Bài toán chia kẹo euler và ứng dụng giải một số dạng toán tổ hợp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 47 trang )

Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Trưởng nhóm nghiên cứu: Đào Thị Linh Nam/nữ: nữ

Lớp, khoa: K23 ĐHSP Toán, Khoa KHTN Năm thứ: 03/ Số năm đào tạo: 04

Ngành học: ĐHSP Toán

Người hướng dẫn: TS. Phạm Thị Cúc

THANH HÓA, THÁNG 04 NĂM 2023

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu này không trùng lặp với các đề tài, luận án, luận văn và các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố.

Người cam đoan

Ký tên (Trưởng nhóm)

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, nhóm em xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Hồng Đức, các thầy cô giáo đang giảng dạy và cơng tác tại trường đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.

Đặc biệt chúng em xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới cô TS. Phạm Thị Cúc – người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài.

Lời cảm ơn chân thành này cũng xin được dành cho toàn thể các thầy cơ trong Khoa KHTN vì trong suốt thời gian qua đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi, tiếp thêm sức mạnh cho chúng em để hồn thành nhiệm vụ của mình.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn đề tài nghiên cứu vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng em mong nhận được những ý kiến đóng góp q báu của các thầy cơ giáo và bạn bè.

Thanh Hóa, ngày tháng 4 năm 2023

Trưởng nhóm ký

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

iii

Danh sách những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài

STT Họ và tên Lớp Nội dung tham gia

1 Đào Thị Linh Lớp K23 ĐHSP Toán Chủ nhiệm đề tài 2 Lê Vi Thái Tâm Lớp K23 ĐHSP Toán Thành viên đề tài

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Mục lục

LỜI CAM ĐOAN ... i

LỜI CẢM ƠN ...ii

Danh sách những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài ... iii

Thông tin kết quả nghiên cứu ... v

2.1.Bài toán chia kẹo Euler... 10

2.2.Vận dụng bài toán chia kẹo Euler để đếm số nghiệm nguyên của

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Thông tin kết quả nghiên cứu

1. Thông tin chung

- Tên đề tài: Bài toán chia kẹo Euler và ứng dụng giải một số dạng toán tổ hợp

- Thời gian thực hiện: 6 tháng (từ 11/2022 đến 04/2023) - Cấp quản lý: Cấp trường

- Cơ quan quản lý đề tài: Trường Đại học Hồng Đức - Đơn vị chủ trì đề tài: Khoa KHTN

- Nhóm sinh viên thực hiện

(1) Đào Thị Linh – Lớp: K23 ĐHSP Toán (2) Lê Vi Thái Tâm – Lớp: K23 ĐHSP Toán

2. Mục tiêu

- Tìm hiểu tổng quan về Bài tốn chia kẹo Euler.

- Trình bày một số dạng tốn tổ hợp mở rộng có ứng dụng kết quả của Bài toán chia kẹo Euler.

3. Tính mới và sáng tạo

- Một số dạng mở rộng của Bài toán chia kẹo Euler.

- Một số dạng toán tổ hợp cơ bản được giải bằng cách sử dụng Bài toán chia kẹo Euler.

4. Kết quả nghiên cứu

- Hệ thống các kết quả về nguyên lí, bản chất và ứng dụng của Bài toán chia kẹo Euler.

- Nghiên cứu mở rộng các bài toán xung quanh Bài toán chia kẹo Euler. 5. Sản phẩm của đề tài

- Báo cáo tổng kết và báo cáo tóm tắt của đề tài.

6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng ứng dụng

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

vi - Đề tài là học liệu cho các bạn học sinh-sinh viên quan tâm đến dạng

toán này, và có thể được sử dụng như tài liệu giảng dạy cho các giáo viên ôn thi HSG.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Mở đầu

Tư duy về tổ hợp đã xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử phát triển nhân loại qua một số bài toán cổ và những hình vẽ để lại. Tuy nhiên, lí thuyết tổ hợp được xem như một ngành toán học vào khoảng thế kỷ XVII bằng một loạt các công trình nổi tiếng của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler, … và được phát triển mạnh mẽ, đặc biệt từ sau khi máy tính điện tử ra đời. Hiện nay, lý thuyết tổ hợp được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số khơng giao hốn, q trình ngẫu nhiên, lý thuyết xác suất, lý thuyết mật mã, quy hoạch thực nghiệm, …

Bên cạnh hàng loạt cơng trình nghiên cứu về tổ hợp, phải kể đến “Bài toán chia kẹo Euler” mà ứng dụng của nó được sử dụng cho nhiều bài tốn khác nhau như: tìm số nghiệm nguyên dương, số nghiệm nguyên không âm của phương trình nhiều ẩn hoặc bài toán phân phối đồ vật khác nhau vào nhiều hộp phân biệt, … cùng nhiều ứng dụng khác.

Xuất phát từ một bài toán “Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé. Hỏi

có bao nhiêu cách chia kẹo?”. Bài toán tưởng chừng rất đơn giản nhưng lại là một bài tốn khó đối với nhiều học sinh. Nhiều bài toán đếm phức tạp sẽ được giải quyết một cách hiệu quả nhờ sử dụng ứng dụng của bài toán chia kẹo Euler. Như vậy, việc tìm hiểu sâu hơn về các ứng dụng của bài toán chia kẹo Euler là một nội dung có ý nghĩa thiết thực.

Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm có hai chương.

Chương 1. Một số vấn đề về lí thuyết tổ hợp. Trong chương này, chúng tơi

trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của lí thuyết tổ hợp có liên quan đến chương sau. Đó là quy tắc cộng, quy tắc nhân và ngun lí bù trừ,…

Chương 2. Bài tốn chia kẹo Euler và ứng dụng vào giải một số dạng toán tổ hợp. Trong chương này, chúng tơi phát biểu và trình bày cách giải bài toán

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

2 chia kẹo Euler. Trên cơ sở đó, chúng tơi trình bày một số ứng dụng của bài toán chia kẹo Euler đối với bài toán đếm số nghiệm nguyên của phương trình và bất phương trình, giải các bài tốn đếm trong lí thuyết tổ hợp, giải một số bài toán xác suất,…

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Chương 1: Một số vấn đề về lí thuyết tổ hợp

Trong chương này, chúng tơi sẽ nhắc lại một số nội dung của lí thuyết tổ hợp có liên quan hoặc sẽ được sử dụng cho chương sau. Đó là các khái niệm và kết quả về: Nguyên lý bù trừ, quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, ... Nội dung của chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1],

Định nghĩa 1.2 Cho tập hợp

A

gồm

n

phần tử (

n1

). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự

n

phần tử của tập hợp

A

được gọi là một hoán vị của

n

Định nghĩa 1.3 Cho tập hợp

A

gồm

n

phần tử (

n1

). Kết quả của việc lấy

k

phần tử khác nhau từ

n

phần tử của tập hợp

A

và sắp xếp chúng theo

một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập

k

của

n

phần tử đã cho.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

1.4 Tổ hợp

Định nghĩa 1.4 Giả sử tập

A

có

n

phần tử

n1

. Mỗi tập con gồm

k

phần tử của

A

được gọi là một tổ hợp chập

k

của

n

phần tử đã cho

m m N  các phần tử của X , trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều

lần, sắp xếp theo thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp lặp chập

m

của

n

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

5 tử

a

k (trong đó

n n

1

   

2

...n

k

n

) theo một thứ tự nào đó được gọi là

một hốn vị lặp cấp

n

và kiểu

n n

1

; ;...;

2

n

k



của

k

phần tử.

Định lý 1.1 Số hoán vị của

n

phần tử, trong đó có

n

1 phần tử như nhau thuộc loại 1, có

n

2 phần tử như nhau thuộc loại 2,… và có n

Định nghĩa 1.7 Mỗi cách chọn ra

k

phần tử từ

n

loại phần tử khác nhau ( trong đó mỗi loại phần tử có thể được chọn lại nhiều lần ) được gọi là

một tổ hợp lặp chập

k

của

n

Kí hiệu:

K

nk là số các tổ hợp lặp chập

k

của

n

. Công thức:

K

nk

C

n kk 1.

Thật vậy, mỗi tổ hợp lặp chập

k

của một tập hợp là một cách chọn khơng có thứ tự

k

phần tử có thể lặp lại của phần tử đã cho. Như vậy một tổ hợp lặp kiểu này là một dãy không kể thứ tự gồm

k

phần tử lấy từ tập hợp

n

phần tử. Do đó có thể

k n

Mỗi tổ hợp lặp chập

k

của

n

phần tử có thể biểu diễn bằng một dãy

n1

thanh đứng và

k

ngôi sao. Ta dùng

n1

thanh đứng để phân cách các ngăn. Ngăn thứ

i

chứa thêm một ngôi sao mỗi lần khi phần tử chứa

i

của

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

6 tập xuất hiện trong tập hợp. Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử được biểu thị bởi:

Định nghĩa 1.7 Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành

động. Nếu hành động này có

m

cách thực hiện, hành động kia có

n

cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu

X

,

Y

là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

X Y X Y  X

1.6.2 Quy tắc nhân

Định nghĩa 1.8 Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ

H

cần thực hiện qua hai giai đoạn là

H

1 và

H

2, trong đó:

H

có thể làm bằng

n

1 cách.

H

có thể làm bằng

n

2 cách, sau khi đã hồn thành cơng việc

H

1. Khi đó, để thực hiện cơng việc

H

sẽ có

n n

1

.

2 cách.

H

có thể làm bằng

n

2 cách, sau khi đã hồn thành cơng việc

H

k1. Khi đó, để thực hiện cơng việc

H

sẽ có

n n

1

. ...

2

n

k cách.

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu

A

1,

A

2, …,

A

n là

n

tập hợp hữu hạn



n1



, khi đó việc chọn một phần tử của tích Đề-các

A

1

  A

2

...A

n được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của

A

1, một phần tử của

A

2, …, một phần tử của

A

n. Theo quy tắc nhân ta nhận được công thức:

Khi 2 cơng việc có thể được làm đồng thời, ta khơng thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả 2 việc. Để tính đúng số cách thực hiện

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

8 nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 công việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc. Ta có thể phát biểu ngun lí đếm này bằng ngơn ngữ tập hợp. Cho

A

và

B

là 2 tập hợp hữu hạn, khi đó:

Ví dụ 1.1 Một chuyến bay có 67 hành khách. Trong đó có 47 người sử dụng

tốt Tiếng Anh, 35 người sử dụng tốt tiếng Đức, 20 người sử dụng tốt tiếng Pháp. Hơn nữa, có 23 người sử dụng tốt 2 thứ tiếng Anh và Đức, 12 người sử dụng tốt 2 thứ tiếng Anh và Pháp, 11 người sử dụng tốt 2 thứ tiếng Đức và Pháp. Và có 5 người sử dụng tốt cả 3 thứ tiếng. Tìm số hành khách khơng sử dụng được bất cứ ngoại ngữ nào?

Giải:

Gọi

A

B

C

lần lượt là tập hợp các hành khách sử dụng tốt ngoại ngữ là tiếng Anh, tiếng Đức, tiếng Pháp.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

được gọi là hàm sinh của dãy

 

a . n

Ý tưởng sử dụng phương pháp hàm sinh như sau: Giả sử ta cần tìm cơng thức tổng qy của một dãy số

 

a nào đó. Từ cơng thức truy hồi hoặc những lí n

luận tổ hợp trực tiếp, ta tìm được hàm sinh

Cơng thức khai triển thường sử dụng là công thức nhị thức Newton.

Ví dụ 1.2 Có bao nhiêu cách sắp xếp một giỏ

n

trái cây thỏa mãn điều kiện sau:

a. a, Số táo phải chẵn.

b. b, Số chuối phải chia hết cho 5.

c. c, Chỉ có thể có nhiều nhất 4 quả cam. d. d, Chỉ có thể có nhiều nhất 1 quả đào.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Vậy cách sắp xếp giỏ trái cây gồm

n

trái đơn giản là

n1

cách.

Chương 2: Bài toán chia kẹo Euler và ứng dụng vào giải một số dạng toán tổ hợp

Trong chương này, chúng tơi phát biểu bài tốn chia kẹo Euler, trình bày phương pháp giải bài toán này và vận dụng vào giải một số dạng toán của lý thuyết tổ hợp. Đối với mỗi dạng tốn, chúng tơi có trình bày phương pháp giải và các ví dụ điển hình. Các ví dụ được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, ... Nội dung của chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [6-8].

2.1. Bài toán chia kẹo Euler 2.1.1. Phát biểu bài toán

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

11 Bài toán chia kẹo Euler là một bài toán tổ hợp xuất hiện từ thời xa xưa. Đây là một bài tốn rất hay và có nhiều ứng dụng trong toán học. Bài toán được phát biểu như sau:

“Có

m

chiếc kẹo giống nhau, cần chia chúng cho

n

em bé. Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo?”

Từ bài tốn này, người ta đã phát triển ra cách giải cho vơ số bài tốn đếm khác nhau. Trước hết, chúng tơi sẽ trình bày phương pháp giải bài tốn chia kẹo Euler và từ đó vận dụng vào giải một số dạng toán khác cơ bản đến nâng cao.

2.1.2. Phương pháp giải bài toán

Gọi số kẹo mà mỗi em bé nhận được lần lượt là

Xếp

k

chiếc kẹo thành một hang ngang,giữa chúng có

k1

chỗ trống. Số cách chia kẹo thỏa mãn điều kiện đề bài chính là số cách đặt

k1

“vách ngăn” vào

m1

chỗ trống trong số

k1

chỗ trống nói trên ( mỗi chỗ trống được chọn một “ vách ngăn”). Theo quy tắc tổ hợp không lặp, số nghiệm của bài

Dưới đây là một vài ví dụ cơ bản của bài tốn chia kẹo Euler.

Ví dụ 2.1 Có bao nhiêu cách chia 10 cái kẹo cho 3 người sao cho mỗi người

được ít nhất một cái kẹo?

Giải:

Việc chọn theo cách thông thường lần lượt từng người sẽ rất khó để lập một phép đếm chính xác. Ở đây, theo bài tốn chia kẹo Euler, ta có thể làm như sau:

Sử dụng 2 vách ngăn chia 10 chiếc kẹo thành 3 phần, mỗi phần dành cho một người. Ví dụ có thể chia như sau:

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Giữa 10 chiếc kẹo, có 9 khoảng trống, ta cần chọn 2 trong 9 vị trí này để đặt 2 vách ngăn, chúng sẽ chia số kẹo làm 3 phần, với quy ước mỗi người một phần kẹo. Vậy số cách chia là C . 92

Tại sao có cách chia như vậy? Tất nhiên để chia như vậy, ta cần thỏa mãn một số điều kiện sau:

+) 10 cái kẹo là 10 “đơn vị” và do đó, các kết quả chia cũng là các số nguyên. Rõ ràng việc chia bằng các vách ngăn chỉ thực hiện tốt khi các kết quả nguyên.

+) Mặt khác, bài tốn cho “mỗi người ít nhất một cái kẹo” giúp việc chia phần đơn giản hơn, bởi nếu cho 1 người nhận 0 kẹo, 2 “vách” sẽ cùng ở một vị trí. Điều này khiến bài tốn “rối” hơn. Chúng tơi sẽ đề cập dạng này ở phần sau.

Ví dụ 2.2 Có bao nhiêu cách phân 15 nhiệm vụ cho 4 người sao cho một

người nhận ít nhất một nhiệm vụ?

Giải:

Nếu coi 15 nhiệm vụ như 15 đơn vị, ở giữa chúng có 14 khoảng cách thì ta chỉ cần đếm số cách đặt 3 "vách ngăn" vào 14 khoảng cách ở giữa 15 đơn vị. Như vậy có

C

143 cách phân nhiệm vụ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2.2. Vận dụng bài toán chia kẹo Euler để đếm số nghiệm nguyên của phương trình và bất phương trình

Bài 2.1 Cho phương trình:

x   xxx

; xi a) Đếm số bộ nghiệm của phương trình.

b) Đếm số bộ nghiệm của phương trình với điều kiện:

1

1,

2

2,

3

3,

4

4 .

c) Đếm số bộ nghiệm của phương trình với điều kiện:

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

1

,

2

,

3

,

4

x x x x

chẵn.

d) Đếm số bộ nghiệm của phương trình với điều kiện:

x

1

3

e) Đếm số bộ nghiệm của phương trình với điều kiện:

x

3

3,x

4

4

Giải:

a) Trong bài này, chúng ta khơng có điều kiện các nghiệm nguyên dương (xi 1), do vậy ta cần tìm cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng đã biết.

Cần lưu ý, sở dĩ có cách đặt này vì mỗi bộ (

x x x x

1

   ,

2

,

3

,

4) đều cho tương ứng duy nhất một bộ (

x x x x

1

,

2

,

3

,

4) theo cách chọn

x

i

 x

i

1

. Tùy vào đề bài, ta đặt các ẩn phụ sao cho hợp lí để đưa về phương trình nghiệm nguyên dương.

b) Tương tự câu a), ta có cách đặt sau:

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

14 d) Điều kiện

x

1

3

gây khó khăn trong việc đặt ẩn phụ do nghiệm bị chặn trên thay vì chặn dưới. Dĩ nhiên, ta có thể xét 4 trường hợp xi



0; 1; 2; 3



và giải, tuy nhiên ở đây, chúng tôi đề xuất một phương pháp tốt hơn đó là sử dụng

Ở đây, “phần bù” của

x

1

3

là

x

1

3

, tổng số nghiệm của 2 phương trình này là số nghiệm của phương trình ở câu a), số nghiệm của phương trình với điều kiện

x

1

3

tính được do đó ta cũng tính được số nghiệm của phương trình với điều kiện

x

1

3

e) Với hai điều kiện

x

3

3

x

4

4

, ta có thể sử dụng nguyên lí bù trừ cho tập hợp để giải bài toán.

Gọi

A

là tập các nghiệm thỏa mãn

x

3

3

. Gọi

B

là tập các nghiệm thỏa mãn

x

4

4

Đặt

y

3

  x

3

3 0

. Số nghiệm của phương trình với điều kiện

x

3

3

là

319

AC

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Đến đây, ta đã giải quyết trọn vẹn các bài tốn phương trình nghiệm ngun trong đó nghiệm bị chặn trên hoặc chặn dưới.

Bài 2.2

Sinh viên thời học ở Liên Xô ai cũng biết thế nào là một chiếc vé hạnh phúc và ai cũng từng đếm xem chiếc vé xe buýt (hoặc xe điện, xe buýt điện,…) mình mới mua có phải là về hạnh phúc hay không. Một chiếc vé được đánh số từ

000000 đến 999999 và vé được gọi là hạnh phúc nếu tổng ba chữ số đầu bằng

tổng ba chữ số cuối. Ai mua được vé hạnh phúc thì ngày hơm đó sẽ gặp nhiều may mắn (như thi đạt điểm cao, có bạn đến thăm,…). Ngay cả những người không tin cũng không dưới một lần thử cộng các chữ số. Một hệ quả cũng rõ ràng là nếu có vé hạnh phúc thì chắc chắn sẽ khơng bị phạt khi đi xe (vì đã có vé thì khơng bị phạt!). Đó chẳng phải là hạnh phúc sao!

Sinh viên khoa Tốn cịn quan tâm đến một vấn đề tổng quát hơn: Xác suất để gặp một chiếc vé hạnh phúc là bao nhiêu? Nếu ai biết đến lí thuyết xác suất

cổ điển thì có thể hiểu ngay rằng bài toán này tương đương với bài toán đếm số các số hạnh phúc từ 000000 đến 999999. Xác suất cần tìm sẽ là kết quả của một số C tìm được chia cho

10

6. Ta thử tìm xác suất đó.

a, Hướng giải thứ nhất

Như vậy vé hạnh phúc là vé mang số

a a a a a a

1 2 3 4 5 6 với

a    aaaaa

Vì

a

i với i



1, 2, ..., 6



là các chữ số trong hệ

</div>

Bài toán chia kẹo euler và ứng dụng giải một số dạng toán tổ hợp

<b>Thông tin kết quả nghiên cứu </b>

<b>Chương 1: Một số vấn đề về lí thuyết tổ hợp </b>

<i>A</i>

<i>n</i>

<i>n</i>1

<i>n</i>

<i>A</i>

<i>n</i>

<i>A</i>

<i>n</i>

<i>n</i>1

<i>k</i>

<i>n</i>

<i>A</i>

<i>k</i>

<i>n</i>

<i>A</i>

<i>n</i>

<i>n</i>1

<i>k</i>

<i>A</i>

<i>k</i>

<i>n</i>

<i>m</i>

<i>n</i>

<i>a</i>

<i>n n</i>

   

...<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n n</i>

; ;...;

<i>n</i>



<i>k</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>k</i>

<i>n</i>

<i>k</i>

<i>n</i>

<i>K</i>

<i>k</i>

<i>n</i>

<i>K</i>

<i>C</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>n</i>

<i>k n</i>

<i>k</i>

<i>n</i>

<i>n</i>1

<i>k</i>

<i>n</i>1

<i>i</i>

<i>i</i>

<i>m</i>

<i>n</i>

<i>X</i>

<i>Y</i>

<i>H</i>

<i>H</i>

<i>H</i>

<i>H</i>

<i>n</i>

<i>H</i>

<i>n</i>

<i>H</i>

<i>H</i>

<i><sub>n n</sub></i>

<sub>.</sub>

<i>H</i>

<i>n</i>

<i>H</i>

<i>H</i>