skkn toán thcs

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.67 MB, 79 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

I. ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

- Mơn Tốn là một mơn học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong khoa học và

đời sống xã hội. Mơn Tốn ở cấp THCS có một vai trò hết sức quan trọng, một mặt nó phát triển cách hệ thống các kiến thức, kỹ năng, thái độ mà học sinh đã được lĩnh hội đã hình thành ở bậc tiểu học. Trong bất kỳ hồn cảnh nào chúng ta cũng khơng thể thiếu kiến thức Toán. Nghiên cứu về toán cũng là một phần của nghiên cứu về thế giới. Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính tư duy logic rất cao, đặc biệt là đối với những học sinh có năng khiếu về mơn Tốn. Mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng, thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào nhiều

lĩnh vực lao động sản xuất khác.

- Qua 23 năm dạy bộ mơn Tốn ở cấp THCS với 18 năm dạy Tốn lớp 9.

Tơi nhận thấy việc học tốn nói chung và ơn thi vào THPT nói riêng là rất quan trong muốn thành công, nâng cao chất lượng học thi vào THPT trong việc học Tốn thì bạn thân mỗi người thầy cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, có hiểu biết sâu rộng về Tốn học, bên cạnh đó có nhiều phương pháp giảng dạy tốt phù hợp với đối tượng học sinh. Còn đối với học sinh phải chăm chỉ, chịu khó tìm tịi và lĩnh hội các kiến thức không chỉ của các thầy cô cấp trên lớp mà còn nghiên cứu thêm trong các tài liệu tham khảo. Vì vậy việc học trên lớp đối

với các bài tập cơ bản thì học sinh dễ dàng tìm ra phương hướng để giải quyết. - Từ nhiều năm gần đây, trong các đề thi cuối năm và thi tuyển sinh vào

THPT hay gặp nội dung về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, thế nhưng nội dung này lại phong phú về dạng bài cũng như cách giải. Từ bài tốn đơn giản như: Khơng giải phương trình, tính tổng và tích hai nghiệm, đến những bài tốn khó hơn như: Tính giá trị biểu thức liên quan đến hai nghiệm, Tìm GTNN của biểu thức chứa hai nghiệm,… của phương trình bậc hai. Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo cơng thức nghiệm nhiều lúc gặp khó khăn vì

khi đó phương trình thường đang chứa tham số.

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

- Khi đó, hệ thức Vi-ét là một phương tiện hiệu quả giúp học sinh dễ dàng

giải được loại toán này. Tuy nhiên, thời lượng về nội dung này lại ít, lượng bài tập cịn chưa đa dạng. Vì thế, khi gặp bài tốn về dạng này, một số học sinh cịn

lúng túng khơng giải được .

Chính vì vậy, tơi ln suy nghĩ làm thế nào để nâng cao kết quả học tập cho các em, giúp các em biết giải một số bài toán về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, để các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tơi chọn đề tài:

“NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT KHI DẠY PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ ĐỊNH LÝ VI-ÉT”

II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mơ tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

- Trong những năm học gần đây, ngoài việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh mơn Tốn lớp 8, tơi cịn dạy Tốn lớp 9 và ơn tập cho học sinh thi vào lớp 10-THPT. Khi dạy học về nội dung phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, giáo viên thường dạy theo phương pháp đó là: Sau khi dạy xong lý thuyết, giáo viên chữa hết các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập để giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản. Sau đó, giáo vên thường đưa thêm một số bài tập nâng cao giúp học sinh hiểu sâu hơn kiến thức, tuy nhiên, các bài tập này giáo viên không phân rõ theo dạng bài. Giáo viên nghĩ rằng học sinh đã hiểu bài sâu và cách truyền thụ như thế là đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ năng cho học sinh.

- Với thời gian ngắn áp dụng phương pháp này, giáo viên thấy học sinh nắm kiến thức chưa thật vững vàng, lập luận thiếu chặt chẽ hoặc đôi lúc nhầm lẫn giữa các dạng bài và cảm thấy mơn Tốn cịn có phần thiếu hấp dẫn với các em.

- Chính điều đó thơi thúc giáo viên suy nghĩ để tìm ra phương pháp dạy học mới có hiệu quả hơn nhằm khắc phục những hạn chế ở trên, giúp các em hiểu sâu hơn về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, đồng thời giúp các em u thích và say mê mơn Tốn.

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Nhằm giúp học sinh có thể nhận dạng và làm tốt các dạng tốn về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét, tránh được những lỗi sai khơng đáng có, tôi đặt ra các yêu cầu cụ thể như sau:

2.1. Đối với giáo viên:

- Dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng, bám sát chương trình sách giáo khoa và sách bài tập.

- Phân luồng đối tượng học sinh, dạy học và nêu yêu cầu cụ thể theo từng nhóm đối tượng.

- Sắp xếp các bài tập về phương trình bậc hai một ẩn và định lý Vi-ét theo từng dạng tốn. Ở mỗi dạng, tơi đều hướng dẫn các em phương pháp giải cụ thể. Đặc biệt, với mỗi nội dung hay phần kiến thức cần chú ý khắc sâu, tôi thường yêu cầu học sinh ghi lại vào trang cuối của vở ghi, các nội dung được sắp xếp theo chuyên đề để khi cần học sinh dễ dàng tìm được ngay. Thực chất, những trang này có vai trị như cuốn sổ tay tốn học của các em. Trong q trình dạy học, tôi thường xuyên cho học sinh nhắc lại các kiến thức này để học sinh ghi nhớ tốt hơn, đồng thời tôi cũng dự kiến trước những lỗi sai học sinh hay mắc để có những hình thức giúp các em khắc phục phù hợp (như tạo ra những tình huống có vấn đề, gợi mở,…)

- Khi dạy xong dạng mỗi dạng tốn, tơi u cầu học sinh nắm chắc các

dạng toán, phương pháp giải và có kiểm tra đánh giá thường xuyên.

2.2. Đối với học sinh:

- Nắm vững lý thuyết.

- Học và tự học theo sự hướng dẫn của giáo viên. - Đọc các tài liệu tham khảo.

- Trao đổi, thảo luận với bạn bè khi cần thiết.

2.3. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp thảo luận nhóm.

- Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề.

- Phương pháp dạy học theo dự án.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

- Phương pháp này thu thập các thông tin. - Phương pháp tương tự hố, khái qt hóa. - Phương pháp điều tra.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục. - Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động.

+ Nếu  < 0 thì phương trình vơ nghiệm .

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2

.

b. Công thức nghiệm thu gọn (với b=2b’):

+ Nếu ’ < 0 thì phương trình vơ nghiệm .

+ Nếu ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 x2 b'.

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

*) Định lí (Định lí Vi-ét đảo): Nếu hai số có tổng là S, tích là P

thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2- Sx+P = 0. (điều kiện có hai số

đó là: S2 – 4P  0).

Chú ý:

+ Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm (tức là



≥ 0 hoặc



’ ≥ 0 ) thì ta mới áp dụng được Định lí Vi-ét

+ Nếu hệ số a và c trái dấu thì phương trình ln có 2 nghiệm trái dấu.

- Với phương trình bậc hai khuyết c (c = 0), ta phân tích vế trái thành nhân

tử để đưa về phương trình tích: ax2 + bx = 0  x (ax +b) = 0 Khi đó, phương trình có hai nghiệm x1 = 0, x2 = b

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Chú ý: Ngoài các cách giải trên, giáo viên nhắc học sinh vẫn có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải nhưng nên giải theo những phương pháp đặc biệt ở trên để có kết quả nhanh và chính xác.

* Đối với các trường hợp còn lại:

Học sinh nên dùng công thức nghiệm tổng quát hoặc công thức thu gọn

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Chú ý: Đối với phương trình mà có hệ số a âm ta nên đổi dấu để hạn chế sự nhầm lẫn trong q trình giải.

Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau (m là tham số):

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Chú ý: Như trong ví dụ 4 học sinh dựa vào cơng thức nghiệm để tìm ra hai nghiệm, nhưng để cho việc trình bày bài ngắn ngọn ta biến đổi phương trình đã

Bài 2: Cho phương trình: (2m - 2)x2 – 2(m-1)x+m+2=0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m=3. b) Giải và biện luận phương trình (1).

Gợi ý câu b ta phải xét 2 trường hợp m=1 và m khác 1.

Dạng 2: Khơng giải phương trình, tính giá trị các biểu thức liên quan đến tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Tính Δ hoặc Δ’ tìm điều kiện để Δ ≥ 0 hoặc Δ’≥ 0 (hoặc chứng tỏ Δ ≥ 0 hoặc Δ’≥ 0) để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Nhận xét:

- Các phần a), b), c), d) học sinh dễ dàng làm được theo yêu cầu.

- Ở phần e) nếu học sinh gặp khó khăn, giáo viên có thể gợi ý học sinh

bằng cách nêu một số câu hỏi:

+ Có thể trực tiếp biến đổi biểu thức

x

1

x

2

về dạng tổng và tích các nghiệm được khơng ?

+ Ta cần thực hiện bước làm nào đối với biểu thức x1x2 để có thể dễ

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

- Với bài tập này, học sinh khi gặp yêu cầu :”Không giải phương trình” thường qn khơng tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nên giáo viên cần yêu cầu học sinh nắm vững các bước trên, đặc biệt chú ý tìm điều kiện để phương trình có nghiệm .

- Ở phần b) một số học sinh thường tính 2

( x  x ) luôn mà quên không nhận xét phương trình đã cho có tổng và tích hai nghiệm đều dương nên phương trình đó có hai nghiệm đều dương. Do vậy giáo viên cần lưu ý các em khi gặp

xhoặcx2 thì phải chú ý tìm điều kiện (hoặc chứng minh) phương trình có hai nghiệm khơng âm.

b) Vì phương trình đã cho có tổng và tích hai nghiệm đều dương nên phương trình đã cho có hai nghiệm đều dương

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

4x 2x 1 0với x x1, 2 là các nghiệm. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

Nhận xét: Ở phần c), nếu học sinh biến đổi biểu thức đề cho để có dạng tổng và tích các nghiệm như những bài tốn trước thì bài tốn trở nên khó khăn. Nhưng nếu học sinh nhận xét được:

Vì x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình nên 2

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Ví dụ 4: Cho phương trình:

x

2

(2m1)xm0

(m là tham số). Hãy tính giá trị của biểu thức 22

Ví dụ 5: Cho phương trình:



m4



x2 2mxm20(m là tham số).

Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo

- Với 2 phần c) và d), học sinh thường quên khơng tìm điều kiện các nghiệm khác 0 mà đi biến đổi ngay biểu thức đề bài cho. Do vậy giáo viên cần lưu ý để nhắc các em tìm đủ điều kiện cho các nghiệm.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Bài 1: Cho phương trình: 3x2 - 8x + 5 = 0. Khơng giải phương trình, hãy

tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 2: Cho phương trình: x2 2



m1



xm40 (m là tham số). Khi

phương trình có hai nghiệm x1, x2, hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m.

Bài 3: Cho phương trình: x2 + 3x + 1 = 0. Khơng giải phương trình:

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm

x x

1

,

2 cùng âm. b) Tính giá trị của biểu thức A =x1  x2 x2 x1 .

Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x: ax2 bxc0(a0). Khi

phương trình có hai nghiệm x1, x2, hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo a,b,c.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

+ Phương trình (1) có nghiệm, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a= 0 thay vào phương trình (1) và giải. Nếu phương trình (1) có nghiệm thì a = 0 (TM).

Trường hợp 2: Nếu a0để phương trình (1) có nghiệm  0hoặc  ' 0

+ Phương trình (1) vơ nghiệm, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a = 0 thay vào phương trình (1) và giải. Nếu phương trình (1) có nghiệm thì a = 0 (loại).

Trường hợp 2:Nếu a0 để phương trình (1) vơ nghiệm  0 hoặc  ' 0

Ví dụ 1: Vì sao khơng cần tính  mà có thể kết luận ngay mỗi phương trình

sau có hai nghiệm phân biệt ?

- Với bài tập này học sinh cần nhận xét được các hệ số a và c trái dấu. Từ đó có tích ac<0 suy ra  >0 do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

- Ngồi ra, từ đẳng thức tích của hệ thức Vi-ét, giáo viên cịn giúp học sinh nhận xét được dấu của hai nghiệm trong trường hợp bậc hai.

Hướng dẫn giải:

(hoặc  ' 0)

(hoặc  ' 0)

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

a) Xác định m để phương trình (1) vơ nghiệm.

b) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó c) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Học sinh cần nhận xét được phương trình (1) ln là phương trình bậc hai với mọi m nên sử dụng công thức nghiệm để giải.

a) Xác định m để phương trình (1) vơ nghiệm

b) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm kép .Tìm nghiệm kép đó c) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

d) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm.

Nhận xét:

Trước tiên, học sinh cần nhận xét được phương trình (1) có hệ số a chứa tham số. Khi đó:

- Phần a) và d) học sinh cần xét hai trường hợp.

Lưu ý: Kết quả của bài toán phải là kết quả được lấy từ cả 2 trường hợp.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Từ 2 trường hợp trên ta có khi m 3 thì phương trình (1) có nghiệm.

Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 – 2mx + m – 2 = 0 (1) (m là tham số). Chứng

minh rằng phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

(Đề khảo sát chất lượng học kì 2 lớp 9 năm học 2018-2019, PGD Nghĩa Hưng)

=>Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Do đó phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Chú ý: Để tránh sự nhầm lẫn trong tính toán ta nên đổi dấu để hệ số a của

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Hệ số a chứa tham số nên cần xét các trường hợp:

+ Trường hợp 1: Nếu m=-2 khi đó phương trình (1) trở thành:

Do đó phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 2

Từ 2 trường hợp trên ta có phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị

Vậy với m1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 8: Cho hai phương trình: x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và

x2+ x - 2m - 10 = 0 (2) (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi m, ít nhất một

trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có (1) và (2) là hai phương trình bậc hai ẩn x

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

  1 32 4(2m  6) 8m15    2 12 4( 2m10) 8 m41

     12 8m 15 8m41 26 0 Nên trong hai số  1, 2 có ít nhất một số dương.

Do đó ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

Chú ý:

+ Nếu 1 2 0 hoặc 1.2 0 thì ít nhất một trong hai số  1, 2 không âm. + Nếu k1   1 k2 2 0 ( ,k k1 2 0) thì ít nhất một trong hai số  1, 2 không âm. + Trong một số trường hợp, học sinh có thể giải bằng phương pháp phản chứng (tìm điều kiện để cả hai số 1, 2 cùng âm. Sau đó loại đi những giá trị ở trên để được những giá trị cần tìm).

Bài tập củng cố:

Bài 1: Cho phương trình: x2(m1)x  m 5 0(1) (m là tham số). a) Giải phương trình với m=5.

b) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Bài 2: Cho phương trình: mx26(m2)x4m 7 0(1) (m là tham số). a) Xác định m để phương trình (1) vơ nghiệm.

b) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm kép.Tìm nghiệm kép đó. c) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3: Cho phương trình: 2



2x 2 m1 x3m 2 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

x x

1

,

2.

Bài 4: Cho phương trình:

x

2

-2(m+1)x-3m

2

-2m=0

(mlà tham số).

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2.

Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Bài 6: Cho phương trình: x22mx6m 9 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm

x x

1

,

2.

Bài 7: Cho phương trình: 2x2 (m1)x 4 0(1), (với m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt.

Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

- Phương trình có nghiệm âm:

+ Ưu tiên số 1 là ta nhẩm ra được các nghiệm của phương trình đề xét theo yêu cầu của đầu bài.

+ Ta xét trường hợp phương trình có 2 nghiệm khơng âm sau đó loại các giá trị đó đi để được phương trình có nghiệm âm.

+ Ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm cùng âm.

Trường hợp 2: Phương trình có một nghiệm âm, một nghiệm dương.

(hoặc  ' 0)

(hoặc  ' 0)

(hoặc  ' 0)

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Trường hợp 3: Phương trình một nghiệm âm, một nghiệm bằng 0. - Phương trình có nghiệm dương:

+ Ưu tiên số 1 là ta nhẩm ra được các nghiệm của phương trình đề xét theo yêu cầu của đầu bài.

+ Ta xét trường hợp phương trình có 2 nghiệm khơng dương sau đó loại các giá trị đó đi để được phương trình có nghiệm dương.

- Ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm cùng dương.

Trường hợp 2: Phương trình có một nghiệm âm, một nghiệm dương. Trường hợp 3: Phương trình một nghiệm dương, một nghiệm bằng 0. Chú ý:

- Có những bài tập ta có thể đi tìm tất cả các giá trị của tham số không thỏa mãn u cầu bài tốn rồi loại những giá trị đó để được những giá trị cần tìm.

- Nếu phương trình đã cho có thể dễ dàng tìm được hai nghiệm theo tham số thì có thể dựa vào kết quả vừa tìm được để xét dấu một cách trực tiếp hai nghiệm mà không cần dùng đến tổng và tích các nghiệm.

Ví dụ 1: Cho phương trình: 2

x  m x  m (m là tham số) Xác định m để:

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Do đó khơng có giá trị nào của m thoả mãn. c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm

Ví dụ 2: Cho phương trình: x22(m3)xm20200 (m là tham số).

a) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương.

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

Ví dụ 3: Cho phương trình:x22(m1)xm22m20220 (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho ln có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị m.

Nhân xét:

- Đối với bài này học sinh hồn tốn có thể tính  sau đó áp dụng hệ thức Vi-ét để từ đó tìm điều kiện của m thoả mãn đầu bài. Nhưng học sinh cũng cần chú ý khi phương trình có 2 nghiệm trái dấu tức là hệ số a và c trái dấu thì khi

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

đó ac<0 suy ra 0. Vì vậy chỉ cần chứng minh ac<0 là bài toán được giải

Chứng minh rằng khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì hai nghiệm

đó mang dấu dương.

Nhận xét: Với bài tập này, trong quá trình giải, giáo viên có thể gợi ý để học sinh trả lời một số câu hỏi:

- Trước tiên phải tìm điều kiện để phương trình đã cho có 2 nghiệm thoả mãn điều gì trước.

- Khi phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu, để chứng minh hai nghiệm đó mang dấu dương ta cần chứng minh điều gì?

- Muốn chứng minh x1x2 0 ta cần dựa vào điều kiện nào? Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm.

Nhận xét: Với bài tập này, nếu học sinh vẫn xét 3 trường hợp tương tự như điều kiện tổng qt thì cũng sẽ gặp nhiều khó khăn và khi giải theo hướng đó sẽ

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

rất dài dịng vì vậy khả năng sai sót cao. Khi đó, giáo viên hướng dẫn học sinh đi tìm các giá trị của tham số để phương trình có cả hai nghiệm âm. Từ đó loại đi những giá trị này ta được các giá trị cần tìm.

Để phương trình có (1) có ít nhất một nghiệ m không âm, ta xét trường

hợp phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm

Ví dụ 6: Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + 2m +4 = 0 (1) (m là tham số).

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm

Nhận xét: Bài này học sinh có thể xét các trường hợp như phần lý thuyết đã đưa ra nhưng nếu quan sát kỹ ta có thể nhẩm nghiệm theo Vi ét vì phương trình có các hệ số thỏa mãn a+b+c=0, từ đó dễ dàng tìm được các giá trị của m thỏa mãn đầu bài.

Hướng dẫn giải:

Ta có a+b+c=1-2m+3+2m -4=0

Do đó phương trình (1) ln có hai nghiệm

x

1

1,x

2

2m4

Vì

x

1

10,

để phương trình có nghiệm âm

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

a) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng âm. b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm dương.

(Đề thi thử tuyển sinh vào 10 huyện Nghĩa Hưng năm học 2020-2021) Nhận xét:

- Đối với câu a học sinh có thể làm bình thường theo đúng phương pháp và những ví dụ trên

- Trong câu b nếu xét các trường hợp sẽ rất dài dòng, nhưng từ việc tính delta học sinh có thể tìm ra được các nghiệm của phương trình đã cho từ đó giải quyết bài toán rất nhẹ nhàng. Cũng chú ý thêm từ phương trình đã cho ta nhận thấy nếu thay x = -2 vào phương trình thì khử được tham số m và nhận thấy x=-2 là 1 phương trình đã cho, từ đó ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích mà khơng cần sử dụng đến việc tính delta.

Vì phương trình đã cho có một nghiệm bằng -2 nhỏ hơn 0 do đó để phương trình đã cho có nghiệm dương 2m40m2.

Chú ý: Từ kết quả câu b ta có cách làm câu a một cách ngắn gọn đó là cho phương trình đã có một nghiệm bằng -2 nhỏ hơn 0 vì vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm âm  2m40 m2.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.

Nhận xét: Có thể có học sinh dựa theo lý thuyết ở trên để đi xét 3 TH

(Phương trình có hai nghiệm cùng âm; Phương trình có một nghiệm âm, một nghiệm dương; Phương trình một nghiệm âm, một nghiệm bằng 0). Theo cách này, học sinh sẽ giải rất vất vả. Khi đó, giáo viên cần hướng dẫn học sinh dựa vào kết quả câu a để giải bài toán theo cách đơn giản hơn.

b) Theo câu a, nếu m= - 4 thì phương trình (1) có một nghiệm x=1>0(loại) nếu m≠-4 thì phương trình (1) ln có hai nghiệm

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Kết hợp với m≠-4 thì phương trình (1) ln có nghiệm âm khi

Nhận xét: Theo u cầu đầu bài học sinh có thể tính  sau đó dùng cơng thức nghiệm để tìm ra 2 nghiệm của phương trình và từ đó ta có thể biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích

Ví dụ 10: Cho phương trình:

x

2

2(m3)xm

2

m10

(m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

(Đề thi thử tuyển sinh vào 10 huyện Nghĩa Hưng năm học 2018-2019) Nhận xét:

- Với yêu cầu đầu bài trước tiên học sinh vẫn phải tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

- Để nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương thì học sinh phải đi đến dấu của tổng 2 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

c) Phương trình có 1 nghiệm bằng 0, khi đó nghiệm cịn lại của phương trình mang dấu gì ?

Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình: x2 –2(m –2)x + m + 4= 0

có nghiệm kép dương.

Bài 3: Cho phương trình: x2 – x – m + 1 = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 .

Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để phương trình: 3mx2 +2(2m+1)x+m=0

có 2 nghiệm âm.

Bài 5: Tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình: (m -1)x2 +2x +m=0

có ít nhất một nghiệm khơng âm.

Dang 5: Cho phương trình có chứa tham số, cho trước một nghiệm. Tìm nghiệm cịn lại và giá trị của tham số.

Phương pháp giải:

- Thay nghiệm đã biết vào phương trình để tìm giá trị của tham số.

- Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào phương trình đã cho hoặc thay vào

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Hướng dẫn giải:

Thay x1 = 1 vào phương trình x2 – 3mx + 2 = 0, ta được: 1 – 3m + 2 = 0 <=> m=1

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1.x2 = 2 suy ra x2 = 2

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 2(m3)xm2 m10 (m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm cịn lại.

(Đề thi thử tuyển sinh vào 10 huyện Nghĩa Hưng năm học 2018-2019) + Với m=2 thì nghiệm cịn lại là: x2 2 + Với m=-3 thì nghiệm cịn lại là: x2 12

Bài tập củng cố:

Bài 1: Cho phương trình: x2 + 5x + m = 0 (ẩn x) có một nghiệm x1 = 5. Tìm

m và nghiệm kia.

Bài 2: Cho phương trình: x2 2(m1)x2m 1 0 (m là tham số) a) Giải phương trình với m= 1

2  .

b) Xác định tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm bằng – 3. Khi đó tìm nghiệm cịn lại của phương trình.

Dạng 6: Chứng minh (hoặc tìm hệ thức) giá trị của biểu thức chứa hai nghiệm không phụ thuộc giá trị của tham số.

Phương pháp giải:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và



≥ 0).

- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.

- Thay S và P vào biểu thức đề cho và giải quyết các yêu cầu của bài tốn.

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.

b) Chứng minh hai nghiệm của phương trình ln thỏa mãn đẳng thức

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 3(m–1)x +2m2–6m = 0 (1) (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 với mọi

= (m+3)2  0 với mọi giá trị của m

Do đó phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

= 18m2 – 36m + 18 – 18 m + 18 – 18 m2 + 54 m = 36.

Vậy giá trị của biểu thức A khơng phụ thuộc vào giá trị của m.

Ví dụ 3: Cho phương trình: x2–2(m + 1)x+m2 +2m = 0 (1)(m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

x1, x2 với mọi giá trị của m.

b) Khi x1  x2, chứng minh rằng giá trị của biểu thức

Do đó phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. b) Do đó phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Vì x1 x2 và m < m+2. Áp dụng công thức nghiệm ta được:

Do đó giá trị của P khơng phụ thuộc vào giá trị của m.

Chú ý: Ta có thể tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m bằng cách tím các nghiệm từ đó là hệ thức thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 –2(m -1)x+2m -10 = 0 (1) (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1,

x2 với mọi giá trị của m.

b) Chứng minh giá trị của Ax12 2(m1)x2 2m(2m 5) không phụ thuộc vào giá trị của m.

Nhận xét: Ở phần b, vì biểu thức A chứa cả 2 nghiệm

x

1 và

x

2 mà lại không trực tiếp biến đổi được về dạng biểu thức chỉ chứa tổng và tích các nghiệm nên phải biến đổi gián tiếp thông qua phương pháp thế.

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Do đó phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào giá trị của m.

Chú ý: Vì

x

1là nghiệm của phương trình đã cho nên thay x=x1 vào phương trình đã cho rồi biến đổi biểu thức A.

Ví dụ 5: Cho phương trình với m là tham số: x 2 m+1 x - m-3 02





a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1,

x2 với mọi giá trị của m.

b) Với x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m.

(Đề thi thử tuyển sinh vào 10 huyện Nghĩa Hưng năm học 2015-2016)

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

 xxxxmm là hệ thức giữa các nghiệm không

phụ thuộc vào giá trị của m.

Chú ý: Với cách làm như trên chính là sử dụng phương pháp cộng đại số

trong giải hệ phương trình để khử tham số m từ đó tìm ra hệ thức.

Ví dụ 6: Cho phương trình: x22(m1)xm2 20220 (m là tham

số). Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm hệ thức giữa các nghiệm khơng phụ thuộc vào giá trị của m.

Ví dụ 7: Cho phương trình: (m1)x22(m2)xm30 (m là tham

số). Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m.

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Chú ý: Bài này ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế như các ví dụ trên để làm nhưng sẽ cồng kềnh cũng như khó nhìn ra cách biến đổi. Cách làm trong ví dụ trên chính là tách phần nguyên

trong tổng và tích các nghiệm để khử tham số m từ đó tìm ra hệ thức. Bài tập củng cố:

Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + 2m - 5 =0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.

b) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức: A = 2(x1 + x2)- x1.x2 không phụ thuộc vào giá trị của m.

Bài 2: Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với

Bài 4: Cho phương trình: x2 – (m – 8)x + 5m - 100 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

với mọi m.

b) Chứng minh hai nghiệm của phương trình luôn thỏa mãn đẳng

thức: 5x1 + 5x2 = x1.x2 +60.

Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu cho trước.

Phương pháp giải:

Khi gặp dạng tốn tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu cho trước, giáo viên nhắc học sinh nên làm theo các bước sau:

- Bước 1: Xét xem hệ số a có chứa tham số khơng, nếu có thì phải xét hai trường hợp (a=0 và a ≠ 0)

- Bước 2: Trong trường hợp a≠0 thì xét xem a+b+c (hoặc a-b+c) có bằng 0 khơng, nếu có thì nên tính hai nghiệm theo các trường hợp đặc biệt đã biết rồi sử dụng các nghiệm đó để thực hiện tiếp yêu cầu đề bài.

- Bước 3: Nếu bước 2 không thực hiện được thì mới tính



(hoặc



’). Khi đó ta có 1 trong 2 trường hợp:

+ Nếu kết quả



(hoặc



’) có dạng bình phương thì nên dùng cơng thức nghiệm để tính các nghiệm rồi thực hiện yêu cầu đề bài.

+ Nếu kết quả



(hoặc



’) khơng có dạng bình phương thì tìm điều kiện để phương trình có nghiệm và sử dụng định lí Vi-ét. Khi đó học sinh sẽ thực hiện các bước sau:

* Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm(Δ ≥ 0)

* Áp dụng hệ thức Vi-ét tìm tổng và tích các nghiệm. Sau đó kết hợp với biểu thức đề bài để tìm giá trị của tham số.

* Kiểm tra lại giá trị của tham số vừa tìm được có thoả điều kiện có nghiệm khơng rồi kết luận.

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: m2x2 + mx + 5 = 0 (1) vô nghiệm (m là

tham số).

Hướng dẫn giải:

Hệ số a chứa tham số nên học sinh cần xét 2 trường hợp:

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

- Với m= 0, PT (1) trở thành 5=0 (vơ lí)

- Với m  0, PT (1) là phương trình bậc hai có



= m2 - 4.5m2 = -19m2

PT (1) vô nghiệm  <0 Hay -19m2 <0 => m



0

Từ 2 TH trên ta có PT vơ nghiệm với m  0.

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 +(3-m)x + m-4 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm âm.

b) Tìm m để phương trình nhận x5 2022 là nghiệm.

Nhận xét:

- Ở câu a, nếu học sinh sử dụng định lí Vi-ét và xét 3 trường hợp (PT có hai nghiệm cùng âm, PT có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương, PT có hai nghiệm trái dấu) thì sẽ mất nhiều thời gian và việc kết hợp kết quả các trường hợp sẽ khó. Tuy nhiên, nếu học sinh làm theo các bước ở trên sẽ nhận thấy a+b+c = 0 và tìm ngay được x1=1, x2 =m-4.

Khi đó, nhận thấy x1=1>0 nên x2 =m-4 phải âm và giải quyết bài toán rất dễ dàng.

- Cũng vậy, nếu câu b học sinh thay giá trị đã cho của x vào PT để tìm m thì phương trình ẩn m sẽ khó giải hơn nhiều so với việc lập luận để

Ta thấy x1=1>0 nên để phương trình có nghiệm âm thì x2 =m-4 <0 => m<4

b) Vì phương trình ln có 2 nghiệm x11,x2  m 4

Nên để phương trình nhận x5 2022 là nghiệm thì m45 2022 m9 2022

Vậy m9 2022 là giá trị cần tìm.

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Ví dụ 3: Xác định tham số m để phương trình: x2 – 4x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện:

a) x12x2 1 b)

x x

1 2

x

22

 16

Nhận xét:

- Với phần a từ giả thiết ta tách ra để áp dụng được tổng 2 nghiệm của phương trình, từ đó tìm ra các nghiệm theo m và thay vào tích các nghiệm để tìm giá trị của tham số. Hoặc học sinh biết kết hợp hệ thức Vi-ét với hệ thức

Khi đó, từ (1) và (2) ta tìm được x1 và x2 theo m

Thay x1 và x2 vừa tìm được theo m ở trên vào (3) ta được m.

- Với phần b, đa số học sinh khi thấy trong hệ thức đề bài cho có tích x1.x2 thì hay thay x1.x2=m vào biểu thức đề bài sẽ nhận được: 2

x

= -16-m, lúc này bài tốn sẽ khó giải tiếp.

Khi đó, giáo viên có thể gợi ý để học sinh giải theo hướng khác. Chẳng hạn, nếu học sinh biết đặt x2 là thừa số chung thì ta đượcx x2( 1x2) 16 hay 4x2 = –16. Do đó tìm được x2 =–4

Khi đó thay vào hệ thức Vi-ét ta dễ dàng tìm được x1 và m.

- Giáo viên lưu ý học sinh so sánh giá trị của m tìm được với điều kiện có nghiệm của phương trình trước khi kết luận giá trị cần tìm.

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

Thay vào x1x2 4 ta được x1 – 4 = 4 x1 = 8

Từ đó ta được m = -4.8= -32 (thoả điều kiện (*)) .

Bài tập này cũng giống như ví dụ 3 (phần b), nếu học sinh thấy trong hệ thức đề bài cho có tổngx1 x2 mà thay x1x2=m vào biểu thức đề bài sẽ nhận được x m1.  2 , khi đó bài tốn sẽ khó giải tiếp.

Tuy nhiên, nếu từ hệ thức đề bài, học sinh biết nhân phá ngoặc thì ta được

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Ta có: x x1( 1x2) 2 

x

12

x x

1 2

 2

Hay

x

12

  32x

12

1x

1

1

- Với x1 = 1, thay vào x1x2 3 ta được x2 = -3 và m =-2

- Với x1 = - 1, thay vào x1x2  3 ta được x2 = 3 và m =2

Vậy m= 2 là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 – mx - 4 = 0 (1) (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tìm m để

Ví dụ 6: Cho phương trình: x2 – 3x +m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x12 x22 2020

(Đề khảo sách chất lượng HKII lớp 9 tỉnh Nam Định, Năm học 2019-2020)

</div>

skkn toán thcs

.





<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

(2<i>m</i>1)<i>x</i><i>m</i>0









<i>x x</i>

,



<i>x x</i>

,

<i>x</i>

-2(<i>m</i>+1)<i>x</i>-3<i>m</i>

-2<i>m</i>=0

<i>x x</i>

,

<i>x</i>

1,<i>x</i>

2<i>m</i>4

<i>x</i>

10,

<i>x</i>

2(<i>m</i>3)<i>x</i><i>m</i>

<i>m</i>10



<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



















<i>x x</i>

<i>x</i>

 16

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x x</i>

 2

<i>x</i>

  32<i>x</i>

1<i>x</i>

1

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về