chương 4 hệ thức lượng trong tam giác vuông toán 9 chương trình mới

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>Chương 4. Hệ thức lượng trong tam giác vng.Bài 1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.</b>

<b>Bài 4: </b>

a) Tỉ số lượng giác của góc <i>B</i> là:

<i>ACsin B</i>

<i>cos BBC</i>

<i>ACtan B</i>

<i>cos BAC</i>

b) Tỉ số lượng giác của góc <i>E</i> là:

<i>DFsin E</i>

<i>cos EEF</i>

<i>tan EDE</i>

<i>cot EDF</i>

<b>Bài 5: </b>

a) Tỉ số lượng giác của góc <i>B</i> trong <i><small>ΔABCABC</small></i> là

<i>ACsin B</i>

<i>cos BBC</i>

<i>tan BAB</i>

<i>cot BAC</i>

Tỉ số lượng giác của góc <i>B</i> trong <i>ΔABCABH</i> là

<i>AHsin B</i>

<i>cos BAB</i>

<i>tan BBH</i>

<i>cot BAH</i>

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<i><b>Bài 6: ( Hình 3)</b></i>

a) Ta có

4 32 8

<i><small>Hình 3600</small></i>

<i><small>8 cm</small></i>

<i><small>Hình 4300</small></i>

<i><small>4 cm</small></i>

<i><small>Hình 612 cm</small></i>

<i><small>15 cm</small></i>

<i><small>Hình 8</small></i>

<i><small>Hình 510 cm</small></i>

<i><small>Hình 730 cm</small></i>

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

b) Ta có

<i>BCasin B</i>

.b) Ta có

<i><small>Hình 16</small></i>

<i><small>Hình 183 a2 a</small></i>

<i><small>Hình 175 cm4 cm</small></i>

<i><small>5 cm</small></i>

<i><small>35 cm</small></i>

<i><small>28 cm21 cm</small></i>

<i><small>Hình 15</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<i><small>4 cm3 cm</small></i>

<i><small>K MHình 20</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<b>Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vng và ứng dụng.B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.</b>

<i><small>Hình 7</small></i>

<i><small>28 cm21 cm</small></i>

<i><small>AHình 2</small></i>

<i><small>Hình 5</small></i>

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<i><small>6 cm</small></i>

<i><small>Hình 9</small></i>

<i><small>12 cm13 cm</small></i>

<i><small>Hình 8</small></i>

<i><small>12 cm7 cm</small></i>

<i><small>CB</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<i>Hình 15:</i>

<i>C</i>   <i>B</i>   

Gọi chiều dài của thang là <i>^AB</i>^^3,5<i>^m</i>, khoảng cách từ chân thang tới tường là <i>AH</i>

<i><b>Và góc tạo bởi thang với mặt đất là HAB </b></i>

<i>ΔABCABH</i> vuông tại <i>^H</i> nên <i>^AH</i> ^<i>^{AB cos HAB}</i>^. ^ ^^3,5.<i>^cos</i>⁷⁰⁰ ^^{1, 2}<i>^m</i>

<b>Bài 5: </b>

Gọi chiều dài của chiếc thang là <i>BH</i> 3<i>m</i>

Khoảng cách chân thang tới tường là <i>ABΔABCABH</i> vuông tại <i>A</i> nên

<small>0</small>. 3. 63 1, 4

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<b>Bài 7: </b>

Xét <i>ΔABCABH</i> vng tại <i>H</i>, ta có

Gọi độ dài bay của máy bay để đạt đến độ cao <i>2 000 m</i>_là<i>AB</i>

Xét <i>ΔABCABH</i> vng tại <i>H</i>, ta có:

<small>0</small>2 000

Gọi chiều cao của cột cờ là <i>AH</i> , bóng của cột cờ trên mặt đất là <i>AB</i>

Xét <i>ΔABCABH</i> vuông tại <i>A</i>, ta có<small>0</small>

<i><small>300 m200</small></i>

<i>B⁴⁰⁰^{12 m}_A</i>

<i><small>8,5 m380</small></i>

<i>B</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>Bài 14:</b>

Gọi chiều cao của cột tháp là <i>BH</i> , bóng của tháp trên mặt đất là <i>AH</i>

Xét <i>ΔABCABH</i> vng tại <i>H</i>, ta có:<small>0</small>

. 48. 51 59,3

<i>AH</i> <i>BH tan B</i> <i>tan</i>  <i>m</i>

<b>Bài 16:</b>

Gọi chiều cao của cột cờ là <i>AH</i> , bóng của cột cờ trên mặt đất là <i>AB</i>

Xét <i>^ΔABCABH</i> vng tại <i>^A</i>, ta có<small>0</small>

. 6. 50 7,15

<i>AH</i> <i>AB tan B</i> <i>tan</i>  <i>m</i>

<b>Bài 17: </b>

Gọi chiều cao của cột đèn là <i>AH</i>, bóng của cột đèn trên mặt đất là <i>BH</i>

Xét <i>ΔABCABH</i> vuông tại <i>H</i>, ta có<small>0</small>

<i>AH</i> <i>BH tan B</i> <i>tan</i>  <i>m</i>

<b>Bài 18: </b>

Gọi chiều cao của tịa nhà là <i>BH</i> , bóng của tòa nhà trên mặt đường là <i>AH</i>

Xét <i>ΔABCABH</i> vng tại <i>H</i>, ta có<small>0</small>

Gọi chiều cao của ngơi nhà là <i>BH</i>, bóng của ngơi nhà trên mặt đất là <i>AB</i>

Xét <i>ΔABCABH</i> vng tại <i>B</i>, ta có

4 360

<i><small>36 m550</small></i>

<i><small>53 m</small></i>

<i>A⁵⁰^{96 m}</i>

<i><small>48 m510</small></i>

<i><small>6 m500</small></i>

<i><small>H</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<b>Bài 21: </b>

Gọi chiều cao của tượng đài là <i>BC</i>_,

bóng của tượng đài trên mặt đất là <i>AB</i>

Xét <i>ΔABCABC</i>_{vuông tại}<i>B</i>, ta có<small>0</small>

51 20 '8

Gọi chiều cao của ngọn đèn biển là <i>AH</i> , khoảng cách tàu tới ngọn đèn là <i>BH</i>

Xét <i>ΔABCABH</i> vng tại <i>H</i>, ta có

 36<small>0</small>

<i>B </i> ( so le trong)

Gọi chiều cao cẩu môn là <i>BC</i>_{, khoảng cách bóng tới cầu mơn là}<i>AC</i>

Xét <i>ΔABCABC</i>_{vng tại}<i>C</i>_{, ta có}

2, 44

5 34 '25

191 0,1916

<i><small>2, 44 m25 m</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

32, 6740

<i>ABCABC</i>   <i>C</i>   <i>ABD</i>  

23, 225

<i>BH</i> <i>AH tan BAH</i> <i>AH tan</i>

<i>ΔABCAHC</i>_{vng tại}<i>H</i>, ta có

54, 4540

<i>BN</i> <i>AN tan BAN</i> <i>AN tan</i>

<i>ΔABCANC</i>_{vng tại}<i>N</i> _{, ta có}

<i>NC</i><i>AN tan NAC</i><i>AN tan</i>

Mà <i>BC BN NC AN tan</i>   . 52<small>0</small><i>AN tan</i>. 60<small>0</small> <i>AN tan</i>.



52<small>0</small><i>tan</i>60<small>0</small>



<i>AN</i>.3

<i>AH</i> <i>CH tan ACH</i> <i>CH tan</i>

<i>ΔABCCHB</i>_{vng tại}<i>H</i>, ta có

<i><small>11 cm</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Khi đó <i>AH CH tan</i> . 70⁰ 36,8<i>cm</i> và <i>^BH</i> <small></small><i>^{AB AH}</i><small></small>^{60 36,8 23, 2}<small></small> <i>^cm</i>

<small> 14</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<i><small>M8 cm</small></i>

<i><small>6 cmCB</small></i>

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

c) Chứng minh <i>ΔABCCFA</i>∽<i>ΔABCCEB c g c</i><b> </b>



 



 <i>^CF_CE</i> <i>^AF_BE</i> .

Từ

   

1 , 2<b> </b>  <i>AE AB AF AC</i>.  .

b) Từ

 

<small>2</small> 91

.Từ ^<i>^HAC</i>³⁰⁰ <i>^C</i>^ ⁶⁰⁰. <i>ΔABCHFC</i>_{vng tại}<i>F</i>, ta có

c) Chỉ ra <i>ΔABCBDC</i>_{cân tại}<i>_B</i>  <i>D</i> <i>BCD</i>

Chỉ ra <i><b>ABC </b></i>_{là góc ngồi của}<i>ΔABCBDC</i>_nên<i>ABC</i> 2.<i>BCD</i>  <i>BCD</i>30<small>0</small>

<small> 16</small>

<i><small>5 cm</small></i>

<i><small>Hình 93 cm4 cm</small></i>

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Chỉ ra <i>CB</i>_{là đường phân giác của}

d) Gọi tia phân giác <i><b>CBD </b></i>_là<i>BE</i>.

Chỉ ra <i>BE</i><i>DC</i> rồi suy ra <i>AK</i> <i>DC</i>.Chỉ ra

b) Chỉ ra <i>ΔABCBDC</i>_{cân tại}<i>_B</i>  <i>D</i> <i>BCD</i>

Chỉ ra <i><b>ABC </b></i>_{là góc ngồi của}<i>ΔABCBDC</i>

nên ^<i>^ABC</i> ^2.<i>^BCD</i>^  <i>^BCD</i>^ ³⁰⁰

Chỉ ra <i>CB</i>_{là đường phân giác của}<i>ΔABCACD</i>

.c) Ta có

<i>BE</i>  <i>BC</i> <i>cm</i>

Tính <i>^AE</i>² <i>^AB</i>²<i>^BE</i>² ⁴²³² ⁵² <i>^AE</i>⁵<i>^cm</i>.Khi đó

<i><small>BA</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<b>Bài tập ôn tập chương 4.Bài 1: Cho </b><i>ΔABCABC</i>_{vuông tại}<i>A</i>, đường cao <i>AH</i>.

<i>a) Biết ^BH</i> ^⁴<i>^{cm CH}</i>^, ^²<i>^cm</i>. Tính độ dài các đoạn thẳng <i>^{AH AB}</i>^,<b></b> <i> ( làm tròn đến một chữ số thập phân)</i>

b) Gọi <i>^{D E}</i>^,<b></b> lần lượt là chân đường vuông góc của <i>H</i> trên <i>^{AB AC}</i>^,<b></b> . Chứng minh

<small>3</small> <i>BDcos B</i>

<i>BDcos B</i>

hoặc

<i>BHcos B</i>

hoặc

<i>ABcos B</i>

.Khi đó

Chứng minh

<i>ACHC BCBCHC</i>

. Khi đó

Chứng minh <i>^HA</i>² <i>^{HM HN}</i>^.

<i><b>Bài làm:</b></i>

a) <i>^BD</i>² <i>^AB</i>²<i>^AD</i>² ⁹²¹²² ¹⁵²  <i>^BD</i>¹⁵<i>^cm</i>Chứng minh

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

 9  <small>0</small>

b) Chứng minh <i>ΔABCAIH</i>∽<i>ΔABCAHB g g</i><b> </b>







 <i>AH</i>² <i>AI AB</i>.

_{ }

1

Chứng minh <i>ΔABCDHA ΔABCAHB g g</i>∽ <b> </b>







 <i>AH</i>² <i>DH HB</i>.

_{ }

2

Từ

   

1 , 2<b> </b>  <i>AI AB DH HB</i>.  .

<b>Bài 4: Cho </b><i>ΔABCABC</i>_{vuông tại}<i>^{A AB}</i>^,

^

<i>^AC</i>

^

, đường cao <i>AH</i>. Vẽ <i>HM</i> vng góc với <i>AB</i> tại <i>M</i> , <i>HN</i>

vng góc với <i>AC</i>_tại<i>N</i>

a) Cho biết <i>^AB</i>^⁶<i>^{cm AC}</i>^,<b></b> ^⁸<i>^cm</i>. Tính độ dài <i>^{BC AH}</i>^,<b></b> và số đo các góc <i>^{B C}</i>^,<b></b> .b) Chứng minh rằng <i>AM AB AN AC</i>.  .

c) Qua <i>A</i> kẻ đường thẳng vng góc với <i>MN</i>_cắt<i>BC</i>_tại<i>_D</i>_.

<small> 20</small>

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Chứng minh <i>^D</i> là trung điểm của <i>BC</i>_.

<i><b>Bài làm:</b></i>

a) <i>^BC</i>² <i>^AB</i>²<i>^AC</i>² ⁶²⁸² ¹⁰²  <i>^BC</i>¹⁰<i>^cm</i>.Chứng minh

b) Chứng minh <i>^ΔABCAMH</i>^∽<i>^{ΔABCAHB g g}</i><b></b>

^

^

^

^ <i>^{AM AB}</i>^. ^<i>^AH</i>²

Chứng minh <i>^ΔABCANH</i>^∽<i>^{ΔABCAHC g g}</i><b></b>

^

^

^

^ <i>^{AN AC}</i>^. ^<i>^AH</i>². Khi đó <i>AM AB AN AC</i>.  .c) Chỉ ra ^<i><small>N</small></i><small>1</small><i><small>H</small></i>^ <small>1</small> và ^<i><small>H</small></i><small>1</small>^<i><small>B</small></i> nên <i><small>N</small></i>^ <small>1</small><i><small>B</small></i>^ .

<i>BAD A</i>

<i>BAD BAD BDBA</i>

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<b>Bài 6: Cho </b><i>ΔABCABC</i>_{vng tại}<i>C</i>_{, có độ dài cạnh}<i>AC</i>_và<i>BC</i>_{lần lượt là}<small>20</small><i><small>cm</small></i><small>, 15</small><b><small> </small></b><i><small>cm</small></i>. Vẽ đường cao <i>CH</i>_,

kẻ <i>HE</i> vng góc với <i>AC</i>_tại<i>_E</i>_,<i>_HF</i>_{vng góc với}<i>BC</i>_tại<i>_F</i>

<i><b>a) Tính số đo A , độ dài </b>^{AB EF}</i>^,<b></b>

Chứng minh <i>ΔABCCFH</i>∽<i>ΔABCCHB g g</i><b> </b>







 <i>BC CF CH</i>.  <small>2</small> suy ra <i>AC EC BC FC</i>.  .

<b>Bài 7: Cho </b><i>ΔABCMNP</i>_{vuông tại}<i>M</i> có độ dài cạnh <i>MN</i> 6<i>cm</i> và <i>MP</i>8<i>cm</i>. Vẽ đường cao <i>^MK</i>, kẻ <i>^KI</i>vng góc với <i>MN</i>_tại<i>_I</i> _,<i>_KH</i>_{vng góc với}<i>_MP</i>_tại<i>_H</i>

a) Tính độ dài <i>^{NP IH}</i>^,<b></b> <i><b> và số đo góc P </b></i>

b) Chứng minh rằng <i>MI MN MH MP</i>.  .

<i><b>Bài làm:</b></i>

a) <i>^NP</i>² <i>^MN</i>²<i>^MP</i>² ⁶²⁸² ¹⁰²  <i>^NP</i>¹⁰<i>^cm</i>Chứng minh <i>MIKH</i> là hình chữ nhật  <i>IH MK</i>

b) Chứng minh <i>^ΔABCMIK</i>^∽ <i>^{ΔABCMKN g g}</i><b></b>

^

^

^

^ <i>^{MI MN}</i>^. ^<i>^MK</i>²

Chứng minh <i>^ΔABCMHK</i>^∽<i>^{ΔABCMKP g g}</i><b></b>

^

^

^

^ <i>^{MH MP MK}</i>^. ^ ². Suy ra <i>MI MN MH MP</i>.  .

<b>Bài 8: Cho </b><i>ΔABCABC</i>_{vng tại}<i>A</i> có đường cao <i>^AH</i>.

a) Cho biết <i>^AB</i>^³<i>^{cm AC}</i>^,<b></b> ^⁴<i>^cm</i>. Tính độ dài các đoạn thẳng <i>^{BC HB AH}</i>^,<b></b> ^,<b></b>

b) Vẽ <i>HE</i> vng góc với <i>AB</i> tại <i>E</i>, <i>HF</i> vng góc với <i>AC</i>_tại<i>_F</i>_{. Chứng minh rằng}

<i>AE EB EH</i> và <i>^{AE EB AF FC EF}</i>^.  ^.  ²c) Chứng minh rằng <i>^BE</i><i>^{BC cos B}</i>^. ³<b> </b>^

<i><b>Bài làm:</b></i>

<small> 22</small>

<i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

a) <i>^BC</i>² <i>^AB</i>²<i>^AC</i>² ³²⁴² ⁵² <i>^BC</i>⁵<i>^cm</i>.Chứng minh <i>ΔABCBHA</i>∽<i>ΔABCBAC g g</i><b> </b>







Chứng minh <i>^ΔABCHFA</i>^∽ <i>^{ΔABCCFH g g}</i><b></b>

^

^

^

^ <i>^{AF FC}</i>^. ^<i>^HF</i>²Khi đó <i>^{AE EB AF FC EH}</i>^.  ^.  ²<i>^HF</i>² <i>^EF</i>².

<b>Bài 9: Cho </b><i>ΔABCABC</i>_{vuông tại}<i>^{A AB}</i>^,

^

<i>^AC</i>

^

, đường cao <i>AH</i>.

a) Giả sử <i>^AB</i>^⁵<i>^{cm AC}</i>^,<b></b> ^¹²<i>^cm</i>. Tính độ dài <i>^{BC AH}</i>^,<b></b> và số đo <i>ABC</i>

b) Kẻ <i>^{HD HE}</i>^,<b></b> lần lượt vng góc với <i>^{AB AC}</i>^,<b></b> . Chứng minh rằng <i>AD AB AE AC</i>.  .c) Lấy điểm <i>G</i>_{nằm giữa}<i>_E</i>_và<i>C</i>_{. Kẻ}<i>_AK</i>_{vng góc với}<i>BG</i>_tại<i>_K</i>_{. Chứng minh rằng}

Chứng minh <i>^ΔABCAEH</i>^∽<i>^{ΔABCAHC g g}</i><b></b>

^

^

^

^ <i>^{AE AC}</i>^. ^<i>^AH</i>². Khi đó <i>AD AB AE AC</i>.  .c) Chứng minh <i>BH BC BK BG</i>.  .



<i>AB</i><small>2</small>



<i>A</i>

</div>