ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (540.56 KB, 52 trang )
1
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 (2TC)
DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN
2
CHƯƠNG 1.
Định thức và hệ phương trình tuyến tính
Số tiết: 12 (Lý thuyết: 8 tiết; bài tập, thảo luận: 4 tiết)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được các khái niệm: phép thế, dấu của phép thế, ánh xạ đa tuyến tính,
định thức, hệ phương trình tuyến tính.
- Sinh viên hiểu được các tính chất của phép thế, định thức, hệ phương trình tuyến tính và
cách giải hệ phương trình tuyến tính
- Sinh viên vận dụng giải các bài tập liên quan.
1.1. Phép thế và dấu của phép thế (hay hoán vị)
1.1.1. Định nghĩa: Phép thế bậc n là một song ánh
σ
từ tập {1,2,…, n} lên chính nó. Ta thường
viết:
1 2
(1) (2) ( )
n
n
σ
σ σ σ
=
Rõ ràng tập các phép thế bận n với phép lấy tích các song ánh làm thành một nhóm ký hiệu là
n
S
. Nhóm này gọi là nhóm đối xứng. Nó gồm có n! phần tử.
Khi n >1, cặp số (không thứ tự) phân biệt {i, j}
⊂
{1,2,…, n} gọi là một nghịch thế của
σ
nếu
i j
−
và
( ) ( )
i j
σ σ
−
trái dấ
u, t
ứ
c là n
ế
u
0
( ) ( )
i j
i j
σ σ
−
<
−
Phép th
ế
σ
g
ọ
i là ch
ẵ
n hay l
ẻ
tùy s
ố
các ngh
ị
ch th
ế
c
ủ
a nó là ch
ẵ
n hay l
ẻ
. D
ấ
u c
ủ
a phép th
ế
σ
ký hi
ệ
u sgn(
σ
),
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i:
1
sgn( )=
1
σ
−
n
ế
u
σ
ch
ẵ
n;
σ
l
ẻ
Ví dụ 1:
Phép th
ế
1 2 3 4
43 2 1
σ
=
có 5 ngh
ị
ch th
ế
là {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}. V
ậ
y
σ
là
phép th
ế
l
ẻ
sgn 1
σ
= −
.
Ví dụ 2:
Phép th
ế
n
S
τ
∈
mà
( ) , ( ) ( ), ( ) , ,
i j j i i j k k k i j
τ τ τ
= = ≠ = ≠
g
ọ
i là m
ộ
t chuy
ể
n trí (hay
chuy
ể
n v
ị
) b
ậ
c n. D
ễ
th
ấ
y m
ỗ
i chuy
ể
n trí là m
ộ
t phép th
ế
l
ẻ
. Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử
i < j và
1 2
1 2
i j n
j i n
τ
=
Khi
đ
ó t
ấ
t c
ả
các ngh
ị
ch th
ế
c
ủ
a
τ
là
{i, k} v
ớ
i m
ọ
i k th
ỏ
a mãn i < k
≤
j
{l, j} v
ớ
i m
ọ
i l th
ỏ
a mãn i < l < j
T
ứ
c có t
ấ
t c
ả
(j – i) + (j – i – 1) = 2 (j – i) – 1 ngh
ị
ch th
ế
.
Chú ý:
T
ậ
p các phép ngh
ị
ch th
ế
b
ậ
c 1 ch
ỉ
có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
đ
ó là ánh x
ạ
đồ
ng nh
ấ
t. Ta coi ánh x
ạ
này là phép th
ế
ch
ẵ
n.
3
1.1.2. Tính chất
1.
,
n
S
σ µ
∈
thì sgn
( )
o
µ σ
= sgn
( )
µ
.sgn
( )
σ
, t
ứ
c ánh x
ạ
sgn : { 1}
n
S
±
֏
sgn
σ σ
֏
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u nhóm.
Th
ậ
t v
ậ
y, t
ừ
đị
nh ngh
ĩ
a suy ra
sgn
σ
=
{ , }
( ) ( )
i j
i j
i j
σ σ
−
−
∏
tích này ch
ạ
y qua m
ọ
i c
ặ
p s
ố
phân bi
ệ
t không th
ứ
t
ự
{
i
,
j
}
⊂
{1,2,…,
n
},
để
ý r
ằ
ng khi {
i
,
j
} ch
ạ
y
qua m
ọ
i c
ặ
p (không th
ứ
t
ự
) phân bi
ệ
t trong {1,2,…,
n
} thì
{ ( ), ( )}
i j
σ σ
c
ũ
ng ch
ạ
y qua m
ọ
i c
ặ
p
nh
ư
th
ế
và
{ , }
( ) ( )
sgn( )=
( ( )) ( ( ))
i j
i j
i j
σ σ
µ
µ σ µ σ
−
−
∏
V
ậ
y
{ , } { , }
( ) ( )
sgn( )sgn( )=
( ) ( ) ( ( )) ( ( ))
i j i j
i j i j
i j i j
σ σ
σ µ
σ σ µ σ µ σ
− −
− −
∏ ∏
{ , }
sgn( . )
( ( )) ( ( ))
i j
i j
i j
µ σ
µ σ µ σ
−
= =
−
∏
2.
M
ọ
i chuy
ể
n th
ế
b
ậ
c n (n
2)
≥
là tích c
ủ
a m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n chuy
ể
n trí.
Th
ự
c v
ậ
y, n
ế
u phép th
ế
là ánh x
ạ
đồ
ng nh
ấ
t thid có th
ể
vi
ế
t nó d
ướ
i d
ạ
ng
0
,
τ τ τ
là m
ộ
t chuy
ể
n trí
tùy ý, n
ế
u phép th
ế
gi
ữ
b
ấ
t
độ
ng
đ
úng n – 2 ph
ầ
n t
ử
thì nó ph
ả
i là m
ộ
t chuy
ể
n trí.
Gi
ả
s
ử
tính ch
ấ
t 3
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i phép th
ế
gi
ữ
b
ấ
t
độ
ng
≥
m ph
ầ
n t
ử
(m
≤
n – 2 ). Ta s
ẽ
ch
ứ
ng
minh nó
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i phép th
ế
σ
gi
ữ
b
ấ
t
độ
ng m – 1 ph
ầ
n t
ử
. Gi
ả
s
ử
có
( )
i j i
σ
= ≠
. G
ọ
i
τ
là
phép chuy
ể
n trí
đổ
i ch
ỗ
i và j thì
1
τ τ
−
=
và
o
τ σ
là phép th
ế
b
ậ
c n gi
ữ
b
ấ
t
độ
ng
≥
m ph
ầ
n t
ử
.
Theo gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p:
1
q q
o o o
τ σ τ τ σ
−
=
(trong
đ
ó
1
, ,
q
τ τ
là các chuy
ể
n trí) do
đ
ó
1
1
q
o o
σ τ τ τ
−
=
.
Hệ quả:
Phép th
ế
σ
là ch
ẵ
n hay l
ẻ
tùy trong m
ộ
t phân tích (tùy ý) c
ủ
a nó thành tích m
ộ
t s
ố
h
ữ
u
h
ạ
n chuy
ể
n trí thì s
ố
đ
ó là ch
ẵ
n hay l
ẻ
.
1.2. Ánh xạ tuyến tính và đa tuyến tính thay phiên
1.2.1. Ánh xạ đa tuyến tính
Định nghĩa:
Gi
ả
s
ử
V và W là nh
ữ
ng K- không gian vect
ơ
, p là s
ố
nguyên
1
≥
. Ánh x
ạ
:
:
p
V V V W
η
× × × →
G
ọ
i là
đ
a tuy
ế
n tính
đố
i v
ớ
i t
ừ
ng thành ph
ầ
n (trong
V V V
× × ×
). Khi
đ
ó ta còn nói
η
là ánh x
ạ
p
- tuy
ế
n tính t
ừ
V
đế
n
W
. Khi
W
=
K
thì
η
g
ọ
i là m
ộ
t d
ạ
ng
p
- tuy
ế
n tính trên
V
.
Ví dụ:
a) Ánh x
ạ
không:
V V V W
× × × →
;
1
( , , ) 0
p
α α
֏
là
p
tuy
ế
n tính
4
b) Trong ch
ươ
ng trình hình h
ọ
c trung h
ọ
c, g
ọ
i
3
E
là t
ậ
p các vect
ơ
trong không gian,
1 2 3
( , , )
ε ε ε
là các vect
ơ
đơ
n v
ị
trên các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Đề
- các vuông góc. N
ế
u:
1 11 1 21 2 31 3
2 12 1 22 2 32 3
3 13 1 23 2 33 3
a a a
a a a
a a a
α ε ε ε
α ε ε ε
α ε ε ε
= + +
= + +
= + +
thì:
-
Tích vô h
ướ
ng :
3 3
1 2 1 2 11 12 21 22 31 32
x
( , ) .
E E R
a a a a a a
α α α α
→
= + +
֏
-
Tích vect
ơ
:
3 3 3
1 2 1 2
x
( , )
E E E
α α α α
→
∧
֏
21 31 31 11
11 21
1 2 1 2 3
22 32 32 12 12 22
a a a a a a
a a a a a a
α α ε ε ε
∧ = + +
-
tích h
ỗ
n t
ạ
p:
3 3 3
x x
E E E R
→
1 2 3
3
21 31 31 11
11 21
1 2 3 1 2 3 13 23 33
(1) (2) (3)
22 32 32 12 12 22
( , , ) ( ) sgn ( )
S
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
σ σ σ
σ
α α α α α α σ
∈
∧ = + + =
∑
֏
(= th
ể
tích
đạ
i s
ố
c
ủ
a hình h
ộ
p
đị
nh h
ướ
ng xác
đị
nh b
ở
i các vect
ơ
1 2 3
( , , )
α α α
) là nh
ữ
ng ánh x
ạ
đ
a tuy
ế
n tính.
c) L
ấ
y m
ộ
t c
ơ
s
ở
1
( , , )
n
ε ε ε
=
c
ủ
a V, gi
ả
s
ử
ij ij
1
, 1, , ,
n
j i
i
a j p a K
α ε
=
= = ∈
∑
Thì ánh x
ạ
:
: VxVx xV
W
η
→
1 1
( , , ) ( , , )
p p
α α η α α
֏
Trong
đ
ó
1 1
1
1 1
1 , , 1
( , , ) ( , , )
p p
p
n
p i i p i i
i
a a
η α α η ε ε
=
=
∑
v
ớ
i
1
1
( , , ), ( , , 1, , )
p
i i p
i i n
η ε ε
=
cho tr
ướ
c
thu
ộ
c W, là m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính t
ừ
V
đế
n W.
1.2.2. Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên
Định nghĩa:
Ánh x
ạ
p- tuy
ế
n tính
1
( )
( 1)
q
p p
p
j i
=
+
∑
−
η
t
ừ
V
đế
n W g
ọ
i là thay phiên (hay ph
ả
n
đố
i
x
ứ
ng) n
ế
u giá tr
ị
c
ủ
a
η
trên p vect
ơ
trong
đ
ó có 2 vect
ơ
b
ằ
ng nhau (p
2
≥
) là
0
. T
ứ
c là:
5
( , , , , ) 0
η α α
=
T
ừ
đị
nh ngh
ĩ
a suy ra khi
đổ
i ch
ỗ
hai vect
ơ
trong p vect
ơ
đ
ã cho thì giá tr
ị
η
đổ
i d
ấ
u.
Th
ậ
t v
ậ
y, t
ừ
( ' , ', ) 0
η α α α α
+ + =
suy ra
( , , , , ) (, , ', , ', ) ( , ,.
, ', ) ( , ', , , ) 0
η α α η α α η α α η α α
+ + + =
Do
đ
ó
( , , , ', ) ( , ', , )
η α α η α α
= −
Nói cách khác, n
ế
u
τ
là m
ộ
t chuy
ể
n trí b
ậ
c p thì
(1) (2) ( )
1 2
( , , , ) ( , , , )
p
p
τ τ τ
η α α α η α α α
= −
T
ừ
đ
ó do h
ệ
qu
ả
, suy ra
p
S
σ
∀ ∈
(1) (2) ( )
1 2
( , , , ) sgn( ) ( , , , )
p
p
σ σ σ
η α α α σ η α α α
=
Ví dụ:
a) Ánh x
ạ
không, tích vect
ơ
, tích h
ỗ
n t
ạ
p trong
3
E
nói trên là nh
ữ
ng ánh x
ạ
đ
a tuy
ế
n tính thay
phiên.
b) Gi
ả
s
ử
V
là
K
- không gian vect
ơ
n
chi
ề
u,
1 2
( , , , )
n
ε ε ε ε
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a nó.
Xét ánh x
ạ
:
:VxVx xV K
D
ε
→
nh
ư
sau:
N
ế
u
1
n
i ji j
j
a
α ε
=
=
∑
thì
1 2 (1).1 (2).2 ( ).
( , , , ) sgn( ) .
n
n n n
S
D a a a
ε σ σ σ
σ
α α α σ
∈
=
∑
D
ễ
th
ấ
y
D
ε
là n- tuy
ế
n tính. Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh nó là thay phiên. Gi
ả
s
ử
có
j
<
k
mà
j k
α α
=
. G
ọ
i
τ
là chuy
ể
n trí b
ậ
c
n
,
đổ
i ch
ỗ
j
v
ớ
i
k
và g
ọ
i
H
là t
ậ
p các
n
S
µ
∈
mà
( ) ( )
j k
µ µ
<
thì v
ớ
i m
ọ
i
\ , ( ) ( )
n
S H j k
σ σ σ
∈ >
. T
ừ
đ
ó suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
o j k j o k
σ τ σ σ σ τ
= < =
t
ứ
c
o H
σ τ µ
= ∈
,
do
đ
ó
1
o o
σ µ τ µ τ
−
= =
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
j k
α α
=
ngh
ĩ
a là
ij
1, ,
ik
a a i n
= ∀ =
.
Do
đ
ó v
ớ
i m
ọ
i
\
n
S H
µ
∈
ta có:
( ). ( )( ). ( )( ).
( ). ( )( ). ( )( ).
j j o k j k k
k k j k j j
a a a
a a a
µ µ τ µτ
µ µτ µτ
= =
= =
Còn
( ). ( )( ).
, ,
i i o i i
a a i j k
µ µ τ
= ∀ ≠
nên
(1).1 ( ). ( , )(1).1 ( , )( ).
n n n n
a a a a
µ µ µ τ µ τ
= =
V
ậ
y
6
(1).1 ( ). (1).1 ( ). (1).1 ( ).
\
(1).1 ( ). ( . )(1).1 ( )( ). (1).1 ( ).
sgn( ) sgn( ) sgn( )
sgn( ) sgn( . ) (sgn( ) sgn( . )) 0
n n
n n n n n n
S H S H
n n n n n n
H H H
a a a a a a
a a a a a a
σ σ µ µ σ σ
σ µ σ
µ µ µ τ µτ µ µ
µ µ µ
σ µ σ
µ µ τ µ µ τ
∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈
= +
= + = + =
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
V
ậ
y n
ế
u
( )
j k
j k
α α
= <
thì
1
( , , ) 0
n
D
ε
α α
=
. Do
đ
ó
3
D
thay phiên.
c. Gi
ả
s
ử
V
là
K
- không gian vect
ơ
n
chi
ề
u. Ánh x
ạ
đ
a tuy
ế
n tính thay phiên
:
n
V V K
η
× × →
Còn
đượ
c g
ọ
i là d
ạ
ng
n
- tuy
ế
n tính thay phiên trên
V
.
G
ọ
i
( )
n
A V
là t
ậ
p các d
ạ
ng
n
- tuy
ế
n tính thay phiên trên
K
- không gian vect
ơ
n chi
ề
u
V
.
D
ễ
th
ấ
y
( )
n
A V
v
ớ
i các phép toán c
ộ
ng ánh x
ạ
và nhân ánh x
ạ
v
ớ
i m
ộ
t vô h
ướ
ng thu
ộ
c
K
là m
ộ
t
K
- không gian vect
ơ
.
Định lý:
dim
( )
n
A V
=
1
Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử
1
( , , )
n
α ε ε
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a V. Khi
đ
ó theo ví d
ụ
trên
( )
n
D A V
ε
∈
vì
1
( , , ) 1
n
D
ε
ε ε
=
nên
0
D
ε
≠
. Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh
( )
D
ε
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a
( )
n
A V
.
V
ớ
i m
ọ
i
( )
n
A V
η
=
, l
ấ
y
1
, 1,2, ,
n
i ji j
j
a i n
α ε
=
= =
∑
thu
ộ
c V vì
η
là
đ
a tuy
ế
n tính nên
1 1
1
1 .1 .
1
( , , ) ( , , )
n n
n
n
n i i n i i
i i
a a
η α α η ε ε
=
=
∑
Do
η
thay phiên nên trong t
ổ
ng trên ch
ỉ
xét các ch
ỉ
s
ố
1
, ,
n
i i
phân bi
ệ
t t
ừ
ng c
ặ
p. V
ậ
y
(1) ( )
1 (1).1 ( ).
(1).1 ( ). 1
1 3 1
( , , ) ( ), , ( )
sgn( ) ( , , )
( , , ). ( , , )
n
n
n n n
S
n n n
n n
a a
a a
D
σ σ
σ σ
σ
σ σ
η α α η ε η ε
σ η ε ε
η ε ε α α
∈
=
=
=
∑
∑
Đặ
t
1
( , , )
n
c K
η ε ε
= ∈
thì
cD
ε
η
=
. Do
đ
ó
( )
D
ε
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
( )
n
A V
và dim
V
= 1
T
ừ
cách ch
ứ
ng minh trên ta có:
Hệ quả:
V là K- không gian vect
ơ
n chi
ề
u,
1
( , , )
n
ε ε ε
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a V thì m
ỗ
i
c K
∈
có
m
ộ
t và ch
ỉ
m
ộ
t
( )
n
A V
η
∈ sao cho
1
( , , )
n
c
η ε ε
= =
.
Ví dụ:
M
ọ
i d
ạ
ng 3- tuy
ế
n tính thay phiên trên không gian các vect
ơ
trong hình h
ọ
c
ở
trung h
ọ
c
đề
u t
ỷ
l
ệ
v
ớ
i tích h
ỗ
n t
ạ
p c
ủ
a ba vect
ơ
.
1.3. Định thức
1.3.1. Định thức của hệ vectơ trong một cơ sở
7
Định nghĩa:
Cho
K
- không gian vect
ơ
n
chi
ề
u
V
,
1
( , , )
n
ε ε ε
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a nó. Gi
ả
s
ử
1
, 1, ,
n
i ji j
j
a i n
α ε
=
= =
∑
. Khi
đ
ó
1 (1).1 ( ).
( , , ) sgn( )
n
n n n
S
D a a
ε σ σ
σ
α α σ
∈
=
∑
g
ọ
i là
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a h
ệ
vect
ơ
( ), 1,2, ,
i
i n
α
=
trong c
ơ
s
ở
ε
.
Tính chất:
a)
D
ε
là m
ộ
t d
ạ
ng n- tuy
ế
n tính thay phiên trên V.
b)
1
( , , ) 1
n
D
ε
ε ε
=
c)
N
ế
u
1
( , , )
n
ε ε ε
=
,
1
( , , )
n
α α α
=
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ
a V thì
1 1
( , , ) , ( , , ).
n a n
D D D D D D
ε ε α α ε
α α ε ε
= =
th
ậ
t v
ậ
y, do dim
( ) 1,
n
A V D
ε
=
và
D
α
là nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
khác không thu
ộ
c
( )
n
A V
nên có
0
c
≠
thu
ộ
c K
để
.
D c D
ε α
=
. T
ừ
đ
ó:
1 1
( , , ) . ( , , ) 0
n n
D c D c
ε α
α α α α
= = ≠
V
ậ
y
1
( , , )
n
D D D
ε ε α
α α
=
. T
ươ
ng t
ự
1
( , , )
n
D D D
α α ε
α α
=
.
d) H
ệ
1
( , , )
n
α α α
=
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và ch
ỉ
khi
1
( , , ) 0
n
D
ε
α α
=
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n d
ễ
dàng
đượ
c suy ra t
ừ
tính thay phiên c
ủ
a
3
D
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i m
ệ
nh
đề
: N
ế
u h
ệ
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính thì
1
( , , ) 0
n
D
ε
α α
≠
. Th
ậ
t
v
ậ
y, n
ế
u h
ệ
α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính thì nó s
ẽ
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a V, do
đ
ó theo cách ch
ứ
ng minh tính
ch
ấ
t c)
ở
trên
1
( , , ) 0
n
D
ε
α α
≠
Tính ch
ấ
t d) t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i tính ch
ấ
t
d’)
1
( , , )
n
α α α
=
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a V khi và ch
ỉ
khi
1
( , , ) 0
n
D
ε
α α
≠
Ví dụ:
Trong không gian vect
ơ
trong hình h
ọ
c
ở
trung h
ọ
c thì
1 2 3
( , , )
D
ε
α α α
v
ớ
i
1 2 3
( , , )
ε ε ε ε
=
là c
ơ
s
ở
nói trong ví d
ụ
b) m
ụ
c 1.2.2 chính là tích h
ỗ
n t
ạ
p c
ủ
a ba vect
ơ
1 2 3
( , , )
α α α
1.3.2. Định thức của một tự đồng cấu
Định lý:
V là K- không gian vect
ơ
n chi
ề
u,
f
∈
EndV thì có m
ộ
t và ch
ỉ
m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
ký hi
ệ
u là
dèt
K
∈
sao cho
1
( ), ( , , )
n
n
A V
η α α
∀ ∈ ∀
ta có
1 1
( ( ), , ( ) det . ( , , )
n n
f f f
η α α η α α
=
Chứng minh:
Do
dim ( ) 1
n
A V
=
l
ấ
y
0
µ
≠
thu
ộ
c
( )
n
A V
. Khi
đ
ó ( ), . ,
n
A V a a K
η η µ
∀ ∈ = ∈
Xét ánh x
ạ
:
:
V V K
θ
× × →
sao cho
1 1
( , , ) ( ( ), , ( ))
n n
f f
θ α α µ α α
=
thì d
ễ
th
ấ
y
( )
n
A V
θ
∈
, nên
,
b b K
θ µ
= ∈
.
Do
đ
ó
8
1 1 1 1 1
( ( ), , ( )) ( ( ), , ( )) ( , , ) . ( , ( ) ( ,.
, )
n n n n n
f f a f f a a a b f b
η α α µ α α θ α α µ α α η α α
= = = =
Đặ
t
det
b f
=
suy ra
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Định nghĩa:
det
f
nói trong
đị
nh lý trên g
ọ
i là
đị
nh th
ứ
c t
ự
đồ
ng c
ấ
u
f
.
Tính chất:
a)
1
( , , )
n
ε ε ε
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a V,
1
( ) 1, ,
n
i ji j
j
f a i n
ε ε
=
= =
∑
thì áp d
ụ
ng
đị
nh lý trên cho
tr
ườ
ng h
ợ
p
,
i i
D
ε
η α ε
= =
ta có det f =
1 (1).1 ( ).
( ( ), , ( )) sgn( )
n
n n n
S
D f f a a
ε σ σ
σ
ε ε σ
∈
=
∑
b)
det(Id ) 1
V
=
c)
(
)
det det .det , ,
gf g f g f EndV
= ∀ ∈
Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử
1
( , , )
n
ε ε ε
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
V
.
1 1
1
det( ) ( ( ( )), , ( ( )) det . ( ( ), , ( ))
det .det ( , , ) det .det
n n
n
gf D g f g f g D f f
g f D g f
ε ε
ε
ε ε ε ε
ε ε
= =
= =
d) det
f
0
≠
⇔
f
đẳ
ng c
ấ
u
Th
ậ
t v
ậ
y,
1
( , , )
n
ε ε ε
=
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a V thì detf
0
≠
⇔
1
( ( ), , ( ))
n
D f f
ε
ε ε
0
≠ ⇔
1
( ), , ( )
n
f f
ε ε
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
⇔
f
đẳ
ng c
ấ
u. V
ậ
y GL(
V
)= {
f
∈
End
V
|det
f
0
≠
}
1.3.3. Định thức của một ma trận vuông
1.3.3.1. Định nghĩa:
( )
ji
A a
= ∈
M(
n
,
K
) thì
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông
A
ký hi
ệ
u là
det
A
hay
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
Đượ
c xác
đị
nh b
ở
i: det
A
=
(1).1 ( ).
sgn( )
n
n n
S
a a
σ σ
σ
σ
∈
∑
Nhận xét:
Rõ ràng
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n
A
chính là
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a h
ệ
vect
ơ
c
ộ
t c
ủ
a nó (coi là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
n
K
) trong c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c c
ủ
a
n
K
Ví dụ:
11 12
21 22
(2, )
a a
A M K
a a
= ∈
thì
11 12
11 22 21 12 11 22 21 12
21 22
1 2 1 2
det sgn sgn
1 2 2 1
a a
A a a a a a a a a
a a
= = + = −
9
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(3, )
a a a
A a a a M K
a a a
= ∈
thì
11 12 33 31 12 23 21 32 13 31 22 13
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
det sgn sgn
1 2 3 3 1 2 2 3 1 3 2 1
A a a a a a a a a a a a a
= + + +
12 32 23 21 12 23
1 2 3 1 2 3
sgn sgn
1 3 2 2 1 3
a a a a a a
+ +
11 12 33 31 12 23 21 32 13 31 22 13 12 32 23 21 12 23
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
= + + − − −
Cho
K
=
ℝ
ta
đượ
c
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p 2 và bi
ể
u th
ứ
c t
ọ
a
độ
c
ủ
a tích h
ỗ
n t
ạ
p
ở
trên.
1.3.3.2. Tính chất
a)
N
ế
u A là ma tr
ậ
n c
ủ
a m
ộ
t t
ự
đồ
ng c
ấ
u f c
ủ
a K- không gian vect
ơ
n chi
ề
u V trong m
ộ
t c
ơ
s
ở
1
( , , )
n
ε ε ε
=
nào
đ
ó thì
det
A =
det
f
Th
ậ
t v
ậ
y,
( )
ji
A a
=
thì
1
( ) ( 1, , )
n
i ji j
j
f a i n
ε ε
=
= =
∑
. T
ừ
đ
ó
(1).1 ( ).
det sgn( ) det
n
n n
S
f a a A
σ σ
σ
σ
∈
= =
∑
b)
N
ế
u
, 1, ,
n
i ji j
S
a i n
σ
α ε
∈
= =
∑
thì
1
( , , ) det
n
D A
ε
α α
=
c)
det 1
n
I
=
d)
det( . ) det .det , ,
B A B A A B
= ∈
Mat(n,K)
e)
A
kh
ả
ngh
ị
ch khi và ch
ỉ
khi
det 0
A
≠
Ma tr
ậ
n
A
g
ọ
i là không suy bi
ế
n n
ế
u
det 0
A
≠
. V
ậ
y
A
kh
ả
ngh
ị
ch khi và ch
ỉ
khi nó không suy
bi
ế
n. Do
đ
ó: GL(
n
,
K
) = {
A
∈
Mat(
n
,
K
)|
det 0
A
≠
}
Các tính ch
ấ
t c) d) e)
đượ
c suy ra tr
ự
c ti
ế
p t
ừ
nh
ữ
ng tính ch
ấ
t t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a m
ộ
t
t
ự
đồ
ng c
ấ
u.
Chú ý:
T
ừ
tính ch
ấ
t b) do
D
ε
là ánh x
ạ
tuy
ế
n tính thay phiên nên các tính ch
ấ
t c
ủ
a ánh x
ạ
đ
a tuy
ế
n tính
thay phiên
đượ
c chuy
ể
n thành các tính ch
ấ
t ct
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c. Ch
ẳ
ng h
ạ
n:
11 1 1 1 11 1 1 11 1 1
1 1 1
)
i i n i n i n
n ni ni nn n ni nn n ni nn
a pa qb a a a a a b a
p q
a pa qb a a a a a b a
α
+
= +
+
)
β
Đổ
i ch
ỗ
hai c
ộ
t c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c thì
đị
nh th
ứ
c
đổ
i d
ấ
u (
ở
đ
ây ta nói t
ắ
t các c
ộ
t hay dòng c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c thay cho các c
ộ
t hay dòng c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
đị
nh th
ứ
c
đ
ó).
)
γ
Đị
nh th
ứ
c có m
ộ
t c
ộ
t b
ằ
ng 0,
đị
nh th
ứ
c có hao c
ộ
t b
ằ
ng nhau,
đị
nh th
ứ
c có m
ộ
t c
ộ
t là t
ổ
h
ợ
p
tuy
ế
n tính c
ủ
a các c
ộ
t còn l
ạ
i thì b
ằ
ng 0.
10
)
σ
N
ế
u c
ộ
ng thêm vào m
ộ
t c
ộ
t m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các c
ộ
t còn l
ạ
i thì
đị
nh th
ứ
c không
thay
đổ
i giá tr
ị
.
Ng
ườ
i ta th
ườ
ng v
ậ
n d
ụ
ng nh
ữ
ng tính ch
ấ
t này
để
bi
ế
n
đổ
i
đị
nh th
ứ
c
đư
a vi
ệ
c tính m
ộ
t
đị
nh th
ứ
c
ph
ứ
c t
ạ
p v
ề
vi
ệ
c tính nh
ữ
ng
đị
nh th
ứ
c
đơ
n gi
ả
n h
ơ
n.
1.3.3.3. Định thức của ma trận chuyển vị
Định nghĩa:
Cho ma tr
ậ
n
11 12 1
21 22 2
1 2
( )
n
n
ji
n n nn
a a a
a a a
A a
a a a
= =
thuộc Mat(n, K) thì ma trận
ij
( )
t
A a
= =
11 21 1
12 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
gọi là ma trận chuyển vị của A. Dễ thấy:
- Dòng thứ i của ma trận
t
A
là cột thứ i của ma trận A
-
( ) , , ( , )
t t t
A B A B A B Mat n K
+ = + ∈
-
( . ) .
t t t
B A A B
=
Định lý:
det det
t
A A
=
Th
ật vậy, vì
ij
( )
t
A a
=
nên
1. (1) . ( ) (1).1 ( ).
det sgn( ) sgn( ) 1 1
n n
t
n n n n
S S
A a a a a
σ σ σ σ
σ σ
σ σ
∈ ∈
= = − −
∑ ∑
S
ở dĩ có đẳng thức sau vì nếu ( )
i k
σ
=
thì
1
( )
i k
σ
−
= do đó
, ( ) ( ).
1
i i k k
a a
σ σ
= −
Đặt
1
µ σ
−
=
khi
đó
1
sgn( ) sgn( ) sgn( )
σ σ µ
−
= =
.
Để ý rằng khi
σ
chạy một lượt khắp
n
S
thì
1
µ σ
−
=
c
ũng vậy nên
(1).1 ( ).
det sgn( ) det
n
t
n n
S
A a a A
µ µ
µ
µ
∈
= =
∑
V
ậy mọi tính chất của định thức của ma trận vuông, xem là ánh xạ
n
K K
→
trên h
ệ vectơ cột
c
ủa ma trận, vẫn còn đúng đối với hệ vectơ dòng. Ví dụ:
det A = 0
⇔
hệ vectơ dòng (coi mỗi dòng là một phần tử của
n
K
) phụ thuộc tuyến tính.
1.3.3.4. Định lý Laplace
Cho A =
( )
ji
a
∈
Mat(n,K),
1 ,
q n q N
≤ ≤ ∈
.
Với các số nguyên
1 2 3
1
q
j j j j n
≤ < < ≤
;
1 2
1
q
i i i n
≤ < < < ≤
11
Xét ma trận vuông (con) cấp q của A tạo bởi các phần tử của A ở giao các dòng thứ
1 2
, , ,
q
j j j
v
ới các cột thứ
1 2
, , ,
q
i i i
. Ký hiệu định thức của nó là:
1
1
( )
q
q
i i
j j
A
∆
(gọi là một định thức con cấp
q của A)
N
ếu ta xóa các dòng thứ
1
, ,
q
j j
, các cột
1
, ,
q
i i
của A thì được ma trận vuông (con) cấp n – q
của A mà định thức của nó nhân với
1
( )
( 1)
q
p p
p
j i
=
+
∑
−
gọi là phần bù đại số của
1
1
( )
q
q
i i
j j
A
∆
và được
ký hiệu là
1
1
( )
q
q
i i
j j
A
∆
Ví dụ:*
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
=
thì
1 2
1 2
23 24
11 12
1 3
1 3
21 22 43 44
( ) det , ( ) det
a a
a a
A A
a a a a
= = −
∆
∆
* Khi q = 1,
i
ji
j
a
=
∆
ɶ
( ) ( 1) '
i
j i
ji
ji
j
A a a
+
= − =
∆
(
ở
đ
ây
'
ji
a
là
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n
vuông c
ấ
p n – 1 c
ủ
a A có
đượ
c do b
ỏ
dòng j c
ộ
t i c
ủ
a A).
Định lý Laplace:
L
ấ
y q dòng
1 2
, , ,
q
j j j
c
ủ
a A
∈
M(n, K) thì det A b
ằ
ng t
ổ
ng c
ủ
a tích các
đị
nh
th
ứ
c con c
ấ
p q c
ủ
a A n
ằ
m trong q dòng
đ
ó v
ớ
i ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a chúng. T
ứ
c là:
1
1
1
1
1 2
1
det ( ). ( )
q
q
q
q
q
i i
i i
j j
j j
i i i n
A A A
≤ < < < ≤
=
∑
∆
∆
Khi a = 1 thì
ɶ
1
det
n
ji
ji
i
A a a
=
=
∑
(j c
ố
đị
nh). G
ọ
i là khai tri
ể
n detA theo dòng th
ứ
j.
Ta c
ũ
ng có công th
ứ
c t
ươ
ng t
ự
khi thay ch
ữ
“dòng” b
ằ
ng ch
ứ
“c
ộ
t”, “c
ộ
t” b
ằ
ng “dòng” trong
đị
nh lý trên, t
ứ
c:
1
1
1
1
1 2
1
det ( ).
q
q
q
q
q
i i
i i
j j
j j
j j j n
A A
≤ < < < <
=
∑
∆
∆
ɶ
1
det
n
ji
ji
j
A a a
=
=
∑
(i c
ố
đị
nh)
G
ọ
i là khai tri
ể
n theo c
ộ
t th
ứ
i.
Chứng minh:
a)
Chuy
ể
n dòng th
ứ
λ
1
j
v
ề
dòng th
ứ
1 (
đổ
i
1
j
- 1 l
ầ
n d
ấ
u
đị
nh th
ứ
c), dòng th
ứ
2
j
v
ề
dòng
th
ứ
2 (
đổ
i
2
j
- 1 l
ầ
n d
ấ
u
đị
nh th
ứ
c)… ta s
ẽ
đư
a v
ề
ch
ứ
ng minh
đị
nh lý cho tr
ườ
ng h
ợ
p
1 2
1, 2, ,
q
j j j q
= = =
.
b)
V
ớ
i m
ỗ
i h
ệ
vect
ơ
1
, 1, ,
n
i ji j
j
a j n
α ε
=
= =
∑
12
1
( , ,
n
ε ε ε
=
là c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c c
ủ
a
n
K
), xét
1
1
1
1 2
1
1, 1,
1 1 ' '
, ,
( , , ) det x D ( , , , , , ).( 1)
q
q
s
q
q
i i
i i
n q i i
i i i i n
q i q i
a a
a a
ε
η α α ε ε α α
+ +
≤ < < < <
= −
∑
Trong
đ
ó các s
ố
nguyên
1
' , , ' ( )
s
i i s n q
= −
xác
đị
nh b
ở
i
1 2
1 ' ' '
s
i i i n
≤ < < < ≤
và khác
1 2
, , ,
q
i i i
Khi
đ
ó:
•
η
là n- tuy
ế
n tính
•
N
ế
u ch
ẳ
ng h
ạ
n
1k
k
α α
+
=
thì
1
( , , ) 0
n
η α α
=
vì: d
ễ
th
ấ
y trong t
ổ
ng nói trên n
ế
u có
1
, 1
u u
i k i k
+
= = +
thì s
ố
h
ạ
ng
đ
ó c
ủ
a t
ổ
ng b
ằ
ng không; n
ế
u có
1
' ; ' 1
v v
i k i k
+
= = +
thì s
ố
h
ạ
ng
đ
ó
c
ũ
ng b
ằ
ng 0. N
ế
u có
, ' 1
u v
i k i k
= = +
thì c
ũ
ng có s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a t
ổ
ng
ứ
ng v
ớ
i 1, '
u v
i k i k
= + =
và
2 s
ố
h
ạ
ng
đ
ó là
đố
i nhau do th
ừ
a s
ố
1
( 1)
q
i i
+ +
−
. V
ậ
y
η
là thay phiên.
•
1 2
1
( , , ) ( 1)
q
n
η ε ε
+ + +
= −
. V
ậ
y
1
( 1)
q
i i
D
ε
η
+ +
= −
D
ễ
th
ấ
y
1
1
1
1, ' 1, '
1 ' '
, ' , '
( , , , , , )
s
s
s
q i q i
n i i
q q i q q i
a a
D
a a
ε
ε ε α α
+ +
+ +
=
T
ừ
đ
ó suy ra công th
ứ
c Laplace
Ví dụ:
A là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n d
ạ
ng
0
B C
A
D
=
trong
đ
ó B là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p p, D là ma
tr
ậ
vuông c
ấ
p n – p , còn C là ma tr
ậ
n c
ỡ
(p, n – p ) thì detA = det B. det D
1.3.3.5. Công thức tính ma trận nghịch đảo
G
ọ
i
ji
α
là ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
ji
a
trong
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a A= (
ji
a
) thì
( )
ji
A a
=
g
ọ
i là ma tr
ậ
n ph
ụ
h
ợ
p c
ủ
a A. Ta có
1
det
n
ji ji
j
a a A
=
=
∑
Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh:
1
0, '
n
ji jk
j
a a i k
=
= ≠
∑
Th
ậ
t v
ậ
y, xét ma tr
ậ
n B có
đượ
c t
ừ
A b
ằ
ng cách thay
đổ
i c
ộ
t th
ứ
k c
ủ
a A b
ằ
ng c
ộ
t th
ứ
i c
ủ
a A
(còn các c
ộ
t khác gi
ữ
nguyên) thì B có hao c
ộ
t gi
ố
ng nhau nên detB = 0. Khai tri
ể
n detB theo c
ộ
t
th
ứ
k, chú ý r
ằ
ng ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
jk
b
(trong B) và ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
jk
a
(trong A) b
ằ
ng
nhau:
, , 1,2, ,
jk ji jk jk
b a b a j n
= = ∀ =
ta có: detB=
1 1
0
n n
jk jk ji jk
j j
b b a a
= =
= =
∑ ∑
t
ừ
các công th
ứ
c trên ta có:
1
det
n
ji jk ik
j
a a A
δ
=
=
∑
13
Hay
. det .
t
n
A A A I
=
T
ừ
đ
ó, n
ế
u A không suy bi
ế
n t
ứ
c detA
0
≠
, thì:
1
1
det
t
A A
A
−
=
Rõ ràng ta c
ũ
ng có
1
det
n
ji jk ik
j
a a A
δ
=
=
∑
.
1.3.3.6. Ví dụ
a) Tính
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
n
D =
c) Tính
đị
nh th
ứ
c (Vandermonde)
2 1
1 1 1
2 1
2 2 2
2 1
1
1
( )
1
n
n
n i
n
n n n
a a a
a a a
D a K
a a a
−
−
−
= ∈
d) Tính
đị
nh th
ứ
c
1
2
3
2 3
1 3
1 2
1 2 3
n
x n
x n
D x n
x
=
e) Tính
1 2 3
2 2 3
1 2 3
x n
x n
D
x n
+
+
=
+
g) Tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a ma tr
ậ
n
2 1 1
1 2 1
2 0 1
A
=
h) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình ma tr
ậ
n,
1 1 0
. , 1 0 1
0 1 0
A X B B
= =
, A là ma tr
ậ
n trong câu g)
1.3.4. Định thức với hạng của ma trận, hạng của một hệ vectơ
14
1.3.4.1. Định nghĩa:
Cho A
∈
Mat(m x n, K). H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n A, ký hi
ệ
u h
ạ
ng A, là h
ạ
ng c
ủ
a
h
ệ
vect
ơ
c
ộ
t (xem m
ỗ
i vect
ơ
c
ộ
t là m
ộ
t vect
ơ
thu
ộ
c
n
K
) c
ủ
a nó.
1.3.4.2.
Cho A
∈
Mat(m x n, K). Ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p p + 1 có
đượ
c t
ừ
A do xóa
đ
i m
ộ
t s
ố
dòng và
m
ộ
t s
ố
c
ộ
t g
ọ
i là ma tr
ậ
n vuông con c
ấ
p p + 1 c
ủ
a A. N
ế
u xóa thêm m
ộ
t dòng, m
ộ
t c
ộ
t n
ữ
a thì
đượ
c ma tr
ậ
n vuông con c
ấ
p p c
ủ
a A bao b
ở
i ma tr
ậ
n vuông con c
ấ
p p + 1 v
ừ
a xét.
1.3.4.3.
Định lý:
H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n A b
ằ
ng c
ấ
p p c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông con không suy bi
ế
n mà m
ọ
i
ma tr
ậ
n vuông con c
ấ
p p+ 1 bao nó
đề
u suy bi
ế
n
Chứng minh:
Có th
ể
coi ma tr
ậ
n vuông con c
ấ
p p
đ
ó n
ằ
m
ở
góc trên bên trái c
ủ
a A (b
ằ
ng cách
đ
ánh s
ố
l
ạ
i dòng và c
ộ
t) và g
ọ
i nó là C. Khi
đ
ó p c
ộ
t
đầ
u c
ủ
a A
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính, vì n
ế
u chúng
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì các c
ộ
t c
ủ
a C ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính, nên det C = 0 trái gi
ả
thi
ế
t C không
suy bi
ế
n. Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh m
ọ
i c
ộ
t c
ủ
a A là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a p c
ộ
t
đầ
u c
ủ
a A. V
ớ
i m
ỗ
i
k =1,2,…, m và m
ỗ
i s = p + 1, p + 2,…, n xét ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p p + 1 sau
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
p s
p s
p p pp ps
k k kp ks
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Khi
k p
≤
ma tr
ậ
n
đ
ó suy bi
ế
n vì có 2 dòng gi
ố
ng nhau. Khi k > p, ma tr
ậ
n
đ
ó là ma tr
ậ
n vuông
con c
ấ
p p + 1 c
ủ
a A bao C nên theo gi
ả
thi
ế
t c
ũ
ng suy bi
ế
n. Khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n
theo dòng cu
ố
i thì
đượ
c:
1 1 2 2
1
det 0
( , , )
k k kp p ks
p
a b a b a b a C
b b K
+ + + + =
∈
Chia hai v
ế
cho detC
0
≠
thì
đượ
c:
1 1 2 2
, 1, ,
ks k k p kp
a c a c a c a k m
+
= + + + =
các
1 2
, ,
n
c c c K
∈
không ph
ụ
thu
ộ
c k nên c
ộ
t
th
ứ
s c
ủ
a A, s = p + 1, p + 2,…, n là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a p c
ộ
t
đầ
u c
ủ
a nó. V
ậ
y h
ạ
ng A = p.
4. Chú ý:
a) T
ừ
đị
nh lý trên suy ra h
ạ
ng c
ủ
a A c
ũ
ng b
ằ
ng h
ạ
ng c
ủ
a h
ệ
vect
ơ
dòng c
ủ
a nó.
b) Cho h
ệ
vect
ơ
1
( , , )
n
α α
trong K- không gian vect
ơ
m chi
ề
u V v
ớ
i c
ơ
s
ở
1
1
( , , ), ( 1, , )
m
n i ji i
j
a i n
ε ε ε α ε
=
= = =
∑
thì h
ạ
ng c
ủ
a h
ệ
1
( , , )
n
α α
chính là h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n
( )
ji
A a
=
.
Ví dụ:
Tính h
ạ
ng c
ủ
a h
ệ
vect
ơ
trong
4
ℝ
{
}
2 3 4 5
(1,2,5, 1), (0, 1,2,2), (1,4,1, 5), (1,3,3, 3),
(1,0,9,3)
α α α α α
= − = − = − = − =
1.4. Hệ phương trình tuyến tính
15
1.4.1. Định nghĩa
1.4.1.1. Hệ phương trình:
1
,( 1, , )
n
ki i k
i
a x b k m
=
= =
∑
Trong
đ
ó
,
ki k
a b
cho tr
ướ
c (k = 1,…, m; i = 1,…, n)
∈
K,
( 1, , )
i
x i n
=
là
ẩ
n s
ố
g
ọ
i là h
ệ
ph
ươ
ng
trình tuy
ế
n tính t
ổ
ng quát (g
ồ
m m ph
ươ
ng trình, n
ẩ
n s
ố
)
ki
a
g
ọ
i là nh
ữ
ng h
ệ
s
ố
,
k
b
g
ọ
i là h
ệ
s
ố
t
ự
do.
Ma tr
ậ
n
11 12 1
21 22 2
1 2
( )
n
n
ki
m m mn
a a a
a a a
A a
a a a
= =
đượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n các h
ệ
s
ố
.
Ma tr
ậ
n
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
bs
m m mn m
a a a b
a a a b
A
a a a b
=
Có
đượ
c b
ằ
ng cách thêm vào c
ộ
t h
ệ
s
ố
t
ự
do g
ọ
i là ma tr
ậ
n b
ổ
sung.
1.4.1.2. Ký hiệu ma trận cột các ẩn số
1
1
.
.
.
n
x
x
x
x
=
Ma tr
ậ
n c
ộ
t các h
ệ
s
ố
t
ự
do
1
1
.
.
.
m
b
b
b
β
=
Khi
đ
ó h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính trên có th
ể
đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng ma tr
ậ
n
=
Ax
β
1.4.1.3.
G
ọ
i vect
ơ
c
ộ
t th
ứ
i c
ủ
a ma tr
ậ
n A là
1 2
( , , , )
m
i i i mi
a a a K
α
= ∈
, vect
ơ
c
ộ
t t
ự
do
1 2
( , , , )
m
m
b b b K
β
= ∈ . Khi
đ
ó h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính có th
ể
đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng vect
ơ
:
16
1
n
i i
i
x
α β
=
=
∑
1.4.2. Giải hệ phương trình
1.4.2.1. Hệ Cramer
a. Định nghĩa:
H
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính n ph
ươ
ng trình n
ẩ
n s
ố
mà ma tr
ậ
n các h
ệ
s
ố
c
ủ
a nó
không suy bi
ế
n g
ọ
i là m
ộ
t h
ệ
Cramer.
b. Định lý:
H
ệ
Cramer có m
ộ
t và ch
ỉ
m
ộ
t nghi
ệ
m
Chứng minh:
Cách 1: Vi
ế
t h
ệ
ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng ma tr
ậ
n
=
Ax
β
. Do A không suy bi
ế
n nên ph
ươ
ng trình
trên t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
1
x A
β
−
=
.
Cách 2:
Dùng ph
ươ
ng pháp vect
ơ
Vì
A
không suy bi
ế
n nên h
ệ
vect
ơ
1
( , , )
n
α α
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. T
ừ
đ
ó vect
ơ
β
khai tri
ể
n
đượ
c
m
ộ
t cách duy nh
ấ
t qua c
ơ
s
ở
1
( , , )
n
α α
thu
ộ
c
n
K
. Nói cách khác có duy nh
ấ
t h
ệ
1
( , , )
n
x x
sao
cho
1
n
i i
i
x
α β
=
=
∑
c. Công thức tính nghiệm
Vi
ế
t h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính d
ướ
i d
ạ
ng vect
ơ
:
1
n
i i
i
x
α β
=
=
∑
thì v
ớ
i m
ỗ
i i=1,2,…,
n
ta có
1 1 1 1
1 1 1
1
( , , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , )
n
i i n i i i n
i i n
i
D D x x D
ε ε ε
α α β α α α α α α α α α
− + − +
=
= =
∑
Ký hi
ệ
u
1
( , , ) det
n
D A
ε
α α
∆ = =
;
1 1
1
( , , , , , , )
i i n
i
D
ε
α α β α α
− +
∆ =
D
ễ
th
ấ
y
i
∆
là
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n có
đượ
c t
ừ
A
b
ằ
ng cách thay c
ộ
t th
ứ
i
c
ủ
a
A
b
ằ
ng c
ộ
t t
ự
do.
Khi
đ
ó
( 1,2, , )
i
i
x i n
∆
= =
∆
Ví dụ:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
1
2 2
2 2 3
x z
x y z
x y z
+ =
− + + =
− + =
1.4.2.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
a. Định lý:
(Kronecher – Capelli hay Gauss)
H
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính t
ổ
ng quát
1
( 1, , )
n
ki i k
i
a x b k m
=
= =
∑
17
có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi h
ạ
ng A= h
ạ
ng
bs
A
Chứng minh:
Vi
ế
t h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho d
ướ
i d
ạ
ng vect
ơ
:
1
n
i i
i
x
α β
=
=
∑
thì h
ệ
có nghi
ệ
m khi
và ch
ỉ
khi
β
là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a h
ệ
vect
ơ
1
( , , )
n
α α
t
ứ
c h
ạ
ng
1
( , , )
n
α α
= h
ạ
ng
1
( , , , )
n
α α β
hay h
ạ
ng A = h
ạ
ng
bs
A
b. Cách giải
Gi
ả
s
ử
h
ạ
ng
1
( , , )
n
α α
= h
ạ
ng
1
( , , , )
n
α α β
= h
ạ
ng
1
( , , ) ,
p
p p n
α α
= ≤
ta vi
ế
t h
ệ
ph
ươ
ng
trình
đ
ã cho d
ướ
i d
ạ
ng
1
1 1 1
p
p p p n n
x x x x
α α β α α
+
+
+ + = − − −
.
Xem
1
, ,
p n
x x K
+
∈
cho tr
ướ
c thì do
1
( , , )
n
α α
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a
1
, , ,
n
α α β
< >
nên có duy nh
ấ
t
1
, ,
p
x x
th
ỏ
a mãn
đẳ
ng th
ứ
c trên.
Gi
ả
s
ử
đị
nh th
ứ
c t
ạ
o b
ở
i
p
t
ọ
a
độ
đầ
u c
ủ
a p vect
ơ
1
, ,
p
α α
khác 0 (t
ứ
c coi
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n
vuông con c
ấ
p
p
ở
góc trên bên trái c
ủ
a A khác 0) thì v
ẫ
n
đề
đượ
c
đư
a v
ề
gi
ả
i h
ệ
Cramer g
ồ
m
p
ph
ươ
ng trình
đầ
u c
ủ
a h
ệ
đ
ã cho
đố
i v
ớ
i p
ẩ
n s
ố
:
1
, ,
p
x x
(còn
1
, ,
p n
x x
+
coi tùy ý cho tr
ướ
c
thu
ộ
c
K
).
Ví dụ:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
1
(1)
1
1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
λ
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
ở
đ
ây
1 2 3 4
, , ,
x x x x
là
ẩ
n s
ố
λ
là tham s
ố
.
1.4.2.3. Phương pháp khử (hay thế) của Gauss
Định nghĩa:
Hai h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính cùng có s
ố
ẩ
n s
ố
n
g
ọ
i là t
ươ
ng
đươ
ng n
ế
u các t
ậ
p
nghi
ệ
m c
ủ
a chúng (coi là t
ậ
p con c
ủ
a
n
K
) trùng nhau.
Nh
ậ
n xét:
Cho h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính
1
( 1, , )(1)
n
ki i k
i
a x b k m
=
= =
∑
N
ế
u:
-
Nhân 1 ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
v
ớ
i
0
k
≠
thu
ộ
c
K
.
-
C
ộ
ng vào m
ộ
t ph
ươ
ng trình m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các ph
ươ
ng trình còn l
ạ
i thì ta v
ẫ
n
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính t
ươ
ng
đươ
ng h
ệ
đ
ã cho.
Nh
ư
v
ậ
y b
ằ
ng cách th
ự
c hi
ệ
n hai
đ
i
ề
u trên và
đổ
i ch
ỉ
s
ố
các
ẩ
n s
ố
(n
ế
u c
ầ
n) có th
ể
bi
ế
n
đổ
i h
ệ
(1) thành h
ệ
:
1
' ' ( 1, , )(1')
n
ki i k
i
a x b k m
=
= =
∑
18
T
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i nó mà ma tr
ậ
n
'
bs
A
có d
ạ
ng
1
0 1
0 0
X
X
⋱
+ Khi m
ộ
t trong các
1
' , , '
p m
b b
+
khác 0 thì h
ệ
vô nghi
ệ
m.
+ Khi
1
' , , ' 0
p m
b b
+
=
thì h
ệ
có nghi
ệ
m.
Để
tìm nghi
ệ
m cho
1
' , , '
p n
x x
+
tùy ý thu
ộ
c
K
thì có duy
nh
ấ
t
1
' , , ' ; '
p p
x x x
suy ra t
ừ
ph
ươ
ng trình th
ứ
p,
1
'
p
x
−
suy ra t
ừ
ph
ươ
ng trình
p
– 1 và
'
p
x
Ví dụ 1:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
5 3 20
2 3
3 11
4 14 12 60
x x x
x x x
x x
x x x
+ + =
− − = −
+ =
− + + =
Ví dụ 2:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 10
2 7
2 17
3 2 4 21
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
Ví dụ 3:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
1 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 4 5
3
2 2 9 2
3 8 4 2
6 16 5 3
2 2
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
− + − = −
+ + − =
− + − − = −
+ + − − = −
+ + = −
1.4.2.4. Chú ý:
Có th
ể
dùng vi
ệ
c gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính
để
tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a
m
ộ
t ma tr
ậ
n kh
ả
ngh
ị
ch
ij
( )
A a
=
(
i
,
j
= 1,…,
n
) trên tr
ườ
ng
K
Ví dụ 4:
Tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a ma tr
ậ
n
19
2 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 2
−
− −
− −
− −
−
1.4.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
1.4.3.1. Định nghĩa:
H
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính mà các h
ệ
s
ố
t
ự
do c
ủ
a nó
đề
u b
ằ
ng 0 g
ọ
i là h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t.
Nh
ư
v
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t có d
ạ
ng:
1
(1) 0 ( 1, , )
n
ki i
i
a x k m
=
= =
∑
Trong
đ
ó
ki
a
cho tr
ướ
c thu
ộ
c
K
(
k
= 1,…,
m
;
i
= 1,…,
n
).
Để
gi
ả
i h
ệ
(1) ta có th
ể
dùng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i
ở
m
ụ
c 1.4.2.
1.4.3.2. Ý nghĩa hình học của tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Coi ma tr
ậ
n
( )
ki
a
xác
đị
nh b
ở
i h
ệ
(1) nh
ư
là ma tr
ậ
n c
ủ
a ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
1 1
1
(2) :
( , , ) ( ' , , ' ); ' , 1, ,
n m
n
n m k ki i
i
f K K
x x x x x a x k m
=
→
= =
∑
֏
Trong các c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c thì t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1) (xem là nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
n
K
) chính là
Ker
f
.
N
ế
u h
ạ
ng ( )
ki
a p
=
thì Im
f
=
p
do
đ
ó dim Ker
f
=
n
–
p
. Nói cách khác t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng
trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t (1) là m
ộ
t không gian vect
ơ
con
n
–
p
chi
ề
u c
ủ
a
n
K
. T
ừ
đ
ó suy ra.
Hệ quả:
a.
H
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t luôn có nghi
ệ
m (ít nh
ấ
t là nghi
ệ
m
1
0
n
x x
= = =
, g
ọ
i
là nghi
ệ
m t
ầ
m th
ườ
ng).
b.
H
ệ
(1)
có nghi
ệ
m không t
ầ
m th
ườ
ng khi và ch
ỉ
khi h
ạ
ng
( )
ki
a p n
= <
.
Th
ậ
t v
ậ
y, a. là hi
ể
n nhiên vì
ker
f
≠ ∅
(luôn ch
ứ
a
0
)
b. H
ệ
(1) có nghi
ệ
m không t
ầ
m th
ườ
ng khi và ch
ỉ
khi dim Ker
f
=
n
–
p
> 0 hay
n
>
p
.
Nhận xét:
a. Rõ ràng n
ế
u
m
<
n
thì h
ệ
(1) có nghi
ệ
m không t
ầ
m th
ườ
ng.
b. N
ế
u
m
=
n
thì h
ệ
(1) có nghi
ệ
m không t
ầ
m th
ườ
ng khi và ch
ỉ
khi
det( ) 0
ki
a
=
.
c. Ta
đ
ã xem m
ỗ
i nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1) nh
ư
là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
n
K
vì v
ậ
y
để
cho ti
ệ
n ta s
ẽ
g
ọ
i m
ỗ
i ph
ầ
n
t
ử
nh
ư
th
ế
là m
ộ
t vect
ơ
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1).
20
L
ấ
y m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a ker
f
:
1
( , , )
n p
β β
−
(g
ọ
i là m
ộ
t h
ệ
nghi
ệ
m c
ơ
b
ả
n c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n
tính thu
ầ
n nh
ấ
t (1)) thì m
ọ
i nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(1) có d
ạ
ng :
1 1 1
( , ,
n p
n p
t tn p t t
β β
−
−
+ + −
tùy ý
thu
ộ
c
K
) nghi
ệ
m
đ
ó g
ọ
i là nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a h
ệ
(1).
1.4.3.3. Quan hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và nghiệm của hệ
phương trình tuyến tính tổng quát
Cho h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính t
ổ
ng quát (3)
1
, 1, ,
n
ki i k
i
a x b k m
=
= =
∑
Thì h
ệ
ph
ươ
ng trình (1) nói
ở
trên:
1
0, 1, ,
n
ki i
i
a x k m
=
= =
∑
G
ọ
i là h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t
ứ
ng v
ớ
i h
ệ
(3).
Định lý:
Gi
ả
s
ử
1
( , , )
n
α α α
=
là m
ộ
t nghi
ệ
m nào
đ
ó c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính t
ổ
ng quát
(
3
),
1
( , , )
n p
β β
−
là m
ộ
t h
ệ
nghi
ệ
m c
ơ
b
ả
n c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t t
ươ
ng
ứ
ng
v
ớ
i (
3
). Khi
đ
ó nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(
3
) có d
ạ
ng:
1 1
n p
n p
t t
α β β
−
−
+ + +
Nghi
ệ
m
đ
ó g
ọ
i là nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a h
ệ
(
1
) còn
α
g
ọ
i là m
ộ
t nghi
ệ
m riêng c
ủ
a h
ệ
(
3
).
Nói cách khác
nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a m
ộ
t h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính t
ổ
ng quát b
ằ
ng t
ổ
ng c
ủ
a
m
ộ
t nghi
ệ
m riêng c
ủ
a nó v
ớ
i nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t t
ươ
ng
ứ
ng.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
( )
ki
a
là ma tr
ậ
n c
ủ
a ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
:
n m
f K K
→
trong các c
ơ
s
ở
chính
t
ắ
c, nói trong m
ụ
c 2,
1
( , , )
m
m
b b b K
= ∈
, khi
đ
ó
1 1
( ) , ( ) 0
n p
n p
f b f t t
α β β
−
−
= + + =
T
ừ
đ
ó suy ra :
1 1
( )
n p
n p
f t t b
α β β
−
−
+ + + =
Hay
1 1
n p
n p
t t
α β β
−
−
+ + +
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
(3)
Ng
ượ
c l
ạ
i, gi
ả
s
ử
γ
là nghi
ệ
m b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a h
ệ
(3) thì
( )
f b
γ
=
. T
ừ
đ
ó suy ra
( ) ( ) ( ) 0
f f f
γ α γ α
− = − =
Hay
1 1
n p
n p
t t
γ α β β
−
−
− = + +
. T
ừ
đ
ó suy ra
1 1
n p
n p
t t
γ α β β
−
−
= + + +
Ví dụ:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
21
1 2 3 4
1 2 3 5
1 3 4 5
1 2 3 4 5
3 3
2 2 6 0
2 3 3 2
2 3 3 9 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
− + + =
+ + + =
+ + + =
+ + − + = −
*) Tài liệu học tập:
[1] Khu Qu
ố
c Anh, Nguy
ễ
n Anh Ki
ệ
t, T
ạ
Mân, Nguy
ễ
n Doãn Tu
ấ
n (2004),
Đạ
i s
ố
tuy
ế
n tính
và Hình h
ọ
c gi
ả
i tích,
Nhà xu
ấ
t b
ả
n
Đạ
i h
ọ
c Qu
ố
c Gia Hà N
ộ
i, Hà N
ộ
i.
[2] Khu Qu
ố
c Anh, Nguy
ễ
n Anh Ki
ệ
t, T
ạ
Mân, Nguy
ễ
n Doãn Tu
ấ
n (2004),
Bài t
ậ
p
Đạ
i s
ố
tuy
ế
n tính và Hình h
ọ
c gi
ả
i tích,
Nhà xu
ấ
t b
ả
n
Đạ
i h
ọ
c Qu
ố
c Gia Hà N
ộ
i, Hà N
ộ
i.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:
1.
Tìm d
ấ
u c
ủ
a các phép th
ế
sau và phân tích chúng thành tích m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n phép chuy
ể
n trí
a.
1 2 3 4
2 4 1 3
b.
1 2 3 4 5
3 5 4 1 2
c.
1 2 3 4 5 6 7
6 4 5 3 7 1 2
2.
G
ọ
i
T
là t
ậ
p các ánh x
ạ
p
- tuy
ế
n tính t
ừ
K
- không gian vect
ơ
V
đế
n
K
- không gian vect
ơ
W
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
T
v
ớ
i hai phép toán c
ộ
ng ánh x
ạ
và nhân ánh x
ạ
v
ớ
i vô h
ướ
ng (thu
ộ
c
K
) là m
ộ
t
K
- không gian vect
ơ
. Tìm s
ố
chi
ề
u c
ủ
a T n
ế
u bi
ế
t dim
V
=
n
, dim
W
=
m
.
3.
G
ọ
i
( )
p
A V
là t
ậ
p các d
ạ
ng
p
- tuy
ế
n tính thay phiên trên
K
- không gian vect
ơ
V
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng
( )
p
A V
v
ớ
i hai phép toán c
ộ
ng ánh x
ạ
và nhân ánh x
ạ
v
ớ
i vô h
ướ
ng (thu
ộ
c
K
là m
ộ
t
K
-
không gian vect
ơ
. Tìm dim
( )
p
A V
n
ế
u bi
ế
t dim
V
=
n
.
4.
Gi
ả
s
ử
V
,
W
là nh
ữ
ng
K
- không gian vect
ơ
,
, ,
K
=
ℚ ℝ ℂ
… là nh
ữ
ng ánh x
ạ
p
- tuy
ế
n tính t
ừ
V
đế
n
W
. Ch
ứ
ng mnh r
ằ
ng:
a. N
ế
u
1
( , , )
p
α α
là h
ệ
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính trong
V
thì
1
( ( , , ) 0
p
W
ϕ α α
= ∈
.
b. N
ế
u c
ộ
ng thêm vào m
ộ
t vect
ơ
trong h
ệ
1
( , , )
p
α α
c
ủ
a
V
m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các
vect
ơ
còn l
ạ
i thì giá tr
ị
c
ủ
a
ϕ
(trên các h
ệ
đ
ó) không thay
đổ
i.
5.
V
là m
ộ
t
ℝ
- không gian vect
ơ
n
chi
ề
u. C
ơ
s
ở
1
( , , )
n
ε ε ε
=
c
ủ
a
V
g
ọ
i là cùng h
ướ
ng v
ớ
i c
ơ
s
ở
1
( , , )
n
α α α
=
c
ủ
a
V
n
ế
u
1
( , , ) 0
p
D
ε
α α
>
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng quan h
ệ
“cùng h
ướ
ng” là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đườ
ng trong t
ậ
p các c
ơ
s
ở
c
ủ
a
V
.
Trong không gian vect
ơ
th
ự
c
2
ℝ
, h
ỏ
i các c
ơ
s
ở
((2,1),( 2,1))
−
và
((1,2),(2, 1))
−
có cùng h
ướ
ng
không?
6.
Tính các
đị
nh th
ứ
c sau trong
ℂ
a.
a c di
c di b
+
−
b.
cos isin 1
1 cos isin
α α
α α
+
−
22
7.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i
a
,
b
,
c
∈
ℝ
ph
ươ
ng trình
0
a x b
b c x
−
=
−
luôn có nghi
ệ
m th
ự
c
8.
Tính các
đị
nh th
ứ
c sau:
a.
2 3 4 1
4 2 3 2
3 1 4 3
a b c d
−
−
−
b.
3 0 5
0 0 2
1 2 3
0 0 0
a
b
c
d
c.
1 0 2
2 0 0
3 4 5
0 0 0
a
b
c
9.
Không khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
2
2
2
1
1
1 1
1
1
a a
a bc
b ca b b
c ab
c c
=
b)
3 2
3 2
3 2
1 1
1 ( ) 1
1 1
a a a a
b b a b c b b
c c c c
= + +
c)
2
2
2
1
1 ( )( )( )
1
a a
b b b a c a c b
c c
= − − −
10.
tính các
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n sau:
a)
1 2 3
1 0 3
1 2 0
1 2 3
n
n
n
n
−
− −
− − −
b)
1 2 3
1 1 3
1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x n
n
n x
+
+
+ −
c)
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 0
0 0 0 0
d)
1 2 3 1
1 3 3 1
1 2 5 1
1 2 3 2 3
1 2 3 1 2 1
n n
n n
n n
n n
n n
−
−
−
−
− −
23
11.
A
là m
ộ
t ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n ph
ả
n
đố
i x
ứ
ng, t
ứ
c
t
A A
= −
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
n
l
ẻ
thì
A
suy bi
ế
n.
12.
A
là m
ộ
t ma tr
ậ
n vuông ph
ứ
c sao cho
ij
, ,
ji
a a i j
= ∀
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng det
A
là m
ộ
t s
ố
th
ự
c.
13.
A
là m
ộ
t ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p
n
2
≥
.
A
là ma tr
ậ
n ph
ụ
h
ợ
p c
ủ
a
A
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
det
A
=
1
(det )
n
A
−
.
14
. Tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a các ma tr
ậ
n sau:
a)
os sin
sin os
c
c
α α
α α
−
b)
2 5 7
6 3 4
5 2 3
− −
c)
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
− −
− −
− −
15.
Tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a các ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p sau:
a)
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
b)
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
16.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình ma tr
ậ
n (
X
là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p 3 ph
ả
i tìm):
a)
1 2 3 1 3 0
3 2 4 10 2 7
2 1 0 10 7 8
X
− −
− =
−
b)
5 3 1 8 3 0
1 3 2 5 9 0
5 2 1 38 19 0
X
−
− − = −
−
18.
A
là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p
n
không suy bi
ế
n trên tr
ườ
ng
K
, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
A
là tích m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n ma tr
ậ
n d
ạ
ng ( , ), ( , , ), ( , 1, , ); ,
D i E i j i j n i j K
λ λ λ
= ≠ ∈
)
1
1
( , ) ( , , )
1
1
i i
D i i E i j j
λ λ λ
λ
= =
19.
Gi
ả
s
ử
1 2 3 4
( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )
B Mat p r K B Mat p s K B Mat q r K B Mat q s K
∈ ∈ ∈ ∈
1 2 3 4
( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )
A Mat m p K A Mat m q K A Mat n p K A Mat m q K
∈ ∈ ∈ ∈
Khi
đ
ó phép nhân ma tr
ậ
n khung
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n theo quy t
ắ
c sau:
24
1 1 2 3 1 2 2 41 2 1 2
3 4 3 4
3 1 4 3 3 2 4 4
A B A B A B A B
A A B B
A A B B
A B A B A B A B
+ +
=
+ +
a.Tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a ma tr
ậ
n khung
( )
0
k
l
I C
k l n
I
+ =
b.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
1 2
1 4
3 4
, ,
A A
A A A
A A
=
là các ma tr
ậ
n không suy bi
ế
n thì
1
1 4 3 1 2
det( ) det( ).det( )
A A A A A A
−
= −
(
H
ướ
ng d
ẫ
n:
vi
ế
t
A
d
ướ
i d
ạ
ng
1
1 1 2
1
3
4 1 2
0
0
k
l
A I A A
A I
A A A
−
−
−
20.
Ma tr
ậ
n A
đượ
c g
ọ
i là
đồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i ma tr
ậ
n B n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t ma tr
ậ
n không suy bi
ế
n T sao
cho
1
B T AT
−
=
. Ch
ứ
ng minh các ma tr
ậ
n sau
đồ
ng d
ạ
ng:
a.
5 1 38 81
9 1 16 34
A B
− −
= =
− −
b.
76 6 14 60
45 16 3 13
A B
− −
= =
− −
21.
Tính h
ạ
ng c
ủ
a các ma tr
ậ
n sau:
a)
47 67 35 201 155
26 98 23 294 86
16 428 1 1284 52
−
−
−
b)
25 31 17 43
95 94 53 132
75 94 54 134
25 32 20 48
22.
Tính h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n sau theo
R
λ
∈
1 1 2
2 1 5
1 10 6 1
λ
λ
−
−
−
23.
Tính h
ạ
ng c
ủ
a h
ệ
các vect
ơ
a.
{
}
1 2 3 4
(1,2,3,4); (2,3,4,5); (3,4,5,6); (4,5,6,7)
α α α α
= = = =
b
{
}
1 2 3 4
(2,1, 3,1); (4,2, 6,2); (6,3, 9,3); (1,1,1,1)
α α α α
= − = − = − =
24.
Tính h
ạ
ng c
ủ
a ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
3 3
:
f →
ℝ ℝ
bi
ế
n các vect
ơ
1 2 3
(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)
α α α
= = =
theo th
ứ
t
ự
thành các vect
ơ
1 2 3
' (2,2,4), ' (1,1,2), ' (1, 1,0)
α α α
= = = −
.
25.
Nghiên c
ứ
u h
ạ
ng c
ủ
a m
ộ
t ma tr
ậ
n (vuông) d
ạ
ng tam giác trên.
26.
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n h
ệ
ph
ươ
ng trình (theo các tham s
ố
a
,
b
,
c
):
25
2 3
2 3
2 3
x ay a z a
x by b z b
x cy c z c
+ + =
+ + =
+ + =
27.
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n (theo
R
λ
∈
) c
ủ
a các h
ệ
ph
ươ
ng trình:
a)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 2 3
4 6 3 4 5
6 9 5 6 7
8 12 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
λ
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
b)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
1
1
1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
λ
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
28.
Tìm nghi
ệ
m t
ổ
ng quát và h
ệ
nghi
ệ
m c
ơ
b
ả
n c
ủ
a các h
ệ
ph
ươ
ng trình thu
ầ
n nh
ấ
t sau:
a)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 7 0
4 2 7 5 0
3 2 7 5 0
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =
− + + =
− + + =
b)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 4
1 2 3 4 5
5 6 2 7 4 0
2 3 4 2 0
7 9 3 5 6 0
5 9 3 6 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ − + + =
+ − + + =
+ − + + =
+ − + + =
c)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 4 2 3 0
5 7 3 4 0
4 5 2 5 0
7 10 6 5 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
29.
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình
a)
1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
1
4
3
2
1
x x
x x x
x x x
x x x
x x
+ =
+ + =
+ + = −
+ + =
+ = −
b)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 7 5
6 3 7
4 2 14 31 18
x x x x
x x x x
x x x x
− + − =
− + − =
− + − =
30.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 2 3
( , , )
ε ε ε
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a
3
ℝ
và khai tri
ể
n
α
theo c
ơ
s
ở
đ
ó trong các tr
ườ
ng
h
ợ
p sau:
a)
{
}
1 2 3
(2,1,1); (6,2,5); (7,1,7) , (0, 2, 1)
ε ε ε α
= = = = − −
b)
{
}
1 2 3
(2,1, 3); (3,2, 5); (1, 1,1) , (2, 3,4)
ε ε ε α
= − = − = − = −
31.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ỗ
i h
ệ
vect
ơ
sau là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
3
ℝ
và tìm m
ố
i liên h
ệ
c
ủ
a cùng m
ộ
t
vect
ơ
trong hai c
ơ
s
ở
đ
ó.
1 2 3
(1,2,1), (2,3,3), (3,7,1
α α α
= = =
và
1 2 3
' (5,8,7), ' (3,5, 4), ' (0,3, 4
α α α
= = = −
32.
Tìm s
ố
chi
ề
u và m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a không gian vect
ơ
con sinh b
ở
i các vect
ơ
sau trong
4
R
1 2 3 4 5
(1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1,2,3,4),
(0,1,2,3)
α α α α α
= − = = = =
