Giải tích nhiều biến số doc

II/2008 BG_1_TII_PDA 1
Giải tích nhiềubiếnsố
Bài giảng 1-Toán II (Khóa 49)
Phó ĐứcAnh
Trường ĐạihọcThủylợi
IV/2008 BG_9_TII_PDA 1
Giải tích nhiềubiếnsố
Bài giảng 9-Toán II (Khóa 49)
Phó ĐứcAnh
Trường ĐạihọcThủylợi
IV/2008 BG_9_TII_PDA 2
Chương II- Tích phân bội(tiếp)
Nội dung buổi ba/năm
• Các ứng dụng vậtlýcủa Tích phân bội hai
(Mục 20.3)
• Tính diện tích mặt cong (Mục 20.8)
IV/2008 BG_9_TII_PDA 3
Tiếtthứ nhất
• Các ứng dụng vậtlýcủa Tích phân bội
hai (Mục20.3)
1). Tính khốilượng tấmphẳng
2). Mô men đốivớicáctrụcOx, Oy…
3). Tọa độ khốitâmcủatấmphẳng
4). Mô men quán tính…
IV/2008 BG_9_TII_PDA 4
1). Tính khốilượng tấmphẳng
•Tấmphẳng D⊂(xy) có
khốilượng riêng (tỷ
trọng, mật độ) phụ
thuộcvàotừng điểm
•Khốilượng củayếutố

diệntíchdAlà:
• Công thức tính khối
lượng củatấmphẳng
(
)
()
()
,
,
,
D
xy
xydA
M
x
y
dA
δδ
δ
δ
=
=
∫∫
IV/2008 BG_9_TII_PDA 5
Hình 20.14 (trang 129)
D
D
DT yếutố: dA
KL yếutố: δ.dA
IV/2008 BG_9_TII_PDA 6

Trong hình vẽ trên
• Ta coi x là khoảng cách từ khốilượng yếu
tố: δ(x, y)dA đếntrụcy,
•y làkhoảng cách từ khốilượng yếutố:
δ(x, y)dA đếntrụcx
• Khi xét tác dụng quay củakhốilượng
quanh mộttr
ục, ngườitađưa ra khái niệm
mô men đốivớitrục (bằng tích giữakhối
lượng và khoảng cách từ nó đếntrục(còn
gọilàcánh tay đòn))
IV/2008 BG_9_TII_PDA 7
2).Mô men
•Khốilượng củayếutố
diệntíchdAcómô
men đốivớitrụcx;
(trụcy)
• Công thức tính mô
men đốivớitrụcx;
trụcy củatấmphẳng
(
)
(
)
()
()
,;(,)
,
,
x

D
y
D
yxydAxxydA
MyxydA
MxxydA
δδ
δ
δ
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
∫∫
∫∫
IV/2008 BG_9_TII_PDA 8
3). Tọa độ khốitâmcủatấmphẳng
• Tọa độ khốitâmcủa
tấmphẳng D, với
hàm khốilượng riêng
(tỷ trọng, mật độ):
được tính theo công
thức:
()
()
()
()

,
,
,
,
y
D
D
x
D
D
x
xydA
M
x
M
x
ydA
yxydA
M
y
M
x
ydA
δ
δ
δ
δ
⎧
⎪
==

⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
==
⎪
⎪
⎩
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
(
)
,
x
y
δδ
=
IV/2008 BG_9_TII_PDA 9
4). Mô men quán tính
• Mô men quán tính
củatấmphẳng D đối
với trụcx; (trụcy)
• Mô men quán tính
củatấmphẳng D đối
với gốcO
2

2
22
(, )
((,))
()(,)
x
D
y
D
O
D
IyxydA
IxxydA
I
xy xydA
δ
δ
δ
=
=
=+
∫∫
∫∫
∫∫
IV/2008 BG_9_TII_PDA 10
Tấmphẳng đồng chất
•Khốilượng riêng δ(x, y) = ρ = hằng số tại
∀(x, y) ∈D
•Khiđó các công thứctrênsẽđơngiản
hơn…

•Cácbạn tự viếtlại các công thứctính
khốilượng, mô men và mô men quán tính
đốivới hai trục, đốivớigốcO vàcông
thứcchotọa độ khốitâmcủatấmphẳng
đồng chấ
t
IV/2008 BG_9_TII_PDA 11
Ví dụ 1
•Biếtkhốilượng riêng theo M(x, y) là δ(M) = xy.
Tính kh
ốilượng, mô men và mô men quán tính
đốivớitrụcx, đốivớigốc O và xác định tọa độ
khốitâmcủa hình vuông OABC, biết A(a, 0); B(a,
a); C(0, a)
• HD. Khốilượng
24
00 0
()
24
aa a
D
aa
M
x
y
dA x
y
d
y
dx xdx DVKL== ==

∫∫ ∫∫ ∫
IV/2008 BG_9_TII_PDA 12
Mô men đốivớitrục x, trụcy
•Mômen củatấm vuông OABC đốivớitrụcy
•Do tính đốixứng, Mô men củatấm vuông
OABC
đốivớitrụcx cũng bằng: a
5
/6
22 5
2
00 0
()
26
y
D
aa a
Mxxydxdy
ax a
x ydydx dx
=
===
∫∫
∫∫ ∫
IV/2008 BG_9_TII_PDA 13
Tọa độ khốitâm
củatấm vuông
OABC đượctính
theo công thức:
2

;
3
2
3
y
x
M
a
x
M
M
a
y
M
⎧
==
⎪
⎪
⎨
⎪
==
⎪
⎩
IV/2008 BG_9_TII_PDA 14
Mô men quán tính
• đốivớitrụcOx; trụcOyvàđốivớigốcO
2
46
3
00 0

6
22
0
()
48
()()
4
x
D
aa a
y
xy
D
Iyxydxdy
ax a
xy dydx dx I
a
IxyxydxdyII
=
====
=+ =+=
∫∫
∫∫ ∫
∫∫
IV/2008 BG_9_TII_PDA 15
Ví dụ 2
•Xácđịnh tọa độ khối
tâm của hình tim
đồng chấtcóbiên:
r = a(1+cosθ)

• HD. Do tính đốixứng,
khốitâmcủa hình tim
sẽ nằmtrêntrụcx,
nghĩalà:
• Hình 20.19, trang 135
IV/2008 BG_9_TII_PDA 16
1
2
(1 cos )
22
00
33
3
0
2
0;
3
cos 2 cos
255
(1 cos ) cos
346
D
D
a
DD
xdA
yx xdA
Aa
xdA r drd r drd
aaa

dx
θ
π
π
π
θ
θθθ
π
θθθ
+
===
==
= + =⋅⋅⋅= → =
∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
IV/2008 BG_9_TII_PDA 17
Tiếtthứ hai
• Các ứng dụng của Tích phân bội hai
(Ôn tập và nâng cao)
1). Diện tích mặt cong (Mục 20. 8)
2). Ví dụứng dụng
IV/2008 BG_9_TII_PDA 18
1). Diệntíchmặt cong (Mục 20. 8)
•Xétmặt cong có phương trình z = f(x, y) xác
định trên miềnhữuhạnD ⊂ (xy)
• Hình chiếu vuông góc củaphầnmặt cong khá
bé (vớidiệntíchdS) xuống (xy) là mộthình
phẳng trong D có diệntíchdA= dxdy

• Theo định lý về diệntíchhìnhchiếu, ta có:
dS. cosγ = dA
•với γ là góc giữa pháp tuyếntạimột điểmtrên
dS vớichiềudương củatrụcz
IV/2008 BG_9_TII_PDA 19
Hình 20.35, trang 158
IV/2008 BG_9_TII_PDA 20
Hình 20.36, trang 159
IV/2008 BG_9_TII_PDA 21
Tính dS
22
22
22 22
(.0 .01.1)
.
cos
.
1
1.
cos
1.1.
xy
xy
xy
xy xy
DD
zz
nk
nk
zz

dA
dS z z dA
S z zdA z zdxdy
γ
γ
−− +
==
++
==++
=++ =++
∫∫ ∫∫
GG
GG
IV/2008 BG_9_TII_PDA 22
3). Ví dụ 1
•TínhDT nửamặtcầu bán
kính a bằng TP bộihai
(Hình 20.37, trang 160)
• HD. Xét nửamặtcầu
trên:
• ĐầutiênhãytínhdS?
•Sauđó, xác định miềnlấy
TP bội hai (Nên tính theo
hệ tọa độ nào?)
IV/2008 BG_9_TII_PDA 23
Tính vi phân diệntíchdS
222
22
2
222

();
;;
1
()
xy
zaxy
xy
zz
zz
xy adxdy
dS dxdy
z
ax
y
=−+
=− =−
+
=+ =
−+
IV/2008 BG_9_TII_PDA 24
Diện tích nửacầutrên
1
222
2
1
22 22
2
22
00
22 2

0
()
()()
2
.2 . 2
DD
a
D
a
dxdy
SdSa
axy
rdrd a
adardar
ar
aar a
π
θ
θ
ππ
−
==
−+
==−−−
−
=− − =
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫