Bài giảng tối Ưu hóa trong giao thông vận tải (huỳnh văn tùng cb)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.54 MB, 124 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ThS.HUỲNH VĂN TÙNG (Chủ biên) ThS.TRẦN MINH QUANG

ThS.TRẦN NGỌC HẬU ThS.LÊ THỊ HỒNG VÂN

BÀI GIẢNG

TỐI ƯU HĨA

TRONG GIAO THƠNG VẬN TẢI

(Dùng cho sinh viên hệ đại học, liên thông, bằng 2)

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - NĂM 2021

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

LỜI NĨI ĐẦU

Bài giảng “Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải” được biên soạn nhằm giúp sinh viên có tài liệu phong phú hơn trong việc học tập các học phần “Toán kinh tế” và học phần “Tối ưu hóa”. Nội dung cuốn sách được cấu trúc gồm bốn chương:

chương 1: Quy hoạch tuyến tính; chương 2: Bài tốn vận tải; chương 3: Sơ đồ mạng PERT và chương 4: Quy hoạch động.

Để tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên có khả năng tự học, tự nghiên cứu, tác giả không đi sâu vào các vấn đề lý luận và kỹ thuật toán học phức tạp, mà chỉ tập trung trình bày, giới thiệu những kiến thức cơ bản chủ yếu thiết thực và cập nhật. Đặc biệt hệ thống ví dụ minh họa sau mỗi phần lý thuyết được trình bày chi tiết và đầy đủ các dạng; phần bài tập cuối mỗi chương cũng sẽ giúp người học tự nghiên cứu, vận dụng các lý luận đã học vào phân tích, lý giải các nội dung thực tiễn liên quan.

Mặc dù các tác giả đã đầu tư nghiên cứu chọn lọc biên soạn nghiêm túc để đáp ứng yêu cầu giảng dạy và học tập của môn học, nhưng chắc tập sách sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Các tác giả rất mong nhận được sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp, bạn đọc và các bạn sinh viên để lần xuất bản sau được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn !

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2021 Nhóm tác giả

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ... 1

MỤC LỤC ... 3

CHƯƠNG 1. Quy hoạch tuyến tính ... 6

1.1. Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài tốn quy hoạch tuyến tính ... 6

1.1.1. Bài tốn lập kế hoạch sản xuất ... 6

1.1.2. Bài toán vận tải ... 7

1.1.3. Bài toán cắt vật liệu ... 8

1.2. Mơ hình tốn của bài tốn quy hoạch tuyến tính ... 9

1.2.1. Dạng tổng quát ... 9

1.2.2. Dạng chính tắc, dạng chuẩn tắc ... 9

1.2.3. Một số quy tắc đưa bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát về dạng chính tắc ... 11

1.2.4. Ẩn cơ bản, phương án cực biên ... 12

1.3. Một số tính chất của bài tốn quy hoạch tuyến tính ... 14

1.3.1. Cơ sở giải tích lồi ... 14

1.3.2. Một số tính chất của bài tốn quy hoạch tuyến tính... 15

1.4. Giải bài tốn quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học ... 15

1.4.1. Biểu diễn hình học tập phương án ... 15

1.4.2. Phương pháp hình học ... 15

1.5. Phương pháp đơn hình ... 17

1.5.1. Cơ sở lý luận của phương pháp ... 17

1.5.2. Bảng đơn hình ... 19

1.5.3. Thuật tốn đơn hình ... 19

1.5.4. Phương pháp đơn hình giải bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt 26 1.6. Bài tốn quy hoạch tuyến tính chứa tham số ở hàm mục tiêu ... 30

1.6.1. Mở đầu ... 30

1.6.2. Phương pháp giải ... 30

1.7. Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ... 37

1.7.1. Hai ví dụ dẫn nhập ... 37

1.7.2. Định nghĩa cặp bài toán đối ngẫu ... 39

1.7.3. Các tính chất của cặp bài tốn đối ngẫu ... 42

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

1.7.4. Quan hệ của cặp bài toán đối ngẫu ... 44

1.7.5. Các dạng bài tập ... 44

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ... 51

CHƯƠNG 2. Bài toán vận tải ... 61

2.1. Các khái niệm về bài toán vận tải ... 61

2.1.1. Phát biểu bài toán vận tải (btvt) ... 61

2.1.2. Mơ hình tốn học của bài tốn vận tải ... 61

2.1.3. Bài toán vận tải cân bằng thu phát ... 62

2.1.4. Bài toán vận tải dạng bảng, dạng ma trận ... 62

2.1.5. Bảng phân phối ... 63

2.2. Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải đóng ... 64

2.2.1. Các khái niệm ... 64

2.2.2. Các tính chất của bài tốn vận tải ... 64

2.2.3. Một số phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu ... 65

2.2.4. Cơ sở của thuật toán thế vị ... 68

2.2.5. Thuật toán thế vị chi tiết... 70

2.3. Các trường hợp đặc biệt của bài toán vận tải ... 73

2.3.1. Bài toán vận tải không cân bằng thu phát ... 73

2.3.2. Bài tốn vận tải có hàm mục tiêu cực đại ... 75

2.3.3. Bài tốn vận tải có ơ cấm ... 77

2.3.4. Bài tốn vận tải có hạn chế khả năng thơng qua ... 79

2.4. Bài tốn điều tàu rỗng ... 84

2.4.1. Phát biểu bài toán ... 84

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

3.3. Sơ đồ mạng PERT ... 97

3.3.1. Các định nghĩa ... 97

3.3.2. Các bước lập sơ đồ mạng PERT ... 99

3.4. Các chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ mạng PERT ... 100

3.4.1. Thời điểm sớm nhất, thời điểm muộn nhất của một sự kiện... 100

3.4.2. Cách ghi các tham số tại một sự kiện ... 100

3.4.3. Thời gian dự trữ của sự kiện và công việc ... 100

3.4.4. Đường găng ... 101

3.5. Sơ đồ mạng PERT kèm theo trục thời gian ... 103

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ... 104

CHƯƠNG 4. Quy hoạch động ... 106

4.1. Những nội dung cơ bản ... 106

4.1.1. Bài toán dẫn (bài toán phân phối sản phẩm) ... 106

4.1.2. Các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động ... 107

4.1.3. Quá trình nhiều giai đoạn ... 108

4.2.2. Bài toán phân phối sản phẩm (bài toán dẫn) ... 112

4.2.3. Một bài toán quy hoạch nguyên ... 114

4.2.4. Ứng dụng quy hoạch động trong giao thông vận tải ... 115

4.2.5. Bài tốn phân phối cơng suất của các nhà máy điện ... 117

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ... 119

TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 122

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

CHƯƠNG 1

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1. Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.1.1. Bài tốn lập kế hoạch sản xuất

a) Phát biểu bài tốn: Một xí nghiệp muốn sản xuất 2 loại sản phẩm S1 và S2 bằng 3

thống kê theo bảng sau:

Hãy phân tích và lập mơ hình tốn cho bài tốn tìm kế hoạch sản xuất sao cho xí nghiệp thu tiền lãi lớn nhất với những hạn chế về nguyên liệu như trên và thỏa mãn

xuất ra đều tiêu thụ được hết.

Nhận xét: Việc phân tích và lập mơ hình toán, hai vấn đề quan trọng nhất là xác định

được các ẩn số và mục tiêu của bài toán. Trong bài tốn trên, các tham số cần tìm là

cần sản xuất thì việc thực hiện sản xuất theo quy trình là dễ dàng. Mục tiêu của bài

tốn là “xí nghiệp thu tiền lãi lớn nhất”.

b) Mơ hình tốn: Gọi x x1, 2 tương ứng là số đơn vị sản phẩm S1, S2 cần sản xuất. Tổng tiền lãi thu được: 5x18x2 (triệu đồng)

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

1.1.2. Bài toán vận tải

a) Phát biểu bài tốn: Cần vận chuyển một loại hàng hóa từ hai kho chứa hàng (trạm

phát) A1 và A2 tới ba nơi tiêu thụ (trạm thu) B B1, 2 và B3. Khả năng cung cấp hàng hóa ở mỗi kho, nhu cầu cần sử dụng hàng ở mỗi nơi tiêu thụ và cước phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ mỗi trạm phát tới mỗi trạm thu được cho trong bảng sau:

b) Mơ hình tốn: Gọi xij là lượng hàng hóa cần vận chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj (i 1,2;j 1,2,3 )

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Mơ hình bài tốn: Tìm ma trận x

 

xij 2 3

1.1.3. Bài toán cắt vật liệu

a) Phát biểu bài toán: Người ta cần cắt những thanh sắt dài 7m thành 100 đoạn, mỗi

đoạn dài 2m; 200 đoạn, mỗi đoạn dài 2,5m; 150 đoạn, mỗi đoạn dài 3m. Hãy phân

tích và lập mơ hình tốn cho bài tốn tìm phương án cắt sắt sao cho tổng số sắt thừa

là ít nhất. Cho rằng số lượng các thanh sắt dài 7m hiện có là rất lớn.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

1.2. Mơ hình tốn của bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.2.1. Dạng tổng qt

Qua các mơ hình tốn trong ba ví dụ mục 1.1, ta thấy rằng mơ hình tốn của bài tốn quy hoạch tuyến tính (qhtt) có dạng tổng quát như sau:

(1.1) là hàm mục tiêu, ký hiệu là ( )f x hay Z .

(1.2) là hệ ràng buộc cơ bản (hay hệ ràng buộc chung) .

(1.3) là các ràng buộc phụ (ràng buộc biến).

 Vector x( , ,..., )x x1 2 xnthoả các ràng buộc (1.2) và (1.3) được gọi là một phương

án của bài toán.

( ,..., )n

gọi là một phương án tối ưu (patu) của bài tốn. Phương án tối ưu cũng cịn gọi là

nghiệm của bài tốn.

ngược lại ta nói bài tốn khơng giải được.

1.2.2. Dạng chính tắc, dạng chuẩn tắc a) Dạng chính tắc:

Đặc trưng của dạng chính tắc là:

1) Các ràng buộc cơ bản đều là các phương trình.

2) Các ẩn số đều khơng âm.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Hệ ràng buộc của bài toán dạng chính tắc có thể viết lại dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính:

11 112 21121 122 222

1 12 2

nnmmmmn

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

1.2.3. Một số quy tắc đưa bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt về dạng chính tắc

Mọi bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt ln đưa được về dạng chính tắc bằng các quy tắc sau đây:

4) Nếu có xj  thì đổi biến: 0 xj    . xj 0

5) Nếu có xj (xj có dấu tùy ý) thì đặt: xj xj xj ; xj 0,xj  0

Ví dụ 1.3. Cho bài tốn quy hoạch tuyến tính

Lưu ý: Trong một số tài liệu, người ta định nghĩa bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng

chuẩn tắc là bài tốn có dạng:

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Bài tốn cuối cùng này có dạng chuẩn tắc.

1.2.4. Ẩn cơ bản, phương án cực biên a) Đối với bài toán dạng chuẩn tắc:

 Ẩn cơ bản (acb) của một phương trình trong hệ ràng buộc chung của bài tốn dạng

chuẩn tắc là ẩn chỉ có trong phương trình đó với hệ số bằng 1 và khơng có trong phương trình khác của hệ ràng buộc chung.

ln có ít nhất một ẩn cơ bản.

biên (pacb).

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Ví dụ 1.5. Xét bài tốn qhtt có dạng chuẩn tắc sau:

b) Đối với bài toán dạng tổng quát: (tham khảo)

Gọi X là một phương án của bài toán qhtt dạng tổng quát (1.1), (1.2) và (1.3).

Các định nghĩa:

thỏa mãn chặt ràng buộc tương ứng.

gọi là làm thỏa mãn lỏng ràng buộc tương ứng.

1) Phương án X của bài toán qhtt (1.1), (1.2) và (1.3) là phương án cực biên khi

và chỉ khi X làm thỏa mãn ít nhất n ràng buộc chặt, trong đó phải có n ràng buộc chặt có ma trận hệ số tạo thành hệ n vector cột độc lập tuyến tính ( n là số

ẩn của bài tốn).

2) Phương án cực biên có tối đa m thành phần dương ( m là số ràng buộc chung

của bài tốn).

Ví dụ 1.6. Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính sau

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Giải. Thay x(0) (4,0,0, 2) vào tất cả các ràng buộc của bài tốn, ta có:

chặt đúng bằng số ẩn của bài toán. Ma trận hệ số của 4 ràng buộc này có định thức là:

Vậy x(0) là phương án cực biên của bài toán. Ẩn x1  4 0 là ẩn cơ bản.

1.3. Một số tính chất của bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.3.1. Cơ sở giải tích lồi

a) Các khái niệm:

 Tập lồi: Tập n

nối hai điểm ,x y tùy ý trong S đều thuộc S , nghĩa là:

 Tổ hợp lồi, đa diện lồi: Giả sử 1,..., k

một tổ hợp lồi của k điểm trên nếu có bộ số ( ,..., )1 k , 1 ... 1

1 ... kk

gọi là đa diện lồi sinh bởi hệ k điểm 1,..., k

 Điểm cực biên: Điểm x0 Sđược gọi là điểm cực biên của tập lồi S nếu nó

khơng là điểm trong của một đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt trong S .

 Quy ước: Tập hợp rỗng và tập hợp chỉ có một phần tử được xem là các tập lồi. b) Các định lý về tập lồi:

1) Giao các tập lồi là tập lồi.

2) Nếu S là tập lồi thì S chứa mọi tổ hợp lồi của một họ điểm bất kỳ trong S .

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

3) Đa diện lồi là một tập lồi.

1.3.2. Một số tính chất của bài tốn quy hoạch tuyến tính Định lý 1: (tính lồi của tập phương án)

1) Tập hợp các phương án của bài tốn quy hoạch tuyến tính là tập lồi.

2) Tập hợp các phương án tối ưu của bài tốn quy hoạch tuyến tính là tập lồi. Định lý 2: (điều kiện tồn tại phương án cực biên tối ưu)

Nếu tập các phương án của bài tốn qhtt là khơng rỗng và là đa diện lồi thì bài tốn đó có ít nhất một phương án cực biên tối ưu.

Định lý 3: (điều kiện có phương án tối ưu)

Điều kiện cần và đủ để bài tốn quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu là tập hợp các phương án của bài tốn đó khác rỗng và hàm mục tiêu bị chặn.

1.4. Giải bài tốn quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học 1.4.1. Biểu diễn hình học tập phương án

a) Nửa mặt phẳng:

Trong mặt phẳng xy , đường thẳng axby  c 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng trái dấu nhau (một nửa là tập hợp các điểm ( , )x y thỏa axby  , c 0nửa còn lại sẽ thỏa axby  ). c 0

b) Biểu diễn hình học tập phương án:

Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính hai biến:

1 12 21 12 2

bài toán (1.7) (ràng buộc chung và ràng buộc biến). Khi đó giao của các nửa mặt phẳng này chính là tập phương án của bài tốn (1.7).

1.4.2. Phương pháp hình học

Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính (1.7)

Bước 1: Biểu diễn tập phương án H Bước 2: Biểu diễn các đường mức

Đặt (m) :c x1 1c x2 2  (với m là tham số thực). Đường thẳng ( )m  được gọi m

là đường mức (hay đường đồng mức – là tập hợp các điểm mà hàm f nhận cùng giá

trị m ). Các đường mức là các đường thẳng song song nhau. Do đó khi vẽ các đường

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

phương, các đường khác chỉ cần vẽ song song ( ) . 0

Bước 3: Xác định khoảng biến thiên của m và kết luận bài tốn.

Tìm giá trị của m tại các điểm cực biên, dựa vào hình vẽ để xác định khoảng biến thiên của tham số m . Nếu tập phương án là bị chặn thì tồn tại m m1, 2 sao cho với

mọi m thỏa m1 mm2, đường mức ( ) sẽ cắt tập phương án. mKhi đó: fmin m1, fmax m2

Lưu ý: Có thể sử dụng phương pháp trượt ( ) sao cho m luôn song song với ( ) . 0Nếu đi theo chiều vector pháp tuyến n( , )c c12 mà ( : m)

( )

f x đạt giá trị lớn nhất.

trị lớn nhất.

phương án tối ưu.

Đi theo chiều ngược chiều n( , )c c1 2 , các kết luận tương tự nhưng đối với bài toán

Các điểm cực biên:

Đường ( ) m cắt tập phương án H khi và chỉ khi 5  m 21

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Kết luân: fmax 21 đạt được tại x15,x2  4

min 5

f   đạt được tại x10,x2  5

Ví dụ 1.8. Giải bài toán qhtt sau bằng phương pháp đồ thị:

  

   

Giải. Biểu diễn tập phương án H (phần tơ màu

– hình 1.2)

Kết luân: fmax 13 đạt được tại x1 3,x2  ; 2 Không tồn tại fmin

dựng tiêu chuẩn để đánh giá xem phương án đó đã tối ưu hay chưa. Nếu nó chưa phải

chuyển ấy và vì số phương án cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước lặp sẽ thu được patu của bài toán, hoặc sẽ kết luận bài toán khơng có patu.

b) Tiêu chuẩn tối ưu:

Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc sau:

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

iijjij m

ij ijjjjj mij m

Định lý 1: (tiêu chuẩn tối ưu)

Xét một phương án cực biên x* tùy ý, có các số liệu kiểm tra tương ứng là

(1) Nếu   với mọi k 0 xk là ẩn khơng cơ bản thì x* là phương án tối ưu duy nhất.

Ta gọi là phương án cực biên tối ưu.

(2) Nếu có   k 0 với xk là ẩn không cơ bản và tồn tại ai k0  thì bài tốn có 0phương án tối ưu khác ngồi x*.

Định lý 2: (dấu hiệu bài tốn khơng giải được)

Nếu với một phương án cực biên nào đó, tồn tại một   mà j0 0 aij0   thì ta 0, i

có thể tìm được một dãy phương án mà trên đó hàm mục tiêu giảm vơ hạn, nghĩa là bài tốn khơng giải được.

Định lý 3: (dấu hiệu bài tốn có phương án tốt hơn)

một aij  thì có thể tìm được một phương án cực biên tốt hơn. 0

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Chọn một phương án cực biên ban đầu và lập bảng tương ứng có dạng sau được

gọi là bảng đơn hình:

số acb

Ẩn cơ bản

Phương án

 cjrở cột hệ số của acb xjr trong hàm mục tiêu.

  (chỉ tính với ais 0,s là chỉ số của cột ứng với   lớn nhất). s 0

1.5.3. Thuật tốn đơn hình

Bước 1: Chọn phương án cực biên ban đầu và lập bảng đơn hình tương ứng. Bước 2: (Kiểm tra tính tối ưu của phương án)

Nếu    thì phương án tối ưu. j 0, j

(1) Nếu   với mọi k 0 xk là ẩn khơng cơ bản thì phương án tương ứng là phương án tối ưu duy nhất.

(2) Nếu có   với k 0 xk là ẩn không cơ bản và tồn tại ai k0  thì bài tốn có vơ 0

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

số phương án tối ưu.

Bước 3: (Kiểm tra bài tốn khơng giải được)

Nếu có   mà j0 0 aij0   0, i 1,m thì bài tốn khơng có phương án tối ưu. Nếu với mỗi   đều có ít nhất một j 0 aij  thì chuyển sang bước 4. 0

Bước 4: (Chọn ẩn đưa vào, xác định ẩn đưa ra khỏi hệ ẩn cơ bản)

phần tử trục.

Bước 5: (Biến đổi bảng đơn hình để thu được phương án cực biên mới mới tốt hơn)

Bảng đơn hình mới có cấu trúc như bảng cũ, dịng đầu tiên khơng có gì thay đổi (do đó trong q trình giải, các bảng được kẻ nối tiếp nhau và sử dụng chung một dòng đầu).

 Cột ẩn cơ bản: thay xjr(ẩn ra) bởi xs (ẩn vào), các ẩn cơ bản khác được giữ nguyên.

 Cột hệ số: thay cs cho cjr, giữ nguyên các hệ số khác.

 Dòng xoay: chia mỗi giá trị trên dòng xoay (gồm br, arj, j1,n) cho phần tử trục

a .

 Cột xoay: trong bảng mới có ars 1,ais 0,i r

irsrisiij

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Phương án cực biên ban đầu là: x(x1x2 x3 x5 0,x4 15,x6 12,x7  8)Bảng đơn hình:

số acb

Ẩn cơ bản

Ph. án

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Ẩn cơ

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Giải. Đưa bài toán về dạng chuẩn tắc.

Ẩn cơ bản

Ph. án

(Tham khảo thêm)

Mặt khác, trong bảng 3 có   3 0 (ứng với x3 không là ẩn cơ bản) mà có

Ẩn x3 vào thay cho ẩn x2 ra (vì có 2  6 321), ta có bảng 4 sau:

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Trong bảng 4 có    nên bài toán ban đầu có phương án tối ưu là: j 0, j

X x   x , với 1,...,N[0,1],1 ... N  1 cũng là phương án tối ưu của bài tốn.

Ví dụ 1.12. Cho bài tốn quy hoạch tuyến tính sau:

a) Chứng minh vector x(0) (2,0,0,18,0) là một phương án cực biên của (P).

b) Xuất phát từ x(0), hãy giải (P) bằng phương pháp đơn hình.

c) (Tham khảo) Tìm tập phương án tối ưu của bài bài toán (P). Giải.

a) Thay x(0) (2,0,0,18,0) vào các ràng buộc của bài tốn, ta có:

18 0

đúng bằng số ẩn của bài toán. Ma trận hệ số của 5 ràng buộc này có định thức là:

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Suy ra hệ các vector cột tương ứng độc lập tuyến tính.

  

Ẩn cơ bản

Ph. án

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

c) Trong bảng 3 có   5 0 (ứng với x5 khơng là ẩn cơ bản) mà có a15 3 / 5 0 . Do

 Nếu có bi0  thì nhân hai vế của phương trình thứ 0 i0 của hệ ràng buộc với (–1).

sau: Trong hệ ràng buộc chung, nếu ở phương trình nào đó chưa có ẩn cơ bản thì cộng vào phương trình đó một ẩn khơng âm mới có hệ số bằng 1, ký hiệu là

n k

lượng là .M xn k , trong đó M  0 lớn tuỳ ý.

Bài tốn M có dạng chuẩn tắc nên áp dụng phương pháp đơn hình để giải.

Lưu ý:

 Ta viết  jAj M B. j, dòng kiểm tra được tách thành hai dòng chứa Aj và Bj.

 Do M là số dương lớn tuỳ ý cho nên người ta quy ước:

 Nếu Bj  hoặc (0 Bj 0,Aj  ) thì 0   . j 0 Nếu Bj  hoặc (0 Bj 0,Aj  ) thì 0   . j 0    khi jkBj Bk hoặc Bj B Ak, j  Ak.

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

 Một ẩn giả xn k nào đó sau khi bị đưa ra khỏi cột ẩn cơ bản thì sẽ khơng bao giờ trở lại cột này. Do đó trong bảng đơn hình ta bỏ các cột chứa ẩn giả.

b) Quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán M:

 Nếu bài toán M khơng có phương án tối ưu thì bài tốn gốc cũng khơng có

phương án tối ưu.

dương thì bài tốn gốc khơng có patu.

tốn gốc cũng có phương án tối ưu; bỏ các ẩn giả và ẩn phụ (nếu có) trong phương

án tối ưu của bài toán M , ta thu được phương án tối ưu của bài tốn gốc.

Ví dụ 1.13. Giải bài tốn quy hoạch tuyến tính sau:

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Pacb ban đầu: x(x1x2 x3 x50,x4 18,x6 13,x7 16)Các bảng đơn hình:

Lưu ý: Trong quá trình giải, ta có thể viết trực tiếp bài tốn M mà khơng cần viết bài

tốn dạng chính tắc.

Ví dụ 1.14. Giải bài tốn qhtt

bên:

Giải. Đặt 134256

  

   

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

3493410

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

 Kết luận: Trong bảng 3 có    j 0, j nên phương án

Để khắc phục khó khăn này người ta đã phát triển một phương pháp gọi là phương pháp giải bài toán tối ưu tuyến tính chứa tham số. Phương pháp này xuất phát từ việc giải bài tốn tối ưu tuyến tính đối với một giá trị xác định của tham số cần khảo sát bằng phương pháp đơn hình thơng thường, sau đó sẽ tìm khoảng biến thiên của tham số để cho phương án hiện có vẫn cịn là patu của bài tốn mới hoặc sẽ trực tiếp tìm ra patu mới dựa trên patu hiện có. Bằng cách đó, người ta sẽ tìm ra patu của các bài tốn tối ưu tuyến tính ứng với từng giá trị khác nhau của tham số cần khảo sát. Người ta phân biệt thành các dạng bài toán qhtt chứa một tham số ở hệ số hàm mục tiêu ( )cj ; ở vế phải ( )bi ; ở hệ số các ràng buộc ( )aij ; chứa một tham số ở cả hàm mục tiêu và ở vế phải hoặc chứa hai tham số cùng biến thiên độc lập; v.v… Trong phạm vi bài giảng này chúng tơi chỉ xét dạng bài tốn đầu tiên.

1.6.2. Phương pháp giải

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có hệ số hàm mục tiêu phụ

thuộc tham số t , ký hệu bài toán là ( )P t .



</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Trong đó , , , ( 1, ;a b c d iijijj  m j1, );nm n, , ,  là các hằng số cho trước,  có

đơn hình để giải.

Để giải bài tốn ( )P t , chúng ta chia làm 2 bước như sau :

Bước 1: Cho t t0 [ , ]  (chú ý nếu 0 [ , ]   thì chọn t0 0, nếu 0 [ , ]   và 

hình để giải bài P t( )0 .

Bước 2: Giải bài toán ( ),P t   t 

Trường hợp 1. Bài tốn P t( )0 có phương án tối ưu (0)

x .

Trong bảng đơn hình tương ứng với x(0), thay cj d tj.0 bởi cj d tj. và tính lại lượng kiểm tra j( )t  Aj B tj. . Giải hệ j( )t  Aj B tj. 0, j1,n thu được

t  tt . Khi đó x(0) cũng là phương án tối ưu của bài toán ( )P t với mọi t1  . tt2

 Nếu [ , ] [ , ]   t t1 2 thì bài tốn đã giải xong.

 Nếu   hoặc t1 t2  thì ta khảo sát bài tốn ( ) P t với t[ , ] t1 hoặc t[ , ]t2  . Chọn ẩn vào, ẩn ra và lập bảng đơn hình mới. Trong bảng mới ta lại giải hệ bất phương trình: ( )jt  Aj B tj. 0, j1,n ,…

Trường hợp 2. Bài tốn P t( )0 khơng có phương án tối ưu. Tồn tại k( )t0  Ak B tk.0  mà 0 aik   . 0, i

 Nếu Bk  thì bài tốn ( )0 P t khơng có patu với mọi t[ , ]  .

 Nếu Bk  thì bài tốn ( )0 P tkhơng có phương án tối ưu với mọi t mà

Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại I cần 1 tấn nguyên liệu, sản phẩm loại II cần

1,2 tấn nguyên liệu. Giá mua nguyên liệu loại I là t usd/tấn; giá mua nguyên liệu loại II cũng là t usd/tấn, nhưng mỗi đơn vị sản phẩm làm ra được khuyến mại 3 usd.

Trong thời gian tới, giá nguyên liệu có khả năng biến động từ 10 đến 20 usd/tấn. Vậy với nguyên liệu biến động trong khoảng đó thì mỗi tháng Xí nghiệp cần sản

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

xuất bao nhiêu sản mỗi loại để tổng chi phí mua nguyên liệu là thấp nhất? Biết rằng:

kwh, trong khi chỉ tiêu điện năng hàng tháng của Xí nghiệp khơng vượt q 20000 kwh.

Giải. a) Phân tích và lập mơ hình tốn:

Tổng chi phí mua ngun liệu là:

b) Giải bài tốn P(t)

Đưa bài toán về dạng chuẩn tắc (bài toán M)

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

TT Hệ số acb

Ẩn cb

Ph. án

  

Giải. Gọi bài toán trên là bài toán ( )P t với 2   . t 8

Bước 1: Áp dụng phương pháp đơn hình giải bài tốn (0)P (t  ). 0

Các bảng đơn hình:

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

TT Hệ số acb

Ẩn cơ bản

Phương án

Bước 2: Trong bảng 2, thay các hệ số cj dj.0 bởi cj d tj. và tính lại lượng kiểm tra j( )t , ta có bảng 3 sau:

TT Hệ

số acb

Ẩn cơ bản

Ph. án

2 t 6 1t 7 4t 2 1t 2 t 2 32

Vậy bài tốn ( )P t có patu là (0)

min( ) ( ) 6

ft  f x  t

 Xét trường hợp t 1, trong bảng 3 có 2( )t    nên ẩn vào sẽ là t 1 0 x2 và thay ẩn ra là x5. Ta có bảng 4:

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

TT Hệ số acb

Ẩn cơ bản

Ph. án

2 t 6 1t 7t 2 14 t 2 t 2 32

Ẩn cơ bản

Ph. án

2 t 6 1t 7t 2 14 t 2 t 2 32

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

Từ bảng 5, có thể suy ra X2 cũng là phương án tối ưu của bài toán (2)P .

1.7. Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

Với mỗi bài tốn quy hoạch tuyến tính – cịn gọi là bài toán gốc, tương ứng duy nhất một bài toán qhtt đối ngược với nó – cịn gọi là bài toán đối ngẫu. Hai bài toán

qhtt này tạo thành một cặp bài tốn qhtt đối ngẫu nhau, tính chất của bài tốn này có thể được khảo sát thơng qua tính chất của bài tốn kia. Nhiều quy trình tính tốn hay phân tích các biến kinh tế được hồn thiện khi xem xét cặp bài tốn trên trong mối liên quan chặt chẽ của chúng, mang lại lợi ích trong việc giải quyết các vấn đề phát sinh từ thực tế. Chúng ta xét hai ví dụ dẫn nhập sau đây.

1.7.1. Hai ví dụ dẫn nhập

a) Bài toán sản xuất đá xây dựng (bài toán gốc):

Một doanh nghiệp A sản xuất 3 loại đá dùng cho xây dựng. Giá bán một đơn vị đá loại I, loại II và loại III tương ứng là 90 triệu đồng, 140 triệu đồng và 50 triệu đồng.

và có chất lượng như nhau) và 5 thùng thuốc nổ trong kho để sử dụng cho một tháng. Số thiết bị cần thiết để sản xuất 1 đơn vị đá loại I, II và III tương ứng là 9 chiếc, 4 chiếc và 4 chiếc. Diện tích mặt bằng mà 1 đơn vị đá loại I, II và III chiếm chỗ tương ứng là 900 m2, 500 m2 và 500 m2. Đặc biệt, để sản xuất 1 đơn vị đá loại II cần 1 thùng thuốc nổ.

Bài toán đặt ra là: mỗi tháng, doanh nghiệp phải sản xuất bao nhiêu đơn vị đá

mỗi loại để tổng doanh thu lớn nhất?

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Giải. Gọi x x x1, ,23 tương ứng là số đơn vị đá loại I, II, III cần sản xuất trong một tháng.

Mơ hình tốn: Tìm vector x( , , )x x x1 2 3 sao cho

b) Bài toán cho thuê cơ sở sản xuất (bài tốn đối ngẫu):

Doanh nghiệp A nói trên có chủ trương chuyển hướng hoạt động sang lĩnh vực khác sau vài tháng nữa, vì vậy từ nay đến lúc đó họ cân nhắc giữa việc tiếp tục sản xuất theo kế hoạch đã lập và việc cho doanh nghiệp B thuê lại cơ sở sản xuất. Tất nhiên, giá cho th tồn bộ cơ sở sản xuất phải khơng dưới 1080 triệu đồng/tháng, nếu khơng được vậy thì tiếp tục sản xuất.

Bài toán đặt ra là: nếu cho thuê tồn bộ cơ sở thì cần định giá cho th 1 thiết bị,

doanh nghiệp B là thấp nhất, đồng thời thỏa mãn yêu cầu của doanh nghiệp A.

Giải. Gọi y1 là giá cho thuê 1 thiết bị, y2 là giá cho thuê 100 m2 mặt bằng và y3 là giá bán 1 thùng thuốc nổ.

đồng. Do đó giá cho thuê cơ sở này để xản suất 1 đơn vị đá loại I không được nhỏ hơn 90 triệu đồng:

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

Từ các điều kiện (1) đến (4), ta có mơ hình của bài tốn là: Tìm y( , , )y y y1 2 3 sao cho:

Hai bài toán trên đây là một ví dụ về một cặp bài tốn đối ngẫu của bài toán qhtt.

1.7.2. Định nghĩa cặp bài toán đối ngẫu

Từ hai bài toán dẫn nhập và các các bài thực tế, người ta đưa ra các định nghĩa tổng quát về bài toán đối ngẫu như sau:

buộc biến

x 

 Ràng buộc chung