skkn toán thcs
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.22 MB, 158 trang )
<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">
<b>I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN </b>
Trong chương trình giáo dục phổ thơng Tốn học là mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, khơng thể thiếu trong đa số các lĩnh vực của cuộc sống và các môn khoa học khác, những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong tốn học trở thành cơng cụ để học tập những môn khoa học khác và nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau, đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân. Mơn Tốn có năng lực tư duy lơgic, phát huy tính linh hoạt, sáng tạo trong học tập và mơn Tốn là một trong những mơn học được coi là khó đối với nhiều học sinh. Từ xa xưa con người đã biết đến toán học thơng qua đo đạc và tính tốn,… Vì thế có
<i>thể nói “Tốn học là chìa khố của mọi ngành khoa học”. Vậy làm thế nào để </i>
học tốt môn tốn? Làm thế nào hồn thành tốt các dạng bài tập đã được học kiến thức cơ bản? Bài tập tốn học có vai trị quan trọng trong mơn toán, giúp đánh giá hoạt động của học sinh thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phố biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngơn ngữ. Vì vậy, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, việc giải toán phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục qua tất cả các lớp. Việc đó là một q trình mị mẫm, tìm tịi dựa trên hiểu biết của người giải tốn. Có người phải mị mẫm rất lâu thử hết cách này đến cách khác trong khi đó lại có người giải bằng cách rất nhanh, chính xác. Vậy đâu là bí quyết để giải tốn nhanh gọn, chính xác? Cách rèn kỹ năng như thế nào? Những con đường, hướng giải mà người giải toán trải qua để đi đến lời giải thỏa đáng là gì? Đó là câu hỏi đặt ra cho nhiều người giải toán và nhiều thế hệ học sinh.
Để đáp ứng mục tiêu Chương trình Giáo dục phổ thơng 2018 địi hỏi học sinh phải thực sự nắm được kiến thức cơ bản, biết phát huy năng lực của bản thân, có phương pháp tự nghiên cứu và phương pháp học tập hợp lý thì mới có thể làm chủ được kiến thức. Bên cạnh đó thì giáo viên có vai trị hết sức quan trọng, ngồi việc giúp các em nắm được những kiến thức lý thuyết toán thì việc bồi dưỡng cho các em về mặt phương pháp giải các loại toán là rất quan trọng. Nó giúp các em nhận dạng, tìm tịi đường lối giải một cách nhanh chóng, hình thành kỹ năng phát triển tư duy ngày càng sâu sắc hơn và qua đó các em u tốn hơn, tự tin hơn trong cuộc sống tương lai.
Trong chương trình tốn Trung học cơ sở nói chung và Tốn 9 nói riêng nội dung kiến thức căn thức là một khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó
</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">được sử dụng nhiều trong q trình dạy Tốn ở THCS và THPT. Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các bậc học sau.
<i>Trong toán học: “Giải phương trình vơ tỷ” là một vấn đề phức tạp; thế </i>
nhưng nó lại góp phần giải quyết các bài toán phức tạp sau này. Mặc dù là lớp cuối cấp nhưng khi gặp các phương trình này khơng ít học sinh cịn “lúng túng, khơng biết phải bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào?” từ bài tập đơn giản đến phức tạp, từ các bài tập mang tính chất củng cố kiến thức đơn lẻ đến các bài
<b>tập mang tính tổng hợp, các em thường gặp khó khăn trong việc tìm lời giải. </b>
Xuất phát từ quan điểm nêu trên, vấn đề giúp học sinh có phương pháp và
<i>kỹ năng giải tốt các bài tốn về “Phương trình vơ tỷ”, từ đó xây dựng một hệ </i>
thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao các dạng toán này là một việc làm hết sức cần thiết với mỗi giáo viên dạy bộ mơn Tốn 9. Qua nhiều năm tham gia giảng dạy, với những kinh nghiệm được đúc kết từ thực tiễn, học hỏi từ đồng nghiệp
<i><b>và tham khảo tài liệu, tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật giải phương trình vơ tỷ” </b></i>
Sáng kiến này xác định nội dung, phương pháp, kĩ thuật và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trên cơ sở hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về phương trình vơ tỷ, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học mơn tốn. Phát huy năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy logic toán học, năng lực giải quyết vấn đề đồng thời các em được rèn các phẩm chất u thích mơn học, chăm chỉ, cẩn thận, …
Tôi nhận thấy nếu xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải bài tập theo hướng rèn luyện kỹ năng giải tốn và sử dụng có hiệu quả hệ thống các phương pháp, kỹ thuật thì có thể phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học tốn ở các trường THCS.
<b>II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP </b>
<b>1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến: * Thuận lợi: </b>
+ Trong chương trình Giáo dục phổ thơng 2006 và chương trình Giáo dục phổ thông 2018 luôn lấy học sinh làm trung tâm, đặc biệt được chú trọng phát triển năng lực và phẩm chất, các môn thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên điển hình là mơn tốn ln thu hút được số đơng học sinh tham gia.
+ Với học sinh trường THCS Hải Long phần lớn các em có ý thức học, các em nắm được các kiến thức cơ bản, chăm chỉ làm các bài tập mà thầy cô giao cho.
</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">+ Về phía giáo viên, hầu hết các thầy cơ có trình độ chun mơn, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và ln có ý thức cầu tiến.
+ Nhà trường có bề dày về dạy tốt và học tốt, cơ sở vật chất tốt, mỗi phịng học đều có máy chiếu hoặc ti vi thơng minh và máy tính hỗ trợ việc dạy và học của giáo viên và học sinh.
+ Giáo viên thường xuyên được tham gia các buổi tập huấn chuyên môn nghiệp vụ do Sở giáo dục và Phòng giáo dục tổ chức, thường xuyên dự giờ đồng nghiệp để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ.
<b>* Khó khăn: </b>
Qua trao đổi với các đồng nghiệp tôi thấy thời lượng dành cho nội dung này có hạn, một số giáo viên chưa hiểu hết năng lực học sinh của mình, đơi lúc phương pháp chưa phù hợp với đối tượng khiến các em chán nản, không hứng thú, tiết toán trở thành một áp lực đối với các em, và cũng do trình độ của học sinh ở các lớp khơng đều nhau nên khó đi sâu vào các dạng bài tập nhằm bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh.
Trong q trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kĩ năng giải tốn về phương trình vơ tỷ là do:
- Khơng nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung bài học một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng.
- Khơng chịu đề cập bài tốn theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng hết các dữ kiện đã cho của bài toán.
- Học sinh không biết khai thác từ đâu và trên cơ sở nào để trình bày bài tốn. Khơng biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải tốn, khơng biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động.
- Khơng chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài tốn khác, các em chưa tìm thấy được sau mỗi bài tốn khơng chỉ là lời giải mà còn ẩn chứa nhiều điều bất ngờ thú vị.
- Đặc biệt phương trình vơ tỷ thường gặp ở những câu vận dụng cao trong các đề kiểm tra và đề thi tuyển sinh, đề thi chọn học sinh giỏi các cấp nên đối với học sinh đại trà thường hay bỏ qua hoặc chưa đầu tư thời gian thích đáng cho các phần bài tập này.
- Trong quá trình giảng dạy một số giáo viên không hay để ý tới dạng tốn phương trình vơ tỷ này vì dạng tốn này đòi hỏi học sinh nắm kiến thức cơ bản
</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">một cách sâu sắc, biết tổng hợp kiến thức nhất là địi hỏi phải có sự tư duy biến đổi linh hoạt.
- Khi tôi chưa áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, thực tế điều tra kết quả về vấn đề giải phương trình vơ tỷ đối với các em học sinh ở các năm học trước tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh giải đúng còn hạn chế.
Bảng số liệu trước khi thực hiện đề tài:
<i>Bảng: Kết quả điều tra đối với học sinh lớp 9A, 9B trường THCS Hải Long </i>
<i>Bảng: Kết quả điều tra đối với học sinh lớp 9A, 9B trường THCS Hải Long học kì 2 từ tháng 5 năm học 2020-2021 đến tháng 5 năm học 2021-2022 về thái độ đối với nội dung giải phương trình vô tỷ. </i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5"><b>2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến: 2.1. Vấn đề cần giải quyết. </b>
+ Khơi gợi trong các em tình u với bộ mơn Tốn, sự cần thiết phải học mơn Tốn thơng qua nhiều con đường.
+ Học sinh cần phải nắm vững kiến thức cơ bản về dạng tốn phương trình vơ tỷ, đặc biệt là phương pháp và kỹ năng giải dạng toán này.
+ Giáo viên phải nghiên cứu tài liệu, các chuyên đề để cung cấp cho các em những kiến thức, phương pháp và kĩ năng cần thiết.
+ Trong quá trình dạy và học giáo viên thường xuyên yêu cầu học sinh tự đặt câu hỏi và tự trả lời các câu hỏi vì sao, tại sao…thơng qua các câu hỏi gợi ý yêu cầu học sinh trình bày, tận dụng các phương tiện dạy học như tivi, điện thoại, máy chiếu để trình chiếu các định hướng của giáo viên hay bài làm của học sinh để rút kinh nghiệm bài làm cho học sinh… Đặc biệt sự hỗ trợ từ máy tính cầm tay Casio FX 570ES, FX 580VN, FX 880VN,...
+ Giao bài tập về nhà cho học sinh tự làm và có gợi ý cách làm với từng đối tượng học sinh thông qua phần mền SHub Classroom, Microsoft Teams, OLM,…(Phụ lục có ảnh chụp minh chứng)
<b>2.2. Tính mới, sự khác biệt giữa giải pháp cũ và giải pháp mới. </b>
Đáp ứng nhu cầu đổi mới trong dạy và học nhằm phát triển năng lực, phẩm chất học sinh. Đặc biệt phát triển các năng lực tư duy và lập luận, năng lực tính tốn, tự học, giải quyết vấn đề,...
Khơng chỉ phân dạng mà cịn hướng dẫn học sinh để các em tự tìm ra định hướng làm cơ sở để lựa chọn lời giải hay và sáng tạo.
Các bài tập trong mỗi dạng được sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó nhằm dẫn dắt học sinh tư duy logic tự tìm hướng giải toán.
Phân dạng bài tập riêng cho các đối tượng học sinh và chỉ ra các sai lầm học sinh hay mắc phải.
Trước đây việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặt kiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, người giáo viên thường chú trọng đến số lượng bài tập. Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy dạy mà không tự giải được các bài tập khác. Việc phát triển bài tốn ít được học sinh quan tâm đúng mức. Thực tế dạy học cho thấy chỉ một số học sinh có lực học giỏi thường tự đúc kết những kiến thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, cịn học sinh có lực học khá trở xuống, gặp nhiều khó khăn, khơng tự trình bày được bài.
Để có kĩ năng giải bài tốn phương trình vơ tỷ cần phải qua quá trình luyện
</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">tập. Tuy rằng, khơng phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng, việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như học sinh nắm chắc được lí thuyết và biết khéo léo khai thác từ một bài tập này sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phương pháp học tập cho mình.
Ln diễn ra sự tương tác giữa giáo viên với học sinh hoặc giữa học sinh với học sinh qua các câu hỏi; ''Vì sao, Tại sao?'' để học sinh trả lời cho đến khi câu trả lời là "theo đề bài, theo tính chất" thì mới kết thúc vấn đề. Sử dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy, chiếu bài tập, các gợi ý, tổng hợp các cách trình bày khác nhau, sử dụng máy tính cầm tay Casio FX570, FX580, FX880 để hỗ trợ trong q trình giải bài tốn.
Nếu người thầy biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì học sinh khơng những không ái ngại mà sẽ hứng thú với việc học. Khi đó việc học tốn sẽ thoải mái hơn, có như thế mới đem lại thành cơng trong việc dạy học mơn tốn.
<b>* Cơ sở lý luận </b>
<b>Năng lực tư duy và lập luận Toán học </b>
• Tư duy và năng lực tư duy
<b>- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là quá trình phản ánh tích </b>
cực thế giới khách quan. Tư duy là một quá trình sáng tạo giúp con người hình thành nên tri thức nhận biết vấn đề và cách giải quyết những vấn đề đó.
- Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau:
+ Tính có vấn đề của tư duy + Tính gián tiếp của tư duy
+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
+ Tư duy có mối quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ
+ Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
- Q trình tư duy và các thao tác cơ bản của tư duy: Tư duy là hoạt động trí tuệ, với q trình bao gồm bốn bước cơ bản sau:
+ Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy.
+ Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
+ Xác minh giả thuyết trong thực tiễn.
+ Quyết định đánh giá kết quả và đưa ra sử dụng:
</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác: Phân tích - Tổng hợp; So sánh - Tương tự, Khái quát hóa - Đặc biệt hóa; Trừu tượng hóa - Cụ thể hóa
- Những loại hình tư duy thường gặp trong dạy học Toán: Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát triển các loại tư duy:
+ Tư duy logic + Tư duy thuật toán + Tư duy trừu tượng + Tư duy biện chứng + Tư duy phê phán + Tư duy sáng tạo
- Năng lực tư duy: Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn. Năng lực tư duy của con người vừa như là yếu tố bẩm sinh, sẵn có, vừa như là sản phẩm của lịch sử phát triển xã hội. Cái vốn có ấy, thơng qua rèn luyện trong thực tiễn mới trở nên sức mạnh thật sự có hiệu quả của con người và xã hội.
• Khái niệm năng lực tư duy và lập luận Toán học
- Tư duy Tốn học: Mơn Tốn vừa có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng, vừa có tính logic và tính thực nghiệm; mơn Tốn có vai trị quan trọng trong phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh:
+ Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngơn ngữ chính xác. Do đặc điểm của khoa học Tốn học, mơn Tốn có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách rời ngơn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngơn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngơn ngữ được hình thành nhờ có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác. Có thể thực hiện việc rèn luyện này theo ba hướng có liên hệ chặt chẽ với nhau là làm cho học sinh hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic; phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa; phát triển khả năng chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh.
+ Thứ hai là phát triển khả năng suy đốn và tưởng tượng thơng qua việc làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen…, tập cho học sinh khả năng hình dung
</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">được những đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc khơng có trong đời sống.
+ Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Mơn Tốn địi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,… do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động này.
+ Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ. Qua dạy học mơn Tốn, có thể rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ là: Tính linh hoạt; tính độc lập; tính sáng tạo.
Từ những đặc điểm trên, có thể thấy, trong dạy học mơn Tốn, việc phát triển “Năng lực tư duy và lập luận toán học” cho học sinh là một việc rất quan trọng. Trong đó, “Năng lực tư duy” tốn học là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải của bài tốn, khái quát, mở rộng, phát triển bài tốn, cịn lập luận được xem là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy và là một thành phần của năng lực tổng hợp. Khi dạy học giải phương trình vơ tỷ, việc rèn luyện và phát triển “Năng lực tư duy và lập luận toán học” cho học sinh để giải bài toán càng rất cần thiết. Bởi vì một bài toán, một bài tập cụ thể chỉ có thể giải được khi học sinh có hướng tư duy đúng và lập luận logic.
- Các dạng lập luận thường dùng trong q trình tư duy Tốn học: Suy luận là một hình thức cơ bản của tư duy đang nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để rút ra phán đoán mới. Phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận của suy luận, cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận
+ Suy diễn + Quy nạp + Ngoại suy + Chứng minh
<b>- Năng lực phát hiện vấn đề: Năng lực phát hiện vấn đề trong mơn tốn là </b>
năng lực hoạt động trí tuệ của học sinh khi đứng trước những vấn đề, những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tính hướng đích cao đòi hỏi phải huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo nhằm tìm ra lời giải cho vấn đề.
Một số biện pháp tăng khả năng phát hiện vấn đề cho học sinh: + Sử dụng đặc biệt hóa, khái quát hóa và tương tự hóa.
</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">+ Tạo ra bài toán mới. + Chuyển đổi bài toán.
Có hai loại năng lực cơ bản là năng lực chung và năng lực riêng biệt.
+ Năng lực chung: là những năng lực cần cho nhiều hoạt động khác nhau. Là điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả.
+ Năng lực riêng biệt: là những năng lực thể hiện độc đáo các sản phẩm riêng biệt có tính chun mơn nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực, hoạt động chuyên biệt với kết quả cao. Hai loại năng lực chung và năng lực riêng biệt luôn bổ sung, hỗ trợ cho nhau.
- Năng lực tư duy sáng tạo: Năng lực tư duy sáng tạo trong Toán học là khả năng tư duy và sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu Toán học, tạo ra những kết quả tốt, mới, khách quan, những lời giải hay, những cơng trình tốn học có giá trị đối với việc dạy học, giáo dục và sự phát triển của khoa học nói riêng cũng như đối với hoạt động thực tiễn của xã hội nói chung.
Do đó, ngay từ khi cịn ngồi trên ghế nhà trường trung học cơ sở, học sinh phải được phát triển năng lực tư duy sáng tạo, coi nó như là hành trang để bước vào tương lai.
<b>* Cơ sở thực tiễn: Với mỗi bài tốn đưa ra nhằm mục đích. </b>
- Củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất.
- Phát triển năng lực tư duy và lập luận, sáng tạo cho học sinh, đặc biệt phát triển các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
- Đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán của học sinh.
Thông qua việc nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn đặc biệt qua nhiều
<i><b>năm giảng dạy Tốn 9. Sau đây tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật giải phương trình vơ tỷ”. </b></i>
<b>A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>
<b>* Khái niệm về phương trình một ẩn: </b>
<i>- Khái niệm:<small>A x</small></i><small>( ),</small> <i><small>B x</small></i><small>( )</small> là hai biểu thức chứa biến <i><small>x</small></i>, khi đó <i><small>A x</small></i><small>( )=</small><i><small>B x</small></i><small>( )</small> gọi là
<i><b>phương trình một ẩn. Trong đó: </b></i>
+ <i><small>x</small></i> được gọi là ẩn.
</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">+ <i><small>A x</small></i><small>( ),</small> <i><small>B x</small></i><small>( )</small> là biểu thức hai vế của phương trình.
+ Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình: Là tập những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa.
+ Q trình tìm giá trị của ẩn <i><small>x</small></i> gọi là giải phương trình.
+ Giá trị tìm được của biến <i><small>x</small></i> thỏa mãn điều kiện gọi là nghiệm của phương trình.
+ S: Tập hợp nghiệm của phương trình.
<i>- Khái niệm về hai phương trình tương đương: </i>
+ Là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm hoặc tập nghiệm của phương trình này là nghiệm của phương trình kia và ngược lại.
<b>* Phương trình vơ tỉ: </b>
<i><b>- Định nghĩa: Phương trình vơ tỉ là phương trình chứa biểu thức chứa </b></i>
ẩn ở dưới dấu căn.
Ví dụ: <i><small>x</small></i><small>+ −13</small><i><small>x</small></i><small>+ =24</small>; <small>(x 2)(x 3)−+ =5</small>, <sup>x 1</sup> <small>62x 3− =</small>
<small>+</small> <sup>,... </sup>
<i><b>- Các bước giải phương trình vơ tỉ (dạng chung): </b></i>
<i><b>+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. </b></i>
+ Bước 2: Biến đổi làm mất dấu căn; biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đơn giản hơn phương trình ban đầu.
+ Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được sau khi biến đổi.
+ Bước 4: Đối chiếu giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ; thay giá trị của ẩn đã tìm được vào phương trình đã cho rồi so sánh giá trị hai vế của phương trình rồi kết luận.
<b>* Một số phương pháp và kỹ thuật giải phương trình vơ tỷ bậc THCS 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa </b>
<b>1.1. Cơ sở phương pháp </b>
Trong bài toán phương trình vơ tỷ thì phép nâng lên lũy thừa (bình phương hoặc lập phương hai vế) là một biến đổi tự nhiên và tương đối dễ thực hiện. Có lúc phương pháp này được sử dụng trực tiếp hoặc gián tiếp nhưng mục đích chính vẫn là đi tìm nghiệm của phương trình vơ tỷ. Những bài toán sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là những phương trình thuộc dạng cơ bản hoặc phương trình chứa các hằng đẳng thức. Điều quan trọng của phép nâng lên lũy thừa đó là ta thu được phương trình tương đương hay phương trình hệ quả. Để
</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">có thể biến đổi các phương trình ta cần kiểm tra dấu của hai vế phương trình xem có cùng dấu hay khơng, khi đó ta sẽ quyết định được phương trình thu được là phương trình tương đương hay phương trình hệ quả.
<b>1.2. Các bước giải </b>
Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).
Bước 2: Biến đổi làm mất dấu căn: Bình phương (hoặc lập phương) hai vế để mất dấu căn.
Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4: Đối chiếu giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ sau đó kết luận
<b>- Phân tích: Ta thấy </b> <i><small>f x</small></i>
( )
<small>=2</small><i><small>x</small></i><small>−1;</small> <i><small>g x</small></i>( )
<small>= −</small><i><small>x</small></i> <small>1</small> là các đa thức bậc nhất một ẩn dạng <i><small>ax b a</small></i><small>+</small>(
<small>0</small>)
nên ta tìm ĐKXĐ của phương trình: </div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">+) Bước 2: Bình phương hai vế nắm chắc các bước giải và kỹ năng biến đổi, dễ dàng tìm được giá trị của <i><small>x</small></i>, tuy nhiên ta chú ý đến ĐKXĐ: ta thấy biểu <i><small>f x g x</small></i>
( ) ( )
<small>,</small> có dạng <i><small>ax b a</small></i><small>+</small>(
<small>0</small>)
nên<i><small>g x</small></i> <small>= +</small><i><small>xx</small></i><small>− </small> đơn giản ta có thể sử dụng đến sự hỗ trợ của máy tính Casio FX570VNX, Casio FX580VN, Casio FX880VN.
+) Hướng dẫn giải bất phương trình
( )
<small>2</small><small>25 0</small>
<i><small>g x</small></i> <small>= +</small><i><small>xx</small></i><small>− </small> bằng máy tính cầm tay FX 580VNX
<b>Bước 1: Nhấn phím MENU </b><small></small><b>nhấn phím A để chọn Inequality </b>
<b>Bước 2: Nhấn phím 2 để khai báo bậc của bất phương trình </b>
<b>Bước 3: Nhấn phím 3 để chọn dấu lớn hơn hoặc bằng </b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">+) Bước 4: Ta thấy <i>x =</i>2( Thỏa mãn ĐK), <i>x = −</i>2 (Khơng thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là <i>x =</i>2.
+ Đối với đa thức <i><small>f x</small></i>
( )
và <i><small>g x</small></i>( )
nếu đa thức nào có dạng <i><small>ax</small></i><small>2+ +</small><i><small>bx c a</small></i>(
<small>0</small>)
để đơn giản khi thực hiện ta cần sự hỗ trợ của máy tính cầm tay Casio FX570ES, Casio FX580VN, Casio FX880VN.<i><small>ax</small></i> <small>+ +</small><i><small>bx c a</small></i><small></small> nên việc tìm ĐKXĐ khó khăn hơn rất nhiều so với ví dụ 1) a) và ví dụ 1) b). Với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay tìm ĐKXĐ của phương trình thuận lợi hơn rất nhiều, tuy nhiên khi kết hợp điều kiện người giải hay lúng
</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">túng, mất thời gian nên giáo viên phải hướng dẫn, phân tích cụ thể để HS có kỹ
<b>- Nhận xét: Thực tế khi gặp phương trình vơ tỷ có ĐKXĐ phức tạp như </b>
phương trình (1.3) ta không cần phải giải hai điều kiện <small>2</small>
Việc chọn điều kiện nào trong phép biến đổi phụ thuộc vào sự thuận tiện cho quá trình kiểm tra lại và lời giải cho bài toán ngắn gọn hơn.
<b>Chú ý: </b>
<b>+ Trong việc giải phương trình vơ tỷ nếu việc tìm những giá trị của </b> <i><small>x</small></i>để
( )
<small>0</small><i><small>f x </small></i> hoặc <i><small>g x </small></i>
( )
<small>0</small> là phức tạp, chúng ta nên triển khai việc tìm nghiệm của phương trình sau đó thử vào điều kiện để xét xem nghiệm vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện bài tốn hay khơng.<b>+ Chẳng hạn bài toán trên ta cần thử xem </b> <i><small>x =</small></i><small>1</small> có thỏa mãn điều kiện
( )
<small>2</small><small>3</small><i><small>x</small></i> <small>69</small><i><small>x</small></i> <small>27 0</small>
<i><small>f x =</small></i> <small>++</small> không bằng cách thay trực tiếp giá trị cần tìm được vào
</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">hàm <i><small>f x</small></i>
( )
, ta sẽ thấy <i><small>f</small></i>( )
<small>1=99 0</small> nên giá trị <i><small>x =</small></i><small>1</small> là nghiệm của phương trình đã+ Ta sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa. Khi nâng lên lũy thừa ta được phương trình có bậc 3, tuy nhiên nhận thấy <i><small>x =</small></i><small>0</small> là nghiệm của phương trình nên ta dễ dàng phân tích được phương trình bậc 3. Ta trình bày lời giải như
</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16"><b>Vậy tập nghiệm của phương trình là S = </b> <small>0;</small><sup>3</sup> <sup>33</sup>
<small></small> <i><sup> suy ra điều kiện</sup><sup>x </sup></i><sup>0</sup><sup>, học sinh gặp </sup>
nhiều khó khăn, mất thời gian, đối với ĐKXĐ của phương trình (1.4) ta có thể suy luận theo một cách ngắn gọn, đơn giản hơn như sau: để
()
<small>2</small>+ Một số sai lầm thường gặp khi biến đổi phương trình của ví dụ trên. • Vội vàng phát hiện nhân tử và biến đổi phương trình mà chưa đặt điều
Ta biết rằng với biểu thức dạng <i><small>A B</small></i><small>.2</small> thì khi khai căn phải lấy dấu giá trị tuyệt đối cho biểu thức đưa ra ngoài dấu căn <small>2</small>
<i><small>A B</small></i> <small>=</small> <i><small>BA</small>. Với điều kiện <small>x </small></i><small>0</small> ta chưa xác định được
(
<i><small>x −</small></i><small>1</small>)
<i> mang dấu gì nên khi khai căn ta cần lấy dấu giá trị </i><b>- Phân tích: Phương trình (1.5) ta tìm được ĐKXĐ: </b><i><small>x </small></i><small>3</small> hoặc <i><small>x −</small></i><small>3</small> + Giải hương trình (1.5) học sinh dễ mắc sai lầm sau:
Học sinh mắc sai lầm vì: Nếu biểu thức <i><small>x + </small></i><small>5 0</small> khi đó giá trị vế trái khơng âm, cịn giá trị vế phải khơng dương do đó phương trình (*) chưa chắc tương đương với phương trình đã cho.
+ Tránh gặp sai lầm khi giải phương trình (1.5) ta cần chú ý điều kiện của
</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">biểu thức <i><small>x</small></i><small>+ −5 0</small> <i><small>x</small></i> <small>5</small> khi đó bình phương hai vế ta được phương trình tương đương với phương trình đã cho. Ta có lời giải đúng như sau:
+) Bước 4: Kết hợp điều kiện đối chiếu với giá trị tìm được của biến <i><small>x</small></i>. Vậy phương trình có tập nghiệm là <i><small>T = −</small></i>
<small>3;11</small>
. </div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">Phương trình (2.1) có dạng <i><small>f x</small></i>
( )
<small>=</small><i><small>g x</small></i>( )
nên ta sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa để giải. Trước khi bình phương hai vế ta nhận xét giá trị của các biểu thức có ở hai vế để tìm ĐKXĐ: ta thấy vế trái của phương trình ln không âm với ĐK <small>21 0</small> <sup>1</sup><i><small>x</small></i><sub>+ </sub><i><small>x</small></i> <small>−</small> <sub>, do đó nếu vế phải của phương trình âm thì </sub>
phương trình vơ nghiệm. Do đó ta chỉ có thể biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình khi có điều kiện <small>3</small><i><small>x + </small></i><small>1 0</small>. Khi đó hai vế đều khơng âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương
(Khơng thỏa mãn điều kiện);
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là <i>x =</i>0<b> </b>
<b>- Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm khi tìm ĐKXĐ: </b>
2<i>x</i>+ =1 3<i>x</i>+1
</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">dàng lựa chọn phương pháp bình phương hai vế để giải. Tuy nhiên có vấn đề ta cần chú ý đó chính là biểu thức trong căn bậc hai có chứa ẩn ở mẫu nên khi tìm ĐKXĐ cần nhớ thêm điều kiện <i><small>x − </small></i><small>2 0</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20"><i><small>x</small></i> <small>− + =</small><i><small>x</small></i> có <small> = −'4 1.1 2 0= </small> do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt: <i><small>x = −</small></i><sub>1</sub> <small>23</small>(Không thỏa mãn điều kiện); <i><small>x = +</small></i><sub>2</sub> <small>23</small>(Thỏa mãn điều
<b>* Các bước trình bày và phương pháp giải phương trình </b>
+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình:
• Nếu <i><small>F x</small></i>
( )
và <i><small>G x</small></i>( )
là các biểu thức không chứa ẩn ở mẫu, khi đó ĐKXĐ </div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">Do đó phương trình vơ nghiệm
- Ngun nhân sai lầm: Học sinh không nắm chắc kiến thức cơ bản giữa căn bậc hai và căn bậc ba
Biểu thức <i><small>A x</small></i><small>( )</small> xác định khi và chỉ khi <i><small>A x </small></i><small>( ) 0</small> Đối với biểu thức <small>3</small> <i><small>A x</small></i><small>( )</small>
+ Nếu <i><small>A x</small></i><small>( )</small>là biểu thức không chứa ẩn ở mẫu, ta có <small>3</small> <i><small>A x</small></i><small>( )</small><i> đã cho luôn </i>
<i>xác định với mọi x </i>
+ Nếu<i><small>A x</small></i><small>( )</small>là biểu thức chứa ẩn ở mẫu, ta có <small>3</small> <i><small>A x</small></i><small>( )</small><i> đã cho luôn xác định </i>
với biểu thức ở mẫu khác khơng
+) Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là <i><small>x = −</small></i><small>11</small>
<b>Nhận xét: Phương trình cho trong ví dụ có dạng tổng quát </b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">phương hai vế và đưa phương trình về dạng phương trình đa thức <i><small>f x</small></i>
( )
<small>=</small><i><small>g x</small></i>( )
biểu thức dưới dấu căn khơng có dạng chứa ẩn ở mẫu nên phương trình ln xác định với mọi <i>x</i><i>R</i><b>, do đó sử dụng phương pháp lập phương hai vế của phương </b><b>Phân tích: Ta thấy biểu thức </b> <small>−3</small> <i><small>x</small></i><small>2+2</small><i><small>x</small></i><small>+1</small> có dạng <small>3</small> <i><small>f x</small></i><small>( )=3</small> <i><small>g x</small></i><small>( )</small> giải phương trình tương tự ví dụ 3) câu a, b). Tuy nhiên ta cần lưu ý biểu thức
này có dấu âm (-) trước căn bậc ba.
<b>* Tổng quát: Một trong những đặc điểm để phân loại, nhận dạng được các </b>
dạng bài tập sử dụng phương pháp lập phương hai vế là phương trình thường có <small>32</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">một trong các dạng tổng quát như sau: <small>2</small><i><small>n</small></i><small>+1</small> <i><small>f x</small></i>
( )
<small>=2</small><i><small>n</small></i><small>+1</small><i><small>g x</small></i>( )
với<i><small>n</small></i><small></small><i><small>N</small></i><small>;</small> <i><small>n </small></i><small>1</small>, ta có<small>+=</small> trước khi lập phương hai vế ta cần tìm ĐKXĐ: <i><small>B x </small></i><small>( ) 0</small>, sau đó thực hiện lời giải tương tự như phương trình (3.1),
<b>* Các bước trình bày và phương pháp giải phương trình: </b>
+ Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình
• Nếu <i><small>F x</small></i>
( )
là các biểu thức khơng chứa ẩn ở mẫu, khi đó ĐKXĐ là: <i><small>x</small></i><small></small><i><small>R</small></i></div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24"><i><b> Đối chiếu ĐKXĐ. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = </b></i>
<small>0;1</small>- Nguyên nhân sai lầm: Học sinh không nắm chắc kiến thức cơ bản giữa căn bậc hai và căn bậc ba
Biểu thức <i><small>A x</small></i><small>( )</small> xác định khi và chỉ khi <i><small>A x </small></i><small>( ) 0</small> Đối với biểu thức <small>3</small> <i><small>A x</small></i><small>( )</small>
+ Nếu <i><small>A x</small></i><small>( )</small> là biểu thức khơng chứa ẩn ở mẫu, ta có <small>3</small> <i><small>A x</small></i><small>( )</small><i> đã cho luôn xác </i>
<i>định với mọi x </i>
+ Nếu <i><small>A x</small></i><small>( )</small><i> là biểu thức chứa ẩn ở mẫu, ta có </i><small>3</small> <i><small>A x</small></i><small>( )</small> đã cho luôn xác định với biểu thức ở mẫu khác không
<i> +) Bước 4: Vậy tập nghiệm của phương trình là S = </i>
<small>−4;0;1</small>
<b> </b><i><b>Nhận xét: Phương trình cho trong ví dụ có dạng tổng quát </b><small>n</small></i><sup>+</sup><small>1</small> <i><small>f x</small></i>
( )
<small>=</small><i><small>g x</small></i>( )
với <i><small>n N n</small></i><small>,2</small><sub>. Để giải phương trình dạng này ta lập phương hai vế và đưa </sub> phương trình về dạng phương trình đa thức. </div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">Ta thấy các biểu thức dưới căn bậc ba: <i><small>x +</small></i><small>1</small> và <i><small>7 x</small></i><small>−</small> không chứa ẩn ở mẫu nên phương trình (4.1) luôn xác định với mọi , ta sử dụng phương pháp lập phương hai vế để giải phương trình :
Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
()
<small>3</small> <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub>()
<i><small>a b</small></i><small>+= + +</small><i><small>aba b</small></i><small>+</small> <i><small>ab</small></i> <small>= + +</small><i><small>abab a b</small></i><small>+</small>
Vậy (**) có thể viết: <i><small>x</small></i><small>+1+7−</small><i><small>x</small></i><small>+3</small><sub>3</sub> <small>(</small><i><small>x</small></i><small>+1)(7−</small><i><small>x</small></i><small>).</small>
(
<small>3</small> <i><small>x</small></i><small>+1+37−</small><i><small>x</small></i>)
<small>=8</small> (I) (đến đây thay <small>3</small> <i><small>x</small></i><small>+1+37−</small><i><small>x</small></i> <small>=2</small> vào phương trình (I)) ta được:Giải ra: <i><small>x</small></i><sub>1</sub> <small>= −1;</small> <i><small>x</small></i><sub>2</sub> <small>=7</small>; thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng, nên đó là 2 nghiệm của PT ban đầu.
</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26"><b>Chú ý: </b>
+ Ở phương trình (4.3) ngồi việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.
+ Do từ phương trình (I) và phương trình (4.3) suy ra phương trình (II), ta thực hiện phép biến đổi khơng tương đương, vì nó chỉ tương đương khi
<i>x</i>
thoả mãn: <small>3</small> <i><small>x</small></i><small>+1+37−</small><i><small>x</small></i> <small>=2</small> nên việc thay lại nghiệm của (II) vào phương trình (4.3) đã cho là cần thiết. Nếu khơng thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai.<b>Bài tập tự luyện: Giải phương trình </b>
<b>* Tổng quát: Một trong những đặc điểm để phân loại, nhận dạng được các </b>
dạng bài tập dử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là phuương trình thường có
<b>một trong các dạng tổng quát như sau: </b> <i><small>n</small></i><small>+1</small> <i><small>f x</small></i>
( )
<small>=</small><i><small>g x</small></i>( )
với <i><small>n N n</small></i><small>,2</small>, ta có• Tìm điều kiện của biểu thức <i><small>h x </small></i>
( )
<small>0</small> (nếu cần)• Bình phương hai vế đưa phương trình đã cho về dạng <i><small>F x</small></i>
( )
<small>=</small><i><small>G x</small></i>( )
+) Bước 3: Giải phương trình <i><small>F x</small></i>( )
<small>=</small><i><small>G x</small></i>( )
+) Bước 4: Đối chiếu về sự thỏa mãn giá trị tìm được của ẩn với các điều kiện rồi kết luận
<b>* Ví dụ 5.1: Giải phương trình </b>
a) <i>x</i>+ +1 <i>x</i>+ =4 3 (5.1)
</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27"><b>Phân tích: </b>
Đây là phương trình vơ tỷ có căn bậc hai, do đó ĐKXĐ của phương trình được giải như sau: <sup>1 0</sup> <sup>1</sup> <small>1</small> phương hai vế để giải phương trình, vấn đề cần giải quyết đối với phương trình (5.1) này là ở vế trái có hai biểu thức chứa căn bậc hai do đó để triệt tiêu được căn bậc hai ta cần bình phương hai lần sau đó giải phương trình thu được
<small>= =</small> <sub> (Thỏa mãn điều kiện) </sub>
+) Bước 4: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là<i>x =</i>0
<b>Nhận xét: </b>
• Phương trình đã cho có dạng <i><small>f x</small></i>
( )
<small>+</small> <i><small>g x</small></i>( )
<small>=</small><i><small>h x</small></i>( )
để tránh sai lầm trong quá trình giải ta cần một số lưu ý:- Chú ý điều kiện của biểu thức <i><small>h x</small></i>
( )
nếu cần, khi đó bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho- Sau khi bình phương hai vế lần thứ nhất, thu gọn ta được phương trình có dạng <i>F x</i>
( )
=<i>G x</i>( ) trước khi bình phương hai vế lần thứ hai để triệt tiêu căn bậc hai ta cần đặt điều <i><small>G x </small></i><small>( ) 0</small></div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">• Đối với phương trình (5.1) ta có thể giải bằng cách biến đổi sau
Phương trình (5.2) có chứa hai biểu thức căn bậc hai, ta tìm ĐKXĐ tương tự như phương trình (5.1) sau đó bình phương hai vế để giải, khi giải ta thấy quá trình biến đổi sẽ phức tạp hơn so với chuyển biểu thức <small>2 3</small><i><small>x −</small></i><small>2</small> sang vế trái, phương trình đã cho trở thành <i><small>x</small></i><small>− +1 2 3</small><i><small>x</small></i><small>− =25</small> đến đây ta có thể bình phương hai vế như phương trình (5.1). Từ đó ta có lời giải như sau:
</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29"><b>Nhận xét: </b>
Ngoài biến đổi nâng lên lũy thừa như trên ta có thể giải phương trình trên theo phương pháp đánh giá như sau:
Điều kiện xác định của phương trình là <sup>1 0</sup> <small>1</small>
Đối chiếu với ĐKXĐ ta có <i>x =</i>2 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là <i>x = </i>2
c) 2<i>x</i>− +1 <i>x</i>+ =3 3 (5.3)
<b>Phân tích </b>
Phương trình đã cho có dạng cơ bản và biểu thức trong căn là các đa thức bậc nhất. Do đó giáo viên lưu ý cho học sinh: ta bình phương hai vế để giải phương trình. Sau hai lần bình phương hai vế ta thu được một phương trình bậc
</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">+) Ta thấy <i><small>x =</small></i><small>1</small>(Thỏa mãn điều kiện); <i><small>x =</small></i><small>61</small>(Không thỏa mãn điều kiện)
<b>Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là </b><i><small>x =</small></i><small>1</small> <b> (Bước 4) </b>
<b>Bài tập tự luyện: Giải phương trình </b>
+) Bước 3: Tìm điều kiện <i><small>G x </small></i>
( )
<small>0</small> và giải phương trình <i><small>F x</small></i>( )
<small>=</small><i><small>G x</small></i>( )
+) Bước 4: Đối chiếu về sự thỏa mãn giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ rồi kết luận
<b>* Ví dụ 5.2: Giải phương trình </b>
d) <i><small>x</small></i><small>−1−5</small><i><small>x</small></i><small>−1=3</small><i><small>x</small></i><small>−2</small> (5.3)
<b>Phân tích </b>
- Ở phương trình (5.3) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm: để nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn. Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc hai: <i><small>a b</small></i><small>= =</small><i><small>a</small></i><small>2</small> <i><small>b</small></i><small>2</small> (khi <i><small>a b</small></i><small>,</small> cùng dấu) khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu khi hai vế cùng dấu.
Ở phương trình (5.3), VP<small></small>0 , nhưng vế trái chưa chắc đã có giá trị khơng âm vì vậy ta nên chuyển vế đưa về phương trình có hai vế cùng có giá trị khơng âm.
(5.3)<small></small> <i><small>x</small></i><small>−1=5</small><i><small>x</small></i><small>−1+3</small><i><small>x</small></i><small>−2</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế:
Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn, học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương tiếp hai vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu
<i>Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải </i>
+ Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải khơng đó chiếu với điều kiện ở phương trình (5.3): ĐK: <i><small>x</small></i><small>1</small> vì vậy
<small>112</small>
khơng phải là nghiệm của phương trình (5.3)
+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện
<small>720</small>
<small>2−</small> <i><small>x</small></i><small></small><i><small>x</small></i><small></small> , vậy <i><small>x</small></i><sub>2</sub> <small>=2</small> khơng là nghiệm của phương trình (5.3)
- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp, từ đó tơi cho học sinh tìm ra cách giải đúng khơng phạm sai lầm đã phân tích .
Cách 1: Sau khi tìm được
<small>112=</small>
<i><small>x</small></i> ;<i><small>x</small></i><small>=2</small> thử lại phương trình (5.3) khơng nghiệm đúng. Vậy phương trình (5.3) vơ nghiệm.
(cách thử lại này làm khi việc tìm ĐKXĐ của phương trình đã cho tương đối phức tạp)
Cách 2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của phương trình (5.3) Sau khi giải đến (*) chú ý điều kiện
nên phương trình (5.3) vơ nghiệm
Cách 3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình . Điều kiện của phương trình (5.3): <i><small>x</small></i><small>1</small>, do đó
</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">Vế trái (VT) < 0. Vế phải (VP) <small></small>0 nên phương trình (5.3) vơ nghiệm .
<b>Nhận xét: Đối với phương trình (5.3) học sinh có thể trình bày theo một </b>
trong ba cách nêu trên
Biến đổi trên không phải là phép biến đổi tương đương vì biểu thức chứa căn bậc hai chưa có nghĩa vì chưa có ĐKXĐ, để khắc phục vấn đề này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phải thử lại các giá trị tìm được của <i><small>x</small></i> vào phương trình ban đầu để kiểm tra nó là nghiệm hay khơng.
- Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ, chỉ ra những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải để các em tránh sai lầm trong quá trình giải. Ở phương trình (5.4) để sử dụng phép biến đổi tương đương thì việc đưa phương trình đã cho về dạng
<small>3− =</small><i><small>x</small></i> <small>3</small><i><small>x</small></i><small>+ +7</small> <i><small>x</small></i><small>+1</small> để đảm bảo cả hai vế không âm là cần thiết.
</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33"><i><small>x =</small></i> (Không thỏa mãn điều kiện), <i><small>x =</small></i><small>1</small> (Thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất <i>x =</i>1.
<b>Bài tập tự luyện tập: Giải phương trình </b>
a) <small>4</small><i><small>x</small></i><small>+1−3</small><i><small>x</small></i><small>+4=</small> <i><small>x</small></i><small>−2</small> b) <i><small>x</small></i><small>−2−</small> <i><small>x</small></i><small>+1=2</small><i><small>x</small></i><small>−1−</small> <i><small>x</small></i><small>+3</small>
c) <small>4</small><i><small>x</small></i><small>+ +3</small> <i><small>x</small></i> <small>=4</small><i><small>x</small></i><small>+1</small> d) <i><small>x</small></i><small>− −32</small><i><small>x</small></i> <small>=</small> <i><small>x</small></i><small>+1</small>
<b>* Lưu ý: Một trong những đặc điểm để phân loại, nhận dạng được các </b>
dạng bài tập dử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là phuương trình thường có
<b>một trong các dạng tổng quát như sau: </b> <i><small>f x</small></i>
( )
<small>+</small> <i><small>g x</small></i>( )
<small>=</small> <i><small>h x</small></i>( )
<b>* Các bước trình bày và phương pháp giải phương trình </b>(Trong đó <i><small>a</small></i><sub>1</sub><small>+ =</small><i><small>a</small></i><sub>2</sub> <i><small>a</small></i><sub>3</sub> hoặc <i><small>a</small></i><sub>1</sub><small>+ =</small><i><small>a</small></i><sub>3</sub> <i><small>a</small></i><sub>2</sub> hoặc <i><small>a</small></i><sub>2</sub><small>+ =</small><i><small>a</small></i><sub>3</sub> <i><small>a</small></i><sub>1</sub>)
</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">trình
Trường hợp: <i><small>a</small></i><sub>1</sub><small>+</small><i><small>a</small></i><sub>2</sub> <small>=</small><i><small>a</small></i><sub>3</sub>bình phương hai vế đưa phương trình đã cho về dạng <i><small>F x</small></i>
( )
<small>=</small><i><small>G x</small></i>( )
<sub>, sau giải phương trình tiếp theo </sub>Trường hợp:<i><small>a</small></i><sub>1</sub><small>+ =</small><i><small>a</small></i><sub>3</sub> <i><small>a</small></i><sub>2</sub> (hoặc <i><small>a</small></i><sub>2</sub><small>+</small><i><small>a</small></i><sub>2</sub> <small>=</small><i><small>a</small></i><sub>1</sub>) bình phương hai vế đưa phương
+) Bước 3: Giải phương trình nhận được sau khi bình phương hai vế
+) Bước 4: Kiểm tra sự thỏa mãn giá trị của <i><small>x</small></i> vừa tìm được với ĐKXĐ rồi
- Trường hợp: <i><small>a</small></i><sub>1</sub><small>+ =</small><i><small>a</small></i><sub>3</sub> <i><small>a</small></i><sub>2</sub> ở trong dạng toán này việc sử dụng hệ điều kiện để biến đổi giúp chúng ta vừa sử dụng được phép biến đổi tương đương cũng vừa sử dụng được phép biến đổi hệ quả.
<i><small>x</small></i> <small>− + </small><i><small>xxx</small></i> <small>+ + </small><i><small>xx</small></i> nên vấn đề tìm ĐKXĐ của phương trình (6.1) tương đối đơn giản, do đó giải phương trình bằng cách bình phương hai vế
- Nếu ta bình phương hai vế phương trình đã cho khi đó biểu thức trong căn bậc hai phương trình thu được có dạng bậc 4 nên khi bình phương hai vế lần hai sẽ gặp phương trình bậc 4 sẽ gặp khó khăn hơn khi giải. Để gặp thuận lợi hơn trong quá trình giải ta chuyển vế một trong hai biểu thức vế trái sang vế phải rồi
</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">+) Bước 2: Chuyển vế biểu thức <small>21</small>
<i><small>x</small></i> <small>+ +</small><i><small>x</small></i> sang vế phải rồi bình phương hai vế và bình phương hai vế của phương trình
<b>Nhận xét: Đối với dạng phương trình như phương trình (6.1) sau khi bình </b>
phương hai vế lần hai thường gặp phương trình bậc ba hoặc bậc bốn nên giáo viên cần ôn tập cho học sinh nắm vững phương pháp giải phương trình bậc ba và
<i><small>x</small></i> <small>+</small> <i><small>x</small></i><small>+</small> <i><small>x</small></i> <small>+</small><i><small>xx</small></i> <small>+</small> <i><small>x</small></i><small>+</small> ta thấy ĐKXĐ của phương trình (6.2) khá phức tạp, để thuận lợi trong quá trình giải ta đặt ĐK để các biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa sau đó giải phương trình tìm được giá trị của <i><small>x</small></i>
rồi thay vào biểu thức ở ĐKXĐ
- Ở phương trình (6.2) phương pháp giải tương tự phương trình (6.1). Tuy nhiên có thể vẫn có những học sinh gặp khó khăn nếu giải theo hướng xét tích
<i><small>A B</small></i><small>=</small> <i><small>A B</small></i>, cụ thể như sau:
</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">Khi đó học sinh gặp khó khăn phải giải các phương trình như phương trình (*), giải tương tự như trên rất dài mất nhiều thời gian
Để trách rắc rối như trên giáo viên hướng dẫn học sinh lựa chọn phương
</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">thay vào (**) và (*) đều không thỏa mãn điều kiện
+) Bước 4: Vậy tập nghiệm của phương trình là S = <small>1;</small> <sup>8 2 19</sup>
<b><small>• </small></b> Theo cách giải trên ta thấy khi đối chiếu giá trị của <i><small>x</small></i> với các ĐKXĐ của phương trình tương đối phức tạp, dài do đó khi giải phương trình (6.2) ta sử dụng phép biến đổi hệ quả để trình bày
+) Bước 1: Bình phương hai vế
</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">+) Bước 3: Lần lượt thay giá trị <i><small>x = −</small></i><small>1</small>; <sup>8 2 19</sup><small>;</small> <sup>8 2 19</sup>
Ta thấy vế phải của phương trình khơng viết được dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu. Do đó ta nghĩ đến biến đổi phương trình có
</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">+) Bước 2, 3: Quy đồng khử mẫu, nhân cả hai vế của phương trình với 2, tách và thêm bớt hạng tử; viết phương trình xuất hiện dạng <small>22</small> trình có hai nghiệm phân biệt: <i><small>x = − +</small></i><sub>1</sub> <small>331</small> (Thỏa mãn điều kiện);
<i><small>x = − −</small></i><sub>2</sub> <small>331</small> (Không thỏa mãn điều kiện) trình có hai nghiệm phân biệt <i><small>x = − +</small></i><sub>1</sub> <small>4 2 4</small>(Thỏa mãn điều kiện); <i><small>x = − −</small></i><sub>2</sub> <small>4 2 4</small> (Không thỏa mãn điều kiện)
+) Bước 4: Vậy tập nghiệm của phương trìn là
<small>− +331;− +4 2 4</small>
<b>Bài tập tự luyện tập: Giải phương trình </b>
<small>5</small><i><small>x</small></i> <small>+14</small><i><small>x</small></i><small>+ −9</small> <i><small>x</small></i> <small>− −</small><i><small>x</small></i> <small>20=5</small> <i><small>x</small></i><small>+1</small> b) <small>222</small>
<i><small>x</small></i> <small>+ +</small> <i><small>x</small></i> <small>− =</small> <i><small>x</small></i> <small>+</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40"><b>- Mục đích của phép nâng lên lũy thừa chính là làm triệt tiêu các căn thức </b>
và đưa phương trình vơ tỷ về dạng phương trình hữu tỷ.
- Do phép biến đổi nâng lên lũy thừa thường làm cho lũy thừa của ẩn tăng lên. Vì thế để làm triệt tiêu các biểu thức chứa <i><small>x</small></i> mũ cao ta cần khéo léo lựa chọn sử dụng biến đổi tương đương hay biến đối hệ quả. Trong một số ví dụ được nếu trên có nhiều bài toán được kết hợp giữa phép biến đổi tương đương
<b>và phép biến đổi hệ quả một cách hoàn hảo. </b>
- Trong một số trường hợp ta cần kết hợp phép nâng lên lũy thừa với các phương pháp khác như đặt ấn phụ, phân tích thành tích, đánh giá,...
- Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng phép nâng lên lũy thừa + Sử dụng dấu "<small></small>" và dấu " <small></small>" một cách tùy tiện.
+ Thực hiện phép khai phương một tích <i><small>A B</small></i><small>.=</small> <i><small>A B</small></i><small>.</small> , <small>2</small>
<i><small>A</small></i> <small>=</small> <i><small>A</small></i> khi chưa xác định được dấu của các biêu thức A và B.
+ Không phân biệt được biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả.
<b>* Lưu ý: </b>
- Một trong những đặc điểm để phân loại, nhận dạng được các dạng bài tập dử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là phuương trình thường có một trong
<b>các dạng tổng quát như sau: </b>
- Phương pháp bình phương hai vế không phải lúc nào cũng là tối ưu và duy nhất, do đó người giải có thể áp dụng các phương pháp khác để giải sao cho
</div>
