Bài Tập Giải Tích 1 Chương 1: Dãy Số Thực

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1

CHƯƠNG 1. DÃY SỐ THỰC

TS. NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

<small>ĐT/Zalo: 0913.066.940 - Email: </small>

Ngày 9 tháng 10 năm 2020

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 1.

Lời giải

<i>n</i>+1^{. D}

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 1.

<i>n</i>+1^{. D}

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 1.

<i>n</i>+1^{. D}

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 2.

1·3⁺1

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Lời giải

<i>n(n</i>+2) ⁼

12 ^·

<i>n</i>+2−<i>nn(n</i>+2) ⁼

 1

<i>n</i> ⁻

.Do đó

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

B

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 3.Cho dãysố

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 3.Cho dãysố

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 3.Cho dãysố

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 4.

Lời giải

2⁺²⁽¹⁺²^{+ · · · +}<i>^{n) =}</i>1

2⁺<i>ⁿ⁽ⁿ</i>⁺¹⁾^.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 4.

Lời giải

2⁺²⁽¹⁺²^{+ · · · +}<i>^{n) =}</i>1

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 4.

Lời giải

2⁺²⁽¹⁺²^{+ · · · +}<i>^{n) =}</i>1

2⁺<i>ⁿ⁽ⁿ</i>⁺¹⁾^.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 4.

Lời giải

2⁺²⁽¹⁺²^{+ · · · +}<i>^{n) =}</i>1

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 5.

Lời giải

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 5.

Lời giải

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 5.

Lời giải

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>n(n</i>+1) ≥ 12^.

<i>n</i>−1⁻1

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

2.3^{+ · · · +}1

<i>n(n</i>+1) ≥ 12^.

<i>n</i>−1⁻1

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

2.3^{+ · · · +}1

<i>n(n</i>+1) ≥ 12^.

<i>n</i>−1⁻1

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

2.3^{+ · · · +}1

<i>n(n</i>+1) ≥ 12^.

<i>n</i>−1⁻1

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

2.3^{+ · · · +}1

<i>n(n</i>+1) ≥ 12^.

<i>n</i>−1⁻1

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 7.

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

3

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 9.

<i>a_n</i>= ⁽⁻1)<i><small>n</small>n</i>³

<i>n</i><small>3</small>+<i>2n</i><small>2</small>+1^,^∀ ^∈<b>N</b><small>∗</small>.Khẳng định nào sau đây đúng?

<i><b>C. lim a</b><small>n</small></i>= −1 . <b>D. lim</b>|a<i>_n</i>| = +∞.

Lời giải

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 9.

<i>a_n</i>= ⁽⁻1)<i><small>n</small>n</i>³

<i>n</i><small>3</small>+<i>2n</i><small>2</small>+1^,^∀ ^∈<b>N</b><small>∗</small>.Khẳng định nào sau đây đúng?

<i><b>C. lim a</b><small>n</small></i>= −1 . <b>D. lim</b>|a<i>_n</i>| = +∞.Lời giải

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 9.

<i>a_n</i>= ⁽⁻1)<i><small>n</small>n</i>³

<i>n</i><small>3</small>+<i>2n</i><small>2</small>+1^,^∀ ^∈<b>N</b><small>∗</small>.Khẳng định nào sau đây đúng?

<i><b>C. lim a</b><small>n</small></i>= −1 . <b>D. lim</b>|a<i>_n</i>| = +∞.Lời giải

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Lời giảiĐáp số:

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Lời giảiĐáp số:

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Lời giảiĐáp số:

16

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>L</i><small>3</small> =lim

<i>L</i><small>4</small> =lim^^√³ <i>n</i><small>3</small>+<i>n</i><small>2</small>−1−3^√<i>4n</i><small>2</small>+<i>n</i>+1+<i>5n</i>^;d)

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>Ta có L</i><small>4</small>=lim^^√³ <i>n</i><small>3</small>+<i>n</i><small>2</small>−1−<i>n</i>^−3 lim^^√<i>4n</i><small>2</small>+<i>n</i>+1−<i>2n</i>^.

<i>n</i><small>3</small>+<i>n</i><small>2</small>−1−<i>n</i>^= 13^{; lim}

</div><span class="text_page_counter">Trang 47</span><div class="page_container" data-page="47">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

= 12^.

<i>n</i> ⁺2

= 34^.

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Ta có

•lim^<i>2n</i>−^√<i>4n</i><small>2</small>+<i>n</i>^=lim

</div><span class="text_page_counter">Trang 49</span><div class="page_container" data-page="49">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Lời giảiTa có:

<i>sin 2020n</i>

<i>n cos 2nn</i><small>2</small>+1

<i>n</i><small>2</small>+1 ⁼^lim1

5−<i>^{n cos 2n}</i>

=5.b)

</div><span class="text_page_counter">Trang 51</span><div class="page_container" data-page="51">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

.Suy ra 0<<i>u<small>n</small></i>≤  1

<i>n</i><small>2</small>+<i>n</i> ⁼^lim<i>n</i>

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 52</span><div class="page_container" data-page="52">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>a</i>=<i>1 với a</i>>0.e)

Ta có 0< 2<i><small>n</small></i>

<i>n!</i> ⁼

21 ^·

22 ^·

23^{· · ·}

<i>n</i> ^<2·2

<i>n</i>^,^∀ ^≥2.b)

<i>Với n</i>><i>2a ta có 0</i>< <i>a<small>n</small></i>

<i>n<small>n</small></i> < 12<i><small>n</small></i>.c)

</div><span class="text_page_counter">Trang 53</span><div class="page_container" data-page="53">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>a</i>=<i>1 với a</i>>0.e)

Ta có 0< 2<i><small>n</small></i>

<i>n!</i> ⁼

21 ^·

22 ^·

23^{· · ·}

<i>n</i> ^<2·2

<i>n</i>^,^∀ ^≥2.b)

<i>Với n</i>><i>2a ta có 0</i>< <i>a<small>n</small></i>

<i>n<small>n</small></i> < 12<i><small>n</small></i>.c)

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 54</span><div class="page_container" data-page="54">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>a</i>=<i>1 với a</i>>0.e)

Ta có 0< 2<i><small>n</small></i>

<i>n!</i> ⁼

21 ^·

22 ^·

23^{· · ·}

<i>n</i> ^<2·2

<i>n</i>^,^∀ ^≥2.b)

<i>Với n</i>><i>2a ta có 0</i>< <i>a<small>n</small></i>

<i>n<small>n</small></i> < 12<i><small>n</small></i>.c)

</div><span class="text_page_counter">Trang 55</span><div class="page_container" data-page="55">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>a</i>=<i>1 với a</i>>0.e)

Ta có 0< 2<i><small>n</small></i>

<i>n!</i> ⁼

22 ^·

23^{· · ·}

<i>n</i> ^<2·2

<i>n</i>^,^∀ ^≥2.b)

<i>Với n</i>><i>2a ta có 0</i>< <i>aⁿn<small>n</small></i> < 1

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 56</span><div class="page_container" data-page="56">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 57</span><div class="page_container" data-page="57">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 58</span><div class="page_container" data-page="58">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

a)

</div><span class="text_page_counter">Trang 59</span><div class="page_container" data-page="59">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 60</span><div class="page_container" data-page="60">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

a)

</div><span class="text_page_counter">Trang 61</span><div class="page_container" data-page="61">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 62</span><div class="page_container" data-page="62">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

⇒<i>a</i>=1.b)

</div><span class="text_page_counter">Trang 63</span><div class="page_container" data-page="63">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Bài 15.

Tính các giới hạn sau:lim

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 64</span><div class="page_container" data-page="64">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

Lời giải

<b>Gợi ý:</b>

Sử dụng giới hạn lim

0≤ |cos(<i>ln n</i>) −cos(ln(n+1))| ≤2


sin^ln

(ĐS: 0).d)

</div><span class="text_page_counter">Trang 65</span><div class="page_container" data-page="65">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>k(k</i>+1)(k+2) ⁼

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 66</span><div class="page_container" data-page="66">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>u</i><small>1</small> ><i>0, a</i>>0

<i>u_n</i><small>+1</small>= 12

<i>u<small>n</small></i>+ <i>au_n</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 67</span><div class="page_container" data-page="67">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>u</i><small>1</small> ><i>0, a</i>>0

<i>u_n</i><small>+1</small>= 12

<i>u<small>n</small></i>+ <i>au_n</i>

b)Lời giải

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 68</span><div class="page_container" data-page="68">

<small>Dãy sốGiới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>u</i><small>1</small> ><i>0, a</i>>0

<i>u_n</i><small>+1</small>= 12

<i>u<small>n</small></i>+ <i>au_n</i>

b)Lời giải

<i>a</i>.b)

</div><span class="text_page_counter">Trang 69</span><div class="page_container" data-page="69">

<small>Giới hạn dãy sốĐịnh lí kẹp</small>

<i>u</i><small>1</small> ><i>0, a</i>>0

<i>u_n</i><small>+1</small>= 12

<i>u<small>n</small></i>+ <i>au_n</i>

b)Lời giải

<small>TS. Nguyễn Đình DươngBT-GT1</small>

</div>