Luận văn các điều kiện (ci) và môđun liên tục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (521.71 KB, 47 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

BË GIO DÖC V O TO UBND TNH THANH HÂA

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

BË GIO DÖC V O TO UBND TNH THANH HÂA TR×ÍNG I HÅC HầNG C

TRNH TH HìèNG

Chuyản ngnh: I Sẩ V Lị THUYT Sẩ

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Danh sĂch hởi ỗng chĐm thi luên vôn thÔc sắ theo Quyát nh số 919/Q-HH ngy 26 thĂng 4 nôm 2023 cừa Hiằu trữớng Trữớng Ôi hồc Hỗng ực.

Hồc hm, hồc v, hồ tảnCỡ quan cổng tĂcChực danh trong Hởi ỗngTS. Hong ẳnh HÊiTrữớng H Hỗng ựcChừ tch Hởi ỗngTS. TrƯn Nam TrungViằn toĂn hồcUV PhÊn bi»n 1

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LÍI CAM OAN

Tỉi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi, ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa PGS. TS. Ngổ S Tũng. CĂc kát quÊ trẳnh by trong luên vôn l trung thỹc, nởi dung cừa luên vôn khổng trũng lp vợi cĂc khõa luên, luên vôn, luên Ăn v cĂc cổng trẳnh nghiản cựu Â cổng bố.

Ngữới cam oan

Trnh Th Hữỡng

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

LI CM èN

Luên vôn ny ữủc hon thnh tÔi Khoa Khoa hồc Tỹ nhiản, Trữớng Ôi hồc Hỗng ực dữợi sỹ hữợng dăn cõa PGS. TS. Ngỉ Sÿ Tịng. Tỉi xin ch¥n th nh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc v lỏng yảu quỵ tợi ThƯy ngữới Â trỹc tiáp giÊng dÔy, ch bÊo tên tẳnh, chu Ăo, nghiảm khưc, luổn giúp ù cờ vụ nhiằt tẳnh trong suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn.

Tổi xin chƠn thnh c£m ìn Ban gi¡m hi»u nh tr÷íng, Ban chõ nhi»m khoa, cĂc thƯy, cổ giĂo, P. QLT Sau Ôi hồc v cĂc phỏng chực nông cừa trữớng Ôi hồc Hỗng ực, c biằt l cĂc thƯy cổ giĂo trỹc tiáp giÊng dÔy lợp Cao hồc Ôi số v lỵ thuyát số K14 Â tÔo iÃu kiằn giúp ù cho tổi trong quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu. Lợp khổng ổng, ch 09 hồc viản những Â cho tổi nhỳng trÊi nghiằm, khổng nhỳng trong tỹ hồc, têp dữủt nghiản cựu khoa hồc m cỏn l nhỳng phữỡng phĂp luên, thá giợi quan khoa hồc v niÃm lÔc quan, bÊn lắnh nghiản cựu trong quĂ trẳnh hồc têp v rn luyằn.

Mc dũ Â cố gưng, song luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v thiáu sõt. Chúng tổi rĐt mong nhên ữủc ỵ kián gõp ỵ cừa cĂc nh khoa håc, c¡c th¦y gi¡o, cỉ gi¡o, c¡c anh chà v ỗng nghiằp luên vôn ữủc hon chnh hỡn.

TrƠn trång c£m ìn!

Thanh Hâa, th¡ng 4 n«m 2023

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

MƯC LƯC

Mð ¦u . . . . 1

Danh mưc cĂc kẵ hiằu . . . . 4

Chữỡng 1. CĂc kián thực chuân b . . . . 5

1.1. Tờng trỹc tiáp v hÔng tỷ trỹc tiáp . . . 5

1.2. Mỉun con cèt y¸u, mỉun con ·u . . . 6

1.3. Mæun ·u, mæun con ·u v chi·u ·u. . . 10

1.4. Mổun A-nởi xÔ, nởi xÔ, tỹa nởi xÔ . . . 11

1.5. ở di cừa mổun . . . 12

Chữỡng 2. Mổun liản tửc . . . . 13

2.1. C¡c i·u ki»n (Ci) cõa mæun. . . 13

2.1.1. C¡c i·u ki»n (C1) , (C2) , (C3) , (1 − C1) mæun. . . 13

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Mé U 1. Tẵnh cĐp thiát cừa Ã ti

Cũng vợi sỹ phĂt trin chung cừa toĂn hồc, lỵ thuyát mổun Â cõ nhỳng bữợc phĂt trin mÔnh m v cõ rĐt nhiÃu ựng dửng nghiản cựu lỵ thuyát vnh.

Cõ hai hữợng chẵnh nghiản cựu lỵ thuyát vnh. Hữợng thự nhĐt l sỷ dửng nởi tÔi cĂc tẵnh chĐt cừa nõ thổng qua lợp cĂc iảan v hữợng thự hai l c trững vnh qua tẵnh chĐt cừa mởt lợp xĂc nh no õ cĂc mổun trản chúng. Trong hai hữợng trản thẳ hữợng thự hai tọ ra hiằu quÊ hỡn.

KhĂi niằm mổun m rởng lƯn Ưu tiản ữủc ch ra bi Von Neumann vo nôm 1930. Tiáp tửc nghi¶n cùu · t i n y, c¡c kh¡i ni»m c¡c i·u kiằn (Ci) v mổun liản tửc, tỹa liản tửc Â ữủc Utumi nh nghắa vo nôm 1960. Vo nôm 1988, Kamal v Mullers Â ữa ra khĂi niằm (1 C1) -mổun. Nôm 1994, PGS.TS Ngổ S Tũng Â sỷ dửng cĂc iÃu kiằn liản tửc v lợp mổun c trững mởt số lợp vnh. Vẳ vêy, cĂc iÃu kiằn (Ci) v mổun liản tửc Â hữợng chúng tổi nghiản cựu tẳm hiu. Trản cỡ s cĂc iÃu kiằn (Ci) Ã ti luên vôn cụng trẳnh by mởt c¡ch câ h» thèng c¡c kh¡i ni»m v cè gng tữớng minh cĂc tẵnh chĐt cừa lợp mổun liản tửc.

Tứ nhỳng lẵ do trản, dỹa vo ti liằu Quasi - Frobenius cừa W.K. Nicholson v M.F.Yousif (nôm 2003) xuĐt bÊn tÔi Cambridge Univensity Press v dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS.TS Ngổ S Tũng, tổi chồn Ã ti luên vôn "C¡c i·u ki»n (Ci) v mỉun li¶n tưc" º nghi¶n cùu.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

2. Mưc ½ch cõa · t i

Mưc ẵch nghiản cựu cừa Ã ti l tẳm hiu cĂc iÃu kiằn (Ci) v mởt số tẵnh chĐt vÃ lợp mổun liản tửc.

3. Phữỡng phĂp nghiản cựu

Ã ti sỷ dửng phữỡng phĂp nghiản cựu lỵ thuyát: ồc, nghiản cựu, phƠn tẵch v tờng hủp cĂc ti liằu cõ liản quan án Ã ti; sỷ dửng cĂc k thuêt tẵnh toĂn, chùng minh °c thò cõa v nh º gi£i c¡c b i toĂn cõ trong Ã ti.

4. Kát quÊ Ôt ữủc

Chựng minh chi tiát mởt số tẵnh chĐt vÃ cĂc iÃu kiằn (Ci) cõa mỉun v mèi li¶n h» giúa c¡c i·u kiằn õ. Trẳnh by mởt cĂch hằ thống lợp mổun liản tửc v cụng chựng minh chi tiát mởt số tẵnh chĐt cừa lợp mổun liản tửc. Trẳnh by mởt số vẵ dử vÃ iÃu kiằn (Ci) v lợp mổun liản tửc. ữa ra mởt số tẵnh chĐt mợi cừa mổun liản tửc.

5. CĐu trúc cừa luên vôn

Ngoi phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo, nởi dung cừa luên vôn ữủc chia thnh hai chữỡng:

Chữỡng 1. CĂc kián thực chuân b.

Trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn v· mỉun con cèt y¸u, mỉun con âng, mỉun nëi xÔ, mổun tỹa nởi xÔ ...

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Chữỡng 2. Mổun liản tửc.

Luên vôn têp trung nghiản cựu cĂc vĐn Ã liản quan án cĂc iÃu kiằn (Ci), (i = 1, 2, 3) cõa mỉun v mỉun li¶n tưc. Cử th, dỹa vo cĂc ti liằu luên vôn trẳnh by cĂc khĂi niằm i án nh nghắa vÃ cĂc i·u ki»n (Ci) cơng nh÷ mèi quan h» giúa c¡c i·u ki»n â, · t i cơng cè gng t÷íng minh mët sè v½ dư v· c¡c i·u ki»n (Ci) cõa mỉun. Tr¶n cì sð c¡c i·u ki»n (Ci) düa v o ti liằu [7], Ã ti luên vôn cụng trẳnh by mët c¡ch câ h» thèng v· kh¡i ni»m cơng nh÷ tẵnh chĐt cừa lợp mổun liản tửc.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

DANH MÖC CC K HIU

K ⊆ M,M ⊇ K : K l mæun con cõa mæun M. K ≪ M : K l mæun con b² cõa mæun M. K ⊆e M : K l mỉun con cèt y¸u cõa mæun M. Udim M : Chi·u ·u (chi·u Goldie) cõa mổun M. K M : K l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa mỉun M. E(M ) : Bao nëi xÔ cừa mổun M.

l(M ) : ở di cừa mổun M.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Ch÷ìng 1

CC KIN THÙC CHUN BÀ

Ch÷ìng ny trẳnh by mởt số vĐn Ã cỡ s chuân b cho nởi dung cừa Chữỡng 2. õ l nhỳng nh nghắa v kát quÊ cỡ bÊn liản quan án luên vôn. CĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn v cĂc kỵ hiằu.

1.1. Tờng trỹc tiáp v hÔng tỷ trỹc tiáp

GiÊ sỷ vợi mội i I thẳ Ai l mët mỉun con cõa mỉun M. Khi â tªp hủp P

Ai gỗm mồi tờng hỳu hÔn cõ dÔng

xi1 + · · · xin, xik ∈ Aik, k = 1, . . . , n (1) (n l§y måi gi¡ tr nguyản dữỡng khĂc nhau, miạn l ik I vỵi måi k = 1, . . . , n ) l mỉun con. Nâ ÷đc gåi l têng cõa c¡c mỉun con Ai, i ∈ I. B¥y gií ta gi£ sû c¡c mỉun con Ai tho£ m¢n i·u ki»n:

Ai ữủc gồi l tờng trỹc tiáp cừa cĂc mổun con Ai, i I v ữủc kỵ hiằu lÔi l iIAi.

Ai Ãu biu th ữủc mởt cĂch duy nhĐt dữợi dÔng (1).

nh nghắa 1.1.1. Náu M = A B vợi A, B l hai mổun con cừa M thẳ mội mổun con ny Ãu ữủc gồi l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M v mổun con ny l phƯn bị trüc ti¸p cõa mỉun con kia. Khi â ta vi¸t A ⊆⊕ M v B ⊆⊕ M.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

1.2. Mổun con cốt yáu, mổun con Ãu

nh nghắa 1.2.1. Cho M l mët R - mæun ph£i v N l mët mæun con cõa M.

1. Mæun con N ữủc gồi l cốt yáu trong M v kẵ hiằu l N M, náu vợi mồi mổun con K ⊆ M; K ̸= 0 th¼ N ∩ K ̸= 0.

2. Náu N M thẳ M ữủc gồi l mð rëng cèt y¸u cõa N. 3. N¸u 0 ⊆∗ M thẳ M = 0 (quy ữợc).

nh nghắa 1.2.2. Cho R l v nh, mët R - mỉun U ÷đc gåi l ·u (hay Uniform) n¸u U ̸= 0 v A∩B ̸= 0 èi vỵi måi mỉun con kh¡c khỉng

3. Måi mæun con kh¡c khæng cõa mæun ·u, l ·u. M»nh · 1.2.1. Cho M l R - mæun. Khi â ta câ:

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

i) A ⊆∗ M khi v chi khi ∀x ∈ M, x ̸= 0, xR ∩ A ̸= 0.

ii) Cho A ⊆ B, B ⊆ M th¼ A ⊆∗ M khi v ch¿ khi A ⊆∗ B v B ⊆∗ M. iii) N¸u Ai ⊆∗ Bi(∀i1, 2, . . . , n), Ai, Bi ⊆ M thẳ Ti=n

i=1 Ai Ti=n

i=1 Bi. c biằt náu Ai ⊆∗ M th¼ Ti=n

i=1 Ai ⊂∗ M.

iv) Cho A B, B M. Náu B/A M/A thẳ B ⊆∗ M.

v) N¸u f : M → N l ỗng cĐu mổun v A N thẳ f1 M. vi) Cho M = P

Mi, A = ⊕i∈IAi v Mi l mæun con cõa M, ∀i ∈ I, trong õ Ai Mi. Khi õ tỗn tÔi iIMi v A ⊆∗ ⊕i∈IMi.

Chùng minh. i) Gi£ sû A ⊆∗ M, vỵi 0 ̸= x ∈ M ⇒ xR ̸= 0, xR ⊂ M, hiºn nhi¶n xR ∩ A ̸= 0 (theo nh nghắa).

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

iv) LĐy 0 = X ⊆ M. Gi£ sû X ∩ B = 0 suy ra tỗn tÔi X B. Ta cõ (X ⊕ A)/A ⊆ M/A.

Do â B/A ⊆∗ M/A n¶n ((X A)/A) (B/A) = 0.

Suy ra tỗn tÔi x + a + A = b + A ⇒ x = b + a(a A). Vổ lỵ.

x f−1(A) ⇒ X ∩ f−1(A) ̸= 0. Vªy f−1(a) ⊆∗ M. vi) Trữợc hát ta chựng minh cho trữớng hủp i hỳu hÔn. Dũng quy nÔp xt vợi n = 2.

Ta câ M = M1+ M2, A1 ⊆∗ M1, A2 M2, tỗn tÔi A1 A2. Theo iii ta cõ (A1∩ A2) ⊆∗ (M1∩ M2) hay 0 ⊆∗ (M1∩ M2). M1 M2 = 0.

Do õ tỗn tÔi tờng M1 M2.

Ti¸p theo x²t ph²p chi¸u Π1 : M1⊕ M2 → M1

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

xi, vợi F hỳu hÔn thuởc I, theo trữớng hủp trản thẳ tỗn tÔi iFMi v sỹ biu diạn õ l duy nhĐt.

Tiáp theo lĐy 0 ̸= X ⊆ ⊕i∈IMi ⇒ ∃0 ̸= x ∈ X; m x ∈ ⊕i∈FMi,⊕i∈F Ai ⊂∗ ⊕i∈FMi (vỵi F húu hÔn thuởc I ).

xR iFAi = 0 X ∩ ⊕i∈FAi ̸= 0 ⇒ X ∩ ⊕i∈IAi ̸= 0. Vêy iIAi iIMi.

nh nghắa 1.2.3. Cho M l R - mỉun

Mỉun A ⊆ M ÷đc gåi l âng trong M n¸u A khỉng câ mð rëng cèt y¸u thüc sü trong M, tùc l n¸u: A ⊆∗ B ⊂ M ⇒ A = B.

Mæun con X cừa M ữủc gồi l bao õng cốt yáu cừa U trong M n¸u U ⊆∗ X v X âng trong M.

M»nh · 1.2.2. Bao âng cõa mët mæun con trong mổun M luổn tỗn tÔi.

Hằ quÊ 1.2.1. i) Náu A l mổun con õng trong M thẳ hÔng tỷ trüc ti¸p cõa A cơng âng trong M.

ii) N¸u A l mổun con õng trong hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M thẳ A cụng õng trong M.

iii) Náu A l mæun con âng trong X v X âng trong M th¼ A mỉun con âng trong M.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

1.3. Mỉun ·u, mỉun con ·u v chi·u ·u

ành ngh¾a 1.3.1. Cho R l mët v nh, mët R - mæun trĂi khĂc khổng M ữủc gồi l Ãu náu vợi b§t ký hai mỉun con kh¡c khỉng A, B cõa M ta luæn câ A ∩ B ̸= 0. Nâi c¡ch kh¡c, M l ·u n¸u M ̸= 0 v måi mỉun con kh¡c khỉng cõa M l cèt y¸u trong M.

nh nghắa 1.3.2. (i) Mởt mổun M trản vnh R gåi l câ chi·u ·u (hay chi·u Uniform) húu hÔn náu khổng tỗn tÔi mởt tờng trỹc tiáp vổ hÔn cĂc mổun con khĂc khổng trong M.

Mổun M ữủc gồi l cõ chiÃu Ãu vổ hÔn trong trữớng hủp ngữủc lÔi. Ngữới ta Â chựng minh ữủc rơng náu mổun M cõ chiÃu Ãu hỳu hÔn thẳ số hÔng tỷ lợn nhĐt cừa mởt tờng trỹc tiáp cĂc mổun con ·u, m cèt y¸u trong M l mët sè bĐt bián, số õ ữủc gồi l chiÃu Ãu cừa M v kỵ hiằu l udim(M).

(ii) Cho R l mởt vnh tuý ỵ, ta gồi chiÃu Ãu phÊi cừa R l chi·u ·u cõa RR v chi·u ·u tr¡i cõa R l chi·u ·u cõa RR.

M»nh · 1.3.1. Cho M l mët R - mæun v N l mæun con cõa M. i) Cho N ⊆ eM, khi â M cõ chiÃu Ãu hỳu hÔn náu v ch náu N

cõ chiÃu Ãu hỳu hÔn v trong truớng hỡp ny u dim M = u dim N. Ngữủc lÔi, náu M cõ chiÃu Ãu hụu hÔn v u dim M = u dim N thẳ N e M.

ii) Náu M = M1⊕ . . . ⊕ Mn, th¼ u dim M = u dim M1, + . . . + u dim Mn. iii) GiÊ sỷ N v M/N ỗng thới cõ chiÃu Ãu hỳu hÔn. Khi õ M cõ

chiÃu Ãu hỳu hÔn v u dim M u dim N + u dim M/N.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

iv) N¸u M cõ chiÃu Ãu hỳu hÔn thẳ mồi mổun con cừa M cõ chiÃu Ãu hỳu hÔn.

1.4. Mổun A-nởi xÔ, nởi xÔ, tỹa nởi xÔ

nh nghắa 1.4.1. Cho A v M l R - mỉun

i) Mỉun M ÷đc gåi l A− nởi xÔ( Ainjective) náu X A, ỗng cĐu f : X M, luổn tỗn tÔi m rởng cõa f l f∗ : A → M.

Ngh¾a l : f = fi, trong õ i l php nhúng ỗng nhĐt.

ii) Mổun M ữủc gồi l nởi xÔ (injective) náu M l A - nởi xÔ, ối vợi mồi mổun A trản vnh R.

iii) Mổun M ữủc gồi l tỹa nởi xÔ náu M l Mnởi xÔ. Vẵ dử 1.4.1.

Mội khổng gian vc-tỡ V l mởt mổun nởi xÔ, vẳ náu V l khổng gian con cừa V thẳ nõ ỗng thới l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa V.

nh nghắa 1.4.2. 1. Cho M l mët R - mæun tr¡i. Bao nởi xÔ (in-jective hull) cừa M l mổun Q thoÊ mÂn:

i) Q l mổun nởi xÔ,

ii) Tỗn tÔi ỡn c§u R - mỉun f : M → Q m f(M) e Q. Kỵ hiằu: Q = E(M).

2. Hai R - mổun trĂi M, N ữủc gồi l nởi xÔ lăn nhau (relatively injective) trong trữớng hủp ỗng thới M l N nởi xÔ v N l M -nởi xÔ.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Mằnh Ã 1.4.1. Cho N l A - nởi xÔ v B A. Khi õ: i) N l B - nởi xÔ.

ii) N l A/B nởi xÔ.

Tẵnh chĐt 1.4.1. Bao nởi xÔ E(M) luổn tỗn tÔi vợi mồi Rmổun trĂi M.

Nhên xt 1.4.3. i) Bao nởi xÔ cừa M l tối tiu trong cĂc m rởng nởi xÔ cừa M.

ii) Bao nởi xÔ cừa M l tối Ôi trong cĂc m rởng cốt yáu cõa M.

1.5. ë d i cõa mỉun

ành ngh¾a 1.5.1. Cho M l mổun khĂc khổng. Mởt têp hỳu hÔn n + 1 mæun con cõa M

M = M0 ⊇ M1 ⊇ . . . ⊇ Mn = 0

÷đc gåi l mët dÂy hủp thnh cõ ở di n trong M vợi i·u ki»n r¬ng Mi−1/Mi l ìn (i = 1, 2, . . . , n).

nh lỵ 1.5.1. Náu mởt mổun M cõ dÂy hủp thnh thẳ mồi cp dÂy hủp th nh trong M ·u câ cịng ë d i.

ành ngh¾a 1.5.2. ở di cừa mổun M (kỵ hiằu l(M) ) ữủc x¡c ành bði l(M) = 0 n¸u M = 0 v l(M) = n náu M cõ mởt dÂy hủp thnh cõ ở di n.

nh lỵ 1.5.2. Náu mởt mổun M cõ dÂy hủp thnh thẳ mồi cp dÂy hủp th nh trong M ·u câ còng ë d i.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Chữỡng 2

MặUN LIN TệC

Trong chữỡng ny, chúng tổi hằ thống lÔi cĂc khĂi niằm mổun liản tửc, mổun tỹa liản tửc, mởt số tẵnh chĐt cừa mổun thọa mÂn i·u ki»n (Ci), (1 − C1) mỉun v nghi¶n cùu vÃ mối liản hằ giỳa chúng. Nhỳng vĐn Ã ny chúng tổi s trẳnh by chi tiát hỡn tứ mởt sè k¸t qu£ câ trong t i li»u [7].

2.1.1. C¡c i·u ki»n (C1) , (C2) , (C3) , (1 − C1) mæun

Cho M l mët R - mæun tr¡i. Ta x²t c¡c i·u ki»n sau èi vỵi M : (C1) Måi mỉun con cõa M l cèt y¸u trong mët hÔng tỷ trỹc tiáp

cừa M. Nõi cĂch khĂc, mồi mổun con õng trong M l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cõa M.

(C2) N¸u A v B l c¡c mỉun con cừa M ng cĐu vợi nhau v A l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M thẳ B cụng l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.

(C3) Náu A v B l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M sao cho A ∩ B = 0 th¼ A ⊕ B cụng l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.

(1 − C1) Måi mæun con ·u cõa M l cốt yáu trong mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

V½ dư 2.1.1.

Z− mỉun Z2 v Z8 thọa mÂn cĂc iÃu kiằn (C1) , (C2) v (C3).

Lợp c¡c mỉun thäa m¢n i·u ki»n (Ci) (i = 1, 2, 3) l mët lỵp mð rëng cõa mỉun nëi xÔ, tỹa nởi xÔ.

2.1.2. nh nghắa

i) Mởt mổun M ữủc gồi l CSmổun (hay extending mổun) náu M thoÊ mÂn iÃu kiằn (C1).

ii) Mởt mổun M ữủc gồi l liản tửc (continuous) náu M thoÊ mÂn iÃu kiằn (C1) v (C2).

iii) Mởt mổun M ữủc gồi l tỹa liản tửc (quasi-continuous) náu M thoÊ mÂn iÃu kiằn (C1, ) v (C3).

iv) Mët mỉun M ÷đc gåi l (1 − C1) mổun náu M thoÊ mÂn iÃu kiằn (1 C1)

2.2. Mởt số tẵnh chĐt cừa mổun thọa mÂn (C

1

) , (C

2

) , (C

3

)

M»nh · 2.2.1. Mët mæun M l CS - mỉun n¸u v ch¿ n¸u måi mỉun con âng trong M l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.

Chựng minh. N¸u M l CS - mỉun v A mỉun con âng b§t ký cõa M, khi â do M thoÊ mÂn iÃu kiằn (C1) náu tỗn tÔi mổun con B cõa M m A ⊆e B ⊆ ⊕M, do A l õng nản A = B, vêy A l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.

Ngữủc lÔi, náu mồi mổun con õng cừa M l hÔng tỷ trỹc tiáp, khi õ náu A l mổun con õng bĐt ký cừa M v B l bao âng cõa A trong

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

M th¼ A ⊆e B ⊆ ⊕ M. Do â M tho£ m¢n i·u ki»n (C1) hay M l CS -mæun.

M»nh · 2.2.2. Cho R l v nh. Mët R - mæun M = M1 ⊕ M2, l mët têng trüc ti¸p cõa mët mỉun ìn v mët mæun câ ë d i 2 . Khi â M l CS mỉun.

Chùng minh. Thªt vªy, gi£ sû mỉun M = M1 ⊕ M2, vỵi M1, l mỉun ìn v mỉun M2, câ ë d i 2 (khi M câ ë d i 3).

Gåi K l mët mỉun con âng trong M, th¼ tø M1, l mỉun con ìn. N¶n K ∩ M1 = 0 ho°c K ∩ M1 = M1.

Ta x²t hai tr÷íng hđp:

Tr÷íng hđp 1. K ∩ M1 = M1 thẳ ró rng K M. Trữớng hủp 2. K ∩ M1 = 0.

Gåi Π : M1⊕ M2 → M2, l ph²p chi¸u v gåi α = π/K.

Khi â vợi phƯn tỷ bĐt kẳ x K : x = x1+ x2 vỵi x1 ∈ M1, x2 ∈ M2. Cho (x) = 0 thẳ dăn án (x1+ x2) = α (x1) + α (x2) = x2 = 0, bi vẳ K M1 = 0 nản suy ra x1 = 0 hay x = 0.

Vªy α l mët ỡn cĐu v nhữ vêy ta cõ K = (K) ⊆ M2. Do K ⊆ M( câ l(M) = 3 ) nản l(K) 2.

Náu l(K) = l (M2) = 2 thẳ ỡn cĐu l mởt ng cĐu v nhữ vêy ta cõ K = (K) M2 hay M = M1⊕ K. i·u n y cho th§y K ⊆⊕ M.

Náu l(K) = 1 ( K l mổun ỡn) thẳ K = (K) M2.

Vẳ l(M) = 3 nản náu nhữ K M2 = 0 thẳ dạ thĐy M = K M2, (vẳ náu khổng thẳ tứ K M2 M dăn án l (K M2) = 3 < l(M ) = 3, mƠu thuăn) hay K ⊆⊕ M.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

N¸u K ∩ M2 ̸= 0 th¼ K = α(K) ⊆ M2.

Do K âng trong M nản dăn án K õng trong M2.

Mt khĂc, v¼ M2 l mët CS - mỉun, suy ra K ⊆⊕ M2 ⊆⊕ M, hay K ⊆⊕ M.

Vªy M2 l CS - mổun.

Mằnh Ã 2.2.3. HÔng tỷ trỹc tiáp cừa mỉun thäa m¢n (C1) l mỉun thäa m¢n (C1).

Chùng minh. Cho M l mët mỉun thäa m¢n (C1).

Gi£ sû N l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M v U l mæun con âng trong N.

Khi â U l mæun õng trong M. Do M thọa mÂn (C1), do vêy U l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M, nghắa l M = U ⊕ X, vỵi X l mỉun con n o â cõa M. Khi â, bði v¼ N ⊆ M. Theo luªt mỉun ta câ:

N = M ∩ N = (U ⊕ X) ∩ N = U ⊕ (X N )

Vêy U l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N. Hay N l mỉun tho£ m¢n (C1). M»nh · 2.2.4. Mổun M thoÊ mÂn iÃu kiằn (C2) náu v ch náu vợi mội mổun con õng K cừa M sao cho K ng cĐu vợi mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M, mội ỗng cĐu f : K M m rởng ữủc thnh mởt ỗng cĐu tứ M vo M.

Chựng minh. iÃu kiằn cƯn l hin nhiản vẳ K cụng l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M. Ta chựng minh chiÃu ngữủc lÔi.

GiÊ sỷ K l mổun con cừa M sao cho K ng cĐu vợi mởt hÔng tû trüc ti¸p cõa M. Ta chùng minh K cơng l hÔng tiáp cừa M.

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Thêt vêy, theo giÊ thiát tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp L cõa M v ¯ng c§u f : K → L. Khi â f : K → M l ìn c§u sao cho L = f(K) l hÔng tỷ trỹc tiáp cõa M. Theo gi£ thi¸t, f câ thº mð rëng ữủc thnh ỗng cĐu g : M M.

Kẵ hiằu p : M → g(M) v h = pg. Ta cõ h l ỗng cĐu tứ M vo f(M). Chú ỵ rơng vợi mồi x K ta cõ:

h(x) = pg(x) = p(g(x)) = p(f (x)) = f (x). Ta cõ M = K Kerh.

Vêy K l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.

Mằnh Ã 2.2.5. HÔng tỷ trỹc tiáp cõa mỉun thäa m¢n (C2) l mỉun thäa m¢n (C2).

Chùng minh. Gåi M l mỉun thäa m¢n (C2) v N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.

Ta cƯn chựng minh N thọa mÂn (C2).

Thêt vêy, giÊ sỷ A l hÔng tû trüc ti¸p cõa N v B l mỉun con cõa N sao cho A ∼= B ta chùng minh B l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N.

Do A l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N nản N = A ⊕ X, vỵi mỉun con X n o â cõa N. Do N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M nản N ⊕ Y = M vỵi Y l mỉun con no õ cừa M. Vẳ vêy

M = N Y = (A ⊕ X) ⊕ Y = A ⊕ (X Y ) Suy ra A l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M.

Vẳ B l mổun con cừa N nản B cơng l mỉun con cõa M.

</div>

Luận văn các điều kiện (ci) và môđun liên tục

LÍI CAM OAN

LI CM èN

MƯC LƯC

Mé U 1. Tẵnh cĐp thiát cừa Ã ti

2. Mưc ½ch cõa · t i

3. Phữỡng phĂp nghiản cựu

4. Kát quÊ Ôt ữủc

5. CĐu trúc cừa luên vôn

DANH MÖC CC K HIU

Ch÷ìng 1

CC KIN THÙC CHUN BÀ

1.1. Tờng trỹc tiáp v hÔng tỷ trỹc tiáp

1.2. Mổun con cốt yáu, mổun con Ãu

1.3. Mỉun ·u, mỉun con ·u v chi·u ·u

1.4. Mổun A-nởi xÔ, nởi xÔ, tỹa nởi xÔ

1.5. ë d i cõa mỉun

Chữỡng 2

MặUN LIN TệC

2.2. Mởt số tẵnh chĐt cừa mổun thọa mÂn (C

) , (C

) , (C

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Luận văn các điều kiện (ci) và môđun liên tục

LÍI CAM OAN

LI CM èN

MƯC LƯC

Mé U 1. Tẵnh cĐp thiát cừa Ã ti

2. Mưc ½ch cõa · t i

3. Phữỡng phĂp nghiản cựu

4. Kát quÊ Ôt ữủc

5. CĐu trúc cừa luên vôn

DANH MÖC CC K HIU

Ch÷ìng 1

CC KIN THÙC CHUN BÀ

1.1. Tờng trỹc tiáp v hÔng tỷ trỹc tiáp

1.2. Mổun con cốt yáu, mổun con Ãu

1.3. Mỉun ·u, mỉun con ·u v chi·u ·u

1.4. Mổun A-nởi xÔ, nởi xÔ, tỹa nởi xÔ

1.5. ë d i cõa mỉun

Chữỡng 2

MặUN LIN TệC

2.2. Mởt số tẵnh chĐt cừa mổun thọa mÂn (C

) , (C

) , (C

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

LÍI CAM OAN

Mé U 1. Tẵnh cĐp thiát cừa Ã ti

2. Mưc ½ch cõa · t i

4. Kát quÊ Ôt ữủc

DANH MÖC CC K HIU

CC KIN THÙC CHUN BÀ

1.2. Mổun con cốt yáu, mổun con Ãu

1.3. Mỉun ·u, mỉun con ·u v chi·u ·u

1.4. Mổun A-nởi xÔ, nởi xÔ, tỹa nởi xÔ

1.5. ë d i cõa mỉun

MặUN LIN TệC

2.2. Mởt số tẵnh chĐt cừa mổun thọa mÂn (C