Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl,p (p khác 2.PDF

Mục lục
Trangphụbìa 1
Lờicamđoan 2
Lờicảmơn 3
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Mởđầu 9
Chơng 1 Tổng quan 15
1.1 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển đối với phơng trình vi
phânelliptic 15
1.2 Bài toán biên cổ điển đối với phơng trình parabolic . . . . . 22
Chơng 2 Bài toán biên cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic 30
2.1 Khônggianhàm 30
2.1.1 Địnhnghĩa 30
2.1.2 Tínhchất 31
2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) trong R
n
34
2.3 Bài toán biên trên nửa không gian R
n
+
40
2.4 Bài toán biên trên miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chơng 3 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic 62
3.1 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic
tuyếntính 62
3.2 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic
nửatuyếntính 82
5
Chơng 4 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình
parabolic 88
4.1 Khônggianhàm 88

4.1.1 Địnhnghĩa 88
4.1.2 Tínhchất 91
4.2 Bài toán biên cổ điển đối với phơng trình GVP parabolic
trênnửatrụvôhạn 96
4.3 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
parabolic tuyến tính trên nửa trụ vô hạn . . . . . . . . . . . 102
4.4 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
parabolic nửa tuyến tính trên nửa trụ vô hạn . . . . . . . . . 114
Kết quả và bàn luận 122
Kết quả nghiên cứu và bàn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Kếtluận 124
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . 125
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án . 126
Tàiliệuthamkhảo 127
6
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
N = {1, 2, } : tập số tự nhiên, Z : tập số nguyên,
Z
+
= {m Z | m 0} : tập các số nguyên không âm.
Z
n
+
= { =(
1
,
2
, ,
n
) |

j
Z,
j
0,j =1, 2, ,n} : tập các đa
chỉ số và với Z
n
+
ký hiệu || =
n

j=1

j
.
R : tập số thực, C : tập số phức. Đơn vị ảo

1=i.
Với mỗi z C ký hiệu z là phần ảo, z là phần thực.
Với mỗi p R, 1 <p<+, số p

là số đối ngẫu của p, nghĩa là
1
p
+
1
p

=1.
Với mỗi a R, ký hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn a.
R

n
= {x =(x
1
,x
2
, ,x
n
) | x
j
R ,j =1, 2, ,n} là không gian thực
nchiều với chuẩn Euclid ||x|| =

n

j=1
x
2
j

1
2
và tích vô hớng x, y =
n

j=1
x
j
y
j
.

R
n
+
= {x =(x
1
,x
2
, ,x
n
) R
n
| x
n
> 0},

R
n
+
= {x =(x
1
,x
2
, ,x
n
) R
n
| x
n
0}.
Với x R

n
(hay

R
n
+
) ký hiệu x

=(x
1
, ,x
n1
).
Nếu không có gì đặc biệt, ký hiệu là tập mở trong R
n
.
Với mỗi k Z
+
ký hiệu các tập nh sau:
C
k
() = {u : C


u khả vi liên tục đến cấp k},
C() = C
0
() = {u :
liên tục
C},

C
k
0
() = {u C
k
()


supp u là tập compact},C
0
() = C
0
0
(),
C
k,1
() = {u C
k
()


đạo hàm riêng cấp k của u là hàm Lipschitz},
C

() =

k=1
C
k
(),C

0
() =

k=1
C
k
0
(),
C

0
(

R
n
+
)={u :

R
n
+
C


có hàm lu C

0
(R
n

) mà lu|

R
n
+
= u},
trong đó, supp u = cl{x


u(x) =0}.
7
Với mỗi số thực 1 p<, ký hiệu
L
p
() = {u :
đđ

Lebesgue
C




|u(x)|
p
< +},
là không gian các hàm khả tích cấp p trên với chuẩn
||u||
L
p

()
=



|u(x)|
p

1
p
,
với p = , ký hiệu
L

() = {u :
đđ

Lebesgue
C


ess sup
x
|u(x)| < +},
là không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên với chuẩn
||u||
L

()
= ess sup

x
|u(x)|,
trong đó, ess sup
x
|u(x)| = inf{M>0


m{x


|u(x)| >M} =0}.
Với mỗi 1 p , 0 s ký hiệu các không gian Sobolev W
s,p
().
Với s Z
+
, không gian Sobolev
W
s,p
() = {u L
p
()


D

u L
p
(), ||s}
với chuẩn

||u||
W
s,p
()
=


||s
||D

u||
p
L
p
()

1
p
, khi p<,
||u||
W
s,
()
= max
||s
||D

u||
L

()
, khi p = ,
trong đó, D

= D

1
1
D

n
n
,D
j
=

ix
j
.
Với s Z
+
, không gian Sobolev W
s,p
() đợc định nghĩa bằng phép nội suy.
Khi p =2, để đơn giản ta ký hiệu H
s
() = W
s,2
().
Phép biến đổi Fourier trong R

n
F
n
u()=(2)

n
2

R
n
e
ix,
u(x)dx.
Phép biến đổi Laplace
Lu(q)=(2)

1
2

+
0
e
qt
u(t)dt, q C, q 0.
Toán tử GVP: toán tử giả vi phân.
8
Mở đầu
Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đợc nghiên cứu đầu tiên trong
các công trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace nh một công cụ
chính để mô tả cơ học cũng nh là mô hình giải tích của vật lý. Cho đến giờ,

mô hình giải tích của vật lý vẫn là một trong những yếu tố cơ bản trong sự
phát triển của Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng. Vào giữa thế kỷ
19, đặc biệt với công trình của Riemann, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo
hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học.
Cuối thế kỷ 19, H. Poincare đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa Lý thuyết
Phơng trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác. Sang thế kỷ
20, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nhờ
công cụ Giải tích hàm. Đặc biệt khi Lý thuyết hàm suy rộng đợc xây dựng
bởi S. L. Sobolev, L. Schwartz đợc kết hợp với Giải tích Fourier nhiều bài
toán đã đợc giải quyết. Chẳng hạn bài toán biên elliptic tuyến tính đợc giải
quyết khá trọn vẹn (có thể xem trong công trình của M. S. Agranovich [3] và
các tài liệu tham khảo trong đó). Bằng lý thuyết nửa nhóm cùng các kết quả
từ toán tử elliptic, một số lớp bài toán parabolic, còn đợc gọi là phơng trình
tiến hóa, cũng đã đợc nghiên cứu bởi E. Hille, K. Yosida, F. E. Browder, H.
Brezis, J. L. Lions, E. Magnes, E. B. Davies, .v.v. . Bài toán hyperbolic cũng
đã có đợc những kết quả đẹp qua các công trình của I. G. Petrovski, J. Leray,
L. Garding, .v.v. . Theo L. Hormander (xem trong [26]), các công trình về
toán tử hyperbolic của I. G. Petrovski nh một điều dự báo về sự ra đời của
Lý thuyết toán tử Giả vi phân, một trong những công cụ hữu hiệu để nghiên
cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng không chỉ tuyến tính mà
cả với phi tuyến.
Lý thuyết toán tử GVP là sự phát triển của Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp
với Giải tích Fourier. Tích phân kỳ dị, chẳng hạn tích phân với nhân Poisson
hay biến đổi Hilbert, biến đổi Riesz, đợc nghiên cứu từ lâu bởi nhiều tác
giả nh Poisson, D. Hilbert, .v.v., nhng có lẽ phải đến các công trình của
9
A. P. Calderon, A. Zygmund, S. G. Mikhlin và sau đó là các học trò của
A. Zygmund nh E. Stein, nó bắt đầu trở thành một công cụ thực sự trong
việc nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng. Lý thuyết
tích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier tiếp tục đợc J. J. Kohn, L.

Nirenberg, L. Hormander phát triển thành Lý thuyết toán tử GVP. Một trong
những kết quả đẹp dựa một phần trên Lý thuyết toán tử GVP là Định lý về chỉ
số Atiyah- Singer, sự giao thoa giữa nhiều ngành toán học Lý thuyết Phơng
trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình học-
Đại số. Dựa vào Lý thuyết toán tử GVP, F. Treves, L. Nirenberg([32], [33])
đã giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải đợc địa phơng cho toán tử vi
phân kiểu chính (chú ý rằng nói chung không thể giải đợc toàn cục, chẳng
hạn đối với phơng trình elliptic ngời ta cũng chỉ có thể giải đợc một cách
địa phơng). Cùng với nhiều công trình trớc đó của L. Hormander[26], Yu.
V. Egorov[18], R. Beals, C. Fefferman[5], N. Lerner[28], .v.v., gần đây N.
Dencker ([12], [13], [14]) mới giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải đợc
địa phơng cho toán tử GVP kiểu chính. Một kết quả lý thú khác về tính
subelliptic, tính chất nằm giữa elliptic và hyperbolic, là Yu. V. Egorov đã đa
ra đợc điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic. Kết quả này
đợc bắt nguồn từ công trình viết chung với V. A. Kondratiev về bài toán đạo
hàm nghiêng. Khi khảo sát một vài lớp bài toán đạo hàm nghiêng cụ thể bằng
cách chuyển thành toán tử GVP cùng với sự nghiên cứu các kết quả trớc đó
của L. Hormander, Yu. V. Egorov đã tìm ra đợc phép biến đổi chính tắc, rồi
từ đó đi đến điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic.
Bài toán đạo hàm nghiêng, nghĩa là bài toán biên cho phơng trình vi phân
cấp 2, chẳng hạn phơng trình Laplace u = f, với điều kiện biên đạo
hàm nghiêng
u





= g trong miền bị chặn trong không gian có số chiều
không nhỏ hơn 3, với biên trơn , theo Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev

đợc đặt ra bởi H. Poincare. Tuy nhiên, cho đến trớc năm 1963, bài toán
đạo hàm nghiêng chỉ đợc xét khi trờng véc-tơ D

=


không tiếp xúc
10
với biên. Phải đến công trình [6] của A. V. Bisadze, năm 1963, bài toán
đạo hàm nghiêng mới đợc xét khi trờng véc-tơ D

tiếp xúc với biên, cụ
thể A. V. Bisadze xét bài toán biên cho phơng trình Laplace trong hình cầu
B = {(x
1
,x
2
,x
3
) R
3
| x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3

1} trong không gian 3 chiều với
điều kiện biên trên mặt cầu S = {(x
1
,x
2
,x
3
) R
3
| x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
=1}
(x
1
a)
u
x
1
+ x
2
u
x
2

+ x
3
u
x
3
= g,
trong đó a R là hằng số.
Khi |a| > 1, trờng véc-tơ

(x
1
a)

x
1
,x
2

x
2
,x
3

x
3

tiếp xúc với biên
trên đờng tròn c = {(x
1
,x

2
,x
3
) S | x
1
=
1
a
,x
2
2
+ x
2
3
=
a
2
1
a
2
} trên mặt
cầu S. Để thuận tiện cho việc phát biểu sau này, chúng tôi gọi bài toán đạo
hàm nghiêng mà trờng véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên là bài toán
đạo hàm nghiêng không cổ điển phân biệt với các bài toán đạo hàm nghiêng
đợc trớc năm 1963. Việc nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ
điển gặp nhiều khó khăn. Một trong những khó khăn là loại bài toán đạo hàm
nghiêng không cổ điển này không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski
nh các bài toán biên Dirichlet, Neuman hay các bài toán đạo hàm nghiêng
cổ điển. Chúng tôi cũng xin đợc gọi bài toán biên không thỏa mãn Điều
kiện Shapiro- Lopatinski là bài toán biên không cổ điển để phân biệt với bài

toán biên thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski. Sau công trình [6], A. V.
Bisadze và nhiều tác giả khác nh R. Borrelli, L. Hormander, Yu. V. Egorov,
V. A. Kondratiev, M. B. Malyutov, V. G. Mazya, Nguyễn Minh Chơng,
Lê Quang Trung, .v.v. , cũng có những kết quả lý thú về bài toán đạo hàm
nghiêng không cổ điển. Một trong các kết quả lý thú là công trình [17] của
Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev. Trong công trình [17], Yu. V. Egorov- V.
A. Kondratiev đã giải quyết khá trọn vẹn bài toán đạo hàm nghiêng không cổ
điển, cụ thể là bài toán biên cho phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2
trong miền bị chặn trong không gian với số chiều lớn hơn 2, với điều kiện
biên đạo hàm nghiêng D

u = g trên biên trơn , khi trờng véc-tơ D

tiếp
11
xúc với biên tại những điểm thuộc đa tạp con trơn (n 2) chiều
0
của
biên . Để giải quyết bài toán này, các tác giả đã phân
0
thành ba loại, tùy
theo hình dáng của nó đối với trờng véc-tơ D

, và tập trung vào nghiên cứu
bài toán xung quanh
0
bằng cách sử dụng một phân hoạch đơn vị đặc biệt.
Gần đây, các tác giả A. Maugeri , D. K. Palagachev, C. Vitanza, trong công
trình [30], L. Softova [36], [37] đã giải quyết đợc bài toán đạo hàm nghiêng
không cổ điển khi trờng véc-tơ D

tiếp xúc với biên trên một tập con của
biên. Bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển đợc nghiên cứu theo nhiều
cách cho nhiều loại phơng trình khác nhau, trong [17], Yu. V. Egorov, V. A.
Kondratiev nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phơng trình vi phân
elliptic tuyến tính cấp 2, trong [19] Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng
nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển cho phơng trình vi phân
parabolic tuyến tính cấp 2, trong [20] Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng
nghiên cứu bài toán biên không cổ điển trong không gian Sobolev cấp biến
thiên, trong [39] Lê Quang Trung nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho
phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic cấp cao, trong [21] Yu. V. Egorov,
Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho phơng
trình vi tích phân kỳ dị elliptic nửa tuyến tính cấp cao. Đợc sự gợi ý của Giáo
s Nguyễn Minh Chơng, tác giả nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho
phơng trình GVP cấp cao trong không gian kiểu Sobolev H
,p
, 1 <p<.
Luận án này bao gồm các kết quả mà tác giả đã đạt đợc đối với các bài toán
biên cổ điển và không cổ điển cho phơng trình GVP elliptic, parabolic cấp
cao tuyến tính, nửa tuyến tính trong không gian H
,p
, 1 <p<.
Luận án đợc chia thành bốn chơng chính nh sau.
Chơng 1. Tổng quan
Chơng 2. Bài toán biên cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic
Chơng 3. Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic
Chơng 4. Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình parabolic
12
Trong Chơng 1, chúng tôi trình bày tổng quan về các kết quả cho bài toán
biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic và bài toán biên cổ điển đối

với phơng trình parabolic. Về bài toán biên không cổ điển đối với phơng
trình elliptic, các kết quả đa ra ở đây đợc lấy từ bài báo [17] của các tác giả
Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev và các kết quả gần đây trong bài báo [30]
của các tác giả A. Maugeri , D. K. Palagachev, C. Vitanza. Ngoài ra, chúng
tôi cũng điểm qua các kết quả mà chúng tôi đợc biết. Về bài toán biên cổ
điển đối với phơng trình parabolic, các kết quả đa ra ở đây đợc lấy từ bài
báo [4] của các tác giả M. S. Agranovich, M. I. Vishik và chúng tôi cũng
điểm qua các kết quả mà chúng tôi đợc biết, chẳng hạn các kết quả gần đây
của L. Softova ([36]).
Trong Chơng 2, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên cổ điển đối
với phơng trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong không gian
Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với bài toán biên elliptic tuyến
tính, tính giải đợc đã đợc giải quyết trọn vẹn từ những năm 60 của thế kỷ
20. Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý là thứ nhất để bài toán giải đợc thì vế
phải cần phải thỏa mãn một số hữu hạn điều kiện (nghĩa là toán tử ứng với
bài toán biên không là toàn ánh), thứ hai nếu bài toán giải đợc thì số nghiệm
của bài toán có thể nhiều hơn một (nghĩa là toán tử ứng với bài toán biên
không là đơn ánh). Khi đó, việc sử dụng phơng pháp tuyến tính hóa để giải
quyết bài toán nửa tuyến tính sẽ gặp nhiều trở ngại. Chúng tôi đã sử dụng
phơng pháp tham biến lớn để giải quyết trở ngại này, cụ thể là trong không
gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến phức q, khi |q| đủ lớn với mọi vế
phải nằm trong không gian Sobolev thích hợp bài toán cổ điển đối với phơng
trình GVP elliptic tuyến tính có duy nhất nghiệm. Từ đó, bằng phơng pháp
tuyến tính hóa chúng tôi có kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán
nửa tuyến tính.
Trong Chơng 3, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ
điển đối với phơng trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong
13
không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với bài toán biên
không cổ điển, bài toán biên không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski

kiểu Egorov- Kondratiev, ta chỉ có đánh giá subelliptic mà không thể có đánh
giá kiểu elliptic, nghĩa là đánh giá có dạng sau
||u||
,p,
C(||Uu||
+,p,,
+ ||u||
0,p,
)
trong đó, U là toán tử ứng với bài toán biên, còn 0 <.Nếu U là toán tử ứng
với bài toán biên elliptic thì ta có đánh giá với =0. Do vậy, để nghiên cứu
bài toán biên không cổ điển chúng tôi xây dựng một lớp không gian mới kiểu
Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến. Với lớp không gian kiểu Sobolev này
chúng tôi đã có đợc các kết quả về Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho
một số lớp bài toán biên không cổ điển tuyến tính. Từ đó, chúng tôi cũng có
những kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán nửa tuyến tính.
Trong Chơng 4, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ
điển đối với phơng trình GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính trong
không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Có nhiều cách để tiếp
cận bài toán biên parabolic. Thông thờng, ta tiếp cận bài toán biên parabolic
từ bài toán biên elliptic tơng ứng bằng một cách thích hợp. Chẳng hạn, bằng
phơng pháp nửa nhóm ta chuyển bài toán biên parabolic dạng
u
t
= Au,
trong đó A là toán tử elliptic, về việc nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi toán tử
elliptic A. Để nghiên cứu nửa nhóm này ngời ta nghiên cứu toán tử elliptic
A. Trong luận án này, chúng tôi dùng phơng pháp sử dụng phép biến đổi
Laplace để đa bài toán biên không cổ điển parabolic về bài toán biên không
cổ điển elliptic. Từ việc nghiên cứu bài toán biên cổ điển và không cổ điển

cho phơng trình elliptic ở các Chơng trớc, chúng tôi thu đợc các kết quả
cho bài toán biên không cổ điển parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính. Phép
biến đổi Laplace từ lâu đã chứng tỏ là công cụ hữu hiệu để giải bài toán
parabolic. Kết quả của Chơng này càng chứng tỏ sự hiệu quả phép biến đổi
Laplace trong việc nghiên cứu bài toán parabolic.
14
Chơng 1
Tổng quan
Các bài toán biên dới đây đợc xét trong một tập mở, bị chặn, liên thông
với biên trơn, trong không gian R
n
với số chiều n 2.
1.1 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển đối với phơng trình
vi phân elliptic
Bài toán biên đối với phơng trình tuyến tính elliptic cấp 2 với điều kiện biên
u

= g, ở đây trờng véc-tơ D

=


đợc xác định trơn trên lân cận của
biên , đợc đặt ra bởi Henri Poincare. Bài toán biên này thoả mãn điều
kiện Shapiro- Lopatinski khi và chỉ khi hoặc số chiều của không gian n =2,
hoặc trờng véc-tơ D

không tiếp xúc với biên . Đã có rất nhiều công
trình nghiên cứu bài toán trên trong trờng hợp n 3 và trờng véc-tơ D

tiếp xúc với biên tại một phần của biên . Chúng tôi xin đợc gọi lớp bài
biên trong trờng hợp n 3 và trờng véc-tơ D

tiếp xúc với biên tại một
phần của biên là bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển. Công trình của
Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev [17] đã giải quyết tơng đối hoàn chỉnh bài
toán đạo hàm nghiêng không cổ điển cho phơng trình tuyến tính elliptic cấp
2 trong một tập mở, bị chặn với biên trơn, trong không gian R
n
có số
chiều n 3, khi trờng véc-tơ D

tiếp xúc với biên tại những điểm thuộc
một đa tạp con trơn, (n 2)chiều
0
của biên nhng không tiếp xúc với
15

0
. Dới đây, chúng tôi xin đợc trình bày một số kết quả chính trong công
trình [17].
Để giải quyết bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển này, trớc tiên Yu. V.
Egorov- V. A. Kondratiev chia
0
thành ba lớp tuỳ theo trờng véc-tơ D

và
trờng véc-tơ pháp tuyến trong, đơn vị của biên nh sau. Giả thiết thêm
rằng
0

liên thông và tại mỗi điểm của
0
có một lân cận trên biên mà
0
chia lân cận đó thành hai tập liên thông. Lấy P là một điểm của
0
.
(i) Điểm P thuộc lớp I nếu trong một lân cận nào đó trên biên của điểm
P tích vô hớng , chuyển từ dấu dơng sang dấu âm khi đi qua P
theo hớng vectơ .
(ii) Điểm P thuộc lớp II nếu trong một lân cận nào đó trên biên của điểm
P tích vô hớng , chuyển từ dấu âm sang dấu dơng khi đi qua P
theo hớng vectơ .
(iii) Điểm P thuộc lớp III nếu trong một lân cận nào đó trên biên của
điểm P tích vô hớng , không đổi dấu khi đi qua P theo hớng
vectơ .
Do trờng véc-tơ D

chỉ tiếp xúc với biên tại những điểm thuộc
0
, hay
tích vô hớng , khác 0 tại mọi điểm không thuộc
0
nên nếu trên
0
có
một điểm thuộc lớp I (II hay III) thì mọi điểm còn lại của
0
cũng thuộc lớp I
(II hay III, một cách tơng ứng). Ta nói rằng

0
thuộc lớp I (II hay III) nếu
mọi điểm của
0
thuộc lớp I (II hay III, một cách tơng ứng).
Với cách phân loại nh vậy, Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev đã đạt đợc
các kết quả sau cho bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển
Lu =
n

j,k=1
a
j,k
(x)

2
u
x
j
x
k
+
n

j=1
a
j
(x)
u
x

j
+ a(x)u = f trong , (1.1)
u





= g, (1.2)
16
trong đó a
j,k
(x),a
j
(x),a(x) là các hàm đủ trơn xác định trên và
C
1
||||
2

n

j,k=1
a
j,k
(x)
j

k
C||||

2
, 0 <C<1( là hằng số ), x .
Khi
0
thuộc lớp I, ta cần thêm điều kiện
u|

0
= u
0
. (1.3)
Định lý 1.1.1 (Định lý về ớc lợng tiên nghiệm). Giả sử
0
thuộc lớp I,
một số thực s>1. Khi đó, nếu u H
s+1
() thì ta có đánh giá
||u||
H
s
()
C

||Lu||
H
s1
()
+ ||
u

||
H
s
1
2
()
+ ||u|

0
||
H
s
1
2
(
0
)
+ ||u||
H
0
()

(1.4)
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u.
Đánh giá (1.4) là tốt nhất theo nghĩa không có số >0,C >0 nào để với
mọi u H

s+1
() có
||u||
H
s+
()
C

||Lu||
H
s1
()
+ ||
u





||
H
s
1
2
()
+ ||u|

0
||
H

s
1
2
(
0
)
+ ||u||
H
0
()

. (1.5)
Chẳng hạn, ta xét ví dụ dới đây.
Ví dụ 1.1.2. Trong R
3
, với p N, chọn ={x =(x
1
,x
2
,x
3
) R
3
| x
2
1
+
x
2
2

+ x
2p
3
< 1} với biên ={x =(x
1
,x
2
,x
3
) R
3
| x
2
1
+ x
2
2
+ x
2p
3
=1},

0
= {(x
1
,x
2
, 0) | x
2
1

+ x
2
2
=1} và trờng véc-tơ D

là trờng véc-tơ đơn vị
cùng hớng với trục 0x
3
.
Dãy hàm u
k
(x)=(x
1
+ ix
2
)
k
x
3
thỏa mãn
u
k
=0,
u
x
3

=(x
1
+ ix
2
)
k
,u
k
|

0
=0.
Bằng tính toán Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev đã ớc lợng đợc nh sau
||u
k
||
H
s+
()
C
1
k
s+
1
2

3
4p
, ||
u

k
x
3




||
H
s
1
2
()
C
2
k
s
1
2

1
4p
,
17
||u
k
||
H
0
()

C
3
k

1
2

3
4p
.
Khi đó với >0,C >0 cho trớc, nếu chọn p N đủ lớn để >
1
2p
và k đủ
lớn thì ta không có đánh giá (1.5) cho u
k
và L =.
Định lý 1.1.3 (Định lý về độ trơn). Giả sử
0
thuộc lớp I, một số s>0.
Nếu u H
s
(),Lu H
s
(),
u

H
s+
1
2
(),u|

0
H
s+
1
2
(
0
) thì
u H
s+1
().
Định lý 1.1.4 (Định lý về sự tồn tại nghiệm). Giả sử
0
thuộc lớp I, một số s>
1. Cho f H
s1
(),g H
s
1
2
(),u
0
H

s
1
2
(
0
). Khi đó có một không
gian con hữu hạn chiều của không gian tích H
s1
()ìH
s
1
2
()ìH
s
1
2
(
0
)
sao cho nếu (f,g,u
0
) trực giao với không gian đó thì bài toán biên (1.1)(1.3)
có nghiệm u H
s
().
Khi
0
thuộc lớp II thì Định lý về sự tồn tại nghiệm không đợc thiết lập
mà chỉ có Định lý về ớc lợng tiên nghiệm và Định lý về độ trơn.
Định lý 1.1.5 (Định lý về ớc lợng tiên nghiệm). Giả sử

0
thuộc lớp II,
một số thực s>1. Khi đó nếu u H
s
() thì ta có đánh giá
||u||
H
s
()
C

||Lu||
H
s1
()
+ ||
u





||
H
s
1
2
()
+ ||u||
H

0
()

(1.6)
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u.
Đánh giá (1.6) là tốt nhất theo nghĩa không có số >0,C >0 nào để với
mọi u H
s+1
() có
||u||
H
s+
()
C

||Lu||
H
s1
()
+ ||
u





||
H
s
1

2
()
+ ||u||
H
0
()

. (1.7)
Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.6. Trong R
3
, với p là số lẻ, chọn là giao của một lân cận của gốc
toạ độ và nửa không gian x
3
> 0,
0
= {x =(x
1
,x
2
,x
3
) | x
1
= x
3
=0},
trờng véc-tơ D

đợc xác định nh sau: tại mỗi điểm x =(x

1
,x
2
,x
3
) có
18
D

(x)=


x
1
, 0,x
p
1

x
3

.
Chọn hàm C

(R) mà (r)=1khi r
1
2
và (r)=0khi r 1. Xét
dãy hàm u
k

(x)=e
(ix
2
x
3
)k
(rk
1
p+1
), trong đó r =(x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
)
1
2
, thỏa mãn
u
k
= e
(ix
2
x
3
)k

+2ik

x
2
2k

x
3

, với (x)=(rk
1
p
+1
),
u
k




x
3
=0
=

x
p
1
u

k
x
3
+
u
k
x
1




x
3
=0
= kx
p
1
e
ix
2
k
(rk
1
p+1
)+e
ix
2
k
x

1
(x
2
1
+ x
2
2
)
1
2


(rk
1
p+1
).
Bằng tính toán Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev đã ớc lợng đợc
||u
k
||
H
s+
()
C
1
k
s+
1
2

1
p+1
, ||u
k
||
H
0
()
C
2
k

1
2

1
p+1
,
||u
k
||
H
s1
()
C
4
k
s
1
2

, ||
u
k





||
H
s
1
2
()
C
3
k
s
1
2
.
Khi đó với >0,C >0 cho trớc, chọn số lẻ p đủ lớn để >
1
p+1
và k đủ
lớn thì ta không có đánh giá (1.7) cho u
k
và L =.
Định lý 1.1.7 (Định lý về độ trơn). Giả sử
0

thuộc lớp II, một số s>0.
Nếu u H
s
(),Lu H
s
(),
u





H
s+
1
2
() thì u H
s+1
().
Khi
0
thuộc lớp III, bằng phơng pháp tham biến lớn Yu. V. Egorov- V.
A. Kondratiev đã thiết lập đợc các Định lý về ớc lợng tiên nghiệm, Định
lý về độ trơn, Định lý về sự tồn tại nghiệm.
Định lý 1.1.8 (Định lý về ớc lợng tiên nghiệm). Giả sử
0
thuộc lớp III,
một số s>1. Nếu u H
s
() thì ta có đánh giá

||u||
H
s
()
C

||Lu||
H
s1
()
+ ||
u





||
H
s
1
2
()
+ ||u||
H
0
()

(1.8)
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u.

Đánh giá (1.8) là tốt nhất theo nghĩa không có số >0,C >0 nào để với
mọi u H
s+1
() có
||u||
H
s+
()
C

||Lu||
H
s1
()
+ ||
u





||
H
s
1
2
()
+ ||u||
H
0

()

. (1.9)
Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau.
19
Ví dụ 1.1.9. Trong R
3
, với p là số chẵn, chọn là giao của một lân cận của
gốc toạ độ và nửa không gian x
3
> 0,
0
= {x =(x
1
,x
2
,x
3
) |x
1
= x
3
=0},
trờng véc-tơ D

đợc xác định nh sau: tại mỗi điểm x =(x
1
,x
2
,x

3
) có
D

(x)=


x
1
, 0,x
p
1

x
3

.
Chọn hàm C

(R) mà (r)=1khi r
1
2
và (r)=0khi r 1. Xét
dãy hàm u
k
(x)=e
(ix
2
x
3

)k
(rk
1
p+1
), trong đó r =(x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
)
1
2
, thỏa mãn
u
k
= e
(ix
2
x
3
)k

+2ik

x
2

2k

x
3

, với (x)=(rk
1
p+1
),
u
k




x
3
=0
=

x
p
1
u
k
x
3
+
u
k

x
1




x
3
=0
= kx
p
1
e
ix
2
k
(rk
1
p+1
)+e
ix
2
k
x
1
(x
2
1
+ x
2

2
)
1
2


(rk
1
p+1
).
Bằng tính toán Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev đã ớc lợng đợc
||u
k
||
H
s+
()
C
1
k
s+
1
2

1
p+1
, ||u
k
||
H

0
()
C
2
k

1
2

1
p+1
,
||u
k
||
H
s1
()
C
4
k
s
1
2
, ||
u
k

||
H
s
1
2
()
C
3
k
s
1
2
.
Khi đó với >0,C >0 cho trớc, chọn số chẵn p đủ lớn để >
1
p+1
và k đủ
lớn thì ta không có đánh giá (1.9) cho u
k
và L =.
Định lý 1.1.10 (Định lý về độ trơn). Giả sử
0
thuộc lớp III, một số s>0.
Nếu u H
s
(),Lu H
s
(),

u





H
s+
1
2
() thì u H
s+1
().
Định lý 1.1.11 (Định lý về sự tồn tại nghiệm). Giả sử
0
thuộc lớp III,
một số s>1. Cho f H
s1
(),g H
s
1
2
(). Khi đó có một không gian
con hữu hạn chiều của không gian tích H
s1
() ì H
s
1
2
() sao cho nếu

(f,g) trực giao với không gian đó thì bài toán biên (1.1) (1.2) có nghiệm
u H
s
().
Khi
0
thuộc lớp I, trong công trình [20], Yu. V. Egorov- Nguyễn Minh
Chơng đã đạt đợc kết quả tơng ứng cho bài toán đạo hàm nghiêng không
cổ điển cho phơng trình vi phân elliptic cấp 2 trong không gian Sobolev với
cấp biến thiên, trong công trình [39], Lê Quang Trung đã đạt đợc các kết
20
quả tơng ứng cho bài toán biên không cổ điển cho phơng trình vi-tích phân
kỳ dị tuyến tính elliptic cấp cao.
Gần đây, trong công trình [30], A. Maugeri, D. K. Palagachev, C. Vitanza
nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng trên tập mở. bị chặn, liên thông
R
n
(n 3) với biên đủ trơn sau
Lu =
n

j,k=1
a
j,k
(x)

2
u
x
j

x
k
= f h.k.n trong , (1.10)
u





+ (x)u = g, (1.11)
trong đó a
j,k
C
0,1
(),
j
(x),(x) C
1,1
(),(x) > 0,
C
1
||||
2

n

j,k=1
a
j,k
(x)

j

k
C||||
2
, 0 <C<1( là hằng số ), x ,
(x),(x) =
n

j=1

j
(x)
j
(x) 0, x ,
E = {x |n(x),(x) =0}= .
Trong trờng hợp E là đa tạp con trơn, (n 2)chiều của biên thì trùng
với trờng
0
thuộc lớp III theo cách phân loại của Yu. V. Egorov- V.A.
Kondratiev. Trong công trình [30], A. Maugeri, D. K. Palagachev, C. Vitanza
chỉ đòi hỏi các đờng cong tích phân của trờng véc-tơ D

(x) trên tập E là
không đóng và có độ dài hữu hạn. Khi E là đa tạp (n 2)chiều thì đòi hỏi
này đợc thoả mãn. Với các giả thiết trên, A. Maugeri, D. K. Palagachev, C.
Vitanza đã đạt đợc kết quả sau.
Định lý 1.1.12 (Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm). Cho f
W
1,p

(), W
2
1
p
,p
() với p>
n
2
. Khi đó bài toán biên (1.10) (1.11)
có nghiệm u W
2,p
() và có đánh giá
||u||
W
2,p
()
C

1+||f||
W
1,p
()
+ ||g||
W
2
1
p
,p
()

,
trong đó C là hằng số phụ thuộc n, (x),p,,a
j,k
,.
Nếu p>nthì nghiệm u W
2,p
() là duy nhất.
21
Bằng phơng pháp tham biến lớn, trong công trình [21], Yu. V. Egorov-
Nguyễn Minh Chơng đã nghiên cứu bài toán biên không cổ điển nửa tuyến
tính cho phơng trình vi-tích phân kỳ dị.
1.2 Bài toán biên cổ điển đối với phơng trình parabolic
Có nhiều cách để tiếp cận bài toán biên cổ điển đối với phơng trình parabolic.
Ta có thể tiếp cận từ cách nhìn của phơng trình vi phân thờng bằng lý
thuyết nửa nhóm. Chẳng hạn, khi xét bài toán biên đối với phơng trình
u(x, t)
t
u(x, t)=f(x, t) thì ta nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi toán tử
Laplace . Ngoài ra, ta còn có thể tiếp cận bằng nhiều cách khác, chẳng hạn
bằng lý thuyết tích phân kỳ dị (xem [24]). Dới đây, chúng tôi xin đợc trình
bày cách tiếp cận của M. I. Vishik- M. S. Agranovich trong công trình [4].
Trong công trình này, bằng cách dùng phép biến đổi Laplace, M. I. Vishik-
M. S. Agranovich đã giải đợc một lớp các bài toán biên cho phơng trình
parabolic dạng suy rộng trên tập mở, bị chặn trong R
n
với biên trơn sau
A(x, D
x
,

t
)u(x, t)=f(x, t),x ,t>0, (1.12)
B
j
(x, D
x
,

t
)u(x, t)



x=x

= g
j
(x

,t),x

,t>0,j =1, ,s, (1.13)

k
u(x, t)
t
k

t=0
=0,x ,k =0, ,
2s

1, (1.14)
trong đó số tự nhiên là ớc của 2s, toán tử A(x, D
x
,

t
),B
j
(x, D
x
,

t
) là
các toán tử vi phân cấp 2s, m
j
với hệ số a
k
(x),b
jk
(x) trơn vô hạn (tơng
ứng), có dạng sau
A(x, D
x
,

t
)=

||+2s
a

(x)D

x


t

,
B
j
(x, D
x
,

t
)=

||+km
j
b
jk
(x)D

x

k
t
k
thoả mãn điều kiện elliptic sau
22
(i) toán tử A(x, D
x
,q) là elliptic, nghĩa là
A
0
(x,,q)=

||+k=2s
a
k
(x)

q
k
=0, x , ||||+ |q|=0,
(ii) tại mỗi x

, toán tử U(x

,D
x
,q)=(A(x

,D

x
,q),B
j
(x

,D
x
,q)|

)
thoả mãn điều kiện Shapiro-Lopatinski, nghĩa là trong một hệ toạ độ lân cận
của x
0
,ởđóx

trở thành gốc toạ độ 0, biên trở thành siêu phẳng x
n
=0
và pháp tuyến trong của biên trở thành trục Ox
n
, bài toán Cauchy
A
0
(0,

,
d
dx
n
,q)v(x

n
)=

||+=2s
a

(0)


q

d

n
v(x
n
)
dx

n
n
=0,x
n
> 0,
B
0j
(0,

,
d

dx
n
,q)v(x
n
)



x
n
=0
=

||+k=m
j
b
jk
(0)


q
k
d

n
v(x
n
)
dx

n
n



x
n
=0
= h
j
,
khi ||

|| + |q|=0, chỉ có duy nhất một nghiệm trong không gian các
nghiệm ổn định (tiến về 0 khi x
n
tiến ra vô cùng) của phơng trình
A
0
(0,

,
d
dx
n
,q)v(x
n
)=0.
Ví dụ 1.2.1. Trờng hợp bài toán biên parabolic sau
u(x, t)

t
=u(x, t),x ,t>0,
u(x, t)|
x=x

= g(x

,t),x

,t >0,
u(x, 0) = 0,x
là trờng hợp đặc biệt của bài toán biên đợc xét ở trên với
=2, 2s =2,m
1
=0,A(x, D
x
,

t
)=

t
,B
1
(x, D
x
,

t
)=1,

Bằng phép biến đổi Laplace, với điều kiện ban đầu (1.14), bài toán biên
parabolic (1.12) (1.13) trở thành bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộc
tham biến q
A(x, D
x
,q)U(x, q)=Lf(x, q),x , (1.15)
B
j
(x, D
x
,q)U(x, q)|
x=x

= Lg
j
(x

,q),x

. (1.16)
23
Nếu ta xây dựng đợc các không gian nghiệm cho bài toán biên parabolic
(1.12) (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14), và bài toán biên elliptic với hệ
số phụ thuộc tham số (1.15) (1.16) sao cho phép biến đổi Laplace trở thành
một đẳng cấu đẳng cự giữa không gian nghiệm của bài toán biên parabolic và
elliptic thì
nếu u là nghiệm của bài toán biên parabolic (1.12) (1.13) với điều kiện
ban đầu (1.14)thì biến đổi Laplace Lu của u là nghiệm của bài toán biên
elliptic với hệ số phụ thuộc tham số (1.15) (1.16),
nếu U là nghiệm của bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộc tham số

(1.15) (1.16) thì L
1
U thoả mãn điều kiện ban đầu (1.14) và do
L

A(x, D
x
,

t
)(L
1
U)

= A(x, D
x
,q)U = Lf trong ,
L

B
j
(x, D
x
,

t
)(L
1
U)

= B
j
(x, D
x
,q)U



= Lg
j
,j =1, ,s,
nên
A(x, D
x
,

t
)(L
1
U)=f trong ,t >0,
B
j
(x, D
x
,

t

)(L
1
U)



= g
j
,t>0,j =1, ,s,
hay L
1
U là nghiệm của bài toán biên parabolic (1.12)(1.13) với điều
kiện ban đầu (1.14).
Nh vậy, để giải bài toán biên parabolic (1.12) (1.13) với điều kiện ban đầu
(1.14) M. I. Vishik- M. S. Argranovich đã làm các bớc sau
xây dựng các không gian nghiệm cho bài toán biên parabolic (1.12)
(1.13) với điều kiện ban đầu (1.14) và bài toán biên elliptic với hệ số phụ
thuộc tham số (1.15) (1.16),
giải bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộc tham số (1.15) (1.16).
Trớc hết, ta đi xây dựng các không gian nghiệm.
Cho à 0. Với mỗi R, không gian P

(e
àt
) là không gian bao gồm các
hàm xác định trên nửa trục t 0 mà
24
(i) e
àt
u(t) H

(R
+
),
(ii) nếu thác triển hàm u(t) lên toàn trục số R bằng cách cho u(t)=0khi
t<0 thì e
àt
u(t) H

(R),
với chuẩn ||u||
P

(e
àt
)
= ||e
àt
u(t)||
H

(R
+
)
.
Nhận xét 1.2.2. a. Nếu u P

(R
+
) thì

k
u
t
k



t=0
=0,k =0, 1, ,[].
b. Không gian P

(R
+
) là không gian đầy đủ, tập C

0
(R
+
) trù mật trong
P

(R
+
).
Cho à 0, 0. Không gian E

(à) là không gian bao gồm các hàm
U(q)=U( + i ) là hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng phức q>àsao
cho chuẩn

||U(q)||
E

(à)
= sup
>à

R

|U( + i )|
2
| + i|
2
d < +.
Mệnh đề 1.2.3. Cho à>0. Phép biến đổi Laplace là phép đẳng cấu giữa
không gian P

(e
àt
) và không gian E

(à).
Cho là số nguyên dơng, à là số thực không âm. Với mỗi số nguyên
dơng , không gian P
,


(e
àt
, ì (0, +)) là không gian bao gồm các

hàm u(x, t) xác định trên nửa trụ vô hạn ì (0, +) sao cho
(i) với hầu hết x hàm u(x ) P


(e
àt
),
(ii) với hầu hết t>0 hàm u(., t) H
l
(),
(iii) chuẩn
||u||
P
,


(e
àt
,ì(0,+))
=

+
0
||e
àt
u(., t)||
H
l
()
dt

+


||e
àt
u(x, .)||
H


(R
+
)
dx
là hữu hạn.
25
Nhận xét 1.2.4. a. Nếu u P
,


(e
àt
, ì (0, +)) thì

k
u
t
k

t=0
=0,k =
0, 1, ,




.
b. Không gian P
,


(e
àt
, ì (0, +)) là không gian đầy đủ, tập C

0
( ì
(0, +)) trù mật trong P

(R
+
).
Cho số nguyên không âm và số thực không âm à. Không gian E
,


(à, ) là
không gian bao gồm các hàm U(x, q) xác định trên tập ì{q C |q>à}
sao cho

(i) với mọi q,q>àvà hầu hết q, q = à hàm U(., q) H

(),
(ii) với hầu hết x hàm u(x ) E

(à), và các đạo hàm suy rộng
D

x
U(x, .) E
0
(à), ||,
(iii) chuẩn
||U(x, q)||
E
,


(à,)
=


=à

||U(., + i )||
2
H

()
+ | + i|

2

||U(., + i )||
2
H
0
()

d

1
2
là hữu hạn.
Các không gian P
,


(e
àt
,ì(0, +)),E
,


(à, ) đợc định nghĩa tơng
tự.
Ký hiệu, với
0
= max{2s, m
1
+1, ,m

s
+1},
(i)
P
,


(e
àt
, ì(0, +), ì (0, +)) =
= P
2s,
2s

(e
àt
, ì(0, +))
ì
s

j=1
P
m
j

1
2
,
m
j

1
2

(e
àt
, ì (0, +)),
(ii) E
,


(à, ,) = E
2s,
2s

(à, ) ì
s
j=1
E
m
j

1
2
,
m
j

1
2

(à, ).
26
Định lý 1.2.5. Cho
0
. Phép biến đổi Laplace là phép đẳng cấu giữa các
cặp không gian sau
(i) P
,


(e
àt
, ì (0, +)) và E
,


(à, ),
(ii) P
,


(e
àt
, ì(0, +), ì (0, +)) và E
,


(à, ,).
Để nghiên cứu bài toán biên ellipticvới hệ số phụ thuộc tham số (1.15)(1.16)

trên không gian nghiệm E
,


(à) trớc tiên ta xem xét nó trên không gian
Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến.
Với q C, q 0,
0
, trên không gian Sobolev H

() trang bị chuẩn
mới phụ thuộc tham biến q
||U||
,q,
=(||U||
2
H

()
+ |q|
2

||U||
2
H
0
()
)
1
2

.
Tơng tự, trên không gian H

(,) = H
2s
() ì
s
j=1
H
m
j

1
2
() ta
cũng trang bị chuẩn phụ thuộc tham biến ||(f,g)||
,q,,
.
Nhận xét 1.2.6. Nếu U E
,


(à, ) thì U H

() với hầu hết q à và
||U||
E
,

(à,)
=


=à
||U||
2
,+i,
d

1
2
.
Tơng tự với không gian E
,


(à, ,).
Định lý 1.2.7. Cho
0
. Khi |q| đủ lớn, với mỗi (F, G) H

(,) bài
toán biên (1.15) (1.16) có duy nhất nghiệm U H

(). Hơn nữa, ta có
đánh giá
C||U||
,q,
||(F, G)||

,q,,
C
1
||U||
,q,
trong đó hằng số 0 <C<1 không phụ thuộc các hàm và tham biến q.
Từ Nhận xét 1.2.6 và Định lý 1.2.7 ta có Định lý về sự tồn tại duy nhất
nghiệm cho bài toán biên (1.15) (1.16) trong không gian nghiệm E
,


(à).
27
Định lý 1.2.8. Cho
0
. Khi à đủ lớn, với mỗi (F, G) E
,


(à, ,)
bài toán biên (1.15) (1.16) có duy nhất nghiệm U E
,


(à, ). Hơn nữa,
ta có đánh giá
C||U||
E
,

(à,)
||(F, G)||
E
,


(à,,)
C
1
||U||
E
,


(à,)
trong đó hằng số 0 <C<1 không phụ thuộc các hàm và tham biến q.
Từ Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên elliptic với
hệ số phụ thuộc tham số (1.15) (1.16) trên không gian nghiệm E
,


(à) và
Định lý về phép biến đổi Laplace là đẳng cấu giữa các không gian P
,


(e
àt
)

và E
,


(à), Nhận xét 1.2.4 ta có Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm của
bài toán biên parabolic (1.12) (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14).
Định lý 1.2.9. Cho
0
. Khi à đủ lớn, với mỗi (f,g) P
,


(e
àt
, ì
(0, +), ì (0, +)) bài toán biên (1.12) (1.13) có duy nhất nghiệm
u P
,


(e
àt
, ì(0, +)). Hơn nữa, ta có đánh giá
C||u||
P
,


(e
àt

,ì(0,+))
||(f, g)||
P
,


(e
àt
,ì(0,+),ì(0,+))
C
1
||u||
P
,


(e
àt
,ì(0,+))
,
trong đó hằng số 0 <C<1 không phụ thuộc các hàm.
Trong công trình [4], ngoài các kết quả trên, M. I. Vishik- M. S. Agranovich
còn đạt đợc Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên parabolic
(1.12) (1.13) với điều kiện ban đầu không thuần nhất. Trong công trình
[9], GS. Nguyễn Minh Chơng, cũng bằng phơng pháp biến đổi Laplace, đã
đạt đợc Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên cho phơng
trình vi phân parabolic cấp 2 với điều kiện biên không liên tục, còn trong công
trình [10], Giáo s cũng đã đạt đợc Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm
cho bài toán biên cho phơng trình giả vi phân parabolic cấp biến thiên trong
không gian Sobolev cấp biến thiên.

Bằng cách tiếp cận khác, trong công trình [36], L. Softova đã nghiên cứu bài
28
toán đạo hàm nghiêng parabolic với hệ số VMO,không gian các hàm dao
động trung bình triệt tiêu (vanish mean ocsilation), trong trụ Q
T
=ì(0,T)
có dạng sau
u
t

n

j,k=1
a
j,k
(x)

2
u
x
j
x
k
= f h.k.n trong Q
T
, (1.17)
u(x, 0) = 0,x , (1.18)
u

S
T
=0, (1.19)
trong đó là miền bị chặn với biên thuộc lớp C
1,1
,
S
T
= ì (0,T),a
j,k
VMO(),
j
(x) C
0,1
(),
C
1
||||
2

n

j,k=1
a
j,k
(x)
i

j
C||||
2
, 0 <C<1( là hằng số ), x ,
(x),(x) =
n

j=1

j
(x)
j
(x) <0, x .
Bằng việc sử dụng các toán tử tích phân kỳ dị kiểu Calderon- Zygmund thích
hợp với bài toán, L. Softova đã chứng minh đợc tính duy nhất nghiệm của
bài toán đạo hàm nghiêng (1.17) (1.19) trong không gian kiểu Morrey
W
2,1
p,
(Q
T
) là không gian các hàm u L
p,
(Q
T
) mà các đạo hàm suy rộng

2
u
x

i
x
j
L
p,
(Q
T
),
u
t
L
p,
(Q
T
), i, j =1, 2, ,n,với chuẩn
||u||
W
2,1
p,
(Q
T
)
= ||u||
L
p,
(Q
T
)
+ ||
u

t
||
L
p,
(Q
T
)
+
n

j,k=1
||

2
u
x
j
x
k
||
L
p,
(Q
T
)
,
trong đó L
p,
(Q
T

) là không gian Morrey gồm các hàm f khả tích cấp p địâ
phơng sao cho
||f||
L
p,
(Q
T
)
=

sup
I
1
r


Q
T
I
|f(x, t)|
p
dxdt

1
p
< ,
với sup lấy trên tất cả các hình lập phơng I có độ dài cạnh r>0.
29