Luận án tiến sĩ toán học: Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl,p (p khác 2) = Differential problem in the space Hl, p (p # 2)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.98 MB, 127 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Mục lục

<small>Trang phụ bìa ...Ặ.Ặ Ặ Q LH eeLời cam đoan ... .Ặ Ặ Q Q Q ee ee</small>

Bài toán biên cổ điển đối với phương trình parabolic... 22

Chương 2_ Bài tốn biên cổ điển đối với phương trình GVP elliptic 30

<small>2.12.22.32.4Khơng gianhàm... 30</small>

<small>2.1.1 Dinhnghia ... 30</small>

2.1.2 Tínhchất... 31

Tốn tử giả vi phan (GVP) trongR”... 34

Bài tốn biên trên nửa khơng gian ... 40

Bài tốn biên trên miền bịchặn... 47

Chương 3_ Bài tốn biên khơng cổ điển đối với phương trình elliptic 62

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Chương 4 Bai tốn biên khơng cổ điển đối với phương trình

parabolic 88

<small>4.1 Khơng glanhàm...Ặ. 884.1.1 Dinhnghia ... 88</small>

<small>41.2 Tínhchất... 91</small>

4.2 Bài tốn biên cổ điển đối với phương trình GVP parabolic

trên nửa trụ vơhạn ... ốc 96

4.3 Bài tốn biên khơng cổ điển đối với phương trình GVP

parabolic tuyến tính trên nửa trụ vơhạn ... 102

4.4 Bài tốn biên khơng cổ điển đối với phương trình GVP

parabolic nửa tuyến tính trên nửa trụ vơhạn ... 114

Kết quả và bàn luận 122

Kết quả nghiên cứu và bàn luận... 122

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếptheo... 125

<small>Danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luậnán . 126</small>

Tài liệu tham khảo...Ặ 127

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

N = {I1,2,...}: tập số tự nhiên, Z2: tập số nguyên,

Z¡ = {m € Z|m > 0} : tập các số nguyên không âm.

Z = {a = (œI,da,... On) |aj € Z,aj > 0,7 = 1,2... .,n} : tập các đa

chỉ số và với a € Z" ký hiệu |œ| = 3 Qj.

RR : tập số thực, C : tập số phức. Don vị ảo —1 =i.

Với mỗi z € ký hiệu Sz là phần ảo, Itz là phần thực.

Với mỗi p € R,1 < p < +co, số Ø là số đối ngẫu của p, nghĩa là h + h = 1.

Với mỗi a € R, ký hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không lớn hon a.

R” = {x = (đ1,#2,...,„) € R"| 2p > 0}.

Với z € R” (hay R") ký hiệu 2’ = (#I,...,#„_1):

Nếu khơng có gì đặc biệt, ký hiệu © là tập mở trong R”.Với mỗi k € Z, ký hiệu các tập như sau:

C*(Q) = {u: 9 — Clu khả vi liên tục đến cấp k},

C() = Œ9(Q) = {u: Q'S CỊ,

Œ(O) = {ue “(0 )| supp u là tap compact}, Co(Q) = Cp (Q)

C'(Q) = {u € C*(Q) )| đạo hàm riêng cấp k của + là ham Lipschitz}

C%(9) = nC"(9), C#(9) = nˆ¡Có(9),

C@(R}) = {u: Rt — C| có hàm lu € C@°(R") m luèĐ = Uf,

trong ú, suppu = cl{x â|u(z) # 0}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Với mỗi số thực 1 < p < œ, ký hiệu

L,(Q) ={u: 9 a C| (ela) < +00};<sub>Lebesgue</sub>

là khơng gian các ham khả tích cấp p trên © với chuẩn

elegy = Cf lular)?

D(Q) = {u: 2 Cless 7 reQsup |u(x)| < +00},

là không gian các hàm bi chặn hầu khắp nơi trên Q với chuẩn

|lulÌr..(o) = ess sup |u(z)|,

trong đó, ess sup,cq |u(x)| = inf{M > 0]m{x € @||u(z)| > M} = 0}.

Với mỗi 1 < p < 00,0 < s ký hiệu các không gian Sobolev W,,,(().<small>Với s € Z,, khơng gian Sobolev</small>

trong đó, D° = DY... De", D; = On

Với s ¢ Z,, khơng gian Sobolev W, ,(Q

) được định nghĩa bằng phép nội suy.

Khi p = 2, để đơn giản ta ký hiệu H,(Q)

W; ›(©).

Phép biến đổi Fourier trong R”

2„u(£) = (2n)-3 | el) un) de.

Phép biến đổi Laplace

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Mo dau

Ly thuyết Phuong trình vi phan đạo ham riêng được nghiên cứu đầu tiên trong

các cơng trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace như một cơng cu

chính để mơ tả cơ học cũng như là mơ hình giải tích của vật lý. Cho đến giờ,

mơ hình giải tích của vật lý vẫn là một trong những yếu tố cơ bản trong sự

phát triển của Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng. Vào giữa thế kỷ

19, đặc biệt với cơng trình của Riemann, Lý thuyết Phương trình vi phân đạo

hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học.

Cuối thế kỷ 19, H. Poincare đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa Lý thuyếtPhương trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác. Sang thế ky

20, Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nhờ

công cụ Giải tích hàm. Đặc biệt khi Lý thuyết hàm suy rộng được xây dựng

bởi S. L. Sobolev, L. Schwartz được kết hợp với Giải tích Fourier nhiều bai

tốn đã được giải quyết. Chẳng hạn bài tốn biên elliptic tuyến tính được giải

quyết khá tron vẹn (có thể xem trong cơng trình của M. S. Agranovich [3] va

các tài liệu tham khảo trong đó). Bằng lý thuyết nửa nhóm cùng các kết quả

từ toán tử elliptic, một số lớp bài toán parabolic, cịn được gọi là phương trìnhtiến hóa, cũng đã được nghiên cứu bởi E. Hille, K. Yosida, F. E. Browder, H.

<small>Brezis, J. L. Lions, E. Magnes, E. B. Davies, .v.v. . Bài tốn hyperbolic cũng</small>

đã có được những kết qua dep qua các cơng trình cua I. G. Petrovski, J. Leray,

L. Garding, .v.v. . Theo L. Hormander (xem trong [26]), các cơng trình vềtốn tu hyperbolic của I. G. Petrovski như một điều du báo về su ra đời của

Lý thuyết tốn tử Giả vi phân, một trong những cơng cụ hữu hiệu để nghiên

cứu Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng khơng chỉ tuyến tính màcả với phi tuyến.

Lý thuyết toán tử GVP là sự phát triển của Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợpvới Giải tích Fourier. Tích phân kỳ dị, chẳng hạn tích phân với nhân Poisson

hay biến đổi Hilbert, biến đổi Riesz, được nghiên cứu từ lâu bởi nhiều tác

giả như Poisson, D. Hilbert, .v.v., nhưng có lẽ phải đến các cơng trình của

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

A. P. Calderon, A. Zygmund, S. G. Mikhlin và sau đó là các học trị của

A. Zygmund như E. Stein, nó bắt đầu trở thành một công cụ thực sự trong

<small>việc nghiên cứu Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng. Lý thuyết</small>

tích phân ky dị kết hợp với Giải tích Fourier tiếp tục được J. J. Kohn, L.

Nirenberg, L. Hormander phát triển thành Lý thuyết toán tử GVP. Một trong

những kết qua dep dựa một phần trên Lý thuyết toán tử GVP là Định lý về chỉ

số Atiyah- Singer, sự giao thoa giữa nhiều ngành tốn học Lý thuyết Phương

trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết Tơpơ- Đại số, Lý thuyết Hình Đại số. Dựa vào Lý thuyết toán tử GVP, F. Treves, L. Nirenberg([{32], [33])

học-đã giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải được địa phương cho tốn tử vi

phân kiểu chính (chú ý rằng nói chung khơng thể giải được tồn cục, chẳng

hạn đối với phương trình elliptic người ta cũng chỉ có thể giải được một cách

địa phương). Cùng với nhiều cơng trình trước đó của L. Hormander[26], Yu.

V. Egorov[18], R. Beals, C. Fefferman[5], N. Lerner[28], .v.v., gần day N.

Dencker ([12], [13], [14]) mới giải quyết trọn vẹn bài tốn về tính giải được

địa phương cho tốn tử GVP kiểu chính. Một kết quả lý thú khác về tính

subelliptic, tính chất nằm giữa elliptic và hyperbolic, là Yu. V. Egorov đã đưa

ra được điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic. Kết quả này

được bắt nguồn từ cơng trình viết chung với V. A. Kondratiev về bài toán đạo

hàm nghiêng. Khi khảo sát một vài lớp bài toán đạo hàm nghiêng cụ thể bằngcách chuyển thành toán tử GVP cùng với sự nghiên cứu các kết quả trước đócủa L. Hormander, Yu. V. Egorov đã tìm ra được phép biến đổi chính tắc, rồi

từ đó đi đến điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic.

<small>Bài toán dao hàm nghiêng, nghĩa là bài tốn biên cho phương trình vi phan</small>

cấp 2, chang hạn phương trình Laplace Au = ƒ, với điều kiện biên đạo

hàm nghiêng a ` g trong miền © bị chặn trong khơng gian có số chiều

khơng nhỏ hơn 3, với biên trơn Ø©, theo Yu. V. Egorov, V. A. Kondratievđược đặt ra bởi H. Poincare. Tuy nhiên, cho đến trước năm 1963, bài tốn

lơi ¿

đạo hàm nghiêng chi được xét khi trường véc-tơ D, = ap không tiếp xúc

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

với biên. Phải đến cơng trình [6] của A. V. Bisadze, năm 1963, bài toán

<small>đạo hàm nghiêng mới được xét khi trường véc-to Ù„ tiếp xúc với biên, cu</small>

thể A. V. Bisadze xét bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình cầu

B = {(ai,za,z3) € R | aj + 25 + x3 < 1} trong không gian 3 chiều với

điều kiện biên trên mặt cầu Š = {(21, 72,73) Rđ | z + zĐ + z3 = 1}

cầu S. Để thuận tiện cho việc phát biểu sau này, chúng tơi gội bài tốn đạo

hàm nghiêng mà trường véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên là bài tốn

đạo hàm nghiêng khơng cổ điển phân biệt với các bài toán đạo hàm nghiêngđược trước năm 1963. Việc nghiên cứu bài tốn đạo hàm nghiêng khơng cổ

điển gặp nhiều khó khăn. Một trong những khó khăn là loại bài tốn đạo hàm

nghiêng khơng cổ điển này khơng thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski

<small>như các bài toán biên Dirichlet, Neuman hay các bài toán dao hàm nghiêng</small>

cổ điển. Chúng tơi cũng xin được gọi bài tốn biên khơng thỏa mãn Điềukiện Shapiro- Lopatinski là bài tốn biên khơng cổ điển để phân biệt với bài

toán biên thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski. Sau cơng trình [6], A. V.

Bisadze và nhiều tác giả khác như R. Borrelli, L. Hormander, Yu. V. Egorov,V. A. Kondratiev, M. B. Malyutov, V. G. Mazya, Nguyễn Minh Chương,

Lê Quang Trung, .v.v. , cũng có những kết quả lý thú về bài toán đạo hàm

nghiêng không cổ điển. Một trong các kết quả lý thú là cơng trình [17] của

<small>Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev. Trong cơng trình [17], Yu. V. Egorov- V.</small>

A. Kondratiev đã giải quyết khá trọn ven bài toán dao ham nghiêng khơng cổđiển, cụ thể là bài tốn biên cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2

trong miền bị chặn (2) trong không gian với số chiều lớn hơn 2, với điều kiện

<small>biên đạo hàm nghiêng D,u = g trên biên tron O02, khi trường véc-tơ D, tiếp</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

xúc với biên OC tại những điểm thuộc da tạp con trơn (n — 2)— chiều Tp củabiên OQ. Để giải quyết bài toán này, các tác giả đã phan T'ọ thành ba loại, tùy

theo hình dáng của nó đối với trường véc-tơ D,, và tập trung vào nghiên cứu

bài toán xung quanh T bằng cách sử dụng một phân hoạch đơn vị đặc biệt.

Gần đây, các tác gia A. Maugeri , D. K. Palagachev, C. Vitanza, trong cơng

trình [30], L. Softova [36], [37] đã giải quyết được bài tốn đạo hàm nghiêng

khơng cổ điển khi trường véc-tơ D, tiếp xúc với biên trên một tập con củabiên. Bài tốn đạo hàm nghiêng khơng cổ điển được nghiên cứu theo nhiều

cách cho nhiều loại phương trình khác nhau, trong [17], Yu. V. Egorov, V. A.

<small>Kondratiev nghiên cứu bài tốn đạo hàm nghiêng cho phương trình vi phân</small>elliptic tuyến tính cấp 2, trong [19] Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chương

nghiên cứu bài tốn đạo hàm nghiêng khơng cổ điển cho phương trình vi phân

parabolic tuyến tính cấp 2, trong [20] Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chương

nghiên cứu bài toán biên không cổ điển trong không gian Sobolev cấp biếnthiên, trong [39] Lê Quang Trung nghiên cứu bài toán biên khơng cổ điển cho

<small>phương trình vi tích phân kỳ di elliptic cấp cao, trong [21] Yu. V. Egorov,</small>

Nguyễn Minh Chương nghiên cứu bài tốn biên khơng cổ điển cho phương

<small>trình vi tích phân ky di elliptic nửa tuyến tính cấp cao. Được sự gợi ý của Giáo</small>

sư Nguyễn Minh Chương, tác giả nghiên cứu bài tốn biên khơng cổ điển chophương trình GVP cấp cao trong khơng gian kiểu Sobolev Hy, 1 < p < œ.

Luận án này bao gồm các kết quả mà tác giả đã đạt được đối với các bài tốn

biên cổ điển và khơng cổ điển cho phương trình GVP elliptic, parabolic cấp

cao tuyến tính, nửa tuyến tính trong khơng gian Hy, 1 < p < oo.

<small>Luận án được chia thành bốn chương chính như sau.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Trong Chương 1, chúng tơi trình bày tổng quan về các kết quả cho bài tốn

biên khơng cổ điển đối với phương trình elliptic và bài tốn biên cổ điển đốivới phương trình parabolic. Về bài tốn biên khơng cổ điển đối với phương

trình elliptic, các kết quả đưa ra ở đây được lấy từ bài báo [17] của các tác giả

Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev và các kết quả gần đây trong bài báo [30]

của các tác gia A. Maugeri , D. K. Palagachev, C. Vitanza. Ngồi ra, chúng

tơi cũng điểm qua các kết quả mà chúng tơi được biết. Về bài tốn biên cổđiển đối với phương trình parabolic, các kết quả đưa ra ở đây được lấy từ bài

báo [4] của các tác giả M. S. Agranovich, M. I. Vishik và chúng tôi cũng

điểm qua các kết quả mà chúng tôi được biết, chang hạn các kết quả gần đây

của L. Softova ([36]).

Trong Chương 2, chúng tơi trình bày các kết quả về bài tốn biên cổ điển đối

với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong khơng gian

Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với bài toán biên elliptic tuyến

tính, tính giải được đã được giải quyết trọn vẹn từ những năm 60 của thế kỷ

20. Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý là thứ nhất để bài tốn giải được thì vế

phải cần phải thỏa mãn một số hữu hạn điều kiện (nghĩa là toán tử ứng với

bài tốn biên khơng là tồn ánh), thứ hai nếu bài tốn giải được thì số nghiệm

của bài tốn có thể nhiều hơn một (nghĩa là toán tử ứng với bài tốn biênkhơng là đơn ánh). Khi đó, việc sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để giải

quyết bài tốn nửa tuyến tính sẽ gặp nhiều trở ngại. Chúng tơi đã sử dụng

phương pháp tham biến lớn để giải quyết trở ngại này, cụ thể là trong không

gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến phức q, khi |q| đủ lớn với mọi vế

phải nằm trong khơng gian Sobolev thích hợp bài tốn cổ điển đối với phương

trình GVP elliptic tuyến tính có duy nhất nghiệm. Từ đó, bằng phương pháptuyến tính hóa chúng tơi có kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài tốn

nửa tuyến tính.

Trong Chương 3, chúng tơi trình bày các kết quả về bài tốn biên khơng cổđiển đối với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với bài tốn biênkhơng cổ điển, bài tốn biên không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski

kiểu Egorov- Kondratiev, ta chỉ có đánh giá subelliptic mà khơng thể có đánh

giá kiểu elliptic, nghĩa là đánh giá có dạng sau

Ile|lc„ø < C([[ullzrsp.o.ao + ||e||o,».o)

trong đó, U là tốn tử ứng với bài tốn biên, cịn 0 < ở. Nếu U là tốn tử ứng

với bài tốn biên elliptic thì ta có đánh giá với ô = 0. Do vậy, để nghiên cứubài tốn biên khơng cổ điển chúng tơi xây dựng một lớp không gian mới kiểuSobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến. Với lớp không gian kiểu Sobolev này

chúng tôi đã có được các kết quả về Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho

một số lớp bài toán biên khơng cổ điển tuyến tính. Từ đó, chúng tơi cũng có

những kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài tốn nửa tuyến tính.

Trong Chương 4, chúng tơi trình bày các kết quả về bài tốn biên khơng cổ

điển đối với phương trình GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính trongkhơng gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Có nhiều cách để tiếp

cận bài tốn biên parabolic. Thơng thường, ta tiếp cận bài tốn biên parabolic

từ bài toán biên elliptic tương ứng bằng một cách thích hợp. Chẳng hạn, bằng

phương pháp nửa nhóm ta chuyển bài tốn biên parabolic dạng oe = Au,

trong đó A là tốn tử elliptic, về việc nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi tốn tử

elliptic A. Để nghiên cứu nửa nhóm này người ta nghiên cứu toán tử ellipticA. Trong luận án này, chúng tôi dùng phương pháp sử dụng phép biến đổi

Laplace để đưa bài tốn biên khơng cổ điển parabolic về bài tốn biên khơngcổ điển elliptic. Từ việc nghiên cứu bài tốn biên cổ điển và khơng cổ điển

<small>cho phương trình elliptic ở các Chương trước, chúng tơi thu được các kết quả</small>

cho bài tốn biên khơng cổ điển parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính. Phépbiến đổi Laplace từ lâu đã chứng tỏ là công cụ hữu hiệu để giải bài toánparabolic. Kết quả của Chương này càng chứng tỏ sự hiệu quả phép biến đổi

<small>Laplace trong việc nghiên cứu bài toán parabolic.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Chương 1

Tổng quan

Các bài toán biên dưới đây được xét trong một tập mở, bị chặn, liên thông 2

với biên OQ trơn, trong không gian R” với số chiều n > 2.

1.1 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển đối với phương trình

vi phan elliptic

Bai tốn biên đối với phương trình tuyến tinh elliptic cấp 2 với điều kiện biên

Ou XÁC thường cá a) a a lan can ae

ap g, ở đây trường véc-tơ D, = ap được xác định trơn trên lân cận cua

biên OQ, được đặt ra boi Henri Poincare. Bài toán biên này thoả mãn điềukiện Shapiro- Lopatinski khi và chỉ khi hoặc số chiều của không gian n = 2,

hoặc trường véc-tơ D, không tiếp xúc với biên ØQ. Đã có rất nhiều cơng

<small>trình nghiên cứu bài toán trên trong trường hợp n > 3 và trường véc-tơ Ù)„</small>

tiếp xúc với biên tại một phần của biên OL. Chúng tôi xin được gọi lớp bàibiên trong trường hợp n > 3 và trường véc-tơ D, tiếp xúc với biên tại một

phần của biên Ø© là bài tốn đạo hàm nghiêng khơng cổ điển. Cơng trình của

Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev [I7] đã giải quyết tương đối hồn chỉnh bài

tốn đạo hàm nghiêng khơng cổ điển cho phương trình tuyến tính elliptic cấp

2 trong một tap mở, bị chặn 2) với biên OL. trơn, trong không gian IR” có số

chiều n > 3, khi trường véc-tơ D, tiếp xúc với biên Ø© tại những điểm thuộc

một da tạp con trơn, (n — 2)—chiều L'ọ của biên Ø9 nhưng không tiếp xúc với

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

ọ. Dưới đây, chúng tơi xin được trình bày một số kết quả chính trong cơng

<small>trình [17].</small>

Để giải quyết bài tốn đạo hàm nghiêng không cổ điển này, trước tiên Yu. V.

<small>Egorov- V. A. Kondratiev chia ['o thành ba lớp tuỳ theo trường véc-tơ D, và</small>

trường véc-tơ 7 pháp tuyến trong, đơn vi của biên OC như sau. Giả thiết thêm

rang Ty liên thơng và tại mỗi điểm của Ip có một lân cận trên biên O02 mà Ip

chia lân cận đó thành hai tập liên thông. Lấy P là một điểm ctia Tp.

(i) Điểm P thuộc lớp I nếu trong một lân cận nào đó trên biên OA của điểm

P tích vô hướng (7, ) chuyển từ dấu dương sang dấu âm khi đi qua P

<small>theo hướng vecto 1.</small>

(ii) Điểm P thuộc lớp II nếu trong một lân cận nào đó trên biên OF của điểmP tích vơ hướng (7, ) chuyển từ dấu âm sang dấu dương khi đi qua P

<small>theo hướng vecto v.</small>

(iii) Điểm P thuộc lớp III nếu trong một lân cận nào đó trên biên O2 của

điểm P tích vơ hướng (7,v) khơng đổi dấu khi đi qua P theo hướng

<small>vecto 1⁄.</small>

Do trường véc-to D, chỉ tiếp xúc với biên OC tại những điểm thuộc Ty, hay

tích vô hướng (7, ) khác 0 tại mọi điểm không thuộc Ip nên nếu trên ['ọ cómột điểm thuộc lớp I (II hay II) thì mọi điểm cịn lại của I cũng thuộc lớp I

(II hay II, một cách tương ứng). Ta nói rằng Lọ thuộc lớp I (II hay II) nếu

mọi điểm của Lọ thuộc lớp I (II hay III, một cách tương ứng).

<small>Với cách phân loại như vậy, Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev đã đạt được</small>

các kết quả sau cho bài tốn đạo hàm nghiêng khơng cổ điển

Lu = » đ/ (2) m Bar + ala sập + a(a x)u=ftrongQ, (1.1)

Ov ao” (1.2)

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

trong đó a;;,(x),a;(x), a(x) là các hàm đủ trơn xác định trên Q và

Œ~'||£||? > » a;k(#)€;& > Ơ|le|f,0 < Ở < 1( là hằng số ),Vz 9.

Khi Lọ thuộc lớp I, ta cần thêm điều kiện

ulr, = to. (1.3)

Dinh lý 1.1.1 (Định lý về ước lượng tiên nghiệm). Gid sử Ty thuộc lớp I,

một số thực s > 1. Khi đó, nếu u € H,;1(©) thì ta có đánh giá

| <€(all, ;(ø) + llelniln, „to

+ m (1.4)

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào tu.

Đánh giá (1.4) là tốt nhất theo nghĩa khơng có số ổ > 0,C > 0 nào để với

#2 + xy? < 1} với biên AO = {x = (21, 72,73) € R® | +? +03 + 23? = 1},

To = {(x1, 22,0) | 2? + z3 = 1} và trường véc-tơ D, là trường véc-to đơn vị

<small>cùng hướng với trục 073.</small>

Day ham u(x) = (x1 + ix2)*x3 thỏa mãn

Au, = 0, Ou = (x, + ix)"<sub>0x3 99 , Urlro = 0.</sub>

Bằng tính toán Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev đã ước lượng được như sau

: Our 14

> Ck ae, < Cok 2

|| ee] Ler. .5() Z t1 , l 1M... S C2 Py

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

wel lac) < C3k 7”.

Khi đó với ổ > 0,C > 0 cho trước, nếu chọn p € N đủ lớn dé 6 > gp và k đủ

<small>lớn thi ta khơng có đánh giá (1.5) cho „ và LD = A.</small>

Định lý 1.1.3 (Định lý về độ trơn). Gid sử 1 thuộc lớp I, một số s > 0.

¿ lô)

Nếu u € H,(Q),Lu € HQ), "| © H,,:(09),u|p, € Hypa (Uo) thi<sub>Ov lao ar Ễ</sub>

UE H,.1(©).

Định lý 1.1.4 (Định lý về sự tồn tại nghiệm). Gid sử Ï'ọ thuộc lớp 1, một số s >

1. Cho f 6H, 1(9),g€ A, (OQ), uo S HH, 1(T9). Khi đó có một khơng

gian con hitu hạn chiêu của khơng gian tích H,_1() x H,_ +(09) x H,_ + (Po)

sao cho nếu ( ƒ, g, uo) trực giao với khơng gian đó thì bài tốn biên (1.1) — (1.3)có nghiệm u € H,(Ơ).

Khi Tọ thuộc lớp II thì Dinh lý về su tồn tại nghiệm không được thiết lập

mà chỉ có Định lý về ước lượng tiên nghiệm và Định lý về độ trơn.

Dinh lý 1.1.5 (Định lý về ước lượng tiên nghiệm). Gid sử 1 thuộc lớp II,một số thực s > 1. Khi đó nếu u € H,(©) thì ta có đánh giá

ella) < CU Lalla, eo + ||, InØuloo 4 (0M) + |le|lix,eo) (1.6)

trong đó C là hằng sốkhông phụ thuộc vào u.

Đánh giá (1.6) là tốt nhất theo nghĩa khơng có số 6 > 0,C > 0 nào để với

mọi u € H,.(Q) có

lula .(a < C(La|Ha + ||, lÌu,_ ;(ø) + |lu|lume). (1.7)

Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau.

Ví dụ 1.1.6. Trong IRỶ, với p là số lẻ, chon © là giao của một lân cận của gốc

toa độ và nửa không gian v3 > 0, Ứọ = {x = (21, 22,23) |#i = z3 = 0},

trường véc-tơ D, được xác định như sau: tại mỗi điểm x = (x1, 22,73) có

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Au, = cfz=z3)Ê (Ay + ike — aka) VỚI w(x) = e(rk”m),

Khi đó với 6 > 0,C > 0 cho trước, chọn số lẻ p đủ lớn để ở > mm và k đủ

lớn thì ta khơng có đánh giá (1.7) cho uz, và Ù = A.

ILAzz| (09) < €skŠ—5,

Dinh lý 1.1.7 (Định lý về độ trơn). Gid sử 19 thuộc lớp I, một số s > 0.

Néwu € H.(Q), Lu € H6(Q), =| © Hy, (OQ) thìu € Hoyt (Q).Ov hc

Khi Ip thuộc lớp II, bằng phương pháp tham biến lớn Yu. V. Egorov- V.A. Kondratiev đã thiết lập được các Định lý về ước lượng tiên nghiệm, Định

lý về độ trơn, Định lý về sự tồn tại nghiệm.

Định lý 1.1.8 (Dinh lý về ước lượng tiên nghiệm). Gid sử Ï'ọ thuộc lớp III,

một số s > 1. Nếu u € H,(©) thì ta có đánh giá

Hullo) SC (Lally + SE Mayo + lull) — Œ-8)<sub>Ov lan 8-3</sub>

trong đó C là hằng số khơng phụ thuộc vào u.

Đánh giá (1.8) là tốt nhất theo nghĩa khơng có số 6 > 0, 7 > 0 nào để với

mọi u € H;.(©) có

|lwllr,.„o < C(|E¿|Ìn, so) + lap lz .(09) + |lullao@). 9)

Chang han, ta xét vi du sau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Ví dụ 1.1.9. Trong R?, với p là số chấn, chọn © là giao của một lân cận của

gốc toa độ va nửa không gian v3 > 0,19 = {x = (21, 22,23) |#i = # = 0},

trường véc-tơ D, được xác định như sau: tại mỗi điểm x = (x1, 22,273) có

Ø lơi

(2) = (5 Ly 7 13a)’

Chon ham ¿ € C®(R) mà ¿(z) = 1 khir < š và ¿(z) = 0 khir < 1. Xét

day ham w(x) = e*2~##2(rk>T), trong đó r = (x? + +3 + +2), thỏa mãn

8 Ø oe 1

Aug = el )* (Aw + 2i bee —2 bs”), với (+) = y(rkr),

Our _ duy Our,

Khi đó với 6 > 0, 7 > 0 cho trước, chọn số chan p đủ lớn để 6 > I va k du

<small>lớn thi ta khong có đánh giá (1.9) cho u, va = A.</small>

Dinh lý 1.1.10 (Định lý về độ trơn). Gid sử Lọ thuộc lớp III, một số s > 0.

Nếu u € H,(QỊ), Lu € H,(©Ơ), = v0 © Hà: (OQ) thìu € Hs41(Q).

Định lý 1.1.11 (Định lý về sự ton tại nghiệm). Gid sử Lọ thuộc lớp TH,một số s > 1. Cho ƒ € H,_1(Q),g € H,_: (09). Khi đó có một khơng gian

con hữu hạn chiều của khơng gian tích H, 1(©) x H,_:(09) sao cho nếu(ƒ, g) trực giao với khơng gian đó thì bài tốn biên (1.1) — (1.2) có nghiệmu © H,(©).

Khi Lọ thuộc lớp I, trong cơng trình [20], Yu. V. Egorov- Nguyễn Minh

Chương đã đạt được kết quả tương ứng cho bài tốn đạo hàm nghiêng khơng

cổ điển cho phương trình vi phân elliptic cấp 2 trong khơng gian Sobolev với

<small>cấp biến thiên, trong cơng trình [39], Lê Quang Trung đã đạt được các kết</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

quả tương ứng cho bài tốn biên khơng cổ điển cho phương trình vi-tích phân

<small>kỳ di tuyến tinh elliptic cấp cao.</small>

Gần đây, trong cơng trình [30], A. Maugeri, D. K. Palagachev, C. Vitanzanghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng trên tập mở. bị chặn, liên thông

Q CR" (n > 3) với biên OE đủ trơn sau

" Ou

u 2-0) Dm;Ðn, f h.k.n trong Q, (1.10)

Selon t (a) = 9 (11)

trong đó aj, € C°'(Q), v;(x), a(x) € Ch (OQ), o(x) > 0,

Cel]? > Sau z)€;£& > C\IE||?,0 < C < 1( là hằng số ),V+ € Q,

= Dts ) <0, V2 € OQ,

E= 5 E Ø9 | (n(z),(z)) = 0} ZO.

Trong trường hợp F là đa tạp con trơn, (n — 2)—chiều của biên ØÔ thì trùng

với trường I) thuộc lớp III theo cách phân loại của Yu. V. Egorov- V.A.

<small>Kondratiev. Trong cơng trình [30], A. Maugeri, D. K. Palagachev, C. Vitanza</small>chỉ đòi hỏi các đường cong tích phân của trường véc-tơ Ï)„(z) trên tập E là

khơng đóng và có độ dài hữu hạn. Khi 7 là đa tạp (n — 2)—chiều thì địi hỏi

này được thoả mãn. Với các giả thiết trên, A. Maugeri, D. K. Palagachev, C.Vitanza đã đạt được kết quả sau.

Định lý 1.1.12 (Định lý về sự tôn tại duy nhất nghiệm). Cho ƒ €

Wi,(9),¿ € W2: „(09) với p > > Khi đó bài tốn biên (1.10) — (1.11)

có nghiệm u € W2,,(Q) và có đánh giá

Hells) < C+ | Flim „e) + |løllw, 1 (ao):

trong đó Œ là hang số phụ thuộc n, v(x), p, Q, d; ¿, Ø.

Nếu p > n thì nghiệm u € WW› g(©) là duy nhất.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Bằng phương pháp tham biến lớn, trong cơng trình [21], Yu. V.

Egorov-Nguyễn Minh Chương đã nghiên cứu bài tốn biên khơng cổ điển nửa tuyến

<small>tính cho phương trình vi-tich phân ky di.</small>

1.2 Bài tốn biên cổ điển đối với phương trình parabolic

Có nhiều cách để tiếp cận bài toán biên cổ điển đối với phương trình parabolic.

Ta có thể tiếp cận từ cách nhìn của phương trình vi phân thường bằng lý

thuyết nửa nhóm. Chẳng hạn, khi xét bài toán biên đối với phương trình

Øu{(z, t)

Laplace A. Ngồi ra, ta cịn có thể tiếp can bằng nhiều cách khác, chang han

— Au(z,f) = ƒ(z,f) thì ta nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi tốn tử

bằng lý thuyết tích phân kỳ dị (xem [24]). Dưới đây, chúng tơi xin được trình

bày cách tiếp cận của M. I. Vishik- M. S. Agranovich trong cơng trình [4].

Trong cơng trình này, bằng cách dùng phép biến đổi Laplace, M. I.

Vishik-M. S. Agranovich đã giải được một lớp các bài tốn biên cho phương trìnhparabolic dạng suy rộng trên tập mở, bị chan 2 trong R” với biên trơn OE sau

trong đó số tự nhiên A là ước của 2s, tốn tử A(z, D,, Bp B,(«, Dz, 2n) là

các toán tử vi phân cấp 2s,zn; với hệ số dqs(x), Đ;„„(+) trơn vơ hạn (tương

o OP

<small>la|+A3<2s</small>A(z, D

a

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

(i) tốn tử A(x, D,,, ¢) là elliptic, nghĩa là

Ag(œ,£,g)= SY > aa()£°4”#0,vz € Q, ||€||+ lal # 0,

(ii) tại mỗi zˆ € OX, toán tử (+, Dz, g) = (A(2", Dz, g)., B;(œ', Dr, Daa)

thoả mãn điều kiện Shapiro-Lopatinski, nghĩa là trong một hệ toạ độ lân cận

của x9, ở đó x’ trở thành gốc toa độ 0, biên Ø© trở thành siêu phẳng zx, = 0

và pháp tuyến trong của biên trở thành trục Oz,,, bài toán Cauchy

khi ||£|| + |a| # 0, chỉ có duy nhất một nghiệm trong khơng gian các

nghiệm ổn định (tiến về 0 khi z„ tiến ra vô cùng) của phương trình

» 4s „THỊ 0, (x, x Ap Ot (x 2g)

Bằng phép biến đổi Laplace, với điều kiện ban đầu (1.14), bài toán biên

parabolic (1.12) — (1.13) trở thành bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộctham biến g

A(x, D„,g)U(z,g) = Eƒ(œ,g),+ € Ô, (1.15)

B/(%, Dz, g)U (2, q)|z—z — Lgj(a',q), 2" € Ø9. (1.16)

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Nếu ta xây dựng được các không gian nghiệm cho bài toán biên parabolic

(1.12) — (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14), và bài toán biên elliptic với hệ

số phụ thuộc tham số (1.15) — (1.16) sao cho phép biến đổi Laplace trở thành

một đẳng cấu đẳng cự giữa khơng gian nghiệm của bài tốn biên parabolic và

<small>elliptic thì</small>

<small>e nếu + là nghiệm của bài tốn biên parabolic (1.12) — (1.13) với điều kiện</small>

ban đầu (1.14)thì biến đổi Laplace Lu của u là nghiệm của bài toán biên

<small>elliptic với hệ số phụ thuộc tham số (1.15) — (1.16),</small>

<small>e nếu là nghiệm của bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộc tham số</small>

(1.15) — (1.16) thì Ê~!Ư thoả mãn điều kiện ban đầu (1.14) và do

2(Aứ, D,, £ (£10) = A(x, D,,q)U = Lf trong Q,

hay £~'U là nghiệm của bài toán biên parabolic (1.12) — (1.13) với điều

kiện ban đầu (1.14).

Như vậy, để giải bài toán biên parabolic (1.12) — (1.13) với điều kiện ban đầu

<small>(1.14) M. I. Vishik- M. S. Argranovich đã làm các bước sau</small>

<small>e xây dựng các khơng gian nghiệm cho bài tốn biên parabolic (1.12) —</small>

(1.13) với điều kiện ban đầu (1.14) và bài toán biên elliptic với hệ số phụ

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Cho / > 0,œ > 0. Không gian #⁄„(/) là không gian bao gồm các hàm

U(q) = U(o + ir) là hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng phức Rg > / saocho chuẩn

IIU(4)|lz,„) = sup [ IU(ø + ir) lo + ir [dr < +00.

Mệnh đề 1.2.3. Cho > 0. Phép biến đổi Laplace là phép đẳng cấu giữakhông gian P,(e") và không gian E,({).

Cho À là số nguyên dương, ju là số thực không âm. Với mỗi số nguyên

dương ý, không gian Pral(eTM, Q x (0,+oc)) là không gian bao gồm các

hàm u(x,t) xác định trên nửa trụ vô hạn Q x (0, +oe) sao cho

(i) với hầu hết z € Q hàm u(z..) € P(e),

(ii) với hau hết t > 0 hàm u(.,t) € #(©),

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Cho số nguyên không âm ý và số thực khơng âm pz. Khơng gian E, £ (u, ©) là

không gian bao gồm các ham U(x, q) xác định trên tập © x {ø € C | Jằq > pu}<small>sao cho</small>

(i) với mọi q, #q > pw và hầu ht g, RÂ = hm (.,qg) H,(â),

(ii) vi hu hết x € Q hàm u(z..) € Be (41), và các đạo ham suy rộng

(ii) 1x (n,Ô, OQ) = Ey_y, 2: (n, 9) x MF, a omy 3 dQ)

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Định lý 1.2.5. Cho ¢ > lp. Phép biến đổi Laplace là phép đẳng cấu giữa các

<small>cặp không gian sau</small>

(i) D6 th Q x (0, +00)) và Ey «(u, ©),

(ii) Pele, Q x (0, +00), OQ x (0, +00)) và 1ý. (nu, 9, OQ).

Dé nghiên cứu bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộc tham số (1.15)— (1.16)

trên không gian nghiệm FE, £ (44) trước tiên ta xem xét nó trên khơng gian

Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến.

Với g € C,Rq > 0, > fo, trên không gian Sobolev #;(O) trang bị chuẩn

mới phụ thuộc tham biến q

IIUIl.o = (IIU|lÖ,e) + La |U roc)?

Tương tự, trên không gian #;(O,Ø9) = H;_›,(O) x T=) Ay_m,—1(0Q) ta

cũng trang bị chuẩn phụ thuộc tham biến ||(ƒ,

9)||¢¢,0,00-Nhận xét 1.2.6. Nếu U € Ey e(u, ©) thì U € H,(©) với hầu hết Rg > , và

lle, = Cf I2. s4.

Tng t vi khụng gian #, ô (u,â, OQ).

nh lý 1.2.7. Cho ¢ > lo. Khi |q| đủ lớn, với mơi (F,G) € H,(O,09) bài

tốn biên (1.15) — (1.16) có duy nhất nghiệm U © H,(Q). Hơn nữa, ta có

C|IU|l„ø < |IŒ. G)|l„oao < Œˆ”||U|l„o

trong đó hằng sốU < C < 1 không phụ thuộc các hàm và tham biến q.

Từ Nhận xét 1.2.6 và Định lý 1.2.7 ta có Định lý về sự tồn tại duy nhấtnghiệm cho bài tốn biên (1.15) — (1.16) trong khơng gian nghiệm FE, « (0).

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Dinh lý 1.2.8. Cho ( > Co. Khi ¡ đủ lớn, với mỗi (F,G) € Eạ,.(u,9,09)bài tốn biên (1.15) — (1.16) có duy nhất nghiệm U € E,:ẤM. Q). Hơn nữa,

C||UlÌz, « w.o) <||(F, G)|Ìz, . (u,9,09) < Œ—||Ulls, „.e)

trong đó hằng số 0 < C < 1 không phụ thuộc các hàm và tham biến q.

Từ Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên elliptic vớihệ số phụ thuộc tham số (1.15) — (1.16) trên không gian nghiệm E,.(H) và

Dinh lý về phép biến đổi Laplace là đẳng cấu giữa các không gian ?,, £ (c

và Eye (41), Nhận xét 1.2.4 ta có Dinh lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cuabài toán biên parabolic (1.12) — (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14).

Định lý 1.2.9. Cho ¢ > . Khi ys đủ lớn, với môi (ƒ, g) € Pu ("9 x

(0, +00), OQ x (0,+00)) bài tốn biên (1.12) — (1.13) có duy nhất nghiệm

we h6 Q x (0,+oe)). Hơn nữa, ta có đánh giá

Cl||u| |P, „(e-“9x(0,+s)) < ||. I)IIP, „ =z295(0.+s).Ø0x(0.+se))

<CŒ lllÌn, ¢(e-# x (0.400);

trong đó hằng s6 0 < C < 1 khơng phụ thuộc các ham.

Trong cơng trình [4], ngồi các kết quả trên, M. I. Vishik-M. S. Agranovich

còn đạt được Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên parabolic

(1.12) — (1.13) với điều kiện ban đầu khơng thuần nhất. Trong cơng trình

[9], GS. Nguyễn Minh Chương, cũng bằng phương pháp biến đổi Laplace, đã

đạt được Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài tốn biên cho phươngtrình vi phân parabolic cấp 2 với điều kiện biên khơng liên tục, cịn trong cơngtrình [10], Giáo sư cũng đã đạt được Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm

cho bài toán biên cho phương trình gia vi phan parabolic cấp biến thiên trongkhông gian Sobolev cấp biến thiên.

Bằng cách tiếp cận khác, trong cơng trình [36], L. Softova đã nghiên cứu bài

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

toán đạo hàm nghiêng parabolic với hệ số V MO, khơng gian các hàm dao

động trung bình triệt tiêu (vanish mean ocsilation), trong trụ Q+ = 2 x (0,7)

Bang việc sử dung các tốn tử tích phân kỳ dị kiểu Calderon- Zygmund thích

hợp với bài tốn, L. Softova đã chứng minh được tính duy nhất nghiệm của

bài tốn đạo hàm nghiêng (1.17) — (1.19) trong khơng gian kiểu Morrey

We (Qr) là khong gian các hàm u € L?*(Qr) mà các đạo hàm suy rộng8° a

nbs; € L"^(Qr), a € L’(Qr), Vi, j = 1,2,...,n, với chuẩn

lll w22(@n) = ||ullr»^(o„) +1 llevar) + 3 le "0m 6s):

trong đó J'^(Q;) là không gian Morrey gồm các hàm f khả tích cấp p dia

<small>phương sao cho</small>

Lƒl[r»>¬(o;) = (sus fir | f(a, t)|"dedt)* < œ,<sub>rf Qrnl</sub>

với sup lấy trên tất ca các hình lập phương 7 có độ dài cạnh r > 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Chương 2

Bài toán biên cổ điển đối với phương

trình GVP elliptic

Trong Chương 2, chúng tơi trình bày các kết quả về bài tốn biên cổ điển đối

<small>với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong khơng gian</small>

Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số.

2.1 Khong gian hàm

<small>2.1.1 Định nghĩa</small>

khơng gian C§°(R*) bởi chuẩn

Ialiass = (f+ Held" isaute) Pa)’

e Cho p,£ € R,0 < f,1< p< œ. Không gian H,,(R") là không gianlàm đầy không gian O° (R") bởi chuẩn:

lIell.„=‡ = inf ||fal|cp œ»,

trong đó infimum lấy trên tất cả các thác triển | từ R” lên IR".

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

e Cho (2) là một miền bị chặn trong R” với biên OC là đa tap trơn

(n — 1)—chiéu. Lấy {U;,; la là một phân hoạch đơn vị của 2 và{Vj,v; bà là phân hoạch don vi của biên 02 sao cho giá của mỗi hàm

wj,j =1,...,M, trên OQ đều có thể làm phẳng.

Lấy p,£ € R,0 < /,1 < p < œ. Khơng gian #/„(©) là khụng gian lm

y khụng gian Cđ(â) bi chun

-trong đó 5~’ là tổng lấy tất cả các chỉ số j mà tập U ; không giao với biêna, Šˆ” là tổng lấy tất cả các chỉ số 7 mà tập U; giao với biên Ø9).

làm đầy không gian CTM(0Q) bởi chuẩn

Ieli„øo = (|| ee)

trong đó ||;||¿„ na: là chuẩn trong khơng gian H,,(R"~') của hàm

<small>;u trong hệ toa độ lân cận.</small>

cà p 1/p

tham biến ø: ||\.„„ = (lel? + lal|lalD,)

(¢ > 0) với chuẩn phụ thuộc tham biến ¿ lần lượt là /7;„„(RÑ”), hay

Fey q(Q), Hu„„(R}), Fey q(OQ) (( = 0)

2.1.2 Tinh chat

Dưới đây là một số tính chất của khơng gian Hy ».

Mệnh đề 2.1.1. Cho ¢,k,p € R,1 < p< œ,k < &. Các phép nhúng sau là

Hu„(R") => Hr,(R"), H,„(R}) ~ Hr,(RỊ).

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Chứng minh: Có thể xem trong sách [26] của Hormander.

Nhận xét 2.1.2. Từ bất đẳng thức

lal (CL + [NEI + lal’) < 2(Œ + [NEN + Jal) VE € R",a„ e C,

nên với € > 0 cho trước, khi |z| đủ lớn, phép nhúng #,,¡ „„ trong Hp, có

chuẩn nhỏ hơn c.

Mệnh đề 2.1.3. Cho p,£ € R,1 < p< œ,0 < É. Toán tử hạn chế M từ R"

xuống R" là tốn tử tuyến tính bị chặn từ H,,(R") vào H,„(R}).

Giả sử 0 < £,K là tập compact trong IR?. Tốn tử thác triển L biến mỗihàm u € C§ “(R?), mà suppu C K, thành hàm Lu(x) = u(x) khi x, > 0

và Lu(z) = 0 khi x, < 0 là tốn tử tuyến tính bi chặn khơng gian gồm các

hàm u € C§ (Đ"'), mà suppu C K, với tơpơ sinh bởi chuẩnI-|Ì,„m;; vào

H,„,(R"). Khi đó, ta có thể thác triển toán tử L lên thành toán tử tuyến tínhbị chặn từ H,„(R"') vào H,„(R").

Chứng minh: Phần dau dé dàng chứng minh từ Định nghĩa.

Để chứng minh phần sau, ta chỉ chứng minh đánh giá với mỗi wu € C§@°(Đ'"'),

[|Lullepme S Clllullep,ee

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào + và thác triển J.

Ta chứng minh bằng phản chứng, nghĩa là có một dãy u, € Œ?*(IR?), màsupp u, C_, và dãy các thác triển J, mà

|Luz||¿pg» — 1, lim |l¿:||z.p.e» — 0.

Do 0 < / nên theo phần trên ta có phép nhúng khơng gian các ham

u € Œ§°(Đ?), mà suppu C K, với tôpô sinh bởi chuẩn ||.||¿„a» vào

Ho,(R") là compact. Do đó, dãy {Lu¿} có một dãy con hội tu trong

Hy,(R"), để đơn giản ta có thể giả sử {Lu,} hội tụ đến u, là hàm đo được

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

ma u(z) = 0 khi x, < 0, trong Hạ„(R*). Mà với 1 < p < oo, không gianH,„(R") là không gian phản xạ nên € H,„(R") và <small>0| |r,pjRn — 1.</small>

Lại có, theo phần trên day {u„} hội tụ đến Mu = ulgn = 0 trong Ha„(RÑ}).

Do đó, = 0. Điều này mâu thuẫn với ||¿||¿; em» = 1. Do đó, điều giả sử sai.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.1.4. Cho p, €]R,1 < p< œ.

(a) Với 0 < |a| < 4, toán tử vi phân D® là tốn tử tuyến tính bị chặn

từ H,,(R") (hay H,„(Đ')) vào Flp_jq),p(R") (hay Fp_jo},p(R".)). Do

đó, tốn tứ vi phân D* là tốn tử tuyến tính bi chặn từ Hy,(Q) vào

Chứng minh: (a) Với u € C§°(R") có Ở„(D*“u)(€) = €°F,u(E€) nên ta dễ

dàng có điều phải chứng minh bằng cách thay vào định nghĩa.

(b) Do với mỗi u € H„(Đ"), theo Mệnh dé 2.1.3 có một thác triển

Lu € H,„(R") và

Cllullu, „áyy < [Lula SC lleull an, cee)

với 0 < C < 1 là hang số không phụ thuộc u, mà Lu|,,-9 = |„„—ọ va

Co°(R") trù mật trong #,„(R”) nên chứng minh Mệnh đề này ta chỉ cần

chứng minh bất đẳng thức

ll|z„=0lÌ—(—1),øjms=: S C||u||cpjen, Vu € Co? (R"), (2.1)

trong đó C 1a hang số khơng phụ thuộc ham uw.

mao) (€",0) = (2m)~? fp 7„u(€)đệ„ với mỗi u € Cÿ°(R"),

đặt t = (1 + |\é’||) 71g, có tích phânĐể ý rằng Ở„_¡(u

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

hội tụ vì (1 — ») < ứ, nên từ bất dang thức Holder có

lá i6|5-a)(€20)P < (25) 2( f+ lệ + Kall as)”

x | (1+ [e+ lẹu|)|#„u(£)|54ẻ,

<O(1 + lẹ|)- +9 | (1+ |e + lez|)'2|#„w(£)|Pd&,

khi đó tich phan ca hai vế của bất dang thức trên cho ta bat đẳng thức (2.1).

Nhận xét 2.1.5. Trong không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến q,

ta cũng có các Mệnh đề trên.

2.2 Tốn tử giả vi phân (GVP) trong R”

<small>Định nghĩa 2.2.1. Cho s € Z., +¡, +2 € Rva</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

(ii) các hàm a”)(.),a\.(a,.) € C(R” \ {0}), với mỗi z € R", và thuân<sub>› Ag GQh&</sub>

nhat duong bac 0 theo € nghia 1a

a9 (e£) = at (€), a9 (x,c£) = a), (a, 6), Vx € R",€ € R\{0}, Ve > 0,

Toán tử GVP A được gọi là thuần nhất nếu biểu trưng của nó øa(z, £, q)

thuần nhất theo (£, q), nghĩa là

za(œ€,g)— DP (anil) + da 2(ø,€))€””

Ta sẽ chứng minh tính bị chặn của tốn tử GVP (2.2) trong khơng gian

Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến. Để chứng minh điều này ta cần đếnbổ đề sau.

Bổ dé 2.2.2. Cho 1 < p < œ, ham do được K(.,.) : R" x R" — C sao cho

|K(a,y)|da < Ai,Vụ € R", | (x, y)|dy < Ao, Vx € R",

trong đó Aj, Ay la các hằng số không phụ thuộc x,y. Khi đó tốn tử biến

moi hàm ƒ(.) € L,(IR") thành ham [>„ K(.,y)f(y)dy là tốn tử tuyến tính

bị chan từ L,,(IR") vào L„(R").

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Vf K(.9)f0)4|, < ( | IKt.w)ldy)”

A I/0)If( j_ LK(z.w)|dz)d < ALAy ||,

do đó, ta có điều phải chứng minh.

Dinh lý 2.2.3. Cho /,p € R,s € Z.,,l < p< œ. Toán tử GVP A cấp

s dang (2.2) là toán tử tuyến tính bị chặn từ (C§°(Đ"), || - |[¿p„m») vào

(H,_.„„(R"), || - ||¿—s,p.ạe»).- Tốn tửGVP A có thể thác triển lên thành tốn

tử tuyến tinh bị chặn từ H,„„(Đ") vào H,_;„ „(Đ") tác động như tốn tử cấp<small>s theo dạng (2.3). Hơn nữa, ta có đánh giá</small>

|| Aullespare SCllullenar, u € Hzy„(R”), (2.3)

trong đó C là hang số khơng phụ thuộc u, q.

Chứng minh: Để chứng minh Dinh lý này ta chỉ cần chứng minh bất đẳng

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Đặt luan) =a" Ƒ Ƒ e TE "Ìagj(,€)€*Ø¡w(6)4Edr

Tín.d) = Djajnpes PM an y(n)F n(n),

cĩ 7„Au(n,g) = (2z)? 3 )a\:s<„ là(n, 4) + Tín, 4).

Để chứng minh bất đẳng thức (2.3) ta chứng minh các bất đẳng thức sau

Jo + |In|l + |a|)“=°*|1„sứn, q)|?dn < Ch Jo + llnl| + lal)? |Fnu(n) Pan,

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Do a a(;€) € Coc(R”) với mỗi € € R” \ {0} nên

l(€—n) nh een a, nan Dyal(x, 8),

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Dưới đây, ta quan tâm toán tử GVP cấp s thuần nhất 4 với biểu trưng

<small>không phụ thuộc z, nghĩa là</small>

ZA(€,q)= So al(ejerg’.

nhất A với biểu trưng không phụ thuộc x và thoả man ơA(€,q) # 0, khi

Il£ll+ |g] 4 0. Khi đó với g € Q\ {0}, toán tử A: H,„„(R") > H,_,„„(R")là khả nghịch, mà tốn tử nghịch đảo của nó AT! là tốn tử có dang

A fllep < Cll f lle-s.p, fe H,_.„„(R") (2.8)

trong đó C là hằng sốkhơng phụ thuộc ƒ, q.

Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra AA~! = Tải, AT}A = Td;, trong đó Id, Tda

lần lượt là các tốn tử đồng nhất trong H,_; „„(R"), H,„„(R").

Ta chỉ còn phải chứng minh bất đẳng thức (2.8).

Do biểu trưng o4(€,¢q) # 0 khi ||£|| + |g] 4 0, và za(£, g) thuần nhất dương

bậc s, liên tục theo (£, g) nên +! (€, g) thuần nhất dương (—s), liên tục theo

(£, g) khi (€,¢) # (0,0). Do đó, có một hằng số dương Œ sao cho

lza'(£,4)| < C(e|l+ lal) ”:

IFnAu(E)| = lơa'(6,4)#zw(€)| < G(|ell+ lal) |FnulE)|

j_0+lEllelal8,A-1a6)tdg sce ff (1+|lllallt°°8,s()ák

do đó, bất dang thức (2.8) được chứng minh.

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

2.3. Bài tốn biên trên nửa khơng gian R'}

<small>Định nghĩa 2.3.1. Cho s € Z2., 2, y2 € Rva</small>

Q= {z E€C\y <argz< +}.

Toán tử A được xác định bởi

A= MÃI,

<small>trong đó</small>

(i) M là tốn tử hạn chế từ R” xuống R”,

(ii) L là toán tử thác triển từ IR” lên R* (trong Mệnh dé 2.1.3),

(iii) A là toán tử GVP dang (2.2) cấp s trong R” với biểu trưng

ØA(2,€,g), € R",€ ER" \ {0},g€Q

được gọi là toán tử GVP cấp s trong IR” với biểu trưng

ØA(%,É,g) =ØA(,€,g), zc€lR+, €cR”\{07, 4e Q.

Toán tử A được gọi là thuần nhất nếu toán tử 4 thuần nhất.

Toán tử A được gọi là chấp nhận được (admissible) nếu biểu trưng của phần

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Au(x,q) = A(œ, D,q)u(œ,g) = ƒ(#,4), tn > 0, (2.9)

Byu(x, q)| » = Bila, D,q)u(x,q)|,, 9 = 9;(2",q), J=1,...,8 (2.10)

trong đó g € Q, A, B; là các toán tử GVP chấp nhận được cấp (tương ứng) là

2s, m, trong ÏR' với biểu trưng (tương ứng) (+, €, 4), ơp,(, €, 4).

Mệnh dé 2.3.2. Cho p,£ € R, lo < £,1 < p < oo. Khi đó tốn tử U là tốn

tử tuyến tính bị chặn từ Hp yq(R"4) vào H,„„(R?,IR"~}). Hơn nữa, ta có

|| eel epg Re Re < Clu Lp.q,.R% u = Hu„„(Đ_ )

trong đó C là hằng số khơng phụ thuộc u, q.

Chứng minh: Tit định nghĩa về toán tử GVP trong nửa không gian JR vàMệnh đề 2.1.3, Mệnh dé 2.1.4, Dinh lý 2.2.3 có một hằng số Œ > 0 sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Bây giờ, ta xét bài toán biên (2.9) — (2.10) đối với toán tử thuần nhất

A(D,q), B;(D, q) với biểu trưng aA(z, €, g), ơp, (+, €, g) khơng phụ thuộc z,

Tốn tử A(D, q) được gọi là elliptic nếu

ZA(€, g) #0 khi ||£|| + |a| # 0.

Khi đó, do tính liên tục và thuần nhất dương cấp 2s theo (£, q) của biểu trưng

oa(&,q) nên có một hằng số 0 < Œ < 1 sao cho

Œ(Ilsll+ lal)” < lza(e.ø)| < ˆ*{I|£ll+ al), VIEL + la] # 0.

Da thức o4(£', €„, g), đối với biến £„, chỉ có nghiệm (thực sự) ảo, trong đó cóđúng s nghiệm có phần ảo dương, ký hiệu ¢)(€’,¢),..., Cs(€”, q).

Đặt ơa, (€,€, g) = H?-¡(C — G/(€”, g)). Dưới đây là kết quả của Lopatinski

<small>(xem trong [4]).</small>

Mệnh dé 2.3.3. Gid sử tốn tử A(D, q) là elliptic. Khơng gian M gồm các

nghiệm ổn định (nghiệm hội tụ về 0 khi t tiến ra vơ cùng) của phương trình vi

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

trong đó +._ là đường cong kin, trơn, phụ thuộc €',q, trong nửa mặt phẳng

<small>phúc trên, chứa s nghiệm (,..., Cs.</small>

Bài toán biên (2.9) — (2.10) được gọi là thoả mãn điều kiện

<small>Shapiro-Lopatinski nếu bài toán Cauchy</small>

oalé’, g0 v(t) =0, >0, (2.11)

op, (é', 1 gu t)|,» =hy, J=1...8, (2.12)

khi ||€’|| + |a| 4 0, có duy nhất nghiệm trong không gian M các nghiệm ổn

định của phương trình (2.1 1) với mọi h;.

Khi tốn tử A(D, q) là elliptic, điều kiện Shapiro- Lopatinski cịn có thể diễn

đạt bằng cách sau, cách của S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg trong [2],

khi ||€"|| + |a| # 0, các đa thức op, (€”, En, g) (theo biến €,,) là độc lập tuyến

tính theo mod a4, (€ƒ, €,„, g), nghĩa là nếu viết

p,(€, Ens) = Shale gen (modơa, (€,Én,))

thì ma trận {b;;(€”, g) }i<jn<s không suy biến

hay định thức det{b;z(£”, g)}i<;x<s # 0 khi ||£ƒ|| + |a| A 0:

Bài toán biên (2.9) — (2.10) (hay toán tử 1U) được gọi 1a elliptic nếu

<small>e toán tử A(D, g) là elliptic,</small>

e bài toán biên (2.9) — (2.10) thoả mãn điều kiện Shapiro-Lopatinski.Dưới đây là kết quả của S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg trong [2].

Mệnh dé 2.3.4. Giả sử bài toán (2.9) — (2.10) là elliptic. Khi đó khơng gian

M có một cơ sở được xác định như sau

O;(€, t, q) — / c Sơn, (€", ¢, q)N,(€, ¢, q)d¢, ) — 1, .... 5; (2.13)

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

trong đó + là đường cong kín, trơn, trong nửa mặt phẳng phức trên chứa s

nghiệm C1,...., G;, Nj là hàm khả vi vô hạn, thuân nhất dương bậc s — m; — Ìtheo (&',¢,q) và là đa thức đối với ¢, thoả man

dd .

on, (Ct, Qar(é',t, 4)Ì¡=0 — Ojks J; k= 1, 1228.

<small>ta có ước lượng tiên nghiệm</small>

lIull„„e; < C([ullca.er.ms— + |[e|li„„;). Vu € Hu„¿(Đ}),

trong đó C là hằng số khơng phụ thuộc u, q.

Khi q # 0, ta có bất đẳng thức

llllc»„m; C|Hu|lrszma <sup>re, Vu € Hu„„(R}).</sup>

trong đó C là hằng số khơng phụ thuộc u, q. Khi đó toán tử U là đơn ánh từ

H.„„(R†) vào Hoy q(R, RTM"').

Chứng minh: Dé chứng minh Dinh lý, ta chỉ cần chứng minh khi g # 0, vì khi

q = 0taxét toán tử A’u = Aut+u, Bou = Buhay Âu = Âu~u, Bru = Byuthì tốn tử U! = (A’, Bi|z„=o...., ;|z„=o) là toán tử elliptic với tham biến

len ame < CUW Ue prey we SC (MW Ullep see eet + |[e|lo„1,m)

elle pen < ClWUl |e pee pet < C(|[Wul leper eet + llullo,p,m):

Bây giờ, ta chứng minh Định lý khi g # 0.

Đặt (f,91,---,gs) = Uu = (Au, Bia|¿„=o,..., Bsulx,-0), vớiu € Hey q(R").

Với các toán tử thu hẹp và thác triển M, L, như trong Mệnh đề 2.1.3, theo

<small>định nghĩa có</small>

f = MALu

</div>