MỘT SỐ VẤN ĐỀ HẬU TỐI U CỦA THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 45 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TỐN

------

PHAN THỊ BÍCH THẢO

MỘT SỐ VẤN ĐỀ HẬU TỐI ƯU CỦA THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 4 năm 2017

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài

Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một bộ phận quan trọng của tốn học ứng dụng, có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là kinh tế và cơng nghệ thơng tin. Quy hoạch tuyến tính nghiên cứu các bài toán tối ưu với hữu hạn biến, trong đó mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng các hàm số, các phương trình hay bất phương trình tuyến tính. Khi thực hiện cơng việc nào đó của mình, con người ln hướng đến cách làm tốt nhất trong các cách có thể làm được hay là chọn phương án tối ưu trong các phương án. Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính ngày nay thì QHTT ngày càng phát triển và cần thiết. Những vấn đề tối ưu trong cuộc sống đều được mô hình hóa thành các bài tốn tối ưu, biểu thị các mục tiêu cần đạt được các yêu cầu hay các điều kiện thỏa mãn bằng ngôn ngữ tốn học thơng qua các bài tốn QHTT để tìm ra lời giải tối ưu cho nó.

Hiện nay, học phần QHTT được giảng dạy cho ngành ĐHSP Tốn với thời lượng 2 tín chỉ nên chỉ đề cập đến những nội dung cơ bản mà chưa đi sâu nghiên cứu các nội dung liên quan, đặc biệt là thuật tốn đơn hình. Vì vậy, với tinh thần mong muốn được học hỏi, tìm hiểu và trao dồi vốn kiến thức một cách sâu sắc hơn kết hợp với kiến thức tích lũy trong quá trình học tập, nên tôi chọn đề tài “Một số vấn đề hậu tối ưu của thuật tốn đơn hình” cho khóa luận này.

1.2. Mục tiêu của đề tài

- Tìm hiểu về tính hữu hạn của thuật tốn đơn hình.

- Tìm tập phương án tối ưu của bài tốn quy hoạch tuyến tính.

- Tìm tập phương án tối ưu của bài toán khi bổ sung thêm ràng buộc

- Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng thuật tốn đơn hình theo phương án cực biên cho trước.

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: vấn đề hậu tối ưu của thuật tốn đơn hình. - Phạm vi nghiên cứu: kiến thức quy hoạch tuyến tính ở bậc đại học.

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN

------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ HẬU TỐI ƯU CỦA THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH

Sinh viên thực hiện

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài

Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một bộ phận quan trọng của toán học ứng dụng, có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là kinh tế và công nghệ thông tin. Quy hoạch tuyến tính nghiên cứu các bài tốn tối ưu với hữu hạn biến, trong đó mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng các hàm số, các phương trình hay bất phương trình tuyến tính. Khi thực hiện cơng việc nào đó của mình, con người luôn hướng đến cách làm tốt nhất trong các cách có thể làm được hay là chọn phương án tối ưu trong các phương án. Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính ngày nay thì QHTT ngày càng phát triển và cần thiết. Những vấn đề tối ưu trong cuộc sống đều được mơ hình hóa thành các bài toán tối ưu, biểu thị các mục tiêu cần đạt được các yêu cầu hay các điều kiện thỏa mãn bằng ngơn ngữ tốn học thơng qua các bài tốn QHTT để tìm ra lời giải tối ưu cho nó.

Hiện nay, học phần QHTT được giảng dạy cho ngành ĐHSP Toán với thời lượng 2 tín chỉ nên chỉ đề cập đến những nội dung cơ bản mà chưa đi sâu nghiên cứu các nội dung liên quan, đặc biệt là thuật tốn đơn hình. Vì vậy, với tinh thần mong muốn được học hỏi, tìm hiểu và trao dồi vốn kiến thức một cách sâu sắc hơn kết hợp với kiến thức tích lũy trong q trình học tập, nên tôi chọn đề tài “Một số vấn đề hậu tối ưu của thuật tốn đơn hình” cho khóa luận này.

1.2. Mục tiêu của đề tài

- Tìm hiểu về tính hữu hạn của thuật tốn đơn hình.

- Tìm tập phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính.

- Tìm tập phương án tối ưu của bài toán khi bổ sung thêm ràng buộc

- Giải bài tốn quy hoạch tuyến tính bằng thuật tốn đơn hình theo phương án cực biên cho trước.

1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: vấn đề hậu tối ưu của thuật tốn đơn hình. - Phạm vi nghiên cứu: kiến thức quy hoạch tuyến tính ở bậc đại học.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích tổng hợp lí thuyết. - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn.

1.5. Lịch sử nghiên cứu

Đã có những cơng trình nghiên cứu liên quan đến một số vấn đề hậu tối ưu của thuật tốn đơn hình của các tác giả như: Phí Mạnh Ban, Trần Vũ Thiệu,

Bài khóa luận được chia làm 2 chương:

Chương 1: Thuật tốn đơn hình giải bài tốn quy hoạch tuyến tính. Chương 2: Một số vấn đề hậu tối ưu của thuật tốn đơn hình.

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương 1: THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

- Mỗi phương án x thỏa (1), tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) trên tập phương án được gọi là phương án tối ưu của bài toán.

- Giải một bài tốn QHTT là đi tìm một phương án tối ưu của nó hoặc chỉ ra rằng bài tốn vơ nghiệm hay khơng có phương án tối ưu.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

- Một phương án thỏa mãn n ràng buộc độc lập tuyến tính là phương án cực biên. Một phương án cực biên thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc gọi là phương án cực biên không suy biến, thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến.

Ngồi dạng tổng qt thì có các dạng cơ bản sau:

i) Dạng chính tắc: Bài tốn QHTT có dạng chính tắc nếu các ràng buộc chính đều là phương trình và vế phải bi 0với mọi i=1,2,..,m.

ii) Dạng chuẩn: Khi giải hệ Ax=b, giả sử rank(A)=m, ta giữ lại vế trái m ẩn gọi là ẩn cơ bản, chuyển n-m ẩn còn lại sang vế phải gọi là ẩn tự do. Bài tốn

QHTT gọi là có dạng chuẩn nếu:

- Có được m ẩn cơ bản. Thường mỗi ẩn cơ bản có mặt trong một ràng buộc với hệ số bằng 1 hay trong ma trận A có m vectơ cột đơn vị: e1,e2,...,em

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Định lí 1: Phương án x là phương án cực biên của bài tốn QHTT dạng chính tắc khi và chỉ khi các vectơ Aj của ma trận A ứng với phần xj 0 lập thành một hệ độc lập tuyến tính.

Chứng minh:

( Giả sử x(x1,x2,...,xk,0,...,0) là phương án cực biên với xj 0,j1,k

Giả sử hệ



A1,A2,...,Ak



là phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là tồn tại các số dj

không đồng thời bằng 0 sao cho:

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

( Giả sử hệ



A1,A2,...,Ak



là độc lập tuyến tính nhưng x(x1,x2,...,xk,0,...,0) khơng là phương án cực biên. Khi đó tồn tại x1 x2D Vậy x là phương án cực biên.

Nhận xét: Nếu rank(A) = m<n thì x có tối đa m thành phần dương.

Định lí 2: Nếu tập phương án của bài toán QHTT là D và D là một đa diện lồi thì bài tốn sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu.

Suy ra x là phương án tối ưu đối với bài toán “max”. 1

Cịn bài tốn “min” chứng minh tương tự.

Định lí 3: Điều kiện cần và đủ để bài toán QHTT có phương án tối ưu là



D và hàm mục tiêu bị chặn (bị chặn dưới đối với bài toán “min”, bị chặn trên đối với bài toán “max”).

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Ta thấy D vì (1,0,0)D

Do xj 0,j1,3

Và x1x2x3 1 xj 1,j1,3 Suy ra f(x)3x12x2x3 6

Vậy bài toán trên có phương án tối ưu.

1.3. Thuật tốn đơn hình giải bài toán QHTT

Ý tưởng của thuật toán đơn hình là xuất phát từ một phương án cực biên x đầu tiên, tìm cách đánh giá phương án cực biên x, nếu nó tối ưu thì bài tốn giải xong. Ngược lại, tìm cách chuyển x sang một phương án cực biên x' không xấu hơn x, sau đó lại kiểm tra tính chất tối ưu đối với x'. Lặp lại quá trình trên và sau

một số hữu hạn bước (do số phương án cực biên là hữu hạn) hoặc kết luận có phương án tối ưu hoặc bài tốn vơ nghiệm (khơng có phương án tối ưu).

1.3.1. Tiêu chuẩn tối ƣu

- Nếu J m thì x gọi là phương án khơng thối hóa - Nếu J m thì x gọi là phương án thối hóa

Giả sử x là phương án khơng thối hóa khi đó hệ B



Aj | jJ



là độc lập tuyến tính và B được gọi là cơ sở xuất phát đối với phương án x, nên với AkA

đều biểu diễn duy nhất qua B, tức là:

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Nếu x tối ưu thì bài tốn giải xong. Ngược lại, chuyển từ x sang x bằng '

cách thay một vectơ trong cơ sở B bằng một vectơ nằm ngoài cơ sở. Giả sử đưa vectơ vào là Ak, k m1,n

Định lí 4 (Tiêu chuẩn tối ưu) Phương án cực biên khơng thối hóa x của bài toán QHTT là tối ưu nếu k 0,k1,n

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Vậy x(6,8,0) là phương án tối ưu.

Định lí 5: Nếu k:k 0 thì ta có thể chuyển x sang x' kề với x mà không xấu hơn x.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

ii) Ta có f(x') f(x)k nếu có nhiều chỉ số k mà k 0 thì chỉ số được chọn để đưa vào cơ sở là s thỏa  min



| 0



: ta có thể tăng  0 lên tùy ý mà không ảnh hưởng đến tính khơng âm của các '

x .

Lúc đó f(x') f(x)k  nên bài tốn vô nghiệm. Vậy dấu hiệu vô nghiệm là

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

1.3.2. Thuật tốn đơn hình giải bài tốn QHTT

Bước 1: Tìm phương án cực biên khơng thối hóa x, tìm cơ sở xuất phát B

và tìm chỉ số của cơ sở xuất phát.

Bước 2: Xác định các hệ số zjk trong khai triển

Bước 4: Kiểm tra tích chất tối ưu: k 0,k

- Nếu đúng thì kết luận x là tối ưu và dừng.

- Nếu sai thì nghĩa là k:k 0và chuyển sang bước 5.

Bước 5: Kiểm tra dấu hiệu vô nghiệm:

- Nếu đúng thì kết luận bài tốn vơ nghiệm và dừng. - Nếu sai thì chuyển sang bước 6.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Công thức đổi cơ sở:

Để thuận tiện cho việc tính toán, người ta sắp xếp các số liệu thành một bảng gọi là bảng đơn hình như dưới đây:

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Bảng đơn hình ở bước sa0u được suy từ bảng đơn hình bước trước theo cơng thức đổi cơ sở.

Ví dụ 4: Giải bài toán QHTT sau bằng phương pháp đơn hình:

Ta thấy k 0,k, suy ra bài tốn đã tối ưu.

Vậy phương án tối ưu là x*



0,0,11,20,20,0



và fmax(x*)31

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Nhận xét: Đối với bài tốn “min” thì có 2 cách giải như sau:

Cách 1: Chuyển bài toán “min” về bài toán “max”. Ta có

 x* là phương án tối ưu của bài tốn max



 f(x)|xD



Cách 2: Thuật tốn đơn hình của bài toán “min” cũng tương tự như bài toán “max” chỉ khác ở:

Tiêu chuẩn tối ưu: k 0,k

Dấu hiệu vô nghiệm:

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Ta thấy k 0,k, suy ra bài toán đã tối ưu.

Vậy phương án tối ưu là x*



0,6,2,3,0,0



và fmin(x*)1

1.3.3. Vấn đề tìm phương án cực biên xuất phát

Khi giải bài toán QHTT, nếu bài toán ban đầu chưa có một phương án cực

biên xuất phát hay trong ma trận hệ số A chưa có m cột vectơ đơn vị nên chưa thể

giải bằng phương pháp đơn hình. Để giải bài tốn trên ta có 2 phương pháp cơ bản để tìm phương án cực biên xuất phát đó là: phương pháp bài toán M và phương pháp hai pha. Phương pháp M được học kĩ trong học phần quy hoạch tuyến tính nên trong khóa luận này tơi trình bày phương pháp hai pha. Phương pháp hai pha (hay là thuật tốn đơn hình hai pha ) là phương pháp để giải bài toán chính phân ra hai giai đoạn (hay hai pha). Pha thứ nhất nhằm mục đích tìm được phương án cực biên (nếu có) của bài tốn chính. Pha thứ hai nhằm giải bài tốn chính xuất phát từ phương án cực biên (nếu có) đã tìm được ở pha thứ nhất.

Thuật tốn đơn hình dùng để giải bài tốn QHTT dạng chính tắc ở dạng bài toán chuẩn, tuy nhiên trong thực tế hầu như khơng gặp bài tốn chuẩn như vậy. Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp hai pha để giải bài tốn QHTT dạng chính

Điều kiện b0 ln có thể thực hiện được vì bi 0 thì chỉ cần nhân hai vế của phương trình tương ứng -1 và ma trận ràng buộc A có cỡ (m,n) và có một cơ sở đơn vị.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Tương ứng với bài tốn chính ta xét bài toán phụ sau:

Gọi tập phương án của bài tốn chính và bài tốn phụ lần lượt là X, X'. Ta thấy rằng, xX khi và chỉ khi (x1,x2,...,xn,0,...,0)X'.

Ngoài ra (x1,x2,...,xn,0,...,0)X' là phương án cực biên của bài toán phụ khi và chỉ khi xX là phương án cực biên của bài toán chính.

Bài tốn phụ có tập phương án là X' vì (0,b)X' và f(x,xnj)0,

'),

(xxnj X

  , nghĩa là f(x,xnj) không thể nhận giá trị nhỏ tùy ý trên tập phương án X'. Do đó bài tốn phụ có phương án tối ưu. Vì bài tốn phụ là bài tốn chuẩn nên có thể tiến hành giải nó bằng thuật tốn đơn hình, sau một số hữu hạn bước thì dấu hiệu tối ưu xuất hiện và ta thu được phương án cực biên tối ưu là (x,xnj)(x1,x2,...,xnm).

Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: xnj 0, hay là tồn tại i



1,2,...,m



sao cho xnj 0(có ít nhất một ẩn giả nhận giá trị dương)

Khi đó ta kết luận bài tốn chính có tập phương án là rỗng. Thật vậy, nếu

Suy ra (x1,x2,...,xn,0,...,0) là phương án tốt hơn (x,xnj), điều này trái với tính tối ưu của (x,xnj). Vậy X .

Trường hợp 2: xnj 0,tức là mọi ẩn điều nhận giá trị bằng 0.

Khi đó f(x,xnj) f(x,0)0. Vì (x,0) là phương án cực biên của bài toán phụ nên x là phương án cực biên của bài tốn chính.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Ta xét 2 tình huống sau:

Tình huống 1: Nếu mọi vectơ trong cơ sở của (x,0) gồm toàn các vectơ cột của ma trận A thì ta xóa bỏ các cột trong bảng đơn hình cuối cùng kể từ xn1 đến cột xnm, nghĩa là xóa bỏ các cột ứng với ẩn giả. Sau đó ta giải bài tốn chính xuất phát từ phương án cực biên x bằng thuật tốn đơn hình. Đồng thời phải thay đổi dịng trên cùng, hệ số của hàm mục tiêu trong bài toán phụ trở thành hệ số của hàm mục tiêu trong bài chính và cột cB cũng phải thay đổi theo cho phù hợp, sau đó tính lại các ước lượng để kiểm tra x.

Tình huống 2: Nếu trong cơ sở của (x,0)vẫn còn p vectơ giả (p1) thì ta xóa bỏ ngay các cột ứng với các ẩn giả còn lại, điều chỉnh các hệ số của hàm mục tiêu ghi ở dòng trên cùng và cột ở cB sao cho phù hợp. Lưu ý rằng, hệ số của ẩn giả trong hàm mục tiêu ứng với p ẩn giả nói trên ta cho bằng 0, sau đó tính lại các ước lượng để kiểm tra x. Tiếp tục dùng thuật toán đơn hình để giải bài tốn chính xuất phát từ phương án cực biên x, trong bảng đơn hình cuối cùng sẽ xuất

hiện p vectơ giả.

Chú ý:

+ Nếu trong ma trận A ở bài tốn chính đã có sẵn một vài vectơ cột là các vectơ đơn vị khác nhau thì ta chỉ cần đưa vào bài tốn phụ một số ẩn giả vừa đủ để có đúng m vectơ đơn vị.

+ Nếu ở một bước nào đó một vectơ giả bị loại khỏi cơ sở thì thì các bước sau ta xóa bỏ cột tương ứng.

Ví dụ 6: Giải bài tốn sau bằng phương pháp hai pha:

Ta đưa các ẩn bù x4,x5 0 ứng với các ràng buộc, đồng thời chú ý biến đổi sao cho vế phải b0, hệ ràng buộc trở thành:

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Chú ý: Ở bước thứ 2 đã xuất hiện bài toán phụ, nhưng trong cơ sở của

phương án tối ưu ấy có một vectơ giả là A7. Khi đó ta xóa ngay các cột tương

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

ứng các vectơ giả còn lại, đó là cột x6, nhưng cột này đã bị xóa ngay từ bước 2 bởi vì A6 bị loại khỏi cơ sở đầu tiên.

1.4. Ý nghĩa hình học và ý nghĩa trực quan của thuật toán đơn hình

Dựa vào định lí 2 ta có thể giải bài tốn QHTT bằng phương pháp hình học. Để giải bài tốn QHTT bằng phương pháp hình học ta lần lượt thực hiện các bước sau:

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Bước 1: Vẽ miền D (hay là tìm tập phương án)

Bước 2: Tính tọa độ các đỉnh của D (hay là tìm các phương án cực biên) Bước 3: Thay tọa độ các đỉnh của D vào hàm mục tiêu và chọn đỉnh có )

f là max hoặc min.

Ví dụ 7: Giải bài tốn sau bằng phương pháp hình học:

Ta lần lượt thực hiện các bước:

Bước 1: Vẽ miền D: miền D là tam giác OAB.

Bước 2: Tính tọa độ các đỉnh của D (hay là tìm các phương án cực biên) - Đỉnh O(0,0) f(0)0

- Đỉnh A(3,0) f(A)15 - Đỉnh E(0,4) f(E)8

- Đỉnh B là giao điểm của 2 đường thẳng 9x16x2 54 và 5x13x2 15. Vậy nên tọa độ của đỉnh B chính là nghiệm của hệ

</div>