Bài giảng giải tích nhiều biến

Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ:

Nguyễn Hữu Thọ
Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ
Nguyễn Hữu Thọ






1

Chơng 2: tích phân bội
Bi s 7
TNH TH TCH BNG TCH PHN LP.
TCH PHN BI HAI V TCH PHN LP

1. TNH TH TCH BNG TCH PHN LP

Mt hm hai bin liờn tc
( , )f x y
cú th
l

y tớch phõn trờn m

t mi

n ph

ng
R
hon
ton gi

ng nh

cỏch m m

t hm m

t bi

n s

liờn t

c cú th

l

y tớch phõn trờn m

t

o

n. Khi

ú ta nh

n m

t s

g

i l
tớch phõn bi hai ca hm f(x,y) trờn R v kớ hiu
bi
( , )
R
f x y dA

hay ( , )
R
f x y dxdy

.

a. Mụ t phng phỏp tớnh th tớch bng tớch phõn lp:
Trong Gii tớch mt bin chỳng ta ó s dng "Phng phỏp phõn hoch"
tỡm th tớch.
Xột mt vt th trong h ta Oxyz c mụ t nh hỡnh v: õy
( , ) 0z f x y= , n

u ( )A x l di

n tớch c

a ti

t di

n khi
ct vt th bi mt phng
vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x
thỡ
( )
dV A x dx=
l th

tớch c

a lỏt
c

t m

ng c

a v

t th

dy dx, khi

ú
cụng th

c
( )
b
a
V A x dx
=

(1)
cho ta th

tớch c

a v

t th

gi

i h

n
gi

a hai m

t ph

ng
x a=
v

x b=
.
Ta li ý rng:
Trong hỡnh v

, ti

t
di

n tr

i t

m

t ph

ng
Oxy
:
z=0
lờn

n m

t cong ( , )
z f x y=
. V

i
x
l
b

t kỡ c



nh gi

a
a
v
b
, bi

n
y

thay

i t


1
( )
y x
(cú

th

l ph

n

ng cong bờn trỏi trong m

t ph

ng
xy
)

n
2
( )
y x
((cú

th

l ph

n

ng cong bờn ph

i trong m

t
ph

ng
xy
), v di

n tớch c

a ti

t di

n ny l :

( ) ( )
2
1
( )
( )
,
y x
y x
A x f x y dy
=

, (2)


Th

(2) vo (1) v nh

n

c
tớch phõn l

p

( )
( )
2
( )
1
,
y x
b
a y x
V f x y dy dx

=




. (3)
Bài gi¶ng Gi¶I tÝch nhiÒu biÕn – N¨m häc 2007-2008 TiÕn sÜ:

NguyÔn H÷u Thä

NguyÔn H÷u ThäNguyÔn H÷u Thä
NguyÔn H÷u Thä






2


Giá trị này chính là thể tích V của vật thể.
Để ý rằng ở đây:
{ }
1 2
( , ) , ( ) ( )x y D a x b y x y y x∈ = ≤ ≤ ≤ ≤
, D là miền lấy tích
phân.

Nếu cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oy, khi đó :

{ }
1 2
( , ) ( ) ( ),x y D x y x x y c y d∈ = ≤ ≤ ≤ ≤

và dạng của tích phân lặp sẽ theo một thứ tự khác, đầu tiên theo x sau đó theo y,

( )
( )
2

( )
1
,
x y
d
c x y
V f x y dx dy
 
=
 
 
 
∫ ∫
. (4)





Các tích phân lặp (3) và (4) thường được viết không có dấu ngoặc như sau

2
1
( )
( )
( , )
y x
b
a y x
f x y dydx

∫ ∫
và
2
1
( )
( )
( , )
x x
d
c x x
f x y dxdy
∫ ∫
,

Thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp là rất quan trọng: Chúng ta luôn luôn làm
việc từ bên trong ra. Hơn nữa chúng ta còn phải quan tâm đến quy luật lấy cận trong
tích phân này (Câu hỏi ?).

Ví dụ 1 Sử dụng tích phân lặp để tìm thể tích
của tứ diện bị chặn bởi những mặt phẳng toạ độ
và mặt phẳng
1x y z+ + =
.

Giải:
Thi
ế
t di
ệ
n c

ắ
t b
ở
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
x =
m
ộ
t
h
ằ
ng s
ố
là tam giác v
ớ
i
đ
áy ch
ạ
y t
ừ
0y =
đế
n
đườ
ng th
ẳ

ng 1y x= − .
Di
ệ
n tích c
ủ
a nó là

Bài gi¶ng Gi¶I tÝch nhiÒu biÕn – N¨m häc 2007-2008 TiÕn sÜ:

NguyÔn H÷u Thä
NguyÔn H÷u ThäNguyÔn H÷u Thä
NguyÔn H÷u Thä






3

( )
1 1
0 0
(1 )
x x
A x zdy x y dy
− −
= = − −
∫ ∫
.

Thể tích cần tìm
1
1 1 1
2
0
0 0 0
1
(1 )
2
x
x
V x y dydx y xy y dx
−
−
 
= − − = − −
 
 
∫ ∫ ∫

1
2
0
1 1 1
2 2 6
x x dx
 
= − + =
 
 

∫
.
Kết quả này có thể được kiểm tra bởi hình học sơ cấp: thể tích của một tứ diện bất kì
bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Ví dụ 2. Xác định miền lấy tích phân trong mặt
phẳng Oxy của tích phân lặp
( )
2
2 4
1
,
x
f x y dydx
−
∫ ∫

Giải: Ở tích phân bên trong, với x cố định giữa
-1 và 2, y biến thiên từ đường cong
2
y x= lên
đến đường thẳng
4y = . Mi
ề
n l
ấ
y tích phân
{ }
2
1 2, 4D x x y= − ≤ ≤ ≤ ≤

Ví dụ 3.
Tích phân l
ặ
p
2
1
0
2
x
x
ydydx
∫ ∫
(5)

lấy tích phân trên một miền nào đó của mặt phẳng
Oxy. Viết một tích phân tương đương khi đổi thứ tự
lấy tích phân, và tính cả hai tích phân đó.

Giải :Miền lấy tích phân
{ }
2
0 1,D x x y x
= ≤ ≤ ≤ ≤
.
Chú ý rằng hai đường cong
2
y x
=
và

y x=
có hai
giao điểm
1 2
(0,0), (1,1)
M M
khi
0 1x≤ ≤ , và
trong mi
ề
n D hàm
2
y x= có hàm ng
ượ
c
1/ 2
x y= . Lúc này ta có:
2
1
0
2
x
x
ydydx
∫ ∫
2
1
2
0
x

x
y dx
 
=
 
∫
( )
1
2 4
0
x x dx= −
∫
2
15
= ,


Đổ
i th
ứ
t
ự
l
ấ
y tích phân: ta có th
ể
vi
ế
t l
ạ

i cách xác
đị
nh mi
ề
n l
ấ
y tích phân
nh
ư
sau:
{ }
1/ 2
, 0 1
D y x y y
= ≤ ≤ ≤ ≤ . Do
đ
ó tích phân
đ
ã cho có th
ể
tính:
1/ 2
1
0
2
y
y
ydxdy
∫ ∫
[ ]

1/ 2
1
0
2
y
y
xy dy
=
∫
( )
1
3/ 2 2
0
2
2 2
15
y y dy
= − =
∫
.
Trong mi
ề
n
đ
ang xét, hàm s
ố
d
ướ
i d
ấ

u tích phân không âm nên c
ả
hai tích phân l
ặ
p
d
ẫ
n
đế
n th
ể
tích c
ủ
a cùng m
ộ
t v
ậ
t th
ể
nào
đ
ó.
Chú ý:
1. N
ế
u hàm s
ố
d
ướ
i d

ấ
u tích phân là ( , ) 0z f x y
= ≥
, liên t
ụ
c trên mi
ề
n h
ữ
u
h
ạ
n (
đo được)
2
D ⊂
»
, thì giá trị tích phân lặp là thể tích của khối trụ có mặt đáy là D
Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ:

Nguyễn Hữu Thọ
Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ
Nguyễn Hữu Thọ






4

cũn mt mt l th hm s
( , )z f x y=
, cũn m
t xung quanh l ph

n m

t tr

cú

ng chu
N
n l biờn c

a D cỏc

ng sinh cựng ph

ng v

i tr

c Oz.
2. Khi ( , ) 1z f x y= thỡ giỏ tr

tớch phõn l

p chớnh l giỏ tr

di

n tớch c

a
mi

n D.
3. Tớnh tớch phõn l

p th

c ch

t l

a v

tớnh cỏc tớch phõn

n, nờn trong quỏ
trỡnh tớnh toỏn ta v

n ỏp d

ng cỏc tớnh ch

t

ó bi

t trong tớch phõn

n.

2. TCH PHN BI HAI V TCH PHN LP

a. Tớch phõn bi hai.
Giỏ tr ca tớch phõn n ( )
b
a
f x dx

c xỏc nh bi hm ( )f x v
o

n [a,b].
Trong tr

ng h

p c

a tớch phõn b

i hai,

o

n [a,b]

c thay b

i mi

n
R
trong m

t
ph

ng
Oxy
, v tớch phõn b

i hai trờn
R
thỡ

c kớ hi

u b

i bi

u t

ng

( , )
R
f x y dA

(1)
Xột m

t
hm s liờn tc
( , )
f x y
xỏc

nh trờn mi

n
R
trong m

t ph

ng
Oxy
.
C

n thi

t ph

i gi

s

r

ng
R

l b chn
, theo ngh

a

ú d

n

n nú ch

a trong m

t hỡnh
ch

nh

t

l

n v k

t thỳc

vụ cựng theo m

i h

ng; núi cỏch khỏc, nh

trong
tr

ng h

p c

a tớch phõn

n



ú
a
ho

c
b

l vụ cựng, tớch phõn b

i s

tr

thnh suy
r

ng.
Ph


R
b

i m

ng l

i nh

ng

ng th

ng song song v

i cỏc
tr

c,



ú kho

ng cỏch gi

a cỏc

ng th

ng song song liờn ti

p
nhau

c phộp b

ng nhau hay
khụng b

ng nhau. Nh

ng

ng
th

ng ny chia m

t ph

ng thnh
nhi

u nh

ng hỡnh ch

nh

t ch

a
ton b

bờn trong
R
,

c

ỏnh s


chỳng theo th

t

t

1

n
n
, kớ
hi

u b

i
k
A
l di

n tớch c

a hỡnh
ch

nh

t th


k
. Bõy gi

chỳng ta
ch

n b

t kỡ

i

m
( )
,
k k
x y
trong
hỡnh ch

nh

t th


k
v l

p t

ng
( )
1

,
n
k k k
k
f x y A
=


(2)
N

u
tng ú tin n mt gii hn duy nht
khi n
tin n vụ vựng
(v giỏ tr

l

n
nh

t c

a

ng chộo c

a cỏc hỡnh ch

nh

t ti

n

n khụng- khụng ph

thu

c vo
vi

c chia b

ng cỏc

ng th

ng v cỏch ch

n

i

m
( )
,
k k
x y

trong hỡnh ch

nh

t) thỡ
giỏ tr

gi

i h

n

ú

c g

i l
tớch phõn bi hai :

( ) ( )
1
, lim ,
n
k k k
k
R
f x y dA f x y A
=
=

(3)

Bài gi¶ng Gi¶I tÝch nhiÒu biÕn – N¨m häc 2007-2008 TiÕn sÜ:

NguyÔn H÷u Thä
NguyÔn H÷u ThäNguyÔn H÷u Thä
NguyÔn H÷u Thä






5

Chú ý: 1. Miền lấy tích phân R là miền bị chặn và những miền đó được giới hạn bởi
hữu hạn các đường cong trơn. Hàm số dưới dấu tích phân
( , )f x y
là hàm liên tụ
c trên
R.
2. Chúng ta s
ẽ
không nghiên c
ứ
u k
ỹ
lí thuy

ế
t tích phân b
ộ
i vì
đ
ó là m
ộ
t ch
ủ

đề

khó, và
đẹ
p; sinh viên mu
ố
n tham kh
ả
o s
ẽ
t
ự
nh
ậ
n
đươ
c trong phép tính vi phân nâng
cao.
Ở

đ
ây chúng ta ch
ủ
y
ế
u xét ý ngh
ĩ
a v
ề
m
ặ
t tr
ự
c giác c
ủ
a tích phân b
ộ
i hai và t
ậ
p
trung chú ý c
ủ
a
đế
n các
ứ
ng d
ụ
ng c
ủ

a chúng
đố
i v
ớ
i hình h
ọ
c và v
ậ
t lí.

b. Tích phân bội hai trong tính thể tích vật thể:

Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng ( , )z f x y= : xác
đị
nh, liên t
ụ
c trên R và là ph
ươ
ng trình c
ủ
a m
ặ
t
trong không gian O

xyz
,
ở

đ
ó ( , ) 0
f x y
> trên
R
, khi
đ
ó
( )
,
k k k
f x y A∆
x
ấ
p x
ỉ
th
ể
tích
c
ủ
a c
ộ
t m
ỏ
ng trong hình v

ẽ
; t
ổ
ng (2) là t
ổ
ng c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các th
ể
tích
đ
ó và do v
ậ
y x
ấ
p
x
ỉ
th
ể
tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a v
ậ

t th
ể
bao b
ở
i m
ặ
t cong, và gi
ớ
i h
ạ
n (3) là tích phân b
ộ
i hai
( , )
R
f x y dA
∫∫
, (4)
chính là th
ể
tích chính xác c
ủ
a v
ậ
t th
ể
, chính xác h
ơ
n là th
ể

tích kh
ố
i tr
ụ
có m
ặ
t
đ
áy
R

còn m
ộ
t m
ặ
t là
đồ
th
ị
hàm s
ố
( , )
z f x y
= , còn m
ặ
t xung quanh là ph
ầ
n m
ặ
t tr

ụ
có
đườ
ng chu
N
n là biên c
ủ
a
D
các
đườ
ng sinh cùng ph
ươ
ng v
ớ
i tr
ụ
c
Oz.

+ N
ế
u ( , )
f x y
nh
ậ
n giá tr
ị
h
ằ

ng s
ố
,
ngh
ĩ
a là ( , )
f x y c
= , thì
( , )
R
f x y dA cA=
∫∫
,
ở

đ
ó
A
là di
ệ
n tích c
ủ
a mi
ề
n
R
.
+ N
ế
u ( , ) 1

f x y
= ta có
R
dA A=
∫∫
.
+ N
ế
u ( , )
f x y
nh
ậ
n c
ả
giá tr
ị
d
ươ
ng và
âm, thì tích phân b
ộ
i hai bi
ể
u di
ễ
n
thể
tích đại số thay cho thể tích hình học;
có nghĩa là, thể tích đại số giữa mặt
( , )z f x y=

và mặ
t ph
ẳ
ng-xy là d
ươ
ng
khi ( , ) 0f x y > và là âm khi
( , ) 0f x y < .
Vì di
ệ
n tích c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t
v
ớ
i các c
ạ
nh song song v
ớ
i các tr
ụ
c to
ạ

độ
có th

ể
vi
ế
t nh
ư
sau A x y∆ = ∆ ∆ ,
đ
ó là lí do
để
ký hi
ệ
u
( , )
R
f x y dxdy
∫∫

là tích phân b
ộ
i hai (1).

Ở
d
ạ
ng này tích phân b
ộ
i có s
ự
t
ươ

ng
đồ
ng v
ớ
i tích phân l
ặ
p, và khi mi
ề
n R có
hình d
ạ
ng
đơ
n gi
ả
n nào
đ
ó tích phân b
ộ
i hai (1) luôn luôn b
ằ
ng m
ộ
t tích phân l
ặ
p
đượ
c ch
ọ
n m

ộ
t cách thích h
ợ
p. Tuy nhiên
tích phân bội hai không hoàn toàn giống
như tích phân lặp
. Tích phân b
ộ
i hai c
ũ
ng có
các tính chất cơ bản tương tự như
tích phân
đơn.