Bài tập tính toán MÔ HÌNH HÓA

Ví dụ 2.7: Mơ hình hóa hệ con lắc ngược

Trong đó: +

M: trọng lượng xe [Kg]

m: trọng lượng con lắc [Kg]

le chiêu đất con lắc [m] u: lực tác độn: pr

g: gia tôc trọng trường [m/s2]

x: vị trí xe [m]

9: góc giữa con lắc và phương thẳng

đứng [rad]

Gọi (xạ, y;) là tọa độ của vật nặng m ở đầu con lắc, ta có:

x, =x+/sin@

; =lcosØ

Động năng của vật nặng đầu con lắc:

T, = af re 2 =.LC+-LJƯ6ưsØƑ TT, 1ÔsinØ)°
=3" 2° 3 2

>T, = sm + mlÖcosØ + 2 ml

Động năng của xe:

T, ==1 Mx 2
2

Động năng của hệ thống:

T =Tj+T,= 20M +m)ä) + mÏšØ cosØ +2 ml°ổ?

Thề năng của hệ thống chính là thế năng vật nặng đầu con lắc:
U =mglcos8

L= 2(M +m)x° + mliƯcos9 +2 mi" —mglcos8

Phương trình d (}- ðL —
Euler — Lagrange:
_

dt\ax) ax-

4()-#~›

dri\(ô0}) ôØ

Phương trình Euler - Lagrange:

(M +m)3 + ml(eosØ)Ø - ml(sin9)8 = F

mXcos0+ ml ~ mg sìn Ø = 0

Suy ra: s- EF +ml(sn6)ở” — mg cosØsinØ-

M+m-—m(cos0)

„_ FeosØ—(M +m)g(sin9) + mÏ(eosØsin Ø)8°

9

ml(cos0)” —(M +m)I

u(t) xe con lac nguoc Scope

F e—»| tu) > m i

Fen x_2 dot

Lụ flu) >| oie 180/pi

Fcn_theta_dot

Fen_x_2_dot=(u(1)+m*/* sin(u(3))* u@} -m* g* cas(u(3))* sin(u(3))) Í (m1+m~m*{(cos()))ˆ)
Fen_theta_dot =(u(1)*cos(u(3))-(ml+m)* g* sin(u(3)) +m */* cos(u(3))* sin(u(3))* (@)}) /(m*1* cos(u(3)) ~ (m1 + m)*])

Voi: u=u(1); theta=u(3); x=u(2)

Ví dụ 2.9: Mơ hình tốn bồn chứa chất lỏng (Single Tank)

A: tiết diện ngang bồn chứa lứa

a: tiết diện van xả u(t)

k: hệ số tỉ lệ với công suất
A(t) out
máy bơm

Phương trình cân bằng:

^ (4h0))=4„()~4..()

Dịng vào: đ„(f)=k#()

Dòng ra: 42„() = (2/ p)a°C; p(t)
p(t) = pgh(t) : áp suất
Trong do: C, = 0,6

: hệ số xả

- Dong vao: q,, = hau(t)
- Dong ra: q,,,=aC,J2gh(t)

- _ Phương trình cân bằng:

3L409)=4, —Goue

Al= keu))aC, DEMO)

ii) +[hu@)—aCpY2EK|

MO HINH HOA:

u(t) Single Tank Scope

1)

nt)

Fen_h_dot= Flin) -ac, PeuQ| với: u=u(1); h()=u(2)

MO PHONG HE THONG CASCADE TANK

Hint

u(t)

no Joti ~Yin2

41 ) —a,Cpn,Coiv2Va2hg,h,) 1) | oun

Cm(2gh,) =a:Ca;.(2gh;(0)

- Dong vao bon 1: Gy = Aut)

- Déng ra bén 1 va dòng vào bồn 2: g„„; =g„; =a,C›;.|2g”,()

-_ Dòng ra bồn 2: q„„; =a;C;;4|2gh;()

- _ Phương trình cân bằng:

£(Ah(O))~ do

oe 4h Œ)=ku@)—a,C 2|2gh(t)

=ñ@=-+L [u(t)-a,Cy Pah|

4

3 (Ah(9)4-: ~.2

© 4h;Œ) =aCs Pgh) —a;C›;.2gh:Œ)

=h,@=sles Bzh.0) ~a,Ca›.j2el;0)|

u()
Cascade Tank

u(t) tu) |_——* i Fcn_h_dot h(t

> flu) mS 1
Fcn_h_dot1 hít)_2

Fen_h_dot = qq1 n-a0, 2a) |

Fen_h_dotl= Alc 2gul2) -a,Coy 2guG) |

Với u= u(1); h(t)_1= u(2); h(t)_2= u(3)

Tả S2 n Ty mg re Tê

Pump1 H2 Pump 2

7Q03 Q02 hạ

rj Qo1

Figure 1. Layout of the coupled tanks system.

Dịng vào bổn 1: g,,. =u(¢)

Dòng ra bồn I: g,„„ =a/Cz,xJ2g(h/)
Dòng vào bổn 2: g„. =k„,()
Dòng ra bổn 2: g„„„ =a;C;;-/2gh;()

TH1:P > P, >h(t)>h,(t)

Youn_2 = %2C p12 42g (hh, -h, )

= (4h) = Ginn ~ oun ~ Yout_2 hŒ) = Hung 2gh () — 4;Ca;a|28 (Ìụ -h,)|

d ek) S .
h;(f)= = [em -4.C oy 2gh,(t)+ 4sCa;^|2g(ñ —h )|
= nr ~ Yout2 + Yourt_2

TH2:P, < P, —> Ïi(f)< h„(f)

Yourt_2 = GC p12 2g (hy -h, )

S(An(0) = Gin. ~ Youn Ê đạn3 o Œ)= ~|w@)- %€n^|2ghiŒ) + 4;Cm;¬|2g( h-h, J

d =đ„¿ — đaz+ — đau_+ : 1 œCn; x2gh;() ~ đ;Cpị; ^J2g(h -h,)|

2h50) h;Œ)= ~Ee(9-

Thông số cánh tay may: 1=0.5m, 1, =0.2m,m=0.lkg

M =0.5kg, J =0.02kg.m"

B=0.005, g=9.81m/sec”

oe to = f(x(),u(0)
y()=h(xO.u(o)

Trong đó: Fu) =| x,(t)_
M(a(lJ+Imˆ)D09E5 x,(1) - 3 x5(0)+ —*_ (0)

(J+mψ) (J+mψ)

h(x(t),u(t)) = x(t)

©_ Xác định điểm làm việc tĩnh:

Kh-u=x=Z

ƒ(x0).u@))=0©4~(ml+ML) — — x, ()=0 _ @=0
TC “In Ạ
“Tra c0) BL 5ữ)+— u(t)=0 u(t) =1.27

e Xac dinh ma tran trang thai tai điểm làm việc tĩnh:

#= At+ Bũ 0 =| ((m m+ lML) ¡
——sinx()
ÿ=Cš+ Dã J+mP i -———

l2 of J+mi?

a=h% ộ ;

| Ox, ox,

"ấy

| 8u“2 J+ml 2

C= oh ch =[ 0}

lô, Ox,

p=Ê” -g

[in Thông số hệ bồn chứa: ø=lem”, A=100cm*

u(t) Tout k=150em' /sec., C; =0.8
— ø =9§lem/sec”
WY)

PTTT: De ƒ(xứ).u(£))

yứ)= h(x().u())

Trong đó: f (x,u) = Gal # “u(t =~0.3544.Íx,() +0.9465u(/)
eset

h(x().u()) = x(t)

TTY =20

e© Xác định điểm làm việc tĩnh:
Sf (x), u(t)) = -0.3544, IX, () +1.5zŒ) =0
= () = 0.9465

e Xac dinh ma tran trang thai tai diém lam viéc tinh:

x = AX+ Ba

y=Cx+ Du

att = —0.3544~x l --004:c =Ê“ =]

Ox X=xX ,:=ir 2x Ox x=Xx.t:=i(

B= ot =1.5:D= oh =0
Ou X=x,i:=it Ou X=x.i:=it