Tam thức bậc hai và ứng dụng

DAI HOC DA NANG
TRƯỜNG ĐẠI HOC SU PHAM

NGUYEN THI PHUONG HIEN

TAM THUC BAC HAI
VA UNG DUNG

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

Da Nang - 2020

DAI HOC DA NANG
TRƯỜNG ĐẠI HOC SU PHAM

NGUYEN THI PHUONG HIEN

TAM THUC BAC HAI
VA UNG DUNG

LUẬN VAN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Đà Nẵng - 2020

LOI CAM DOAN

Toi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các số liệu, kết,

quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì

cơng trình nào khác.

NGUN Tác giả HIEN

A Vv

THỊ PHƯƠNG

LOI CAM ON

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng dưới sự
hướng dẫn tận tình, nghiêm túc củaủa Thầy giáo T8. Lương Quốc Tuyển. Tác giả
xin bày tố lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Thầy đã hướng dẫn và chỉ bảo cho

tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhận dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới q Thầy Cơ trong Bộ

mơn Tốn trường Dại học Sư Phạm Đà Nẵng, Ban Giám Hiệu trường THPT Võ

Nguyên Giáp TP. Quảng Ngãi đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả

trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tác giả xin cắm ơn
gia đình, cơ quan, đồng nghiệp, bạn bè, các anh chị trong lớp Cao học Phương
pháp Toán sơ cắp K36 - Quảng Ngãi đã tạo điền kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả
hoàn thành nhiệm vụ trong suốt q trình học tập.

Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực phấn đấu học tập và nghiên cứu song

luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những

ý kiến đóng góp của quý Thầy Cơ, đồng nghiệp và bạn đọc để luận văn được

hồn thiện hơn. fle

Nguyén Thi Phuong Hién

TRANG THONG TIN LUẬN VĂN THAC SĨ

Tên để lài: TAM THUC BAC HAI VA UNG DUNG

Ngành: Phương Pháp Toán Sơ cấp

Họ và tên học viên: NGUYÊN THỊ PHƯƠNG HIỀN

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lương Quốc Tuyển

Cơ sở đảo tạo: Trường Đại Học Sư Pham Da Ning

Tom tit:

1) Những kết quả chỉnh của luận văn
Khải nigm Tam /hức bậc hai là một khía cạnh khá quen thuộc đối với những người học toán

cũng như nghiên cứu về tốn. Tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong việc giải phương trình, hệ
phương trình, bat phương trình và hệ bat phương trình có chứa tham số. Nó cho phép chúng ta tiệp

cận nhanh những bài toán v bắt phương trình bậc hai phức tạp. Ngồi ra, tam thức bậc bai còn là
một phương pháp khá hiệu quả để chứng minh bắt đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số,.

Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu về tam thức bậc hai và ứng dụng, chúng tôi đã thu
được những kết quả sau đây.

~ Tổng hợp lại những kiến thức quan trọng đến tam thức bậc hai.

= Trinh bay Iai việc giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình,
trình bằng phương pháp tam thức bậc hai.

+ Trình bảy cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sổ, chứng minh các bắt đẳng

thức cổ điển, các bắt đằng thức tông quát bằng cách sử dụng phương pháp tam thức bậc hai.
- Mỗi ứng dụng trình bày trong luận văn được chúng tơi minh họa bằng những ví dụ khá đa

dang từ đơn giản đến phức tạp được chọn lọc từ các tài liệu tham khảo và từ các bài thị học sinh
giỏi của các tình thành trên cả nước cũng như các ki thi vào các trường đại học, cao đẳng trong,
những năm gần đây.

2) Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn

Đề tài nhằm đưa ra cách nhìn tổng quan hơn về tam thức bậc hai và ứng dụng của nó trong,

chương trình Tốn học bậc Trung học Phổ thơng. Nó giúp các em học sinh có thêm nhãn quan khi
giải các bài toán trắc nghiệm liên quan đến ứng dụng của tam thức bậc bai, Bên cạnh đó, nó là tài
liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh trong việc nâng cao chất lượng dạy và hoc tai

Trường Trung học Phỏ thông.

3) Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài

'Trong thời gian tới, chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu và đi sâu tìm hiểu nhiều hơn

nữa các ứng dụng của tam thức bậc hai trong các kỳ thỉ học sinh giỏi, kỳ thi Olympic sinh viên

Tir khéa: TAM THUC BAC HAI; BÁT ĐÁNG THỨC CÓ BIEN; BAT DANG THỨC
TONG QUAT, GIA TRI LON NHAT; GIA TRI NHO NHAT.
Ne Người thực hiện đề tài
Xác nhận của giáo viên hudng din) )
( co ao
Nguyễn Thị Phương Hiền
TS. Lương Quốc Tuyển

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: QUADRATIC TRINOMIAL AND APPLICATIONS

Major: THE METHODS OF PRIMARY MATHEMATICS.

Full name of Master student: NGUYEN THI PHUONG HIEN

Supervisors: DR. LUONG QUOC TUYEN

Training institution: The University of Da Nang ~ University of Science and Education,

Abstract :

1) The major results of the thesis,

Quadratic trinomial concept is a familiar aspect for those math as well as those studying
math, Quadratic trinomia! has many applications in solving equations, set of equations, inequation
and contact any equation containing parametes. It allows us to quickly access the problem of any
complex quadratic equation, In addition, quadratic trinomial is also a pretty effective method to
prove the classical inequality, find maximum value, minimum value of the function ,

After a period of researching quadratic trinomial and applications, we have obtained the
following results :

~ Summary ofimportant knowledge related to quadratic trinomial,

- Restating the solution of equation, inequalities, systems of equations, systems of inequalities by

quadratic trinomial,

- Show how to find the maximum value, minimum value of the function, prove the classical
inequalities and general inequalities by using quadratic trinomial

- Each applications presented in the thesis is illustrated by numerous examples, ranging from
simple to complex; selected from reference materials anf mathematical problems in. the
competitions for excellent students in diferent provinces and cities across the country as well as
entrance exams into universities and colleges in recent years.

2) State the new contributions of the thesis the applicability in practice

The topic aims to give a more general view of the quadratic trinomial and its application in
high school mathematics program. It helps student to have more perspective when solving related
multiple choice problems. Besides, it is a useful reference for teachers and students in improving
the quality of teaching learning in high school

3) Subsequent research of the thesis.

In the upcoming time, we look forward to continuing to research and explore more and
more application of quadratic trinomial in the excellent student exams and the students Olympic
exam

Key words: QUADRATIC TRINOMIAL; INEQUALITY CLASSIC; GENERAL INEQUALITY;
MAXIMUM VALUE; MINIMUM VALUE.

Supervior’s confirmation ———¢ Student
OF ae

ge =

Dr. Luong Quoc Tuyen Nguyen Thi Phuong Hien

LOI CAM ON

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng dưới sự

hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của Thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyến. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Thầy đã hướng dẫn và chỉ bảo cho

tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhận dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý Thầy Cô trong Bộ
mơn Tốn trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, Ban Giám Hiệu trường THPT' Võ
Nguyên Giáp TP. Quảng Ngãi đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong q trình học tập và hồn thành luận văn. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn
gia đình, cơ quan, đồng nghiệp, bạn bè, các anh chị trong lớp Cao học Phương

pháp Toán sơ cấp K36 - Quảng Ngãi đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả

hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập.

Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực phấn đấu học tập và nghiên cứu song

luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những
ý kiến đóng góp của quý Thầy Cơ, đồng nghiệp và bạn đọc để luận văn được
hồn thiện hơn.

Nguyễn Thị Phương Hiền

MUC LUC

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

11 Định lí Viet .....D. O Q HQ.H. Q .n. g . TT va 5

12 Dấu của tam thức bac hai ................2.2..0004 10

1.3 So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số ........ 15

2 Ung dụng của tam thức bậc hai 21

2.1 Ung dụng vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương

2.2 Sit dung tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm sỐ .....Q. Q Q. TQ . Q HQ. HQ. HQ.Ặ v2 46

2.3. Sử dụng tam thức bậc hai để chứng minh các bất dang thức cổ điển 54

2.4 Sit dung tam thitc bậc hai để chứng minh các bất đẳng thức tổng

310 ==ä LAI 9í

Kết luận và kiến nghị 61

1 Kết luận .....c Q. Q Q. Q Q . Q Q .2 ..y .2.x v2 61

¬.aaidaaiiiiaađũaẳaảaảäẻăŸ 61

MO DAU

1. Li do chon dé tai

Khái niệm Tam thức bậc hai là một khía cạnh khá quen thuộc đối với những

người học toán cũng như nghiên cứu về toán. Học sinh được tiếp cận mảng kiến
thức này từ những năm học của cấp 2 nhưng mãi đến chương 4 phần đại số 10

mới được tiếp cận một cách đầy đủ. Mặc dù, đây là một đơn vị kiến thức khá
nhỏ so với tồn bộ chương trình Đại số Trung học phổ thơng nói riêng cũng
như tồn bộ chương trình tốn học Trung học phổ thơng nói chung nhưng nó lại

chiếm một vị trí, một vai trị quan trọng, là một công cụ đơn giản nhưng hiệu

2

qua.

Tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong việc giải phương trình, hệ phương

trình, bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số. Nó cho phép
chúng ta tiếp cận nhanh những bài toán về bất phương trình bậc hai phức tạp.

Bài tốn xác định tham số để hàm đa thức đơn điệu trên một khoảng cho trước
có lẽ là một trong những bài tốn quen thuộc trong các Đề thi Tuyển sinh Đại

học từ xưa đến nay nhưng dạng tốn này đơi khi lại mang đến thật nhiều khó
khăn đối với số đơng các em học sinh Trung học Phổ thông. Nếu một bài tốn
khơng thể cơ lập tham số một cách dễ dàng, thì phương pháp hàm số khơng
cịn tối ưu nữa mà phải nên tiến hành giải bằng phương pháp tam thức bậc hai.

Ngồi ra, tam thức bậc hai cịn là một phương pháp khá hiệu quả để chứng minh

bat dang thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, ...

Với mong muốn có tầm nhìn tổng quan hơn về tam thức bậc hai, cũng như

tầm quan trọng của nó như trên, dưới sự hướng dẫn của TS. Lương Quốc Tuyển,

chúng tôi quyết định chọn đề tai: “Tam thttc bac hai va tng dung’ lam dé tai

luận văn thạc sỹ toán học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài là cung cấp cho học sinh và đồng nghiệp có cách nhìn

tổng quan hơn về tam thức bậc hai và các ứng dụng của nó .
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a. Đôi tượng nghiên cứu

Tam thức bậc hai, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương
trình, hàm số, bất đẳng thức.

b. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tam thức bậc hai và ứng dụng của nó trong chương trình Tốn học của
bậc Trung học phổ thông.
4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến tam thức bậc hai và ứng dụng trong giáo
trình và các sách tham khảo, trên mạng internet. Bằng những kiến thức đã được học
tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, chọn lọc và sắp xếp những
kiến thức phù hợp đưa vào luận văn. Nhờ đó, phân tích, phát triển và đưa ra các dạng
tốn ứng dụng của tam thức bậc hai.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài nhằm đưa ra cách nhìn tổng quan hơn về tam thức bậc hai và ứng dụng của
nó trong chương trình Tốn học bậc Trung học Phổ thơng. Nó giúp các em học sinh
có thêm nhãn quan khi giải các bài toán trắc nghiệm liên quan đến ứng dụng của tam
thức bậc hai. Bên cạnh đó, nó là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh
trong việc nâng cao chất lượng day va học tại Trường Trung học Phổ thông.

6. Tổng quan và cấu trúc luận văn
Trong luận văn này, chúng tơi trình bày về các dạng tốn sử dụng tam thức bậc hai
để giải. Ngồi ra luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần
Kết luận và Kiến nghị, tài liệu tham khảo.

Chương 1, trình bày về các kiến thức cơ bản của tam thức bậc hai nhằm phục vụ

cho việc nghiên cứu chương 2.

Chương 2, trình bày các ứng dụng của tam thức bậc hai vào việc giải phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
và chứng minh bất đắng thức.

CHUONG1

MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này, trước tiên chúng tơi trình bày một số kiến thức về định lí Viet và
dấu của tam thức bậc hai. Sau đó, chúng tơi mơ tả bằng các ví dụ thích hợp được chọn
lọc từ các tài liệu [1]; [4]; [5]; [6]; [8]; [9].

1.1 Dinh li Viet

1.1.1 Định nghĩa (|6|). Phương trành bậc hai ẩn z là phương trình có dạng

a#? -+- bz + c= 0,

trong dé a 4 0.
1.1.2 Nghiệm của phương trình bậc hai (6|). Cho phương trình bậc hai

a#2 + bz + e = 0 (a # 0).

Ta đặt A = 02 —4ac hode A! = W2 — ae với b' = sb Khi đó,

e Nếu A < 0 hoặc A! <0, thì phương trình vơ nghiệm.

e Nếu A =0 hoặc A! =0, thì phương trình có một nghiệm (kép).

e Nếu A >0 hoặc A' >0, thì phương trình có hai nghiệm (phân biệt).
„_-VÀ b_ --- VÀ
2a a
—_ —b+VA _ b+ VA"

2a a

5

Trong một số bài toán, hệ số ø của z? chứa tham số, khi đó cần lưu ý xét khả

năng ø = Ú.

1.1.3 Ví dụ ([1]). Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo

#3 — m(z +2) +8 =0. (1.1)

Bài giải. Ta đưa phương trình (1.1) về dạng tích:

(z3 +8) — m(z +2) =0
—>(# +2)(#7 — 2z + 4) — m{(z +2) =0
<=—x(z +2) — 2z(+ z 4— m? ) = 0

c= —2

<———

z2 9 — ++4—m=0.

Như vậy, số nghiệm của phương trình (1.1) phụ thuộc vào số nghiệm của

ƒ(z) =z 2z? + 4——mn = 0

khác —2, nghĩa là nó phụ thuộc vào

A'=m_3 —và ƒ(—9) =12—m.

Ta có các trường hợp sau.

e Trường hợp 1: A' < 0 <—> m < 3. Khi đó, ƒ(z) = 0 vơ nghiệm, kéo theo
phương trình (1.1) có một nghiệm z = —2.

e /rường hợp 2: A' = 0 <—> m = 3. Khi đó, ƒ(—2) = 9 khác 0, kéo theo
Ƒ(z) = 0 có nghiệm kếp z = I khác —2. Như vậy, phương trình (1.1) có hai
nghiém x; = —2, v2 = 1.

e Trường hợp ở: A' >0 <=—> m > 3. Suy ra ƒ(z) = 0 có hai nghiệm phân biệt.

o Nếu 3 < m z 12, thì hai nghiệm của ƒ(z) = 0 đều khác —2. Do đó, (1.1) có

ba nghiệm phân biệt.

o Nếu m = 12, thì ƒ(z) = 0 có hai nghiệm nhưng một nghiệm z = —2. Suy ra

(1.1) có hai nghiệm phân biệt. O

Từ kết quả của phép giải và biện luận phương trình bậc hai, ta suy ra định lí quan
trọng sau.

1.1.4 Định lí Viet thuận (9|). Nếu phương trình az2 + bz + e= 0 tới a # 0 có
. ` b €
nghiệm 21,02, thiS =27, +29 = —— Uà P= xịza =-—.
a a

Chứng mưnh. Ta có

1, +X = —b+VA -b-VA -2b b+ =
— ——.
2a 2a 2a a
=b+WwA -b—-wWA_ ”?—A_ —(b— 4?ac) — —.
1. = = = c Oo
bw? 2a 2a 4a? 4a2 a

1.1.5 Nhận xét (|6|. (1) Trong Định lí 1.1.4, ta cần nhẫn mạnh øa # 0 và

A >0.

(2) Cho phương trình bậc hai az? + bz + e = 0 có hai nghiệm z¡ và z¿ với
mm < z~;. Ta đặt ®= ——b và P= “. Khi . đó,
a a

e Nếu P <0 thì z¡ <0 < z» (hai nghiém trai dau);

e Nếu P >0 và $ >0 thì 0< z¡ < z;¿ (hai nghiệm dương);

e Nếu P>0 và ŠS<0 thì z¡ < zạ<0 (hai nghiệm âm).

1.1.6 Ví dụ ([1|). Cho phương trình bậc hai

ƒ(z) = 2+ + 2(m + 1)+ + mỸ + 4m + 3 = 0

có hai nghiệm z¡, z;. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = |#1Za — 2# — 2Za|.

Bài giải. Ta có

Ƒ(z) =0 có nghiệm <=> A >0

S— (m + 1)? — 2(m + 4m + 3) > 0 <> (m+1)\(—m—5>)0 (12)

—> -9
244 3 Suy ra
Khi d6, 271 +22 = —m—1 va 2122 = —Se

A= — 244 3 42m 42] =|" 2++8 on 7 |

Bởi vì m2+8m-+7 = (m+1)(m-+7) nên với diéu kién (1.2), ta suy ra m?+8m+7 < 0.

Do đó, —m?m——7 _ 9— (m+ 4)? 9

A= 2 = 2 < =,
— 3

9 ° ~ od . “+ . 4 <
Rõ ràng A = › “ở m = —4 thỏa mãn điều kiện (1.2). Như vậy, giá trị lớn nhât

của A là 22 O

1.1.7 Chú ý. Nếu chúng ta quên đặt điều kiện A' > 0, thì sẽ bị lúng túng ngay
với dấu giá trị tuyệt đối.

1.1.8 Ví dụ (8|). Tìm zn để phương trình

xz 2 —2mx2+(m+1)|¢£-—m|+1=_0

có nghiệm duy nhất.

Bài giải. Ta viết phương trình dưới dạng

( — m)Ÿ + (m + 1)| — mị| + 1 — m2 = 0. (1.3)

Dat X = |x — m| > 0 thay vào (1.3) ta có

X?”+(m+1)X +1—m? =0. (1.4)

Chú ý rằng

e Nếu (1.4) có một nghiệm X > 0, thì (1.3) có hai nghiệm z = +X + m.
e Nếu (1.4) có một nghiệm X =0, thì (1.3) có một nghiệm z = m.

Do đó, phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất <—> phương trình (1.4) có nghiệm.
Ta có

XX, < Xp = 0S P=0 = 1—m?=0 => m = +1 “= m > = +].
m > —]
S<0 —m—-1<0

Nhu vay, m = +1. O

1.1.9 Chú ý. Nếu xét z > m va « < m dé khử dấu giá trị tuyệt đối và đưa về

hai phương trình bậc hai thì bài tốn trở nên khá phức tạp.

1.1.10 Hé qua ((9]). Néu 21,22 la hai nghiệm của phương trành az2 + bz + c= 0,
thi ta có khai triển a2 + bz + e —= q( — #\)(& — #).

Chứng mưnh. Ta có

đ(% — #1)(# — #3) = a# — a(# + #a)% -L 81a

=ar?—a(-*)e+a(2) b = an? +br+c.

a a

L]

1.1.11 Dinh lí Viet dao ((9]). Néu 2, + r2= S vd 2122 = P, thi x1, xa là các
nghiệm của phương trình X?— SX + P=0.

Chitng minh. Boi vi 21 +22 = Š nên ta suy ra z¿ = S — x,. Thay vào dang thức

+11. — P, ta được

z1(9—z‡)=P<©— zi—- Sz¡+P=0.

Hồn tồn tương tự, ta có z¿?— Sz¿ + P = 0. Như vậy, z¡ và z¿ là hai nghiệm của

phương trình X2— SX+P=0. O

1.1.12 Ví dụ. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

Vz + =1
#VWz +9U=1—3m.

(Thi ĐH khối D - 2004)

Đài giải. Ta đặt u = + >0; u= /0 >0. Khi đó, hệ đã cho trở thành

utv=l1 utv=1

3 -L 03 = 1— 3m, <=—>

uv =m.

10

Theo định lí Viet đảo thì w,ø là nghiệm phương trình

?P—t+m=0. (1.5)

Để hệ có nghiệm thì (1.5) phải có cả hai nghiệm khơng âm. Do đó,

A=lI-4m>0 <> 0 I A
S=1>0 =
P=m>0 I A

|

1.2 Dấu của tam thức bậc hai

1.2.1 Định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hơi
ƒ(z) = az + bˆ z +c 0uới a #0, A = b2— 4ac. Khi đó,

(1) Nếu A <0, thà ƒ(z) cùng dấu uới hệ số a vi moi x ER.

(2) Nếu A =0, thà ƒ() cùng dấu oới hệ số a vdi moi ø # `
(3) Nếu A >0, thà ƒ(œ) có hai nghiệm x1, x2 thoa man x, < xa. Lúc nay,

(a) øƒ(z) >0 uới mọi + ¢ [x15 xo];
(b) aƒ(+) < 0 0ới mọi # € (1; 2).

Chứng mưnh. Ta có

Ƒ(œ) —= az q2 thế + c=— aẲn 24F7obnt Pc _ _ PB —+ b\2 — ——A
4a? as A? ) a|(2+ >) a)

Do đó,

e Nếu A <0, thì aƒ(z) > 0.

£ ¬- Ù nà: - b ^
e Nêu A =0, thì aƒ(z) >0 với mọi z z# ———. Bởi vì f(- ¬ = 0 nên
2a 2a

af(z) > 0 với mọi z € R.

11

e Nếu A >0, thi f(z) có hai nghiệm z¡ và za, giả sử z¡ < za. Theo hệ quả của

định lí Viet, ta có

ƒ) = a(# — #1)(# — #a)

nên từ đây ta suy ra kết luận của định lí. []

1.2.2 Nhận xét (9|). Từ định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy rằng chỉ

có một trường hợp duy nhất trong đó dấu của tam thức bậc hai khơng thay đổi,

đó là khi A < 0. Lúc này, dấu của tam thức trùng với dấu của hệ số a. Do đó,

⁄

e Với moxiECR, az? + br +c>0<>‹ „>0

A <0.

`

⁄

e Với mọi z€R, øz2 + bz-+0e<—< (‹ œ<0
LA < 0.

1.2.3 Chú ý. Khi a chứa tham số ta phải xét thêm trường hợp a = 0.

1.2.4 Ví dụ. Cho ø,øa,..., d„; Ð,ba,..., b„ là các số thực. Chứng minh rằng

nt(24?) (08) = (Sats) -?ìnt 2

w=1 w=1 w=1

(Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)

Bài giải. Xét tam thức bậc hai ƒ(z) = 3 (a — bị)”. Rõ ràng rằng

i=l

f(z) > 0 với mọi z €R.

Ta viết lại ƒ(z) dưới dạng

f(z) = = (See¡J2 ”-—2a( S;oaiD); }Z + (H>H)).

Bởi vì ƒ(>z0)với mọ z €i R nén ta phai cd

x=(S a8) ˆ= (3 4)(3)8) <ú
=

Nhu vay, (> a?) ( |0?) > (Las) .nnn 2 Oo

w= 1 =

12

1.2.5 Vi du ((1]). Tim a sao cho bất đẳng thức

25? + — > a2 -axy+y— 252?1 (1.6)

100

nghiệm đúng với mọi cặp số (z, y) théa man |z| = ||.

Bài giải. Ta có

|z| = |w| C z = +.

Do đó, (1.6) phải đúng trong cả hai trường hợp sau đây.

e /rường hợp 1: z = ụ. Khi đó, (1.6) trở thành

(a+ 50)r? 50)z — 27B++ —a2 >0.1 (1.7)

Nêu a = —50, thi (1.7) chỉ đúng với z < 500° Do đó, (1.7) luén ding véi moi x € RZ«1..

khi va chi khi

a+90>0 —= a > —90 a > —90
a +50 = <> a> 90.

A' <0 1 — 100 <0 a = 90

e Truong hop 2: « = —y. Khi đó, (1.6) trở thành

1

50 —a)r2 + —- > 0
(50 — aja" +75 2

luôn đúng với mọi z € R khi và chỉ khi

ø= 90 a= 50

0-a>O0O = a < 90

A'<0 ———(0—ø)<0

a< 90

<=a > < 90.

Kết hợp hai trường hợp trên ta đi dén dap sé a = 50. O

13

1.2.6 Dinh li dao vé dau cia tam thifc bac hai ([5]). Cho tam thúc bậc hai

ƒ(#) = az + b? z + e uới a # 0.

Khi đó, nếu ton tai a € R sao cho af(a) <0 thi f(r) có hai nghiệm phân biệt 2ì,
xq thoa man 71
Chứng minh. Tt định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy chỉ có duy
nhất một trường hợp ƒ(z) trái dấu với a đó là khi A > 0. Trong trường hợp này

tam thức có hai nghiệm z, #s Và # < œ < #a.

Ta thấy rằng giả thiết của định lí đảo rơi vào trường hợp này. Do đó, tam

thức có hai nghiệm zạ, z;¿ thỏa mãn z¡ < za Và # < œ< #a. L]

1.2.7 Hé qua ([5]). Diéu kién can va di: dé tam thitc f(x) = ax? +br+ce vdia £0

có hai nghiệm phân biét x, va x2 la ton tai a € R sao cho af (a) < 0.

Chitng minh. Dudc suy ra ttt dinh li thuan va dinh lf dao. L]

1.2.8 Hé qua ([5]). Cho tam thúc bậc hai f(x) = a+z?-+bz+c uới a # 0 vada, BER

sao choa < B. Diéu kién can va du dé f(x) c6 hai nghiém, trong d6 cé mot nghiém

thuộc khoảng (œ; 8) uà một nghiệm nằm ngoài đoạn |œ; 8| là ƒ(œ)ƒ(8) < 0.

Chứng minh. Giả sử ƒ(œ)ƒ(8) < 0. Khi đó, bởi vì a # 0 nên ta có

ƒ(œ)ƒ(6) <0 © |af(a)| |a/(8)| < 0.

e Néu af(a) < 0 thì aƒ() > 0 (+), suy ra ƒ(z) có hai nghiệm

%I¡<œ< #a< B.

e Nếu aƒ/() < 0 thì aƒ(œ) > 0 (+), suy ra ƒ(z) có hai nghiệm

œ< #+ạ< 8<”.

Ngược lại, nếu xảy ra một trong hai khả năng (+) hoặc (x+), thì ta có

ƒ(a)ƒ) < 0. a