Về bài toán tham số hóa đường cong đại số

u

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




HÀ ĐĂNG TOÀN




VỀ BÀI TOÁN THAM SỐ HOÁ
ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC







Hà Nội – 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




HÀ ĐĂNG TOÀN




VỀ BÀI TOÁN THAM SỐ HOÁ
ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: TS. Phó Đức Tài

Hà Nội – 2012
Lời nói đầu
Bài toán tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đối với đường cong đại số và mặt
đại số là một chủ đề thú vị của Hình học đại số. Hơn nữa, vấn đề này có nhiều ứng
dụng thiết thực trong lĩnh vực thiết kế đồ họa máy tính. Vì vậy, nó đã và đang t rở
thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học và tin học.
Năm 200 8, J. R. Sendra và các cộng sự đã cho ra đời một cuốn sách có tựa đề
"Rational Algebraic Curvers". Đây là một trong số rất ít sách đề cập về bài toán tham
số hóa. Nội dung chính của cuốn sách này là nhằm tìm ra một phép tham số hóa hữu
tỉ của một đường cong đại số cho trước và nếu phép tham số hóa tồn tại thì sẽ đi tìm
phép tham số hóa tốt nhất đồng thời phân loại các phép tham số hóa.
Như vậy, một câu hỏi tự nhiên là, nếu đường cong cho bởi một phép tham số thì
ngoài những lợi ích mà phép tham số hóa mang lạ i như đã nói thì việc nghiên cứu các
tính chất hình học của nó có hạn chế nào so với một đường cong cho dưới dạng một
đa thức? Cụ thể là việc tìm bậc của đường cong, tìm số bội của một điểm bất kì và
từ đó xác định các điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, có gì khó khăn? Một trong các
câu trả lời đã được S. Pérez-Díaz, một trong ba tác giả của cuốn sách nói trên, đưa ra
trong một bài báo ([4]) của mình vào năm 2007.
Bản luận văn của chúng tôi không có kết quả mới. Công việc của người viết là tr ình
bày lại những nội dung chính nêu ở trên đồng thời tính toán thêm nhiều ví dụ tương
đối phức tạp. Luận văn được trình bày thành 3 chương:
Chương 0. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày những khái niệm, kết quả mang tính
chất nền tảng của Hình học đại số như khái niệm đa tạ p đại số, ánh xạ hữu tỉ, song hữu
tỉ, vấn đề giải kì dị, hệ thống tuyến tính các đường cong, ước, giống Trong chương
này chúng tôi chỉ nêu chứng minh một số kết quả quan trọng đó là định lí Riemann,
định lí về công thức tính giống của đường cong chỉ có các kì dị thường.
Chương 1. Các t huật toán tham số hóa hữu t ỉ. Cùng với chương 2, đây là
i
một trong hai chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày các
thuật toán tham số hóa hữu tỉ với công cụ chính là hệ thống tuyến tính các đường

cong liên hợp. Phần lớn các ví dụ trích trong [3] nhưng do chúng tôi tự tính toán và
có các kết quả (tham số hóa) khác với [3].
Chương 2. Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ. Trong chương
cuối này chúng tôi trình bày các kết quả nhằm khẳng định rằng một đường cong cho
dưới dạng tham số hóa hữu tỉ sẽ giúp chúng ta có được những thuận lợi trong các tính
toán cũng như việc khảo sát các tính chất hình học. Tuy chưa đầy đủ nhưng phần lớn
các tính chất hình học như số bội, bậc toàn cục, tập kì dị đã được trình bày một
cách rõ ràng. Chương 1 và chương 2 chúng tôi đều sử dụng các tài liệu tham khảo
chính là [2], [3], [4], [5], [6].
Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người thầy, người
hướng dẫn khoa học của mình, TS. Phó Đức Tài. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn
và giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu làm quen với Hình học đại số, đến quá trình viết
và bảo vệ luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin, trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ
môn Đại số - Hình học - Tô pô đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên
cứu trong một môi trường khoa học. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã
động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, mùa hè năm 2012.
Học viên
Hà Đăng Toàn
ii
Bảng ký hiệu
coeff(F (X), n) hệ số của X
n
trong đa thức F(X).
deg
X
(F ) bậc của đa thức F theo biến X.
[E : F ] bậc của mở rộng trường E trên F.

(F
1
, F
2
, , F
r
) iđêan sinh bởi các đa thức F
1
, F
2
, , F
r
.
gcd(F, G) ước chung lớn nhất của các đa thức F và G.
I(V ) iđêan sinh bởi các đa thức triệt tiêu trên đa tạp V.
k[X
1
, , X
n
] vành đa thức n biến X
1
, X
2
, , X
n
biến trên trường k.
k(X
1
, , X
n

) trường hàm hữu tỉ n biến X
1
, X
2
, , X
2
trên trường k.
k(X) trường hàm hữu tỉ trên đa tạp X.
k(C) trường hàm hữu tỉ trên đường cong (C)
lc(F (X)) hệ số dẫn đầu của đa thức F(X).
lc(f(s, t), t) hệ số dẫn đầu của đa thức f(s, t) theo biến t.
m
P
(F ), mult
P
(F ) số bội của điểm P trên đường cong định nghĩa bởi đa thức F.
U bao đóng của tập U.
Res
t
(F, G) kết thức của F và G theo t.
Ngr(C) tập các điểm kì dị của đường cong C.
V (S) đa tạp đại số sinh bởi tập các đa thức S.
iii
Mục lục
Lời nói đầu i
0 Kiến thức chuẩn bị 1
0.1 Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.4 Giải kì dị đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.5 Không gian ước và giống. Định lí Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ 26
1.1 Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2 Tham số hóa bằng các đường t hẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ. 48
2.1 Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ. . . . . . . 48
2.2 Phép tham số hóa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Hình học của các đường cong hữu tỉ cho dưới dạng tham số hóa . . . . 53
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
iv
Chương 0
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái quát một số kiến thức cần thiết về
đường cong đại số. Các kiến thức này là cơ sở để chúng tôi trình bày các nội dung
chính của luận văn. Tuy nhiên, chúng tôi chỉ nêu chứng minh đối với những kết quả
quan trọng. Chương này được trình bày chủ yếu theo [1] và [5].
Ở đây cũng như trong toàn bộ luận văn, ta xét k là một trường đóng đại số, có đặc
số 0. Còn khái niệm đường cong được hiểu là đường cong không có thành phần bội, cụ
thể hơn là, đa thức định nghĩa của nó không chứa thừa số bộ i.
0.1 Đường co ng đại số và trường hàm hữu tỉ
0.1.1 Không gian afin và không gian xạ ảnh
Ta hiểu không gian afin n chiều trên trường k, kí hiệu A
n
(k), là tích Đề-các k× ×k
(n lần). Mỗi phần tử của A
n
(k) được gọi là các điểm. Đặc biệt, khi n = 1 thì A
1

(k)
được gọi là đường thẳng afin, khi n = 2 thì A
2
(k) được gọi là mặt phẳng afin. Để cho
đơn g iả n, khi trường k đã biết, ta kí hiệu không gian afin n chiều trên k là A
n
.
Không gian xạ ảnh n chiều trên k, kí hiệu P
n
(k) hay đơn g iả n là P
n
, được định
nghĩa là tập tất cả các đường thẳng đi qua điểm (0, , 0) trong A
n+1
(k). Ta thấy rằng,
mỗi điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n+1
) = (0, 0, , 0) xác định duy nhất một đường thẳng như
vậy và hai điểm x, y xác định cùng một đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại một số λ
sao cho x = λy, khi đó ta nói x, y là tương đương. Như t hế, P
n
có thể hiểu là tập tất
cả các lớp tương đương của các điểm của A
n+1
\(0, 0, , 0). Các phần tử của P
n

cũng
1
được gọi là các điểm. Ta viết [x
1
: x
2
: : x
n+1
] để chỉ một phần tử (điểm) P của P
n
,
khi đó (x
1
, x
2
, , x
n+1
) được gọi là tọa độ thuần nhất của P.
Bây giờ ta kí hiệu U
i
= {[x
1
: x
2
: : x
n+1
] ∈ P
n
|x
i

= 0}. Khi đó mỗi P ∈ U
i
có
thể viết duy nhất dưới dạng
P = [x
1
: : x
i−1
: 1 : x
i+1
: : x
n+1
].
Các tọa độ (x
1
, : x
i−1
, x
i+1
, , x
n+1
) được g ọi là tọa độ không t huần nhất ứng với
U
i
. Ta có các song ánh ϕ
i
: A
n
→ U
i

với ϕ
i
(x
1
, : x
i−1
, x
i
, , x
n
) = [x
1
: : x
i−1
: 1 :
x
i
: : x
n+1
]. Để ý rằng P
n
=
n+1

i=1
U
i
, do đó P
n
được phủ bởi n + 1 tập hợp mà mỗi

tập hợp có thể xem như một không gia n afin n chiều.
Để cho thuận tiện, trong P
n
, ta thường gọi điểm [0 : 0 : : 0 : 1] là điểm gốc, còn
các điểm có tọa độ thứ n + 1 bằng không là các điểm tại vô cùng và tập hợp
H
∞
= P
n
\U
n+1
= {[x
1
: x
2
: : x
n+1
]|x
n+1
= 0}
là siêu phẳng tại vô cùng. Vậy P
n
= U
n+1
∪ H
∞
.
Tương tự như không gian afin, t a gọi P
1
là không gian xạ ảnh một chiều hay đường

thẳng xạ ảnh, P
2
là không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh.
0.1.2 Tập đ ại số. Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh
Giả sử F ∈ k[X
1
, , X
n
], một điểm P = (a
1
, , a
n
) trong A
n
được gọi là một không
điểm của F nếu F(P ) = F(a
1
, , a
n
) = 0. Nếu F không là hằng số thì tập tất cả các
không điểm của F được gọi là một siêu mặt định nghĩa bởi F và kí hiệu là V (F ).
Tổng quát hơn, nếu S là một tập các đa thức trong k[X
1
, , X
n
], ta kí hiệu
V (S) = {P ∈ A
n
|F (P ) = 0, ∀F ∈ S},
tức là V (S) = ∩

F ∈S
V (F ).
Một tập X ⊂ A
n
được gọi là một tập đại số afin nếu X = V (S) với S nào đó.
Đặc biệt, trong A
2
ta có định nghĩa:
Định nghĩa 0.1. Một đường cong đại số afin phẳng t rên k là một tập đại số
C = V (F ) = {(a, b) ∈ A
2
(k)|F (a, b) = 0},
trong đó F(X, Y ) ∈ k[X, Y ] là một đa thức khác hằng.
Khi đó F được gọi là đa thức định nghĩa của C (và tất nhiên, một đa thức G = c.F ,
với c = 0 nào đó thuộ c k, cũng định nghĩa cùng một đường cong).
2
Trong định nghĩa này, nếu ta viết F dưới dạng
F (X, Y ) = F
r
(X, Y ) + F
r+1
(X, Y ) + + F
m
(X, Y ),
trong đó, F
i
(X, Y ) là một đa thức thuần nhất bậc i, và F
m
(X, Y ) = 0. Khi đó các đa
thức F

i
được gọi là các thành phần thuần nhất của F và m được gọi là bậc của C ký
hiệu là deg(C). Các đường cong bậc một được gọi là đường thẳng, bậc hai gọi là cônic,
bậc ba là cubic, .
Nếu F =
n

j=1
F
j
, trong đó F
j
là các nhân tử bất khả quy của F, thì ta nói rằng
đường cong a fin định nghĩa bởi đa thức F
j
là một thành phần của C. Hơn nữa, đường
cong C được gọi là bất khả quy khi đa thức định nghĩa của nó là bất khả quy.
Bây giờ ta nói về khái niệm tập đại số trong không gian xạ ảnh. Một cách tương
tự, một điểm P ∈ P
n
được gọi là không điểm của một đa thức thuần nhất F ∈
k[X
1
, , X
n+1
] nếu F (x
1
, , x
n+1
) = 0 với mọi cách chọn tọa độ thuần nhất (x

1
, , x
n+1
)
của P. Khi đó ta viết F (P ) = 0 và nếu S là một tập các đa thức thuần nhất trong
k[X
1
, , X
n+1
] ta cũng kí hiệu
V (S) = {P ∈ P
n
|F (P ) = 0, ∀F ∈ S}.
Một tập X ⊂ P
n
được gọi là tập đại số xạ ảnh nếu X = V (S) với S nào đó.
Và trong P
2
ta cũng có định nghĩa:
Định nghĩa 0.2. Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng trên k được định nghĩa bởi tập
hợp
C = V (F ) = {[a : b : c] ∈ P
2
(k)|F (a, b, c) = 0},
với một đa thức thuần nhất khác hằng không chứa thừa số bội F (X, Y, Z) ∈ k[X, Y, Z].
Ta gọi F là một đa thức định nghĩa của C.
Khái niệm bậc, thành phần và tính bất khả quy (như trong định nghĩa 0.1 cho
đường cong afin) có thể sử dụng cho đường cong xạ ảnh một cách tương tự.
Nếu đường cong afin định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ) thì ta có thể nhận được đường
cong xạ ảnh C

∗
tương ứng bằng cách thuần nhất hóa F (X, Y ) thành F
∗
(X, Y, Z). Nghĩa
là, nếu:
F (X, Y ) = F
r
(X, Y ) + F
r+1
(X, Y ) + . . . + F
m
(X, Y ),
thì:
F
∗
(X, Y, Z) = F
r
(X, Y )Z
m−r
+ F
r+1
(X, Y )Z
m−r− 1
+ . . . + F
m
(X, Y ),
3
và
C
∗

= {[a : b : c] ∈ P
2
(k)|F
∗
(a, b, c) = 0}.
Định nghĩa 0.3. Đường cong xạ ảnh tương ứng với một đường cong afin C trên k
được gọi là bao đóng xạ ảnh của C tro ng P
2
(k).
Mỗi điểm (a, b) ∈ C tương ứng với [a : b : 1] trên C
∗
và mỗi điểm thêm vào trên C
∗
đều là điểm tại vô cùng. Nói cách khác, hai tọa độ đầu tiên của điểm thêm vào là các
nghiệm không tầm thường của F
m
(X, Y ) còn tọa độ thứ ba thì bằng 0. Do vậy, đường
cong C
∗
chỉ có hữu hạn điểm tại vô cùng.
Nếu C là đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi F (X, Y, Z), ta kí hiệu C
∗,Z
là đường
cong afin xác định bởi F
∗,Z
(X, Y ) = F (X, Y, 1). Tương tự, ta có các đường cong C
∗,X
và C
∗,Y
.

Nếu không có nhầm lẫn nào thì sau đây ta sẽ dùng kí hiệu C
∗
thay cho C
∗,Z
. Nếu
P = [a : b : 1] ∈ P
2
thì ta gọi điểm tương ứng của nó trong không gian afin là P
∗
, tức
là P
∗
= (a, b).
Để cho đơn giản, đôi khi ta cũng đồng nhất đường cong với đa thức định nghĩa của
nó. Hơn nữa, xuyên suốt luận văn chúng ta chỉ quan t â m đến các đường cong đại số.
Vì vậy, khi không nói gì thêm thì “đường cong” được hiểu là “đường cong đại số”, tức
là, là một siêu mặt trong A
2
hoặc P
2
.
Một cách để phân loại các tập đại số nói chung là dựa vào tính khả quy hay bất
khả quy của chúng. Một tập đại số được gọi là khả quy nếu nó là hợp của hai hay
nhiều tập đại số nhỏ hơn. Trong trường hợp ngược lại thì ta có một tập đại số bất khả
quy. Nếu một tập đại số afin (xạ ảnh) là bất khả quy thì ta gọi đó là một đa tạp đại
số afin (xạ ảnh).
0.1.3 Nón tiếp xúc tại điểm kì dị của đường c ong phẳng
Trước hết, ta cần có khái niệm về điểm kì dị của đường cong afin phẳng.
Định nghĩa 0.4. Cho C là một đường cong afin trên k định nghĩa bởi F (X, Y ) ∈
k[X, Y ] và P = (a, b) ∈ C. Ta nói rằng P có bội là r trên C nếu và chỉ nếu các đạo hàm

riêng (theo X, Y ) của F cho tới bậc r − 1 triệt tiêu tại P nhưng ít nhất một đạo hàm
riêng bậc r không triệt tiêu tại P. Ta ký hiệu bội của P trên C là mult
P
(C).
Khi đó, nếu mult
P
(C) = 0 thì P /∈ C, nếu mult
P
(C) = 1 ta nói P là một điểm đơn trên
C, còn nếu mult
P
(C) = r > 1 thì ta g ọi P là một điểm kỳ dị (hay kỳ dị) bộ i r trên C
4
hay điểm bội r. Ta nói rằng một đường cong là không kì dị (hay trơn) nếu nó không
có điểm kì dị.
Dễ thấy là, với mọi điểm P ∈ C ta có: 1 ≤ mult
P
(C) ≤ deg(C).
Tập tất cả các kì dị của đường cong C định nghĩa bởi đa thức F là tập đại số afin
V

F,
∂F
∂X
,
∂F
∂Y

. Ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 0.5. ([5], chương 2, Định lý 2.3) Cho đường cong C định nghĩa bởi F , P ∈ C

và T là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên A
2
(k) (nghĩa là phép đổi biến tuyến
tính) sao cho T (
˜
P ) = P . Xét đường cong
˜
C định nghĩa bởi
˜
F = F ◦ T . Khi đó bội của
P trên C bằng bội của
˜
P trên
˜
C. 
Vậy, khái niệm bội là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ tuyến tính.
Mệnh đề 0.6. ([5], chương 2, Định lý 2.4) Cho C là đường cong afin phẳng định nghĩa
bởi F (X, Y ). Bội của C tại gốc tọa độ là bậc nhỏ nhất của các thành phần thuần nhất
khác 0 của F . 
Do đó, bội của P có thể cũng được xác định bằng cách dời P về gốc tọa độ và áp
dụng mệnh đề 0.6.
Bây giờ, cho P = (a, b) ∈ A
2
(k) là một điểm bội r(r ≥ 1) trên đường cong C định
nghĩa bởi đa thức F . Khi đó thành phần đầu tiên không triệt tiêu trong khai triển
Taylor của F tại P là
T
r
(X, Y ) =
r


i=0
C
i
r
∂
r
F
∂X
i
∂Y
r−i
(P )(X − a)
i
(Y − b)
r−i
.
Định nghĩa 0.7. Tập các không điểm của thành phần đầu tiên không triệt tiêu trong
khai triển Taylor của F tại P được gọi là nón tiếp xúc của C tại P.
Ví dụ 0.8. Xét đường cong Y
2
− X
3
= 0. Khi đó nón tiếp xúc của đường cong đã cho
tại O(0, 0) (điểm bội 2) là đường thẳng Y = 0.
Còn với đường cong Y
2
= X
2
(X + 1) cũng có O(0, 0) là điểm bội 2 nhưng nón tiếp

xúc t ại O bao gồ m hai đường thẳng Y = X và Y = −X.
Bằng một phép biến đổi tọa độ tuyến tính chuyển P thành gốc tọa độ, đa thức T
r
được biến đổi thành đa thức thuần nhất hai biến bậc r. Dễ thấy rằng, số nhân tử của
một đa thức là bất biến đối với một phép biến đổi tọa độ tuyến tính nên các nhân
tử bất khả quy của T
r
là tuyến tính và chúng là phương trình của các tiếp tuyến của
đường cong tại P . Ta có kết quả sau:
5
Mệnh đề 0.9. ([5], chương 2, Định lý 2.5) Cho C là một đường cong afin với đa thức
định nghĩa F (X, Y ) và P là điểm trên C có bội r. Khi đó các đa thức định ng hĩa của
các tiếp tuyến với C tại P là các n hân tử bất khả quy của đa thức T
r
(X, Y ). Và bội của
mỗi tiếp tuyến là bội của nhân tử tương ứng. 
Chúng ta sẽ phân loại các điểm kì dị dựa vào các tiếp tuyến của đường cong và số
bội tương ứng của các tiếp tuyến. Cách phân loại này giúp chúng ta thấy rõ hơn về
bản chất của các điểm kì dị.
Định nghĩa 0.10. Một kì dị P bội r trên một đường cong afin C được gọi là thông
thường nếu r tiếp tuyến với C tại P là phân biệt, và không thông thường nếu ngược lại.
Mệnh đề 0.11. ([5], chương 2, Định lý 2.7) Cho đường cong C đ ị nh nghĩa bởi F ,
P ∈ C, T là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên A
2
(k) (nghĩa là một phép đ ổi biến
tuyến tính) s ao cho T (
˜
P ) = P. Cho
˜
C định nghĩa bởi

˜
F = F ◦ T . Khi đó T xác định
một tương ứng 1 − 1, bảo toàn bội giữa các tiếp tuyến với C tại P và các tiếp tuyến tới
˜
C tại
˜
P ). 
Hệ quả 0.12. Tính thông thường hay không thông thường của một điểm kì dị là bất
biến dưới các phép đổi biến tuyến tính. 
Bổ đề 0.13. ([5], chương 2, Bổ đề 2.9) Cho C là một đường cong afin định nghĩa bởi
một đa thức F =
m

j=1
F
j
với mọi F
j
bất khả quy. Gọi C
j
là các thành phần của C địn h
nghĩa bởi F
j
. Cho P l à một điểm thuộc A
2
(k). Khi đó ta có:
1. mult
P
(C) =


m
j=1
mult
P
(C
j
)
2. Nếu L là tiếp tuyến của C
j
tại P với bội s
i
thì L là một tiếp tuyến của C tại P
với bội

n
i=1
s
i
. 
Mệnh đề 0.14. ([5], chương 2, Định lý 2.10) Một đường con g afin ph ẳ ng chỉ có hữu
hạn điểm kì dị. 
Mệnh đề 0.15. ([5], chương 2, Định lý 2.13) Giả s ử P là một đ iểm đơn của đ ườn g
cong xạ ảnh C xác định bởi đa thức F (X, Y, Z). Khi đó:
X
∂F
∂Y
(P ) + Y
∂F
∂Y
(P ) + Z

∂F
∂Z
(P )
là đa thức định nghĩa của tiếp tuyến với C tại P . 
6
Mệnh đề 0.16. ([5], chương 2, Định lý 2.14) Điểm P ∈ P
2
(k) là một kỳ dị của
đường cong xạ ảnh C ( định ngh ĩ a bởi đa thức thuần nhất F (X, Y, Z)) nếu và chỉ nếu
∂F
∂X
(P ) =
∂F
∂Y
(P ) =
∂F
∂Z
(P ) = 0. 
Mệnh đề 0.17. ([5], chương 2, Định lý 2.15) Giả sử C đường cong xạ ảnh định nghĩa
bởi đa thức thuần nhất F (X, Y, Z) bậc m. Khi đó P ∈ P
2
(k) là một điểm có bội ít nhất
bằng r trên (r ≤ m) khi và khi nế u mọi đạo hàm riêng thứ r − 1 của F triệt tiêu tại
P . 
0.1.4 Vành tọa đ ộ và trường hàm hữu tỉ của một đường c ong
Giả sử V là đa tạp đại số khác rỗng trong A
n
(k). Ký hiệu I(V ) là tập các đa thức
triệt tiêu trên V. Ta thấy rằng đây là một iđêan nguyên tố của k[X
1

, X
2
, , X
n
]. Do
đó vành thương
Γ(V ) = k[X
1
, X
2
, , X
n
]/I(V )
là một miền nguyên và được gọi là v ành tọa độ của V.
Với một tập V ⊂ A
n
, ta kí hiệu F(V, k) là tập hợp tất cả các hàm t ừ V tới k. F(V, k)
là một vành với các phép toán định nghĩa như sau: Nếu f, g ∈ F(V, k), (f + g)(x) =
f(x) + g(x) và (f.g)(x) = f(x).g(x) với mọi x ∈ V . Ta xem k như một vành con của
F(V, k) nếu đồng nhất k với vành con chứa tất cả các hàm hằng của F(V, k).
Trở lại trường hợp V ⊆ A
n
là một đa tạp, một hàm f ∈ F(V, k) được gọi là một
hàm đa thức tr ên V , nếu và chỉ nếu tồn tại một đa thức F ∈ k[X
1
, X
2
, , X
n
] với

f(a
1
, , a
n
) = F (a
1
, , a
n
) với mọi (a
1
, , a
n
) ∈ V . Khi đó ta cũng nói rằng đa thức
F xác định hàm f. Như vậy, hai đa thức F và G cùng xác định hàm đa thức f nếu và
chỉ nếu (F − G) (P ) = 0 với mọi P ∈ V (nghĩa là F − G ∈ I(V )).
Ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng, tập các hàm đa thức làm thành một vành
con của F(V, k), hơ n nữa, vành con này chứa k.
Trở lại với vành tọa độ trên đa tạp V. Như đã nói ở trên, Γ(V ) là một miền nguyên
nên tồn tại trường thương và trường này được gọi là trường các hàm hữu tỉ trên V, kí
hiệu là k(V ). Mỗi phần tử của k(V ) là một hàm hữu tỉ trên V.
Nếu f là một hàm hữu tỉ trên V và P ∈ V, ta nói rằng f xác định tại P nếu tồn
tại a, b ∈ Γ(V ) sao cho f =
a
b
và b(P ) = 0. Còn nếu tại P mà f không xác định thì ta
nói P là một điểm cực của f.
Có thể chứng minh được rằng tập hợp các hàm hữu tỉ xác định tại một điểm P ∈ V
7
làm thành một vành con của k(V ), vành này được gọi là vành địa phương của V tại P
và kí hiệu là O

P
(V ). Hơn nữa, do mỗi phần tử của Γ(V ) xác định vớ i mọi P ∈ V nên
Γ(V ) ⊂ O
P
(V ) và ta có bao hàm thức
k ⊂ Γ(V ) ⊂ O
P
(V ) ⊂ k(V ).
Ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 0.18. ([1], chương 2, Mệnh đề 2.)
1. Tậ p hợp các điểm cực của một hàm hữu tỉ là một tập con đại số của V.
2. Γ(V ) =

P ∈V
O
P
(V ). 
Mệnh đề 0.19. ([1], chương 2, Mệnh đề 2 ) O
P
(V ) là một miền nguyên Noether địa
phương. 
Chứng minh của các kết quả này có thể xem trong [1].
Trước khi kết thúc mục này chúng tôi trình bày khái niệm về bậc của một hàm hữu
tỉ.
Nhắc lại rằng, một và nh Noether địa phương R sẽ được gọi là một vành giá trị rời
rạc nếu iđêan cực đại của nó là một iđêan chính. Nói cách khác, tồn tại phần tử bất
khả quy t ∈ R sao cho với mọi phần tử z = 0 thuộc R ta luôn biểu diễn được một
cách duy nhất dưới dạng ut
n
, trong đó u là một phần tử khả nghịch trong R, n là một

số nguyên không âm. Phần tử t như thế được gọi là một tham số đơn trị của R; số n
được gọi là bậc của z và kí hiệu là ord(z).
Trở lại với khái niệm vành địa phương, giả sử C là một đường cong phẳng, bất khả
quy, định nghĩa bởi đa thức F , P ∈ C, ta có định lí sau:
Mệnh đề 0.20. ([1 ] , chương 3, Định lí 1.) P là một điểm đơn trên C khi v à chỉ khi
O
P
(C) là m ột vành giá trị rời rạc. Trong trường hợp đó, nếu L = aX + bY + C là
đường thẳng qua P nhưng không tiếp xúc C tại P thì ảnh l của L là trong O
P
(C) một
tham số đơn trị của O
P
(C). 
Như vậy, nếu P là một điểm đơn trên C thì sẽ tồn tại một hàm bậc trên k(C) kí
hiệu là ord
F
P
. Giả sử G ∈ k[X, Y ], g là ảnh của G trong Γ(C) ta sẽ viết ord
F
P
(G) thay
cho ord
F
P
(g).
8
0.1.5 Ánh xạ đa thức và phép biến đổi tọa độ
Định nghĩa 0.21. Giả sử V ⊂ A
n

, W ⊂ A
m
là các đa tạp. Một ánh xạ ϕ : V → W
được gọi một là ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức T
1
, T
2
, , T
m
∈ k[X
1
, X
2
, , X
n
]
sao cho
ϕ(a
1
, a
2
, , a
n
) = (T
1
(a
1
, a
2
, , a

n
), T
2
(a
1
, a
2
, , a
n
), , T
m
(a
1
, a
2
, , a
m
)),
với mọi (a
1
, a
2
, , a
n
) ∈ V.
Có thể thấy rằng, mỗi ánh xạ ϕ : V → W cảm sinh một đồng cấu ˜ϕ : F(W, k) →
F(V, k) xác định bở i ˜ϕ( f ) = f ◦ ϕ. Nếu ϕ là một ánh xạ đa thức thì ˜ϕ(Γ(W )) ⊂ Γ(V )
do đó, ˜ϕ có thể hạn chế trên Γ(W ) thành một đồng cấu. Ta vẫn kí hiệu đồng cấu này
là ˜ϕ.
Mệnh đề 0.22. ([1], chương 2, Mệnh đề 1.) Giả sử V ⊂ A

n
, W ⊂ A
m
là các đ a tạp.
Khi đó, có một tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các ánh xạ đ a thức ϕ : V → W và các
đồng cấu ˜ϕ : Γ(W ) → Γ(V ). Mọi ánh xạ ϕ như thế đều là hạn chế của một ánh xạ đa
thức từ A
n
tới A
m
. 
Một ánh xạ đa thức xác định bởi bộ m đa thức (T
1
, , T
m
) từ A
n
tới A
m
thường
được kí hiệu là T = (T
1
, , T
m
). Nếu m = n và các T
i
, i = 1, , m đều có bậc 1 thì T
được gọi là một phép biến đổi tọa độ trên A
n
. Có thể thấy rằng mỗi phép biến đổi tọa

độ là hợp thành của một ánh xạ tuyến tính trên A
n
và một phép tịnh tiến.
0.2 Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ
Một công cụ rất quan trọng để nghiên cứu các đa tạp đại số nói chung và đường
cong đại số nói riêng là các ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ. Chúng ta sẽ nói về các khái
niệm này sau khi xây dựng khái niệm nền tảng - tôpô Zariski.
0.2.1 Tôpô Zariski và khái niệm đa tạp tổng quát và số chiều
của đa tạp
Một k hông gian tôpô là một tập X cùng với một tôpô trên X. Một tập C trong X
là tập đóng nếu X\C là mở. Nếu Y ⊂ X thì tập mở bất kì của X chứa Y được gọi là
một lân cận của Y. Thực tế, một tập bất kì mà chứa tập mở chứa Y cũng được gọi là
lân cận của Y. Tuy nhiên trong luận văn này chúng ta chỉ quan tâm đến các lân cận
9
mở.
Nếu Y là một tập con của không gian tôpô X thì khái niệm về tôpô cảm s i nh trên
Y được định nghĩa như sau: một tập W ⊂ Y là mở trong Y nếu tồn tại một tập mở
U của X sao cho W = Y ∩ U.
Với một tập con Y bất kỳ của không gian tôpô X, bao đóng của Y là giao của tất
cả các tập đóng chứa Y, kí hiệu là
Y . Tập Y được gọi là trù mật trong X nếu bao đóng
của Y chính là X.
Cho X và X
′
là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X
′
→ X được gọi là liên tục nếu
nghịch ảnh của tập mở là tập mở. Nếu ta thêm vào điều kiện f là song ánh và f
−1
cũng liên tục thì f được gọi là một đồng phôi.

Tôpô Zariski là tôpô được định nghĩa trên X là không gian afin A
n
, không gian xạ
ảnh P
n
hoặc không gian hỗn tạp P
n
1
× P
n
2
× × P
n
r
× A
m
: Một tập con U của X
được gọi là tập mở nếu X\U là một tập đại số.
Với định nghĩa như thế, ta có t hể chứng minh được rằng mọi tập con của X đều
được trang bị tôpô cảm sinh. Đặc biệt, khi V là một đa tạp thì một tập là tập đóng
của V khi và chỉ khi nó là tập đại số. Hơn nữa, mọi tập mở của V đều trù mật trong
V.
Với tôpô Zariski, chúng ta cũng có khái niệm đa tạp và các khái niệm liên quan
một cách tổng quát hơn: Cho một tập đại số bất khả quy không rỗng V của không
gian afin, không gian xạ ảnh hay không gian hỗn tạp (như đã nói ở trên). Một tập mở
bất kì của V được gọi là một đa tạp. Đa tạp này được trang bị tôpô cảm sinh từ V ;
tôpô này được gọi là tôpô Zariski trên X.
Nếu U là một tập con mở của X thì U cũng mở trong V nên cũng là đa tạp và ta
gọi U là đa tạp con mở của X. Ta cũng chứng minh được rằng một tập con đóng Y
bất khả quy của X là mở trong

Y . Vậy Y cũng là đa tạp và được gọi là đa tạp con
đóng của X.
Ta định nghĩa k(X) = k(V ), O
P
(X) = O
P
(V ). Kí hiệuΓ(U, O
X
) là tập tất cả các
hàm hữu tỉ xác định tại mỗi P ∈ X, ta cũng có Γ(U, O
X
) =

P ∈X
O
P
(X).
Trước khi kết thúc mục này ta sẽ nói về khái niệm chiều của đa tạp.
Giả sử K là một mở rộng hữu hạn sinh đại số của k. Bậc mở rộng siêu việt của K
trên k được định nghĩa là số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại x
1
, x
2
, , x
n
∈ K, sao
cho K là đại số trên k(x
1
, , x
n

). Khi đó ta nói K là một trường hàm đại số trên k.
Nếu X là một đa tạ p, k(X) là một mở rộng hữu hạn sinh đại số của k. Ta định
nghĩa số chiều của X, dim X là bậc mở rộng siêu việt của k(X) trên k. Một cách tự
10
nhiên, nếu dim X = 1 thì X được gọi là đường cong, dim X = 2 thì X được gọi là mặt,

0.2.2 Ánh xạ hữu tỉ, ánh xạ song hữu tỉ và sự tương đương
song hữu tỉ giữa các đường cong.
Để xây dựng khái niệm ánh xạ hữu tỉ trước hết chúng ta cần có định nghĩa về cấu
xạ giữa hai đa tạp.
Giả sử ϕ : X → Y là một ánh xạ giữa hai tập hợp X, Y ⊂ A
n
. Phép hợp thành với
ϕ tạo nên một đồng cấu vành ˜ϕ : F(Y, k) → F(X, k) tức là ˜ϕ(f ) = f ◦ ϕ.
Định nghĩa 0.23. Cho X và Y là các đa tạp. Một cấu xạ từ X tới Y là một ánh xạ
ϕ : X → Y sao cho
1. ϕ liên tục;
2. Với mọi tập mở U của Y, nếu f ∈ Γ(U, O
Y
) thì ˜ϕ(f) = f ◦ ϕ ∈ Γ(ϕ
−1
(U), O
X
).
Một đẳng cấu của X với Y là một cấu xạ 1 − 1 từ X lên Y sao cho ϕ
−1
là cấu xạ.
Mệnh đề sau đây giúp chúng ta có một cách tiếp cận khái niệm cấu xạ một cách
tường minh hơn.
Mệnh đề 0.24. ([1], ch ươn g 6, Mệnh đề 2) Giả sử X, Y là các đa tạp afin.Khi đó , có

một tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các cấu xạ ϕ : X → Y và các đồng cấu ˜ϕ : Γ(Y ) →
Γ(X). Nếu X ⊂ A
n
, Y ⊂ A
m
thì một cấu xạ chính là một ánh xạ đa thức từ X tới Y.
Trước khi nói về ánh xạ hữu tỉ ta cần có kết quả sau đây:
Mệnh đề 0.25. ([1 ] , chương 6, Hệ quả của Mệnh đề 7) Giả sử f, g : X → Y là các
cấu xạ. Khi đó, tập {x ∈ X|f (x) = g(x)} là một tập đóng trong X. Hơn nữa, nếu f và
g đồng nhất trên một tập trù mật của X thì f = g. 
Tiếp theo, chúng ta vẫn giả sử X và Y là các đa tạp, U
1
, U
2
là các đa tạp con mở
của X. Các cấu xạ f
i
: U
i
→ Y, i = 1, 2 được gọi là tương đương nếu hạn chế của các
cấu xạ này trên U
1
∩ U
2
là như nhau. Theo định lí trên thì khi đó mỗi f
i
được xác định
bằng hạn chế của nó trên U
1
∩ U

2
. Với quan hệ tương đương như vậy ta có các định
nghĩa:
Định nghĩa 0.26. 1. Một lớp tương đương f các cấu xạ từ X tới Y được gọi là
một ánh xạ hữu tỉ từ X tớ i Y. Ánh xạ hữu tỉ f được g ọi là trội nếu f(U) trù
mật trong X, với mọi U là đa tạp con mở của X.
11
2. Một ánh xạ hữu tỉ F : X → Y được gọi là ánh xạ song hữu tỉ nếu tồn tại các tập
mở U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu f : U → Y là một đại diện của lớp tương đương
F. K hi đó, ta cũng nói các đa tạp X và Y là tương đương song hữu tỉ.
Ví dụ 0.27. Xét ánh xạ f : A
1
→ A
1
xác định bởi f (t) = t
3
. Rõ ràng f là một ánh
xạ hữu tỉ. Tuy nhiên, dễ thấy rằng ánh xạ ngược của f không là hữu tỉ. Như vậy, f
không phải là một ánh xạ song hữu tỉ.
Ta có các kết quả quan trọng sau đây:
Mệnh đề 0.28. ([1], chương 6, Mệnh đề 12) Hai đa tạp là tương đương song hữu tỉ
khi và chỉ khi các trường hàm của chúng là đẳng cấu. 
Hệ quả 0.29. Mọi đường cong đều tương đương song hữu tỉ với một đường cong phẳng.

Ta nói rằng một đa tạp là hữu tỉ nếu nó tương đương song hữu tỉ với A
n
hoặc P
n
với n nào đó. Đặc biệt, ta có khái niệm quan trọng sau.
Định nghĩa 0.30. Một đường cong đại số được gọi là đường cong hữu tỉ nếu nó tương

đương song hữu tỉ với A
1
hoặc P
1
.
Ví dụ 0.31. Xét đường cong C có phương trình Y
2
= X
3
. Ta có thể kiểm tra được
các ánh xạ P : A
1
(C) → C xác định bởi P(t) = (t
2
, t
3
) , và Q : C → A
1
(C) xác định
bởi Q(X, Y ) =
Y
X
, là các cấu xạ hữu tỉ và chúng là ánh xạ ngược của nhau (chỉ trừ
tại điểm O(0, 0)). Nói cách khác P là một cấu xạ song hữu tỉ. Do đó, đường cong C là
một đường cong hữu tỉ.
0.2.3 Bậc của ánh xạ hữu tỉ trội
Bậc của ánh xạ hữu tỉ trộ i là một khái niệm quan trọng trong việc khảo sát các
tính chất hình học của một đường cong mà ta sẽ sử dụng ở trong chương cuối của luận
văn.
Định nghĩa 0.32. Cho ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W

1
→ W
2
với dim W
1
= dim W
2
. Ta
định nghĩa bậc của ϕ là bậc của mở rộng hữu hạn đại số k(W
1
) trên ˜ϕ(k(W
2
)), tức là:
deg(ϕ) = [k(W
1
) : ˜ϕ(k(W
2
))].
Ta có thể sử dụng khái niệm này để đặc trưng cho tính song hữu tỉ của một ánh
xạ trội như sau:
12
Bổ đề 0.33. ([5], chương 2, Bổ đề 2.41) Một ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W
1
→ W
2
với
dim W
1
= dim W
2

, là song hữu tỉ khi và chỉ khi deg(ϕ) = 1. 
Các kết quả sau đây cần thiết cho việc tính toán bậc của các ánh xạ hữu tỉ trội.
Bổ đề 0.34. ([5], chương 2, Bổ đề 2.42) Giả sử ϕ
1
: W
1
→ W
2
, ϕ
2
: W
2
→ W
3
là các
ánh xạ hữu tỉ trội giữa các đa tạp có cùng số chiều. Khi đó
deg(ϕ
2
◦ ϕ
1
) = deg(ϕ
1
). deg(ϕ
2
).

Mệnh đề 0.35. ([5], chương 2, Địn h lí 2.43) Giả sử ϕ : W
1
→ W
2

là ánh xạ hữu tỉ
trội giữa các đa tạp cùng chiều. Khi đó, tồn tại tập con mở U khác rỗng của W
2
sao
cho với mọi P ∈ U thì ϕ
−1
(P ) có số phần tử đúng bằng deg(ϕ). 
0.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong
Khi nghiên cứu về các đường cong đại số thì số giao và hệ tuyến tính của các đường
cong là những khái niệm mang tính nền tảng. Nếu như số giao là công cụ không thể
thiếu đối với các bài toán tươ ng giao của các đường cong thì hệ tuyến tính của các
đường cong nói chung, hệ tuyến tính các đường cong liên hợp nói riêng lại đóng vai trò
quyết định trong việc giải bài toán tham số hóa hữu tỉ.
0.3.1 Số giao c ủa các đường cong. Định lí Bézout
Trước hết, ta xem xét khái niệm số giao của hai đường cong trong mặt phẳng afin
A
2
.
Cho F và G là hai đường cong trong mặt phẳng A
2
. Số giao của F và G tại một
điểm bất kì P ∈ A
2
được kí hiệu là I
P
(F, G) và được xác định thông qua 7 tính chất
sau.
1. I
P
(F, G) ≥ 0, ∀F, G và ∀P ∈ A

2
.
I
P
(F, G) = ∞ nếu F và G có nhân tử chung đi qua P.
2. I
P
(F, G) = 0 nếu P ∈ F ∩ G.
3. Nếu T là một phép thay đổi tọa độ mà T (Q) = P thì I
P
(F, G) = I
Q
(F
T
, G
T
).
4. I
P
(F, G) = I
P
(G, F ).
13
5. I
P
(F, G) ≥ m
P
(F ).m
P
(G). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi F và G không có

tiếp tuyến chung tại P.
6. Giả sử F =

i
F
e
i
i
, G =

j
G
s
j
j
thì
I
P
(F, G) =

i,j
e
i
s
j
I
P
(F
i
, G

j
).
7. I
P
(F, G) = I
P
(F, G + HF ), ∀H ∈ k[X, Y ].
Tính đúng đắn của định nghĩa số giao và công thức tính đượ c thể hiện thông qua định
lý sau:
Mệnh đề 0.36. ([1], chương 3, Định lí 3) Tồn tại duy nhất một số giao I
P
(F, G) xác
định ch o mọi cặp đường cong F và G và mọi điểm P ∈ A
2
, thỏa mãn 7 tính chất trên.
Ngoài ra
I
P
(F, G) = dim
k
(O
P
(A
2
)/(F, G)).
Trong đó O
P
(A
2
) là vành địa phương của A

2
tại P . 
Tiếp theo ta xét trong không gian xạ ảnh P
2
. Cho F và G là hai đường cong xạ ảnh,
số giao của F và G tại một điểm P ∈ P
2
được xác định như sau: I
P
(F, G) = I
P
∗
(F
∗
, G
∗
).
Số giao trong P
2
cũng thỏa mãn 7 tính chất của số giao trong A
2
, chỉ có thay đổi
ở tính chất thứ 7, và tính chất này được phát biểu lại như sau:
I
P
(F, G) = I
P
(F, G + AF ) với mọi A mà deg(A) = deg(G) − deg(F ).
Ta kết thúc mục này bằng một kết quả cổ điển
Định lý 0.37. (Định lý Bezout) Cho F và G là các đường cong xạ ảnh bậc m, n

tương ứng. Giả sử F và G không có nhân tử chung. Khi đó

P ∈P
2
I
P
(F, G) = mn. 
0.3.2 Chu trình giao. Định lí Max Noether
Một chu trình không trên mặt phẳng xạ ảnh P
2
là một tổng hình thức

P ∈P
2
n
P
P
trong đó n
P
là các số nguyên và chỉ có hữu hạn các n
P
khác 0.
Bậc của chu trình không

n
P
P được định nghĩa bằng

n
P

. Một chu trình không
được gọi là dương nếu n
P
≥ 0 với mọi P. Ta nói rằng

n
P
P lớn hơn

m
P
P nếu
n
P
≥ m
P
với mọi P, khi đó ta viết

n
P
P ≥

m
P
P.
Tiếp theo ta giả sử F, G là các đường cong xạ ảnh với bậc tương ứng m và n không
có thành phần chung. Ta định nghĩa chu trình giao F  G là
F  G =

P ∈P

2
I(P, F ∩ G)P.
14
Định lí Bézout cho thấy F  G là một chu trình dương, bậc mn.
Từ các tính chất của số giao ta cũng có thể chứng minh được một số tính chất
đơn giản của chu trình giao. Chẳng hạn: F  G = G  F ; F  (GH) = F  G + F  H và
F  (G + AF ) = F  G với A là một dạng thuần nhất và deg(A) = deg(G) − deg(F ).
Điều kiện Noether: Giả sử P ∈ P
2
, F, G là các đường cong không có thành phần
chung cắt nhau tại P, H là một đường cong khác. Ta nói rằng điều kiện Noether được
thỏa mãn tại P (đối với F, G và H), nếu H
∗
∈ (F
∗
, G
∗
) ⊂ O
P
(P
2
), tức là, tồn tại
a, b ∈ O
P
P
2
sao cho H
∗
= aF
∗

+ bG
∗
.
Định lý 0.38. (Định lí cơ bản Max Noether) Cho các đường cong xạ ảnh phẳng
F, G, H, trong đó F và G k hông có thành phần chung. Khi đó, tồn tại đẳng thức
H = AF + BG (A, B là các dạng thuần nhất và deg(A) = deg(H) − deg(F ), deg( B) =
deg(H) − deg(G)) nếu và chỉ nếu điều kiện Noether thỏa mãn tại mọi P ∈ F ∩ G. 
0.3.3 Hệ tuyến tính các đường cong.
Hệ tuyến tính của các đường cong là công cụ rất quan trong đối với bài toán tham
số hóa hữu tỉ. Để xây dựng khái niệm này chúng ta xuất phát từ ý tưởng như sau:
Chúng ta coi mỗi đường cong bậc d trong mặt phẳng xạ ảnh P
2
như là một điểm của
không gian xạ ảnh P
d(d+3)
2
. Điều này hoàn toàn thực hiện được vì chúng ta biết rằng
một đường cong bậc d sẽ xác định nếu ta biết đầy đủ các hệ số a
1
, a
2
, , a
N+1
(với
N =
d(d+3)
2
) của các đơn thức bậc d theo một thứ tự cố định. Chẳng hạn, một đường
cong bậc 2 tổng quát a
1

X
2
+ a
2
Y
2
+ a
3
Z
2
+ a
4
XY + a
5
Y Z + a
6
XZ tương ứng với
điểm [a
1
: a
2
: : a
6
] ∈ P
5
. Vì thế, một đường cong bậc d có thể xem như điểm
[a
1
: a
2

: : a
N+1
] ∈ P
d(d+3)
2
(đương nhiên (a
1
, a
2
, , a
N+1
) và λ(a
1
, a
2
, , a
N+1
), với
λ = 0 xác định cùng một đường cong). Như vậy ta có thể nói rằng t ậ p hợp các đường
cong bậc d là không gian xạ ảnh có chiều là
d(d+3)
2
.
Bây giờ, nếu ta đặt các điều kiện cho tập hợp các đường cong bậc d thì tập các
đường cong bậc d t hỏa mãn các điều kiện đó sẽ là một tập con của P
d(d+3)
2
. Nếu tập
con này là một đa tạp con tuyến tính (đa tạp con sinh bởi các đa thức thuần nhất bậc
1) của P

d(d+3)
2
thì ta gọi là một hệ tuyến tính của các đường cong phẳng bậc d.
Ta có các kết quả sau:
Bổ đề 0.39. ([1], chương 5, Bổ đề trong mục 5.2)
(1) Giả sử P ∈ P
2
. Khi đó, tập hợp các đường cong phẳng xạ ảnh bậc d đi qua P là
một siêu mặt của P
d(d+3)
2
.
15
(2) Nếu T : P
2
→ P
2
là một phé p biến đổi tọa độ thì ánh xạ F → F
T
từ tập các đường
cong bậc d vào chính nó là một phép biến đổi tọa độ của P
d(d+3)
2
. 
Giả sử P
1
, P
2
, , P
n

là các điểm trong P
2
, r
1
, r
2
, , r
n
là các số nguyên không âm. Đặt
V (d, r
1
P
1
, r
2
P
2
, , r
n
P
n
) là tập hợp các đường cong bậc d mà m
P
i
(F ) ≥ r
i
, (1 ≤ i ≤ n).
Mệnh đề 0.40. ([1], chương 5, Định lí 1)
1. V (d, r
1

P
1
, r
2
P
2
, , r
n
P
n
) là đa tạp con tuyến tính của P
d(d+3)
2
với số chiều không
nhỏ hơn
d(d+3)
2
−

r
i
(r
i
+1)
2
.
2. Nếu d ≥

r
i

thì dim V (d, r
1
P
1
, r
2
P
2
, , r
n
P
n
) =
d(d+3)
2
−

r
i
(r
i
+1)
2
. 
0.4 Giải kì dị đường cong đại số
Khi nghiên cứu một đường cong đại số, ngoài các điểm đơn và các kì dị thông
thường với các tính chất hình học đã rõ ràng thì chúng ta còn gặp các kì dị không
thông thường (đã định nghĩa ở đầu chương). Ta cần phải xem xét các kì dị loại này
một cách đặc biệt.
Trong phần này chúng tôi trình bày một công cụ để giải quyết vấn đề nêu trên (giải

kì dị) đó là các phép nổ. Mục đích của phương pháp này là xây dựng một ánh xạ song
hữu tỉ biến đường cong thành một mô hình mới, vẫn là một đa tạp nhưng với các kì
dị đơn giản hơn, còn kì dị đang xét được thay thế bở i một đường thẳng. Ở đây chúng
tôi chỉ đưa ra các kết quả, chứng minh của các kết quả này có thể xem trong [1].
0.4.1 Phép nổ một điểm trong không gian afin
Giả sử P(0, 0) ∈ A
2
, với (X, Y ) là hệ tọa độ của A
2
. Gọi U = A
2
\V (X). Xét
cấu xạ f : U → A
1
= k xác định bởi f (x, y) = y/x. Khi đó, ta gọi đồ thị của f là
G = {(x, y, z) ∈ A
3
|y = xz, x = 0}.
Giả sử B = {(x, y, z) ∈ A
3
|y = xz}, π : B → A
2
xác định bởi π(x, y, z) = (x, y).
Khi đó, π(B) = U ∪ {P }. Ta có L = π
−1
(P ) = {(0, 0, z)|z ∈ k} là một đa tạp con đóng
của B, còn π hạn chế thành đẳng cấu từ π
−1
(U) lên U.
Bây giờ ta xét ϕ : A

2
→ B xác định bởi ϕ(x, z) = (x, xz, z). Dễ thấy rằng ϕ là một
đẳng cấu. Giả sử ψ = π ◦ ϕ : A
2
→ A
2
; ψ(x, z) = (x, xz) . Gọi E = ψ
−1
(P ) = ϕ
−1
(L) =
V (X). Khi đó ψ : A
2
\E → U là một đẳng cấu nên ψ là một cấu xạ song hữu tỉ của
mặt phẳng vào chính nó.
Như vậy, phép nổ một điểm trong không gian afin chính là cấu xạ song hữu tỉ ψ mà
16
chúng ta vừa xây dựng. Áp dụng cho đường cong C = V (X) : Nếu ta kí hiệu C
0
= C∩U,
là một đa tạp con mở của C. G ọi C
′
0
= ψ
−1
(C
0
) và nếu C
′
là bao đóng của C

′
0
trong A
2
.
Gọi f : C
′
→ C là hạn chế của ψ lên C
′
. Khi đó, f là cấu xạ song hữu tỉ giữa C
′
và C.
Ta có các khẳng định sau:
1. Giả sử C = V (F ), F = F
r
+ F
r+1
+ + F
n
, F
i
là thành phần thuần nhất bậc
i, r = m
P
(C), n = deg(C). Khi đó, C
′
= V (F
′
), với F
′

= F
r
(1, Z) + XF
r+1
(1, Z) +
+ X
n−r
F
n
(1, Z).
2. Nếu đường thẳng X = 0 không tiếp xúc với C tại P và giả sử F
r
=
s

i=1
(Y −a
i
)
r
i
, khi
đó Y − α
i
X là các tiếp tuyến với C tạ i P. Với F như trên, f
−1
(P ) = {P
1
, P
2

, , P
s
},
trong đó P
i
= (0, α
i
) và
m
P
(C
′
) ≤ I(P
i
, C
′
∩ E) = r
i
.
Nếu P là một điểm bội thông thường trên C thì mỗi P
i
là một điểm đơn trên C
′
và ord
C
′
P
i
(x) = 1.
3. Tồn tại một lân cận afin W của P trên C sao cho W

′
= f
−1
(W ) là một đa tạp
con afin mở trên C
′
, f(W
′
) = W. Hơn nữa, Γ(W
′
) là mô-đun hữu hạn sinh trên
Γ(W ) và x
r−1
Γ(W
′
) ⊂ Γ(W ).
0.4.2 Phép nổ các điểm trong không gian xạ ảnh
Tổng quát hơn, trong không gian xạ ảnh ta có thể thực hiện phép nổ cho nhiều
điểm.
Giả sử P
1
, P
2
, , P
t
∈ P
2
. Chúng ta sẽ nổ tất cả các điểm này và thay chúng bằng
các đường thẳng xạ ảnh. Để cho đơn giản (sử dụng phép biến đổi tọa độ nếu cần) ta
giả sử P

i
= [a
i1
: a
i2
: 1].
Giả sử U = P
2
\{P
1
, P
2
, , P
t
}. Định nghĩa các ánh xạ f
i
: U → P
1
bởi công thức:
f
i
([x
1
: x
2
: x
3
]) = [x
1
− a

i1
x
3
: x
2
− a
i2
x
3
].
Gọi f = (f
1
, , f
t
) : U → P
1
× × P
1
(t lần) và gọi G là đồ thị của f.
Tiếp t heo, ta kí hiệu
B = V ({Y
i1
(X
2
− a
i2
X
3
) − Y
i2

(X
1
− a
i1
X
3
)|i = 1, , t}) ⊂ P
2
× P
1
× × P
1
,
trong đó X
1
, X
2
, X
3
là các tọa độ thuần nhất tro ng P
2
, còn Y
i1
, Y
i2
là tọa độ thuần
nhất trong P
1
thứ i.
Cách xây dựng các ánh xạ ϕ và ψ tương tự như trong trường hợp afin.

17
0.4.3 Phép biến đổi bậc hai
Trong mục này chúng ta xét một loại ánh xạ song hữu tỉ tổng quát hơn các phép
nổ trình bày ở trên. Đó là các phép biến đổi bậc hai của mặt phẳng xạ ảnh lên chính
nó, còn gọi là ánh xạ Cremona.
Trong P
2
ta gọi các điểm P = [0 : 0 : 1], P
′
= [0 : 1 : 0], P
′′
= [1 : 0 : 0] là các điểm
cơ sở; L = V (Z), L
′
= V (Y ), L
′′
= V (X) là các đường thẳng cá biệt. Chú ý rằng P là
giao điểm của L
′
và L
′′
, còn L đi qua P
′
và P
′′
. Kí hiệu U = P
2
\V (XY Z).
Định nghĩa 0.41. Phép biến đổi Q : P
2

\{P, P
′
, P
′′
} → P
2
định nghĩa bởi Q([x : y :
z]) = [yz : xz : xy], được gọi là phép biến đổi bậc hai chuẩn hay phép biến đổi Cremona
chuẩn. Với mỗi phép biến đổi tọa độ T ta gọi Q ◦ T là một phép biến đổi bậc hai.
Có thể thấy rằng phép biến đổi Cremona định nghĩa một tương ứng 1 − 1 giữa các
điểm của U lên chính nó. Vì rõ ràng, Q là ánh xạ ngược của chính nó do Q(Q([x : y :
z])) = [xzxy : yzxy : yzxz] = [x : y : z]. Nói cách khác phép biến đổi bậc hai là một
ánh xạ song hữu tỉ từ P
2
vào P
2
.
Trước khi nghiên cứu tác động của phép biến đổi bậc hai chuẩn lên một đường cong
xạ ảnh bất khả quy ta cần thêm một vài khái niệm:
Thứ nhất, nếu một đường cong xạ ảnh C định nghĩa bởi đa thức thuần nhất
F (X, Y, Z) thì đa thức G(X, Y, Z) = F (Y Z, ZX, XY ) được gọi là dạng biến đổi đại
số của F ; nếu G(X, Y, Z) = H(X, Y, Z).
˜
F (X, Y, Z), trong đó H(X, Y, Z) là đơn thức
theo X, Y, Z, và
˜
F không chia hết cho bất kỳ X, Y, Z, thì ta nói
˜
F là dạng biến đổi bậc
hai của F ; ta cũng gọi đường cong

˜
C định nghĩa bởi
˜
F là dạng biến đổi bậc hai của C.
Thứ hai, ta nói một đường cong C có vị trí tốt nếu không đường thẳng cá biệt nào
tiếp xúc với C t ại các điểm cơ sở; đường cong C bậc n với mult
P
(C) = r có vị trí hoàn
hảo nếu C có vị trí tốt và L giao hoành với C tại n điểm phân biệt mà không có điểm
nào là cơ sở, L
′
, L
′′
mỗi đường giao hoành với C tại đúng n − r điểm phân biệt mà
không có điểm nào là cơ sở.
Bây giờ ta nghiên cứu sự tác động của một phép biến đổi bậc hai chuẩn lên các
điểm kì dị của một đường cong.
Cho C là một đường cong xạ ảnh bậc n định nghĩa bởi đa thức F và các điểm cơ sở
P, P
′
, P
′′
có bội tương ứng là r
1
, r
2
, r
3
trên C. Giả sử
˜

F là dạng biến đổi bậc hai của F
và
˜
C là đường cong định nghĩa bởi
˜
F . Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong
[1].
(1) Z
r
1
là lũy thừa cao nhất của Z mà là ước của F
Q
.
18
(2) deg(
˜
F ) = 2n − r
1
− r
2
− r
3
,
˜
˜
F = F,
˜
F bất khả quy và
˜
C = V (

˜
F ).
(3)
˜
C có bội n − r
2
− r
3
, n − r
1
− r
3
, n − r
1
− r
2
, tương ứng tại P, P
′
, P
′′
.
(4) Nếu C có vị trí tốt thì
˜
C cũng có vị trí tốt.
(5) Nếu C có vị trí tốt và P
1
, P
2
, , P
s

không phải các điểm cơ sở trong
˜
C ∩ L thì
m
P
i
(
˜
C) ≤ I(P
i
,
˜
C ∩ L) và
s

i=1
I(P
i
,
˜
C ∩ Z) = r
1
.
(6) Nếu C có vị trí hoàn hảo thì
˜
C có các tính chất sau:
(a) Có một sự tương ứng bảo toàn bội, bảo toàn tính chất giữa các điểm bội của
˜
C trong U với các điểm bội của C trong U.
(b) P, P

′
, P
′′
là các điểm bội thông thường có số bội lần lượt là n, n − r
1
, n − r
1
.
(c) Trên
˜
C ∩ L
′
hoặc
˜
C ∩ L
′′
không có điểm nào không phải điểm cơ sở. Giả sử
trên
˜
C ∩ L có các điểm P
1
, , P
s
là các điểm không phải cơ sở thì m
P
i
(
˜
C) ≤
I(P

i
,
˜
C ∩ L) và
s

i=1
I(P
i
,
˜
C ∩ L) = r
1
.
(7) Với một đường cong xạ ảnh C như giả thiết có các điểm kì dị có bội bằng r
P
=
m
P
(C), kí hiệu
g
∗
(C) =
(n − 1)(n − 2 )
2
−

r
P
(r

P
− 1)
2
.
và ta có thể chứng minh được rằ ng đây là một số không âm.
Nếu C có vị trí hoàn hảo thì g
∗
(
˜
C) = g
∗
(C) −
s

1=1
r
i
(r
i
−1)
2
, với r
i
= m
P
i
(
˜
C) và
P

1
, , P
s
là các điểm khác cơ sở của
˜
C ∩ L.
Chúng ta thấy rằng các đường cong ở vị trí hoàn hảo sẽ giúp chúng ta thuận lợi hơn
trong việc tìm hiểu các điểm kì dị. Hơn nữa, mệnh đề sau cho chúng ta thấy rằng, luôn
có thể đưa một đường cong về vị trí hoàn hảo nhờ một phép biến đổi tuyến tính tọa
độ trong P
2
.
Bổ đề 0.42. ([1] , chương 7, Bổ đề 1) Cho C là một đường cong xạ ảnh phẳng bất khả
quy, P là một đ i ểm trên C. Khi đó, có một phép biến đổi tọa độ T sao cho F
T
có vị
trí hoàn hảo và T([0 : 0 : 1]) = P. 
Còn tính hữu hạn của quá trình giải kì dị được khẳng định trong mệnh đề:
Mệnh đề 0.43. ([1], chương 7, Địn h lí 2) Bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổi
bậc hai, một đường cong xạ ảnh bất khả quy biến đổi thành một đường cong chỉ có các
kì dị thường. 
19