Chương 6 - Dẫn nhiệt

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Chương 6 - Dẫn nhiệt

6.1. Phương trình vi phân dẫn nhiệt

6.1.1. Một số khái niệm cơ bản

- Dẫn nhiệt là quá trình truyền nhiệt năng khi các vật hoặc các phân tử của vật có nhiệt độ khác nhau tiếp xúc trực tiếp với nhau.

<i>- Trường nhiệt độ t=f ( x , y , z , τ ) là tập hợp tất cả các giá trị nhiệt độ trong khoảng không gian nghiên cứu tại 1 thời điẻm τ nào đ. Trường nhiệt độ được phân thành trường ổn định (không </i>

phụ thuộc vào thời gian) và trường không ổn định (không phụ thuộc vào thời gian) và trường không ổn định, trường 1 chiều và trường nhiều chiều.

- Mặt đẳng nhiệt và gradien nhiệt độ

Mặt đẳng nhiệt là tập hợp của tất cả các điểm có cùng một giá trị nhiệt độ tại một thời điểm. Trong vật thể, nhiệt độ chỉ thay đổi từ mặt đẳng nhiệt này đến mặt đẳng nhiệt khác. Sự thay đổi nhiệt độ trên một đơn vị dài theo phương pháp tuyến của các mặt đẳng nhiệt là lớn nhất. Đại lượng vecto có phương trùng với phương pháp tuyến của các mặt đẳng nhiệt, có chiều là chiều tăng nhiệt độ và có độ lớn bằng đạo hàm riêng của nhiệt độ theo phương pháp tuyến được gọi là gradien nhiệt độ, kí hiệu gradt

|gradt|

=<i>∂ t∂ n</i>

<i>- Hệ số dẫn nhiệt λ</i>

<i>Hệ số dẫn nhiệt λ đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật (hoặc chất) và được đo bằng W/mK. λ phụ thuộc vào loại vật liệu, cấu trúc của nó (cấu tạo tinh thể, độ xốp v.v…), độ ẫm, áp suất và đặc biệt là nhiệt độ. Sự phụ thuộc của λ vào nhiệt độ trong phần lớn các trường hợp </i>

được biểu diễn qua

<i>λ_t</i>=<i>λ_o</i>(<i>1+βtt) </i>

<i>ở đây λ<small>o</small></i>=<i>λ_t=0℃_{; βt là hằng số xác định bằng thực nghiệm cho từng vật cụ thể, βt có thể dương,}</i>

âm hoặc bằng khơng.

<i>Đối với chất khí βt >0 và có giá trị trong khoảng:</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Hệ số dẫn nhiệt của phần lớn các kim loại giảm giảm khi nhiệt độ tăng và có giá trị trong khoảngtừ 20 đến 400 W/mK.

6.1.2. Thiết lập phương trình vi phân dẫn nhiệt

Phương trình được thiết lập dựa trên cơ sở định luật bảo toàn năng lượng, định luật Fourier về

<i>dẫn nhiệt khi xem các đại lượng vật lí λ, C, ρ là hằng số và nguồn nhiệt bên trong phân bố đều</i>

<i>m</i>³^{). Quá trình dẫn nhiệt thuần túy chỉ xảy ra trong các vật rắn đặc do đó khi thiết lập}

phương trình vi phân hồn tồn có thể bỏ qua sự thay đổi thể tích do biến thiên nhiệt độ gây ra.

<i>Lượng nhiệt dẫn vào phần thể tích dV =dx .dy . dz theo phương x trong thời gian dτ :</i>

<i>Q_x</i>=−<i>λ^{∂ t}</i>

<i>∂ x.dy . dz .dτ </i>

<i>Lượng nhiệt đi ra khỏi phân tố ở nhiệt độ t+∂ t∂ x. dx:Q^{' '}_x</i>=−<i>λ^∂</i>

Tổng lượng nhiệt lưu lại phân bố khi tính dẫn nhiệt theo cả 3 phương:

<i>dQ=dQ_x</i>+<i>dQ_y</i>+<i>dQ_z</i>=<i>λ</i>

(

<i>∂ x^∂</i>²<i>^t</i>²⁺<i>∂</i><small>2</small><i>t∂ y</i>²⁺

<i>∂ z</i>²

)

<i>dVdτ </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<i>Lượng nhiệt lưu lại dQ và nguồn nhiệt bên trong phát ra d Q<small>v</small></i>=<i>q_v. dV .dτ chỉ làm biến thiên nội </i>

năng của phân tố, (vì cơng dãn nở bằng khơng) do đó:

<i>∂ τdτdV </i>

<i>∂t∂ τ</i>⁼

<i>Cρρ</i>

(

<i>∂ x^∂</i>²<i>^t</i><small>2</small>+ <i>∂</i><small>2</small><i>t∂ y</i><small>2</small>+<i>∂</i><small>2</small><i>t</i>

<i>∂ z</i><small>2</small>

)

+<i>q_v</i>

Tổ hợp <i>λ</i>

<i>Cρρ</i>^{được gọi là hệ số dẫn nhiệt độ, kí hiệu là a}

⁽

<i>^m</i>²^/<i>^s</i>

⁾

^{. Hệ số dẫn nhiệt độ càng lớn thì sự}

san bằng nhiệt độ trong vật thể xảy ra càng nhanh. Sử dụng kí hiệu tốn tử <i>∇</i><small>2</small>

, phương trình vi phân dẫn nhiệt có thể viết dưới dạng tổng quát:

<i>∂t∂ τ</i>⁼<i>^a∇</i><small>2</small>

<i>t +^q^v</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Đối với hệ tọa độ đề các:

<i>r∂∂ r</i>⁺

<i>∂ φ</i>²⁺<i>∂</i><small>2</small>

<i>r</i>²<i>∂</i><small>2</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Khi nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào tọa độ mà không thay đổi theo thời gian (trường nhiệt độ ổn định) và khơng có nguồn trong, phương trình (6-2) trở thành:

6.1.3. Điều kiện đơn trị

Phương trình (6-2) chỉ mơ tả một q trình dẫn nhiệt tổng qt. Để bài tốn trở thành cụ thể, ngồi phương trình vi phân cần có thêm điều kiện đơn trị (điều kiện để giới hạn bài toán). Điều trị đơn trị gồm:

6.1.3.1. Điều kiện hình học: cho biết hình dáng, kích thước.

6.1.3.2. Điều kiện vật lí: cho biết các thơng số vật lí và phân bố nguồn nhiệt bên trong.6.1.3.3. Điều kiện thời gian: cho biết phân bố nhiệt trong vật tại một thời điểm nào đó

<i>t=f</i>

₍

<i>x , y , z , τ=τ</i>₁

₎

<i>_{. Khi cho biết phân bố nhiệt độ ở thời điểm ban đầu τ =0 thì điều kiện thời}</i>

<i>gian được gọi là điều kiện ban đầut<small>τ=0</small></i>=<i>f ( x , y , z , τ =0). Đối với các quá trình dẫn nhiệt ổn định </i>

không tồn tại điều kiện thời gian.

6.1.3.4. Điều kiện biên: cho biết phân bố nhiệt độ hoặc dịng nhiệt trên bề mặt vật, có các điều kiện biên cơ bản sau:

- Điều kiện biên loại 1: cho biết nhiệt độ trên bề mặt vật là một hàm của tọa độ bề mặt và thời gian.

- Điều kiện biên loại 2: Cho biết dòng nhiệt trên bề mặt.

<i>- Điều kiện biên loại 3: Cho biết nhiệt độ mơi trường xung quanh (lỏng, khơng khí) t<small>f</small></i> và hệ số

<i>tỏa nhiệt từ môi trường tới bề mặt vật α. Sử dụng cơng thức của newton q=α</i>

(

<i>t_w</i>−<i>t_f</i>

₎

_{có thể}

viết phương trình cân bằng trên bề mặt vật:

−

(

<i>∂n^{∂ t}</i>

)

<i>_n=0</i>=<i>α</i>

<i>e</i>

⁽

<i>^t<small>w</small></i>−<i>t_f</i>

₎

(6-4)

Như vậy tiếp tuyến của đường cong phân bố nhiệt độ tại bề mặt luôn luôn đi qua một điểm

<i>cách bề mặt vật một khoảng không đổi e=λα</i>^.

- Điều kiện biên loại 4: bề mặt vật tiếp xúc lí tưởng với một bề mặt vật khác, tức là:

−<i>λ</i>₁

(

<i>∂ n^{∂ t}</i>

)

<i><small>1 ,n=0</small></i>

=−<i>λ</i>₂

(

<i>∂ n^{∂ t}</i>

)

<i><small>2 ,n =0</small></i>

6.2. Dẫn nhiệt ổn định khi khơng có nguồn trong

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Bài toán dẫn nhiệt đơn giản nhất là bài tốn dẫn nhiệt ổn định, một chiều. Phương trình vi phândẫn nhiệt đối với 3 loại vách kinh điển (vách phẳng, vách trụ, vách cầu) viết cho các hệ tọa độ tương ứng:

Vách phẳng: <i>d</i>²<i>tdx</i>²⁼⁰

Vách trụ: <i>d</i>²<i>tdr</i>²⁺

<i>dr</i>=0 (6-5a,b,c)

Vách cầu: <i>d</i><small>2</small><i>tdr</i>²⁺

<i>rdt</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Phương trình vi phân đối với vách trụ và vách cầu có thể chuyển thành phương trình vi phân đối với vách phẳng, khi thực hiện phép thế <i>r =e^x (đối với vách trụ) và r =</i>1

<i>x</i>^{(đối với vách cầu).}

<i>Tức là khi thế x=lnr vào nghiệm của phương trình (6-5a) ta nhận được nghiệm của phương trình (6-5b) và thế x=</i>1

<i>r</i>^{vào nghiệm của phương trình (6-5a) ta được nghiệm của (6-5c).}

<i>6.2.1. Bài tốn dẫn nhiệt qua tấm phẳng rộng vơ hạn có chiều dày δ =x</i><small>2</small>−<i>x</i>₁_:

{

<i>^ddx</i>²<i>^t</i>²⁼⁰<i>t_x=x</i>₁=<i>t_{w 1};t_{x= x}</i>₂=<i>t_w2</i>

Nghiệm tổng quát của phương trình:

<i>t=Cρ</i>₁<i>t +Cρ</i>₂

Các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên:

<i>Cρ</i>₁=⁻<i>t_{w 1}</i>−<i>t_{w 2}</i>

<i>x</i>₂−<i>x</i>₁ <i>^{; Cρ}</i><small>2</small>=<i>T_w1</i>+<i>t_w1</i>−<i>t_w2x</i>₂−<i>x</i>₁ <i>^x</i><small>1</small>

Phương trình phân bố nhiệt độ trong vách phẳng:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Sử dụng sự sự tương tự giữa dòng nhiệt và dòng điện, ta dễ dàng rút ra cơng thức tính mật độ dịng nhiệt truyền qua vách phẳng nhiều lớp, thí dụ đối với vách gồm n lớp:

<i>r</i>^{vào phương trình (6-6a) ta được:}

Phương trình trường nhiệt độ trong vách trụ:

Đối với vách trụ có chiều dài l:

Vách trụ nhiều lớp:

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<i>2 λ_i</i>^ln

6.2.2. Dẫn nhiệt qua cánh (hoặc thanh) có tiết diện khơng đổi

Để tăng cường truyền nhiệt giữa bề mặt vật với môi trường, trong kĩ thuật người ta thường làmcánh gắn vào bề mặt vật (thí dụ cánh tản nhiệt ngồi xylanh của động cơ ô tô, cánh trên giàn ngưng của máy điều hòa nhiệt độ hoặc tủ lạnh v.v… mà người ta sử dụng các loại cánh khác nhau: cánh trịn, cánh phẳng, cánh hình thang, hình tam giác. Dưới đây ta chỉ khảo sát 1 trường hợp: cánh phẳng có tiết diện vng khơng đổi.

<i>Xét 1 cánh phẳng có tiết diện vng góc khơng đổi f, chu vi của tiết diện u, hệ số dẫn nhiệt λ. Cánh được đặt trong mơi trường có nhiệt độ t<small>f</small></i>=<i>const, hệ số tỏa nhiệt từ cánh tới mơi trường </i>

<i>là α. Vì cánh có đặc trưng là chiều dày δ rất bé, bé hơn rất nhiều so với chiều cao l (δ ≪ 1) do đó</i>

có thể xem nhiệt độ chỉ thay đổi theo chiều cao của cành.6.2.2.1. Phương trình vi phân dẫn nhiệt qua cánh:

<i>tdx</i>²<i>dx Q_α</i>=<i>α .u . dx</i>

₍

<i>t−t_f</i>

₎

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<i>Sử dụng kí hiệu nhiệt độ thừa θ=t −t<small>f</small> đối với trường hợp t<small>f</small></i>=<i>const ta có phương trình:</i>

6.2.2.2. Điều kiện biên và trường nhiệt độ

Nghiệm tổng quát của phương trình (6-11) có dạng:

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

6.3. Dẫn nhiệt khơng ổn định khi khơng có nguồn trong

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Q trình dẫn nhiệt khơng ổn định thường gặp nhất trong kĩ thuật là q trình đốt nóng và làm nguội các vật. Vì trong các quá trình này nhiệt độ tại các điểm trong vật thay đổi theo thời gian, do đó giải bài tốn dẫn nhiệt khơng ổn định khó khăn hơn nhiều so với một bài tốn dẫn nhiệt ổn định. Về cơ bản có 3 phương pháp sau đây để giải bài toán dẫn nhiệt.

- Phương pháp giải tích: Trực tiếp giải phương trình vi phân dẫn nhiệt với các điều kiện đơn trị. Có nhiều phương pháp giải tích khác nhau, việc lựa chọn phương pháp giải phụ thuộc chủ yếu vào điều kiện biên.

- Phương pháp gần đúng: Đối với những bài tốn phức tạp, thí dụ bài tốn khơng tuyến tính, nhiều chiều, khi không thể dùng các phương pháp giải tích để giải được, người ta phải sử dụng các phương pháp gần đúng như: phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp cân bằng phân tố v.v…

- Phương pháp thực nghiệm: do sự tương tự giữa các hiện tượng nhiệt, điện, thủy lực, nên trong nghiên cứu thực nghiệm người ta đã phát triển và sử dụng các loại mơ hình điện, mơ hìnhthủy lực.

6.3.1. Khảo sát q trình đốt nóng (hoặc làm nguội) bằng phương pháp giải tích

<i>Phát biểu bài tốn: Một tấm phẳng rộng vơ hạn, có chiều dày 2δ, hệ số dẫn nhiệt λ, có nhiệt độ ban đầu đồng đều là t<small>o</small> được làm nguội trong mơi trường có nhiệt độ khơng đổi t<small>f</small></i>. Hệ số tỏa

<i>nhiệt từ các bề mặt đến môi trường là như nhau và bằng α. Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong tấm tại thời điểm τ =τ</i><small>1</small> và nhiệt lượng tỏa ra mơi trường trong q trình làm nguội từ

<i>τ =0 đến τ =τ</i><small>1</small>. Nếu đặt gốc tọa độ ở tâm của tấm, có thể mơ tả q trình trên bằng các biểu

<i>thức tốn học sau đây (thay t bằng nhiệt độ thừa θ=t −t<small>f</small></i>):

<i>∂ θ∂ x</i>⁼<i>^a</i>

<i> ; −λ∂θθx</i>

|

<i><small>x=δ</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<i>φ<small>'</small></i>(<i>τ )aφ . (τ )</i>⁼

<i>ψ<small>' '</small></i>(<i>x )</i>

Biểu thức trên gồm vế trái là một hàm theo thời gian và vế phải là một hàm theo tọa độ, do đó chỉ thỏa mãn khi cả hai vế đều bằng hằng số. Nếu kí hiệu hằng số này bằng <i>k</i>², từ (6-17) ta có hai phương trình:

<i>θx</i>

|

<i><small>x=0</small>, nên Cρ</i><small>3</small>=0, do đó trong trường hợp cụ thể của bài toán đang xét (6-20) trở thành:

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<i>Trường hợp đặc biệt: Khi Bi →0 thì μ=0, π , 2 π … (n−1) π và Bi → ∞ thì μ=π</i>

<i>A_n</i>cos

(

<i>μ_n^xδ</i>

)

<i>. e</i>⁻<i>^μⁿ</i>

<i><small>a .τδ</small></i><small>2</small>

Sử dụng điểu kiện ban đầu đã cho, ta dễ dàng xác định được ẩn số cịn lại trong phương trình (6-21) bằng cách nhân cả hai vế của phương trình mơ tả phân bố nhiệt độ ở thời điểm ban đầu

<i>(τ =0) với:cos μ_n^x</i>

<i>θ_o</i>^{và thời gian không thứ nguyên (hay}

<i>tiêu chuẩn Fourier) F<small>o</small></i>=<i>a . τ</i>

<i>δ</i>² ^{, phương trình (6-24a) có thể viết dưới dạng:}<i>θ</i><small>¿</small>

<i>Kết quả nghiên cứu cho thấy: khi F<small>o</small></i> đủ lớn, số hạng của chuỗi (6-24a) giảm rất nhanh. Khi

<i>F_o≥ 0,3 chỉ cần lấy số hạng đầu tiên của chuỗi thì sai số cũng không vượt quá 1%.</i>

Trong kĩ thuật thường người ta chỉ quan tâm tới nhiệt độ trên trục tấm (X=0) và ở trên bề mặt

<i>(X=1); trong trường hợp này D</i><small>1</small> và cos

(

<i>μ</i>₁<i>X</i>

₎

<i>_{chỉ là hàm của tiêu chuẩn Bi còn μ}</i>₁<small>2</small>

<i>F_o</i> là hàm của

<i>Bi và F<small>o</small> do đó θ<small>x=0</small></i>

=<i>f</i>₁

₍

<i>Bi , F_o</i>

₎

<i>_{, θ}</i><small>¿</small><i>_x=1</i>

=<i>f</i>₂

₍

<i>Bi , F_o</i>

₎

<i>_{. Các hàm f}</i>₁<i>_{, f}</i>₂_{được biểu diễn bằng đồ thị nên}

việc xác định nhiệt độ ở tâm và ở bề mặt vật trong q trình làm nguội và đốt nóng tương đối dễ dàng.

Xác định lượng nhiệt thải ra trong quá trình làm nguội:

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<i>Lượng nhiệt thải ra khi làm nguội vật từ τ =0 đến τ =τ<small>l</small></i>:

Phương pháp giải bài tốn dẫn nhiệt khi đốt nóng (hoặc làm nguội) vách trụ dài vô hạn hoặc vách cầu tương tự đối với vách phẳng. Trong kĩ thuật người ta thường sử dụng các đồ thị đã lậpsẵn để xác định nhiệt độ ở tâm và bề mặt vật cũng như lượng nhiệt tỏa ra trong quá trình làm nguội:

<i>độ chỉ thay đổi sau từng khoảng không gian ∆ x, ∆ y, ∆ z và từng khoảng thời gian ∆ τ. Khi ∆ x,</i>

<i>∆ y, ∆ z và ∆ τ là rất bé thì chúng trở thành dx, dy, dz và dτ. Theo phương pháp này, người ta </i>

chia khơng gian trong đó có q trình dẫn nhiệt thành những khoảng (hay phân tố) bằng nhau và khảo sát sự biến thiên nhiệt độ từ phân tố này đến phân tố khác sau những khoảng thời gian

<i>đều nhau ∆ τ. Độ lớn của các khoảng không gian và thời gian phải lựa chọn tùy thuộc vào độ </i>

chính xác yêu cầu.

Nhiệt độ được kí hiệu như sau:

<i>t_{n ,k}≡t_x_n_{, τ}_k</i>

Với <i> x<small>n</small></i>=<i>x_o</i>+<i>n . ∆ xτ_k</i>=<i>τ_o</i>+<i>k . ∆ τ </i>

<i>ở đây x<small>o</small>, τ<small>o</small></i> là những giá trị ban đầu cho trước ; n, k là những số nguyên dương.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Phương trình vi phân dẫn nhiệt khơng ổn định qua vách phẳng (6-16) được chuyển thành phương trình sai phân:

<i>∆_xt∆ τ</i>⁼<i>^a</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Phương pháp sai phân hữu hạn có thể áp dụng để giải bài tốn dẫn nhiệt không ổn định qua vách phẳng, vách trụ và vách cầu; nó có một số ưu điểm cơ bản như: giải được đối với mọi điều kiện biên, đặc biệt ưu việt là cơ thể dùng phương pháp này để giải các bài tốn có điều kiện biên thay đổi theo thời gian và các bài toán dẫn nhiệt qua vách nhiều lớp

[

7

]

.

6.4. Dẫn nhiệt ổn định khi có nguồn nhiệt bên trong

Nguồn nhiệt bên trong, hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả nguồn thu lẫn nguồn phát (hay cịn gọi là nguồn âm và nguồn dương). Thí dụ điển hình nhất vể nguồn trong là hiện tượng phát nhiệt của dây dẫn khi có dịng điện chạy qua, hay sự phát nhiệt của các thanh nhiên liệu trong lị phản ứng hạt nhân. Ngồi hai trường hợp này, nguồn trong chỉ xuất hiện khi trong vật xảy ra các phản ứng hóa học hay q trình biến đổi trạng thái. Các quá trình này bao giờ cũng làm thayđổi tính chất vật lý của đối tượng được khảo sát, tức là làm thay đổi điều kiện đơn trị của bài tốn, do đó, q trình dẫn nhiệt thuần túy khi có nguồn trong mà tính chất nhiệt vật lí khơng thay đổi ít có ý nghĩa thực tiễn. Tuy nhiên, để minh họa một cách tổng quát các loại bài toán dẫn nhiệt đơn giản, dưới đây sẽ khảo sát trường hợp dẫn nhiệt ổn định một chiều khi có nguồn

<i>trong phân bố đều trong thể tích, q<small>v</small></i>=<i>const, của tấm phẳng, vách trụ, vách cầu.</i>

Đối với những trường hợp này (6-2) trở thành:

<i>Trong đó: n=0 đối với tấm phẳng; n=1 đối với vách trụ và n=2 đối với vách cầu. Nghiệm tổng </i>

quát của phương trình vi phân (6-29) đối với ba loại vách theo thứ tự:

<i>t (r )=</i>

{

<i>^Cρ</i><small>1</small>+<i>Cρ</i>₂<i>rCρ</i>₁+<i>Cρ</i>₂<i>ln r</i>

<i>Cρ</i>₁+<i>Cρ</i>₂

(

¹<i>r</i>

) }

− <i>q_v. r</i><small>2</small>

<i>2 (1+n) λ (6-30)</i>

<i>Các hằng số tích phân Cρ</i><small>1</small><i>, Cρ</i><small>2</small> được xác định dựa trên các điều kiện cụ thể. Để làm thí dụ ta sẽ giải bài toán với điều kiện biên loại 3 đối xứng (cho cả ba vật). Nếu gốc tọa độ đặt ở tâm các vậtthì do tính đối xứng ta có:

<i>dtdr</i>

|

<i><small>r=0</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<i>Trên các mặt ngồi r =± R, theo điều kiện (6-4) ta có:</i>

</div>