ĐỊNH LÝ VIÈTE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.63 MB, 38 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

MỤC LỤC

PHẦN 1. MỞ ĐẦU... 1

1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ... 1

1.2. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI ... 1

1.3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ... 1

1.3.1. Đối tượng nghiên cứu ... 1

1.2. Định lý Viète đối với phương trình bậc ba ... 4

1.3. Định lý Viète đối với phương trình bậc n ... 5

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÈTE ... 6

2.1. Ứng dụng định lý Viète đối với phương trình ... 6

2.1.1. Đối với phương trình bậc hai ... 6

2.1.1.1. Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm ... 6

2.1.1.2. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số ... 10

2.1.1.3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ... 17

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2.1.2.2. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm ... 20

2.1.2.3. Tìm tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K ... 21

2.1.2.4. Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số cộng ... 22

2.1.2.5. Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số nhân ... 23

2.2. Ứng dụng định lý Viète đối với hệ phương trình ... 24

2.2.1. Giải hệ phương trình đối xứng loại I hai ẩn ... 24

2.2.2. Giải hệ phương trình đối xứng ba ẩn ... 26

2.3. Ứng dụng định lý Viète đối với bất đẳng thức ... 28

PHẦN 3. KẾT LUẬN ... 32

PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 33

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

PHẦN 1. MỞ ĐẦU

1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Như chúng ta đã biết, tốn học có vai trị rất quan trọng trong nghiên cứu khoa học và đời sống xã hội. Việc giảng dạy và học tập để lĩnh hội được kiến thức toán một cách vững vàng đòi hỏi người dạy và học phải có một sự đầu tư cơng phu và đúng phương pháp, kiến thức tốn cần phải trình bày và nắm bắt một cách có hệ thống.

Về chủ đề định lý Viète, em thấy đã có nhiều tác giả viết và xuất bản, nhưng

đa phần chỉ là một ứng dụng riêng lẻ vào một dạng bài tập nào đó, rất ít có tài liệu hệ thống, tổng hợp phong phú các ứng dụng của định lý này, nhất là các dạng toán liên quan đến tính chất nghiệm của phương trình, hệ phương trình.

Do đó em đã quyết định chọn đề tài “ Định lý Viète và một số ứng dụng” để làm

nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp, với ba mức ứng dụng của định lý Viète vào

phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức.

1.2. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI.

Mục đích của khóa luận này là trình bày các ứng dụng của định lý Viète. Từ cơ sở

lý thuyết trình bày trước đó, khóa luận đưa ra hệ thống các ví dụ giúp hiểu sâu hơn các vấn đề mà phần lý thuyết trình bày, qua đó giúp người đọc nắm rõ hơn

phương pháp giải của một số dạng toán liên quan định lý Viète. 1.3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

1.3.1. Đối tượng nghiên cứu.

Định lý Viète và các ứng dụng của định lý Viète. 1.3.2. Phạm vi nghiên cứu.

- Định lý Viète đối với phương trình bậc 2, bậc 3 và bậc n.

- Ứng dụng của định lý Viète đối với phương trình, hệ phương trình và bất đẳng

thức.

1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

- Phương pháp tổng hợp.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

1.5. ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI.

Khóa luận là tài liệu tham khảo tốt cho các giáo viên và học sinh khi dạy và học về

định lý Viète.

1.6. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI.

Khóa luận được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây:

CHƯƠNG 1. ĐỊNH LÝ VIÈTE.

- Định lý Viète đối với phương trình bậc hai. - Định lý Viète đối với phương trình bậc ba.

- Định lý Viète đối với phương trình bậc n.

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÈTE. - Ứng dụng định lý Viète đối với phương trình.

- Ứng dụng định lý Viète đối với hệ phương trình. - Ứng dụng định lý Viète đối với bất đẳng thức.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

PHẦN 2. NỘI DUNG

CHƯƠNG 1. ĐỊNH LÝ VIÈTE.

1.1. Định lý Viète đối với phương trình bậc hai. 1.1.1. Định lý 1.1.

ax bx c  a có hai nghiệm x x thì 1, 2ta có: Sx1 x2 b, Px x1. 2 c

Chứng minh:

Vì phương trình (1.1) có hai nghiệm x x nên 1, 2  b24ac0.

- Nếu   0 b2 4ac thì phương trình (1.1) có nghiệm kép 1 22

   .

Khi đó: 1 2 bxx

  

Khi đó: x1 x2 ba

   ; x x1. 2 c

 .

1.1.2. Các hệ quả.  Hệ quả 1.1.

- Nếu phương trình bậc hai: 2



</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Suy ra có một nghiệm bằng 1 và nghiệm còn lại là c

- Nếu P0 thì phương trình (1.3) có hai nghiệm trái dấu, tức là: x1 0 x2.

- Nếu P0 và S 0thì phương trình (1.3) có hai nghiệm cùng dương, tức là: 12

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

x x x

    

  

   

... ( 1)

ax xx

     

Ngược lại nếu bộ các số



x x1 ; 2 ;... ;x thỏa mãn hệ n

 

I thì chúng là nghiệm của

phương trình

 1.5

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÈTE. 2.1 . Ứng dụng định lý Viète đối với phương trình.

2.1.1. Đối với phương trình bậc hai.

2.1.1.1. Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm.

Trong khi làm các bài tập dạng này, ta cần lưu ý sự tờn tại nghiệm của phương trình, sau đó biểu diễn các biểu thức qua x1x2 và x x để có thể sử dụng định lý Viète. 1 2

Các hằng đẳng thức hay dùng là:

   

 

Kết hợp điều kiện, ta được:

m  1m5

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

b) Tìm a để tổng bình phương hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.

GIẢI:

a) Ta có:

3 ( ) 2 13( 1)

xxx xxx

Ví dụ 4. Tìm m sao cho phương trình 22

x  m x m   có nghiệm thỏa mãn 22

12212

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Lại có biểu thức ban đầu được đưa về là:

 

- Nếu x2  1 2m thay vào

 

2.4 ta được:

1 2 22 1 2

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Thay x x vào 1, 2

 

2.5 ta được:

1 2121 2122

x xx xxx



</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Lấy

   

2.8 , 2.9 thay vào



2.10



thì ta được: 12

2.1.1.2. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số.

Trong dạng bài tập so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số ta thường sử dụng hệ quả 3 của định lý Viète đối với phương trình bậc hai như đã trình bày trong phần lý thuyết.

Ngồi ra cịn sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó như sau:

- Nếu  0 thì:

 af x( )0, với mọi x thỏa mãn điều kiện x x1 hoặc x2 x.

 af x( )0, với mọi x thỏa mãn điều kiệnx1 xx2.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Ta thấy giả thiết của định lý đảo rơi vào trường hợp này. Do đó tam thức có hai nghiệm: x x1; 2



x1 x2



và x1   x2.

Từ định lý đảo, ta rút ra các hệ quả sau:

Hệ quả 2.1. Điều kiện cần và đủ để tam thức: 2

f x ax bx c  (a0) có hai nghiệm x x ; 1; 2



x1 x2



là có số thực  sao cho af( ) 0.

Hệ quả 2.2. Cho tam thức bậc hai : 2

f  f   ( hệ quả được chứng minh ).

 Sau đây là một vài hướng đề xuất về so sánh nghiệm vào giải bài tập.

HƯỚNG ĐỀ XUẤT THỨ NHẤT: ĐƯA VỀ SO SÁNH NGHIỆM VỚI SỐ 0.

Ta sẽ tìm cách đưa về so sánh nghiệm với số 0.

Ta thống nhất các đại lượng ; S; P là của hàm g(t) nào đó.

i) Tam thức f x( )ax2bx c 0



a0



có hai nghiệm: x1   x2

   x1



0 x2



Đặt t x , dẫn đến ( )g t  f t( ) có hai nghiệm t1   0 t2 P 0

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Đặt t x , dẫn đến ( )g t  f t( ) có hai nghiệm t1  t2 0

 

 

Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 6. Tìm m để phương trình 2

(m1)x (m3)x2m 3 0 (2.13) có hai nghiệm x x thỏa mãn : 1; 2 x1  2 x2.

GIẢI:

Ta có: x1  2 x2     x1 2 0 x2 2. Đặt t x 2, phương trình (2.13) trở thành:

(m1)(t2)2(m3)(t 2) 2m 3 0 (m1)t2(3m1)t 1 0 (2.14).

Phương trình (2.13) có hai nghiệm x x thỏa 1; 2 x1   2 x2 khi và chỉ khi (2.14) có nghiệm t1 0 t2 tức là (2.14) có nghiệm trái dấu.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Điều này xảy ra khi (2.16) có :

HƯỚNG ĐỀ XUẤT THỨ HAI: TRÌNH BÀY TRỰC TIẾP ĐỊNH LÝ ĐẢO.

Hướng đề xuất đem về so sánh nghiệm với số 0 thực ra chỉ thuận tiện khi việc so sánh diễn ra không phải với nhiều số. Khi việc so sánh diễn ra một lúc với nhiều số thì việc

chuyển qua hàm g(t) như ở trên sẽ mất nhiều thời gian . Vì thế định lý đảo có những

mặt tích cực nhất định trong những bài tập như thế. Quá trình so sánh nghiệm thường được đưa về qua các bài tốn cơ bản sau.

i) f(x) có duy nhất nghiệm thỏa mãn x > a .

Xảy ra một trong các trường hợp sau:

TH3: f(x) có nghiệm

 x

1

x

2 

( ) 02

S  

TH3 : f(x) có nghiệm

 x

1

x

2 

0( ) 02

 

 

Đối với trường hợp ii) này ta có thể làm gián tiếp. Ta tìm m để f(x) khơng có nghiệm

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

TH2: f(x) có nghiệm x1 x2  

0( ) 02

 

 

 

iv) f(x) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (α; β).

TH1: f(x) có nghiệm là , nghiệm kia thuộc (;) f( ) 0

 

v) f(x) có ít nhất một nghiệm nằm ngoài khoảng (α; β) .(tức là x hoặcx β ).

Đối với trường hợp này ta làm gián tiếp. Tức là tìm điều kiện để f(x) khơng có nghiệm

nằm ngồi khoảng (;).

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

TH1: f(x) vơ nghiệm 0.

TH2: f(x) có cả hai nghiệm thuộc khoảng (;)

0( ) 0( ) 0

 

Sau đó ta loại đi các giá trị tham số vừa tìm, ta được các giá trị tham số cần tìm.

Trên đây là 5 dạng toán cơ bản về so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số, trong khi làm bài ta có thể gặp dưới một dạng khác, lúc đó chỉ cần xử lý linh động là ta có thể giải được.

d) Phương trình có ít nhất một nghiệm thỏa mãn x2.

b) Ta giải gián tiếp.

Tìm m để phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn

x4

TH1: f(x) vô nghiệm   0 2

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

TH2: f(x) có cả hai nghiệm thuộc khoảng [-4;4].

  

c) Có 4 trường hợp xảy ra:

2( 1) 0

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Đặt t  x 1 0, thì x2 2x t2 1. Phương trình trở thành: 22

t mt m   (2.18), để (2.17) có nghiệm thì (2.18) phải có ít nhất một nghiệm t0.

2.1.1.3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Thì ta thấy: C m vì A( 0 )MinC  mA 0 Ck vì B( 0 )MaxC  kB 0

Ta thường áp dụng điều này và định lý Viète để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức thỏa mãn giữa các nghiệm của phương trình bậc hai như các ví dụ sau:

121 2

2 3

x xB

xxx x

GIẢI

Ta có: Theo hệ thức Viète thì : 1 21 2 1

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Vì



2



22

22 2

2.1.2. Đối với phương trình bậc ba.

2.1.2.1. Giải phương trình khi biết tính chất của các nghiệm.

Ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Dựa vào định lí Viète ta xác định được một nghiệm

x

0của phương trình.

Bước 2: Lựa chọn một trong hai hướng.

Hướng 1: Nếu phương trình khơng chứa tham số, thì biến đổi phương trình về dạng

GIẢI:

Giả sử phương trình có ba nghiệm x x x và 1, 2, 3 x x1. 3  1. Ta có:

1 2312

x x x  

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Phương trình (2.20) được viết lại như sau:



2



  

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: 12

x hoặc 23

x hoặc 32

 

3

 

2



m m m  m m . Thay m1 vào



2.21



ta được: 32



2



x  x    xx x  x 1

  

(thỏa mãn x1x3 0).

Vậy m1 thỏa mãn điều kiện bài tốn.

2.1.2.2. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm.

Ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Thiết lập hệ thức Viète giữa các nghiệm của phương trình hệ thức Viète. Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua hệ thức Viète.

Chú ý: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình là biểu thức có giá trị

khơng thay đổi khi ta hoán vị các nghiệm.

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Ví dụ 14. Giả sử phương trình 2x3 x2 m 0 có ba nghiệm phân biệt x x x . Tính 1, 2, 3

1231231 2233 112

x x x  x  xx  x x x x x x  .

2.1.2.3. Tìm tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K.

Bài toán thường được giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ. Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện cần. Giả sử phương trình có ba nghiệm, khi đó ta có được hệ thức

Viète giữa các nghiệm.

Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thơng qua hệ thức Viète để tìm tham số m .

Bước 3: Điều kiện đủ. Thay giá trị m tìm được vào lại phương trình để tìm chính xác

m nào thỏa mãn.

Ví dụ 15. Xác định m để phương trình : 32

x  mx  x m  có ba nghiệm phân biệt x x x thỏa mãn 1; 2; 3 222

33 2

xxxmx xx xx xx x xm

  

2

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Ta phải chứng minh với m 1 thì g x có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là

 

chứng minh:

có ba nghiệm x x x lập thành cấp số cộng, ta thực hiện theo các bước: 1; 2; 3

Bước 1: Điều kiện cần.

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó: x1x3 2x2

Đó chính là điều kiện cần để (2.22) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng.

Bước 2: Điều kiện đủ.

Với giá trị tham số tìm được từ (2.23) thay vào phương trình (2.22) và giải các nghiệm của phương trình, kiểm tra thỏa mãn điều kiện của một cấp số cộng. Nếu thỏa thì giá trị tham số thỏa (2.23) chính là giá trị cần tìm.

Ví dụ 16. Xác định m để phương trình: x33x29x m 0 (2.24) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng.

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Đó chính là điều kiện cần để (2.24) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng.

Điều kiện đủ.

Với m11, ta được:

  

  

thỏa mãn (2.25) .

Vậy với m11 thỏa điều kiện bài tốn.

2.1.2.5. Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình:

ax bx   cxda (2.26)

Có ba nghiệm x x x lập thành cấp số nhân, ta thực hiện theo các bước: 1, 2, 3

Bước 1: Điều kiện cần.

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, khi đó: x x1 3  x22

21 2233 11 2232

Đó chính là điều kiện cần để (2.26) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

Bước 2: Điều kiện đủ.

Với giá trị tham số tìm được từ (2.27) thay vào phương trình (2.26) và giải các nghiệm của phương trình, kiểm tra thỏa mãn điều kiện của một cấp số nhân. Nếu thỏa thì giá

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Ví dụ 17. Xác định m để phương trình: 32



x  x  m x m  (2.28) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

21 2232

x xx xx xmx xx xxm

 

  

Đó chính là điều kiện cần để (2.28) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

 không thỏa mãn.  Với m 3, ta được: 32



2



Vậy không tồn tại m thỏa mãn điều kiện bài toán.

2.2. Ứng dụng định lý Viète đối với hệ phương trình. 2.2.1. Giải hệ phương trình đối xứng loại I hai ẩn.

Hệ đối xứng loại (kiểu) I hai ẩn có dạng tổng quát:

 

f x yg x y



</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Phương pháp giải chung:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2

x yxy

23030

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

2.2.2. Giải hệ phương trình đối xứng ba ẩn.

Thơng thường ta tìm cách biểu diễn các phương trình trong hệ qua các biểu thức đối xứng sơ cấp đó là : x yz ; xy yzzx ; xyz ( đối với hệ 3 ẩn). Ta cần sử dụng các hằng đẳng thức đối xứng:

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Ví dụ 22. Giải hệ phương trình :

GIẢI:

Ta có: 2 2 2



2



x y z  x yz  xyyzzx  . Từ đó suy ra: xyyzzx 6.

Mà phương trình trên có các nghiệm (1 ; 2 ;4) .

Vậy hệ trên có 6 nghiệm



x y z tương ứng là các hoán vị của bộ số (1 ; 2 ; 4), ,



 .

Ví dụ 23. Giải hệ phương trình 2226

   

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

   

Suy ra: xyzxyyzzx27.

Theo định lý Viète ta có



x y z là nghiệm của phương trình sau: , ,



t39t227t270 3

(t 3) 0

Từ đó hệ phương trình có nghiệm là x  yz 3.

2.3. Ứng dụng định lý Viète đối với bất đẳng thức .

Hầu hết định lý Viète được dùng để chứng minh các bất đẳng thức. Để có thể sử dụng định lý Viète, thông thường các dữ kiện của bài tốn thường đưa về được dưới dạng tổng và tích các ẩn. Q trình chứng minh ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, bất đẳng thức cổ điển, các phép biển đổi tương đương…

Ví dụ 25. Cho x,y,z khác 0 và thỏa mãn x  yzxyz và x2  yz. Chứng minh rằng:.

GIẢI:

Từ giả thiết ta có:

  

  

Điều kiện ở bất phương trình thứ 2 khơng thể xảy ra. Vậy: 2

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Ví dụ 26. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: x  yz 5và xyyzzx8. Chứng minh rằng

1; ;7.

  

121 212

12 1 121 2 0

x x  x x x x  .

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Giản ước và quy đồng ta thu được điều cần chứng minh (2.37).

Bây giờ trở lại bài toán (2.36) do các

a

i

0

nên suy ra các nghiệm xi của phương trình đều âm.

Theo định lý Viète ta có: x x x1 2 3  xn

 

1 n. Theo bất đẳng thức Minkowski ta có:

n ( ) n( 1).( 2)...( )

nP x  xxxxxx .

</div>

ĐỊNH LÝ VIÈTE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

<b>MỤC LỤC </b>

<b>PHẦN 1. MỞ ĐẦU </b>

<b>PHẦN 2. NỘI DUNG </b>





 

 1.5

<i>m</i>  1<i>m</i>5

 

 

   





















 <i>x</i>

<i>x</i>

 <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>4



<sup></sup><sup></sup>

<i>x</i>





 

 











 







 

 













1; ;<sup>7</sup>.

<i>a</i>

0

 

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về