ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 11 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 20/08/2019 Loại đề thi: Tự luận

10 1
Câu I (4.0 điểm) Cho ma trận A 2 1 0 .

112
1. (1.5đ) Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A bằng cách sử dụng ma trận

phụ hợp.
2. (1.0đ) Tìm ma trận X sao cho AXA 2I , trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3 (gợi

ý: sử dụng ma trận nghịch đảo tìm được từ ý 1).
3. (1.5đ) Chứng minh rằng   1 là một giá trị riêng của ma trận A . Tìm các vectơ

riêng tương ứng với giá trị riêng   1.

Câu II (3.5 điểm) Trong không gian véctơ 4 cho tập hợp

H   x, y, z,t  4 | y  2t  0.

1) (1.0đ) Chứng minh rằng H là một không gian véctơ con của 4 .
2) (1.5đ) Tìm một cơ sở U của H , và tính số chiều của không gian H .

3) (1.0đ) Chứng minh rằng véctơ u  4; 2; 1;1 thuộc H và tìm tọa độ của u trong

cơ sở U vừa tìm được ở ý 2.

Câu III (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  3 xác định bởi

u   x, y, z 3, f u  y  z;x  z; x  y.
1) (1.0đ) Tìm Ker  f  .

2) (1.5đ) Tìm ma trận của ánh xạ f trong cơ sở

U   u1  (1,0,0), u2  (1,0,1), u3  (1,1,1) của 3 .

................................... HẾT ...................................
Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Vũ Thị Thu Giang Phan Quang Sáng

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 12 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 20/08/2019 Loại đề thi: Tự luận

12 1
Câu I (4.0 điểm) Cho ma trận A 0 1 1 .

10 2
1. (1.5đ) Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A bằng cách sử dụng ma trận

phụ hợp.
2. (1.0đ) Tìm ma trận X sao cho AXA 2I , trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3

(gợi ý: sử dụng ma trận nghịch đảo tìm được từ ý 1).
3. (1.5đ) Chứng minh rằng   1 là một giá trị riêng của ma trận A . Tìm các vectơ

riêng tương ứng với giá trị riêng   1.

Câu II (3.5 điểm) Trong không gian véctơ 4 cho tập hợp

H   x, y, z,t  4 | y  3t  0.

1) (1.0đ) Chứng minh rằng H là một không gian véctơ con của 4 .
2) (1.5đ) Tìm một cơ sở U của H , và tính số chiều của khơng gian H .

3) (1.0đ) Chứng minh rằng véctơ u  4;3; 1;1 thuộc H và tìm tọa độ của u trong

cơ sở U vừa tìm được ở ý 2.

Câu III (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  3 xác định bởi

u   x; y; z 3, f u   y  z; x  z;x  y .

1) (1.0đ) Tìm Ker( f ) .
2) (1.5đ) Tìm ma trận của ánh xạ f trong cơ sở

U   u1  (1,0,1), u2  (1,0,0), u3  (1,1,1) của 3 .

................................... HẾT ...................................
Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Vũ Thị Thu Giang Phan Quang Sáng

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MÔN TOÁN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 02 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 25/08/2019 Loại đề thi: Tự luận

 1 2 0 
Câu I (2.5 điểm) Cho các ma tr n: A  3 1 1 , B     3 6 1 .

2 2 0
 2 1 m 

1) (1.0đ) Tính A.Bt theo m .
2) (1.5đ) Tìm tất cả các giá trị của m để ma tr n A khả nghịch. Khi đó hãy tìm phần tử

nằm ở hàng 1, cột 2 của ma tr n nghịch đảo của ma tr n A .

Câu II (1.5 điểm) Giải hệ phương trình

x  y  4z t  2

2x  y  3z 1 .

 x zt 3


Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vec tơ 4 cho t p hợp

W   x, y, z,t  4 | x  2y  3z  4t  0 .

1) (1.0đ) Chứng minh rằng W là một không gian véc tơ con của 4 .
2) (1.5đ) Tìm một cơ sở của W .

Câu IV (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính
f: 3  2

u   x, y, z f u   x  2z,6y  3x

1) (1.0đ) Tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f .
2) (1.5đ) Tìm ma tr n của f trong cơ sở chính tắc của 3 và cơ sở

S  v1  (2,0);v2  (1, 2) của 2 .

Câu V (1.0 điểm) Trong không gian véctơ 3 chiều V , cho cơ sở U  u1,u2,u3 và hệ véctơ
S  v1, v2, v3 trong đó v1  u1  u2,v2  u1  u2  u3,v3  3u2  u3 . Chứng minh rằng hệ véctơ

S là một cơ sở của V .

................................... HẾT ...................................
Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề
Nguyễn Hà Thanh Vũ Thu Giang

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 03 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 25/08/2019 Loại đề thi: Tự luận

1 2 1  3 8 2

Câu I (2.5 điểm) Cho c c ma tr n: A   0 3 1 , B   .

 m 1 4   0 2 2

1) (1.0đ) Tính B.At theo m .
2) (1.5đ) Tìm tất cả các giá trị của m để ma tr n A khả nghịch. Khi đó hãy tìm phần tử

nằm ở hàng 2, cột 1 của ma tr n nghịch đảo của ma tr n A .

Câu II (1.5 điểm) Giải hệ phương trình

 x y  4z t  3

3x  2y  2z 1 .
x  2 y  9z  t  11

Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vec tơ 4 cho t p hợp

W   x, y, z,t  4 | 3x  y  2z  5t  0.

1) (1.0đ) Chứng minh rằng W là một không gian véc tơ con của 4 .
2) (1.5đ) Tìm một cơ sở của W .

Câu IV (2.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính
f: 3  2

u   x, y, z f u   z  2x, 2y  4z

1) (1.0đ) Tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f .
2) (1.5đ) Tìm ma tr n của f trong cơ sở chính tắc của 3 và cơ sở

S  v1  (2,0);v2  (1, 2) của 2 .

Câu V (1.0 điểm) Trong không gian véctơ 3 chiều V , cho cơ sở U  u1,u2,u3 và hệ véctơ
S  v1, v2, v3 trong đó v1  u2  u3, v2  u1  u2  u3, v3  3u1  u2  u3 . Chứng minh rằng hệ

véctơ S là một cơ sở của V .

................................... HẾT ...................................
Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề
Nguyễn Hà Thanh Vũ Thu Giang

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính

Đề số: 11 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 26/08/2019 Loại đề thi: Tự luận

 4 3  2 4 
Câu I (3.0 điểm) Cho các ma trận A    , B   .
1 0 1 3

a) (1.5đ) Tìm ma trận X sao cho A2  2X  B .
b) (1.5đ) Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A.

Câu II (2.0 điểm) Cho hệ phương trình

 x  y  2z  t  1

3x  y  z  3t  2 .
2x  2 y  2z  mt  1

a) (1.0đ) Với giá trị nào của m thì hệ trên có nghiệm?
b) (1.0đ) Giải hệ trên khi m  1 (gợi ý: có thể sử dụng kết quả biến đổi ở ý a).

Câu III (2.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho hệ vectơ

U  u1  (1, 2, 2 ); u2  ( 0, 3, 2 ); u3  ( 2, 1, 0 ).

a) (0.75đ) Chứng minh U là một cơ sở của 3.
b) (1.25đ) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc của khơng gian 3.

Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ f : 4  2 xác định bởi
u  ( x; y; z; t ) 4 , f ( u )  ( y  2z; x  y  t ).

a) (1.0đ) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) (2.0đ) Tìm Ker( f ). Hãy chỉ ra một cơ sở và tính số chiều của Ker( f ), từ đó suy ra

hạng của ánh xạ tuyến tính f .

................................... HẾT ...................................

Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm
+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Đỗ Thị Huệ Vũ Thu Giang

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 12 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 26/08/2019 Loại đề thi: Tự luận

0 3  2 3
Câu I (3.0 điểm) Cho các ma trận A    , B   .
1 2 1 5 

a) (1.5đ) Tìm ma trận X sao cho B  2X  A2 .
b) (1.5đ) Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A.

Câu II (2.0 điểm) Cho hệ phương trình

 x 2y  z  t  2


3x  y  z  3t  5 .
2x  3y  z  mt  4

a) (1.0đ) Với giá trị nào của m thì hệ trên có nghiệm?
b) (1.0đ) Giải hệ trên khi m  3 (gợi ý: có thể sử dụng kết quả biến đổi ở ý a).

Câu III (2.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho hệ vectơ

U  u1  (1, 2, 2 ); u2  ( 0, 3, 2 ); u3  ( 2, 0, 2 ).

a) (0.75đ) Chứng minh U là một cơ sở của 3.
b) (1.25đ) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc của không gian 3.

Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ f : 4  2 xác định bởi
u  ( x; y; z; t ) 4 , f ( u )  ( x  y  z; y  3t ).

a) (1.0đ) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) (2.0đ) Tìm Ker( f ). Hãy chỉ ra một cơ sở và tính số chiều của Ker( f ), từ đó suy ra

hạng của ánh xạ tuyến tính f .

................................... HẾT ...................................

Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm
+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Đỗ Thị Huệ Vũ Thu Giang

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC H   x; y; z;t y  2t   x;2t; z;t  x,t, z   0.25
BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN 0.25
 x1;0;0;0t 0;2;0;1  z0;0;1;0 x,t, z   0.25
Tên học phần: Đại số tuyến tính 0.25

Đáp án đề thi số: 11 1  Spanu1  1;0;0;0,u2  0;2;0;1,u3  0;0;1;0. 0.5
0.5
Ngày thi: 20/08/2019 Suy ra H là kgvt con của 4 . 0.25
Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. 0.25
*Ta có u1  1;0;0;0,u2  0;2;0;1,u3  0;0;1;0là 0.5
0.5
Câu Đáp án vắn tắt Điểm hệ sinh của H . 0.25
0.25 0.25
1 det A  3  0  A1 0.25*3 II Câu CM u1  1;0;0;0,u2  0;2;0;1,u3  0;0;1;0 đltt. 0.5
3.5 2 u1  1;0;0;0,u2  0;2;0;1,u3  0;0;1;0 là cơ sở
Câu A11  2 A21  1 A31  1 0.5 0.5
đ của H
I 2 A12  4 A22  1 A32  2 0.5*2 0.25*3
4.0 0.25  dimH   3
đ A13  1 A23  1 A33  1 0.25 0.25
0.25
3  2 1 3 3  3  1  0.25*2 Chứng minh u  H .
0.25
  3 Ta có u  4u1  u2  u3 . Tọa độ : 4;1;1
Mt nghịch đảo A1  1 .A*   4  1  2 
det A  3 3 3  ker f   x; y; z f  x; y; z  
 
 1 1  1    x; y; z  y  z;x  z; x  y  0;0;0
 3 3 3    z; z; z z  .

1
 2 0 3  2  f u1  0;1;1; f u2   1;0;1; f u3   0;0;0
  Câu f u1   c1u1  c2u2  c3u3  c1  1,c2  2,c3  1
X  2 A12  X   4 2  3 3 0 
III
2.5
đ

  Tọa độ của f u2  là 0;1;0 .
 2 2 0  Tọa độ của f u3  là 0;0;0 .
 3 3 

Tính A  I , 2 1 0 0
det(A  I )  0  1 là giá trị riêng của A .
Ma trận A   2 1 0 .
Gọi u  x y zt là véc tơ riêng của A ứng với giá
1 0 0

trị riêng 1. Khi đó  A  I u   . GV ra đề: Vũ Thị Thu Giang GV soạn đáp án: Nguyễn Hà Thanh
Duyệt ĐA: Vũ Thị Thu Giang
0 0 1 1 1 3 1 1 3
A  I  2 2 0   0 0 6  0 0 1

1 1 3 0 0 1 0 0 0 

x  y  3z  0 x  y t
   . Vậy u  x x 0 , x  0.
z  0 z  0

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC H   x; y; z;t y  3t   x;3t; z;t  x,t, z   0.25

0.25
BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN 0.25
0.25
Tên học phần: Đại số tuyến tính  x1;0;0;0t 0;3;0;1  z0;0;1;0 x,t, z  
0.5
Đáp án đề thi số: 12 1  Spanu1  1;0;0;0,u2  0;3;0;1,u3  0;0;1;0 . 0.5
0.25
Ngày thi: 20/08/2019 0.25
0.5
Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. Suy ra H là kgvt con của 4 . 0.5
0.25
Câu Đáp án vắn tắt Điểm *Ta có u1  1;0;0;0,u2  0;3;0;1,u3  0;0;1;0 là 0.25
det A  3  0  A1 0.25 0.5
1 A11  2 A21  4 A31  1 0.25*3 hệ sinh của H . 0.5
A12  1 A22  1 A32  1
Câu 2 A13  1 A23  2 A33  1 0.5 II Câu CM u1  1;0;0;0,u2  0;3;0;1,u3  0;0;1;0 đltt. 0.25*3
I 3.5 2 u1  1;0;0;0,u2  0;3;0;1,u3  0;0;1;0 là cơ sở
4.0  2 4 3 3  3 1  0.5*2 0.25
đ 0.25 đ của H
0.25
3 0.25  dimH   3
0.25*2
  Chứng minh u  H .
Mt nghịch đảo A1  1 .A*   1  1 1  0.25
det A  3 3 3  3 Ta có u  4u1  u2  u3 . Tọa độ : 4;1;1

  ker f   x; y; z f  x; y; z  
 1  2  1
 3 3 3
  x; y; z  y  z; x  z;x  y  0;0;0

2 3 3  4 2  1   z; z; z z  .
 
X  2 A12  X   0 2 2  3 3  Câu f u1   1;0;1; f u2   0;1;1; f u3   0;0;0
  f u1   c1u1  c2u2  c3u3  c1 1,c2  0,c3  0
III
2.5
đ

2 0 0 Tọa độ của f u2  là 2;1;1 .
 3  Tọa độ của f u3  là 0;0;0 .

Tính A  I , 2 1 2 0
det(A  I )  0  1 là giá trị riêng của A .

Gọi u  x y zt là véc tơ riêng của A ứng với giá Ma trận A   0 1 0 .
trị riêng 1. Khi đó  A  I u   .
 0 1 0

 0 2 1  1 0 3 GV ra đề: Vũ Thị Thu Giang GV soạn đáp án: Nguyễn Hà Thanh
Duyệt ĐA: Vũ Thị Thu Giang
A  I   0 2 1   0 2 1 
 

1 2 1  0 0 0 

x  3z  0 x  6y .
 
2y  z  0 z  2y

Vậy u  6y y 2yt , y  0.

HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC hệ sinh U  (2;1;0;0),(3;0;1;0),(4;0;0;1) 0.25
0.5
KHOA CNTT HỌC PHẦN Chứng minh U độc lập tuyến tính, suy ra là cơ sở. 0.25

Tên học phần: đại số tuyến tính u  (x; y; z)  Ker( f )  f (u)   0.25
Thời gian làm bài: 75 phút 0.25
Đề số: 02 Loại đề thi: Không sử dụng tài liệu x  2z  0 0.25
Ngày thi: 25/08/2019 
0.5
6y  3x  0 0.25
0.25
Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. 1 x  2z 0.25
 0.25
y  z
Câu Đáp án vắn tắt Điểm 0.25
0.25 u  (2z,z,z) 0.5
Viết đúng Bt được 0,25đ IV
0.75 Ker( f )  u  2z,z,z | z  0.25
 15 6 0.5 2.5đ
1 ABt  16 8  0.5
2 phần tử đúng đc 0.25đ; f (e1)  (1;3), f (e2 )  (0;6), f (e3)  (2;0)
 m 2
1;3   1 v1  3 v2
I det(A)  5m  5
A kn  det  A  0  m 1 42
2.5đ
2 0;6   3 v1  3v2
2 Với m  1 thì phần tử thuộc hàng 1 cột 2 của ma trận
2 0 2

1  1 m 2m 0.5 2;0  v1  0v2

nghich đảo của A là det  A A21  5m  5  5m  5 Ma trận của f :   1 / 4 3 / 2 1

 3/2 3 0 

1 1 4 1 2 V Xét l1v1  l2v2  l3v3  

A   2 1 3 0 1 0.25 1.0đ  l1  l2 u1 l1  l2  3l3 u2  l2  l3 u3  
0.5
II  1 0 1 1 3 l1  l2  0

1.5đ h22h1h2 1 1 4 1 2  l1  l2  3l3  0  l1  l2  l3  0
l2  l3  0
h3h1h3  
 0 1 5 2 5 hệ S độc lập tuyến tính.
 

 0 1 3 0 5

1 1 4 1 2 mà dimV  3
Vậy hệ vec tơ S là một cơ sở của V .
h3h1h3  
 0 1 5 2 5 0.25
 
0.5
 0 0 2 2 0 0.25
0.25
Nghiệm: x  3 (0.25); y  3t  5; z  t;t  R 0.25 GV ra đề: Nguyễn Hà Thanh. GV soạn đáp án : Nguyễn Thùy Dung

0.25
W  0.25
0.5
u  v;ku Duyệt đáp án: Vũ Thị Thu Giang
III 1 CM u  v W

2.5đ CM ku W

2 u W  u  (2y  3z  4t; y; z;t)
u  y(2;1;0;0)  z(3;0;1;0)  t(4;0;0;1)

HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC hệ sinh U  (1;3;0;0),(0;2;1;0),(0;5;0;1) 0.25
0.5
KHOA CNTT HỌC PHẦN Chứng minh U độc lập tuyến tính, suy ra là cơ sở 0.25

Tên học phần: đại số tuyến tính u  (x; y; z)  Ker( f )  f (u)   0.25
Thời gian làm bài: 75 phút 0.25
Đề số: 03 Loại đề thi: Không sử dụng tài liệu z  2x  0 0.25
Ngày thi: 25/08/2019 
0.5
2y  4z  0 0.25
0.25
Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. 1 z  2x 0.25
 0.25
 y  4x
Câu Đáp án vắn tắt Điểm 0.25
0.25 u  (x;4x;2x) 0.5
Viết đúng At được 0,25đ IV
0.75 Ker( f )  u   x;4x;2x | x  0.25
1 BAt    17 22 3m 0.5 2.5đ

 2 4 6  0.5
2 phần tử đúng đc 0.25đ; f (e1)  (2;0), f (e2 )  (0;2), f (e3)  (1;4)
0.5
det(A)  m 11 2;0  v1  0v2
0.25
I A kn  det  A  0  m  11 2 0;2   1 v1  v2
0.5 2
2.5đ
Với m  11 thì phần tử thuộc hàng 2 cột 1 của ma 0.25 2;0   1 v1  2v2

2 trận nghich đảo của A là 0.5 2
0.25
0 1 0.25 Ma trận của f :   1 1 / 2 1 / 2
 0.25 0 1 2
0.25
1 det  A A12  m 4 5m  5  m m 11 0.25
0.5
 1 1 4 1 3  V Xét l1v1  l2v2  l3v3  

A   3 2 2 0 1  1.0đ  l2  3l3  u1 l1  l2  l3 u2  l1  l2  l3 u3  

II 1 2 9 1 11 l2  3l3  0

1.5đ h23h1h2 1 1 4 1 3   l1  l2  l3  0  l1  l2  l3  0
l1  l2  l3  0
h3h1h3  
 0 1 10 3 8 hệ S độc lập tuyến tính
 

0 1 5 2 8

1 1 4 1 3  mà dimV  3
Vậy hệ vec tơ S là một cơ sở của V
h3h2h3  
 0 1 10 3 8
 

0 0 5 5 0 

Nghiệm: x  5  4t (0.25); y  7t  8; z  t;t  R GV ra đề: Nguyễn Hà Thanh. GV soạn đáp án : Nguyễn Thùy Dung

S 

u  v;ku Duyệt đáp án: Vũ Thị Thu Giang
III 1 CM u  v S

2.5đ CM ku  S

2 u W  u  (x;3x  2z  5t; z;t)

u  x(1;3;0;0)  z(0;2;1;0)  t(0;5;0;1)

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC Chứng minh U đltt: g/s 1u1  2u2  3u3  

BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN  1  23  0 1  0
Tên học phần: Đại số tuyến tính
  0.25
a  21  32  3  0  2  0 0.25
Đáp án đề số : 11 0.25
 3  0 0.25

(Ngày thi: 26/08/2019)  21  22  0
0.25
Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. Do dim R3 =3= số véc tơ của họ U nên U là cơ sở của R3 0.25
0.25
Câu Đáp án vắn tắt Điểm  a  2c  1
a 0.5  0.25
X  1 (B  A2); A2    13 12 0.5 gs : (1,0,0)  au1  bu2  cu3  2a  3b  c  0
I 0.5 0.25
3.0đ 2 4 3 0.25 III  2a  2b  0 0.5
0.25  0.25
b 0.25
11/ 2 4 2.0đ  a  1;b  1;c  1 0.25
a 0.25 0.25
II X  3/2 0   b Tương tự (0,1,0)  du1  eu2  fu3  d  2;e  2; f  1
2.0đ 0.25 (0,0,1)  mu1  nu2  pu3  m  3;n  2,5; p 1,5 0.25
det(A  I )  0  4   3  0   1  1 0.25
b 1  2  3 0.25 1 2 3  0.25
0.25 Ma trận chuyển cơ sở : A   1 2 2,5
 3 3 x 0.25
Nếu 1  1      x y 0 x y 0.25 1 1 1,5  0.25
1 1  y 0.25
0.25 Viết đúng u  v, ku 0.25
x y  1  0.5
Véc tơ riêng v1        y   ( y  0) a Chứng minh đúng f (u  v)  f (u)  f (v)
0.5 f (ku)  kf (u)
 y  y  1

 1 3 x u  (x, y, z,t)  Kerf  f (u)  
Nếu 2  3         x  3y  0  x  3y
1 3  y

 y  2z  0  y  2z
 x 3y 3  
Véc tơ riêng v2        y   ( y  0) x  y  t  0 x  2z  t

y  y   1    y  2z 

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 IV Vậy Kerf  u  (x, y, z,t) |  
Abs  3 1 1 3 2  0 4 7 6 1
3.0đ  x  2z  t
2 2 2 m 1 0 4 6 2  m 1
b u  Ker( f )  u  (2z  t, 2z, z,t)

1 1 2 1 1  (2z, 2z, z,0)  (t,0,0,t)
 0 4 7 6 1  z(2,2,1,0)  t(1,0,0,1)

0 0 1 m  4 0 Vậy u1  (2,2,1,0);u2  (1,0,0,1) là hệ sinh của Ker(f)
Hai vec tơ u1;u2 không tỷ lệ nên độc lập tuyến tính
Do r(A)  r(Abs )  3  4 m  Hệ có nghiệm với mọi m Vậy u1;u2 là cơ sở của Ker(f) và dim(Kerf )  2

x  y  2z t 1 dim(Im f )  dim(R4)  dim(Kerf )  4  2  2  r( f )  2

Với m 1 hệ   4 y  7z  6t  1 Cán bộ ra đề: Đỗ Thị Huệ Duyệt đáp án
Cán bộ soạn đáp án Lê Thị Diệu Thùy
 z  3t  0
 Nguyễn Thủy Hằng

x   5t / 4 +3/4

  y  15t / 4 1/ 4

 z  3t;t  R


KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC x   4t / 7 +13/7

BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN  0.5
Tên học phần: Đại số tuyến tính   y  2t / 7  3 / 7

Đáp án đề số : 12  z  t  1; t  R


(Ngày thi: 26/08/2019 ) Chứng minh U đltt: g/s 1u1  2u2  3u3  

Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm.  1  23  0 1  0

  0.25
a   21  32  0  2  0
Câu Đáp án vắn tắt Điểm 0.25
a 0.5 21  22  23  0 3  0
X  1 (B  A2); A2    3 6 0.5
I 2 2 7 0.5 Do dim R3 =3 =số vec tơ của hệ U nên U là cơ sở của R3 0.25
3.0đ 0.25
1/ 2 9 / 2 0.25  a  2c  1
b 0.25 
X   gs : (1,0,0)  au1  bu2  cu3   2a  3b  0
a 3 / 2 1  0.25 0.25
II 2a  2b  2c  0
2.0đ 0.25 III
 3  0  1  1 0.25
b det(A  I )  0   2  3 0.25 2.0  a  3;b  2;c  1 0.25

1 2 0.25

1 3  x 0.25 b (0,1,0)  du1  eu2  fu3  d  2;e  1; f  1 0.25
Nếu 1  1        x  3y  0  x  3y
0.25 (0,0,1)  mu1  nu2  pu3  m  3;n  2; p 1,5 0.25
1 3  y 0.5

 x 3y 3  3 2 3
Véc tơ riêng v1        y   ( y  0) Ma trận chuyển cơ sở : A  2 1 2  0.25 

y  y   1  1 1 1,5

3 3   x
Nếu 2  3       x y 0 x  y Viết đúng u  v, ku
 1 1  y 0.25

 x  y 1 a Chứng minh đúng f (u  v)  f (u)  f (v) 0.5
Véc tơ riêng v2        y   ( y  0)
f (ku)  kf (u) 0.25
 y  y 1
u  (x, y, z,t)  Kerf  f (u)  
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
Abs  3 1 1 3 5  0 7 4 6 1  x  y  z  0; y  3t  0 0.25

2 3 1 m 4 0 7 3 2  m 0  x  3t  z; y  3t 0.25

  y  3t 
Vậy Kerf  u  (x, y, z,t) |   0.25
1 2 1 1 2 IV  x  z  3t
 0 7 4 6 1

3.0đ
0 0 1 m  4 1
b u  Ker( f )  u  (z  3t, 3t, z,t)
Ta thấy r(A)  r(Abs )  3  4m
 (z,0, z,0)  (3t, 3t,0,t) 0.25

Hệ luôn có nghiệm với mọi m  z(1,0,1,0)  t(3, 3,0,1)

Vậy u1  (1,0,1,0);u2  (3,3,0,1) là hệ sinh của Kerf 0.25

x 2y  z t  2 Hai véc tơ u1;u2 không tỷ lệ nên họ u1;u2 đltt. 0.25

Với m  3 hệ  7 y  4z  6t  1 Vậy u1;u2 là cơ sở của Kerf và dim(Kerf )  2 0.25

 zt 1 dim(Im f )  dim(R4)  dim(Kerf )  4  2  2  r( f )  2 0.25


Cán bộ ra đề: Đỗ Thị Huệ Cán bộ soạn đáp án Nguyễn Thủy Hằng
Duyệt đáp án Lê Thị Diệu Thùy