Cực trị số phức và hình học

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

biểu diễn số phức z =x+yi, A(1; 1)biểu diễn số phức 1+i, B(−1;−3)

biểu diễn số phức−₁−_3i.

Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6^√5 và A, B là hai tiêu điểm.

ACngược hướng và AB=2AC.

Gọi M⁰ là điểm nằm trên elip sao cho A, B, M⁰thẳng hàng và M⁰khác phía A so với B.

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Với H(1; 2). Dễ thấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB.

Do đó P<small>min</small> ⇔ MHngắn nhất khi và chỉ khi M thuộc trục nhỏ của elip. Khi đó độ dài MH bằng một nửa trục nhỏ hay MH =b =√

Gọi điểm A(2;−₂), B(−1; 3) khi đó ta có AB =√

34. Kết hợp với (1) ta suy ra MA−MB= AB.⇒

Điểm M trùng với điểm B hoặc B là trung điểm của MA. Ta xét hai trường hợp sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Suy ra, min P =4^√2.

<b>Câu 8.</b> Cho số phức z thỏa mãn |z−2−3i| + |z−5+2i| = ^√34. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức|z+1+2i|. Khi đó tổng M+mbằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Đặt z =x+yivới x, y ∈ <b>R.</b>

Gọi I(x; y)là điểm biểu diễn của số phức z.

Ta có A(2; 3), B(5;−₂), C(−1;−₂) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z₁ = 2+3i, z2 = 5−2i, z3 = −1−2i. Khi đó AB = √

34 và

|z+1+2i| = CI.

Theo đề bài thì AI+BI =√

34= ABnên I thuộc đoạn thẳng AB. Phương trình của đường thẳng AB là 5x+3y−19=0.

<b>Câu 9.</b> Cho các số phức z₁và z2thỏa mãn các điều kiện|z₁−i| = |z₁−1+i và|z2−1| = |z2+2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= |z₁−z₂| + |z₁−3| + |z₂−3|?

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bốn điểm M, N, A₁, A₂thẳng hàng.

Gọi∆1 là đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với d₁, ta có phương trình đường thẳng ∆1 là

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Gọi M(a; b) là điểm biểu diễn số phức z, suy ra M thuộc đường trịn (T) tâm I(3;−2) bán kính R =3.

Gọi A(1; 2), B(5; 2)và E(3; 2)là trung điểm của AB. Ta có P=MA+MB. Khi đó P<small>2</small> = (MA+MB)² 62(MA²+MB²) =4ME²+AB².

Nhận thấy E nằm ngồi đường trịn (T), gọi D là giao điểm của tia đối của tia IE và đường tròn(T)suy ra ME 6 ED, với mọi M

⇒P 62^√53, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M≡ D. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là P<small>max</small> =2^√53.

Để ý đường thẳng 3x−_4y+12 = 0 tiếp xúc với đường tròn(x−₁)²+ (y−₁₀)² = 25, nên hệ trên chỉ có một cặp nghiệm(x; y), suy ra chỉ có một số phức thỏa yêu cầu đề bài.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

• Đặt E(−2; 0), F(0;−2), A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6), M(x, y)biểu diễn cho số phức z.

• Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực∆ : y= xcủa đoạn EF và P =AM+BM+CM. • Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vng góc của B lên đường thẳng∆.

<b>–</b> Với M⁰tuỳ ý thuộc∆, M<small>0</small>khác M. Gọi A⁰là điểm đối xứng của A qua∆. Nhận thấy rằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>Câu 14.</b> Cho hai số phức z₁, z2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện|z−1| = ^√34 và|z+1+mi| = |z+m+2i|trong đó m∈ <b>R, sao cho</b>|z₁−z₂|lớn nhất. Khi đó giá trị của|z₁+z₂|bằng

<b>Hướng dẫn giải</b>

Đặt z= x+yi, x, y∈<b>R.</b>|z−₁| = ^√_{34 suy ra biểu diễn của z thuộc đường tron tâm I}(1; 0), bán kính

34, |z+1+mi| = |z+m+2i| ⇔ (2m−2)x+ (4−2m)y+3 = 0 (d) nên biểu diễn của z thuộc đường thẳng d, dễ thấy d luôn đi điểm K

Biểu diễn của z<small>1, z2</small>là giao điểm của đường tròn tâm I và đường thẳng d, dễ thấy|z1−z2|lớn nhất khi d đi qua I, khi đó z₁= −4−3i, z2=6+3i và|z₁+z2| = 2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>Câu 15.</b> Cho số phức z thỏa mãn|2z−3−4i| =10. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

Ta nhận thấy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn

|z+1−i| + |z−₃+i| = 6 chính là đường elíp(E) có độ dài trục lớn bằng 2a=6, trục nhỏ bằng 2b=4 với A(−1; 1)và B(3;−1)là hai đỉnh trên trục lớn.

Xét điểm I(−1; 4) nằm ngồi elíp(E)và I nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Ta có P = |z+1+4i| = MI với mọi điểm M ∈ (E). Từ đó suy ra giá

<b>Câu 17.</b> Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M⁰; số phức z(4+3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N⁰. Biết rằng M, M⁰, N, N⁰là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của|z+4i−5|.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>Câu 19.</b> Cho số phức z = x+yivới x, y ∈ <b>R thỏa mãn</b>|z−1−i| ≥ 1 và|z−3−3i| ≤ ^√5. Gọi m, Mlần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=x+2y. Tính tỉ số ^M

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z, I(1; 1) là điểm biểu diễn số phức 1+ivà J(3; 3)là điểm biểu diễn số phức 3+3i.

Theo giả thiết |_z−₁−_i| ≥ ₁ ⇔ _{I M} ≥ ₁ ⇔ _M

khơng nằm trong (có thể thuộc) đường trịn (C) có nhất hoặc lớn nhất khi d tiếp xúc với(C⁰)đồng thời Mphải khơng nằm trong hình trịn(C).

Với P =4⇒ d : x+2y−4=0. Vì M là tiếp điểm nên J M ⊥d⇒ J M : 2x−y−3 =0. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

⇒ Mkhông nằm trong đường trịn(C).

Với P =14⇒ d : x+2y−14=0. Vì M là tiếp điểm nên J M ⊥d⇒ J M : 2x−y−3 =0. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Gọi M(x; y)là điểm biểu diễn số phức z=x+yi, x, y∈ <b>R. Ta có</b>

|z−1+3i| = |z+3−i| ⇔ x−y=0. Gọi A(1; 2), B(−1; 1), khi đó P= ||z−1−2i| − |z+1−i|| = |MA−MB|.

Bài tốn trở thành: Tìm M thuộc đường thẳng d : x−y =0 sao cho|MA−MB|lớn nhất. Xét P(x, y) = x−y, ta có P(A) ·P(B) = 2>0 nên A, B nằm cùng phía đối với d.

Gọi I là giao điểm của AB với d, ta tìm được I(3; 3).

Ta có|MA−MB| ≤ AB. Đẳng thức xảy ra khi M ≡ I. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi tọa độ M là

<b>Câu 25.</b> Gọi z₁, z2 là hai trong tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện |(i−1)z−3i+3| = 2 và

|z₁−z₂| = _{2. Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P} = |z₁| + |z₂|. Giá trị của S=m³+n³bằng

<b>Hướng dẫn giải</b>

Ta có:|(i−1)z−3i+3| =2⇔ |(i−1)(z−3)| =2⇔ |z−3| = ^√2. Gọi M là điểm biểu diễn của z.

Ta có M nằm trên đường trịn(C)tâm I(3; 0), R=√

Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho z₁, z₂. Ta có|z1−z2| =2 ⇔ AB=2. Gọi H là trung điểm AB ta có tam giác I AB vng tại I (theo định lí Pitago

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Mặt khác theo cơng thức độ dài đường trung tuyến ta có

<b>Câu 26.</b> Cho z =x+yivới x, y ∈<b>R là số phức thỏa điều kiện</b>|z+2−3i| ≤ |z+i−2| ≤5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x²+y²+8x+6y. Tính M+m.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<b>Câu 27.</b> Cho z<small>1, z2</small>là hai số phức thỏa mãn hệ thức

<b>Câu 28.</b> Cho số phức z thỏa mãn |z−1+2i| = 5. Phép tịnh tiến vec-tơ #»v(1; 2) biến tập hợp biểu diễn số phức z thành tập hợp biểu diễn số phức z⁰. Tìm P =max|z−z⁰|.

<b>A P</b> =15. <b>B P</b> =20−^√5. <b>C P</b>=10+√

<b>Hướng dẫn giải</b>

Xét hai đường tròn(I; 5)và(I⁰; 5)với I(1;−2), I⁰(2; 0).

Khi đó max|z−z⁰| = ABvới AB là các giao điểm của đường thẳng I I⁰ với (I; 5)và(I⁰; 5) (A không nằm trong(I⁰; 5)và B không nằm trong

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<b>Câu 29.</b> Cho hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn|z1−1+2i| = 1, |z2−3−i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<b>Câu 32.</b> Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn|iz+1+2i| = 3 và biểu thức T = 2|z+5+

2i| +₃|z−_3i|đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T. Giá trị của tích Mn là

BA <0 ⇒ 4ABCtù tại B. Do đó|z+2−i đạt giá trị nhỏ nhất khi M trùng với B hay z = −i+i. Vậy m =BC =1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Gọi A(3;−3), B(1;−3), C(3;−5)và M(x; y)là điểm biểu diễn số phức z= x+yi. Theo giả thiết ta có|z−3+3i| = ^√2⇔ MA =√

2 và MB+MCđạt giá trị nhỏ nhất.

Yêu cầu của bài toán tương đương với tìm điểm M thuộc đường trịn tâm A bán kính R = √

2 để MA+MBnhỏ nhất.

Ta có MB+MC ≥BC =2^√2, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn BC.

Phương trình đường thẳng BC : x+y+2=0, phương trình đường trịn tâm A bán kính^√2 là Suy ra quỹ tích điểm M là đường elip với trục lớn 2a=

10 và hai tiêu điểm A(−1; 0), B(3; 4).

Nhận thấy, I là trung điểm của AB, suy ra I là tâm đối xứng của elip. Mặt khác P= |z−1+2i| = I M, suy ra P<small>min</small>=b, với b là bán trục nhỏ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Giả sử z = x+yi, z⁰ = x⁰+y⁰i với x, y, x⁰, y⁰ ∈ <b>R. Từ giả thiết ta có</b> (x−3)²+ (y−2)² = 1 và 2x⁰+4y⁰−1 = 0. Như vậy tập các điểm biều diễn z là đường trịn(C)tâm I(3; 2), bán kính R =1 và tập các điểm biểu diễn z⁰là đường thẳng d : 2x+4y−1 =0.

Gọi A(x; y)và B(x⁰; y⁰)lần lượt là điểm biểu diễn của z và z⁰, C= 5

<b>Câu 38.</b> Cho số phức z thỏa mãn |z+2−i| + |z−4−7i| = 6^√2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của|z−1+i . Khi đó P= Ma²+m²bằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Giả sử z = x +yi với x, y ∈ <b>R. Gọi P, A, B lần lượt là</b>

điểm biểu diễn cho các số phức z,−2 +i, 4+7i. Khi đó

Dễ thấy tam giác KAB là tam giác có ba góc nhọn, do đó hình chiếu vng góc H của điểm K trên đường thẳng AB nằm trong đoạn AB, do đó m=KH =d(K, AB).

Mặt khác, AM+BM ≥ AB = 2^√5, kết hợp với (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm

Kiểm tra ta thấy # »

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Gọi M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho z, z₁và z₃. Khi đó: Điểm A nằm trên đường trịn(C1)có tâm I₁(3; 4), bán kính R₁ =1; Điểm B nằm trên đường trịn(C3)có tâm I3(6; 8), bán kính R3=1 Và điểm M nằm trên đường thẳng d : 3x−_2y−₁₂ =0.

Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của P= MA+MB+2.

Ta kiểm tra thấy(C₁)và(C₃)nằm cùng phía và khơng cắt đường thẳng d : 3x−_2y−₁₂=0. Gọi đường trịn(C₁⁰)có tâm I₁⁰ và bán kính R⁰₁ =1 đối xứng với(C1)qua d.

Điểm A⁰ đối xứng với A qua d thì A⁰thuộc(C₁⁰).

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Gọi M(x; y)là điểm biểu diễn của z, lúc đó M thuộc đường thẳng d : 2x−6y+1=0.

Gọi A(2; 4), B(4; 6). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của MA+MB. Kiểm tra được A, B nằm cùng phía với d nên gọi A⁰ là điểm đối xứng với A qua d. Ta tìm được A⁰ 39

<b>Câu 43.</b> Cho số phức z thỏa mãn(3−7i)|z| = ¹⁷⁶⁻⁸²ⁱ

z ⁺⁷⁺^{3i. Tìm giá trị nhỏ nhất của}^|(¹⁺ⁱ⁾^z⁺²⁻ⁱ ^.

<b>A 5</b>^√2−^√5. <b>B 6</b>^√2−^√5. <b>C 3</b>^√2−^√5. <b>D</b> ^√5.

<b>Hướng dẫn giải</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Suy ra tập hợp số phức z là miền nghiệm(E1)của bất phương trình x+5y ≥3 (phần gạch sọc).

<b>Câu 45.</b> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình^√3x−y−2018=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<b>Hướng dẫn giải</b>

Gọi z =x+yivới x, y ∈ <b>R có điểm biểu diễn là M</b>(x; y).

Số phức 1+i, 5+2i có điểm biểu diễn lần lượt là A(1; 1), B(5; 2).

Dựa vào hình vẽ ta có MA+MB ≥ AB. Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB và đường tròn tâm I.

<b>Câu 48.</b> Cho số phức z = x+iy (x, y ∈ <b>R</b>) thỏa mãn |z²+1| = |(z+i)(z+2)|. Khi z có mơ-đun nhỏ nhất hãy tính giá trị của biểu thức P =x²+2y.

• Với z thỏa|z−i| = |z+2|thì tập hợp z là đường trung trực d của đoạn thẳng AB với A(0; 1), B(−2; 0). Khi đó z có mơ-đun nhỏ nhất khi điểm biểu diễn của z là hình chiếu vng góc của

<b>Câu 49.</b> Với các số phức z thỏa mãn|(1+i)z+1−7i| = ^√2, hãy tìm giá trị lớn nhất của|z|.

<b>A max</b>|z| =_3. <b>B max</b>|z| =_4. <b>C max</b>|z| =_7. <b>D max</b>|z| =_6.

<b>Hướng dẫn giải</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Vậy tập hợp số phức z thoả điều kiện đề bài là đường thẳng d : x−y+2=0.

Gọi∆ là đường thẳng qua O và vuông góc với d. Phương trình đường thẳng ∆ : x+y=0. Gọi H =∆∩d. Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình Độ dài OH là mơ-đun nhỏ nhất của số phức z thỏa yêu cầu bài.

Vậy số phức thoả yêu cầu bài là z= −1+i.

•Gọi M<small>1, M2</small>lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z<small>1, z2</small>. Ta có M₁thuộc đường tròn(C): (x+5)²+y² =5 và M2thuộc đường thẳng∆ : 8x+6y−

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Gọi A(x; y)là điểm biểu diễn của số phức z=x+iy. Ta có

Nên điểm A là điểm thỏa mãn AF₁+AF₂ =10, với F₁(4; 0)và F₂(−4; 0). Do đó tập hợp các điểm A là e-líp(E)với tiêu cự 2c =8, độ dài trục lớn 2a=10, độ dài trục nhỏ 2b =2^√a<small>2</small>−c<small>2</small> =6.

Khi đó m=OAmin=b =3 và M =OAmax=a =5. Vậy M+m=8.

64−25 = 39. Vậy, GTNN cần tìm là ^√39, đạt được khi MA = MB = 4, tức M là giao điểm của đường trung trực của AB và đường trịn tâm A, bán kính 4.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<b>Câu 55.</b> Cho hai số phức z₁;z₂thỏa mãn|z1−3i+5| = 2 và|iz2−1+2i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |2iz₁+3z2|.

<b>Câu 56.</b> Cho các số phức z<small>1, z2</small> thỏa mãn|z₁−₁+2i| = _{1 và}|z₂−₂+i| = |z¯₂+i . Tìm giá trị nhỏ nhất P_mincủa biểu thức P= |z1−z2|.

<b>A Pmin</b>=√

2−1. <b>B Pmin</b>=√

2+1. <b>C P</b><small>min</small> =0. <b>D P</b><small>min</small> =1.

<b>Hướng dẫn giải</b>

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z<small>1, z2</small> trên mặt phẳng phức. Từ giả thiết, ta suy ra M nằm trên đường trịn(C)có tâm I(1;−2), bán kính bằng R=1, N nằm trên đường thẳng d : x−y−1=0 (là đường trung trực của đoạn thẳng mà các điểm đầu mút là điểm biểu diễn của các số phức 2−i

Đặt z = x+yi với x, y ∈ <b>R. Biến đổi giả thiết ta được x</b>−y+3 = 0(d). Gọi A(3;−2)là điểm biểu diễn của số phức 3−2i, M là điểm biểu diễn của z. Khi đó, M thuộc đường thẳng(d) và P = AM.

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Vì|z| = |z|nên|z| = |z−1+2i| ⇔ |z| = |z−1+2i|.

Gọi A, M lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z và 1−2i. Từ đẳng thức trên suy ra khoảng cách từ điểm A đến O bằng khoảng cách từ điểm A đến M, suy ra A thuộc đường trung trực của OM.

Điểm thuộc đường trung trực của OM mà cách O ngắn nhất đó là trung điểm của OM, tương ứng là điểm biểu diễn của số phức z= 1

Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z−3+3i| = 2 là đường tròn (C) tâm I(3;−3), bán kính R = 2. Như vậy bài tốn trở thành: “Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm A(0; 1) đến một điểm trên đường trịn(C)”. Và đó chính là khoảng cách từ điểm A đến điểm Q như Gọi z₀ =1+i^√2 có điểm biểu diễn là I^1;^√2^.

Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z₁,z₂. Vì|z1−z2| =2 nên I là trung điểm của AB. Ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Tập hợp điểm của số phức z là đường thẳng 6x+8y−25 =0. Vậy mô-đun nhỏ nhất của số phức z là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O lên đường thẳng.

Xét đường thẳng qua O và vng góc với đường thẳng 6x+8y−25 = 0 có phương trình là

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường trịn(C₂)có tâm I₂(2;−₃), bán kính R=2.

|z−w| = ^p(x−a)<small>2</small>+ (y−b)<small>2</small> đây là biểu thức xác định khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Ta có|z1−z2| = |z1−iz1| = |1−i| · |z1| = ^√2|z1|. Do đó P lớn nhất khi và chỉ khi|z1|lớn nhất. Gọi M(x; y)là điểm biểu diễn số phức z1. Ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Vậy điểm biểu diễn hai số phức z và w trên mặt phẳng tọa độ Oxy tương ứng là điểm thuộc hình trịn(x−3)²+ (y−2)² =1 và nửa mặt phẳng được giới hạn bởi phương trình x+y =0. Bài tốn u cầu tìm giá trị nhỏ nhất của P= |z−w| = p

<b>Câu 66.</b> Cho hai số phức z₁, z₂ có điểm biểu diễn lần lượt là M₁, M₂ cùng thuộc đường trịn có phương trình: x²+y²=1 và|z₁−z2| = 1. Tính giá trị biểu thức P=|z₁+z2|.

Ta có M₁, M₂thuộc đường trịn tâm O(0; 0)và bán kính R=1.

|z1−z2| = 1⇔ M1M2 =1 ⇔ 4OM1M2là tam giác đều cạnh bằng 1. Gọi H là trung điểm M₁M₂⇒OH =

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

<b>CỰC TRỊ SỐ PHỨC ĐẠI SỐ</b>

<b>Câu 1.</b> Cho số phức z thỏa mãn|_z| = _{1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T} = |z+2| +₂|_z−₂|

<b>A max T</b> =5^√2. <b>B max T</b> =2^√10. <b>C max T</b> =3^√5. <b>D max T</b> =2^√5.

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

<b>Câu 5.</b> Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện |z−3−4i| = ^√5 và biểu thức M = |z+2|²− |z−i ²đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z−2−ibằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

<b>Câu 7.</b> Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= |z+1| + |z²−z+1|. Giá trị của M·mbằng

5^, ^∀^m ^∈<b>R. Dấu dẳng thức xảy ra khi m</b> =0. Vậy giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức ^z2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M(z), N(z), A(−2; 1), B(2;−1), C(2; 1), khi đó MC=NB. Khi đó ta được MA+MC =10, quỹ tích điểm M là Elip với

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

(phương trình Elip với hệ trục tọa độ IXY với I(0; 1)là trung điểm của đoạn AC)

Áp dụng công thức đổi trục tọa độ

21 cos t^2 = −4 cos²t+2^√21 cos t+26= f (t). Xét hàm số f (t) = −4 cos²t+2^√21 cos t+26, đặt cos t =a∈ [−_{1; 1}],

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Từ bảng biến thiên trên suy ra

|z| = ^qcos<small>2</small><i>2α</i>+ (<i>sin α</i>−<i>cos α</i>)<small>2</small>

= ^p1−sin²<i>2α</i>+1−<i>2 sin α cos α</i>

<i>Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2α</i> = −1

2^{. Vậy giá trị lớn nhất của}^|^z^|^là

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

Suy ra P =|z1| + |z2| ≤ 2^√26, dấu bằng xảy ra khi

dấu “=” xảy ra khi ad =bc ≥0. Áp dụng bất đẳng thức này với a = x+1, c=1−x, b = d= yvà tính chất của giá trị tuyệt đối ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

Khi đó P ≥ f(y) ≥ 4+2^√3, ∀y ∈ [−2; 2]. Dấu bằng xảy ra ⇔

<b>Câu 17.</b> Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M⁰. Số phức z(4+3i)và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N⁰. Biết rằng M, M⁰, N, N⁰ là bốn đỉnh của

Đặt z =a+bi. Khi đó, các điểm M, M⁰, N, N⁰ lần lượt có tọa độ M(a, b), M⁰(a,−b), N(4a−_{3b, 3a}+

4b), N⁰(4a−3b,−3a−4b). Vì M, M⁰, N, N⁰ lần lượt là 4 đỉnh của một hình chữ nhật nên có 2 trường hợp xảy ra.

• Trường hợp 1: Tứ giác MM⁰N⁰Nlà hình chữ nhật. • Trường hợp 2: Tứ giác MM⁰NN⁰là hình chữ nhật.

Ta có P= |z+4i−5| = |z− (5−4i)|. Đặt K(5;−4). Khi đó P= |MK|. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật.

Vì M đối xứng với M⁰ qua trục Ox, N đối xứng với N⁰qua trục Ox nên I thuộc trục Ox hay điểm I có tung độ bằng 0.

Trường hợp 1: Tứ giác MM⁰N⁰Nlà hình chữ nhật.

Tung độ của điểm I bằng 0 nên−3a−3b =0⇔ a+b =0. Do đó điểm M thuộc đường thẳng d₁: x+y=0.

Đoạn MK ngắn nhất có độ dài bằng khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng d₁và bằng

</div>