ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.09 MB, 41 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN

------

SAVIKA PHOUYMVILAI

ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2019

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

TH.S HOÀNG THỊ HÀ MY

Quảng Nam, tháng 5 năm 2019

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Được sự gợi ý của giảng viên hướng dẫn, sự đồng ý của khoa Tốn, tơi đã thực

hiện đề tài “Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và các phép tốn trên ma trận”.

Để hồn thành được khóa luận này, ngồi sự cố gắng của bản thân, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, lời động viên và ủng hộ từ gia đình, thầy cơ và bạn bè trong suốt thời gian thực hiện.

Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô giáo hướng dẫn, Lãnh đạo Khoa Tốn cùng các thầy cơ trong khoa Toán – những người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho sinh viên có thêm một khoảng thời gian dài hơn để hồn thiện khóa luận của mình.

Mặc dù đã cố gắng và nổ lực rất nhiều trong q trình nghiên cứu bài khóa luận, song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu và còn hạn chế về mặt kiến thức cũng như kinh nghiệm nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự quan tâm và đóng góp quý báu từ q thầy cơ và các bạn để khóa luận của tơi được hồn thiện hơn.

Tơi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Nam, tháng 5 năm 2019.

Sinh viên

Savika Phoumvilai

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

1.1.2. Giải hệ phương trình tuyến tính. ... 3

1.1.3. Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.... 8

1.2. Đa thức xác định đường cong. ... 10

1.3.Chu kỳ của các hành tinh ... 15

1.4. Phân tích lưới (Network analysis). ... 17

Chương II: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ... 23

2.2.2. Sử dụng phép toán ma trận trong lý thuyết mật mã. ... 28

2.2.3. Mơ hình đầu vào- đầu ra (I/O) của Leontief. ... 31

KẾT LUẬN ... 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 36

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài

Tốn học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay. Ở thời đại chúng ta những phát minh mởi mẻ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay tốn học khơng chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hoá học, sinh học và nhiều ngành khoa học xã hội nữa.

Như ta đã biết, nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển toán học. Ngày nay với sự phát triển lớn mạnh của các ngành kinh tế và những nhu cầu về mật mã hóa thơng tin, tốn học cũng có những đóng góp nhất định. Với mong muốn tìm hiểu những ứng dụng thực tế của toán học với vốn kiến thức đã được học trên ghế nhà trường và được sự gợi ý của cô giáo hướng dẫn, em đã chọn đề tài: “ Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và các phép tốn trên ma trận”, để làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệm của mình.

Nội dung chính của khóa luận chia làm hai chương:

Chương I trình bày lại một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình tuyến tính, cách giải một hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong các bài toán về xác định đa thức của một đường cong qua các điểm cố định cho trước, các bài tốn về phân tích mạng lưới điện, mạng lưới phân bố lượng nước.

Chương II trình bày lại một số kiến thức cơ bản của các phép toán trên ma trận cùng các tính chất của nó và ứng dụng của các phép toán trên ma trận trong một số loại bài toán kinh tế và mật mã học.

2. Mục tiêu nghiên cứu

- Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về hệ phương trình tuyến tính và các phép toán trên ma trận.

- Giới thiệu một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính, các phép tốn trên ma trận và hệ thống các ví dụ minh họa cho mỗi ứng dụng.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và các phép tốn trên ma trận.

Phạm vi nghiên cứu: một số bài toán thực tế về kinh tế, mật mã, phân tích mạng lưới, và các bài toán khác ứng dụng trực tiếp của hệ phương trình tuyến tính và các phép tốn trên ma trận.

4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu Phân tích, tổng hợp các kiến thức. Trao đổi, thảo luận với chuyên gia.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

5. Đóng góp của đề tài

Giới thiệu một cách hệ thống, sinh động một số ứng dụng của hệ phương trình

tuyến tính và các phép tốn trên ma trận. 6. Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm phần mở đầu, kết luận và hai chương:

Chương 1: Một số ứng dungjc ủa hệ phương trình tuyến tính Chương 2: Một số ứng dụng của các phép toán trên ma trận.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Chương I: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1. Hệ phương trình tuyến tính

trong đó x1, x2,..., xn là các ẩn;a bij, i thuộc trường số K, với i ∈ {1, 2,..., m}, j ∈ {1, 2,...,

n}.aij được gọi là hệ số của ẩn xj và aijđược gọi là hạng tử tự do. 2) Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số (c1, c2,..., cj ,..., cn) thuộc trường K sao cho khi thay xj = cj thì mọi đẳng thức trong hệ (1) đều là những đẳng thức số đúng. 3) Ma trận 111212122212....

... ... ... ...

nnmmmnaaaaaaAaaa      được gọi là ma trận các hệ số của hệ phương trình. Ma trận 11121121222212....

... .... .... .... ....

được gọi là ma trận bổ sung của hệ phương trình.

4) Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

Ta có thể viết gọn hệ phương trình (1) dưới dạng:

• Nếu coi mỗi cột của ma trận B như một vectơ trong khơng gian Km, chẳng hạn: thì có thể viết hệ (1) dưới dạng:

và gọi đó là dạng vectơ của hệ (1). Như vậy, với ngôn ngữ không gian vectơ giải hệ

phương trình (1) là tìm các hệ số xi ; trong cách biểu diễn tuyến tính β qua hệ vectơ



 1, 2,...,n



.

1.1.2. Giải hệ phương trình tuyến tính. Định lí 1.1:

1) Nếu đổi chỗ phương trình trong một hệ thì được một hệ tương đương với hệ đã cho.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

4 2) Nếu nhân một phương trình với một số khác 0 thì được một hệ tương đương với hệ đã cho.

3) Nếu nhân một phương trình với một sơi khác 0 rồi cộng vào một phương trình trong hệ thì được một hệ tương đương với hệ đã cho.

Ví dụ 1.1. Giải hệ phương trình:

Nhân hai vế của phương trình (4) với - 4 rồi cộng vào phương trình (5) được: {

Từ (6) suy ra x3 = - 2. Thay x3 = - 2 vào phương trình (4) ta tính được x1 = 0. Thay x2= 0, x3 = - 2 vào phương trình (1) ta tìm được x1 = 1. Hệ có nghiệm duy nhất (1, 0, - 2).

 Phương pháp giải trên đây được gọi là phương pháp khử dần ẩn số do K. Gauss đề xuất nên còn gọi là phương pháp Gauss.

Cụ thể, khi thực hiện phương pháp này ta chỉ thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau đây trên các dòng của ma trận bổ sung B của hệ phương trình:

a) Đổi chỗ hai dòng cho nhau.

b) Nhân các thành phần của một dòng với cùng một số khác 0.

c) Nhân các thành phần của một dòng với cùng một số rồi cộng vào một dòng khác. Chẳng hạn, để giải hệ phương trình trong ví dụ 1.1, ta trình bày như sau:

(

)

(Phần của ma trận đứng bên trái gạch thẳng đứng là ma trận A). Nhân dòng thứ nhất

lần lượt với - 2, - 3, rồi lần lượt cộng vào dòng thứ hai và dòng thứ ba:

) Nhân dòng thứ hai với - 4 rồi cộng vào dòng thứ ba:

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Ma trận cuối cùng chính là ma trận bổ sung của hệ phương trình cuối cùng.

Ví dụ 1.2: Giải hệ phương trình:

Giải:

Đổi chỗ dòng thứ nhất và dòng thứ hai cho nhau:

Nhân dòng thứ nhất lần lượt với - 4, - 2, - 4, rồi lần lượt cộng vào các dòng thứ hai, thứ ba, thứ tư:

Nhân dòng thứ ba với - 1 rồi cộng lần lượt vào dòng thứ hai, thứ tư:

Nhân dòng thứ hai với - 5 rồi cộng vào dòng thứ ba:

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

6 Ma trận này là ma trận bổ sung của hệ phương trình:

Rõ ràng mọi nghiệm của hệ ba phương trình đầu của hệ này đều là nghiệm của phương trình cuối cùng. Do đó chỉ cần giải hệ gồm ba phương trình đầu.

Hệ có nghiệm duy nhất: (1, 2, -1).



Ví dụ 1.3. Giải hệ phương trình

Giải:

Đổi chỗ dịng thứ nhất với dòng thứ ba rồi tiếp tục biến đổi ta được:

Ma trận cuối cùng ứng với hệ phương trình:

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Ta lại chỉ cần giải hệ gồm hai phương trình đầu của hệ này. Viết nó dưới dạng:

Nếu cho x3 = c3, x4= c4, với c3, c4 thuộc trường số K thì vế phải của mỗi phương trình

trong hệ này là một số và hệ trở thành một hệ Cramer vì định thức của nó là |

= - 2 ≠ 0. Do đó x1, x2 được xác định duy nhất bởi các đẳng thức: Như vậy hệ phương trình có nghiệm là : Vì c3, c4 có thể nhận giá trị tuỳ ý trong K nên hệ có vơ số nghiệm và nói (*) là nghiệm tổng quát của hệ. Nếu cho c3, c4 một giá trị cụ thể thì ta được một nghiệm riêng của hệ. Chẳng hạn, với c3 = 0, c4 = 1, ta được một nghiệm riêng là (-1, - 2, 0, 1).  Ví dụ 1.4. Giải hệ phương trình: Giải: Bạn đọc hãy tự tìm hiểu những phép biến đổi sau: (

| ) (

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

1.1.3. Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.

Định lý 1.2: Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng (A)=hạng

(B).

Chứng minh 1.2. Ta kí hiệu { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ } là hệ vectơ cột của ma trận A, { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ } là hệ vectơ cột của ma trận bổ sung B của hệ phương trình (1), U là không gian sinh bởi hệ vectơ , W là khơng gian sinh bởi hệ vectơ . Vì ⊂ nên U ⊂ W.

“⇒” Giả sử hệ có nghiệm (c1, c2,...,cn). Khi đó ⃗ = c1⃗⃗⃗⃗ + c2⃗⃗⃗⃗ + ...+ cn⃗⃗⃗⃗ . Điều này có nghĩa là ta đã thêm vào hệ vectơ ⃗ là tổ hợp tuyến tính của hệ để được hệ . Theo mệnh đề mục trên, hạng(A) = hạng( ) = hạng( ) = hạng(B).

“⇐” Giả sử hạng(A) - hạng(B). Thế thì hạng( ) - hạng( ). Suy ra dimU = dimW. Vì U ⊂ W nên theo định lí trên, U = W.

Do đó ⃗ ∈ U. Vì thế tồn tại bộ n số (c1, c2,..., cn) sao cho ⃗ = c1⃗⃗⃗⃗ + c2⃗⃗⃗⃗ + ...+ cn⃗⃗⃗⃗ . Vậy hệ (1) có nghiệm.

Ví dụ 1.2.1. Mọi hệ Cramer đều có định thức |A| ≠ 0. Do đó hạng(a) = n. Ma trận B chỉ

có n dịng và |A| cũng là định thức con cấp cao nhất khác 0 của B. Vì thế hạng(A) = hạng(B). Vậy mọi hệ Cramer đều có nghiệm.

1.1.4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng định thức.

Ta đã biết định thức con cấp cao nhất khác 0 của ma trận A cho ta biết số chiều và cơ sở của không gian sinh bởi hệ vectơ dòng của ma trận A. Giả sử hạng (A)= hạng (B)=r, và khơng làm mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết định thức con cấp cao nhất khác 0 của A và B là:

(2). Mỗi nghiệm của hệ (2) cũng là nghiệm của mỗi phương trình từ thứ r+1 đến thứ m, do đó là nghiệm của hệ (1). Ngược lại, hiển nhiên của mỗi nghiệm của hệ (1) là một nghiệm của hệ (2). Như vậy chỉ cần giải hệ (2). Ta viết nó dưới dạng: {

(3). và gọi các ẩn xr1,...,xn là những ẩn tự do.

Nếu cho xr1 cr1,...,xn cnvới cr1,...,cnK thì các vế phải của r phương trình này

là những hằng số. Vì định thức D0 nên khi đó hệ (3) trở thành một hệ Cramer, ta

tìm được giá trị duy nhất của x1,...,xr, chẳng hạn x1=c1, x2=c2,...,xr=cr. Khi đó (c1,

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

c2,...,cr, cr+1,...,cn) là một nghiệm của hệ (3). Như vậy các giá trị của c1, c2, ... ,cr phụ

thuộc vào n-r tham số cr1,...,cn có thể nhận vơ số giá trị nên hệ phương trình (3) có vơ số nghiệm.

Vậy khi r<n hệ (1) có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n-r tham số.

Nếu coi rằng cr1,...,cn nhận giá trị tuy ý thì nghiệm (c1, c2,...,cr, cr+1,...,cn) được gọi là

nghiệm tổng quát. Nếu cho mỗi cj, j=r+1,...,n, một giá tri xác định thì ta được một

Đó là một hệ cramer vì D0. Áp dụng cơng thức Cramer ta tìm được nghiệm là: (1, -2, 1).  Ví dụ 1.6: Giải và biện luận hệ phương trình: {

Giải:

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

10 |

) có định thức bằng 0 nhưng có định thức con |

| ; còn ma trận bổ sung (

) có định thức cấp ba |

| ; nghĩa là (B)=3 khác hạng (A).

Vậy hệ vô nghiệm.



1.2. Đa thức xác định đường cong.

Trong tốn học, đường cong nói tổng qt là một đối tượng tương tự như đường thẳng nhưng khơng địi hỏi nó phải thẳng. Điều này nói lên là đường thẳng là một trường hợp đặc biệt của đường cong, hay đường cong có độ cong bằng 0. Các đường cong hai chiều (đường cong phẳng) hoặc đường cong ba chiều trong không gian Euclid là những đối tượng được quan tâm nghiên cứu nhiều. Việc nghiên cứu đường cong ngày càng có nhiều ứng dụng thực tế, đường cong lợi suất phẳng là một minh họa.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Hình 1.1. Một số đường cong lợi suất

Cuối năm ngối, số lượt tìm kiếm trên Google về "đường cong lợi suất phẳng" lại leo lên mức cao nhất trong hơn một thập kỷ, thậm chí đạt đỉnh vào tháng 4 năm nay. Đây là một cách để thể hiện sự chênh lệch trong khoản lợi suất mà các nhà đầu tư nhận được để mua nợ ngắn hạn hoặc dài hạn. Hầu hết, họ đòi hỏi nhiều hơn khi bị "khóa tiền" trong thời gian dài hơn, do không chắc chắn về diễn biến của nền kinh tế.

Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình tốn học bất kỳ để định nghĩa đường cong. Tuy nhiên, mơ hình tốn học dưới dạng phương trình đa thức được sử dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Suy ra

Vì đường cong đi qua (2,0) nên ta có:

Suy ra

Vì đường cong đi qua (3,12) nên ta có:

Suy ra

Ta có hệ phương trình: {

Nghiệm của hệ phương trình này ta được nghiệm a0=24, a1=-28, a2=8. Ta có hệ phương trình: {

Vì vậy, đa thức cần tìm : p(x) = 24-28x+8x2

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Hình 1.3. p(x) = 24-28x+8x2



Bài toán 1.2: Tìm một đa thức xác định đường cong đi qua các điểm 1,5),(0,1),(1,4) và (2,10). Giải: Vì đường cong đi qua 5 điểm nên ta chọn hàm đa thức bậc bốn có dạng: .

(-2,3),(-Thay các điểm đã cho vào p(x) ta có hệ phương trình tuyến tính : {

Nghiệm của hệ phương trình này là:

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Nhận xét 1.1: Hệ phương trình tuyến tính trong hai tình huống trên tương đối dễ giải

vì các giá trị x nhỏ. Sau đây ta sẽ xét một ví dụ trong đó tập những điểm xác định

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

1.3.Chu kỳ của các hành tinh

HÌnh 1.5. Các hành tinh trong hệ mặt trời

Chu kỳ quỹ đạo là thời gian mà một hành tinh hay vệ tinh quay trở lại một vị trí cố định trong khơng gian. Vị trí cố định có thể được xác định bằng cách dùng nền các sao ở xa làm chuẩn. Đây là chu kỳ đích thực của chuyển động quay của thiên thể, tương ứng với vòng quay chính xác trong khơng gian. Bây giờ ta sẽ dùng đa thức để tìm chu kỳ của các hành tinh dựa trên chu kỳ của một số hành tinh khác.

Bài tốn 1.4: “Tìm một đa thức thể hiện mối quan hệ giữa những chu kỳ của 3 hành

tinh đầu tiên với khoảng cách trung bình của chúng từ mặt trời, như được chỉ ra trong bảng 1.1 ( khoảng cách được đo bằng đơn vị thiên văn, và chu kỳ được đo bằng năm).”

Chu kỳ

0.387 0.241

0.723 0.615

1.0 1.0

1.523 1.381

5.203 11.861

9.541 29.457

Giải: Ta bắt đầu bằng cách tìm một hàm đa thức bậc hai

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

16 Nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình là:

, , . có nghĩa là hàm đa thức có thể được xấp xỉ bằng

Sử dụng p(x) để ước lượng chu kỳ Sao Hỏa chu kỳ thực sự: p



1.523



1.916 năm. Ước lượng này được so sánh trực quan với chu kỳ thực sự của Sao Hỏa trong hình 1.6. lưu ý rằng chu kỳ thực sự ( từ bảng 1.1) là 1.881 năm.

Hình 1.6. Chu kỳ thực sự các hành tinh



Nhận xét 1.2: Đa thức xác định được thỏa mãn các dữ kiện đã cho không nhất thiết là

biểu thị một cách chính xác mối quan hệ giữa x và y. Nói chung, các điểm được thêm

vào càng xa các điểm cho trước thì sai số càng lớn. Chẳng hạn, trong bài toán trên, khoảng cách trung bình của Sao Mộc là 5.203. đa thức xấp xỉ tương ứng trong khoảng thời gian là 15.343 năm, trong khi đó một ước lượng thô chu kỳ của Sao Mộc là 11.861 năm. Khi đó, một số hàm khác hàm đa thức sẽ giúp giảm sai số hơn. Như trong ví dụ trên, thay vì xét hàm đa thức ta sẽ xét hàm logarit tự nhiên của khoảng cách và chu kỳ của 6 hành tinh đầu tiên sẽ cho ta kết quả như bảng và hình dưới.

BẢNG 1.2. Hành tinh Sao thủy Sao kim Trái

đất

Sao hảo Sao mộc

Sao thổ Khoảng cách trung

0.723 -0.324 0.615 -0.486

1.0 0.0 1.0 0.0

1.523 0.421 1.381 0.632

5.203 1.649 11.861 2.474

9.541 2.256 29.457 3.383

</div>