SKKN Ứng dụng đạo hàm trong trong giải bài toán đại số và giải tích

Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI











CHUYÊN ĐỀ
:



ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI
BÀI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH






Người viết : Phạm Hồng Lan
Tổ: Toán - Tin

Trường: THPT số 2 TP Lào Cai








Lào Cai, tháng 11 năm 2010
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích


PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
-Như ta đã biết, chuyên đề về bất đẳng thức, phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn trong
chương trình phổ thông ( Đại số, lượng giác, ….). Tuy nhiên trong số các bài
tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương
pháp thông thường hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và
phức tạp.
- Ta đã biết giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất
chặt chẽ. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta
biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Tuy
nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng ứng
dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng
kiến kinh nghiệm là: "Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bài toán đại
số ".
II. Mục tiêu đề tài
- Trang bị cho học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu để giải các bài

toán: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình, hệ bất phương trình
- Cung cấp thêm phương pháp cho học sinh và giáo viên trong dạy và
học toán.
III. Giả thuyết khoa học
Nêu hệ thống hoá các kiến thức liên quan cùng
với việc đưa ra phương pháp cùng ví dụ minh họa cụ thể thì sẽ giúp học sinh
có thêm 1 phương pháp hay khi tìm lời giải những bài toán đại số.
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
2
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
IV. Biện pháp thực hiện.
- Nghiên cứu các tài liêụ, các sách tham khảo, đề thi đại học, cao đẳng,
các đề dự bị đại học, đề thi thử đại học của các trường…
- Giới thiệu khoảng 6 tiết cho học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi đại học
V. Nội dung

I . Kiến thức cơ bản
II. Phương pháp
. hàm số biện luận phương trình, bất phương trình
III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số
IV. Bài tập tự luyện

NỘI DUNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔
(
)
12

,
x
xab∀< ∈
ta có
(
)
(
)
12
f
xfx<
2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔
(
)
12
,
x
xab∀< ∈
ta có
(
)
(
)
12
f
xfx>
3. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại
một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).
4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại
một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).

5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm
(
)
k
x
xfx
′
=⇔ đổi dấu tại điểm


b

jjj
xxx
−
ε+ε
iii
xxx−ε +ε
a
x
k
x

Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
3
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích

6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
• Giả sử y = ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại
()
1
, , ,
n
x
xab∈
.
[]
(
)
()
(
)
(
)
(
)
{
}
1
,

Max Max , , , , ;
n
xab
f
xfxfxfaf
∈
=
Khi đó:
b
[]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
1
,
M in M in , , , ,
n
xab
f
xfxfxfaf
∈

= b
• Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì
[]
(
)
(
)
[]
(
)(
,
,
Min ; Max
xab
xab
)
f
x
f
a
f
x
f
b
∈
∈
==

• Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì
[]

(
)
(
)
[]
(
)(
,
,
Min ; Max
xab
xab
)
f
x
f
b
f
x
f
a
∈
∈
==

[
]
;ab
• Hàm bậc nhất
(

)
fx x=α +β
trên đoạn đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất tại các đầu mút a; b
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
4
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích

II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị
(
)
y
ux=
với đồ thị .
(
)
y
vx=
2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là
α
β
b
x
a
v(x)
u(x)
phần hoành độ tương ứng với phần
đồ thị

(
)
y
ux=
nằm ở phía trên
.
so với phần đồ thị
(
)
y
vx=
3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là
phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị
(
)
y
ux=
nằm ở phía dưới so với phần đồ thị .
(
)
y
vx=
4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ
giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị
(
)
y
ux=
.
5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔

(
)
I
Min
x
ux m
∈
≥

a
b
x
y
=
6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔
(
)
I
Max
x
ux m
∈
≤

7. BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔
(
)
I
Max
x

ux m
∈
≥

8. BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔
(
)
I
Min
x
ux m
∈
≤











Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
5
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích

III. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Bài 1. Cho hàm số
()
2
23fx mx mx=+−
a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2]
b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4]
c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈
[
]
1; 3−

Giải: a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có:
()
()
()
()
22
22
33
230 23
2
11
f
xmx mx mx x gx m

xx
x
=+−=⇔ +=⇔ = = =
+
+−
.
3
1
8
m
⇔
≤≤
Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì

[]
(
)
[]
(
)
1;2
1;2
Min Max
x
x
g
xm
g
x
∈

∈
≤≤
(
)
2
2mx x
b. Ta có ∀x∈[1; 4] thì
(
)
2
23fx mx mx 0
=
+−≤ ⇔ 3
+
≤ ⇔
()
[]
2
3
,1;
4
2
gx m x
xx
=≥∀∈
+
[]

(
)

1;4
Min
x
g
xm
∈
⇔≥
.
()
()
2
3
11
gx
x
=
+−
[]
()
()
1;4
1
Min 4
8
x
g
xg m
∈
=
=≥

Do
giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔
(
)
2
23mx x
+
≥
c. Ta có với x∈
[
thì
]
1; 3−
(
)
2
23f x mx mx 0
=
+−≥ ⇔ .
()
[
2
3
,1;
2
gx x
xx
=∈
+
Đặt

]
3−
. Xét các khả năng sau đây:
+ Nếu thì bất phương trình trở thành
nên vô nghiệm.
0x = .0 0 3m
=
≥
+ Nếu thì BPT
⇔
(
]
0;3x∈
(
]
0;3x∈
(
)
g
xm
≤
có nghiệm .
(
]
()
0;3x
M
in g x m
∈
⇔

≤
()
()
2
3
11
gx
x
=
+−
(
]
() ()
0;3
1
3
5
x
M
in g x g m
∈
⇔
==≤
Do
giảm /
(
nên ycbt
]
0;3
+ Nếu thì nên BPT

[
)
1; 0x∈−
2
2xx+<0
(
)
g
xm
⇔
≥
có nghiệm
[
)
1; 0x∈−
()
(
)
()
[]
2
2
32 2
0, 1;0
2
x
gx x
xx
−+
′

=≤∀∈
+
[
)
(
)
1;0
M
ax g x m
−
⇔≥. Ta có
−
.
nghịch biến nên ta có
Do đó
(
)
g
x
[
)
(
)
(
)
1;0
13
M
ax g x g m
−

=
−=−≥
(
]
)
1
;3 ;
5
m
⎡
⇔
∈−∞− +∞
⎢
⎣
U
Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈
[
]
1; 3−

Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
6
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
3
3
1
32xmx
x
−
−+ −<

Bài 2. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng ∀x ≥ 1
()
32
34
112
32,13mx x x m x f x x
x
xx
⇔<−+∀≥⇔<−+= ∀≥
Giải: BPT
,1
.
()
52 5 2 2
42 2
42 4 2
222fx x x
xx x x x
−
⎛⎞
′
=+ − ≥ − = >
⎜⎟
⎝⎠
Ta có
0
suy ra tăng.
(
)
f

x
() ()
()
1
2
3, 1 min 1 2 3
3
x
f
xmx fxf m
≥
⇔>∀≥⇔ ==>⇔>
YCBT
m

Bài 3. Tìm m để bất phương trình
()
2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m
+
+
−+−>
đúng x∀∈¡
Giải: Đặt thì đúng
()
2
.4 1 .2 1 0
xx

mm m
+
+− +−>
2
x
t =>
x
∀
∈ ¡
0
()()
(
)
22
. 4 1. 10, 0 4141, 0mt m t m t m t t t t⇔+−+−>∀>⇔ ++>+∀>
()
2
41
,
41
t
0
g
tm
tt
+
⇔= <∀>
++
t
()

()
2
2
2
42
0
41
tt
gt
tt
−−
′
=
<
++
. Ta có nên
(
)
g
t
nghịch biến
trên
[
suy ra ycbt ⇔
)
0; +∞
(
)
(
)

0
01
t
M
ax g t g m
≥
=
=≤
(
)
12 5 4
x
xx m x x
+
+= −+ −
Bài 4. Tìm m để phương trình:
có nghiệm.

()
12
54
xx x
f
xm
xx
++
⇔
==
−+ −
Giải: Điều kiện . Biến đổi PT

.
0x≤≤4
Chú ý: Nếu tính
rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.
(
)
f
x
′
() ()
3
1
12 0 0
2
212
gx xx x g x x
x
′
=++>⇒ = + >
+
Thủ thuật: Đặt

() ()
11
540
25 24
hx x x h x
xx
−
′

=−+−>⇒ = − <
−−

0

()
1
0
hx
>
và tăng; > 0 và giảm hay và tăng
Suy ra:
(
)
0gx>
()
hx
()
(
)
()
g
x
fx
hx
=
tăng. Suy ra
(
)
f

xm
=
có nghiệm
⇒
[]
()
[]
() ()
()
[]
(
)
0;4
0;4
min ; max 0 ; 4 2 15 12 ;12mfxfxff
⎡
⎤
⎡⎤⇔∈ = = −
⎣
⎦
⎣⎦

(
3
32
31 1xx mxx+−≤ −−
)
Bài 5. Tìm m để bất phương trình:
có nghiệm.

()
3
1xx
Giải: Điều kiện
. Nhân cả hai vế BPT với
1
x
≥ 0
+
−>
ta nhận được
()
()
()
3
32
31 1
f
xx x xx=+− +−≤
bất phương trình
m
.
() ()
()
3
32
31 ; 1gx x x hx x x=+ − = + −
Đặt

() ()

()
2
2
11
360,1; 3 1
221
gx x x x hx x x
xx
⎛⎞
′′
=+>∀≥ = +− + >
⎜⎟
−
⎝⎠
Ta có
0
.
Do
và tăng ; và tăng nên
(
)
0gx>
1
x
∀≥
(
)
0hx>
(
)

(
)
(
)
.
f
x
g
xhx=
tăng
1
x
∀≥
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
7
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
Khi đó bất phương trình
()
f
xm
≤
có nghiệm
(
)
(
)
1
min 1 3
x
f

xf m
≥
⇔
==≤

Bài 6. Tìm m để
[
]
4, 6x∀∈−
()()
2
46 2
x
xx xm+−≤−+ nghiệm đúng

Cách 1. BPT
[
]
4, 6x∀∈−
() ( )( )
2
246
f
xxx x x⇔=−+++−≤m đúng
()
()()
()
()()
22
1

22 1 2 0
24 6 4 6
x
1
f
xx x x
xx xx
−+
⎛⎞
′
=− + + = − + = ⇔ =
⎜⎟
+− +−
⎝⎠

Lập bảng biến thiên suy ra Max

[]
(
)
(
)
4,6
16
M
ax f x f m
−
=
=≤

()()
(
)
(
)
46
46
2
xx
txx
++−
=+ −≤ =
Cách 2. Đặt
5
4x=− + +
.
Ta có
tx
. Khi đó bất phương trình trở thành
22
22
[]
()
[
]
22
24, 0;5 24 ; 0;5ttm t fttt mt≤− + + ∀ ∈ ⇔ = + − ≤ ∀ ∈ . Ta có:
(
)
[

]
;0;5ft m t
≤
∀∈ ⇔
(
)
210ft t
′
=+>
⇒
()
f
t
tăng nên
[]
(
)
(
)
0;5
max 5 6
f
tf m
=
=≤



Bài 7. Tìm m để
22

36183xx xxmm++ −− + − ≤ −+1
−
đúng
∀∈

[]
3, 6x

Giải:
()
()(
Đặt
36txx=++−>0
)
2
2
36 9236txx x ⇒ x
=
++ − =+ + −
⇒
()() ()()
2
99 23693 618txxxx≤=+ + −≤+++−=
()()
()
22
1
18 3 3 6 9 ; 3;3 2
2
xx x x t t

⎡
⎤
⇒+−=+ −= −∈
⎣
⎦

() () () ()
2
3;3 2
9
1
; 1 0; 3;3 2 max 3 3
22
ft t t f t t t ft f
⎡⎤
⎣⎦
⎡⎤
′
=− + + = − < ∀ ∈ ⇒ = =
⎣⎦
Xét
ycbt
()
22
3;3 2
max 3 1 2 0 1 V m 2ft mm mm m
⎡⎤
⎣⎦
⇔ =≤ − +⇔ − −≥⇔ ≤− ≥

Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007)
Tìm m để phương trình
4
2
31 12 1xmx x++= −
có nghiệm thực.
−

Giải: ĐK:
, biến đổi phương trình
1
x
≥
4
11
32
11
xx
m
xx
−−
⇔− + =
++
.
t 0
13

1
(

)
g
t
′
+ 0 –
(
)
g
t
0
13
– 1
[
)
4
4
1
2
10
11
x
u
xx
−
==−∈
++
Đặt
,1
.
Khi đó

()
2
32
g
ttt=− + =m
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
8
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
()
1
620
3
gt t t
′
=− + = ⇔ =
1
1
3
m
⇔
−< ≤
Ta có . Do đó yêu cầu

Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi , phương
0m >
trình
()
2
28 2xx mx+−= − luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.

x 2
+
∞
(
)
g
x
′
+
(
)
g
x
0

+
∞
Giải: Điều kiện: .
2x ≥
Biến đổi phương trình ta có:
()() ()
26xx mx⇔− += −2
2

()() ()
22
26xx mx⇔− + = −
()
(
)

()
32 32
263202 V gx 632
x
xx m x xx⇔− + −− =⇔= =+ −=m
.
ycbt
(
)
g
xm⇔=
có đúng một nghiệm thuộc khoảng . Thật vậy ta có:
(
)
2;
+
∞
(
)
(
)
340,gx xx x
′
=+>∀>2
. Do đó đồng biến mà liên tục và
(
)
g
x
(

)
g
x
(
)
(
)
20;lim
x
ggx
→+∞
==+∞
nên
(
)
g
xm
=
có đúng một nghiệm ∈ .
(
)
2;
+
∞
Vậy , phương trình
0m∀>
()
2
28 2xx mx
+

−= − có hai nghiệm phân biệt.





Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
9

Bài 10.
(Đề TSĐH khối A, 2008)
Tìm
m
để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân
biệt:
44
2 2 26 26
x
xxx+ + −+ −=m


Giải:
Đặt
()
[
]
44
2 2 26 26 ; 0;6 fxxxxxx=++−+− ∈

Ta có:

()
() ()
()
33
44
11 1 1 1
,0;
2
26
26
fx x
xx
xx
⎛⎞⎛⎞
′
=− +− ∈
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
−
⎝⎠
6

Đặt
()
()
()
()
()

33
44
11 11
;0
26
26
, xux vx
xx
xx
=− =− ∈
−
−
,6

(
)
(
)
()
() ()
() ()
()
,0,0,2
,6
(
)
220
,0,2
ux vx x
uv

ux vx x
⎧
>∀∈
⎪
⇒==
⎨
⎪
<∀∈
⎩

()
() 0, 0,2
() 0, 2,6
(2) 0
fx x
fx x
f
′
⎧
>∀∈
⎪
′
⇒<∀∈
⎨
⎪
′
=
⎩

x
0 2 6
()
f
x
′

+ 0 –
f(x)

32 6
+

4
12 2 3+
4
26 26+







Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt
⇔
4
26 26 32 6m
+

≤< +


Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007):
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
33
33
11
5
11
15 10
xy
xy
xy m
xy
⎧
+++=
⎪
⎪
⎨
+
++ = −
⎪
⎪
⎩


Giải: Đặt
11
;ux vy

x
y
=+ =+
ta có
(
)
(
)
3
3
3
11 11
33
x
xxxu
xxx
x
u
+
=+ −⋅ + =−

và
11 1 1 1
2. 2 ; 2.ux x x vy y
xx x y y
=+ = + ≥ = = + ≥ =
2
Khi đó hệ trở thành
()
33

5
5
8
31510
uv
uv
uv m
uv uv m
+=
⎧
+=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
=
−
+− += −
⎪
⎩
⎩

⇔
u
là nghiệm của phương trình bậc hai
,v
()
2
58
f

tt t m
=
−+=
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
Hệ có nghiệm
()
f
tm⇔=
có 2 nghiệm thỏa mãn
12
,tt
12
2; 2tt≥≥
.






Lập Bảng biến thiên của hàm số
(
)
f
t
với 2t ≥
t
−∞
– 2 2 5/2 + ∞
()

f
t
′


–

–
0
+

()
f
t

+
∞

22


2

7/4
+
∞
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm
7
2 m 22
4

m
⇔
≤≤∨ ≥

Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001):
Tìm x để bất phương trình
(
)
2
2sin cos 10xxy y
+
++≥
đúng với . y∀∈¡

Giải: Đặt
sin cos 2, 2uyy
⎡⎤
=+∈−
⎣⎦
,
BPT
() ( )
()
()
2
2, 2
210,2,2Min
u
gu xu x u gu
⎡⎤

∈−
⎣⎦
⎡⎤
⇔= ++≥∀∈− ⇔ ≥
⎣⎦
0

Do đồ thị
()
yg
u=
là một đoạn thẳng với
2, 2u
⎡
⎤
∈−
⎣
⎦
nên
()
2, 2
Min 0
u
gu
⎡⎤
∈−
⎣⎦
≥
(
)

()
2
2
20 2210 2
22 1 0 2 1
20
gxxx
xx x
g
⎧
⎧⎡
−≥ − +≥ ≥+
⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎢
⎨⎨
1
+
+≥ ≤ −
⎢
≥
⎪
⎪
⎩⎣
⎩

Bài 13. Cho Chứng minh rằng:
abc
,, 0
3

abc
abc
≥
⎧
⎨
++=
⎩
222
4abc
+
++ ≥


Giải: BĐT
⇔+
() ()()
22
22
243 2a b c bc abc a a a bc 4+ − + ≥⇔+− +− ≥
0
() ( )
2
2265fu a u a a⇔=−+−+≥trong đó
(
)
()
2
2
1
03

24
bc
ubc a
+
≤= ≤ = −
.
Như thế đồ thị
()
yf
u=
là một đoạn thẳng với
()
2
1
0; 3
4
ua
⎡
⎤
∈−
⎢
⎥
⎣
⎦
. Ta có
()
(
)
()
(

)
()( )
2
22
2
3
11 1
02 6 52 0; 3 1 2
22 4 4
faa a f a aa=−+=−+≥ − =− +≥
0

nên suy ra
()
0;fu≥
()
2
1
0; 3
4
ua
⎡⎤
∀∈ −
⎢⎥
⎣⎦
.
Vậy . Đẳng thức xảy ra
222
4abcabc+++ ≥ 1abc
⇔

===
.
Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984):

Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
2
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
Cho . Chứng minh rằng:
,, 0
1
abc
abc
≥
⎧
⎨
++=
⎩
7
2
27
ab bc ca abc++− ≤
.

Giải:
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
12 1 12 1 12ab c abc a a abc a a au
f
u++−=−+−=−+−=

Đồ thị
(
)
(
)
(
)
12 1
yf
uaua==−+−a
với
(
)
()
2
2
1
0

24
a
bc
ubc
−
+
≤= ≤ =
là một đoạn thẳng
với 2 giá trị đầu mút
() ( )
()
2
1
7
1
01
24
aa
faa
⎡⎤
+−
=−≤ =<
⎢⎥
⎣⎦
27
và
()
(
)
()

(
)
(
)
2
2
32
77
11 111
1212
44 27433
fa aa aa−=−++=− + −≤
27

Do đồ thị
()
yf
u=
là một đoạn thẳng với
()
2
1
0; 1
4
ua
⎡
⎤
∈−
⎢
⎥

⎣
⎦
và
()
7
0
27
f <
;
()
(
)
2
7
1
1
42
fa−≤
7
nên
()
7
27
fu≤
. Đẳng thức xảy ra
1
3
abc
⇔
===

Bài 15. Chứng minh rằng:
(
)
(
)
24,abc abbcca+− ++ ≤∀
[
]
,, 0,2abc∈
.
+

Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có
(
)
(
)
(
)
[
]
2 2 4, , , 0, 2f a b ca b c bc abc=−− + +−≤∀ ∈

Đồ thị
()
yf
a=
là một đoạn thẳng với
[

]
0, 2a∈
nên
() ()
()
{
}
Max 0 ; 2fa f f≤

Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[]
0 4 2 2 4; 2 4 4 4, , , 0, 2f b c f bc f a abc=− − − ≤ =− ≤⇒ ≤∀ ∈

Bài 16. CMR:
(
)
(
)
(
)

(
)
[]
1111 1,,,,0,abcdabcd abcd−−−−++++≥∀ ∈1


Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có:
() ( )( )( )
[
]
()()()
[
]
11 1 1 1 1 1 1, ,,, 0,1fa b c da b c d b c d abcd=−−−− +−−−+++≥∀ ∈
Đồ thị
(
)
[
,0,yfa a=∀∈
]
1
là một đoạn thẳng nên
[]
(
)()
()
{
}
0,1
Min Min 0 , 1

a
fa f f
∈
=
Ta có
(
)
[
]
111,,,fbcd bcd=+++≥∀ ∈0,1

() ( )( )( ) () ( )( )
[
]
()()
01 1 1 11 1 1 1
f
bcdbcdgb cdb cdc=− − − +++⇔ =−− − +− − ++d
Đồ thị
(
)
[
,0,ygb b=∀∈
]
1
là một đoạn thẳng nên
[]
(
)
(

)
()
{
}
0,1
Min 0 , 1
b
gb Ming g
∈
=
Ta có
()
() ( )
(
)
111;011 1gcd g cdcdcd=+ +≥ = − − ++ =+ ≥1
]
0,1

⇒ . Vậy
() ()
[
01,fgbb=≥∀∈
(
)
1fa≥
hay ta có (đpcm)

Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp
khác nhau , cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn

điệu của hàm số.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là một phương
pháp hay. Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng
một hàm số thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến của nó trên
đoạn thích hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận tra ngay từ
đầu ,còn trong các trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện ra chúng .
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
3
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích








IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a. = x
)3x(log
5
2
+
b. 2log
3
(tgx) = log
2
(sinx)
c.
x

1
2
1
22
22
2
x
x21
x
x1
−=−
−=

d. 2
x
=
2
x
3 + 1
e.
xcos3
2
x
=
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
1m1x1x
2
+≤++−
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
xsinxcosxsin

222
3.m32 =+
Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
∈
R:
(
01m2.24)1m
xcosxcos
22
>+++−
Bài 5: Cho phương trình:
m
3x
1x
)3x(4)1x)(3x( =
−
+
−++−

a. Giải phương trình với m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
c. Tìm m để phương trình có nghiệm x
[
)
∞
+
∈
;4
d. Tìm m để phương trình có nghiệm x
[

]
5;4
∈

Bài 6: Cho bất phương trình:
04.m6).1m2(9.m
xx2xx2
2x
2
x22
≥++−
−−
−
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả mãn
2
1
x ≥

Bài 7: Cho phương trình:
3m
)8x4(log
)2x.(2)2x(
2
−=−
−
a. Giải PT khi m = 2
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn:
4xx
2
5

21
≤≤≤


Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
4
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích









KẾT LUẬN

Xuất phát từ mục đích, nhiệm vụ của đề tài, bản đề tài SKKN đã đề cập đến
nhứng vấn đề chính sau :
- Cung cấp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp
- Đưa ra các ví dụ minh họa tương ứng
- Bài tập áp dụng
Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh
dạn hơn ,linh hoạt hơn trong việc dùng sử dụng phương pháp hàm số để giải
toán .Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số để
chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ
phương trình .
- Tránh được việc biện luận theo tham số ở một số bài toán hết sức phức tạp.
- Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán.

- Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm và tránh việc
giải phương trình bậc cao.
Trên đây là một số ứng dụng mà theo tôi là hay gặp trong khi giải phương
trình và bất phương trình. Rất mong các thầy cô và các đồng chí góp ý để bài
viết được hoàn thiện hơn.


Xác nhận của nhà trường

Người viết

Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
5
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích





Phạm Hồng Lan

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản.
2. Sách bài tập giải tích 12 cơ bản.
3. Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao.
4. Sách bài tập giải tích 12 nâng cao.
5. Báo Toán học và tuổi trẻ
6. Đề thi Đại học từ năm 2002-2010
7. Đề dự bị Đại học từ năm 2002-2009

Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
6