thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC </b>

<b><small>---</small></b>



<b><small>--- </small></b>

<b>PHÙNG THỊ THU HUYỀN</b>

<b>THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG </b>

<b>Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 </b>

<b>LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC </b>

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

<b>TS. Nguyễn Thị Thanh Huyền</b>

<b>THÁI NGUYÊN - 2022</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Mưc lưc

1.1. Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· GiÊi tẵch lỗi . . . . 4 1.2. Tẵnh ỡn iằu cừa song hm cƠn bơng . . . . 7 1.3. Bi toĂn cƠn bơng v cĂc bi toĂn liản quan . . . . 7 2 Thuêt toĂn Ôo hm tông cữớng giÊi bi toĂn cƠn bơng 10 2.1. Thuªt to¡n . . . 10 2.2. Sü hëi tư cõa thuªt to¡n . . . 13 2.3. p dửng cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hén hđp a trà . 25 2.4. V½ dư sè . . . 27

<small>i</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Líi nâi ¦u

Cho K l têp con lỗi õng khĂc rộng trong khổng gian n chi·u R<small>n</small> v  f : K × K Rⁿ {+} l mởt song hm cƠn bơng, tực l thọa mÂn f (x, x) = 0 vợi mồi x K. Xt bi toĂn cƠn bơng theo nghắa L. D. Muu v Oettli [9] cõ dÔng:

Tẳm x<small></small> ∈ K sao cho f(x<small>∗</small>, y) ≥ 0 vỵi måi y K.

BĐt ng thực trản ữủc H. Nikaido v K. Isoda [10] sỷ dửng lƯn Ưu tiản vo nôm 1955 trong khi nghi¶n cùu trá chìi khỉng hđp t¡c. Nôm 1972, Ky Fan [7] gồi l bĐt ng thực minimax v ổng  ữa ra cĂc kát quÊ và sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn ny. Thuêt ngỳ bi toĂn cƠn bơng ữủc sỷ dửng lƯn Ưu tiản bði L.D. Muu v  W. Oettli [9] n«m 1992. B i toĂn cƠn bơng bao hm nhiÃu lợp bi toĂn quan trồng nhữ bi toĂn tối ữu, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn im bĐt ởng Kakutani, bi toĂn cƠn bơng Nash trong lỵ thuyát trỏ chỡi khổng hủp tĂc, ... Bi toĂn cƠn bơng ữủc nghiản cựu bi nhiÃu nh khoa hồc trong v ngoi nữợc cÊ và sỹ tỗn tÔi nghiằm v phữỡng phĂp giÊi. Trong õ, hữợng nghiản cựu và phữỡng phĂp giÊi cõ th nõi l ữủc quan tƠm nhiÃu hỡn.

Mởt số phữỡng phĂp giÊi bi toĂn cƠn bơng cõ th k án l phữỡng phĂp im gƯn kÃ, phữỡng phĂp im bĐt ởng, ... CĂc phữỡng phĂp ny dỹa trản nguyản lỵ bi toĂn phử. Nguyản lỵ bi toĂn phử, ữủc Cohen [3] giợi thiằu lƯn Ưu tiản cho bi toĂn tối ữu, sau â mð rëng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bián phƠn. GƯn Ơy, Mastroeni [8] m rởng nguyản lỵ bi toĂn phử cho bi toĂn cƠn bơng vợi song hm cƠn bơng ỡn iằu mÔnh thọa mÂn iÃu kiằn Lipschitz. Tuy nhiản, cĂc thuêt toĂn dỹa trản nguyản lỵ b i to¡n phư, trong tr÷íng hđp têng qu¡t khỉng hëi tử cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn i»u l  mët tr÷íng hđp °c bi»t cõa b i to¡n cƠn bơng ỡn iằu.  khưc phửc nhữủc

<small>1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

iºm n y, c¡c t¡c gi£ trong t i li»u [11] Â sỷ dửng nguyản lỵ bi toĂn phử  m rởng phữỡng phĂp Ôo hm tông cữớng giÊi bi toĂn cƠn bơng ỡn iằu. Trong õ, phữỡng phĂp Ôo hm tông cữớng, ữủc giợi thiằu lƯn Ưu tiản bi Korpelevich [6]  tẳm im yản ngỹa, ữủc sỷ dửng  giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu.

Luên vôn têp trung trẳnh by phữỡng phĂp Ôo hm tông cữớng giÊi bi toĂn cƠn bơng ỡn iằu trản cỡ s ồc hiu v trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát nởi dung cừa bi bĂo [11]. Luên vôn gỗm cõ 2 chữỡng gỗm nhỳng nởi dung sau:

Trong chữỡng 1, chóng tỉi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· Gi£i tẵch lỗi nhữ têp lỗi, hm lỗi, hm lỗi mÔnh. Tiáp theo chúng tổi trẳnh by tẵnh ỡn iằu cừa song hm nhữ ỡn iằu mÔnh, ỡn iằu, giÊ ỡn i»u v  mèi quan h» giúa chóng. Chóng tỉi cơng trẳnh by và bi toĂn cƠn bơng v cĂc bi toĂn liản quan. Nởi dung chẵnh cừa chữỡng ny ữủc viát dỹa trản cĂc ti liằu [2, 4, 5]. Trong chữỡng 2 cừa luên vôn, chúng tổi trẳnh by thuêt toĂn Ôo hm tông cữớng giÊi bi toĂn cƠn bơng. Nởi dung chẵnh cừa chữỡng ny ữủc tham khÊo chừ yáu tứ ti liằu [11].

Luên vôn ny ữủc thỹc hiằn tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản v hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS. Nguyạn Th Thanh HuyÃn. Tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc tợi Cổ, ngữới  dnh nhiÃu thới gian hữợng dăn, tên tẳnh ch b£o cho tỉi trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i ny.

Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban giĂm hiằu trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban chõ nhi»m khoa To¡n - Tin cịng c¡c th¦y cỉ Â tham gia giÊng dÔy v tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt  tổi hồc têp v nghiản cựu.

ỗng thới, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh thƠn yảu, cÊm ỡn cĂc bÔn v ỗng nghiằp  luổn ởng viản khẵch lằ tổi trong suốt quĂ trẳnh thỹc hi»n · t i. Sau cịng, tỉi xin k½nh chóc to n th thƯy cổ trữớng Ôi hồc Khoa hồc -Ôi hồc ThĂi Nguyản thêt dỗi do sực khọe  tiáp tửc sự mằnh cao quỵ trong sỹ nghiằp trỗng ngữới. Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Danh mửc kỵ hiằu

Rⁿ khổng gian vec tỡ thỹc Euclide n chi·u A^T ma trªn chuyºn và cõa ma trªn A (P EP ) Bi toĂn cƠn bơng

(DEP ) Bi toĂn cƠn bơng ối ngău

K Têp nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng

K^d Têp nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng ối ngău ∇G(x) gradient cõa h m G(x)

∇₂L(x, x) gradient cõa h m L(x, .) tÔi x

₂f (x, y) Dữợi vi phƠn theo bián thự 2 cừa hm f(x, .) tÔi y N_K(x) Nõn phĂp tuyán cừa têp K tÔi x

<small>3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Chữỡng 1

Mởt số kián thực chuân b

Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn và têp lỗi, hm lỗi, hm lỗi mÔnh. Tiáp theo, chúng tổi trẳnh by và tẵnh ỡn iằu cừa song hm; bi toĂn cƠn bơng v mởt số bi toĂn liản quan. Nởi dung chẵnh cừa chữỡng ữủc tham khÊo trong c¡c t i li»u [1, 2, 4, 5].

1.1. Mët sè ki¸n thực cỡ bÊn và GiÊi tẵch lỗi

Cho x v y l  hai ph¦n tû thuëc R<small>n</small>, kho£ng âng [x, y] ữủc nh nghắa nhữ sau:

[x, y] := {x + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]}.

ành ngh¾a 1.1. [2, 4] Mởt têp con cừa R ữủc gồi l têp lỗi náu [x, y] khi m x, y . Nõi cĂch khĂc, têp ữủc gồi l têp lỗi náu x+(1)y ,

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Vêy <small>2</small> l têp lỗi.

nh nghắa 1.2. [1] Cho K R<small>n</small> l mởt têp lỗi v mởt im x K. Nõn phĂp tuyán (ngoi) cừa K tÔi x x¡c ành bði

N_K(x) = {v ∈ Rⁿ : ⟨v, x − x⟩ ≤ 0, ∀x ∈ K}.

ành ngh¾a 1.3. [2] Cho f : Ω → R = R ∪ {+∞} l  mët h m nhªn gi¡ trà trong tªp sè thüc m rởng xĂc nh trản têp con lỗi cừa R<small>n</small>. Hm f ữủc gồi l hm lỗi trản náu

nh nghắa 1.4. [5] Cho l têp con lỗi trong R<small>n</small>, mët h m g : Ω → R ÷đc gồi l lỗi mÔnh vợi hơng số trản , náu vợi mội > 0, x, y v  λ ∈ [0, 1] thäa m¢n

g(λx + (1 − λ)y) ≤ λg(x) + (1 − λ)g(y) − ^τ

2^{λ(1 − )x y}

Náu g l hm lỗi mÔnh thẳ suy ra g l hm lỗi.

Vẵ dử 1.3. Hm g(x) = 2x<small>2</small> trong khổng gian R l hm lỗi mÔnh vợi hơng số l 4.

nh nghắa 1.5. [1] Cho f : R<small>n</small> (, +) l mởt hm lỗi v x ∈ domf (tùc l  f(x) < +∞)). Mët ph¦n tû v R<small>n</small> ữủc gồi l mởt dữợi Ôo hm cừa hm f tÔi x náu

v, x x f (x) − f (x), ∀x ∈ Rⁿ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Hồ tĐt cÊ cĂc dữợi Ôo hm cừa hm f tÔi x ữủc gồi l dữợi vi phƠn cừa f tÔi xv kẵ hiằu l f(x). Hm f ữủc gồi l khÊ dữợi vi phƠn tÔi x náu f(x) = .

Sau Ơy l nh nghắa và hm nỷa liản tửc dữợi, nỷa liản tửc trản.

nh nghắa 1.6. [1, 2] Cho l têp con lỗi trong R<small>n</small>, = ∅, mët h m f : Ω → R ÷đc gåi l nỷa liản tửc dữợi tÔi im x náu vợi mội > 0 tỗn tÔi số > 0 sao cho f(x) − ε ≤ f(x) vỵi måi x ∈ Ω, ∥x − x∥ < δ. H m f ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi trản náu f nỷa liản tửc dữợi tÔi mồi im x ∈ Ω. H m f : Ω → R ÷đc gåi l nỷa liản tửc trản tÔi im x náu vợi mội > 0 tỗn tÔi số > 0 sao cho f(x) ≤ f(x) + ε vỵi måi x ∈ Ω, ∥x − x∥ < δ. H m f ữủc gồi l nỷa liản tửc trản trản náu f nỷa liản tửc trản tÔi mồi im x ∈ Ω.

H m f nûa li¶n tưc tr¶n khi v  ch¿ khi f nỷa liản tửc dữợi. Hm f liản tửc náu nõ vứa nỷa liản tửc dữợi, vứa nỷa liản tửc trản.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

1.2. Tẵnh ỡn iằu cừa song hm cƠn bơng

Cho song hm f : K ì K → R ∪ {+∞}. Song h m f thäa m¢n f(x, x) = 0 vỵi måi x ∈ K gåi l song hm cƠn bơng. Tẵnh ỡn iằu cừa song hm cƠn bơng ữủc cho bi nh nghắa sau.

nh nghắa 1.8. [2] Cho U v V l cĂc têp lỗi khĂc rộng trong khổng gian

vợi P, Q ữủc chồn sao cho Q èi xùng, nûa x¡c ành d÷ìng v  Q − P l  nûa x¡c ành ¥m, q ∈ R<small>n</small>. Khi õ, f l song hm ỡn iằu.

Thêt vêy, vợi méi u, v ∈ K, do Q − P l  nỷa xĂc nh Ơm nản f (u, v) + f (v, u) = ⟨(Q − P )(v − u), v u 0.

1.3. Bi toĂn cƠn bơng v cĂc bi toĂn liản quan

nh nghắa 1.9. [2] Cho K l têp con lỗi õng khĂc rộng trong khổng gian Euclide n chi·u v  f : K × K → R {+}. Bi toĂn cƠn bơng ữủc phĂt biu nhữ sau:

T¼m x<small>∗</small> ∈ K sao cho f(x<small>∗</small>, y) ≥ 0, ∀y ∈ K. (PEP)

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Khi â, x<small>∗</small> l  nghi»m cõa b i to¡n (DEP) n¸u v  ch¿ n¸u x<small></small> _xKL_f(x). Kẵ hiằu K<small></small> v K<small>d</small> lƯn lữủt l  c¡c tªp nghi»m cõa b i to¡n (PEP) v  (DEP). Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa hai bi toĂn ny  ữủc nhiÃu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu. Vẳ K<small>d</small> = _xKL_f(x)nản têp nghiằm K<small>d</small> l têp lỗi õng náu f(x, .) l têp lỗi õng trản K. Trong trữớng hủp tờng quĂt, K<small></small> cõ th khổng lỗi. Tuy nhiản náu f lỗi õng trản K ối vợi bián thự hai v hemi-liản tửc ối vợi bián thự nhĐt, thẳ K<small></small> l têp lỗi v K<small>d</small> K. Hỡn nỳa, náu f giÊ ỡn iằu trản K, thẳ K = K^d. Trong ch÷ìng sau, ta gi£ sû K<small>d</small> ̸= ∅.

B i toĂn cƠn bơng bao gỗm nhiÃu lợp bi toĂn quen thuëc nh÷ b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n b i to¡n bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn im bĐt ởng, bi toĂn cƠn bơng Nash. Sau Ơy l mởt số bi toĂn liản quan án bi toĂn cƠn bơng. Bi toĂn tối ữu

Cho g : K R vợi K l têp con lỗi õng trong khổng gian R<small>n</small>. Bi toĂn tối ữu l bi toĂn:

Tẳm x<small></small> K sao cho g(x<small>∗</small>) ≤ g(y), ∀y ∈ K. B¬ng c¡ch °t

f (x, y) = g(y) − g(x)

ta th§y b i to¡n tèi ữu tữỡng ữỡng vợi bi toĂn cƠn bơng theo nghắa têp nghiằm cừa hai bi toĂn trũng nhau.

Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn

Cho K R<small>n</small> l têp con lỗi õng v Ănh xÔ G : R<small>n</small> R<small>n</small>, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn cõ dÔng:

Tẳm x<small></small> ∈ K sao cho ⟨G(x<small>∗</small>), y − x^∗⟩ ≥ 0, ∀y ∈ K.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Khi â, theo [2] giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn tữỡng ữỡng vợi giÊi bi toĂn cƠn bơng vợi

f (x, y) = ⟨G(x), y − x⟩. B i to¡n iºm b§t ëng

Cho K R<small>n</small> l têp con lỗi õng v Ănh xÔ G : K K, bi toĂn tẳm im bĐt

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Chữỡng 2

Thuêt toĂn Ôo hm tông cữớng giÊi bi toĂn cƠn bơng

Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by thuêt toĂn Ôo hm tông cữớng giÊi bi toĂn cƠn bơng. Nởi dung chẵnh ữủc tham khÊo trong ti liằu [11].

2.1. Thuêt toĂn

Xt bi toĂn cƠn bơng

Tẳm x<small></small> K sao cho f(x<small>∗</small>, y) ≥ 0, vỵi måi y K,

trong õ K l têp con lỗi õng, khĂc réng trong khỉng gian R<small>n</small> v  f : K ×K → R ∪ {+∞}.

X²t h m L : K × K R l mởt song hm lỗi khÊ vi, khổng Ơm trản K theo bián thự hai y (vợi mội x ∈ K cè ành) sao cho

i) L(x, x) = 0 vỵi måi x ∈ K,

ii) ∇<small>2</small>L(x, x) = 0 vỵi måi x ∈ K, trong â ∇<small>2</small>L(x, x) l  Ôo hm theo bián thự hai cừa hm L(x, .) tÔi x. Chng hÔn, mởt vẵ dử cừa hm L l L(x, y) = ¹₂y x<small>2</small>.

Bi toĂn cƠn bơng phử ữủc nh nghắa nhữ sau:

Tẳm x<small></small> K sao cho ρf(x<small>∗</small>, y) + L(x^∗, y) ≥ 0, vỵi måi y ∈ K (AuPEP) trong â ρ > 0 l  tham sè hi»u ch¿nh.

Bê · 2.1. [8] Cho f : K × K → R ∪ {+∞} l  mët song hm cƠn bơng. Khi õ, cĂc phĂt biu sau tữỡng ÷ìng:

<small>10</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

i) x<small>∗</small> l  nghi»m cõa b i toĂn cƠn bơng (PEP); ii) x<small></small> l nghiằm cừa bi to¡n

<small>y∈K</small>f (x^∗, y).

p döng Bê · 2.1 cho song h m cƠn bơng f + L ta cõ x<small></small> l cỹc tiu cừa bi toĂn tối ữu lỗi

<small>yK</small>{f (x, y) + L(x, y)}.

Sỹ tữỡng ữỡng giỳa bi toĂn cƠn bơng v bi toĂn cƠn bơng phử ữủc cho bi bờ Ã sau.

Bê · 2.2. [8] Cho f : K × K R {+} l mởt song hm cƠn bơng,

Khi â x<small>∗</small> ∈ K l  nghi»m cõa b i to¡n c¥n bơng (PEP) náu v ch náu x<small></small> l nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng phử (AuPEP).

Trong thuêt toĂn sau, song hm phử ữủc cho bi cõ nghiằm duy nhĐt.

Tứ Bờ à 2.2, ta thĐy cổng thực dÔng im bĐt ởng cho bi toĂn cƠn bơng (PEP) gủi ỵ phữỡng phĂp l°p º gi£i b i to¡n (PEP) ÷đc cho bði x<small>k+1</small> = s(x^k) trong â s(x<small>k</small>) l  nghi»m duy nh§t cõa bi toĂn tối ữu lỗi mÔnh (Cx<small>k</small>). Tuy nhiản, ối vợi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu, l mởt trữớng hủp riảng cừa bi toĂn cƠn bơng ìn i»u (PEP), d¢y l°p {x<small>k</small>} câ thº khỉng hëi

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

tử. Nôm 1976, Korpelevich [6] lƯn Ưu tiản giợi thiằu thuêt toĂn Ôo hm tông cữớng  tẳm im yản ngỹa, sau õ ữủc m rởng cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu, xem [4]. ối vợi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ìn trà cho bði

T¼m x<small>∗</small> ∈ K sao cho ⟨F (x<small>∗</small>), x − x^∗⟩ ≥ 0, vỵi måi x ∈ K

thuêt toĂn Ôo hm tông cữớng (cỏn gồi l thuêt toĂn chiáu hai lƯn) xƠy dỹng hai dÂy {x<small>k</small>} v {u<small>k</small>} x¡c ành bði

u^k := P_K(x^k − ρF (x<small>k</small>)) v  x<small>k+1</small>:= P_K(x^k − ρF (u<small>k</small>)), trong â ρ > 0 v P<small>K</small> kẵ hiằu php chiáu lản têp K.

Tiáp theo, chúng tổi trẳnh by thuêt toĂn Ôo hm tông cữớng giÊi bi toĂn cƠn bơng. Trong suốt luên vôn, chúng tổi giÊ sỷ hm f(x., ) l hm lỗi, õng v khÊ dữợi vi phƠn trản K vợi mội x K. Dữợi giÊ thiát ny, bi toĂn phử cƯn  giÊi trong thuêt toĂn dữợi l cĂc bi toĂn tối ữu lỗi vợi hm mửc tiảu thu ữủc nghiằm tối ữu duy nhĐt y<small>k</small>.

Náu y<small>k</small> = x^k, dứng: x<small>k</small> l nghiằm cừa bi toĂn (PEP). Ngữủc lÔi, tiáp tửc tợi

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

2.2. Sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn

Bờ Ã sau ch ra rơng Thuêt toĂn 1 dứng sau mởt số hỳu hÔn bữợc lp, khi õ, chúng ta s tẳm ữủc nghiằm cừa bi toĂn (PEP).

Bờ Ã 2.3. [11] Náu thuêt toĂn dứng tÔi mởt im x<small>k</small> th¼ x<small>k</small> l  nghi»m cõa cõa b i to¡n (PEP).

Chùng minh. N¸u y<small>k</small> = x^k v  f(x, x) = 0 ta câ

ρf (x^k, y^k) + G(y^k) − G(x^k) − ⟨∇G(x^k), y^k− x^k⟩ = 0.

V¼ y<small>k</small> = x^k l  nghi»m cõa (2.2) n¶n

0 =ρf (x^k, y^k) + G(y^k) − G(x^k) − ⟨∇G(x^k), y^k − x^k⟩ ≤ρf (x^k, y) + G(y) − G(x^k)−⟩∇G(x^k), y − x^k⟩, ∀y ∈ K.

Do â, theo Bê · 2.2, x<small>k</small> l nghiằm cừa bi toĂn (PEP). nh lỵ sau Ơy thiát lêp sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 1. nh lỵ 2.1. [11] GiÊ sỷ

i) G l hm lỗi mÔnh vợi hơng số > 0 v khÊ vi liản tửc trản têp m chựa K.

ii) Tỗn tÔi hai hơng số a<small>1</small> > 0 v a<small>2</small> > 0 sao cho

f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − a₁∥y − x∥²− a₂∥z − y∥², ∀x, y, z ∈ K. (2.4) trong â l(y) = G(x<small>∗</small>) − G(y) − ⟨∇G(y), x^∗− y⟩ vỵi méi y ∈ K.

b) Gi£ sû th¶m i·u ki»n f(x, .) l  hm nỷa liản tửc dữợi trản K, f(., y) l h m nûa li¶n tưc tr¶n tr¶n K, v  0 < < min{(/2a<small>1</small>), (/2a₂)}, thẳ dÂy {x<small>k</small>} b chn v méi iºm tư cõa d¢y {x<small>k</small>} l  nghi»m cõa b i toĂn (DEP).

Hỡn nỳa, náu K<small>d</small> = K (trong trữớng hủp c biằt, náu f l giÊ ỡn iằu trản K), thẳ dÂy {x<small>k</small>} hởi tử tợi nghiằm cừa bi toĂn (PEP).

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Sû dưng i·u ki»n c¦n v  ừ cho bi toĂn tối ữu lỗi, ta thĐy x<small>k+1</small> l nghiằm cừa bi toĂn tối ữu lỗi

<small>yK</small>{f (y^k, y) + G(y) − G(x^k) − ⟨∇G(x^k), y − x^k⟩}, khi v  ch¿ khi

0 ∈ ∂₂{ρf (y^k, x^k+1) + G(x^k+1) − G(x^k) − ⟨∇G(x^k), x^k+1− x^k⟩} + N_K(x^k+1),

ð â, N<small>K</small>(x) l  nõn phĂp tuyán ngoi cừa K tÔi x K.

Vẳ f(y<small>k</small>, .) khÊ dữợi vi phƠn v G l hm lỗi mÔnh, khÊ vi trản K, nản theo nh lỵ Moreau-Rockafellar, tỗn tÔi w <small>2</small>f (y^k, x^k+1) sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Mt khĂc, theo Bữợc 1, vẳ y<small>k</small> l nghiằm cừa bi toĂn tối ữu lỗi

a₁y^k x^k² a₂x^k+1 y^k². (2.11) Vẳ G l hm lỗi mÔnh vợi hơng số > 0, vợi mội x, y, ta cõ

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Vêy dÂy {l(x<small>k</small>)_k0}l mởt dÂy khổng giÊm. Vẳ nõ l mởt dÂy b chn dữợi bi 0, nản nõ hởi tử tợi l<small></small>. Cho k → ∞, tø (2.14) suy ra

Do d¢y {l(x<small>k</small>)_k≥0} hëi tư nản dÂy {x<small>k</small>}_k0 b chn, suy ra tỗn tÔi ẵt nh§t mët iºm tư. Gi£ sû x ∈ K l  iºm tư v  d¢y con {x<small>k</small>_i}_i≥0 thäa m¢n

tùc l  x l  nghi»m cõa b i to¡n (AuPEP). Theo Bê · 2.2, x l  nghi»m cõa b i to¡n (PEP).

Gi£ sû K<small>d</small> = K^∗. Ta s³ chùng minh to n bë d¢y {x<small>k</small>}_k≥0 hëi tử tợi x. Thêt

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

vêy, theo cĂch t l(x<small>k</small>) kát hủp vợi x<small></small> = x K^d, ta câ l(x) = 0. Do â, v¼ G l  hm lỗi mÔnh nản ta nhên ữủc

l(x^k)l(x) = G(x)G(x^k)G(x^k), x^kx 

2x^kx², k 0. (2.16) Mt khĂc, vẳ dÂy {l(x<small>k</small>)}_k0 l dÂy khổng giÊm v l(x<small>k</small>_i) l(x), nản ta câ l(x^k) → l(x) khi k → ∞. Vªy, do (2.16), ta câ lim

<small>k→∞</small>x^k = x ∈ K^∗.

Thuªt to¡n 1 yảu cƯu song hm f phÊi thọa mÂn iÃu ki»n kiºu Lipschitz (2.4), ¥y l  i·u ki»n m  trong mởt số trữớng hủp ta khổng biát hằ số l bao nhiảu.  trĂnh iÃu kiằn ny, Thuêt toĂn 2 s sỷ dửng kắ thuêt tẳm kiám theo tia (linesearch). Kắ thuêt tẳm kiám theo tia ữủc sỷ dửng trong cĂc bi toĂn tối ữu v bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn.

nh nghắa 2.1. [11] Cho K l mởt têp con õng, khĂc rộng trong R<small>n</small>. Mởt Ănh xÔ H : R<small>n</small> R<small>n</small> ữủc gồi l

i) chĐp nhên ữủc ối vợi K náu

H(x) K, x Rⁿ, ii) tỹa khổng giÂn ối vợi K náu vợi mội x R<small>n</small>,

Náu P<small>K</small> l php chiáu trản K thẳ P<small>K</small> l Ănh xÔ tỹa khổng giÂn, chĐp nhên ữủc. Kẵ hiằu F(K) l hồ cĂc Ănh xÔ tỹa khổng giÂn, chĐp nhên ữủc ối vợi

</div>