SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.31 MB, 45 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

------

SAYVISITH SYSANGVONE

SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2019

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

MỤC LỤC

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN

------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN

Sinh viên thực hiện

Sayvisith Sysangvone

MSSV: 2115020138

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN

KHĨA 2015 – 2019 Cán bộ hướng dẫn

Th.S Võ Văn Minh

Quảng Nam, tháng 5 năm 2019

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

MỤC LỤC

PHẦN 1. MỞ ĐẦU ... 1

1.1. Lý do chọn đề tài ... 1

1.2. Mục tiêu của đề tài ... 1

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1

1.4. Phương pháp nghiên cứu ... 1

1.3.1 Vành đa thức theo một biến ... 3

1.3.2 Nhúng một vành vào vành đa thức theo một biến ... 4

1.4 Ước, phần tử liên kết, phần tử bất khả quy. ... 7

1.6. Dạng nhân tử hóa duy nhất ... 10

1.6.1 Điều kiện tồn tại dạng nhân tử hóa. ... 10

1.6.2 Điều kiện duy nhất của một dạng nhân tử hóa. ... 11

CHƯƠNG 2. SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN... 12

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2.2.3 Thuật tốn Euclide tìm ƯCLN: ... 16

2.3. Miền ngun Gauss ... 18

2.3.1 Định nghĩa: ... 18

2.3.2. Các định lý ... 18

2.4. Sự nhân tử hóa ... 20

2.5. Đa thức trên miền nhân tử hóa. Đa thức bất khả quy trên miền nhân tử hóa ... 22

2.5.1. Đa thức trên miền nhân tử hóa ... 22

2.5.2 Đa thức bất khả quy trên miền nhân tử hóa ... 28

2.6 Bài tập áp dụng ... 29

PHẦN 3. KẾT LUẬN ... 39

PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 40

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Phần 1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài

Toán học được tất cả mọi người sử dụng là công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, sử dụng những phát minh tốn học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành tốn hồn tồn mới.

Số học là một ngành của Toán học lý thuyết, nghiên cứu về các tính chất của các tập số nói chung và của tập hợp số nguyên nói riêng. Số học giữ một vai trị quan trọng và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác và trong đời sống hàng ngày. Số học luôn là đề tài nghiên cứu của nhiều nhà toán học, cũng như những người u thích mơn học này.

Ở bậc học phổ thông, chúng ta đã được học về Số học trong các tập hợp số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ,… nhưng chỉ ở mức độ đơn giản. Vì vậy, tơi đã

chọn đề “Số học trong một miền nguyên”, với mục đích nghiên cứu các tính chất số học ở mức độ tổng quát hơn, trong một miền nguyên.

1.2. Mục tiêu của đề tài

Đề tài nghiên cứu nhằm giúp người đọc hệ thống lại các kiến thức cơ bản và đi sâu vào nghiên cứu số học trong một miền nguyên

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: số học trong một miền nguyên.

- Phạm vi nghiên cứu: miền chính, miền Euclide và miền nguyên Gauss.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết - Phương pháp nghiên cứu tài liệu

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Phần 2. NỘI DUNG

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Miền nguyên

Định nghĩa 1. Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép toán nhân

trong X có tính chất giao hoán.

Định nghĩa 2. Vành X được gọi là vành có đơn vị nếu phép tốn nhân trong

X có phần tử đơn vị (kí hiệu phần tử đơn vị là 1 hoặc e).

Định nghĩa 3. Giả sử X là vành và aX \ 0 .

 

Phần tử a được gọi là ước của không nếu tồn tại bX \ 0

 

sao cho ab0 hoặc ba0.

Định nghĩa 4. Ta gọi miền nguyên là một vành có nhiều hơn một phần tử,

giao hốn, có đơn vị và khơng có ước của 0.

Ví dụ: Vành các số nguyên là một miền nguyên.

Định nghĩa 5. Giả sử X là một vành giao hoán. Ta nói phần tử aX là bội của một phần tử bX hay a chia hết cho b ký hiệu a b, nếu có phần tử cX sao cho abc; Ta cịn nói rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b a| . Phần tử

b gọi là liên kết với a trong X nếu a b| và b a| .

Đặc biệt, u|1 có nghĩa là u có trong X một nghịch đảo u1 và u gọi là khả

nghịch trong X .

1.2 Tính chất chia hết trong một miền nguyên

(i) Trong miền nguyên D , các phần tử a và b liên kết khi và chỉ khi tồn tại một phần tử u khả nghịch sao cho bau.

(ii) Trong vành giao hốn có đơn vị X , quan hệ chia hết có tính chất phản xạ

phản đối xứng và bắc cầu, do đó quan hệ chia hết là một quan hệ thứ tự

Quan hệ chia hết trong một vành giao hốn X cũng có những tính chất sơ cấp

tương tự như trong vành số nguyên , chẳng hạn:

Một phần tử a tùy ý của miền ngun D ln có những ước là mọi phần tử

khả nghịch và mọi phần tử đều liên kết với nó.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

1.3 Vành đa thức

1.3.1 Vành đa thức theo một biến

Cho một vành B , một vành con A của B và một phần tử aB, ta xem xét

vành con của B sinh bởi bộ phận A

 

u . Để bài toán được đơn giản ta giả thiết

vành B , vành con A và phần tử u thỏa mãn các điều kiện sau đây:

i) Vành B có phần tử đơn vị 1B.

ii) 1BA

iii) auua với mọi aA

Vành con của B sinh bởi A

 

u sẽ được ký hiệu là A u

 

Dạng của mỗi phần tử thuộc vành con biểu thị theo các phần tử của bộ phận

sinh, cho thấy cần phải xét các phần tử của B có dạng

Định nghĩa 6. Một phần tử của vành B có dạng (1) được gọi là một đa thức

theo biến u và có hệ tử thuộc vành con A .

Định nghĩa 7. Trong vành đa thức A u

 

1) u gọi là đại số đối với vành A nếu trong A u

 

có một đa thức

2) u gọi là siêu việt đối với vành A , nếu u không là đại số đối với A . Tức

là nếu với mọi đa thức n0 i

 



kéo theo ai 0B với mọi .i

Mệnh đề 1. Vành con A u

 

của vành B là tập hợp tất cả các đa thức theo biến

u có hệ tử thuộc vành con A.

Chứng minh: Đặt P A u( , ) là tập hợp các phần tử của B có dạng một đa thức

như (1). Ta cần chứng minh P(A, )u  A u

 

. Hiển nhiên P A u( , ) A u

 

. Để có đẳng thức ta cần chứng tỏ P A u( , ) là một vành con của B chứa A và u. Để thấy

fgaa u



</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Do đó f  gP A u( , ). Cịn tích của chúng có thể viết

n miiifgp u

f  a u

 



 sao cho f  

 

f 0B. Vậy P A u





là một vành con

của B chứa A

 

u do đó chứa vành con A u

 

Nếu B A u

 

với một vành con A của B và một phần tử uB, ta nói B là

một vành đa thức theo biến u và có hệ tử thuộc vành A.

Mệnh đề 2. Nếu biến u siêu việt đối với vành A thì dãy các hệ tử

1.3.2 Nhúng một vành vào vành đa thức theo một biến

Cho một vành A với phần tử đơn vị 1A. Ta tìm cách nhúng A vào một vành

 

A x các đa thức có hệ tử thuộc A và theo một biến x siêu việt đối với A . Khi đó

mỗi đa thức của vành A x

 

được xác định bởi dãy các hệ tử duy nhất của nó, tức là một dãy vô hạn ( , ,...,a a0 1 an,0 ,...)A phần tử của A , hầu hết bằng 0A ngoại trừ một số hữu hạn. Vì thế để xây dựng A x

 

, ta xét tập hợp BA( ) các ánh xạ f :  Atừ tập các số tự nhiên 0,1,2,... vào vành A có giá trị f i( )ai hầu hết bằng 0 ,Angoại trừ một số hữu hạn i .

Trên tập hợp ( )

B A ta sẽ định nghĩa các phép toán cộng và nhân như sau, với f g. B ta có phần tử f  gB định bởi



f g

 

i  f i

 

g i

 

với mọi i (1)

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Có thể kiểm chứng B cùng phép cộng



f g,



f g là một nhóm aben. Phần tử 0B của nhóm cộng này là ánh xạ 0 :

Phép nhân



f g,



fg trên B có tính kết hợp. Thật vậy, với bất kì

aa nếu và chỉ nếu



a 



a'

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

cho nên sự tương ứng a



a là một đơn ánh xạ jA:AB. Hơn nữa, từ phép

cộng và phép nhân trên B , với mọi , 'a a A

j   , nên a



a là một đơn cấu vành jA:AB chuyển đơn vị thành đơn vị.

Vậy A đẳng cấu với vành con Im jA 



aB a| A



của B . Đồng nhất A

với vành con Im jA của B , tức là đồng nhất mỗi aA với



aB (khi đó 0A được đồng nhất với 1 1

     

ax 1  ax 1 a và

     

ax i  ax i 0Avới mọi i1 và

     

xa 1  xa 1 a và

     

xa i  xai 0A

với mọi i1, cho nên axxa với mọi aA. Do đó, ta có vành con A x

 

của B

gồm các đa thức theo biến x có các hệ tử thuộc vành con A của B . Ngoài ra, để ý

với mọi số nguyên q0, lũy thừa bậc q của xB là ánh xạ xq: A định bởi ( ) 1

f a a x a x  BA x

vì f i

 

ai với mỗi i0,1,..., n cho nên f a0a x1  ... a xnn 0B kéo theo

01 ... n 0A

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Định lí. Mọi vành đa thức có phần tử đơn vị đều nhúng được vào một vành

 

A x các đa thức có hệ tử thuộc A theo một biến x siêu việt đối với A .

Sau này, đơn cấu vành jA:AA x

 

định bởi jA

 

a a với mọi aA sẽ được gọi là đồng cấu bao hàm.

Giả sử a, b  D, b  0. Ta nói b là ước của a nếu c D: bc = a. Kí hiệu b \ a.

Nếu b \ a ta cũng nói a là bội của b, a  b hay b chia hết a.

Quan hệ S xác định: xSx’  x’ = ux với u khả nghịch, là một quan hệ tương

đương. Khi đó x và x’ được gọi là liên kết.

Ví dụ:

(1) Hai phần tử của nhóm nhân U là liên kết.

(2) Trong vành , hai số nguyên a và –a là liên kết.

(3) Trong vành đa thức K[x], với K là trường, f(x) và a.f(x), 0  a K là liên kết.

Bổ đề. x và x’ là liên kết  x \ x’ và x’ \ x.

Thật vậy, giả sử x và x’ liên kết  u  A khả nghịch: x’ = ux. Lại có u khả nghịch nên v  D : uv = 1.

Kết hợp với x’ = ux ta có x’v = uxv = (uv)x = x  x’ \ x.

Ngược lại, giả sử x \ x’ và x’ \ x.

 u,v  D : x = ux’ và x = vx  x = uvx  x(1 – uv) = 0

 uv – 1 = 0 (do x  0 và D là miền nguyên)

 uv = 1  v khả nghịch.

Ngồi ra có x’ = vx. Vậy x và x’ liên kết.

Bây giờ, lấy a  D (vành D giao hốn), khi đó tập hợp:

aD = Da : = {xa / x  D }  D.

iđêan này sinh ra bởi a, người ta gọi nó là iđêan chính, kí hiệu < a >

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Bổ đề. b \ a  < a >  .

Thật vậy, vì b \ a nên c  D: a = bc   < a >  . Ngược lại, giả sử < a >  a   c  A: a = bc. □

Hệ quả. x và x’ là liên kết khi và chỉ khi < x > = <x’ >.

Giả sử 0  x  D, x không khả nghịch. x được gọi là phần tử bất khả quy

nếu x khơng có ước thực sự.

ii) c a| và c b| c d| với mọi c.

Ta có thể định nghĩa ước chung lớn nhất bằng ngôn ngữ iđêan: Ước chung lớn nhất của a b, D là một phần tử dD sao cho dD là iđêan chính bé nhất trong các iđêan chính chứa iđêan aD bD .

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Theo định nghĩa trên, nếu d là ước chung lớn nhất của a và b, thì mọi d' mà d' d d, ' cũng là ước chung lớn nhất của a và b. Như thế, ta có thể nói rằng: Ước chung lớn nhất của a và b, nếu tồn tại thì được xác định duy nhất với sai khác

một phần tử khả nghịch trong D . Ước chung lớn nhất của a và b thường được kí hiệu là

 

a b, và lưu ý rằng

 

a b, chỉ là phần tử đại diện của một lớp tương đương

mod. và không phụ thuộc vào thứ tự của các phần tử a và b.



ca cb D,



c a b D

 

, , và suy ra



ca cb,

  

c a b u, với một uD* (*)

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Hơn nữa, ca



ca cb D,



c a b uD

 

, và giả thiết c0D suy ra a

 

a b uD, . Lập luận tương tự ta cũng có b

 

a b uD, ; từ đó suy ra

 

a b D, 

 

a b uD, , điều này và giả thiết

 

a b, 0D cho suy ra DuD, tức là u 1D. Kết quả này và (*) cho ta



ca cb,

  

c a b, . Vậy, ta có ii) trong trường hợp này.

Bây giờ ta chứng minh iii). Từ giả thiết

 

a b, 1D,

Theo mệnh đề:

ab

khi và chỉ khi nếu a và b sai khác nhau một phần tử khả nghịch của D, với mọi aD, lớp tương đương mod. của a là bộ phận

Một cách tổng quát: tính kết hợp cho định nghĩa ước chung lớn nhất



a a1, 2,...,an



của một số hữu hạn n2 phần tử a a1, 2,...,an phần tử của miền

nguyên D . Hệ quả sau đây cũng là một tính chất của ước chung lớn nhất hay được

áp dụng.

Hệ quả. Nếu '

ada và bdb' với d là

 

a b, thì

a b', '1

D.

1.6. Dạng nhân tử hóa duy nhất

1.6.1 Điều kiện tồn tại dạng nhân tử hóa.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Nếu miền nguyên D thoả điều kiện dây chuyền tăng iđêan chính thì mọi

phần tử khác 0D và không khả nghịch trong D có một dạng nhân tử hóa thành những phần tử bất khả quy.

1.6.2 Điều kiện duy nhất của một dạng nhân tử hóa. Định nghĩa.

Một phần tử bất khả quy pD được gọi là nguyên tố nếu iđêan chính pD là một iđêan nguyên tố của D.

Mệnh đề

Nếu miền nguyên D sao cho hai phần tử bất kỳ của nó đều có một ước chung lớn nhất thì mọi phần tử bất khả quy của D đều là nguyên tố.

Định lý.

Nếu miền nguyên D trong đó mọi phần tử bất khả quy đều là ngun tố thì dạng

nhân tử hóa thành những phần tử bất khả quy của mỗi phần tử *

aD U có tính duy nhất. Từ mệnh đề và định lý trên ta có hệ quả

Nếu miền nguyên D trong đó hai phần tử bất kỳ nào cũng có một ước chung

lớn nhất thì dạng nhân tử hóa của mỗi phần tử *

aD U có tính duy nhất.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Chương 2. SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN

2.1. Miền nguyên chính

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa.

Miền nguyên chính là một miền nguyên có phần tử đơn vị và mọi iđêan của nó đều là iđêan chính.

Vậy, nếu D là một miền nguyên chính thì mọi iđêan I của nó đều có dạng

Nếu I = {0} thì I là ideal chính, sinh bởi phần tử 0  .

Nếu I  {0}. Giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I, b  I (ta có

thể giả sử b  0, vì nếu b < 0 thì –b > 0 và –b  I, nên lấy –b > 0). Bây giờ lấy b chia cho a ta được: b = aq + r với 0  r < a.

3) Vành

 

i gồm các số phức a bi a b, , là một miền chính. Mỗi iđêan I

khác 0 chứa những phần tử a bi 0, nghĩa là nhứn phần tử mà chuẩn của nó

yxzxr và xr  yxzI .

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Ta có

     

22



1

  

N xr N x N r N x  v  N x N x .

Do cách chọn x, ta suy ra xr 0 và do đó yxz

 

x . Vì y là tùy ý thuộc I

nên điều này kéo theo I 

 

x là iđêan chính với cơ sở x. Vành

 

i gọi là vành các số nguyên Gauss.

(i)

   

a  b có nghĩa là aa.1

 

a và do đó a

 

b . Vậy tồn tại cd để

abc hay b a\ . Đảo lại nếu b a\ thì abc với một cD như vậy a

 

b . Suy ra

   

a  b .

(ii) Theo (i),

   

a  b khi và chỉ khi a b\ và b a\ hay tương đương a và b

liên kết.

Chú ý rằng một ước thật sự b của a xác định một iđêan chính

 

b lớn hơn

 

a . Mặt khác hai phần tử liên kết trong một miền nguyên sai khác nhau một ước của của đơn vị do đó ta có,

   

a  b khi và chỉ khi abu với u\1. Đặc biệt

   

a  1 khi và chỉ khi a khả nghịch trong D .

Mệnh đề 2.2. Trong một miền chính D mọi dãy tăng

 , ta có I là một iđêan của D . Thật vậy, với mọi

xD, mọi a b, I, tồn tại k l, sao cho a C b C k,  l. Có thể giả thiết k 1, do đó

C C và a b C,  l. Vì Cl là iđêan nên a b và xa Cl và do đó cũng thuộc I . Như vậy I là một iđêan của miền chính D . Giả sử I sinh bởi phần tử c khi đó có một m sao cho c C m. Vậy

mmI C C 

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng dừng trên các iđêan gọi là một vành Noether. Điều đảo lại không đúng, tồn tại một vành Noether không phải là một vành chính, chẳng hạn [X] khơng phải là miền chính.

Vì iđêan I gồm các đa thức với hệ tử tự do chẵn khơng phải là một iđêan

chính. Thật vậy. mỗi đa thức như thế có thể viết dưới dạng Xf 2g, với

 

f g X Do đó I sinh bởi cơ sở , 2X .

Nếu I 

 

h thì h X\ và \ 2h do đó h 1 nhưng

 1I,

mâu thuẫn.

2.2. Miền Euclide

2.2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa.

Miền Euclide là một miền nguyên D cùng với ánh xạ *

Với điều kiện (ii) ta nói rằng trong D có phép chia Euclide a cho b, trong

đó q gọi là thương và r gọi là dư của phép chia này.

0  f(x)  deg f(x) là một miền Euclide.

(3) Vành các số nguyên Gauss [i] = {a + bi / a,b  } cùng với ánh xạ  : *[i] 

0  z  z 2 = a2 + b2 (bình phương mơđun của z)

là miền Euclide.

Thật vậy, giả sử a, b  [i], b  0. Khi đó:

- Giả sử b \ a, a  0  a

b = s+ it với s, t  (vì a b)

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

 s2 + t2 > 0 (do a  0 và s, t  ) 

= s2 + t2 > 0 hay

ba ba (b)

(a)   

= s2 + t2 > 0  (b)  (a). - Giả sử a ,b  [i], b  0 suy ra

= u + iv ; u, v 

(vì giả sử a = m + in; b = p + iq) Suy ra

= m in (m in)(p 2 2 iq)p iq p q

= mp 2 nq2 np - mq2 2p q ip q

  = u + iv với u, v  ).

Vì u, v  nên x, y  :

21 u

x  và

21 v

y  .

Ta đặt:  = x + iy và  = a – b  a = b +  (1) và

+ 2

  . b 2 < b 2 (do *) = (b) (2)

Từ (1) và (2) ta có [i] thỏa mãn (ii) của định nghĩa về vành Euclide, suy ra [i] là miền Euclide.

aI sao cho 

 

a nhỏ nhất. Rỏ ràng

 

a I. Đảo lại với mỗi ,

xI tồn tại ,q rD sao cho xaqr, với 

 

r 

 

a nếu r0. Nhưng khi đó

< 1

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

r  xaqI. Vì 

 

a nhỏ nhất trong

 

*

 nên r0 và xaq

 

a . Vì x là tùy ý thuộc I nên I

 

a hay I 

 

a là một iđêan chính sinh bởi a. Nếu I 0 thì

 

a 0.

Một miền nguyên Euclide là miền chính và do đó là một miền nguyên thỏa mãn là một miền nguyên thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn nhất. Phép chia Euclid cho phép ta chỉ ra ước chung lớn nhất đó.

Bổ đề 2.4 Trong miền chính ,D nếu các phần tử , , ,a b q rD thỏa mãn

2.2.3 Thuật tốn Euclide tìm ƢCLN:

Giả sử D là vành Euclide và a, b  D Euclide đã đưa ra thuật tốn tìm ước

chung lớn nhất của a và b như sau:

(1) Trường hợp a = 0 (hoặc b = 0) thì rõ ràng ƯCLN(a,b) = b; (= a) (2) Giả sử a, b  0. Thực hiện phép chia a cho b ta được:

a = bqo + ro ; (ro) < (b) nếu ro 0.

Nếu ro 0 ta lấy b chia cho ro: b = roq1 + r1 ; (r1) < (ro) nếu r1 0. Nếu r1 0 ta lấy ro chia cho r1: ro = r1q2 + r2 ; (r2) < (r1) nếu r2 0. Quá trình này phải dừng sau hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên

(b) > (ro) > (r1) > (r2) > … không thể giảm đến vô hạn, tức là sau một số lần chia, ta phải đi tới một phép chia mà dư bằng 0: rk–1 = rk.qk+1 + 0.

Trước khi thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(f, g) ta có nhận xét rằng ƯCLN(a, b) = ƯCLN(a’, b) với a’ liên kết của a.

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Lấy f(x) chia cho g(x) ta được:

f(x) = g(x).(x – 2) + (4x4 – 7x3 – x2 + 7x – 3) Lấy 4g(x) chia cho (4x4

– 7x3 – x2 + 7x – 3) ta được:

4.g(x) = (4x4 – 7x3 – x2 + 7x – 3).x + (7x4 – 11x3 – 3x2 + 11x – 4) Lấy 7.(4x4

– 7x3 – x2 + 7x – 3) chia cho (7x4 – 11x3 – 3x2 + 11x – 4) ta được (7x4

– 11x3 – 3x2 + 11x – 4).7 + (5x3 – 5x2 – 5x + 5) Lấy (7x4

– 11x3 – 3x2 + 11x – 4) chia cho

(5x3 – 5x2 – 5x + 5) ta được: (7x4 – 11x3 – 3x2 + 11x – 4) = (x3 – x2 – x + 1).(4x – 3) + 0.

 . Vậy ta phải có r0D, baq và như thế ab.

Hệ quả: Trong miền nguyên Euclid



D,



, uD* là khả nghịch nếu và chỉ nếu 

 

u 

 

1D .

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Thật vậy, vì 1 |Du với mọi uD nên theo mệnh đề 2.5, với bất kì uD*, 1D

x y a D và x ya Di với một i và do a Di là một iđêan, ta có ax a D i B. Iđêan

B này của miền chính D phải có dạng BbD là một phần tử bB. Nhưng bB

thì b a D n với một chỉ số n và do đó B bD a Dn , cho nên B là một iđêan của dây chuyền . Hơn nữa, với mọi iđêan của dây chuyền có dạng an j D j,1, 2,... một mặt vì an j D Ba Dn , và mặt khác a Dn an j D, ta có Ba Dn a Dn1 an2D.... Vậy dây chuyền tăng iđêan chính đã cho dừng lại ở n.

Để chứng minh tính duy nhất của các dạng nhân tử hóa, ta chứng minh rằng hai phần tử bất kì a và b của miền chính D đều có ước chung lớn nhất. Xét iđêan

aD bD của D sinh bởi a và b. Vì iđêan này phải là một iđêan chính, nên có

dD để aD bDdD, phần tử d này là một ước chung lớn nhất của a và b trong

D.

Vậy miền chính D là một miền nguyên Gauss.

</div>

SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN </b>

------

<b>SAYVISITH SYSANGVONE </b>

<b>SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN </b>

<i><b>KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b></i>

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN </b>

------

<b>KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>

<b>SỐ HỌC TRONG MỘT MIỀN NGUYÊN </b>

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 



 





 

 

 

 

 

 



 

 

 























     

     

     

     

 

 

 

 

 

 

 





 



  





 

 

 

 

 

 



  

 

<i>ab</i>





 