Bài giảng giải tích 2 eg10 2 Đại học mở hà nội

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.84 MB, 151 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP

Tích phân hai lớp là sự mở rộng của tích phân xác định khi hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào 2 biến số. Việc xác định các cận của miền lấy tích phân tỏ ra quan trọng. Ta có thể xét các ứng dụng của tích phân xác định trong các việc: Tính thể tích vật thể trong khơng gian, tính diện tích hình phẳng.

Bài gồm các nội dung:

1.1. Định nghĩa tích phân hai lớp 1.2. Các tính chất của tích phân hai lớp

1.3. Cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề–các (vng góc) 1.4. Tích phân hai lớp trong hệ tọa độ cực

1.5. Ứng dụng của tích phân hai lớp 1.6. Bài tập

Mục tiêu:

Sau khi học xong bài này, anh/chị sẽ: - Nắm được khái niệm tích phân hai lớp;

- Nắm được các tính chất của tích phân hai lớp;

- Nắm được cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề-các, hệ tọa độ cực và ứng dụng của tích phân kéo trong việc tính thể tích vật thể, tính diện tích hình phẳng;

- Làm thành thạo các bài tập

Chú ý: Các bài tập cuối chương đều có bài giải và đáp án để anh/chịtự đối chiếu. Tuy nhiên, anh/chị nên tự làm bài trước, rồi so sánh với đáp án.

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 2 LỚP

Giả sử cho z f x y

 

, xác định trong miền D. Xét vật thể hình trụ có đáy là miền phẳng D trên mặt phẳng Oxy, có đường sinh song song với Oz mà mặt trên là mặt cong xác định bởi z f x y

 

, , trong đó hàm f x y

 

, 0 và liên tục (xem đồ thị 9.1). Hãy tính thể tích của hình trụ đó.

- Chia miền D thành n mảnh nhỏ có diện tích  S1, S2,...,Sn.

- Lấy mỗi mảnh nhỏ làm đáy đựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với Oz và phía trên giới hạn bởi mặt cong z f x y

 

, . Như vậy, vật thể hình trụ đã được chia ra thành n vật thể hình trụ nhỏ, i1,n.

- Trong những mảnh nhỏ S ii



1,n



ta lấy một điểm tùy ý M x yi



i, i



Tích f x y



i, i



Si xấp xỉ bằng thể tích vật thể hình trụ nhỏ thứ :

1,

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

: yếu tố diện tích, : các biến tích phân

f x yDdSx y

Vỡ tớch phõn I khụng phụ thuộc vào cỏch chia miền D nờn nếu chia D bởi cỏc đường song song với Ox và Oy thỡ dSdxdy và 

 

D D1, 2 khơng có điểm chung trong xem đồ thị 9.2



4. Nếu gọi S là diện tích hình phẳng thì:D

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

6. Nếu m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f(x,y) trong miền D,S lµ diƯn tÝch cđa D thì: 

 

, 

mSf x y dxdyMS

7. (Định lý về trung bình) Nếu f x y

 

, liên tục trên miền liên thơng D thì trong D

phải có ít nhất 1 điểm

 

 , sao cho:

 

, 

 

 ,

  2

I 



f x y dxdy

 

dxf x y dy

x d

b a

0 y

D

Đồ thị 1.3

b d

y

D

Đồ thị 1.4

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Ví dụ 2: Tính

 

 

Minh họa trên đồ thị 1.5

Rõ ràng nên tính theoy trước:

 

272 6

xx dx

x yxxyD

 

Minh họa trên đồ thị 1.7

1 4

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Rõ ràng nên tính theo

x

2 31

y xdyy

y dyy

* Tổng quát:

Quy tắc xác định cận: Nếu tính tích phân theo y trước, ta kẻ 1 đường song song với đường Oy theo hướng của trục, cắt biên giới của D lần lượt tại 2 điểm P Q P, . được gọi là điểm vào, Q được gọi là điểm ra.

Cận dưới của tích phân theo y là đoạn đường cong chứa điểm vào P có phương trình yy x1

 

. Cận trên của tích phân theo y là đoạn đường cong chứa điểm ra Q có phương trình yy2

 

x .

Chiu ton b D xung trc Ox ta được 2 ®iÓm , . a b a là cận dưới của tích phân theo ,

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

 

1Ta cã: ,

Đồ thị 1.9

y d

P D

Q

Đồ thị 1.8

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

3. Đổi thứ tự lấy tích phân

 

  

1.4. TÍCH PHÂN HAI LỚP TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Ta đã biết công thức liên hệ giữa tọa độ Đề-các

 x y,

và tọa độ cực

 r,

của cùng một điểm

M

là:

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Chia

D

thành các miền nhỏ bởi các vòng tròn đồng tâm (r lấy các giá trị hằng số

khác nhau) v cỏc tia ( lấy các giá trị h»ng sè kh¸c nhau) (Đồ thị 9.11). Xem mỗi mảnh nhỏ như một hình chữ nhật có kích thước là:

Khi đó:

 

22  



    



2



2

cos , sin

Đồ thị 1.11

Ví dụ: Tính



224

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

2 cos22

33 3

220

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

 





04

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

- Nắm được các tính chất của tích phân hai lớp;

- Nắm được cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề-các, hệ tọa độ cực - Ứng dụng của tích phân hai lớp trong việc tính thể tích vật thể, tính diện tích hình phẳng;

Chúc Anh/Chị học tập tốt!

1.7 BÀI TẬP CĨ GIẢI THÍCH ĐÁP ÁN1. Tính 



2 



  

 

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

2 6 5 30

  

1

Hình 1.16

2

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

1, 22

 

   

 

 



</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

  

  

  

Vậy:

201

21 2

2 31

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường racos , rbcos



ab



D1 là phần của miền D nằm phía trên trục Ox (Hình 6). Giải:

Do D đối xứng nên diện tích của miền D bằng:

cos2

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

2022 2

1 cos 22

  

Đáp số: [c] vì chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là ở phần mặt tròn với

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

24, 0 1

[c] 7

Đáp số: [d] vì chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">



[c]

214

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

x y  và y ≥ 0 [a] 8 2

Đáp số: [a] vì chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là nửa đường tròn trên ở

bên phải gốc tọa độ

[a] 3

[b] -3

[c] 3

[d] -3

Đáp số [a] vì chuyển sang tọa độ cực

00

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

[a] 2

[b] -2

[c]

[d]

Đáp số [a] vì chuyển sang tọa độ cực

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

BÀI 2: TÍCH PHÂN BỘI BA

- Nắm được ứng dụng của tích phân ba lớp trong việc tính thể tích vật thể, tính khối lượng và tọa độ trọng tâm của vật thể;

- Nắm được cách tìm mơ men qn tính đối với các trục Õ, Oy, Oz tương ứng. - Làm thành thạo các bài tập

Chú ý: Các bài tập cuối chương đều có bài giải và đáp án để anh/chịtự đối chiếu. Tuy nhiên, anh/chị nên tự làm bài trước, rồi so sánh với đáp án.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x,y,z) trong miền V.

Nếu khi n→∞ sao cho max di → 0 (di là đường kính của miền nhỏ Vi ) mà In dần tới một giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm Mi trong miền Vi, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân bội ba của hàm số

f(x,y,z) trong miền V và kí hiệu bởi

Nếu tích phân trên tồn tại, ta nói rằng hàm số f(x,y,z) khả tích trong miền V. Nếu hàm số f(x,y,z) liên tục trong miền bị chặn, đóng V thì nó khả tích trong miền

ấy.

Nếu f(x,y,z) là khối lượng riêng của vật thể V thì tích phân trên cho ta khối lượng của vật thể ấy.

Nếu f(x,y,z) = 1 thì

dVV



cho ta thể tích của miền V. Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân hai lớp.

Chú ý: Vì tích phân bội ba không phụ thuộc cách chia miền V thành các miền nhở, ta có thể chia miền V bởi ba họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ ,

khi đó dV = dxdydz và có thể viết



</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

2.2. CÁC CƠNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN BA LỚP 1.Trong toạ độ vng góc:

z (x,y)2

I= f(x,y,z)dxdydz= dxdy f(x,y,z)dz

1x y (x) z (x,y)

I = dfdr f(rcosf, rsinf, z) rdz

1r (f) z (r,f)

df rdr f(rcosf, rsinf, z) dza r (f) z (r,f)



</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

4. Đổi biến tổng quát.

Nếu các biến x, y, z, được chuyển sang các biến u, v, w theo các hệ thức

x = x (u, v, w), y = y (u, v, w), z = z(y, v, w), thì ta có cơng thức đổi biến tổng quát của tích phân ba lớp là:

= f x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w) Jdudvdw,v

u v wz z zu v w

   

    

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

1 x y

z 1 x yz 03

y 1 xy 02

   

I



x dxdydz, với V là miền giới hạn bởi elipxoit 222

1a b c  .

Giải:

Ta có 2

( )

S xa

x dx







( )dydz

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

30

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

I y z . x, y, z dxdydz;I z x . x, y, z dxdydz;I x y . x, y, z dxdydz.

Bạn đọc tự suy ra trường hợp vật thể đồng nhất (có  hằng số, hoặc  1).

Ví dụ 4. Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt trụ x2 + y2 = 2ax, mặt parabôlôit x2+ y2 = 2az và mặt xOy.

Giải. Miền V có mặt vào là z = 0, mặt ra là 1



22



</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

21(3 x)

Ví dụ 6: Tính mơmen qn tính của hình trụ đứng trịn xoay có chiều cao 2h, bán

kính R đối với đường kính của thiết diện trung bình của nó, biết rằng hình là đồng chất với mật độ không đổi 0

Giải: Chọn hệ toạ độ sao cho trục Oz trùng với trục đối xứng, gốc toạ độ trùng với tâm đối xứng và trúc Ox trùng với đường kính của thiết diện của thiết diện trung bình. Khi đó ta có:

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

- Nắm được các tính chất của tích phân bội ba;

- Nắm được cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các, hệ tọa độ cực,tọa độ trụ, tọa độ cầu và đổi biến số trong tích phân bội ba;

- Nắm được ứng dụng của tích phân bội ba trong việc tính thể tích vật thể, tìm trọng tâm của vật thể.

2.5 BÀI TẬP CĨ GIẢI THÍCH ĐÁP ÁN

1. Tính

zdxdydzv

I , trong đó V là miền xác định bởi các bất đẳng thức:

Giải.

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

I dx dy zdz dx dy.z2

c) Nửa trên của khối elíp:

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

c) Dùng toạ độ trụ hoặc toạ độ cầu suy rộng: Nếu dùng toạ độ trụ:

Nếu dùng toạ độ cầu suy rộng: đặt

x a sin cos , y  a sin sin , z  c cos

2 a c.15

I 



, trong đó V là miền xác định bởi các mặt: x  y z1; x , y 0, z0.

Kết quả nào sau đây đúng?

A. I = 112

B. I = 112

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

-C. I =

D. I =

Đáp số A vì Xác định miền V

   

    

(x y )dxdydzv

I  , trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ: 22

x y 2x và các mphang x0, y0, za. Kết quả nào sau đây đúng?

A. I = 3 a

B. I =- 3 a

C. I =

3 a2

D. I =

3 a2

Đáp số A vì

D0

Id dr r dz

Xác định miền D

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

20 r 2 cos

  

  

(x y )dxdydzv

I  , trong đó V là nửa trên của hình vành cầu:

a x y z b và z0. Kết quả nào sau đây đúng?

A. I =

(ba )

B. I =-

(ba )

C. I =

(ba )

D. I =

B. I = - 

C. I = - 2

D. I = 2 

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

B. I = 6 2

C. I =

4 235

D. I =

8 233

Đáp số A vì

2 221

8 235

Câu 6. Tính mơ men qn tính của hình trụ đứng trịn xoay có chiều cao 2h

bán kính R đối với đường kính của thiết diện trung bình của nó, biết rằng hình trụ đồng chất với mật độ không đổi bằng 0.

Kết quả nào sau đây đúng? 2

RI  hRh A.

RI  hRh 

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

RI  hRh 

C.

RI  hRh 

D.

RI  h Rh 

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

[a] 12 [b] 6

[d]

Đáp số [d] vì dùng hệ tọa độ tương ứng

Câu 13. Tích phân 3V

z dxdydz



, với V là hình trụ   

 

221

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

[b] 815

[c] 615

[d] 415

Đáp số [b] vì dùng hệ tọa độ tương ứng.

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

BÀI 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Tích phân đường xét tích phân của hàm 2 biến trên một đường cong. Người ta chia ra hai loại: Tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai.

Tích phân đường loại một có những tính chất giống tích phân xác định, và không phụ thuộc cách chọn hướng trên đường cong lấy tích phân.

Tích phân đường loại hai xét tích phân của hai hàm 2 biến, một hàm có biến tích phânx và một hàm có biến tích phâny, cũng dọc theo một đường cong. Khi đường cong kín thì với một số giả thiết, ta có thể chuyển việc tính tích phân đường sang việc tính tích phân hai lớp.

Mục tiêu:

- Nắm được khái niệm tích phân đường loại một và loại hai; - Nắm được các phương pháp tính tích phân đường;

3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

Cho hàm f M

 

 f x y

 

, liên tục trên đường cong phẳng AB trơn (có tiếp tuyến với đường cong biến thiên liên tục) hoặc trơn từng khúc. Ta có tích phân đường loại một của hàm f x y

 

, theo đường cong AB, ký hiệu là:

f x y ds f x y x yx dx

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Nếu

AB

là đường cong trơn trong không gian cho bởi phương trình tham số

   

f x y z ds f  t  t  t  t  t  t dt

Nếu gọi f x y z



, ,



là mật độ đường cong AB thì tích phân đường loại một của f

trên AB chính là khối lượng M của AB và khi đó tọa độ trọng tâm



x y z0, 0, 0



của AB được

Nếu F

 

P Q, là một véc tơ lực thì về mặt vật lý tích phân đường loại hai là

cơng của lực này sinh ra khi di chuyển một chất điểm từ A đến B theo đường cong AB.

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

Tớch phõn đường loại hai cú tớnh chất như tớch phõn xỏc định. Để tớnh tớch phõn đường loại hai, ta đưa về tớch phõn xỏc định. Nếu đường cong

AB

được cho bởi

Ixydxx ydyAB theo cỏc đường: a. Đường thẳng AmB.

b. Đường parabol AnB có trục đối xứng là trục Ox.

Giải: Phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm

20

</div>Trang 41<div class="page_container" data-page="41">

cho một người đi dọc theo chiều ấy sẽ thấy miền D giới hạn bởi L gần nhất về phía tay trái. Trên D DL cho các hàm P x y Q x y

   

, , , xác định và liên tục cùng với đạo hàm cấp 1, ta có cơng thức Green liên hệ giữa tích phân đường loại hai và tích phân hai lớp:

Iyxdxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi elip

2222 1

xyab .

Iyx dxdyydxdyxdxdy

Vì miền D đối xứng qua các trục tọa độ và các hàm dưới dấu tích phân là lẻ đối với y hay , nên tích phân trên xI 0.

tớnh trực tiếp tích phân trên, ta đổi phương trình elip sang dạng tham số

Tích phân thứ 2 và thứ 4 bằng 0, do hàm dưới dấu tích phân là lẻ, cịn lại

</div>Trang 42<div class="page_container" data-page="42">

 

  2 sin3  sin 2 0

12 L

S

Đ

xdyydx

3. Tích phân đường khơng phụ thuộc đường đi

Nếu D là miền đóng đơn liên thỏa mãn hệ thức  

Để tính các tích phân đường loại này, vì tích phân khơng phụ thuộc đường đi, ta có thể đi theo đường đơn giản nhất, như các đường gấp khúc song song với các trục, đường thẳng… hoặc tính ra hàm F x y

 

, để áp dụng công thức trên. Hàm F x y

 

, có thể tính theo cơng thức sau:

Trong đó



x y0, 0



là điểm nào đó trong D.

Nên biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân tồn phần và do vậy tích phân I

khơng phụ thuộc đường đi. Áp dụng công thức:

</div>Trang 43<div class="page_container" data-page="43">

2, 1

3262

</div>Trang 44<div class="page_container" data-page="44">

Chương tiếp theo anh/chị sẽ được học về phương trình vi phân.

Chúc anh/chị học tập tốt!

</div>Trang 45<div class="page_container" data-page="45">

  

Giải: Mặt phẳng x  yz 0 qua gốc tọa độ và cắt mặt cầu x2 y2  z2 a2 theo một đường trịn bán kính a, độ dài là 2 a . Do vai trò của x y z, , như nhau trong các biểu thức, nên ta có:



2



2



2

x dsy dsz ds

</div>Trang 46<div class="page_container" data-page="46">

x . Vỡ tớnh đối xứng của parabol qua trục Ox, nờn khối lượng M của cung parabol là:

212 2

  

với 0 , là hằng số dương.sin

Giải: Ta cú:



</div>Trang 47<div class="page_container" data-page="47">

xy dxxy dyI

xy , trong đú C là đường trũn 2 2  2

xya , chạy ngược chiều quay của kim đồng hồ.

Giải: Phương trỡnh tham số của đường trũn C là xacos ,t yasin ,t    t . Ta cú:

ab , chạy ngược chiều quay kim đồng hồ.

Giải: Phương trỡnh tham số của elip là xacos ,t ybsin ,t    t , ta cú:

b. L là cung trịn AB trong khơng gian cho bởi phương trình

</div>Trang 48<div class="page_container" data-page="48">

30

</div>Trang 49<div class="page_container" data-page="49">

  2  2sin

PQxyy. Áp dụng công thức Green, ta có:

</div>Trang 50<div class="page_container" data-page="50">

lấy tích phân và tính chẵn của hàm lấy tích phân, ta có:

4 xy cos 2

Iyexydxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

L

. Do tính đối xứng qua trc Ox của và tính lẻ theo Dy của hàm lấy tích phân, ta có I 0.

</div>Trang 51<div class="page_container" data-page="51">

Đ

là đường cong kín, trơn lấy theo chiều dương trong các trường hợp:

a. Khi gốc tọa độ nằm ngoài miền D bao bëi .C

b. Khi C bao lấy gốc tọa độ. c. Khi C bao lấy gốc tọa độ n lần.

Nên áp dụng cơng thức Green, ta có I0.

b. Nếu

C

bao lấy gốc tọa độ, khi đó, ta khơng áp dụng cơng thức Green được vì

 

0, 0là điểm gián đoạn của các hàm P Q, . Ta chọn đường tròn 2  2  2

I 



yzdxxzdyxydz

Giải: Biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân tồn phần của hàm Fxyz, do đó ta có:

 

6,1,1 6,1,1

I 



d xyz xyz 

17. Dùng tích phân đường, tính diện tích của:

a. Hình phẳng (hình cacdioit) có phương trình tham số:

x t t y t t    t b. Hình phẳng giới hn bi ng parabol 2

và đường th¼ng 1

Giải:

a. Áp dụng cơng thức tính diện tích, ta có:

</div>Trang 52<div class="page_container" data-page="52">

12 L

321

</div>Trang 53<div class="page_container" data-page="53">

20' 1 2 , ' 2

x y  [a]

[b]

[c]

[d]

Đáp số [a] vì áp dụng công thúc Green

</div>Trang 54<div class="page_container" data-page="54">

[d]

Đáp số [c] Câu 8:

</div>Trang 57<div class="page_container" data-page="57">

Trung tâm Đào tạo E-Learing Cơ hội học tập cho mọi người

BÀI 4: TÍCH PHÂN MẶT

Mục tiêu

Sau khi học xong bài này, anh/chị sẽ:

- Nắm vững các phương pháp và cơng thức tính tích phân mặt loại I

- Nắm được mối liên hệ giữa tích phân mặt với tích phân đường qua cơng thức Stock - Nắm vững mối liên hệ giữa tích phân mặt với tích phân bội ba qua cơng thức Oxtrogratxki

4.1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

1. Khái niệm

Cho một mặt cong S và một hàm số f(M) = f(x, y, z) xác định trên S.

Chia mặt S một cách tùy í thành n mảnh nhỏ, gọi tên và diện tích của các mảnh nhỏ ấy là  S1, S2,...,Sn.

Trong mỗi mảnh Si lấy một điểm tùy í M x y zi( ,ii, ).i Tổng

được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x,y,z) trong mặt S.

Nếu khi n→∞ sao cho max di → 0 (di là đường kính của mảnh nhỏ Si )

mà In dần tới một giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm Mi trong mảnh Si, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân mặt loại một của của hàm số f(x,y,z) trên mặt S và kí hiệu bởi

Người ta chứng minh dược rằng nếu mặt S trơn (tức là liên tục và có pháp tuyến

biến thiên liên tục) và nếu hàm số f(M) = f(x, y, z) liên tục trên mặt S thì tồn tại tích

</div>

Bài giảng giải tích 2 eg10 2 Đại học mở hà nội

<b>BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP </b>

 

 

 

 













 



 

 

 

 

 



 

x d

b a

0 y

D

b d

y

D

<i>x</i>

 

 

 

 <i>x y</i>,

 <i>r</i>,

<i>M</i>

<i>D</i>

 









 







1

2





<b>BÀI 2: TÍCH PHÂN BỘI BA </b>

dVV













<b>2.5 BÀI TẬP CĨ GIẢI THÍCH ĐÁP ÁN </b>

zdxdydzv



Id dr r dz

<b>Đáp số [d] vì dùng hệ tọa độ tương ứng </b>



<b>BÀI 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG </b>

 

 

 

<i>AB</i>

   









 

<i>AB</i>

   

Đ

 

 

