên, trừ điểm O. Vậy ảnh của d là đường
tròn (I) trừ điểm O.
Phần ngược lại của định lí được chứng minh tương tự.
Chú ý. Gọi
'I
là ảnh của tâm I của đường tròn đường kính OH ta có :

. ' . ' .2OI OI OH OH OH OI= =
. Do đó
' 2OI OH=
.
Hệ quả. Nếu đường tròn tâm I biến thành đường thẳng d thì tâm I của nó biến thành
điểm đối xứng
'I
của cực nghịch đảo O qua d.
2. Định lí 2. Một đường thẳng và một đường tròn có thể xem là ảnh của nhau trong
hai phép nghịch đảo, nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn.
Chứng minh
Cho đường tròn (I) và đường thẳng d không tiếp
xúc với (I). Kẻ đường kính AB của đường tròn (I) vuông
góc với d tại H. Ta có hai phép nghịch đảo:
Với phép nghịch đảo cực A ta có

.AH AB k=
Với phép nghịch đảo cực B ta có

. 'BH BA k=

Cả hai phép nghịch đảo này đềubiến đường thẳng d thành
đường tròn tâm I và ngược lại .
Chú ý. Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm I,
giả sử d tiếp xúc với đường tròn tai B. ( nghĩa là H
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 7
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Trùng với B ) thì ta chỉ có một phép nghịch đảo cực A
với phương tích
2
. 'AM AM AB=
biến đường tròn
thành đường thẳng và ngược lại.
3. Định lí 3. Qua một phép nghịch đảo, một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo
O biến thành một đường tròn không đi qua điểm O đó.
Chứng minh
Cho phép nghịch đảo
( , )f O k
và một đường
Tròn tâm I không đi qua O, ta hãy tìm ảnh của
đường tròn (I) qua phép nghịch đảo f đã cho.
Lấy một điểm M trên đường trỏn tâm I
và giả sử
' ( )M f M=
. Ta có
. 'OM OM k=
(1)
Gọi p là phương tích của điểm O đối
với đường tròn tâm I ta có:
.OM ON p=

(2)
Chia (1) cho (2) ta có
'OM k
p
ON
=
hay
'
k
OM ON
p
=
.
Hệ thức trên chứng tỏ rằng
'M
là ảnh của N qua phép vị tự V tâm O, tỉ số vị tự
k
p
λ
=
. Khi điểm M vạch nên đường tròn (I) thì điểm N cũng vạch nên đường tròn đó, còn
điểm
'M
là ảnh của M trong phép vị tự
O
V
λ
vạch nên đường tròn
( ')I
. Vậy đường tròn

( ')I
là ảnh của đường tròn (I) trong phép vị tự
O
V
λ
. Do đó ảnh của đường tròn (I) qua phép
nghịch đảo
( , )f O k
là đường tròn
( ')I
. Vì điểm O không thuộc đường tròn (I) nên điểm O
cũng không thuộc đường tròn
( ')I
. Vậy ảnh của đường tròn (I) trong phép vị tự
O
V
λ
trùng
với ảnh của đường tròn đó trong phép nghịch đảo
( , )f O k
. Tuy nhiên nếu xét từng điểm,
thì không phải ảnh của một điểm M qua phép vị tự
O
V
λ
và phép nghịch đảo
( , )f O k
đều như
nhau. Ví dụ như hình trên ta có:
( ) 'V M N=

và
( ) 'V N M=
Còn
( ) 'f M M=
và
( ) 'f N N=
PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỐI VỚI HAI ĐƯỜNG TRÒN
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 8
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Ta biết rằng qua một phép nghịch đảo
( , )f O k
một đường tròn không đi qua cực
nghịch đảo O có ảnh là một đường tròn và cực nghịch đảo là tâm vị tự của hai đường tròn
đó.
Ngược lại nếu cho trước hai đường tròn
( , )C I R
và
'( ', ')C I R
, ta hãy xét xem chúng
có thể là ảnh của nhau qua một phép nghịch đảo nào đó hay không. Ta hãy xét các trường
hợp sau:
1. Trường hợp tổng quát
Trường hợp hai đường tròn
( )C
và
( ')C
không bằng nhau và không tiếp xúc nhau, có
hai phép vị tự
'R

R
O
V
và
'
'
R
R
O
V
−
biến đường tròn
( )C
thành đường tròn
( ')C
. Các tâm vị tự O và
'O
không nằm trên hai đường tròn đó. Khi đó có hai phép nghịch đảo biến
( )C
thành
( ')C
.

a) Phép nghịch đảo tâm O với phương tích
'R
k p p
R
λ
= =
trong đó p là phương tích

của điểm O đối với đường tròn (C).
b) Phép nghịch đảo tâm
'O
với phương tích
'
' '
R
k p
R
= −
trong đó
'p
là phương tích
của điểm
'O
đối với đường tròn (C).
2. Các trường hợp đặc biệt
a) Nếu hai đường tròn (C) và
( ')C
không bằng nhau và không tiếp xúc nhau thì có
một phép vị tự tâm
'O
biến đường tròn này thành
đường tròn kia . Do đó ta chỉ có một phép
nghịch đảo cực
'O
với phương tích
'
''
R

p
R
k = −
,
trong đó
'p
là phương tích của điểm
'O
đối với
đường tròn (C) (bằng phương tích của điểm
'O
đối với đường tròn
( ')C
).
b) Nếu hai đường tròn (C) và
( ')C
tiếp xúc nhau tại điểm A nhưng không bằng nhau
thì tiếp điểm là tâm vị tự nhưng không phải là cực nghịch đảo và chỉ có tâm vị tự còn lại là
cực O của phép nghịch đảo.
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 9
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

c) Nếu hai đường tròn (C) và
( ')C
bằng nhau và tiếp xúc với nhau thì không có phép
nghịch đảo nào biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Chú ý. Giả sử phép nghịch đảo
( , )f O k
biến đường tròn (C) thành đường tròn
( ')C

thì tâm I của đường đường tròn (C) không biến thành tâm
'I
của đường tròn
( ')C
. Gọi
( )J f I=
, muốn tìm J ta vẽ qua I một đường thẳng d bất kì và như vậy d vuông góc với
(C) . Vì d không đi qua cực O nên
' ( )d f d=
là đường tròn đi qua O và trực giao với đường
tròn
( ') ( )C f C=
. Đường kính AB của đường tròn
( ')C
đi qua O cắt đường tròn d’ tại J và
O. Ta có A, B, J, O là một hàng điểm điều hòa vì
'd
trực giao với đường tròn
( ')C
. Vậy ta
có
( ) 1ABJO = −
và O, J là hai điểm lien hợp đối với đường tròn
( ')C
.
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TOÁN
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 10
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng nên người ta
khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán. Muốn vậy, trong các bài toán
người ta thường chọn cực nghịch đảo là giao điểm của một số đường tròn và các tính chất
được đề cập đến phải là các bất biến của phép nghịch đảo như độ lớn của góc, tính trực giao
của các đường, sự tiếp xúc của các đường,…
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn
1
( )O
và
2
( )O
trực nhau với nhau và cắt nhau ở A và B.
Ta lấy các điểm C và D trên hai đường tròn đó sao cho đường thẳng CD không đi qua A và
B. Chứng minh rằng các đường tròn (ACD) và (BCD) lúc đó trực giao với nhau.
Giải
a) Cách giải thứ nhất: Dùng phép nghịch đảo
cực A biến các đường tròn trực giao
1
( )O
và
2
( )O
thành các đường thẳng
1
( ' )O
và
2
( ' )O
vuông góc
với nhau tại một điểm

' ( )B f B=
.Ta có
' ( )C f C=

,
' ( )D f D=
là các điểm trên
1
( ' )O
và
2
( ' )O
Khi đó đường tròn (BCD) biến thành
Đường tròn
( ' ' ')B C D
.
Do
' 'B C
vuông góc với
' 'B D
nên
' 'C D
là
Đường kính của đường tròn
( ' ' ')B C D
, có nghĩa
là
' 'C D
trực giao với đường tròn
( ' ' ')B C D

. Vì
' 'C D
là ảnh của đường tròn (ACD) nên ta suy ra
Đường tròn này trực giao với đường tròn (BCD)
Do phép nghịch đảo bảo tồn góc.
Nếu chọn B làm cực nghịch đảo thì ta cũng được cách giải tương tự như trên.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. Chứng minh rằng đường
thẳng HK song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải
Vì
0
90BHC BKC∠ = ∠ =
nên các điểm H và K nằm trên đường
Tròn đường kính BC. Do đó ta có:

. . .AB AK AC AH=
Với phép nghịch đảo f tâm A và phương tích
. . .k AB AK AC AH= =
Điểm B biến thành điểm K, điểm
C biến thành điểm H. Khi đó đường tròn ngoại tiếp tam
Giác ABC biến thành đường thẳng KH vì nó đi qua
cực nghịch đảo A. Mặt khác qua phép nghịch đảo f này
biến tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua
cực nghịch đảo A nên biến thành chính nó. Do đó tiếp tuyến này song
song với KH vì phép nghịch đảo bảo tồn góc.
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 11
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Ví dụ 3. Cho một đường tròn cố định tam O và một dây cung cố định AB của đường
tròn đó. Một điểm M di động trên đường tròn (O). Gọi

'M
là giao điểm thứ hai của các
đường tròn qua M, lần lượt tiếp xúc với đường thẳng AB tại A và B. Hãy tìm tập hợp các
điểm
'M
.
Giải
Gọi (C) và
( ')C
là hai đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại A và B. Đường
thẳng
'MM
là trục đẳng phương của (C) và
( ')C
phải đi qua trung điểm I của đoạn AB. Ta
có:
2 2
. 'IM IM IA IB= =
.
Điểm
'M
là ảnh của M trong phép nghịch đảo
cực I với phương tích
2 2
k IA IB= =
.
Điểm M vạch nên đường tròn (O) nên điểm
'M
vạch nên đường tròn
( ')O

là ảnh của đường
Tròn (O) trong phép nghịch đảo trên. Đường tròn
(O) qua hai điểm A, B là hai điểm bất biến của phép
Nghịch đảo. Vậy
( ')O
là đường tròn đi qua ba điểm
A, B,
'M
. Vẽ tam giác vuông OAH. Ta có
. .IO IH IA IB=
hay
2
'.IA IO IH=
với
'O
là điểm đối xứng của O qua AB và ta có
'IO IO= −
. Vậy: Tập hợp các điểm
'M
là đường tròn
( ')O
đối xứng với đường tròn tâm O
qua đường thẳng AB.
Ví dụ 4. (Định lí ptôlêmê) Điều kiện cần và đủ để một tứ giác lồi nội tiếp là tích hai
đường chéo của nó bằng tích của các cạnh đối diện.
Chứng minh
Cho một tứ giác lồi ABCD. Gọi f là phép nghịch đảo cực D
phương tích k biến A, B, C lần lượt thành
', ', 'A B C
. Ta biết

rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D cùng
nằm trên một đường tròn là ba điểm
', ', 'A B C
thẳng
hàng. Điều kiện thẳng hàng của ba điểm
', ', 'A B C
là:
' ' ' ' ' 'A C A B B C= +
hay
. . .
AC AB BC
k k k
DA DC DA DB DB DC
= +
Nhân hai vế với
. . .DA DB DC k
ta được:
. . .AC DB AB CD AD BC= +
.
Ví dụ 5. Cho điểm I cố định nằm trong đường tròn
( , )O R
. Một dây AB đi động
quanh I. Tìm tập hợp giao điểm M của hai tiếp tuyến tai A, B với đường tròn.
Giải
Đặt
2
k R=
. Xét phép nghịch đảo cực O
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 12
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Phương tích k. Ta có:
Đường tròn
( , )O R
biến thành chính nó. Hai tiếp
tuyến tại A và B biến thành hai đường tròn đường kính
OA, OB. Vậy M là giao của hai tiếp tuyến biến thành K
là giao của hai đường tròn. Nên
0
90OKA OKB∠ = ∠ =
.
Suy ra
K AB∈
. Vì O, I cố định, suy ra K thuộc đường
tròn đường kính OI. Nên M thuộc đường thẳng vuông
góc đường kính OI tại H cố định là ảnh của I qua phép
nghịch đảo nói trên.
Ví dụ 6. Đường tròn nội tiếp
( , )I r
tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
tại
', ', 'A B C
. Gọi M là giao điểm của BC và
' 'B C
. Chứng minh
'AA
vuông góc với MI.
Giải
Xét phép nghịch đảo f cực I phương tích
2

r
.
Khi đó
' 'B C
biến thành đường tròn
( ' ')AC IB
,
BC biến thành đường tròn đường kính
'IA
,
M biến thành K là giao của đường đường tròn
( ' ')AC IB
và đường tròn đường kính
'IA
suy ra
M, K, I thẳng hàng. Mặt khác do
·
·
0
' 90IKA IKA= =
Suy ra
, , 'A K A
. Vậy
'MI AA
⊥
.
Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng
. . .AB CD BC DA AC BD+ ≥
. Dấu bằng xảy
ra khi nào.

Giải
Xét phép nghịch đảo f cực A phương tích
0k >
thì 3 điểm B, C, D biến thành 3 điểm
', ', 'B C D
. Áp dụng bất đẳng thức giữa 3 cạnh của tam giác
' ' 'B C D
:
' ' . , ' ' . , ' ' .
. . .
BC BD CD
B C k B D k C D k
AB AC AB AD AC AD
= = =
Vì
' ' ' ' ' ' . . .B C C D B D AB CD BC DA AC BD+ ≥ ⇒ + ≥
.
Dấu bằng xảy ra khi
' ' 'B C D
thẳng hàng. Do qua phép nghịch
Đảo , đường thẳng không qua cực biến thành đường tròn qua cực
Nên
, , ,A B C D
cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABCD nội
Tiếp đường tròn.
Ví dụ 8. Gọi d là khoảng cách 2 tâm của vòng tròn nội tiếp và ngoại tiếp trong một tam
giác . r, R tương ứng là bán kính của chúng thì
2 2
2d R Rr= −
.

Giải
Gọi I và O là tâm vòng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 13
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

ABC. D, E, F là tiếp điểm của vòng tròn nội tiếp với BC, CA,
AB. Thực hiện phép nghịch đảo qua đường tròn nội tiếp
Thì A, B, C biến thành
', ', 'A B C
là trung điểm các dây
Cung EF, FD, DE. Đường tròn
', ', 'A B C
có bán kính
2
r
. Theo công thức tính độ dài của đoạn thẳng ảnh
Ta có ảnh của vòng tròn ngoại tiếp có bán kính
2 2 2
2 2
2
2
r R
r d R Rr
d R
⇔= = −
−
.
Ví dụ 9. Cho tứ giác ABCD có 2 góc A và C phụ nhau. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
. . .AB CD BC DA AC BD+ =

Giải
Xét phép nghịch đảo cực f cực B phương tích
0k >
, thì 3 điểm A, C, D biến thành ba điểm
', ', 'A C D
. Áp dụng bất đẳng thức giữa 3
Cạnh tam giác
' ' 'B C D
:
' ' . , ' ' . , ' ' .
. . .
AC AD CD
A C k A D k C D k
BA BC BA BD BC BD
= = =
Vì 2 góc A và C phụ nhau nên tâm của 2 vòng tròn ngoại tiếp 2 tak giác ABD và CBD cùng
với B và D tạo thành tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra
·
·
0
1 2 1 2
90O BO O DO= =
. Vậy cho nên hai
vòng tròn (ABD) và (CBD) trực giao với nhau, suy ra ảnh của chúng cũng vuông góc nhau.
Do đó
2 2 2 2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' . . .A D C D A C AD BC CD BA AC BD+ = ⇒ + =
.
Ví dụ 10. Cho ba đường tròn
1 2

( ),( ),( )C C C
trong đó
1
( )C
và
2
( )C
tiếp xúc trong với
( )C

tại
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 14
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

B, C và
1
( )C
,
2
( )C
tiếp xúc ngoài với nhau tại D. Tiếp tuyến chung trong của
1
( )C
và
2
( )C

cắt
( )C
tại hai điểm A và E. Đường thẳng AB cắt

1
( )C
tại điểm thứ hai M, đường thẳng AC
cắt
2
( )C
tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng:
1 1 2
DA DE MN
+ =
.
Giải
Do
2
. .AD AM AB AN AC= =
. Nên phép nghịch đảo f cực A phương tích
2
AD
biến:
2
AD
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
B M
C N
D D
C C
C C

→
→
→
→
→
Đường tròn (C) đi qua A, B, C biến thành đường
thẳng MN.
Do
1
( )C
và
2
( )C
tiếp xúc với (C) tại B, C nên MN
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn này.
Gọi F là giao điểm của AE và MN. Suy ra F biến
thành E và
2
MN
FD FM FN= = =
. Ta có:
2
1
. .
. .
DE AD AD AF
DE AF DF DA
DF AD AF AF DE DF DA
= = ⇒ = ⇒ =
Vậy

1 1 1 1 2
. . .
AF DF AF DA
DA DE DA DF DA DADF DA DF DF MN
+
+ = + = = = =
.

III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 15
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Đã trình bày được một hệ thống lí thuyết về phép nghịch đảo tương đối đầy đủ và rõ
ràng. Và đã áp dụng được phép biến hình này để giải một số bài tập khó một cách nhanh
chóng và hiệu quả
Đối với học sinh, đã cung cấp cho các em một phương pháp mới, một hướng giải
mới đối với một số dạng bài tập hình học phẳng. Giúp các em tự tin, cảm thấy thích thú hơn
khi học phần hình học phẳng. Từ đó làm tăng thêm khả năng sáng tạo, tự tìm tòi học tập đối
với học sinh.
Qua một thời gian giảng dạy cho đội tuyển Học sinh giỏi của trường, kết quả đạt
được tương đối khả quan. Trong kì thi Học sinh giỏi vòng tỉnh nằm 2012-2013 Đội tuyển
học sinh giỏi Toán của trường do tôi phụ trách đã đạt được kết quả tương đối cao: Có hai
giải khuyến khích, hai giải ba và một giải nhất. Trong đó có một học sinh được chọn vào
đội tuyển học sinh giỏi thi vòng quốc gia của tỉnh.
IV. KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỀ TÀI
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 16
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

Do năng lực bản thân còn hạn chế, do không có nhiều nguồn tư liệu tham khảo cho
nên tôi cũng chưa khai thác thật sâu, nhiều vấn đề của phép nghịch đảo.

Tuy nhiên trong bài viết này cũng phần nào thể hiện được những lí thuyết của phép
nghịch đảo, cũng như cung cấp cho học sinh một số kĩ năng cần thiết khi vận dụng phép
biến hình này để giải toán. Trong thời gian tới, tôi tiếp tục nghiên cứu phép biến hình này
và tìm nhiều hơn nửa những dạng bài tập có thể áp dụng phép biến hình nghịch đảo để giải.
Rất mong quí đồng nghiệp tham khảo và cho tôi những ý kiến đóng góp, để bài viết
được hoàn chỉnh hơn.
Huyện Trần Văn Thời, Tháng 03 năm 2013
Giáo viên thực hiện
Trương Thái Ngọc
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 17
Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng

-Đề tài: “Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng”
-Tác giả: Trương Thái Ngọc
Nội dung Xếp loại Nội dung Xếp loại
-Đặt vấn đề -Đặt vấn đề
-Biện pháp -Biện pháp
-Kết quả phổ biến, ứng dụng -Kết quả phổ biến, ứng dụng
-Tính khoa học -Tính khoa học
-Tính sáng tạo -Tính sáng tạo
Xếp loại chung:
Ngày tháng năm
Tổ trưởng
Xếp loại chung:
Ngày tháng năm
Tổ trưởng
Căn cứ kết quả xét, thẩm định của Hội đồng khoa học ngành GD&ĐT cấp tỉnh, Giám
đốc Sở GD&ĐT Cà Mau thống nhất công nhận SKKN và xếp loại:

……………………………….
Ngày tháng năm
GIÁM ĐỐC
Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 18