Đề tài 3 tham số hóa mặt cong

<span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

3 Huỳnh Tuyết Nhi 2212427 100% 4 Phạm Nguyễn Ái Nhi 2212446 100%

6 Lê Văn Trí 2213642 100%

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3</b>

Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN NGỌC DIỄM

1. Tìm hiểu về tham số hóa mặt cong.

2. Trình bày cách tìm pháp vector và

viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho dạng tham số. 3. Trình bày cách tính diện tích mặt cong cho dạng

tham số. Liên hệ với cơng thức tính diện tích mặt cong trong phần tích phân mặt loại 1 và cơng thức tính diện tích mặt trụ trong tích phân đường loại 1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3</b>

Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN NGỌC DIỄM

4. Làm các bài tập 1-4, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 40 phần 15.6 sách tham khảo.

5. Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa độ cực <i>) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong </i>

mặt cong . Viết một đoạn code để vẽ mặt trụ này, cho

<i>phép người dùng nhập hàm số và .</i>

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>Tham số hóa mặt cong</b>

<b>01</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<i><b>điểm (x,y,z) có vectơ vị trí r(u,v) với (u,v)  D được gọi là mặt tham số S, được biểu diễn </b></i>

bởi hàm vectơ cho bởi (*). Các phương trình:

<i>x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)</i>

<i><b>được gọi là các phương trình tham số của S. Miền D được gọi là miền tham số.</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

a. Định nghĩa a. Định nghĩa

<i><b>Hình 1: Khi (u,v) thay đổi trong miền D thì điểm ngọn của vectơ </b></i>

<i>vị trí r(u,v) sẽ biểu diễn điểm (x, y, z) chạy trong mặt cong S</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Ví

dụ 1 Ví

dụ 1

<i>^{Nhận diện và phác họa mặt cong S được tham}số hóa bởi:</i>

<i><b>r(u, v) = u cosvi + u sinvj + u</b><small>2</small><b> cos2vk, </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

b. Biểu diễn tham số hóa mặt cong

b. Biểu diễn tham số hóa mặt cong

Bắt đầu tham số hóa với những mặt cong dưới dạng

<i>đồ thị hàm số F(x,y,z)=0 hay z = z(x,y)… có thể </i>

được biểu diễn dưới dạng tham số cơ bản.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<i>Do không có biến z trong ta phương trình (*)⟹ Phương trình thỏa với mọi giá trị của z</i>

Phương trình hàm vectơ:

<i><b>r(u,v)= 3cosui + 3sinuj + vk</b></i>

Miền D ={ (u,v) | 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋, -∞ ≤ 𝑣 ≤ ∞ }

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

b. Biểu diễn tham số hóa

<i>x = u, y = f(u) cosv,z = f(u) sinv</i>

hay tương đương

<i><b>r(u, v) = ui + f(u) cosvj + f(u) sinvk (1)</b></i>

<i>Miền D ={ (u,v) | a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2 }</i>

Các đường cong có thể thực hiện phép xoay quanh theo bất kỳ trục nào để tạo thành các mặt cong khác nhau

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

b. Biểu diễn tham số hóa mặt cong

b. Biểu diễn tham số hóa mặt cong

<i><b>Hình 2: Mặt cong S được tạo bởi phép quay </b></i>

<i>hàm f(x) giữa x = a và x = b xung quanh trục Ox</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Ví dụ 3

Ví dụ

3

<i>^{Một mặt phẳng được tạo ra bằng cách quay đồ}thị y=cos(x) quanh trục Ox. Tìm phương trình tham số của mặt phẳng này</i>

Với giá trị x giữ ngun, ta được một đường trịn với bán kính là cos(x), ta sẽ dùng tọa độ cực trong mặt Oyz được phương trình:

<b>r(u, v)= ui + rcos(v)j + rsin(v)k</b>

Với u=x và r=cos(u) nên ta có thể thay vào phương trình trên và

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<i>Giả sử S là một mặt cong tham số được biểu diễn bởi một </i>

hàm vectơ:

<i>và P₀ là điểm trên mặt cong S biểu điễn bởi vecto r(u₀, v₀), </i>

<i>tại (u₀, v₀<b>) là điểm thuộc miền tham số D của r. </b></i>

<i>Vecto tiếp tuyến với C₁ tại P₀</i> được cho bởi

<i>Với vecto tiếp tuyến với C₂ tại P₀</i>được cho bởi

<i><b>Với một mặt cong trơn, mặt phẳng tiếp tuyến với S tại P</b>₀</i>

<i>là mặt phẳng chứa vecto r_u (u₀, v₀<b>) và r</b>_v (u₀, v₀</i>) có pháp vectơ được xác định bởi :

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<i><b>Hình 4</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Từ đó ta dễ dàng tìm được vectơ pháp tuyến qua cơng thức: Phương trình mặt phẳng tiếp diện là:

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Xét trường hợp đơn giản, giả sử mặt cong tham số S được xác định bởi:

<b>r(u, v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k</b>

<b>có miền tham số D là một hình chữ nhật (Hình 6). Phân hoạch </b>

<i>miền D thành mn hình chữ nhật nhỏ . Hình chữ nhật con được </i>

<b>ánh xạ bởi r vào mảnh có diện tích kí hiệu là . Ta có diện tích </b>

<i>của S được cho bởi: </i>

S=

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<i><b>Hình 6: Hình chữ nhật con R</b>_ij là ánh xạ vào mảnh cong S_ij</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<i>Tiếp theo, ta tìm giá trị gần đúng của . Lấy () là điểm nằm ở góc </i>

<i>dưới bên trái của miền . Điểm có vecto vị trị r() xem như là một </i>

<b>trong các góc của mảnh (Hình 6, 7). Đường biên của (với các điểm nằm phía góc được biểu diễn bởi r () được tính gần đúng </b>

bởi a và b, với

<b> a= r , b = r </b>

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<i><b>Hình 7</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Vì vậy có thể được tính gần đúng bởi diện tích của

<b>hình bình hành với a và b là các cạnh kề nhau</b>

Tuy nhiên ta có cách viết:

Nếu là một đại lượng rất nhỏ, khi đó:

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Như vậy, khi cộng tất cả diện tích của những miền cong nhỏ, ta sẽ xấp xỉ được diện tích S cần tìm

S

Khi cho m, n ta sẽ thu được: S=

Đây là tổng Reiman của hàm 2 biến và theo định nghĩa của tích phân kép dẫn ta đến định nghĩa sau:

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<b>r(u, v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k</b>

Với miền tham số D. Nếu S chỉ được “bao phủ” duy nhất với mọi giá trị (u,v) thay đổi trong D, thì diện tích mặt cong của S là:

A (S) = =

dS = được gọi là vi phân diện tích của mặt cong

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<i>Tìm diện tích mặt cong cho bởi: </i>

<b>r(u,v) = ( 2u+ 9v+ 1)i + ( u + v +6)j + ( 2u + </b>

<b>4v + 6)k</b>

<b>với 0 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 4 </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

b. Liên hệ với công thức tính

Như đã giới thiệu ở trên, cơng thức tính diện tích mặt cong theo dạng tham số là:

A (S) = =

Trong đó, (u, v) là vector vị trí của điểm trên mặt cong tương ứng với giá trị (u, v). D là miền xác định của u và

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

b. Liên hệ với cơng thức tính

Sau đó tính tốn giá trị của các đạo hàm riêng và áp dụng vào cơng thức diện tích mặt cong bằng cách tham số hóa. Cụ thể, có thể sử dụng các cơng thức sau để tính giá trị của các đạo hàm riêng:

= = , = =

Sau đó, áp dụng vào cơng thức tính diện tích mặt cong theo dạng tham số như nêu ở trên.

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

c. Liên hệ với cơng thức tính

Trong đó f(x) là phương trình đường mặt trụ, a và b là giới hạn của biến x

Để liên kết hai cơng thức này, có thể sử dụng phương pháp tham số để tính diện tích mặt trụ. Giả sử rằng đường mặt trụ được xác định bởi hai hàm số g(u) và h(u), có thể sử dụng vector tham số (u, v) = .

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

c. Liên hệ với cơng thức tính

Khi đó, có thể tính diện tích mặt trụ bằng cơng thức tính diện tích mặt cong đã cho như sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<b>Code Matlab</b>

<b>04</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa độ cực <i>)</i> trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong mặt cong . Viết một đoạn code để vẽ

<i>mặt trụ này, cho phép người dùng nhập hàm số và .</i>

Để tham số hóa mặt trụ đứng với biên nằm trên một đường cong r = r(φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta có thể sử dụng tọa độ trong khơng gian ba chiều (x, y, z) để biểu diễn các điểm trên mặt trụ.

Cụ thể, để tham số hóa mặt trụ đứng, ta có thể sử dụng các thơng số sau:

- r: bán kính của đường trịn cơ sở của mặt trụ (r > 0)

- α, β: hai góc giới hạn của đường cong r = r(φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta ) (0 ≤ α < β ≤

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Đưa ra cách tham số hóa để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong (đường cong trong tọa độ cực <i>)</i> trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong mặt cong . Viết một đoạn code để vẽ

<i>mặt trụ này, cho phép người dùng nhập hàm số và .</i>

Giả sử rằng ta đã biết một hàm f(x, y) để mô tả biên trong mặt cong z = f(x, y). Ta có thể sử dụng các biến r, φ) và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y), ta và z để tính tốn các tọa độ (x, y, z) của mỗi điểm trên mặt trụ như

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Ví dụ Ví dụ

<i>Viết code matlab để vẽ mặt trụ đứng, có một biên nằm trên một đường cong r = 2 + sin(4φ) (đường cong trong tọa độ cực φ) (đường cong trong tọa độ cực ) (đường cong trong tọa độ cực x = r cos(φ) (đường cong trong tọa độ cực ), y = r sin(φ) (đường cong trong tọa độ cực ), α ≤ φ) (đường cong trong tọa độ cực ≤ β, α = 0, β = 2π) trong mặt ) trong mặt phẳng Oxy và một biên nằm trong mặt cong z = f(x, y) = + </i>

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

f_func = input('Hàm số f(x, y): ');

% Thiết lập số lượng điểm và bước chia

n_phi = input('Số lượng điểm và bước chia góc φ): ': ');

n_xy = input('Số lượng điểm và bước chia mặt phẳng x-y: ');

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Viết đoạn code

Viết đoạn code

% Tính tốn các giá trị cần thiết

phi = linspace(alpha, beta, n_phi); r = r_func(phi);

theta = linspace(0, 2*pi, n_xy);

[theta, phi] = meshgrid(theta, phi);

if size(r,2)~=size(theta,2) r=r';

end

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

Kết quả code

Kết quả code

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

<b>THANK FOR YOUR </b>

<b>ATTENTION!!</b>

</div>