Đáp án môn giải tích 1 EG10 Ehou đại học mở

Xác định cận của tích phân
𝐼 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, trong
đó D được cho bởi các
đường: D: x + y ≤ 1, x - y ≤
-1 và x ≥ 0
Xác định cận của tích phân

x =0 ; x= -1;
y= x; y = x - 1

x =0 ; x= 1; y= 1- x;

. x =0 ; x= 1; y= x; y

. x =0 ; x= -1; y=

Đáp án đúng là: x =0 ; x= 1; y= 1- x; y = x – 1

y=x-1

=x-1

x; y =1- x

Vì: x + y ≤ 1 ↔ y=1-x , x - y ≤ -1 ↔ y=x-1;
2 đường thắng trên cắt nhau tại x=1. Dó đó, x
=0 và x=1

0 ≤ 𝜑≤𝜋;
0≤𝑟≤𝑎

0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ;

0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ;

0 ≤ 𝜑 ≤ −𝜋 ;

0≤𝑟≤𝑎

0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑎

0 ≤ 𝑟 ≤ −2𝑎

𝐼 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, trong
đó D được cho bởi
x 2  y 2  a 2 , x 2  y 2  4a 2 , a  0

Đáp án đúng là 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑎
Vì: Khi đổi biến sang tọa độ cực, miền lấy tích
phân là hình vành khăn. Ta có 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 .
Mặt khác, do đường tròn x 2  y 2  a 2 đi qua O
nên cận dưới r = 0, và x 2  y 2  4a 2 theo Ox =
2a nên cận trên r = 2a.
Vậy cận lấy tích phân của miền D là:
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑎

Xác định cận của tích phân
𝐼 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, với

D là hình tròn x  y  1 .
2

2

0 ≤ 𝜑≤𝜋;

0 ≤ 𝜑 ≤ −𝜋 ;

0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ;

0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ;

0 ≤ 𝑟 ≤ −1

0≤𝑟≤1

0≤𝑟≤1

0 ≤ 𝑟 ≤ −2𝜋

Đáp án đúng là:
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 1
Vì: Chuyển sang tọa độ cực ta có:
x= rcos 𝜑 và y= rsin 𝜑 , thay vào pt trên ta có
r2 =1 nên 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 . ( ¼ đường trịn góc
thứ nhất) vì bán kính của đường trịn r =1 và
có tâm tại O nên dễ thấy: 0 ≤ 𝑟 ≤ 1

Xác định cận của tích
phân 𝐼 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦,
trong đó D được cho bởi các

đường:

𝜋
𝜋
≤ 𝜑≤ ;
4
2

−

0≤𝑟≤1

𝜋
𝜋
≤ 𝜑≤− ;
4
2

−

0≤𝑟≤ 1

𝜋
𝜋
≤ 𝜑≤ ;
4
2

𝜋
𝜋

≤ 𝜑≤− ;
4
2

0≤𝑟≤1

0≤𝑟≤1

2

𝜋
4

≤ 𝜑≤

𝜋

; 0 ≤ 𝑟 ≤1

2

Vì: Chuyển sang tọa độ cực ta có:
và y= rsin 𝜑 , do đường trịn
x  y  1 có tâm tại O và r=1, nên 0 ≤ 𝑟 ≤

x= rcos 𝜑
2

D : 0  x  y, x  y  1
2

Đáp án đúng là:

2

1 . Mặt khác, do 0  x  y nên

𝜋
4

≤ 𝜑≤

𝜋
2

(

1/8 đường trịn góc thứ nhất, phần 2).
Tính tích phân I=
2
 ( x  xy) dxdy , D giới

10

-6

5

15

Đáp án đúng là 10

11
10

11
15

11
20

10
15

Đáp án đúng là

hạn bởi y=x, y = 2x, x = 2
Tính tích phân :
2

I   y  x dxdy

D
D là miền giới hạn bởi 1≤x≤1, 0≤y≤1

11
15
Vì: Triển khai hàm lấy tích phân theo trị tuyệt đối t
có 2
phần”

  y  x 2 dxdy   y  x 2 dxdy
D1

D2









  y  x 2 dxdy   x 2  y dxdy
D1

1

1

1

x2



D2



1

x2

1

0





  dx  y  x dy   dx  x 2  y dy
2

I 
Tính tích phân:

7
4

 xydxdy

8
4

9
4

10
4

11
15

9
4
Vì Tích phân từng phần ta có:
Đáp án đúng là:

D

Miền giới hạn
D  {( x, y) :1  x  2;1  y  2}

thay vào ta có KQ


5
3

Tính tích phân

 ( x

2

 y 2 ) dxdy

1
3

4
3

2
3

Vì:
Tham khảo trong giáo trình Bài 1. Tích phân 2
lớp

Miền giới hạn
D  {( x, y) : 0  x  1;0  y  1}
Tính tích phân

xy
 e dxdy

2
3

Đáp án đúng là

e2

e2  1

(e  1)2

1

D

Đáp án đúng là: (e  1)2
Vì:

, với

D : 0  x  1,  1  y  0.

 e

xy

D

1



0

dxdy   e dx  e y dy  e x
x

1

0

1
0

 e

y

0
1



(e  1)(1  e)  (e  1)2
Tính tích phân





 ( x  y)dxdy , với

3

2

1
3

2

3

1
3

Vì: chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là
phần
mặt trịn với

D

D : 0  x  y, x  y  1.
2

Đáp án đúng là:

2


4



 

2

,0  r 1



2
1

I   d   (cos  sin  )r 2 dr  

0

4



1
sin   cos 
3

1
3

Tính tích phân



x 2  y 2 dxdy , với

7
3

7
9

14
9


4

Đáp án đúng là:

 1
1
2
 1 
0

3
2
2  3

14
9

Vì: chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là

D

D : x  x  y  2 x, y  0
.
2

2

2

0  


2


2

I   d
0

, cos  r  2 cos 

2cos



cos



8
1
( cos3  cos3 )d 
r dr   3
3

2

2

0



 2
2
72
7

2
c
os

(1

sin

)
d


c
os

d



sin 2  d (sin 




30
3 0
0


 
7
1 3
7
1 14
sin  0 2  sin  0 2   (1  ) 
3 
3
3
9
 3



Tính tích phân

 (sin x  cos y)dxdy , với



2

2
2

2
4


2

, 0 y

Tính tích phân

 e

x 2  y2


2

2

I   (sin x  cos y )dxdy   dx (sin x ) y

D
0





 
  cos x 0 2   x 0 2    
2 
2 2


.

2

 (e  1)

e

e

dxdy , với D là

hình trịn x 2  y2  1 .



x 2  y 2 dxdy , với D


2
0

 sin y

Đáp án đúng là:  (e  1)

Vì: vì chuyển sang tọa độ cực và lấy tích phân từn
phần

D

Tính tích phân

Vì:


D

D:0  x 

Đáp án đúng là: 

2

1 r 
r 1
r
d

0  0 re dr   2 re 0 e
u  r , dv  er dr  du  dr , v  er
I

12 a 3
3

D

giới hạn bởi các đường
tròn
x 2  y 2  a 2 , x 2  y 2  4a 2 , a  0

8 a 3
3

14 a 2
3

14 a 3
3

Đáp án đúng là:

1
0

  2 (e  e  1)


14 a 3
3

Vì: vì chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân l
hình
vành khăn

0    2 , a  r  2a
2

I

2a

2
 d  r dr 
0

a

2

(
0

r3
3

2a
a

)d 

14 a 3
3


Tính tích phân
2

1

 dy  ( x
0

2

 2 y )dxdy

14
3

13
3

16
3

8
3

Đáp án đúng là:

14
3

Vì:

0

 x3
1
0 dy 0 ( x  2 y)dx  0 ( 3  2 yx ) 0 dy 
2

1

2

2

2

1
14
(

2
y
)
dy

0 3

3
Tính tích phân



4  x  y dxdy , với D
2

2

5 2
  
3 2 3

8 2
  
3 2 3

8 2
  
3 2 3

8 2
  
3 4 3

Đáp án đúng là:

8 2
  

3 2 3

Vì: chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là nửa

D

giới hạn bởi đường tròn
x 2  y 2  2 và y ≥ 0

đường tròn trên ở bên phải gốc tọa độ


D

4  x 2  y 2 dxdy   4  r 2 rdrd 
D


2

 d



2 cos 

2 2 cos 



0

4  r rdr   

0

1

2 2
(4

r
)
d (4  r 2 )





2

0

0

8 2
  
3 2 3

Tính tích phân

 ( x

2

 y )dxdy , với D
2

-

3
2

3
2

3
4

-

3
4

D

giới hạn bởi đường trịn
x2  y 2  2x

3

2
Vì: chuyển sang tọa độ cực
Đáp án đúng là:



I

2





Tính tích phân



1  x  y dxdy , với D
2

2

2
3

-

2
3


3

-


3

D

giới hạn bởi đường tròn
x2  y 2  1

d



2cos 



r 3dr 

0

2

 r4 
  4 


2

2
3
Vì: vì chuyển sang tọa độ cực


I=1

I=2

1
2

I = 5π

2

 3 (1  r

3
2 2

)

1
0

d 

0

Đáp án đúng là: I= 1

I = 6π

I = -5π

I = -6π

Đáp án đúng là: I = 6π
Vì:

Trong đó D là hình trịn:
x2 + y2 ≤ 9
Kết quả nào sau đây là
đúng?

2

1
2

Vì:

Trong đó D là tam giác:
OAB với O(0,0), A(1,0),
B(0,1)
Kết quả nào sau đây là

đúng?

3
2

Đáp án đúng là:

D

I=-1

d 

2

I   1  r 2 rdrd  

I=0

2cos 
0

2

1

0

0

1
3

1

2
2
 d  (1  r ) 2 d (r ) 
2

 d 
0

2
3


Gọi S là diện tích được giới
hạn bởi các đường:

S

1
2

S

1
4

S

1
6

S

1
8

Đáp án đúng là: S 

y  x, y  x
Kết quả của S là?

1
6

Vì:

I = 2π

I=π

Tính tích phân

I = 3π

I = 4π

Đáp án đúng là: I = 4π
Vì: Đổi sang tọa độ cực x = r cosφ ; y =rsinφ,
sau đó tìm cận φ và r. ( tham khảo cách đổi tọa độ

Trong đó D giới hạn bởi
đường
x2 + y2 = 2x + 2y
Kết quả nào sau đây là
đúng?
Tìm miền xác định tích
phân bội ba của f(x,y,z) với
miền D là: x2 + y2 ≤ 1 và 1
≤ z ≤2
Kết quả nào sau đây là
đúng?

trong bài lý thuyết)

0    2
0  r 1
1 z  2

0  
0  r 1
1 z  2

0    2
0  r  1
1 z  2

0    2
0  r 1
1 z  2

Đáp án đúng là

0    2
0  r 1
1 z  2
Vì: chuyển sang tọa độ cực của đường tròn x2 + y2
1,
ta có
0    2
0  r 1

Tìm miền xác định tích
phân bội ba của f(x,y,z) với
miền D là:
x2 + y2 = 2x và các mặt
phẳng z=0 và z=a (a>0)
Kết quả nào sau đây là
đúng?





 







 







 







 



4
2
0  r  2cos 

2

2
0  r  2r cos 

4
4
0  r  2cos 

2
2
0  r  2cos 

0 za

0 za

0 za

0 za

Đáp án đúng là





 



2

2
0  r  2cos 
0 za
Vì:

Từ x2 + y2 = 2x, chuyển tọa độ cực ta suy ra r
2 cos 





 



2
2
Vậy, miền D là 0  r  2cos 
0 za
Tìm miền xác định tích
phân bội ba của f(x,y,z) với
miền D là ½ mặt cầu :
x2 + y2 +z2 ≤ a2 và z ≥ 0 ,
a>0
Kết quả nào sau đây là
đúng?

0  
0ra

0    2
0ra

0  z  r 2  a2 0  z  a2  r 2

0  

0    2
0ra



2
0ra

0  z  r 2  a2

0 z  a r
2

2

Đáp án đúng là
0    2
0ra
0  z  a2  r 2

Vì:
Từ phương trình x2 + y2 +z2 ≤ a2, ta có

Chuyển sang tọa độ cực, sau đó rút z theo x và y :


Tìm miền xác định tích
phân bội ba của f(x,y,z) với
miền D là:

0    2
0r h
rzh

0  
0r h
0 zh

0    2
0  r 1
rzh

0    2
0r h
r  z 1

Đáp án đúng là

0    2
0r h
rzh
Vì: Chuyển sang tọa độ cực và rút z từ phương trình

y  z 2  x2 , ta có:

Kết quả nào sau đây là
đúng?

0    2
0r h
rzh

Sauy ra, miền xác định cần tìm là::
Tính tích phân bội ba
sau

I 

1
12

I

1
12

I 

1
22

I

Đáp án đúng là :

1
22

1
12

I
vì

I   (1-x-y)dxdydz ,

v

Xác định miền V

trong đó V là miền xác định

0  x  1

0  y  1  x
0  z  1  x  y


bởi các mặt:
x  y  z  1; x  1, y  0, z  0
.

1 x  y

1 x

1

Kết quả nào sau đây đúng?

I   dx  dy
0

Tính

I

3 a
4

I 

3 a
4

I

3 a
2

I 

3 a

2

3 a
4

I

v

Vì

trong đó V là miền giới hạn

a

I   ddr  r 3dz

bởi mặt trụ: x  y  2x .
2

2

D

Và các mặt phẳng x=0, y=0 ,

0

Xác định miền D

z=a



0   
2


0  r  2 cos 

Kết quả nào sau đây đúng?


2

I   d

2cos



0

Tính

I

I   (x 2 +y2 )dxdydz ,

4 5 5

4
(b  a ) I   (b5  a 5 )
15
15

I

4 5 5
(b  a )
15

I

I

trong đó V là nửa trên của

2

2

I

bởi các mặt

 d 

V 

V  2

V  2

0

b

d  r 2 sin 2  r 2 sin  dr 
a

Đáp án đúng là: V  
Vì: Ta đổi biến

x  y  z  2z và x  y  z
2

4 5 5
(b  a )
15

2

0

Kết quả nào sau đây đúng?
Tính thể tích vật thể giới hạn V  
2

0

3 a
4



2

a  x  y  z  b và z  0
.
2

r dr  dz 

Vì: tính trong tọa độ cầu ta được

hình vành cầu:
2

0

a

3

Đáp án đúng là:

4 5 5
(b  a )
15

v

2

0

1
12

Đáp án là

I   (x 2 +y2 )dxdydz ,

2



0

(1  x  y)dz 

2

2

2

r 2  z 2  2 z; z  1  1  r 2
ta được

Kết quả nào sau đây đúng?

2

1

1 1 r 2

0

0

r

V   dV   d  dr
V



rdr  

4 5
(b  a 5 )
15


V

3
2

V 

3
2

V

3
4

V 

3
4

Đáp án đúng là : V 

3
4

Vì:

Kết quả nào sau đây là
đúng?

V 

 a5
15

V

2 a 5
15

V 

2 a 5
15

V

 a5
15

V là nửa của mặt cầu:

Đáp án đúng là: V 

2 a 5
15

Vì:

Kết quả nào sau đây là
đúng?
Vậy:

V

h
4

V 

 h2
4

V

 h4
4

V

 h3
4

Đáp án đúng là: V 

Vậy:

Kết quả nào sau đây là
đúng?

V


3

V 


3

V 


6

V


6

Đáp án đúng là: V 

Trong đó V được giới hạn
bởi:

Vì:

Kết quả nào sau đây là
đúng?

Vậy:

AB

Trong đó AB là đoạn đường
thẳng y = -2x+2 từ điểm
A(1,0) đến điểm B(0,2)

I = -1

I=1

I= -2

I=2


6

Đáp án đúng là: I = 1
Vì: Từ y = -2x+2, suy ra y’=-2
Thay y và y’ vào ta có
I

 [x(2 x  2)  1  x

2

((2 x  2)(2)]dx

AB
0

Chọn kết quả đúng?

4

Vì:

Trong đó V giới hạn bởi:

Tính tích phân đường
2
 ( xy 1)dx  x ydy

 h4

  (4 x3  6 x 2  2 x  1)dx  1
1


 ydx  xdy ,

Tính tích phân

I=1

I=2

I=0

I=4

Đáp án đúng là: I = 1

Vì: Từ y = x2, suy ra y’=2x
Thay y và y’ vào ta có:

OA

OA là cung parabol

1

y  x2 , O(0;0), A(1;1) .

1

I   [x  x 2 x]dx  3 x 2 dx  x3
2

Chọn kết quả đúng?

0

2

 2



2
2

2

2

Trong đó C có phương trình

1
0

1

0

2
2

Đáp án đúng là:
Vì:

Chọn kết quả đúng?

Tính tích phân



1

e2  1
2

e2

e2  1
2

0

1

2

-1

Đáp án đúng là: 0
Vì:

0

1

3

7

Đáp án đúng là: 1
Vì: y’=4x

1  e2 x ds ,

L
x

Đáp án đúng là:

e2  1
2

L là đường y  e ,0  x  1
Chọn kết quả đúng?

Trong đó C có phương
trình

Chọn kết quả đúng?

Tính tích phân

 4 xydx  x dy , OA là
2

OA

1

cung parabol

0

y  2x2 , O(0;0), A(1;2)
Chọn kết quả đúng?


Tính tích phân

 (y  2y

2

1

I   [4x.2x 2  x 2 4 x]dx  4 x3dx  x 4

)dx  ( y  2 x )dy ,
2

C

C là đường x  y  1 ,
2

2

2



0

1
0

0

Đáp án đúng là: 
Vì: áp dụng công thúc Green

P ' y  1  2 y, Q ' x  2 x
I    [2( x  y )  1]dxdy 
D

Chiều dương.
Chọn kết quả đúng?

2

1

0

0

  d  [2(r cos   r sin  )  1]rdr=
2

2
-  d[ (cos  sin  ) r 3
3
0
2
 ( sin   cos )
3

2
0

1
0

1
 r2
2

1
 2  
2

1
0

]

1


Tính tích phân đường

 (1  x ) ydx  x(1  y )dy
2

2



2

-


2


3

-


3

L

Đáp án đúng là:


2

Vì: áp dụng cơng thức Green

L là đường tròn x 2  y 2  1

P ' y  1  x 2 , Q 'x  1  y 2

Chọn kết quả đúng?

I   ( x 2  y 2 )dxdy
D

Chuyển sang tọa độ cực

I

6

Tính tích phân

 (x

3

6

3

3

 4 y)dx  (2 x  y )dy
3

AB

, AB là nửa đường tròn

2

1

0

0

3
 d  r dr 


2

Đáp án đúng là: 3
Vì: áp dụng công thức Green
P’y = 4, Q’x -6


1

I    d  6rdr   3r 2

y  1  x2 , A(1;0) , B(1;0)

0

1
0

 3

0

Chọn kết quả đúng?

2 1

2

22

2 1

Đáp án đúng là :

2 1

Vì:

Trong đó C là đường biên
của tam giác O(0,0), A(1,0),
B(0,1)
Chọn kết quả đúng?

-

Đoạn OA
Đoạn AB: trên AB ta có pt đường thẳng

-

Đoạn OB:

Vậy OA+AB+OB =
0

1

2

4

Đáp án đúng là: 2
Vì: Ta có phương trình đường thẳng OM

Lấy theo đường thẳng nối từ
O(0,0) đến điểm M(1,2)
Chọn kết quả đúng?

Cho C là đường biên của
hình chữ nhật D= [1,-1] x
[0,2]

I=0

I=1

I=2

I=3

Đáp án đúng là I= 0
Vì:

Tính I   y sinxdx  cosxdy
D

Chọn kết quả đúng?

I   Pdx  Qdy


I=3

I = -3

I=6

I=-6

Cho C là đường biên của
hình chữ nhật

Đáp án đúng là I= -6
Vì:

Tính tích phân đường loại
2 sau :

I   Pdx  Qdy

Chọn kết quả đúng?

-2πab

2πab

πab

-πab

Đáp án đúng là: -2πab
Vì: Áp dụng cơng thức Green, ta có:

Trong đó L là đường Elip

có định hướng dương.
Chọn kết quả đúng?

Tích tích phân đường :

30 5

34 5

36 5

40 5

Đáp án đúng là : 36 5

1 2

1 2

2

 2

Đáp án đúng là : 1  2

I  5 61

Đáp án đúng là:

Trong đó C là nối A(9,6),
B(1,2)
Chọn kết quả đúng?
Tích tích phân đường :

Trong đó C là nối A(1,0),
B(0,1), C(0,0)
Chọn kết quả đúng?
Tính

4y


I    2x 
 z  dS
3


S 

I  4 61
,

I  3 61

I  2 61

I  4 61

Vì: Trên mặt phẳng

trong đó S là phần mặt
phẳng

x y z
  1
2 3 4
nằm trong góc phần 8 thứ
nhất.
Kết quả nào sau đây đúng?

x y z
   1 , ta có
2 3 4
4
Z=4-2x- y
3

Do đó
P=-2,q= 

4
,
3

61
dxdy
3
Hình chiếu của mặt S xuống mặt phẳng
xoy là miền giới hạn bởi các trục ox,oy
x y
  1 .Miền D
và đường thẳng
2 3
được xác định bởi các bất đẳng thức
3x
0≤x≤2,0≤y≤
2
vậy
4y
=
s ( z  2 x  3 )ds
1  p 2  q 2 dxdy 

 (4  2x 
D

=

4 61
3

4y
4y
 2 x  )dxdy 
3
3

 dxdy =
D

4 61
.3= 4 61
3


Tính tích phân mặt

 yds

,

s

S là phần của
z=x+y2,0≤x≤1,≤y≤2.

mặt

13 2
2



13 2
2

13 2
3



13 2
3

13 2
3
Vì: Trên mặt z=x+y2,ta có
p=1,
q=2y,

Đáp án đúng là:

Kết quả nào sau đây đúng?

ds=

1  1  4 y 2 dxdy
hình chiếu của S xuống mặt phẳng
xoy là hình chữ nhật D xác định bởi
0≤x≤1,0≤y≤2
Do đó

 yds =  y

2  4 y 2 dxdy 

D

s

1

2

0

0

=  dx  2 y 1  2 y 2 dy 
=
3 2

1 2
2. . .(1  2 y 2 ) 2
4 3
Tính



x 2  y 2 ds , trong

s

đó S là phần mặt nón
z2=x2+y2;0≤z≤1

2 
3



2 
3



2 2
3

2 2
3

Đáp án đúng là:


0

13 2
3

2 2
3

Vì:

Kết quả nào sau đây đúng?

Ta có
z x' 

z 'y 

z= x 2  y 2
x
x

2
2
z
x y
y
x y
2

2



y
z

vậy ds=

x2 y2
1  2  2 dxdy 
z
z

x2  y2  z 2
dxdy  2
z2

2  x 2  y 2 dxdy



D

chuyển qua hệ toạ độ cực:
x=rcosφ
y=rsinφ
ta có 0≤φ≤2π; 0≤r≤1

2

 d  r

2

0

=
Tính I=  (2 x  y  z )ds , S
S

là phần mặt phẳng x+y+z=1
nằm trong góc phần tám thứ
nhất.
Kết quả nào sau đây đúng?

2 3
3

3
3



2 3
3



3
3

2

1

2

dr 

2

0


0

r3
3

1

d
0

2 2
3

Đáp án đúng là:

2 3
3

Vì: Ta có

z=1-x-y

z x'  z 'y  1

vậy
ds= 3 dxdy
S là hình chiếu mặt phẳng xuống xoy
x+y=1
I=
3  (2 x  y  1  x  y)dxdy  3  ( x  1)dx
D

D

Ta có 0≤x≤1; 0≤y≤1-x
1 x

1

0

0

1

I= 3  dy  ( x  1)dx  3  (1  x 2 )dx
0

1

= 3( x 

x3
2 3
) 
3 0
3


, π

Tính I=  x 2  y 2 ds

2π

4π

6π

Đáp án đúng là: 4π

s

z= 1  x 2  y 2
x
x
z x'  


2
2
z
1 x  y
y
y
z 'y  

z
1 x2  y2

trong đó S là mặt cầu
x2+y2+z2=1

Vì: Ta có

Kết quả nào sau đây đúng?

x2 y2
1
 2 dxdy  dxdy
2
z
z
z
1
vậy I= 
dxdy
1 x2  y2
D

chuyển qua hệ toạ độ cực:
x=rcosφ
y=rsinφ
với 0≤r≤1; 0≤φ≤2π
ds= 1 


2

1

0

0

rdr

 I= 8  d 

1 r2
0

=4π 1  r 2



1

2 
0

rdr
1 r2

4π

1

Tích tích phân mặt

1 3
a
3

 zdxdy Trong đó, S là

2 3
a
3

5 3
a
3

4 3
a
3

Đáp án đúng là:

4 3
a
3

Vì:

S

phía ngồi của mặt cầu : x
+ y2 + z2 = R2

2

Kết quả nào sau đây đúng?

Tính diện tích phần mặt
phẳng x + 2y + 2z = 5 cắt
bởi x = y2 và x=2 - y2

3
2

5
2

9
2

7
2

Đáp án đúng là:

7
2

Vì:

Kết quả nào sau đây đúng?
Z=

5 x
1
  y ; Z’x=  ; z’y=-1
2 2
2

1
3
ds= 1  1  dxdy  dxdy ; 0≤x≤1;
4
2
1≤y≤1

-

Vậy diện tích phần mặt phẳng
I=  zds 
s

1

1

3
5 x
(   y)dxdy

2D 2 2
1

1

2
=  dx  ( 5  x  y )dy   ( 5 y  xy  y ) dx
2 2
2
2
2 1
0
1
0

1

x2
=  ( 4  x)dx  4 x 
2
0

1

=
0

7
2


12 5.
a
5

13 5.
a
5

, S là phía ngồi mặt cầu x2 +

12 3.
a
5

12 4.
a
5

Đáp án đúng là:

12 5.

a
5
Vì:
Gọi P = x3, Q = y3, R = z3 ta có

y2 + z2 = a2.
Kết quả nào sau đây đúng?

P’x + Q’y + R'z = 3(x2 + y2 + z2).
Ap dụng công thức Oxtrơgratxki ta có

I  3  x 2  y2  z 2 dxdydz
V

là x2 + y2 + z2

, trong đó V

 a2.

Chuyển sang tọa độ cầu:

x  rcossin , y  rsin sin , z  rcos, dxdy
, ta được:
2



a

I  3  d sin d r dr  3.2. cos 
4

0

2
15


15

4
15

6
15

0

Đáp án đúng là:

0


0

r5
.
5

4
15

Vì:
Trong đó, S là nữa mặt
cầu :
x2 + y2 + z2 =0, z ≥ 0 ,
hướng của S là hướng phải
ngoài mặt cầu
Chọn kết quả đúng?

Hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là
miền D là:
x2 + y 2 ≤ 1, nên

4 a 2

 a2

2 a 2

3 a 2

y  ke

y  ke2x

Đáp án đúng là: 4 a 2
Vì:

Trong đó, S là mặt cầu : x2
+ y2 + z2 = a2
Chọn kết quả đúng?
Tìm nghiệm của phương
trình vi phân sau bằng
phương pháp tách biến:
dx
 2 xy
dy
Chọn kết quả đúng?
Tìm nghiệm tổng quát của
ptvp sau: y’ – y = y2
Chọn kết quả đúng?
Tìm nghiệm tổng quát của
ptvp sau:
y
y '  e x
x
Chọn kết quả đúng?

y  kex

y  ex

2

2

Đáp án đúng là:

y  kex

2

Vì : Đây là phương trình vi phân có biến phân ly

ln

1
y
 xC
 x  C ln
y5
y 1

ln

y
 xC
y 1

ln

y
 xC
y 1

Đáp án đúng là: ln

y

 xC
y 1

Vì: Đây là phương trình vi phân tách biến.
y

x

C
e
 ex 
x
x

y

x

C e

x x

y

C
 ex
x

y

x

1
e
 ex 
x
x

Đáp án đúng là:
y

C
ex
 ex 
x
x

Vì: Đây là phương trình vi phân cấp 1

a
0


Tìm nghiệm tổng của ptvp
sau:
y
y
y '   sin
với
x

x

y (1) 

tag

y
x
4x

tag

y
x
2x

tag

y
x
3x

tag

y
x
x

Đáp án đúng là:

tag

y
x
2x

Vì:



2
Chọn kết quả đúng?

Tìm nghiệm tổng quát của
ptvp sau:

x + y =Cy

x2. - y2 =Cy

x2 + y2 =Cy

x2 =Cy

(C ≠ 0)

(C ≠ 0)

(C ≠ 0)

(C ≠ 0)

Đáp án đúng là:
x2 + y2 =Cy
(C ≠ 0)
Vì:
Đây là ptvp đẳng cấp, ta đặt

Chọn kết quả đúng?
Giải phương trình biến số
phân ly:
3yy ' 2 x 2  0

z
2
 x C
3

2
 C
3

2 3
x C
3

2
 x3  C
3

y
rồi giải bình thường
x

2
Đáp án đúng là:  x 3  C
3
Vì :

Chọn kết quả đúng?

 3y
3

Giải phương trình vi phân
cấp 1
2x
y '
y0
1 x2
Chọn kết quả đúng?

y  C(1  x 2 )

y  C(1  x 2 )

y  C(1  x )

y  C(1  x )

dy
 2 x 2  0  3ydy  2 x 2 dx
dx

y2
2
  x3  C
2
3

Đáp án đúng là: y  C(1  x 2 )
Vi: y '

2x
y0
1 x2

p

2x
1 x2

Nghiệm tổng quát là:
2x

y  Ce

Tìm nghiệm tơng qt của
phương trình:
2xydx + dy = 0

Kết quả đúng là?

x2  ln y  0

Tìm nghiệm tổng quát của
phương trình vi phân sau:

y  ln x  C

x2  ln y  0

x 2  lny  0

x 2  lny  0

 Celn(1 x )  y  C(1  x 2 )
2

Đáp án đúng là: x2  ln y  0
Vì:
Khi y ≠ 0 ta chia 2 vế cho y, ta được

y   ln x  C

x
 ln x  C
y

x
  ln x  C

y

Đáp án đúng là:
Vì:

Kết quả đúng là?

 1 x 2

x
 ln x  C
y


Giải phương trình biến số
phân ly
x(1  y 2 )dx  y (1  x 2 )dy  0



1
1
1
1

K
-K 2 
2
2
1 x 1 y2

1 x 1 y

1
1

K
2
1 x 1 y2

1
1

 K Đáp án đúng là: 1  1  K
2
2
1 x 1 y
1  x2 1  y2

Vì:
x(1  y 2 )dx  y (1  x 2 )dy  0
 xdx

y
 

C
2 2
2 2
 (1  x ) (1  y ) 
1

1


C
2
2(1  x ) 2(1  y 2 )
1
1

 K , K  2C
2
1 x 1 y2

Giải phương trình biến số
phân ly ( x 2  1) y '  xy

y  C 1  x2

y  C 1  x 2

y  C 1 x

y  C 1  x

Đáp án đúng là: y  C 1  x 2
Vì: y = 0 là mọt nghiệm của phương trình. Xét
y  0 ta có
dy
dy
xdx

 xy  

dx
y
1  x2
1
ln y  ln(1  x 2 )  ln C  ln C 1  x 2
2

( x 2  1)

 y  C 1  x2

Giải phương trình biến số
phân ly
( x 2  yx 2 ) y ' y 2  xy 2  0

ln

x 1 1
x 1 1
   C ln    C
y x y
y x y

ln

x 1 1
  C
y x y

ln

x 1 1
  C
y x y

x 1 1
  C
y x y
Vì: Vì xét x , y  0 ta có
Đáp án đúng là: ln

(1  y )dy (1  x)dx

0
y2
x2
dy dy dx dx
  
0
y 2 y x2 x

ln
Giải phương trình đẳng
y
cấp y’ = -1+ y '  1 
x

x

y
1  C
x

x 2

y
1  C
x

2xy  x 2  C

x 2

y
1  C
x

x 1 1
  C
y x y

Đáp án đúng là: x 2

y
1  C
x

Vì: đặt y =ux, phương trình trở thành

x

du
du
dx
 u  1  u 

0
dx
2u  1 x

1
ln 2u  1  ln x  ln C  x 2u  1  C 
2
x 2
Giải phương trình vi phân
cấp 1 sau:

ln

y
y
 ln x  C
 ln x  C
x
x

y
y

 ln  C
x
x

y
1  C
x

y
y
Đáp án đúng là:
 ln  ln x  C
x
x
y
y
 ln  ln x  C
x
x
Vì:

Kết quả nào sau đây đúng?

Giải phương trình vi phân
cấp 1 sau:

y

y  Cxe x

y

y 2  Cxe x

y

y 2  Cxe x

y 2  Cxe

Đáp án đúng là:
y  Cxe
2

y
x

Vì:
Kết quả nào sau đây đúng?

Giải ra ta có nghiệm trên


Giải phương trình vi phân
cấp 1 sau:

1 2 1
1
2 x 1 2 1
2 x

1 1 1
1
1
x  y 2  y  x  Ce2 x  y 2  x  Ce  2 y  2 y  4 x  Ce  2 y  2 y
2 2 4
2
4

Đáp án đúng là:

x  Ce2 x 

1 2 1
1
y  y 
2
2
4

Vì:
Kết quả nào sau đây đúng?

Giải phương trình vi phân
cấp 1 sau:
(x2 – y)dx + xdy = 0

y   x2   x

y  x2   x

y   x2   x

y   x2

Đáp án đúng là:

y   x2   x
Vì:

Kết quả nào sau đây đúng?

Giải phương trình vi phân
cấp 1 sau:

y  2 x2

y  2x2 

1
x

y  2x2 

1
x

y  2 x2 1

Đáp án đúng là:

y  2x2 

1
x

Vì:
Kết quả nào sau đây đúng?

Giải phương trình vi phân
cấp 1 sau:

1
y  C  x4
3

1
y  C  x4
3

1
y  Cx  x 4
3

1
y  Cx  x 4
3

1
Đáp án đúng là: y  Cx  x 4
3

Vì:
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 và có NTQ
là:

1
y  Cx  x 4
3

Kết quả nào sau đây đúng?
Giải phương trình đẳng
cấp y 2  2x2 ln Cx

y 2  2x2 ln Cx

y 2  2x ln Cx

y 2  x2 ln Cx

y  2x2 ln Cx

Đáp án đúng là: y 2  2x2 ln Cx
Vì: đặt y =ux, phương trình trở thành

du
1
dx
 u  u   udu 

dx
u

x
u2
y2
 ln Cx  2  ln Cx  y 2  2 x 2 ln Cx
2
2x

x

Giải phương trình thuần
nhất ( x 2  1) y ' xy  0

y

C
x 1
2

y

C
x 1
3

y

C
x 1
2

y

C
x 1

Đáp án đúng là: y 

C
x2  1

Vì:

C
dy xdx
1
 2
 0  ln y   ln( x 2  1)  ln C  ln
y x 1
2
x
C
y
x2  1


Giải phương trình vi phân
tuyến tính cấp 1 y’+2xy=x

y  Ke x 
2

1
2

y  Ke x 
2

1
2

y  Ke x 
2

1
2

y  Ke  x 
2

1
3

1
2
Vì: giải phương trình thuần nhất
Đáp án đúng là: y  Ke x 
2

2
dy

 2 xdx  0  ln y  x 2  ln C  y  Ce  x
y

Cho hằng số C biến thiên rồi thế vào phương trình
ta được
C '( x)e  x  x  C '( x)  e x .x 
2
1 2
C ( x)   e x .xdx  e x  K 
2
2
1
y  Ke  x 
2
2

Giải phương trình vi phân
cấp 2 sau:
y’+xy = x3
Kết quả nào sau đây là
đúng?

Giải phương trình vi phân
cấp 2 sau:
xy’’ = y’ + x2
Kết quả nào sau đây là
đúng?

Giải phương trình vi phân
cấp 2 sau:

xy’’ = y’ + x

y   e  x2  2

y  e



x2
2

x

2

y  e



x2
2

 x 2
2

y  e



x2

2

 x2  2

Đáp án đúng là:

y  e



x2
2

 x2  2

Vì:

y

x3
x3
x
x2
x2
x
 C1.  C2 y 
 C1.
 C1.  C2
 C2 y 
9

7
3
2
2
2

y

x3
x2
Đá án đúng là:
 C1.  C2
3
2
x3
x2
y
 C1.  C2
3
2

Vì:

C1 x 2 

x2
x2
x2
x2
2

ln x   C2 C1 x 2 
ln x  C2 C1 x  ln x   C2
4
2
2
4

C1 x 2 

x2
ln x
2

Đáp án đúng là: C1 x 2 

x2
x2
ln x   C2
2
4

Vì:

Kết quả nào sau đây là
đúng?

Giải phương trình sau:

2

y  e x (C1  C2ex ycos
 Cx1 ) C2ex  cos x

y  e.(C1  C2ex  cos x)

y  e x (C1  C2ex )

Đáp án đúng là:

y  e x (C1  C2ex  cos x)
Kết quả nào sau đây l là
đúng?

Giải phương trình vi phân
sau:

Vì:

2 2x
2
2 x
2x
y  C1e2 x  C2e2 x  xe2 x y  C1e  C2e  xe (1 yx) 2 xe 2 x (1  x)
3
3
3

y  C1e2 x  C2e2 x 

2 2x

xe (1 Đáp
x)
3

y  C1e2 x  C2e2 x 
Vì:

Kết quả nào sau đây là
đúng?

án đúng là:

2 2x
xe (1  x)
3


Giải phương trình vi phân
sau:

y  ex (C1 cos x x C2 sin
1 x)

y  (C1 cos x  C2 sin x)  xe  ( x  1)
2

1
y  e x (C1 cos x  C2 sin x)  xe x  ( x  1)
2

y  ex (C1 cos x  C2 sin x)  xex

Đáp án đúng là:

1
y  e x (C1 cos x  C2 sin x)  xe x  ( x  1)
2
Vì: Tìm nghiệm tổng quát từ phương trình đặc

Kết quả nào sau đây là
đúng?

Trưng, ta có:

Từ đó tìm nghiệm riêng ta được:

1
y  e x (C1 cos x  C2 sin x)  xe x  ( x  1)
2
Giải phương trình vi phân
sau:

1
1
y  C cos x  C2 sin x  e x
y  C1 cos x  C2 sin x y ( xC1cos
1) e xx eC x2 sin x  ( x  1) 1
2
2

1
y  C1 cos x  C2 sin x  (Đáp
x  1) án đúng là:
2
1
y  C1 cos x  C2 sin x  ( x  1) e x  e x
2

Vì:
Kết quả nào sau đây là
đúng?

Giải phương trình vi phân
sau:

Đáp án đúng là:
y  C1e2 x  C2ex y  C1e2 x  C2ex  sinx y  C1e2 x  C2ex  cosx y  C1e2 x  C2ex  sinx

y  C1e2 x  C2ex  sinx
Vì:

Kết quả nào sau đây là
đúng?

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng thuần
nhất

y= C1 e-x + C2

y= C1 ex + C2 e2x

y = C1 e-x + C2 ex

y= C1 e-2x + C2 e2x Đáp án đúng là: y= C1 e-x + C2 e2x
Vì: giải phương trình đặc trưng
k2 – k – 2 =0 có 2 nghiệm phân biệt k1 = -1, k2
=2
Nghiệm tổng quát là: C1 e-x + C2 e2x

e2x

y’’-y’-2y=0
Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng thuần
nhất

y= C1 e-x + C2

y= C1 ex + C2 e-2x

y = C1 e-x + C2 ex

y= C1 e-2x + C2 e2x Đáp án đúng là: y= C1 ex + C2 e-2x
Vì: giải phương trình đặc trưng
k2 – k – 2 =0 có 2 nghiệm phân biệt k1 = 1, k2 =
-2
Nghiệm tổng quát là: y= C1 ex + C2 e-2x

e2x

y’’+y’-2y=0

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng thuần
nhất

y = e3x (C1 x +

y = e5x (C1 x + C2 )

y = e4x (C1 x + C2 )

C2 )

y = C1 e-2x + C2
e2x

Đáp án đúng là: y = e5x (C1 x + C2 )
Vì: giải phương trình đặc trưng
k2 –10 k + 25 =0 có 2 nghiệm kép k1 = k2 = 5
Nghiệm tổng quát là:y = e5x (C1 x + C2 )

y’’-10y’+25y=0

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng thuần
nhất

y = ex (C1

y = e2x (C1 cos3x +

y = e4x (C1 cos3x +

y = e3x (C1 cosx +

Đáp án đúng là: y = ex (C1 cos3x + C2 sin3x )

cos3x + C2

C2 sin3x )

C2 sin3x )

C2 sinx

Vì: giải phương trình đặc trưng
k2 –2 k + 10 =0 có 2 nghiệm phức liên hợp k1
= 1+3i , k2 = 1 – 3i
Nghiệm tổng quát là:y = ex (C1 cos3x + C2
sin3x )

y = C1 + C2 e3x

y = e-3x (C1 x + C2 )

y = C1 + C2 e-3x

Đáp án đúng là: y = C1 + C2 e-3x

sin3x )

y’’- 2y’+ 10y=0

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng thuần
nhất
y’’+ 3y’=0

y = C1 x+ C2 e3x

Vì giải phương trình đặc trưng
k2 +3 k = 0 có 2 nghiệm k1 = 0 , k2 = – 3
Nghiệm tổng quát là: y = C1 + C2 e-3x


Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng thuần
nhất

y= C1 cos3x +

ex (C1 cos3x + C2

y = C1 cos3x - C2

e3x (C1 cosx + C2

Đáp án đúng là: y= C1 cos3x + C2 sin3x

C2 sin3x

sin3x )

sin3x

sinx)

Vì: giải phương trình đặc trưng
k2 +9 = 0 có 2 nghiệm k1 = 3i , k2 = – 3i
Nghiệm tổng quát là:
y= C1 cos3x + C2 sin3x

y = ex (C1

y = e2x (C1 cos3x +

y = e4x (C1 cos3x +

y = ex (C1 cosx +

cos3x + C2

C2 sin3x )

C2 sin3x )

C2 sinx)

Đáp án đúng là: y = ex (C1 cosx + C2 sinx)
Vì : giải phương trình đặc trưng
k2 –2 k + 2 = 0 có 2 nghiệm phức liên hợp k1
= 1+i , k2 = 1 – i
Nghiệm tổng quát là:y = ex (C1 cosx + C2 sinx )

y= C1 cos3x - C2
1 3x
sin3x + 3 e

y = C1 cos3x - C2
1 3x
sin3x + 2 e

e3x (C1 cosx + C2

y’’+ 9 y=0

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng thuần
nhất

sin3x )

y’’- 2y’+ 2y=0

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng
y’’+ 9 y= 6e3x

y= C1 cos3x +
1 3x
C2 sin3x + 3 e

sinx)

1 3x
Đáp án đúng là: y= C1 cos3x + C2 sin3x + 3 e
Vì : giải phương trình đặc trưng
k2 +9 = 0 có 2 nghiệm k1 = 3i , k2 = – 3i
Nghiệm tổng quát là của phương trình thuần
nhất:
y = C1 cos3x + C2 sin3x
Tìm nghiệm riêng y* của phương trình khơng
thuần nhất, vế phải có dạng eαx P0 (x)
α= 3 khơng phải là nghiệm của phương trình
đặc trưng nên
y* = A e3x . Thế vào phương trình ban đầu ta
1
được A 
3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình khơng
thuần nhất là:
1 3x
y= C1 cos3x + C2 sin3x + 3 e

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng
y’’- 3y’= 2 – 6x

y = C1 x+ C2 e3x

+ x2

y = C1 + C2 e3x + x

y = e-3x (C1 x + C2 )

y = C1 + C2 e3x +

+ x2

x2

Đáp án đúng là: y = C1 + C2 e3x + x 2
Vì: giải phương trình đặc trưng
k2 -3 k = 0 có 2 nghiệm k1 = 0 , k2 = 3
Nghiệm tổng quát là của phương trình thuần
nhất:
y = C1 + C2 e3x

Tìm nghiệm riêng y* của phương trình khơng
thuần nhất, vế phải có dạng eαx P1 (x)
α= 0 là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên
y* = x(Ax+B) . Thế vào phương trình ban đầu ta
được A=1, B = 0, suy ra y* = x2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình khơng
thuần nhất là:
y = C1 + C2 e3x + x 2

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng
y’’- 7y’+6y = sinx

y= C1 ex + C2

y= C1 e-x + C2 e6x

e6x

1
(7 cos x  5sin x)
74
1
(7 cos x  5sin x)
74

y= C1 ex + C2 e -6x

y= C1 e-x + C2 e6x

1
(7 cos x  5sin x)
74

1
(7 cos x  5sin x) Vì: giải phương trình đặc trưng
70

k2 -3 k = 0 có 2 nghiệm k1 = 1 , k2 = 6
Nghiệm tổng quát là của phương trình thuần
nhất:

Đáp án đúng là: y= C1 ex + C2 e6x

1
(7 cos x  5sin x
74

y = C1 ex + C2 e6x
Tìm nghiệm riêng y* của phương trình khơng
thuần nhất, vế phải có dạng P0 (x)sinβx
Vì i  khơng là nghiệm của phương trình

đặc trưng nên
y* = Acosx+Bsinx.. Thế vào phương trình ban
7
5
đầu ta được A  , B 
, suy ra
74
74
1
(7 cos x  5sin x)
y* =
74
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình khơng
thuần nhất là:
y= C1 ex + C2 e6x

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng

y = ( C1 + C2 )e-x +

y =( C1 x+
-3x

C2)e

2

+ 2x

y = (C1 ex + C2 e-5x)

3x2 e-x
+

y’’+ 4y’- 5y = 2ex

y = C1 + C2 e3x +
x2

1 x
xe
3

1
(7 cos x  5sin x)

74

Đáp án đúng là: y = (C1 ex + C2 e-5x) +

1 x
xe
3

Vì: giải phương trình đặc trưng
k2 + 2 k +1 = 0 có 2 nghiệm k1 = 1 , k2 = -5
Nghiệm tổng quát là của phương trình thuần
nhất:
y = (C1 ex + C2 e-5x)

Tìm nghiệm riêng y* của phương trình khơng
thuần nhất, vế phải có dạng eαx P0 (x)
α= 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng
nên
y* = Ax ex . Thế vào phương trình ban đầu ta
1
1
được A= , suy ra y* = x ex
3
3
Vậy nghiệm tổng qt của phương trình khơng
thuần nhất là:
y = y = (C1 ex + C2 e-5x) +

Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng

y’’+ 2y’+y = 4e-x

y =( C1 x+

y = ( C1 + C2 )e-x +

y = (C1 + C2 x) e-x

C2)e-3x + 2x2

3x2 e-x

2x2 e-x

+

y = C1 + C2 e3x +
x2

1 x
xe
3

Đáp án đúng là: y = (C1 + C2 x) e-x + 2x2 e-x
Vì: giải phương trình đặc trưng
k2 + 2 k +1 = 0 có nghiệm kép k = -1
Nghiệm tổng quát là của phương trình thuần
nhất:
y = (C1 + C2 x) e-x

Tìm nghiệm riêng y* của phương trình khơng
thuần nhất, vế phải có dạng eαx P0 (x)
α= -1 là nghiệm kép của phương trình đặc
trưng nên
y* = Ax2 e-x . Thế vào phương trình ban đầu ta
được A=2, B = 0, suy ra y* = 2x2 e-x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không
thuần nhất là:
y = (C1 + C2 x) e-x + 2x2 e-x


Giải phương trình vi phân
cấp 2 hệ số hằng thuần
nhất
y’’- 2y’+ 2y=x2

y = ex (C1

y = e2x (C1 cos3x +

y = e4x (C1 cos3x +

y = ex (C1 cosx +

cos3x + C2

1
C2 sin3x )+ ( x  1) 2
2

C2 sin3x )=

C2 sinx)+

1
( x  1) 2
2

1
( x  1) 2
2

sin3x )=

1
( x  1) 2
2

Đáp án đúng là: y = ex (C1 cosx + C2 sinx)+

1
( x  1)
2

Vì : giải phương trình đặc trưng
k2 –2 k + 2 = 0 có 2 nghiệm phức liên hợp k1
= 1+i , k2 = 1 – i
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
là : y = ex (C1 cosx + C2 sinx )
Tìm nghiệm riêng y* của phương trình khơng

thuần nhất, vế phải có dạng eαx P2 (x)
α= 0 khơng là nghiệm của phương trình đặc
trưng nên
y* = Ax2 +Bx+C . Thế vào phương trình ban
1
1
đầu ta được A  , B  1, C  ,
2
2
1
1 1
suy ra y* = x 2  x   ( x  1)2
2
2 2
Vậy nghiệm tổng qt của phương trình khơng
thuần nhất là:
y = ex (C1 cosx + C2 sinx)+

1
( x  1) 2
2