Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông toán 9

SĐT: 0947 285 084

fb.com/ n.v.tiens

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. Lí thuyết:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
 Định lí Pi-ta-go: BC 2  AB2  AC 2
AC 2  BC.CH
 AB2  BC.BH ;
 AH 2  BH .CH





AB. AC  BC.AH

1

AH

2



1

AB

2



1
AC 2

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH với các kí hiệu qui ước như hình vẽ
1. b2  a.b '
2. h2  b '.c '
3. a.h  b.c
4.

c 2  a.c '

1
1 1
 2 2
2
h
b c

a) Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn
c¹nh ®èi
c¹nh huyÒn
c¹nh ®èi
tan  
c¹nh kÒ

sin  

c¹nh kÒ
c¹nh huyÒn
c¹nh kÒ
cot  
c¹nh ®èi

cos  

ỏ

Chú ý:
 Cho 2 góc nhọn , . Nếu sina  sin b (hoặc cos  cos  , hoặc tana  tan b , hoặc
cot a  cot b ) thì a  b .
b) Một số tính chất của các tỉ số lượng giác
+) Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Cho hai góc α và β phụ nhau. Khi đó:
sin α = cos β;
tan α = cot β; cos α = sin β;

Trường THCS Liêm Phong

cot α = tan β.

Page | 1


SĐT: 0947 285 084

fb.com/ n.v.tiens
+) Cho 00    900 . Ta có:

2

2

0  sin   1; 0  cos   1; sin   cos   1
tan   sin  ; cot   cos  ; tan  .cot   1
cos 
sin 

c) So sánh các tỉ số lượng giác
0

0

0  1  2  90  sin 1  sin 2 ;cos 1  cos 2 ;tan 1  tan 2 ;cot 1  cot 2

Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.sinB;
c = a.sinC
b = a.cosC;
c = a.cosB
b = c.tanB;
c = b.tanC
b = c.cotC;
c = b.cotB
=> a =

b  c
c
 b 

sinB
sinC
cosC
cosB

d) Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:

e, Một số hệ thức lượng giác
tan  

sin 
;
cos

sin2   cos2   1 ;

Trường THCS Liêm Phong

cot  
1  tan2  

cos
;
sin 
1
2

cos 

;

tan a .cot a  1 ;

1  cot 2 a 

1
sin2 a

Page | 2


SĐT: 0947 285 084

fb.com/ n.v.tiens
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Tính sin B,sin C .

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB = 112,
HC = 63.
a) Tính độ dài AH.
b) Tính độ dài AD.
ĐS: a) AH = 84
b) AD  60 2 .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 5, CH = 6.
a) Tính AB, AC, BC, BH.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
ĐS: a) AB 

5 61

25
, AC  61 , BH 
6
6

b) S 

305
.
12

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 16, BH = 25.
a) Tính AB, AC, BC, CH.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 5. Cho hình thang ABCD có A  D  900 và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O.
a) Chứng minh hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy.
b) Cho AB = 9, CD = 16. Tính diện tích hình thang ABCD.
c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD.
ĐS: a) Vẽ AE // BD  AB = ED và AE  AC. b) S = 150
c) OA  7,2; OB  5,4; OC  12,8; OD  9,6 .
Bài 6. Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35.
ĐS: S = 210. Vẽ BE // AC (E  CD)  DE 2  BD2  BE 2 .
Bài 7. Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17.
a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
ĐS: a) Tính được AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm  ABC vuông tại A.
b) r = 9cm. Gọi O là giao điểm ba đường phân giác. SABC  SOBC  SOCA  SOAB .
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết A  480; AH  13cm . Tinh chu vi ABC
ĐS: BC  11,6cm; AB  AC  14,2cm .
Bài 9. Cho  ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD

= DE = EC.
DE DB
.

DB DC
c) Tính tổng AFB  BCD .

a) Chứng minh

ĐS: a) DB2  2a2  DE.DC
Trường THCS Liêm Phong

b) Chứng minh BDE đồng dạng  CDB.
c) AEB  BCD  ADB  450 .
Page | 3


SĐT: 0947 285 084

fb.com/ n.v.tiens

Bài 10.
Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC
vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
sin B  cos B
.
sin B  cos B
17
ĐS: a)
b)

7

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

a) Tính

Bài 11.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua
điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D
trên HE.
a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm.
b) Tính tan IED, tan HCE .
c) Chứng minh IED  HCE .
d) Chứng minh: DE  EC .
20
16
cm , HC  cm
3
3
0
d) DEC  IED  HEC  90 .

ĐS: a) AB  5 cm , AC 

b) tan IED  tan HCE 

3
2

Bài 12.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b,
AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh a  h; b  c; h là một tam giác vuông.
ĐS: Chứng minh (b  c)2  h2  (a  h)2 .
Bài 13.
Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng
minh rằng:
a) SAEF  SBFD  SCDE  cos2 A  cos2 B  cos2 C . b) SDEF  sin2 A  cos2 B  cos2 C .
ĐS: a) Chứng minh

SAEF
 cos2 A b) SDEF  SABC   SAEF  SBFD  SCDE 
SABC

1
. Tính các tỉ số lượng giác của góc B và C.
4 cos B
3
3
1
1
ĐS: cos B  ; sin B  ; sin C  ; cos C  .
2
2
2
2

Bài 14.

Cho  ABC vuông tại A có sin C 

Bài 15.
Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh:
a) ANL ABC
b) AN .BL.CM  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C
ĐS:
Bài 16.
Cho tam giác ABC vuông tại A có C  150 , BC = 4cm.
a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính AMH , AH, AM, HM, HC.
b) Chứng minh rằng: cos150 

6 2
.
4

ĐS: a) AMH  300 ; AH  1cm ; AM  2 cm ; HM  3 cm ; HC  2  3 (cm)
b) cos150  cos C 

CH
.
AC

Trường THCS Liêm Phong

Page | 4


SĐT: 0947 285 084

fb.com/ n.v.tiens

Bài 17.
Cho tam giác ABC cân tại A, có A  360 , BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của D trên AC.
a) Tính AD, DC.
b) Kẻ CK  BD. Giải tam giác BKC.
c) Chứng minh rằng cos360 

1 5
.
4

ĐS:
Bài 18.
Cho tam giác ABC có AB = 1, A  1050 , B  600 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho
BE = 1. Vẽ ED // AD (D thuộc AC). Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt BC tại F.
Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC.
a) Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH.
b) Chứng minh EAD  EAF  450 .
c) Tính các tỉ số lượng giác của góc AED và góc AEF.
d) Chứng minh  AED   AEF . Từ đó suy ra AD = AF.
e) Chứng minh rằng

1
AD

2



1

AF

2



4
.
3

Bài 19.
Giải tam giác ABC, biết:
a) A  900 , BC  10cm, B  750
b) BAC  1200 , AB  AC  6cm .
c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma  5 , đường cao AH = 4.
d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma  5 , một góc nhọn bằng 47 0 .
Bài 20.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.
a) Giải tam giác vuông ABC.
b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH.
c) Tính: EA.EB + AF.FC.
ĐS: a) AC  3 3 (cm) , B  600 , C  300

Trường THCS Liêm Phong

b) AH 

3 3
(cm)

2

c)

27
.
4

Page | 5