Hai phương pháp chiếu giải bài toán bao hàm biến phân trong không gian hilbert

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N TRUNG THP

HAI PH×ÌNG PHP CHI˜U

GIƒI B€I TON BAO H€M BI˜N PH…NTRONG KHỈNG GIAN HILBERT

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Líi c£m ìn

T¡c gi£ xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi TS. Trữỡng Minh Tuyản, TS. Bũi Viằt Hữỡng  luổn tên tẳnh hữợng dăn, ch bÊo v giúp ù tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu  hon thnh luên vôn.

TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc tợi cĂc thƯy, cổ trong khoa ToĂnTin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v giúp ù tĂc giÊ trong thới gian hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng.

Qua Ơy tĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi ngữới thƠn trong gia ẳnh, bÔn b v ỗng nghiằp  luổn ởng viản tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi và mồi mt trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên v«n n y.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

2.1 B i to¡n bao h m bián phƠn . . . . 25 2.2 Thuêt toĂn chiáu thu hàp . . . . 26 2.3 Thuêt to¡n chi¸u lai gh²p . . . . 31

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A

A⁻¹ to¡n tû ng÷đc cõa to¡n tû A

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Mð ¦u

Cho H l  mët khỉng gian Hilbert thüc, f : H R l mởt hm lỗi khÊ dữợi vi phƠn. Cho C l mởt têp con lỗi v õng cừa H. Ta biát rơng bi toĂn tẳm im cỹc tiu cừa f trản C tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh bao hm

0 f (x) + N_C(x),

trong â N<small>C</small>(x) l  nân ph¡p tuy¸n cõa C tÔi x. Ta biát rơng f v N<small>C</small> l cĂc toĂn tỷ ỡn iằu. Do õ dÔng tờng quĂt cừa bi toĂn trản l bi toĂn tẳm khổng im cõa têng cõa hai to¡n tû ìn i»u hay cán gồi l bi toĂn bao hm bián phƠn. Lợp bi toĂn ny chựa lợp bi toĂn tẳm khổng im cừa mởt toĂn tỷ ỡn iằu. Do vêy, viằc nghiản cựu cĂc phữỡng phĂp xĐp x nghiằm cho bi toĂn tẳm khỉng iºm cõa têng hai to¡n tû ìn i»u ln cõ tẵnh thới sỹ v cõ nhiÃu ỵ nghắa.

Lợp bi toĂn bao hm bián phƠn l mởt trong nhỳng chừ à thu hút sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa nhiÃu ngữới lm toĂn trong v ngoi nữợc.  cõ nhiÃu phữỡng phĂp lp  xĐp x nghiằm cho bi toĂn ữủc à xuĐt, trong õ phÊi k án phữỡng phĂp l°p Peaceman-Rachford [13], ph÷ìng ph¡p l°p Douglas-Rachford [6] v  ph÷ìng ph¡p ti¸n-lịi (xem [6, 12]) v  nhúng c£i ti¸n cõa nõ.

Mửc tiảu cừa luên vôn ny l trẳnh by lÔi chi ti¸t c¡c k¸t qu£ cõa Tuyen T.M. v  Hammad H.A trong bi bĂo [16] và phữỡng phĂp tián-lũi quĂn tẵnh kát hủp vợi phữỡng phĂp chiáu thu hàp hoc phữỡng phĂp chiáu lai ghp cho bi toĂn tẳm khổng iºm cõa têng cõa hai to¡n tû ìn i»u trong khỉng gian Hilbert.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Nëi dung ch½nh cõa luên vôn ữủc viát thnh hai chữỡng. Chữỡng 1 trẳnh by và mởt số kián thực chuân b nhơm phửc vử cho viằc trẳnh by cĂc nởi dung cừa Chữỡng 2, bao gỗm: Mởt số c trững cừa khổng gian Hilbert; Têp lỗi, hm lỗi; Php chiáu mảtric; nh xÔ khỉng gi¢n v  to¡n tû ìn i»u trong khỉng gian Hilbert; Phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh; Phữỡng phĂp chiáu lai ghp v chiáu thu hàp cho bi toĂn tẳm im bĐt ởng cừa lợp Ănh xÔ khổng giÂn v  ci cịng l  mët sè bê · bê trđ. Chữỡng 2 giợi thiằu và hai nh lỵ hởi tử mÔnh dỹa trản sỹ kát hủp giỳa phữỡng phĂp tián-lũi quĂn tẵnh vợi phữỡng phĂp chiáu thu hàp hoc phữỡng phĂp chiáu lai ghp cho bi toĂn tẳm khổng im cõa têng cõa hai to¡n tû ìn i»u trong khỉng gian Hilbert tø b i b¡o [16] cõa c¡c t¡c gi£ Tuyen T.M. v  Hammad H.A.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Ch֓ng 1

Mët số kián thực chuân b

Chữỡng ny bao gỗm 7 mửc chẵnh. Mửc 1.1 à cêp án mởt số c trững cì b£n cõa khỉng gian Hilbert thüc, Mưc 1.2 giỵi thiằu sỡ lữủc và têp lỗi, hm lỗi v dữợi vi phƠn cừa hm lỗi. Mửc 1.3 à cêp án php chiáu mảtric cũng mởt số tẵnh chĐt c trững. Mửc 1.4 trẳnh by mởt số kát quÊ và Ănh xÔ khổng giÂn v toĂn tỷ ỡn iằu. Mửc 1.5 nhưc lÔi sỡ lữủc và phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh. Mửc 1.4 à cêp án cĂc phữỡng phĂp chiáu lai ghp v phữỡng phĂp chiáu thu hàp cho bi toĂn tẳm im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn. Mửc 1.7 giợi thiằu mởt số bờ à bờ trủ cƯn sỷ dửng trong viằc trẳnh by nởi dung cừa Chữỡng 2. Nởi dung cừa chữỡng ny phƯn lợn ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1] v  [3].

1.1 Mët sè °c tr÷ng cõa khỉng gian Hilbert

Ta ln gi£ thiát H l khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng ữủc kẵ hiằu l h., .i v chuân ữủc kẵ hiằu l k.k.

Trữợc hát, ta nhưc lÔi mởt c trững hẳnh hồc quan trồng cừa khổng gian Hilbert.

Mằnh à 1.1.1. Trong khæng gian Hilbert thüc H ta luæn câ ¯ng thùc sau i) kx − yk<small>2</small>+ kx − zk² = ky − zk²+ 2hx − y, x − zi, vỵi måi x, y, z ∈ H. ii) kλx+(1−λ)yk<small>2</small> = λkxk²+ (1 − λ)kyk²− λ(1 − λ)kx − yk<small>2</small> vỵi måi x, y ∈ H

v  måi λ ∈ [0, 1].

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Chùng minh. i) Thªt vªy, ta câ

M»nh · 1.1.2. Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc. Khi õ, náu vợi x, y H thọa mÂn iÃu kiằn

vợi mồi R. Ta thĐy rơng náu y = 0, thẳ hin nhiản x v y l phử thuởc tuyán tẵnh. GiÊ sỷ y 6= 0, khi õ vợi = ^{hx, yi}

kyk<small>2</small> , thẳ bĐt ng thực trản tr thnh |hx, yi| < kxk.kyk,

iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát. Vêy x v y l phử thuởc tuyán tẵnh. Mằnh à ữủc chựng minh.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Nhưc lÔi rơng, dÂy {x<small>n</small>} trong khổng gian Hilbert H ữủc gồi l hởi tử yáu và phƯn tỷ x H, náu

<small>n</small>hx_n, yi = hx, yi,

vợi mồi y H. Tứ tẵnh liản tửc cừa tẵch vổ hữợng, suy ra náu x<small>n</small> x, thẳ x_n * x. Tuy nhiản, iÃu ngữủc lÔi khổng úng. Chng hÔn, xt khæng gian

|he_n, yi|² ≤ kyk² < ∞.

Suy ra lim<small>n→∞</small>he_n, yi = 0, tùc l  e<small>n</small> * 0. Tuy nhi¶n, {e<small>n</small>} khổng hởi tử và 0, vẳ ke_nk = 1 vợi mồi n 1.

Ta biát rơng mồi khổng gian Hilbert H Ãu thọa mÂn iÃu kiằn cừa Opial, tẵnh chĐt ny ữủc th hiằn trong mằnh à dữợi Ơy:

Mằnh à 1.1.3. Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc v  {x<small>n</small>} H l mởt dÂy bĐt ký thọa mÂn i·u ki»n x<small>n</small> * x, khi n → ∞. Khi â, vỵi måi y ∈ H v 

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

M»nh · 1.1.4. i) Måi khæng gian Hilbert thüc H Ãu cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee, tực l náu {x<small>n</small>} H l mởt dÂy bĐt ký trong H thọa mÂn cĂc iÃu

nh nghắa 1.2.1. Cho H l mởt khổng gian Hilbert thüc v  C l  mët tªp con cõa H. Ta nõi rơng C l têp lỗi náu vợi måi x, y ∈ C v  måi t ∈ [0, 1] ta câ

tx + (1 − t)y ∈ C.

V½ dư 1.2.2. Hẳnh cƯu trong khổng gian Hilbert H l têp lỗi, những mt cƯu trong H khổng phÊi l têp lỗi.

Mằnh à 1.2.3. Cho C l mởt têp con lỗi, âng v  kh¡c réng cõa khỉng gian Hilbert H. Vỵi méi x, y, z ∈ H and b ∈ R, tªp hđp

K = {v ∈ C : ky − vk² ≤ kx − vk² + hz, vi + b} l  lỗi v õng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Chựng minh. Ta cõ

K = {v ∈ C : ha, vi ≤ M },

trong â a = 2x − 2y − z, M = kxk<small>2</small>− kyk<small>2</small>+ b. Gi£ sû v<small>1</small>, v₂ ∈ K. Khi â, vỵi måi t ∈ [0, 1], ta câ

ha, tv₁+ (1 − t)v₂i = tha, v₁i + (1 − t)ha, v₂i ≤ tM + (1 − t)M

= M.

Suy ra tv<small>1</small>+ (1 − t)v₂ ∈ K vỵi måi t ∈ [0, 1]. Do õ, K l mởt têp hủp lỗi. Tẵnh õng cừa K ữủc suy ra tứ tẵnh liản tửc cừa tẵch vổ hữợng. Mằnh à ữủc chựng minh.

Mằnh à 1.2.4. Náu C l mởt têp con lỗi v õng cừa khổng gian Hilbert H, thẳ C l têp õng yáu.

Chựng minh. GiÊ sỷ C khổng l têp õng yáu. Khi õ, tỗn tÔi dÂy {x<small>n</small>} trong C thọa mÂn x<small>n</small> * x, những x / C. Vẳ C l têp lỗi v õng, nản theo nh lỵ tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi y H v > 0 sao cho

iÃu ny l vổ lỵ. Do õ, C l têp õng yáu.

Chú ỵ 1.2.5. Náu C l têp õng yáu trong H thẳ hin nhiản C l têp õng. Tứ nh lỵ Banach-Alaoglu, ta cõ mằnh à dữợi Ơy:

Mằnh à 1.2.6. Mồi têp con b chn cừa H Ãu l têp compact tữỡng ối yáu.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

ành ngh¾a 1.2.7. Cho H l  mët khỉng gian Hilbert thỹc, D H l mởt têp lỗi v f : D → R l  mët h m sè. Ta nâi f l hm lỗi náu

f [tx + (1 t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y),

vỵi måi x, y ∈ D v  måi t ∈ [0, 1].

V½ dư 1.2.8. Hm số f(x) = x<small>2</small> lỗi trản R v hm số g(x) = x<small>3</small> khổng l hm lỗi trản R.

ành ngh¾a 1.2.9. Cho H l  mët khỉng gian Hilebrt thüc v  f : H → R l  mët h m lỗi. Khi õ, dữợi vi phƠn cừa hm f tÔi x<small>0</small> ∈dom f = {x ∈ H : f(x) < }

Mằnh à 1.3.1. Cho C l mởt têp con lỗi v  âng cõa khæng gian Hilbert thüc H. Khi â, vợi mội x H, tỗn tÔi duy nhĐt phƯn tû P<small>C</small>x ∈ C sao cho

kx − P_Cxk ≤ kx − yk vỵi måi y ∈ C.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Chùng minh. Thªt vªy, °t d = inf

<small>u∈C</small>kx − uk. Khi õ, tỗn tÔi {u<small>n</small>} C sao cho

<small>n</small>u_n C. Do chuân l hm số liản tửc nản kx uk = d. GiÊ sỷ tỗn tÔi v C sao cho kx − vk = d. Ta câ

Suy ra u = v. Vêy tỗn tÔi duy nhĐt mởt ph¦n tû P<small>C</small>x ∈ C sao cho kx − P_Cxk = inf_uCkx uk.

nh nghắa 1.3.2. Php cho tữỡng ựng méi ph¦n tû x ∈ H mët ph¦n tû P_Cx C xĂc nh nhữ trản ữủc gồi l php chiáu mảtric tứ H lản C.

Vẵ dử 1.3.3. Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, vỵi u 6= 0. Khi â P_Cx = x + ^{y − hx, ui}

kuk² ^u.

V½ dư 1.3.4. Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong â a H l mởt phƯn tỷ cho trữợc v R l  mët sè d÷ìng. Khi â, ta câ:

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

M»nh · 1.3.5. Cho C l  mët tªp con lỗi õng cừa khổng gian Hilbert thỹc H. Khi õ, iÃu kiằn cƯn v ừ  Ănh xÔ P<small>C</small> : H C l php chiáu mảtric tứ H l¶n C l 

hx − P_Cx, P_Cx − yi ≥ 0 vỵi måi x ∈ H v  y ∈ C. (1.2) Chựng minh. GiÊ sỷ P<small>C</small> l php chiáu mảtric. Khi â vỵi måi x ∈ H, y ∈ C v  måi t ∈ (0, 1), ta câ ty + (1 − t)P<small>C</small>x ∈ C. Do â, tø ành ngh¾a cõa php chiáu

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Tứ mằnh à trản, ta cõ hằ quÊ dữợi Ơy:

Hằ quÊ 1.3.6. Cho C l mởt têp con lỗi õng cừa khổng gian Hilbert H v P<small>HC</small>

l php chiáu mảtric tứ H lản C. Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) vỵi måi x, y ∈ H, ta câ

Cëng hai b§t ¯ng thùc trản ta nhên ữủc iÃu phÊi chựng minh. b) Vợi måi x ∈ H v  y ∈ C, tø M»nh · 1.3.5, ta câ

ành ngh¾a 1.4.1. Cho C l  mët têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc H. nh xÔ T : C H ữủc gồi l mởt Ănh xÔ khổng giÂn,

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

náu vợi mồi x, y C, ta cõ

kT x T yk kx yk.

Ta kỵ hiằu têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn T l  F (T ), tùc l  F (T ) = {x C : T x = x}.

Mằnh à dữợi Ơy cho ta mổ tÊ và tẵnh chĐt cừa têp iºm b§t ëng F (T ). M»nh · 1.4.2. Cho C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cõa khæng gian Hilbert thüc H v  T : C H l mởt Ănh xÔ khổng giÂn. Khi õ, F (T ) l mởt têp lỗi v õng trong H.

Chựng minh. GiÊ sỷ F (T ) 6= .

Trữợc hát, ta ch¿ ra F (T ) l  tªp âng. Thªt vêy, vẳ T l Ănh xÔ khổng giÂn nản T liản tửc trản C. GiÊ sỷ {x<small>n</small>} l mởt dÂy bĐt ký trong F (T ) thọa mÂn x_n x, khi n → ∞. V¼ {x<small>n</small>} ⊂ F (T ), nản

kT x_n x_nk = 0,

vợi mồi n 1. Tứ tẵnh liản tửc cừa chuân, cho n , ta nhên ữủc kT x xk = 0, tực l  x ∈ F (T ). Do â, F (T ) l têp õng.

Tiáp theo, ta ch ra tẵnh lỗi cõa F (T ). Gi£ sû x, y ∈ F (T ), tùc l  T x = x v  T y = y. Vỵi λ ∈ [0, 1], °t z = λx + (1 − λ)y. Khi â, tø M»nh à 1.1.1 v tẵnh khổng giÂn cừa T ta cõ

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

1.4.2 To¡n tû ìn i»u

ành ngh¾a 1.4.3. Mởt Ănh xÔ a tr A : H 2<small>H</small> ữủc gồi l mởt toĂn tỷ ỡn iằu náu

vợi mồi x, y ∈ H v  måi u ∈ A(x), v ∈ A(y).

To¡n tû ìn i»u A ÷đc gåi l  ìn iằu cỹc Ôi náu ỗ th G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)}

khỉng chùa thüc sỹ trong ỗ th cừa bĐt kẳ toĂn tỷ ỡn iằu no khĂc trản H. Vẵ dử 1.4.4. ToĂn tỷ A(x) = x<small>3</small> vỵi x ∈ R l  ìn i»u cỹc Ôi trản R.

Thêt vêy, hin nhiản A l mởt to¡n tû ìn i»u tr¶n R. Ta s³ ch¿ ra ỗ th cừa A khổng l têp con thỹc sỹ cõa b§t ký mët to¡n tû ìn i»u n o kh¡c trản R. GiÊ sỷ tỗn tÔi mởt toĂn tỷ ỡn iằu B trản R sao cho ỗ th cừa B chựa thỹc sỹ ỗ th cừa A. Khi õ, tỗn tÔi phƯn tỷ x<small>0</small> R sao cho (x<small>0</small>, m) G(B), những (x<small>0</small>, m) / G(A). Nhữ vêy s x£y ra hai tr÷íng hđp ho°c A(x<small>0</small>) > m ho°c A(x₀) < m.

Tr÷íng hđp 1: A(x<small>0</small>) > m

Gi£ sû x<small>1</small> l nghiằm cừa phữỡng trẳnh A(x) = m, tực l A(x<small>1</small>) = m. Khi â, x<small>1</small> < x₀. Theo ành lỵ giĂ tr trung bẳnh, tỗn tÔi x<small>2</small> (x₁, x₀) sao cho n = A(x₂) ∈ (m, A(x₀)). Tø (x<small>0</small>, m) ∈ G(B) v  (x<small>2</small>, A(x₂)) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy ra

(x₀− x₂)(m − A(x₂)) ≥ 0.

V¼ x<small>0</small> > x₂, nản A(x<small>2</small>) m, iÃu ny mƠu thuăn vợi A(x<small>2</small>) (m, A(x₀)). Nhữ vêy, khổng th xÊy ra tr÷íng hđp A(x<small>0</small>) > m.

Tr÷íng hđp 2: A(x<small>0</small>) < m

Gi£ sỷ x<small>1</small> l nghiằm cừa phữỡng trẳnh A(x) = m, tùc l  A(x<small>1</small>) = m. Khi â, x<small>1</small> > x₀. Theo nh lỵ giĂ tr trung bẳnh, tỗn tÔi x<small>2</small> ∈ (x₀, x₁) sao cho n = A(x₂) ∈ (A(x₀), m). Tø (x<small>0</small>, m) ∈ G(B) v  (x<small>2</small>, A(x₂)) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy ra

(x₀− x₂)(m − A(x₂)) ≥ 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Vẳ x<small>0</small> < x₂, nản A(x<small>2</small>) m, iÃu ny mƠu thuăn vợi A(x<small>2</small>) (A(x₀), m). Nhữ vêy, khổng th xÊy ra trữớng hủp A(x<small>0</small>) < m.

Vêy khổng tỗn tÔi toĂn tỷ ỡn iằu B trản R sao cho ỗ th cừa B chựa thỹc sỹ ỗ th cừa A. Do õ, A l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản R.

vợi mồi x R l ỡn iằu những khổng ỡn iằu cỹc Ôi trản R.

Thêt vêy, ró rng A l mởt toĂn tỷ ỡn iằu, những ỗ th cừa A l têp con thỹc sỹ cừa ỗ th cừa toĂn tỷ ỡn iằu B(x) = x<small>3</small> vợi mồi x R.

Chú ỵ 1.4.6. To¡n tû ìn i»u A : H −→ 2<small>H</small> l  ỡn iằu cỹc Ôi khi v ch khi R(I + A) = H vợi mồi > 0, Ơy R(I + λA) l  mi·n £nh cõa I + λA.

Tø chú ỵ trản ta cõ mởt vẵ dử khĂc dữợi Ơy và toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi: Vẵ dử 1.4.7. Cho T : H −→ H l  mët ¡nh xÔ khổng giÂn. Khi õ A = I T l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, Ơy I l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản H.

Thêt vêy, vợi måi x, y ∈ H, ta câ

hA(x) − A(y), x − yi = kx − yk²− kT x − T yk² ≥ 0, suy ra A l  mët to¡n tû ỡn iằu.

Tiáp theo, ta ch ra tẵnh cỹc Ôi cừa A. Vỵi méi λ > 0 v  méi y ∈ H, x²t

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

vỵi måi x ∈ H. Dạ thĐy, f l Ănh xÔ co vợi hằ số co l  ^λ

1 + λ ∈ (0, 1). Do â, theo nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach, phữỡng trẳnh (1.5) cõ duy nhĐt nghiằm. Suy ra, phữỡng trẳnh (1.4) cõ duy nhĐt nghiằm.

Vêy A l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi.

nh nghắa 1.4.8. Cho A : H 2<small>H</small> l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi. Khi õ, Ănh xÔ J<small>A</small>

<small>r</small> = (I + rA)¹, r > 0 ữủc gồi l giÊi cừa A. Chú ỵ 1.4.9. i) GiÊi J<small>A</small>

<small>r</small> cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi A l mởt Ănh xÔ ỡn tr, khổng giÂn v A(x) 3 0 khi v  ch¿ khi J<small>A</small>

<small>r</small> (x). i·u n y tữỡng ữỡng vợi x x + rA(x) hay A(x) 3 0. ii) Vợi mồi số dữỡng v à, ta luæn câ ¯ng thùc sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

M»nh · 1.4.10. Cho H l  mët khæng gian Hilbert v  A : H −→ 2<small>H</small> l  mët to¡n tû ìn iằu cỹc Ôi vợi A<small>1</small>0 6= v cho J<small>A</small>

<small>r</small> l  to¡n tû gi£i cõa A vỵi r > 0. Khi â, vỵi måi r, λ > 0, ta câ

λkJ_r^Ax − J_λ^AJ_r^Axk ≤ ¹

rkx − J_r^Axk, vỵi måi x ∈ D(A).

Chựng minh. Theo Chú ỵ 1.4.9, ta cõ

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

1.5 Phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh

Trữợc hát, chúng tổi trẳnh by phữỡng phĂp im gƯn kà cho phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ ỡn iằu. Xt bi toĂn

XĂc ành ph¦n tû x<small>∗</small> ∈ D(A) sao cho A(x<small>∗</small>) 3 0, (1.7) vỵi A : D(A) ⊂ E −→ 2<small>E</small> l  mët to¡n tû m-j-ìn i»u.

Khi A l  m-j-ìn i»u trong khỉng gian Hilbert H, ngh¾a l  A l  to¡n tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, thẳ Rockafellar R. T. [14] Â xt phữỡng phĂp lp

c_nAx_n+1+ x_n+1 3 x_n, x₀ H, (1.8) ð ¥y c<small>n</small> > c₀ > 0 v  gồi l phữỡng phĂp im gƯn kÃ. Rockafellar cụng  ch ra sỹ hởi tử yáu cừa dÂy lp {x<small>n</small>} x¡c ành bði (1.8) v· mët nghi»m cõa b i to¡n (1.7).

Chú ỵ 1.5.1. Phữỡng phĂp im gƯn kà ữủc Martinet B. à xuĐt lƯn Ưu tiản trong ti liằu [10] cho bi toĂn cỹc tiu phiám hm lỗi, chẵnh thữớng v nỷa liản tửc dữợi : H R {+} dÔng sau:

x_n+1 =argmin<small>yH</small>(y) + ¹

2c_nkx_n yk²

vợi mồi n 1. (1.9) Nôm 1991, Guler [8]  xƠy dỹng mởt vẵ dử  ch ra phữỡng phĂp lp (1.8)^.. khổng phÊi lúc no cụng hởi tử mÔnh trong trữớng hủp tờng quĂt. Mởt vẵ dử gƯn Ơy cừa c¡c t¡c gi£ Bauschke H. H., Matouˇskov´a E. v  Reich S. [4] cụng ch ra rơng dÂy lp {x<small>n</small>}xĂc nh bði (1.8) ch¿ hëi tư y¸u m  khỉng hëi tư theo chuân. Nôm 2001, Attouch H. v Alvarez F. [2]  xt mởt m rởng cừa phữỡng phĂp im gƯn kà (1.8) dÔng

c_nA(x_n+1) + x_n+1 x_n 3 _n(x_n x_n1), x₀, x₁ ∈ H (1.10) v  gåi l  ph÷ìng ph¡p im gƯn kà quĂn tẵnh, Ơy {c<small>n</small>} v {<small>n</small>} l hai dÂy số khổng Ơm. Tuy nhiản, ngữới ta cụng ch thu ữủc sỹ hởi tử yáu cừa dÂy l°p {x_n} x¡c ành bði (1.10) v· mët nghi»m cõa b i to¡n (1.7) trong khỉng gian Hilbert. K¸t qu£ cõa Attouch H. v Alvarez F. ữủc cho bi nh lẵ dữợi Ơy:

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

nh lỵ 1.5.2. [2] Cho H l  mët khæng gian Hilbert v  cho {x<small>n</small>} ⊂ H l mởt dÂy ữủc xĂc nh bi

x_n+1 = J^A

<small>n</small> x_n+ α_n(x_n − x_n−1)
, n = 1, 2, ... (1.11) ð ¥y A : H −→ 2<small>H</small> l  mët to¡n tỷ ỡn iằu cỹc Ôi vợi S = A<small>1</small>(0) 6= ∅ v  c¡c tham sè α<small>n</small>, λ_n thäa m¢n c¡c iÃu kiằn:

i) Tỗn tÔi số > 0 sao cho <small>n</small> , n 1, ii) Tỗn tÔi ∈ [0, 1) sao cho 0 ≤ α<small>n</small> ≤ α, n 1. Náu iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn

_nkx_n x_n1k² < +, thẳ tỗn tÔi x<small></small> S sao cho dÂy {x<small>n</small>} hởi tử yáu và x<small></small>.

Chú ỵ 1.5.3. Phữỡng phĂp lp (1.11) cỏn cõ th viát dữợi dÔng tữỡng ữỡng sau:

_nA(x_n+1) + x_n+1 3 x_n+ _n(x_n x_n1). (1.12) Chú ỵ 1.5.4. Phữỡng phĂp lp (1.11) lƯn Ưu tiản ữủc nghiản cựu bi Alvarez F. [?], cho bi toĂn cỹc tiu hõa phiám hm lỗi f dÔng

ặng  ch ra rơng, náu cĂc dÂy số {<small>n</small>}, {α<small>n</small>}v  {ε<small>n</small>} thäa m¢n c¡c i·u ki»n 0 ≤ α_n 1, dÂy {<small>n</small>} b chn dữợi bi mởt hơng số dữỡng, dÂy {<small>n</small>/_n} ỡn iằu giÊm v P<small></small>

<small>n=0</small>_n_n < , thẳ dÂy {u<small>n</small>} xĂc nh bi (1.13) cụng hởi tư y¸u v· iºm x<small>∗</small> l m cüc tiºu phi¸m h m f.

</div>