Lý thuyết và bài tập giải tích 1 (ĐHBK TP.HCM)

Đại học Quốc gia TP.HCM
Trường Đại học Bách Khoa
Bộ môn Tốn Ứng dụng

.

Bài Giảng Giải Tích 1
ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
E-mail:
Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh

Ngày 8 tháng 9 năm 2013


Mục tiêu mơn học
• Mơn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân.
• Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính tốn, biết vận dụng giải các bài tốn cụ thể.
• Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật.

Tài liệu tham khảo
1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005
2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập tốn cao cấp 1.
3) Đỗ Cơng Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia


Mục lục
1 Giới hạn và liên tục
1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . .
1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα . .
1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . .

1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . .
1.2.4 Hàm y = ln x . . . . . . .
1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . .
1.2.6 Các hàm lượng giác ngược
1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . .
1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . .
1.2.9 Hàm tham số hóa . . . .
1.3 Giới hạn hàm số . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . .
1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . .
1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . .
1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . .
1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

3
3
8
8
9
10
11
12
12
13
13
14
15
15
16
17
20
23

2 Đạo hàm và vi phân
2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . .
2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa
2.1.3 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . .
2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . .
2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

25
25
25
28
29
31
33
33

37
43
43
44
46
47
50

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.


Chương 1

Giới hạn và liên tục
1.1

Giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.1 (Dãy số đơn điệu) .
Dãy số (xn ) gọi là tăng nếu xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N
Dãy số (xn ) gọi là giảm nếu xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N
Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt).
Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu.
Ví dụ 1.1 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn ) : xn =

n+1
.
n+2

(n + 1) + 1 n + 1
(n + 2)2 − (n + 1)(n + 3)
1
−
=
=
> 0, ∀n ∈ N.

(n + 1) + 2 n + 2
(n + 3)(n + 2)
(n + 3)(n + 2)
> xn suy ra (xn ) là dãy tăng.

Xét xn+1 − xn =
=⇒ xn+1

Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn) .
Dãy (xn ) gọi là bị chặn trên nếu ∃M : xn ≤ M, ∀n.
Dãy (xn ) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : xn ≥ m, ∀n.
Dãy (xn ) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Dãy (xn ) bị chặn khi và chỉ khi (|xn |) bị chặn trên.
Ví dụ 1.2 Xét tính bị chặn của dãy số (xn ) : xn =
Ta có 0 <

n
.
n+1

n
< 1, ∀n ∈ N . Suy ra (xn ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn.
n+1

Định nghĩa 1.3 (Dãy con) .
Cho dãy (xn ). Dãy con của (xn ) là một dãy (xnk )k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (xn ) theo thứ
tự tăng dần của chỉ số.
Ví dụ 1.3
Cho
Dãy

Dãy
Dãy



n
3 2 5 3
dãy (xn ) : xn = 2
= −1, 1, , , , , . . . .
n −2 
7 7 23 17

3 5 3
vn = −1, , , , . . . là một dãy con của xn .
7 23 17

2n
2 3
x2n =
= 1, ,
. . . là dãy con các chỉ số chẵn của xn .
(2n)2 − 2
7 17

2n + 1
3 5
x2n+1 =
= −1, , , . . . là dãy con các chỉ số lẻ của xn .
(2n + 1)2 − 2
7 23

n→+∞

Định nghĩa 1.4 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim un = a hay un −−−−−→ a được định nghĩa
n→+∞

∀ε > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε
Ta nói dãy (un ) hội tụ về a.
Nếu (un ) khơng hội tụ thì ta nói (un ) phần kỳ.
3


1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.5 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu

n→+∞

lim un = +∞ hay un −−−−−→ +∞ được định

n→+∞

nghĩa
∀A > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A.
Ta nói dãy (un ) hội tụ về a.
Nếu (un ) khơng hội tụ thì ta nói (un ) phần kỳ.
Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞.
Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có
i)

ii)

lim (xn ± yn ) = a ± b.

iii)

lim (xn .yn ) = ab.

iv)

n→+∞

n→+∞

xn
a
= , b 6= 0.
n→+∞ yn
b
lim

lim |xn | = |a|.

n→+∞

Định lý
1. Giới hạn dãy nếu tồn tại là duy nhất.
2. Dạy hội tụ thì bị chặn.
3. Cho xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ≥ n0 .
(

xn −→ a
=⇒ yn −→ a.
zn −→ a
4. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
5.

(
x2n → a
xn → a ⇐⇒
x2n+1 → a.


Số e. Người ta chứng minh được dãy số xn =

1
1+
n

n
là dãy

tăng và bị chặn trên do đó hội tụ. Ký hiệu


1 n
lim 1 +
=e
n→∞
n

Số e là số vơ tỷ có giá trị gần đúng là e = 2.718281828...
Các giới hạn cơ bản
1
= 0, α > 0.
n→∞ nα
1
ii) lim α = 0, α > 0.
n→∞ ln n
i) lim

iv) lim

n→∞

v) lim

n→∞

√
n
nα = 1, ∀α.


1+

a n
= ea , ∀a.
n

iii) lim q n = 0, |q| < 0.

n→∞

Đại học Bách khoa TPHCM

Trang 4

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp


1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Các dạng vô định
0 ∞
, , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , +∞0 , 00+
0 ∞
Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức hoặc biến đổi đại số
để khử dạng vô định.
Nếu giới hạn không phải dạng vơ định, ta tính bình thường.
Quy tắc
1
1
= ∞,
= 0.
0
∞
lnα n  nβ (β > 0)  an (a > 1)  n!  nn
Dấu  chỉ mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ chia
hàm lớn dần về 0 và hàm lớn chia hàm nhỏ dần về vơ cùng.

Ví dụ 1.4
ln5 n
a) lim √ = 0.
n→∞
n

3n
= 0.
n→∞ n!

b) lim

2n
= +∞.
n→∞ n100

c) lim

log52 n
= 0.
n→∞ 3n

d) lim

Ví dụ 1.5 Tính các giới hạn sau
2n3 − 3n
.
a) I = lim
n→∞ 4n + 3n2
∞

Dạng
. Đại lượng x3 lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho x3 .
∞
3
2− 2
n = +∞ (vì tử dần về 2, mẫu dần về 0).
I = lim
3
n→∞ 4
+
2
n
n
2n3 − 4n+1
b) I = lim n
.
n→∞ 3 − 22n−1 + 5n7
∞
Dạng
. Đại lượng 4n = 22n lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho 4n .
∞
n3
2 n −4
0−4
4
=
I = lim
= 8.
7
1

n→∞ 3
1
n
n
0− +0
( ) − +5 n
2
4
2
4
√
c) I = lim n2 + 4n − n + 1.
n→∞

Dạng ∞ −√∞. Nhân lượng√liên hợp.
( n2 + 4n − n)( n2 + 4n + n)
6n2 +4n− 6n2
∞
√
I = lim
+ 1 lim √
+ 1. Dạng
.
2
2
n→∞
n→∞
∞
n + 4n + n
n + 4n + n

Chia cả tử và mẫu cho n.
4
4
+1= √
+ 1 = 3.
I = lim q
n→∞
1+0+1
1 + n4 + 1
√
d) I = lim n 3n4 − 4n3 = lim

r

√ 4
1
1 1
n4 (3 − 4 ) = lim n n (3 − 4 ) n = 1.30 = 1.
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
√
Tương tự, ta có thể chứng minh n Pm → 1 với mọi đa thức Pm .
r

e) I = lim

n→∞

n

n


1
v
v
n
u
u
4n
4n
4n
u 2−
u 2−
2
−
n+1


u
u
2
− 4n
2n
2n = 2 . Vì lim u
2n = lim 
2n  = 20 = 1.

n
= lim u
n→∞ 3 t
n→∞ t
n→∞ 
3n + 5n3
3
5n3
5n3
5n3 
1+ n
1+ n
1+ n
3
3
3

Đại học Bách khoa TPHCM

Trang 5

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp


1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC


2

ln2 (2n)
ln 2
(ln 2 + ln n)2
f) I = lim
= lim
= lim
+ 1 = (0 + 1)2 = 1.
n→∞ ln2 n
n→∞
n→∞ ln n
ln2 n
√
n sin n!
.
g) I = lim
n→∞
n + 1


√
√

n sin n!

n

≤
.
Ta có 0 ≤

n
+
1
n+1 √



√
√

n sin n!

n

= 0 =⇒ lim n sin n! = 0.
Vì lim 0 = lim
= 0 nên lim


n→∞ n + 1
n→∞
n→∞ n + 1
n→+∞
n+1






n − 1 n+1
−2 n+1
1
h) I = lim
= lim 1 +
= e−2 = 2 .
n→∞ n + 1
n→∞
n+1
e

i) I = lim

n→∞

n2 + 2
n2 + 5

3n2 +1


= lim 1 +
n→∞

−3
2
n +5

(n2 +5) 3n22 +1
n +5

2

"
= lim

n→∞

−3
1+ 2
n +5

+1
(n2 +5) # 3n
n2 +5

= e−3


3

= e−9 =

1
.
e9

 n3 +1
2n + 3 n+2

.
j) I = lim
n→∞ 3n + 2
2n + 3
2
n3 + 1
Vì lim
= , lim
= +∞ nên I = 0.
n→∞ 3n + 2
3 n→∞ n + 2
Chú ý bài này không phải dạng vơ định. Có dạng (2/3)+∞ = 0.




2n2



√
n
n2 +2

+ 3n
.
4n2 − 2n
√
2n2 + 3n
1

n
Vì lim
=
,
lim
= 0 nên I = (1/4)0 = 1.
n→∞ 4n2 − 2n
4 n→∞ n2 + 2
Chú ý bài này cũng không phải dạng vô định.
 n
 3
2n + 3n n2 +2
.
l) I = lim
n→∞ 4n2 − 2n
Bài này dạng vô định +∞0 . Ta làm như sau:
! 2n2
√
 3
 n
 1 . n2
 3
n
2n + 3n n2 +2
2n3 + 3n n +2 n→∞
2n + 3n n n2 +2
=
= √
−−−→ (1/1)1 = 1.
n

4n2 − 2n
4n2 − 2n
4n2 − 2n

k) I = lim

n→∞

Ví dụ 1.6 Tính các giới hạn sau
a) I = lim (−1)n . Đặt xn = (−1)n
n→∞

Ta có x2n = (−1)2n = 1 −→ 1, x2n+1 = (−1)2n+1 = −1 −→ −1. Vậy không tồn tại giới hạn.








1−n n
n−1 n
−2 n
1−n n
n
n
b) I = lim
. Đặt xn =
= (−1)

= (−1) 1 +
.
n→∞ 1 + n
1+n
1+n
1+n

2n
−2
1
x2n = (−1)2n 1 +
−→ 1.e−2 = 2 .
1 + 2n
e
2n+1

−2
1
x2n = (−1)2n+1 1 +
−→ −1.e−2 = − 2 .
2 + 2n
e
Vậy không tồn tại giới hạn.
(
√
q
p
√
x1 = 2
c) lim xn , với xn =

Viết cách khác: xn = 2 + 2 + 2 + . . . (n dấu căn).
√
n→∞
xn+1 = 2 + xn , n ≥ 1.
Dùng quy nạp chứng minh được dãy xn tăng và bị chặn trên bởi 2 do đó hội tụ.
Giả sử xn → a. Từ giả thiết ta có
√
√
lim xn+1 = lim 2 + xn ⇐⇒ a = 2 + a ⇐⇒ a = 2.
n→∞

Đại học Bách khoa TPHCM

n→∞

Trang 6

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp


1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Vậy lim xn = 2.
n→∞

1
1
1

d) lim xn , với xn =
+
+ ··· +
.
n→∞
1.2
2.3
n(n
 
  + 1)




1 1
1 1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
=1−
Ta có xn = 1 −
−
−
−
−→ 1.
2

2 3
3 4
n n+1
n+1

Bài tập
Tính giới hạn
1. lim

4n − 5−n
3n − 22n − 5n6

n2 + 1
2n − 3 n + 1
6. lim(
)
2n + 5

2. lim

ln(3n2 − 2n)
n9 + 3n2

7. lim

log 2 10n
3. lim
log 2 n
1+n
1 + n 2 − n2

4. lim(
)
n+2
r
5. lim

n

n2 + 4 n
n + 5n

1+n
n − 2 2 − √n
11. lim(
)
n+2
12. lim(

p
n
n + (−1)n

n sin n!
√
8. lim
(1 + n) n − 2
r
9. lim

n

13. lim

n2 + 2n arctan n!
3n3 + arcsin n

14. lim(

5n + 1
n10 + 2n

2n − 1 n
)
5n + 2

n − 1 1−n
)
n2 + 1

1
15. lim √
n
n!
n
16. lim √
n
n!

1
2n + 1 n − 2

10. lim( 2
)
n −1

Tìm lim un biết:
17. un =

1
1
1
+
+ ··· +
1.3 3.5
(2n − 1).(2n + 1)

18. un = (1 +

(−1)n n
)
n

Đại học Bách khoa TPHCM

19. u1 =

√

3, un+1 =

√

3 + un

20. un = sin n

Trang 7

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp


1.2. HÀM SỐ

1.2
1.2.1

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Hàm số
Hàm lũy thừa y = xα
y
y = x2

n = 2 : y = x2
* T XD : D = R.
* T GT : T = [0, ∞).
* Hàm số tăng trên khoảng (0, ∞)
khoảng (−∞, 0).

và giảm trên

0

x

* Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy.

y
n = −1 : y =

1
x

y=

1
x

* T XD : D = R \ {0}.
* T GT : T = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
0

* Hàm số giảm trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞)

x

* Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0).

y
n = −1 : y =

√

y=

√

x

x

* T XD : D = [0, ∞).
* T GT : T = [0, ∞).
0

* Hàm số tăng trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞)

x

* Khơng có tính chẵn lẻ.
√
y=− x

Đại học Bách khoa TPHCM

Trang 8

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp