TÍCH PHÂN RIEMANN, TÍCH PHÂN LEBESGUE VÀ ĐỘ ĐO RADON

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.08 MB, 66 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN

------

TRẦN THỊ DIỆU SƯƠNG

TÍCH PHÂN RIEMANN, TÍCH PHÂN LEBESGUE VÀ ĐỘ ĐO RADON

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 05 năm 2019

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN

ThS. TRẦN NGỌC QUỐC MSCB: 1251

Quảng Nam, tháng 05 năm 2019

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp của mình, ngồi sự nổ lực của bản thân, em cịn nhận được sự hướng dẫn tận tình của các thầy cơ giáo trường đại học Quảng Nam nói chung và thầy cơ khoa Tốn nói riêng, cùng với sự động viên của gia đình và bạn bè.

Em xin cảm ơn sự giảng dạy tận tình, sự dìu dắt và quan tâm của tất cả thầy cô trường đại học Quảng Nam, các thầy cơ khoa Tốn trong suốt thời gian 4 năm em học tập tại trường.

Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Ngọc Quốc, người đã

hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn sắp xếp công việc để có thể chỉ dẫn, định hướng cho em, giúp em hồn thành thật tốt khóa luận của mình. Em xin chúc thầy luôn mạnh khỏe và thành công trong sự nghiệp trồng người.

Cuối cùng, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện khóa luận.

Tác giả

Trần Thị Diệu Sương

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

MỤC LỤC

Phần 1. MỞ ĐẦU ... 1

1.1. Lý do chọn đề tài ... 1

1.2. Mục tiêu của đề tài ... 1

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1

1.4. Phương pháp nghiên cứu ... 1

1.5. Đóng góp của đề tài ... 2

1.6. Cấu trúc đề tài ... 2

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ... 3

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ... 3

1.1. Không gian mêtric và sự hội tụ ... 3

1.2. Không gian compact ... 4

1.3. Hội tụ từng điểm và hội tụ đều ... 5

Chương 2: TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE ... 6

2.1. Tích phân Riemann ... 6

2.1.1. Định nghĩa tích phân Riemann ... 6

2.1.2. Tính chất của tích phân Riemann: ... 12

2.1.3. Giới hạn dưới dấu tích phân ... 17

2.1.4. Sự hạn chế của tích phân Riemann ... 19

2.2. Tích phân Lebesgue ... 25

2.2.1. Tích phân các hàm đơn giản ... 26

2.2.2. Tích phân các hàm đo được bất kỳ ... 28

2.2.3. Các tính chất sơ cấp ... 30

2.3. Mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue ... 35

2.3.1. Giới hạn dưới dấu tích phân ... 35

2.3.2. Tích phân và đạo hàm trong ... 39

Chương 3: ĐỘ ĐO RADON ... 46

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài

Giải tích tốn học, cịn gọi đơn giản là Giải tích là một trong những phân ngành của Tốn học, có vai trị chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay. Bộ mơn Giải tích nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân. Phần lớn người học thường gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và tích phân, những bài tốn thực tế cần dùng đến tích phân nói riêng.

Tích phân có ứng dụng trong rất nhiều bài tốn về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, tính diện tích hay thể tích các vật thể phức tạp… Bên cạnh đó, trên cơ sở tích phân Riemann và tích phân Lesbegue, người ta xây dựng được độ đo Radon, ứng dụng độ do Radon để nghiên cứu nhiều chuyên đề lý thuyết trong giải tích.

Với mong muốn được tiếp cận nhiều hơn với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời tìm hiểu sâu sắc hơn về các ứng dụng của tích phân, dưới sự định hướng của thầy giáo,

ThS. Trần Ngọc Quốc, tôi quyết định chọn đề tài: “Tích phân Riemann, tích phân

Lebesgue và độ đo Radon” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.

Với đề tài này, tơi sẽ cung cấp lý thuyết cơ sở về tích phân Riemann, tích phân Lebesgue, mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue, độ đo Radon, ứng dụng tích phân Radon vào nghiên cứu một số chuyên đề lý thuyết. Tôi hi vọng đây sẽ là một nguồn tư liệu tốt cho bạn đọc nói chung và sinh viên Trường Đại học Quảng Nam, sinh viên chun ngành Tốn nói riêng.

1.2. Mục tiêu của đề tài

- Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của tích phân Riemann; - Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của tích phân Lebesgue;

- Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của đọ đo Radon và một vài ứng dụng.

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a. Đối tượng

- Tích phân Riemann, tích phân Lebesgue và mối quan hệ giữa chúng;

- Độ đo Radon và một số kết quả.

b. Phạm vi

- Bộ mơn Giải tích.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài nghiên cứu này, tôi sử dụng các phương pháp: 1. Tham khảo tài liệu có sẵn;

2. Phương pháp nghiên cứu lí luận;

3. Phương pháp tham khảo ý kiến chuyên gia; 4. Phương pháp phân tích;

5. Phương pháp tổng hợp; 6. Phương pháp khái quát hóa; 7. Phương pháp kiểm tra.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

1.5. Đóng góp của đề tài

Tơi mong muốn đề tài sẽ là nguồn tư liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc nói chung và sinh viên Trường Đại học Quảng Nam, sinh viên ngành Tốn nói riêng khi tìm hiểu các vấn đề liên quan đến tích phân Riemann, tích phân Lebesgue, độ đo Radon và mối quan hệ giữa chúng.

1.6. Cấu trúc đề tài

Đề tài gồm 2 chương:

- Chương 1: Kiến thức cơ sở

- Chương 2: Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue - Chương 3: Độ đo Radon

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Không gian mêtric và sự hội tụ

Định nghĩa 1.1. Cho X là tập hợp khác rỗng. Hàm số d X: x X được gọi là

khoảng cách (hay mêtric) trên X nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

i) ( , ) 0,d x y  với mọi x,yX.( , ) 0,

d x y  khi và chỉ khi xy.

ii) ( , )d x y d y x( , ), với mọi x,yX (tính đối xứng).

iii) ( , )d x y d x z( , )d y z( , ),với mọi x,y,zX (bất đẳng thức tam giác).

Khi đó, tập hợp X cùng với mêtric d được gọi là một không gian mêtric và kí hiệu

( , ).X d

Nếu mêtric d được xác định một cách rõ ràng thì ta sẽ kí hiệu đơn giản X thay cho kí hiệu khơng gian mêtric (X,d).

Định nghĩa 1.2. (Không gian mêtric con)

Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric và Y là một tập con khác rỗng của X. Nếu xét thu hẹp d' của hàm d lên tập Y x Y(nghĩa là d'dY x Y ) thì hiển nhiên d' là một mêtric trên Y. Ta gọi d' là mêtric cảm sinh bởi d lên Y. Với mêtric cảm sinh này,

( , ')Y d được gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric ( , ).X d

Định nghĩa 1.3. Giả sử X là một không gian mêtric và

 

xn là dãy trong X. Ta nói dãy

 

xn hội tụ đến điểm xX nếu lim ( , )n 0.

  Lúc đó, ta viết:

xn  hay limxn x.

Điểm x được gọi là giới hạn của dãy

 

xn .

Nhận xét 1.1. Nếu một dãy

 

xn hội tụ đến x thì mọi dãy con

 

xnk của

 

xn cũng hội tụ đến x.

Tính chất 1.1. Cho X là không gian mêtric và

 

xn ,

 

yn là các dãy trong X. Ta có các tính chất sau

i) Giới hạn của một dãy điểm (nếu tồn tại) là duy nhất. Nghĩa là, nếu xn x và xn x' thì xx'.

ii) Nếu xn x và yn y thì d(xn,yn)d(x,y).

Ví dụ 1.1.

(1) Trong khơng gian k, sự hội tụ của dãy



()()



Vậy, sự hội tụ trong k

là hội tụ theo tọa độ.

(2) Trong [ , ]a b , sự hội tụ của dãy xn(t) tới x(t) có nghĩa là

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

 xntxt

Vậy, sự hội tụ trong [ , ]a b chính là sự hội tụ đều trong giải tích cổ điển.

Định nghĩa 1.4. (Dãy Cauchy) Cho X là không gian mêtric.

Dãy điểm

 

xn  X được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi p ,

(xnxnp 

Định nghĩa 1.5. Một không gian mêtric Xđược gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu

mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

Ví dụ 1.2. Khơng gian mêtric [ , ]a b với mêtric ( , ) max ( ) ( ) ,

a t b

 

gian mêtric đầy đủ.

Định lý 1.1. Cho X là một không gian mêtric đầy đủ và Y là tập con đóng, khác rỗng của X. Khi đó, khơng gian mêtric con Y cũng là không gian mêtric đầy đủ.

1.2. Không gian compact Định nghĩa 1.6. (Tập compact)

Một tập M trong không gian mêtric X được gọi là compact nếu mọi dãy

 

xn M đều có chứa một dãy con

 

xnk hội tụ tới một điểm thuộc M.

Định lý 1.3. (Hausdorff)

Một tập compact thì đóng và hồn tồn bị chặn. Ngược lại một tập đóng và hồn tồn bị chặn trong một khơng gian mêtric đủ thì compact.

Hệ quả 1.1.

(i) Mọi tập compact đều bị chặn.

(ii) Một tập con đóng của một tập compact là compact.

(iii) Đối với các tập đóng trong k, các khái niệm: bị chặn, hoàn toàn bị chặn, compact tương đương nhau.

Định lý 1.4. (Heine - Borel)

Một tập M là compact khi và chỉ khi mọi họ tập mở

 

G phủ lên M: G M,

đều có chứa một họ con hữu hạn: 1, 2,...

Định nghĩa 1.7. (Không gian compact)

Một không gian mêtric Xđược gọi là khơng gian compact nếu nó là một tập compact

trong chính nó, nghĩa là mọi dãy

 

xn trong X đều chứa một dãy con hội tụ.

Hệ quả 1.2. Một không gian mêtric X là compact khi và chỉ khi mọi họ tập đóng,

 

F , trong X mà có giao rỗng: F  , thì đều chứa một họ con hữu hạn:

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Một không gian mêtric X gọi là tách được (hay khả ly) nếu có một tập đếm được trù

mật trong X .

Định lý 1.5. Mọi không gian mêtric compact là đủ và tách được.

1.3. Hội tụ từng điểm và hội tụ đều

Định nghĩa 1.8. Xét fn:S, ta nói chuỗi

 

fn hội tụ từng điểm đến f S: nếu

Định nghĩa 1.9. (Hội tụ đều)

Xét fn:S, ta nói chuỗi

 

fn hội tụ đều đến f S: nếu   0, n0 sao cho  nn0, ta có

Định nghĩa 1.11. Xét hàm bị chặn f S: . fn được gọi là hội tụ đều Cauchy nếu

với mọi  0, tồn tại n, sao cho m k,n0, ta có

f  f 

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Chương 2: TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE

Tích phân Riemann là một trong những tích phân cơ bản nhất, bởi lẽ một hàm đã khả tích Riemann thì sẽ khả tích theo mọi nghĩa khác và khi ấy các giá trị tích phân là bằng nhau. Nhưng cũng chính vì tích phân Riemann là tích phân cơ bản nhất nên còn nhiều hạn chế. Trong phần này, chúng ta cùng định nghĩa lại tích phân Riemann, các tính chất cơ bản và phân tích một vài hạn chế.

Định nghĩa 2.2. Cho P P,  là hai phép phân hoạch trên cùng đoạn

 

a b, . Khi đó

P P nếu P chứa tất cả các điểm chia của P.

Định nghĩa 2.3. ( Tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới)

Cho Plà một phép phân hoạch của

 

a b, . Ta đặt   xixixi1 và

minff xxxxMsup f xxxx

Khi đó, U

   

f , L f được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f

tương ứng phép phân hoạch P .

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Hình 1. Tổng Darboux trên của f

tương ứng phép phân hoạch P.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Định nghĩa 2.4. ( Tích phân Riemann)

Chof xác định, bị chặn trên đoạn

 

a b, và U

   

f , L f lần lượt là tổng Darboux trên và dưới của hàm số f tương ứng phép phân hoạch P.

Hàm số fđược gọi là khả tích Riemann nếu

được gọi là tổng tích phân Riemann.

Nhận xét 2.1. Vì zi



xi1,xi



là bất kỳ nên ta có vơ số tổng tích phân Riemann trên

 

a b, tương ứng P.

Bổ đề 2.1. Cho f :

 

a b,  là hàm bị chặn và P P,  là hai phép phân hoạch trên



</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Định lý 2.3. Chofđóng và bị chặn trên

 

a b, . Khi đó,flà khả tích Riemann trên

 

a b, khi chỉ khi  I sao cho

 

a b

Từ bổ đề 1, ta có



L

 

f



là dãy tăng,



U

 

f



là dãy giảm.

Khi đó, ta có



L

 

f



là dãy tăng và bị chặn trên bởi I,



U

 

f



là dãy giảm và bị

chặn dưới bởi I.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Theo tính chất Infimum, Supremum, ta có kết quả

Định nghĩa 2.6. (Hàm đơn điệu)

Cho hàm số f :

 

a b,, fđược gọi là tăng nếu

Hàm số f :

 

a b, được gọi là hàm đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm.

Định lý 2.4. Nếu f :

 

a b,  là đơn điệu thì f khả tích.

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh định lý này trong trường hợp f là hàm tăng, trường hợpf là hàm giảm chứng minh tương tự.

Từf là hàm tăng, ta có f a

 

 f x

 

 f b

 

, x

 

a b, . Do đó f bị chặn trên

 

a b, bởi

 

f b

Để f 

 

a b, , ta chứng minh  0, ta chọn được phép phân hoạch P thỏa đường kính  0 sao cho U

 

f L

 

f  (Theo tiêu chuẩn Cauchy về tổng trên và tổng dưới).

Thật vậy, với mọi  0, chọn phép phân hoạch P có đường kính  thỏa

 

bf a

Vậy    e 0,  0 sao cho U

 

f L

 

f e. Hay f 

 

a b, .

Định lý 2.5. Nếu f :

 

a b,  là liên tục thì f khả tích.

Chứng minh.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Với

 

a b, là tập đóng, f là hàm số liên tục đều trên

 

a b, ; vì vậy, với mọi  0, ta có thể chọn  0 sao cho

Gọi P là phép phân hoạch bất kỳ trên đoạn

 

a b, . Vì f liên tục nên ta có thể thay thế

inf và sup bởi min và max trong định nghĩa mi và Mi, khi đó với mọi i1, ,n

b ae

b ab ae

Vậy f 

 

a b, .

2.1.2. Tính chất của tích phân Riemann:

Trong phần này, để việc trình bày đơn giản và gọn gàng, ta sẽ kí hiệu



f thay cho.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

LfIUfLgIUg

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Với mọi  0, tồn tại P1 sao cho

  

2ggILgUgI Chọn 12.P P P Khi đó, ta có

        

12122 2

2 2 .

fgfgIIII               Do đó



Nhận xét 2.2. f g, :

 

a b,  thỏa



f g



khả tích Riemann. Ta khơng thể khẳng

định f và g cùng khả tích Riemann. Thật vậy, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 2.2. Cho f g, : 0,1

 

 được định nghĩa

  

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Suy ra

L f g U f g

Hay



f g



là hàm khả tích trên đoạn

 

0,1 .

Mặt khác, với P là phép phân hoạch bất kỳ trên đoạn

 

a b, . Ta có

U fgU fU gL fgL fL g

Hay f và g là các hàm khơng khả tích trên đoạn

 

0,1 .

Vậy



f g



khả tích Riemann ta không thể khẳng định f và g cùng khả tích Riemann.

iia b

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Tương tự ta chứng minh được f khả tích trên đoạn

 

c b, .

Ngược lại, nếu f khả tích trên đoạn

 

a c, và

 

c b, , khi đó có hai phép phân hoạch Q, R lần lượt trên đoạn

 

a c, và

 

c b, sao cho

Cuối cùng, với phép phân hoạch P Q R, , như trên, ta có

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

2.1.3. Giới hạn dưới dấu tích phân

Định lý 2.10. Nếu

 

fn là chuỗi hàm liên tục trên S hội tụ đều đến hàm f xác định trên S thì f là hàm liên tục.

Chứng minh.

Cho x

 

a b, là điểm bất động,

 

xn là chuỗi trên

 

a b, hội tụ đến x. Với mọi  0,

khi fk hội tụ đều về f , ta có k sao cho

.333

f xf xf xfxfxfxfxf xf xfxfxfxxf x

   

   

Vì vậy



f x

 

m



hội tụ đều về f x

 

và f liên tục tại mọi x

 

a b, .

Từ Định lý 2.10, ta thấy rằng nếu

 

fn là chuỗi hàm liên tục trên S hội tụ đều đến

hàm f xác định trên S thì f là hàm liên tục. Nhưng nếu chuỗi hàm

 

fn là hội tụ từng điểm thì điều này là khơng đúng.

Thật vậy, ta xét ví dụ sau

Ví dụ 2.3. Cho fn: 0,1

 

 cho bởi

0 0,1: 0,

10 .

khi xfxn n xkhix

nkhi x



</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Hình 2. Đồ thị của fn

 

x . Ta thấy rằng fn là khả tích Riemann vì liên tục trên



0,1



và

lim

lim222

11 1.



</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">



hội tụ về b .

2.1.4. Sự hạn chế của tích phân Riemann

Từ định nghĩa tích phân Riemann, ta thấy rằng kỹ thuật tính tốn là vô cùng phức tạp, đặc biệt là việc so sánh U

 

f và L

 

f .

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Vì vậy hai nhà tốn học Newton là Lebniz đã cùng đưa ra một giải pháp tuyệt vời để tính tích phân Riemann.

Sff zxxF zxx

F xF xF xF xF bF a

Suy ra

 0

Nhận xét 2.3. Định lý rất hữu dụng nhưng chỉ tính tốn được với những hàm số có

nguyên hàm, tức là phải tồn tại Fsao cho '

F  f Ví dụ với hàm số

 

2

x

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

chúng ta khơng thể tìm được hàm F x

 

. Câu hỏi đặt ra trong trường hợp tổng quát, những hàm số nào có thể tính được tích phân Riemann? Chúng ta cùng tìm hiểu những hạn chế của tích phân Riemann và đến với định lý Lebesgue.

Xét và V là một lân cận bất kỳ của Khi đó, đại lượng

được gọi là dao động của hàm số trong V.

Ta thấy rằng khi thì giảm dần và bị chặn dưới bởi 0 nhưng V vẫn ln

chứa là tâm. Vì vậy, tồn tại

Giá trị được gọi là dao động của hàm số tại

Bổ đề 2.3. Hàm số f x

 

liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi f

 

x0 0.

Thật vậy, nếu f x

 

liên tục tại điểm x0 thì với mọi  0 cho trước có tồn tại một lân

cận V của x0 sao cho

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Mặt khác vì  đóng nên x0.

Bổ đề 2.5. Cho một tập đóng Q . Nếu f

 

x   , x Q thì có một số  0 (chỉ phụ thuộc  ) sao cho trong mọi hình cầu V Q với đường kính nhỏ hơn  ta đều có

Thật vậy, mỗi điểm xQ có một lân cận Vx sao cho f

 

V . Gọi Wx là lân của x

có bán kính bằng một nửa bán kính Vx. Lớp các hình cầu Wx phủ lên tập Q, mà Q là đóng và bị chặn cho nên theo định lý Heine - Borel, có thể trích ra một số hữu hạn hình cầu W , W ,..., W1 2

xxx vẫn phủ được Q. Cho  là bán kính nhỏ nhất của các hình cầu này. Nếu một hình cầu V Q có đường kính nhỏ hơn  thì nó phải có điểm chung với một W

Độ đo nói đây là độ đo Lebesgue trong k.



i a



bao giờ cũng bằng 0). Mỗi điểm xAn\B phải là điểm trong của một đoạn

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

và

 



Song vì mỗi đoạn '

  cho nên jh 1.

  Do đó

 



Chứng tỏ

"" Ngược lại, giả sử 

 

A 0, tức là 

 

A 0 với mọi n. Cho trước một số  0tùy ý. Ta lấy một tập An với n đủ lớn để 1 .

n  Vì An có độ đo 0 nên có thể phủ được bằng một họ khoảng (mở) có thể tích tổng cộng nhỏ hơn

và vì An bị chặn và đóng nên trong họ đó có một số hữu hạn khoảng: D D1, 2,...,Dm cũng phủ được An. Bây giờ xét phép phân hoạch  bất kỳ chia đoạn  thành các đoạn nhỏ  1, 2,...s. Ta có

Ta hãy ước lượng riêng mỗi tổng 1và 2:

a) Ta có thể chọn 1 0 đủ nhỏ để cho nếu  1 thì các đoạn j có điểm chung với các khoảng D D1, 2,...,Dm có thể tính tổng cộng nhỏ hơn



và do đó nhỏ hơn

2..2 

   

  Khi đó, gọi K là lân cận trên của f x

 

trong  ta sẽ có

  tại mọi xQ.

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Vậy theo bổ đề 3 có thể tìm được 2 0 đủ nhỏ để cho nếu   2 thì i 1

  với mọi

đoạn  jQ. Khi đó

gọi là độ đo Peano - Jordan của tập A.

Nhận xét 2.4. Dĩ nhiên tập các điểm gián đoạn của hàm số A

 

xchính là biên của tập A, cho nên theo Định lý 2.14 (Định lý Lebesgue):

Một tập bị chặn A là đo được



P J. .



khi và chỉ khi biên của nó có độ đo Lebesgue bằng 0.

Chẳng hạn tập các điểm hữu tỉ trong đoạn

 

0,1 không đo được



P J. .



vì biên của nó là tồn đoạn

 

0,1 và do đó có có độ đo 1 0.

Bây giờ, cho tập A đo được



P J. .



và một hàm số f x

 

bị chặn trên A. Ta xác định hàm số f x

 

 f x

 

trên A và f x

 

0 ngoài A. Nếu f x

 

khả tích Riemann trên một đoạn  A thì f x

 

gọi là khả tích Riemann trên tập A, và ta định nghĩa ích phân của f x

 

trên A là số

2) Biên của A có độ đo Lebesgue bằng 0;

3) Tập các điểm trong của A tại đó f x

 

gián đoạn có độ đo Lebesgue bằng 0.

Nhận xét 2.5. Ta thấy rằng tích phân Riemann chỉ áp dụng cho một lớp hàm số tương

đối hẹp, bao gồm những hàm số mà tập các điểm gián đoạn có thể "bỏ qua được" (có độ đo 0). Cịn các hàm số đo được tổng qt thì nói chung có thể khơng khả tích

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Riemann. Ngay hàm số Dirichlet cũng không khả tích Riemann, vì với mọi phân hoạch

 ta đều có L

 

f 0, U

 

f 1. Đó là một sự hạn chế đáng kể của khái niệm tích phân Riemann, vì trong tốn học hiện đại (lý thuyết và ứng dụng) rất thường gặp những hàm số gián đoạn đòi hỏi phải lấy tích phân theo một nghĩa nào đó.

Nhược điểm của tich phân Riemann bộc lộ rõ nhất trong những vấn đề qua giới hạn: nói chung dùng tích phân Riemann thì phép tốn này phải thận trọng vì không phải luôn luôn thực hiện được. Chẳng hạn, trong không gian  La b, , gồm các hàm số liên tục x t

 

trên đoạn

 

a b, với mêtric

Ngồi ra cịn một vấn đề nữa mà tích phân Riemann khơng đủ để giải quyết, là việc tìm lại một hàm liên tục F x

 

mà ta đã biết đạo hàm '

  

F x  f x của nó (đây là nói hàm số một biến trên đoạn

 

a b, : nếu f x

 

khả tích Riemann thì ta biết rằng

Để khắc phục tất cả các nhược điểm đó, cần phải xây dựng một khái niệm tích phân

tổng quát hơn tích phân Riemann.

2.2. Tích phân Lebesgue

Phân tích cách xây dựng tích phân Riemann ta thấy rằng trong quá trình chia nhỏ đoạn

 

a b, , muốn cho L

 

f U

 

f dần về 0 thì Mimi cũng phải dần về 0, tức là dao động  f

 

xi dần về 0. Do đó, từ Định lý 2.8, muốn tích phân của hàm số tồn tại thì f phải liên tục hầu khắp nơi trên

 

a b, .

Đó là lí do cơ bản giải thích tại sao tích phân Riemann khơng thể áp dụng cho những hàm số quá ư gián đoạn. Cụ thể như hàm số Dirichlet f xác định trên đoạn

 

0,1

được định nghĩa

 

1 khi 0,1.0 khi 0,1 \

Để vượt qua hạn chế này, Lebesgue đề ra ý kiến độc đáo là thay vì chia nhỏ đoạn

 

a b, và nhóm các điểm gần nhau thì ta nhóm các điểm mà tại đấy, giá trị của hàm số gần nhau. Nghĩa là ta không chia

 

a b, thành các đoạn i nhỏ, mà ta chia

 

a b, thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm các điểm x tương ứng với giá trị f x

 

là xấp xỉ nhau. Từ quan điểm cơ bản này, Lebesgue đã xây dựng được khái niệm tich phân rất tổng quát, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bọ chặn. Tích phân Lebesgue

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

được xây dựng bằng cách dùng các hàm đơn giản để xấp xỉ f, từ đó có thể chia

 

a b,

thành các tập thích hợp.

2.2.1. Tích phân các hàm đơn giản

Định nghĩa 2.9. Cho f là hàm đơn giản, không âm trên đoạn

 

a b, , tức là

Khi đó, ta định nghĩa

 

ia b

A    AAA  B   A B trong đó các tập AiBj rời nhau, cho nên

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Nếu hai hàm đơn giản f g,0 và f g trên tập A thì

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">





 



2.2.2. Tích phân các hàm đo được bất kỳ

Định lý 2.15. Mỗi hàm số f x

 

đo được trên một tập A là giới hạn của một dãy hàm đơn giản fn

 

x :

Nếu f x

 

0 với mọi xA thì có thể chọn các fn để cho

 

0; 1

  

, , .

fx  f  x  fx   nxA

Chứng minh. Bằng cách đặt f x

 

0 với mọi xA ta có thể coi như f x

 

xác định

và đo được trên tồn khơng gian X.

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

 Suy ra

Ta lần lượt xét trường hợp các hàm số không âm và các hàm số có dấu thay đổi.

I. f x

 

0 trên tập A. Theo Định lý 2.15, có một dãy hàm số đơn giản fn 0, đơn

điệu tăng và hội tụ tới f. Ta gọi tích phân của f x

 

trên tập A đối với độ đo  là số (hữu hạn hay vơ cực)

và nếu tích phân ấy hữu hạn thì ta nói f x

 

khả tích.

Tích phân được định nghĩa như trên gọi là tích phân Lebesgue và được kí hiệu

</div>

TÍCH PHÂN RIEMANN, TÍCH PHÂN LEBESGUE VÀ ĐỘ ĐO RADON

<b>------ </b>

<b>TRẦN THỊ DIỆU SƯƠNG </b>

<b>TÍCH PHÂN RIEMANN, TÍCH PHÂN LEBESGUE VÀ ĐỘ ĐO RADON</b>

<i><b>KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b></i>

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   





 

 

 

 

 



 





 





 





 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



  

        



 





 

  





 

 