quy tắc simpson và bất đẳng thức hermite hamamard cho hàm không lồi

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>CHO HÀM KHÔNG LỒI</b>

<b>Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 </b>

<b>LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC </b>

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

<b>TS. Trịnh Ngọc Hải</b>

<b>THÁI NGUYÊN - 2022</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

1.2 BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi . . . 16

1.2.1 BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi . . . 16

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Mð ¦u

Cho f : I _R _{R l mởt hm lỗi xĂc nh trản têp con} I cừa têp số thỹc R v  a, b ∈ I vỵi a ̸= b. BĐt ng thực nời tiáng

ữủc biát dữợi tản gồi bĐt ng thực Hermite  Hadamard [5]. HƯu hát cĂc bĐt ng thực quen thuởc liản quan án giĂ tr trung bẳnh cừa tẵch phƠn cừa hm Luên vôn trẳnh by mởt nghiản cựu mợi Ơy trong [7] v mởt số ti liằu liản quan và mởt dÔng cừa bĐt ng thùc Hermite  Hadamard èi vỵi c¡c h m sè khỉng lỗi cụng nhữ khổng lóm. Ơy l mởt bián th cừa bĐt ng thực tẵch phƠn Hermite  Hadamard cho cĂc hm khÊ vi cĐp hai, ỗng thới l mởt cÊi tián cừa loÔi bĐt ng thực ny trong trữớng hủp hm lỗi/lóm. Ngoi ra, luên vôn cỏn à cêp án cĂc bĐt ng thực kp ối vợi quy tưc Simpson v mởt số m rởng.

Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by trong hai chữỡng. Trong chữỡng Ưu tiản, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ s cừa giÊi tẵch lỗi cụng nhữ giợi thiằu và bĐt ¯ng thùc Hermite  Hadamard cịng c¡c ùng dưng. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· quy t­c Simpson cì b£n v  phực hủp trong viằc tẵnh xĐp x tẵch phƠn xĂc ành cịng c¡c b§t ¯ng thùc k²p ¡nh gi¡ ë chẵnh xĂc cừa cĂc quy tưc ny. PhƯn cuối cừa Chữỡng 2 trẳnh by và mởt số bĐt ng thực Hermite  Hadamard cho lợp hm khổng lỗi cụng nhữ khổng lóm những khÊ vi liản tửc

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

cĐp n vợi n lƯn lữủt bơng 2, 3, 4 v 6. Xuyản suốt luên vôn l hằ thống cĂc vẵ dử và cĂc bĐt ng thực cõ th phửc vử trong viằc giÊng dÔy toĂn hồc bêc phờ thổng. CĂc vẵ dử ny l hằ quÊ trỹc tiáp tứ nhỳng kát quÊ chẵnh  ữủc trẳnh by trong luên vôn.

Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc- Ôi hồc ThĂi Nguyản. Lới Ưu tiản tĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS. Trnh Ngồc HÊi. ThƯy  dnh nhiÃu thới gian hữợng dăn cụng nhữ giÊi Ăp cĂc thưc mưc cừa tổi trong suốt quĂ trẳnh lm luên vôn. Em xin by tọ lỏng biát ỡn sƠn sưc tợi thƯy.

TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn ton th cĂc thƯy cổ trong Khoa ToĂn - Tin, trữớng Ôi hồc khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh hữợng dăn, truyÃn Ôt kián thực trong suốt thới gian theo hồc, thỹc hiằn v hon thnh luên vôn. CÊm ỡn sỹ giúp ù cừa bÔn b, ngữới thƠn v cĂc ỗng nghiằp trong thới gian lm luên vôn.

ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2022 TĂc giÊ lm luên vôn

PhÔm Th Phữỡng Anh

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Chữỡng 1

Hm lỗi v bĐt ng thực Hermite  Hadamard

Chữỡng ny giợi thiằu và hm lỗi, mởt số tẵnh chĐt cừa hm lỗi, bĐt ng thực Hermite  Hadamard cho hm lỗi/lóm v mởt vi Ăp dưng ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t. Nởi dung cừa chữỡng ữủc viát trản cỡ s tờng hđp ki¸n thùc tø [1, 5, 7, 2, 6].

1.1 H m lỗi

1.1.1 Têp hủp lỗi

:= {a + (1 )b ∈_Rⁿ | λ ∈ _R} .

δ := {λu + (1 − λ)v ∈ _Rⁿ | λ ∈ [0, 1]} .

th¯ng i qua hai iºm b§t ký cõa nâ.

th¯ng nèi hai iºm cõa tªp â.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Mët sè tªp lỗi thữớng gp trong R<small>2</small> l: hẳnh trỏn, hẳnh cƯu, hẳnh vuổng. . . Trong khi õ, ữớng trỏn, hẳnh vnh khôn l cĂc têp khổng lỗi.

<small>i=1</small>_i = 1, _i ∈ [0, 1] vỵi måi i = 1, . . . , n.

mồi tờ hủp lỗi cừa cĂc im thuởc têp hủp õ.

Giao cừa hai têp lỗi bĐt ký l mởt têp lỗi. Tuy nhiản, hủp cừa hai têp lỗi cõ th khổng phÊi l têp lỗi. Trong mằnh à sau, ta li»t k¶ mët sè ph²p to¡n b£o to n tẵnh chĐt lỗi cừa cĂc têp hủp.

Khi õ, cĂc têp sau cụng l têp lỗi:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

A := {αa | a ∈ A};

ˆ A × C := {(a, c) | a A, c C}.

lÔi khổng óng. X²t v½ dư sau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

1.1.2 H m lỗi

R {+}.

f (x + (1 )y) max{f (x); f (y)} ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].

ký thuởc ỗ th Ãu nơm phẵa trản ỗ th cừa h m sè â. Hiºn nhi¶n, trong c¡c

khi v  ch¿ khi h m

g(.) := f (.) − ^γ 2∥.∥²

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>Hẳnh 1.2: ỗ th cừa mởt hm tỹa lỗi những khổng lỗi</small>

<small>Hẳnh 1.3: ỗ th cừa mởt hm khổng tỹa lỗi</small>

domf := {x Rⁿ | f (x) < +∞}.

ˆ epif := {(x, y) ∈ Rⁿ ×_R | f (x) ≤ y}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

h(y) := inf{∥y − x² | x C}.

1.1.3 Mởt số tẵnh chĐt cừa hm lỗi

Cho A, B _Rⁿ l cĂc têp lỗi v cĂc hm lỗi f : A _R {+∞} v 

g : B → _R∪ {+∞}. Khi â, c¡c hm sau cụng lỗi trản A B (f + g)(x) := f(x) + g(x).

ˆ max{f, g}(x) := max{f(x), g(x)}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>Hẳnh 1.4: Hm f(x) lỗi lỗi trản C những khổng liản tửc tÔi 0</small>

hm chẵnh thữớng n¸u

ˆ domf ̸= ∅;

ˆ f(x) > −∞ ∀x ∈ C.

f (x) + ⟨∇f (x), y − x⟩ ≤ f (y) ∀x, y ∈ C.

⟨H(x)y, y⟩ ≥ 0 ∀y ∈ _Rⁿ, x ∈ C.

f (y) ≥ f (x) + ⟨w, y − x⟩ ∀y ∈ C.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Tªp hđp tĐt cÊ cĂc dữợi Ôo hm cừa f tÔi x ữủc gồi l dữợi vi phƠn cừa

Tiáp theo, ta trẳnh b y mët v i ùng dưng cõa b§t ¯ng thùc Jensen trong viằc chựng minh cĂc bĐt ng thực thữớng gp trong giÊng dÔy toĂn hồc bêc

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

1.2 BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi

1.2.1 BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Chữỡng 2

Quy t­c Simpson v  b§t ¯ng thùc Hermite  Hadamard cho hm khổng lỗi

Chữỡng ny trẳnh by v phƠn tẵch mởt số bĐt ng thực tẵch phƠn mợi dÔng Hermite  Hadamard cho hm khổng lỗi, cĂc bĐt ng thực kp ối vợi quy tưc Simpson cũng viằc Ăp dửng xƠy dỹng mởt số bĐt ng thực trong chữỡng trẳnh ToĂn phờ thổng. Nởi dung cừa chữỡng ữủc viát dỹa trản ti liằu tham khÊo

<small>a</small> f (x)dx ữủc xĐp x bi diằn tẵch cừa mởt hẳnh thang vuổng vợi

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>Hẳnh 2.1: Cổng thực hẳnh thang tẵnh xĐp x tẵch phƠn</small>

thĐp. Tiáp theo, ta s cÊi tián phữỡng phĂp ny  cõ ữủc mởt xĐp x vợi ở

[¹₂(a + b), b] v  x§p x¿ h m f (x) bði mët hm bêc hai, cõ ỗ th i qua ba im

(a, f (a)), (^a+b₂ , f (^a+b₂ )), (b, f (b)). Ta xƠy dỹng cổng thực xĐp x cõ dÔng

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

F (a+2h) = F (a)+2hF^′(a)+2h²F^′′(a)+⁴

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

x_i = a + ih, vỵi 0 ≤ i ≤ n. Khi õ,

Cổng thực xĐp x (2.3) ữủc gồi l quy t­c Simpson phùc hđp. ë ch½nh x¡c cõa ph²p xĐp x ny cng cao náu số oÔn chia cừa phữỡng phĂp cng lợn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Ta s Ăp dưng cỉng thùc h¼nh thang, quy t­c Simpson cì b£n v  phùc hđp

<small>0dx</small>

p dưng cỉng thùc h¼nh thang, gi¡ trà tẵch phƠn ữủc tẵnh xĐp x bi cổng

Vợi cổng thực Simpson cỡ bÊn, ta cõ tẵch phƠn ữủc tẵnh xĐp x

Trong cổng thực xĐp x Simpson, cĂc sai số ữủc Ănh giĂ thổng qua Ôo

cõ cĐu trúc phực tÔp. Trong nh lỵ dữợi Ơy, chúng tổi trẳnh by mởt Ănh

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

. . . < x_n = b sao cho ở di mội oÔn chia tián và 0 khi ntián ra vổ cũng. Trản

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Ta thu ữủc iÃu cƯn chựng minh.

Tứ õ suy ra iÃu c¦n chùng minh.

Trong h» qua sau, sai sè cho cỉng thực Simpson phực hủp ữủc suy ra trỹc tiáp tứ nh lỵ 2.1.1 bơng cĂch Ăp dửng Ănh giĂ (2.9) cho tứng oÔn chia.

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

trong õ S<small>n</small> l xĐp x cừa tẵch phƠn khi Ăp dửng cổng thùc Simpson phùc hđp

Ti¸p theo, chóng tỉi sû dưng H» quÊ 2.1.2  xƠy dỹng mởt số bĐt ng thực phửc vử cho giÊng dÔy toĂn bêc phờ thổng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

cho hm khổng lỗi

Ta s xƠy dỹng mởt bĐt ng thực dÔng Hermite  Hadamard cho hm số

f (x) khổng lỗi, khổng lóm vợi iÃu kiằn f⁽ⁿ⁾ tỗn tÔi v liản tửc trản E := [a, b],

f C⁽ⁿ⁾(E). Kỵ hiằu m_n = m_n(a, b; f ) := min_t∈Ef⁽ⁿ⁾t, M_n = M_n(a, b; f ) :=

tưc c§p 4. iÃu ny hÔn chá khÊ nông Ăp dửng cừa cỉng thùc. Ta s³ t¼m c¡ch kh­c phưc i·u n y bơng cĂch xƠy dỹng mởt bĐt ng thực tữỡng tỹ cho lợp

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Trong trữớng hủp C⁽³⁾(E), ta s chựng minh

Kát quÊ Ưu tiản m chúng tổi trẳnh by l mởt bián th cừa bĐt ng thực Hermite  Hadamard cho cĂc hm khổng lỗi/ lóm những cõ Ôo hm cĐp hai trản E := [a, b].

v  m₂ := min_x∈[a,b]{g^′′(x)}. Ta câ

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

K¸t hỡp (2.10) v (2.11), ta thu ữủc iÃu cƯn chựng minh.

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Ta thu ữủc iÃu cƯn chựng minh.

Tiáp án, ta trẳnh by mởt Ănh giĂ liản quan án cĂc hm khÊ vi cĐp 3 trản

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Kiºm tra trüc ti¸p, ta câ thº h m sè ny khÊ vi liản tửc cĐp 3. p dửng quy

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Chựng minh. Viằc chựng minh nh lỵ düa tr¶n hai bê · sau.

≤ h(pa + qb) + h(qa + pb) ≤ h(a) + h(b).

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

p dửng Bờ Ã 2.2.9, ta thu ữủc iÃu cƯn chựng minh.

nh lỵ 2.2.7 l nÃn tÊng cho viằc chựng minh kát quÊ tiáp theo, mởt phiản bÊn cÊi tián cừa quy tưc Simpson cho lợp hm khÊ vi liản tửc cĐp 6.

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Chựng minh. Vợi mởt h m g ∈ C⁽⁶⁾(E) ¢ cho, ta x²t h m phư f (x) = g(x)

th suy ra cĂc dÔng khĂc nhau cõa quy t­c Simpson mð rëng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

l khổng Ơm. Mt khĂc, bĐt ng thực (2.15) cõ th viát dữợi dÔng:

Do W 0 nản vá trĂi cừa (2.16) lợn hỡn vá trĂi cừa (2.12) trong khi vá phÊi lÔi nhọ hỡn. Nõi cĂch khĂc, bĐt ng thùc k²p (2.16) cho ta mët ¡nh gi¡ x§p x¿ Simpson tèt hìn (2.12).

2.2.2 Mët sè ¡p dưng

Trong ph¦n n y, chúng tổi Ăp dửng cĂc kát quÊ Â ữủc trẳnh by trong mửc trữợc  xƠy dỹng mởt số bĐt ơng thực sỷ dửng trong giÊng dÔy toĂn hồc

cụng khỉng lãm tr¶n kho£ng n y, chóng ta s³ ¡p dưng nh lỵ 2.2.2. Ta cõ

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Kát luên

Trong luên vôn ny, chúng tổi  à cêp nhỳng vĐn à sau

tẵnh chĐt cừa chúng. Cuối Chữỡng 1, chúng tổi Ăp dửng bĐt ng thực Jensen cừa hm lỗi  chựng minh mởt số bĐt ng thực thữớng gp trong giÊng dÔy toĂn bêc phờ thổng.

phƠn xĂc nh cũng cĂc bĐt ng thực Ănh giĂ ở chẵnh xĂc cừa cĂc quy tưc ny. CĂc ữợc lữủng sai số cõ th ữủc tián hnh trong hai trữớng hủp:

lóm. BĐt ng thực ữủc xƠy dỹng cho cĂc lợp hm khổng lỗi/lóm những

hủp hm lỗi hoc lóm, kát quÊ ữủc trẳnh by l mởt cÊi tián cho bĐt ng

bơng cĂch xt mởt vẵ dử cử th, chúng tổi  ch ra ữủc hơng số trong bĐt ng thực mợi thu ữủc l tốt nhĐt cõ th. Trong phƯn Ăp dửng, chúng tổi

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Ti liằu tham khÊo

Tiáng Viằt

[1] TrƯn Vụ Thiằu, Nguyạn Th Thu Thừy, Tối ữu phi tuyán  Lỵ thuyát v phữỡng phĂp giÊi, NXB BĂch Khoa H Nởi, 2021.

[2] L. D. Mữu, N. V. HiÃn, Nhêp mổn giÊi tẵch lỗi ựng dửng, Nh xuĐt bÊn Khoa hồc tỹ nhiản v cổng nghằ H Nởi, (2009).

Tiáng Anh

[3] E.W. Cheney, D.R. Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole Publishing Co., 2007

[4] S.S. Dragomir, R.P. Agarwal, and P. Cerone, On Simpson's inequality and applications, 135, 2002

[5] J. Hadamard, ’tude sur les propri²t²s des fonctions enti`eres et en parti-culier d'une fonction consid²r²e par Riemann, J. Math. Pures Appl., 58, 171215, 1893

[6] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, 1970

[7] S. Simi
c, B. Bin-Mohsin, Simpson's rule and HermiteHadamard

doi:10.3390/math8081248, 2020

[8] H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming, Theory and Algo-rithms, John Wiley and Sons. Inc., Singapore, 1993

</div>