ma trận nghịch đảo tổng quát

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (818.63 KB, 38 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ LƯU

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNHChuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Lớp: 15CTUDE

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ LƯU

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNHChuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Lớp: 15CTUDE

Đà Nẵng 2019

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được aicơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Lưu

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CẢM ƠN

Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại trường Đại học Sư phạm ĐàNẵng, được sự dìu dắt của các thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được khá nhiềukiến thức hữu ích. Khóa luận tốt nghiệp này được xem như là thành quảquan trọng của cả quá trình học tập và rèn luyện. Lời đầu tiên của luậnvăn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. TrươngCông Quỳnh đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực hiện đểtác giả có thể hồn thành được luận văn này.

Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cơ giáođã tận tình dạy bảo trong suốt thời gian học tập của khóa học.

Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em tronglớp 15CTUDE và các anh chị khóa trên đã nhiệt tình giúp đỡ tơi trongq trình học tập tại lớp.

Đà Nẵng, ngày 1 tháng 3 năm 2019

Nguyễn Thị Lưu

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU. . . .

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . .

1.1. Giả nghịch đảo Moore - Penrose

. . . .

1.2. Không gian null của ma trận

. . . .

2.1. Luật trật tự ngược cho {1} −nghịch đảo

. . . .

2.2. Luật trật tự ngược cho {1, 2} −nghịch đảo

. . . .

TỔNG QUAN VÀ KẾT LUẬN. . . .

2.3. Tổng quan:

. . . .

2.4. Kết luận:

. . . .

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . .

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong đại số tuyến tính, ma trận giả nghịch đảo của ma trận A là mộttổng quát hóa của ma trận nghịch đảo. Loại ma trận giả nghịch đảo phổbiến nhất là giả nghịch đảo Moore–Penrose. Vào năm 1920, E. H. Mooređã định nghĩa khái niệm giả nghịch đảo và loại ma trận này cũng được tìmra một cách độc lập bởi Arne Bjerhammar năm 1951 và Roger Penrosenăm 1955. Lý thuyết này đã trở thành một chủ đề nghiên cứu của các tácgiả khác nhau, nhiều vấn đề và câu hỏi đã được giải quyết. Tuy nhiên,một số chỉ được giải quyết một phần hoặc vẫn còn mở cho đến ngày nay.Bởi những lý do như trên cùng với sự định hướng của thầy giáo PGS.TS.Trương Công Quỳnh, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: “Ma trận nghịchđảo tổng quát ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu

Luận văn này trình bày một số chủ đề hiện tại trong lý thuyết về nghịchđảo tổng quát nhằm đưa ra đánh giá về những nỗ lực này cũng như cungcấp những định hướng khả thi để nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực toán họcnày.

3. Đối tượng nghiên cứu

Giả nghịch đảo Moore - Penrose và tích của nhiều hơn hai ma trận.4. Phạm vi nghiên cứu

Vấn đề luật nghịch đảo thứ tự đối với tích hai ma trận từ đó tổng qtvới tích nhiều hơn hai ma trận, các lớp khác nhau của nghịch đảo tổngquát.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

thực hiện đề tài. Trước tiên, chúng tôi thu thập các bài báo khoa học củanhững tác giả đi trước liên quan đến ma trận và các tính chất đại số củanghịch đảo tổng qt. Sau đó bằng cách tương tự hóa những kết quả đó,chúng tơi sẽ đưa ra những kết quả mới cho đề tài.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Khóa luận góp phần bổ sung thêm các tính chất đại số trên nghịch đảocủa ma trận.

- Khóa luận có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và cácnghiên cứu sinh đang nghiên cứu về mảng này.

7. Cấu trúc luận văn

Nội dung khóa luận được trình bày qua hai chương. Ngồi ra, khóa luậncịn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, Phần kết luậnvà Tài liệu tham khảo.

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi xin trình bày một số kiến thức liên quanđến ma trận, nhắm hỗ trợ cho phần đọc hiểu ở chương tiếp theo.

1.1. Giả nghịch đảo Moore - Penrose

Định nghĩa 1.1.1. ChoA ∈ M (m, n;K). Ma trận giả nghịch đảo Penrose (hay còn gọi là giả nghịch đảo) củaAlà ma trậnA

†

∈ M (n, m;K)thỏa mãn bốn điều kiện sau:

Moore-(1)AA

†

A = A.(2)A

†

AA

†

= A

†

(3)(AA

†

)

∗

= AA

†

và(4)(A

†

A)

∗

= A

†

A. Chú ý 1.1.2. Ma trậnA

†

tồn tại và duy nhất.

Với bất kìA, kí hiệuA {i, j, ..., k}biểu thị tập hợp tất cả các ma trậnX thỏa mãn các phương trình(i), (j)..., (k)trong số các phương trình từ(1) − (4).

X ∈ A {i, j, ..., k}là một{i, j, ..., k} −nghịch đảo củaAvà được kí hiệulàA

(i,j,...,k)

. Với quy ước này ta cóA {1, 2, 3, 4} =A

†

.

Nhận xét 1.1.3. - NếuAlà ma trận thực, thìA

†

cũng là ma trận thực.- NếuAkhả nghịch, thì ma trận nghịch đảo và giả nghịch đảo là một:A

†

= A

−1

- Giả nghịch đảo của ma trận không là chuyển vị của nó.

- Giả nghịch đảo của giả nghịch đảo chính là ma trận ban đầu:(A

†

)

†

= A

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

1.2. Không gian null của ma trận

Định nghĩa 1.2.1. ChoA ∈ M (m, n;K). Không gian null của ma trậnA, kí hiệu làN (A), là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình thuầnnhấtAx = 0.

Viết theo kí hiệu tập hợp:

1 −1 −2 −4

x

1

− x

2

− 2x

3

− 4x

4

= 0

2x

2

+ 5x

3

+ x

4

= 0⇒N (A) =

2

(x

3

− 7x

4

)

2

(5x

3

+ x

4

)x

3

x

4

: x

3

, x

4

∈R

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

A =

a

11

a

12

... a

1n

a

21

a

22

... a

2n

...a

m1

a

m2

... a

mn

a

i

=

, i = 1, ..., n→A =[a

1

a

2

... a

n

]và Ax =α

1

a

1

+ α

2

a

2

+ ... + α

n

a

n

Nghĩa là, vectoAxtrong R

n

là một tổ hợp tuyến tính các vecto cột củaA. Và

R(A) = {α

1

a

1

+ α

2

a

2

+ ... + α

n

a

n

|α

1

, α

2

, ..., α

n

∈R}Ví dụ 1.3.2. ChoA =

"12−1 3

"α

1

+ 2α

2

−α

1

+ 3α

2

2α

1

+ α

2

#

×α

1

+"2

× α

2

.

Vì vậyR(A) =

("α

1

+ 2α

2

−α

1

+ 3α

2

2α

1

+ α

2

#

|α

1

, α

2

∈R)

1.4. Các toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.4.1. Khơng gian Banach: Các khơng gian Banach đượcđịnh nghĩa là các Các không gian vecto định chuẩn đầy đủ. Điều này nghĩalà một không gian Banach là một không gian vecto V trên trường số thựchay số phức với một chuẩn ||.|| sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng vớimetricd(x, y) = ||x − y||)có giới hạn trong V.

Ví dụ 1.4.2. Khơng gian Euclid quen thuộc K

n

, với chuẩn Euclid củax = (x

1

, x

2

, ..., x

n

)được cho bởi||x|| = (P

|x

i

|

2

)

1/2

), là các không gianBanach.

NếuVvàWlà các không gian Banach trên cùng một trường K, tập hợpcác hàm K−tuyến tính liên tụcΘ :V → Wđược ký hiệu làL (V , W ).Khi đó,Θ :V → Wlà một tốn tử tuyến tính.

1.5. Cơ sở và số chiều

Định nghĩa 1.5.1. Hệ vectoEtrong khơng gian vectoVlà một cơ sởcủaVnếu nó vừa là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính.

Ví dụ 1.5.2. Hệ vectoE = {e

1

= (1, 0); e

2

= (0, 1)}là cơ sở của không

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

gian vecto R

2

.

Thật vậy,Elà hệ sinh và từ đẳng thức:λ

1

e

1

+ λ

2

e

2

= 0λ

1

(1, 0) + λ

2

(0, 1) = (0, 0)

⇒ λ

1

= 0, λ

2

= 0,nên hệEđộc lập tuyến tính.

Định nghĩa 1.5.3. NếuVcó một cơ sở gồm n phần tử thìVgọi là khơnggian n chiều, kí hiệu là dimV = n vàVđược gọi là khơng gian hữu hạnchiều.

Ví dụ 1.5.4. (1)

dimR

2

= 2; dimR

3

= 3;(2)

dimP

2

[t] = 3; dimM

22

= 4.(3) TrongP

2

[x] =a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

: a

i

∈R, i = 0, 2

Xác định một cơ sở và số chiều củaW = span(u

1

= 1 + 3x + 2x

2

, u

2

=2 + 6x + 4x

2

, u

3

= x + 3x

2

)

Xét ma trận: A =

1 3 22 6 40 1 3

1 3 20 0 00 1 3

1 3 20 1 30 0 0

Suy ra một cơ sở củaWlà:1 + 3x + 2x

2

, x + 3x

2

vàdimW = 2

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT LIÊNQUAN

Định nghĩa 2.0.1. ChoA ∈ M (m, n,K). Ta gọi ma trậnX ∈ M (n, m,K)thỏa mãn điều kiệnAXA = Alà{1} −nghịch đảo củaAđược kí hiệu làA

(1)

. Tập hợp tất cả các{1} −nghịch đảo củaAkí hiệu làA {1}.

Ví dụ 2.0.2.A =

1 01 0

→A

(1)

=

Vào năm 1960, Greville là người đầu tiên nghiên cứu bằng cách xem xétluật trật tự ngược cho nghịch đảo Moore- Penrose và đưa ra điều kiện cầnvà đủ cho quy luật này:

(AB)

†

= B

†

A

†

(2.1)

đúng cho mọi ma trậnAvàB. Các nghiên cứu sâu hơn về chủ đề nàyphân nhánh theo nhiều hướng:

- Tích của nhiều hơn 2 ma trận.

- Các lớp khác nhau của nghịch đảo tổng quát.

- Các tập hợp khác nhau được xét (toán tử đại số, toán tửC

∗

, vành,...)Chúng ta sẽ thảo luận về luật thứ tự ngược choK-nghịch đảo khiK ∈{{1} , {1, 2}}và trình bày các kết quả được cơng bố gần đây cũng nhưmột số ví dụ đơn giản và các vấn đề mở.

2.1. Luật trật tự ngược cho{1} −nghịch đảo

Trong bài báo của mình, Rao [1] chứng minh rằng nếuAvàBlà cácma trận phức sao choABxác định,Acó các cột độc lập tuyến tính hoặcBcó các hàng độc lập tuyến tính, thì:

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

B {1} A {1} ⊆ (AB) {1}(2.2)

Sau đó, Pringle và Rayner[2] cho rằng với bất kì hai điều kiện nào của Rao(nghĩa là, nếuAcó các cột độc lập tuyến tính hoặcBcó các hàng độc lậptuyến tính), kéo theo:

(AB) {1} = B {1} A {1}(2.3)

được chú thích vào năm 1994 bởi Werner[3], người đưa ra những phảnví dụ cho khẳng định này và chứng minh rằng với các ma trậnAvàBcókích thước phù hợp, công thức (2.2) đúng nếu và chỉ nếu:

N (A) ⊆ R(B)hoặcR(B) ⊆ N (A)

trong đóN (A)vàR(B)lần lượt là khơng gian null củaAvà miền củaB.

Định lí 2.1.1. ChoA ∈B(H , K )vàB ∈B(L , H )là các toán tửchính quy sao choABcũng chính quy. Khi đóB {1} A {1} ⊆ (AB) {1}nếu và chỉ nếu:

N (A) ⊆ R(B)hoặcAB = 0.(2.4)

Ngồi ra ơng cịn chứng minh rằng (2.3) đặc biệt đúng trong từng trườnghợp sau:

CảAvàBđều có các cột độc lập tuyến tính.CảAvàBđều có các hàng độc lập tuyến tính.

Akhơng suy biến và/hoặcBkhơng suy biến. nhưng nhìn chung, vấn đềkhó khăn hơn của việc tìm ra mơ tả tương đương của điều kiện (2.3) vẫncòn mở. Trang tiếp theo của chuyên đề này được viết bởi M. Wei [4], sửdụng P-SVD của các ma trậnAvàB, một số các tương đương của (2.2)được suy ra và so sánh với các điều kiện của Weiner và tất nhiên điều kiệncần và đủ cho (2.3) đúng được đưa ra.

Định lí 2.1.2. ([4]) ChoA ∈C

m×n

vàB ∈C

n×p

. Các điều kiện sau làtương đương:

(i) AB {1} = B {1} A {1}

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

(ii)Một trong các điều kiện sau đúng:

(a)r(AB) = 0, n ≥ min {m + r(B), p + r(A)},

(b)r(A) + r(B) − r(AB) = nvà(r(A) = mhoặcr(B) = p)(iii)Một trong các điều kiện sau đúng:

(a)R(B) ⊆ N (A),n ≥ min {m + r(B), p + r(A)},(b)N (A) ⊆ R(B)và(r(A) = mhayr(B) = p).

Ví dụ 2.1.3. (1) Nếum = nvàA = I, thì với mọiB ∈C

n×p

ta có(AB) {1} = B {1}vàA {1} = {I}, vì vậy(AB) {1} = B {1} A {1}, điềunày có thể được kết luận từ (2.1.2)(iii)b.

(2) ChoA =

0 10 1

,B =

1 00 0

.⇒ AB = 0và từ (2.1.1) (hoặc sử dụnggiả thuyết(AB) {1} =C

2×2

), ta cóB {1} A {1} ⊆ AB {1}. Mặt khác, vì

A {1}=

a

1

a

2

a

3

1 − a

3

: a

1

, a

2

, a

3

∈C

B {1}=

1 b

1

b

2

b

3

: b

1

, b

2

, b

3

∈C

Ta có thể kiểm tra

1 −1

∈ (AB) {1}khơng thể được viết dưới dạngtíchB

(1)

A

(1)

vớiA

(1)

∈ A {1}vàB

(1)

∈ B {1}. Điều này có nghĩa là(AB) {1} 6= B {1} A {1}có thể được kiểm tra bằng định lý (2.1.2).

Ngoài ra, hệ thức (2.2) trong trường hợp tích của nhiều hơn hai ma trậncũng được xét bởi M. Wei [4] bằng cách áp dụng khai triển bội tích.Định lí 2.1.4. ([5]) ChoA

i

∈C

mi×mi+1

,i = 1, n,n ≥ 3. Các điều kiệnsau là tương đương:

(i) A

n

{1} A

n−1

{1} ...A

1

{1} ⊆ (A

1

A

2

...A

n

) {1}(ii)Một trong các điều kiện sau đúng:

(a)r (A

1

A

2

...A

n

) = 0.

(b)r(A

1

...A

i

) + r(A

i+1

) − r(A

1

...A

i+1

) = m

i+1

,i = 1, n − 1(iii)Một trong các điều kiện sau đúng:

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

(a)R(A

i+1

...A

n

) ⊆N (A

1

...A

i

), vớii ∈ {1, ..., n − 1},(b)N (A

1

...A

i

) ⊆R(A

i+1

),i = 1, n − 1.

Kết quả trước đây đã được khái quát hóa bởi Nikolov-Radenkovie [6]cho các tốn tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert. Chúng ta sẽchứng minh cho kết quả này.

Định lí 2.1.5. ([6]) ChoA

i

∈B(H

i+1

,H

i

),i = 1, n, sao choA

i

,i = 1, nvàA

1

A

2

...A

j

,j = 2, nlà các tốn tử tuyến tính. Các điều kiện sau là tươngđương:

(i) A

n

{1} A

n−1

{1} ...A

1

{1} ⊆ (A

1

A

2

...A

n

{1}

(ii) A

1

A

2

...A

n

= 0hoặcN (A

1

...A

j−1

) ⊆R(A

j

)với mọij = 2, n

(iii) A

1

A

2

...A

n

= 0hoặcA

k

{1} A

k−1

{1} ...A

1

{1} ⊆ A

1

A

2

...A

k

{1}, vớik = 2, n.

Chứng minh. :(ii) ⇒ (iii). NếuA

1

A

2

...A

n

= 0, hiển nhiên(iii)đúng.Gỉả sửA

1

A

2

...A

n

6= 0và

N (A

1

...A

j−1

) ⊆R(A

j

), j = 2, n.(2.5)

Ta sẽ chứng minh quy nạp trênk:

A

k

{1} A

k−1

{1} ...A

1

{1} ⊆ (A

1

A

2

...A

k

) {1} , j = 2, n.(2.6)

Từ suy raN (A

1

) ⊆R(A

2

)mà theo (2.4) kéo theo (2.6) đúng vớik = 2. Gỉa sử rằng (2.6) đúng vớik = l − 1,l ∈ {2, 3, ..., n}, nghĩa là:

A

l−1

{1} A

l−2

{1} ...A

1

{1} ⊆ (A

1

A

2

...A

l−1

) {1} .(2.7)

Chúng ta phải chứng minh rằng phương trình đúng với mọik = l. Vì (2.1)đúng với mọij = l, từ (2.4) ta có:

A

l

{1} (A

1

A

2

...A

l−1

) {1} ⊆ (A

1

A

2

...A

l−1

A

l

) {1}(2.8)

Theo phương pháp quy nạp suy ra điều phải chứng minh.(iii) ⇒ (i). Hiển nhiên.

(i) ⇒ (ii). Gỉa sử rằngA

1

A

2

...A

n

6= 0vớin > 2theo định lý (2.1.1).Choj ∈ {3, 4, ..., n}vài ∈ {1, 2, ..., j − 2}tùy ý. Thì vời mọi tùy ý

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Lấy (2.9) trừ (2.10), ta có:

A

1

A

2

...A

n

A

(1)n

...A

(1)j+1

.A

(1)j

+ YI

Hj

− A

j

A

(1)j

A

(1)j−1

...A

(1)i+1

I

Hi+1

− A

(1)i

A

i

XA

(1)i−1

...A

(1)1

A

1

...A

n

= 0(2.11)

ThayY = 0vào (2.11) ta có:

A

1

A

2

...A

n

A

(1)n

...A

(1)j+1

A

(1)j

A

(1)j−1

...A

(1)i+1

I

Hi+1

− A

(1)i

A

i

XA

(1)i−1

...A

(1)1

A

1

...A

n

= 0(2.12)

Cuối cùng từ (2.12) và (2.11), ta nhận được:

A

1

A

2

...A

n

A

(1)n

...A

(1)j+1

YI

Hj

) − A

j

A

(1)j

A

(1)j−1

...A

(1)i+1

I

Hi+1

− A

(1)i

A

i

XA

(1)i−1

...A

(1)1

A

1

...A

n

= 0(2.13)

đúng với mọi tùy ýX ∈B(H

i

,H

i+1

)và mỗiY ∈BH

j+1

,H

i

). Tiếptheo, nếu như:

A

1

A

2

...A

n

A

(1)n

...A

(1)j+1

= 0(2.14)

I

H

− A

j

A

(1)j

I

H+

− A

i

A

(1)i

= 0(2.15)

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

vài ∈ {1, 2, ..., j − 2}, ta có:

I

H

− A

j

A

(1)j

A

(1)j−1

...A

(1)i+1

A

(1)i

A

i

=I

H

− A

j

A

(1)j

A

(1)j−1

...A

(1)i+1

(2.17)

Choj ∈ {2, 3, ..., n}, tùy ý. Từ (i) kéo theo:A

1

A

2

...A

n

A

(1)n

...A

(1)j+1

.

A

(1)j

+ Y

I

Hj

− A

j

A

(1)j

A

(1)j−1

+I

Hj

− A

(1)j−1

A

j−1

X.A

(1)j−2

...A

(1)1

A

1

...A

n

= A

1

...A

n

(2.18)

đúng với mọi tùy ýX ∈B(H

j−1

,H

j

)vàY ∈B(H

j

,H

j+1

). Tương tựphần chứng minh trên, chúng ta có với tùy ýj ∈ {2, 3, ..., n}

I

Hj

− A

j

A

(1)j

I

Hj

− A

(1)j−2

A

j−1

A

j−1

= 0(2.19)

Lấyj = 2trong (2.19), ta kết luận rằng:N (A

1

) ⊆R(A

2

).(2.20)

Chọn tùy ýj ∈ {3, 4, ..., n}. Sử dụng (2.17) và (2.19), ta có:A

j

A

(1)j

I − A

(1)j−1

...A

(1)2

A

(1)1

A

1

A

2

A

3

...A

j−1

= I − A

(1)j−1

...A

(1)2

A

(1)1

A

1

A

2

A

3

...A

j−1

,(2.21)

kéo theoN (A

1

A

2

...A

j−1

) ⊆R(A

j

).

Trong phần [7], một số điều kiện cần và đủ được đưa ra trong trường hợpnhiều ma trận, với một số(AB) ∈ (AB) {1}thỏa mãn một số điều kiệnđặc biệt tồn tạiA

(1)

∈ A {1}vàB

(1)

∈ B {1}sao cho(AB)

(1)

= B

(1)

A

(1)

:

Định lí 2.1.6. ([7]) ChoA ∈C

m×n

vàB ∈C

n×p

và cho(AB) ∈(AB) {1}được tùy ý cho trước, và cho:t((AB)

(1)

) = dim(R((AB)

(1)

) ∩N (B))và

v((AB)

(1)

) = dim(R[(AB)

(1)

]

∗

) ∩N (A

∗

)Thì(AB)

(1)

∈ B {1} A {1}nếuvà chỉ nếu:

r((AB)

(1)

) − t((AB)

(1)

) − v((AB)

(1)

) ≥ r(A) + r(B) − n.Luật thứ tự ngược:

(AB) {1} ⊆ B {1} A {1}(2.22)

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

trong tập hợp các ma trận được giải vào năm 1998 trong phần [8], khisử dụng phương pháp P-SVD của các ma trậnAvàBchứng minh rằng(2.22) đúng nếu và chỉ nếu:

dimN (A) − dim(N (A) ∩ R(B) ≥ min {dimN (A

∗

), dimN (B)} .Trong phần [9], một số điều kiện cần và đủ cho (2.22) được đưa ra màkhông sử dụng SVD hoặc P-SVD của hai ma trậnAvàB, chủ yếu chophép các chứng minh đại số được tổng qt hóa cho các tập hợp chung:Định lí 2.1.7. ChoA ∈C

m×n

vàB ∈C

n×p

. Các điều kiện sau là tươngđương:

(i) (AB) {1} ⊆ B {1} A {1}

(ii) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) − min {m − r(A), p − r(B)}.Chứng minh. Vì (i) tương đương với

(B

∗

A

∗

) {1} ⊆ A

∗

{1} B

∗

{1}(2.23)

khơng mất tính tổng qt ta giả sử trong chứng minh rằng:min {m − r(A), p − r(B)} = m − r(A).(2.24)

Thật vậy, nếu đây không phải là trường hợp ta có (2.24) bằng cách thayAbằngB

∗

vàBbằngA

∗

, cho rằngm − r(A) = dimN (A

∗

)vàp − r(B) =dimN (B). Bây giờ, giả sử (2.24), ta cần phải chứng minh rằng (i) tươngđương vớim − r(AB) ≤ n − r(B).

Hiển nhiên, (i) tương đương với mọi(AB)

(1)

∈ (AB) {1}tồn tạiA

(1)

∈A {1}vàB

(1)

∈ B {1}sao cho:

(AB)

(1)

= B

(1)

A

(1)

.

Sử dụng Bổ đề 1.1 từ phần [9], cũng như các kí hiệu phù hợp được sửdụng trong đó, (i) tương đương với bất kỳ(A

1

B

1

)

(1)

∈ (A

1

B

1

) {1},Z

2

∈B(N (A

∗

),R(B

∗

)),Z

3

∈B(R(A), N (B))vàZ

4

∈B(N (A

∗

),N (B))tồn tại các ma trậnY

2

∈B(N (B

∗

)),R(B

∗

),Y

3

∈B(R(B), N (B))vàY

4

∈B(N (B

∗

)),N (B)vàX =

X

1

X

2

X

3

X

4

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

R(A)N (A

∗

)

R(B)N (B

∗

)

thỏa mãn:

A

1

X

1

+ A

2

X

2

= I

R(A)

,(2.25)

sao cho:

[(A

1

B

1

)

(1)

Z

2

] = [B

1−1

Y

2

]X(2.26)

[Z

3

Z

4

] = [Y

3

Y

4

]X.(2.27)

Nói chung choY

2

cố định phương trình (2.26) có thể giải được choXvàtập nghiệm được cho bởi:

S =

[(A

1

B

1

)

(1)

Z

2

] + (I −

B

1−1

Y

2

)W : W ∈C

n×m

B

1

(A

1

B

1

)

(1)

− B

1

Y

2

W

3

B

1

Z

2

− B

1

Y

2

W

4

W

1

W

2

W

3

W

4

R(A)N (A

∗

)

R(B)N (B

∗

hiển nhiên cho bởi

∈hB

(1)1

Y

2

Do đó, (i) tương đương với tồn tại ít nhất mộtX ∈ S ∩ A {1}mà phươngtrình (2.27) có thể giải với[Y

3

Y

4

]. Tính giải được của phương trình (2.27)tương đương với:

[Z

3

Z

4

] (I − X

(1)

X) = 0(2.29)

với một số (với mọi)X

(1)

∈ X {1}.

Do đó, (i) tương đương với sự tồn tại của củaX ∈ S ∩ A {1}mà (2.29)đúng. ViếtX = [K

1

K

2

], trong đó

K

1

=

B

1

(A

1

B

1

)

(1)

− B

1

Y

2

W

3

W

3

vàK

2

=

A

1

Z

2

− B

1

Y

2

W

4

W

4

Sử dụng bổ đề 2.3 [10], ta có một nghịch đảo trong củaXđược chobởiX

(1)

=

K

1(1)

− K

1(1)

K

2

T

(1)

R

K1

T

(1)

R

K1

trong đóT = R

K1

,K

2

vàR

K1

=I − K

1

K

1(1)

. Do đó (2.29) tương đương với

(Z

4

− Z

3

K

1(1)

K

2

)(I − T

(1)

T ) = 0, Z

3

(I − K

1(1)

K

1

) = 0,(2.30)

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:40 AM10:09:40 AM

1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat1Ma tran nghich dao tong quat

38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM38Tuesday, June 11, 202410:09:41 AM10:09:41 AM

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

</div>

ma trận nghịch đảo tổng quát

Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ LƯU

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNHChuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Lớp: 15CTUDE

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ LƯU

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNHChuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Lớp: 15CTUDE

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được aicơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Lưu

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

LỜI CẢM ƠN

Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cơ giáođã tận tình dạy bảo trong suốt thời gian học tập của khóa học.

Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em tronglớp 15CTUDE và các anh chị khóa trên đã nhiệt tình giúp đỡ tơi trongq trình học tập tại lớp.

Đà Nẵng, ngày 1 tháng 3 năm 2019

Nguyễn Thị Lưu

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU. . . .

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

TỔNG QUAN VÀ KẾT LUẬN. . . .

. . . .

. . . .

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . .

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

2. Mục đích nghiên cứu

Luận văn này trình bày một số chủ đề hiện tại trong lý thuyết về nghịchđảo tổng quát nhằm đưa ra đánh giá về những nỗ lực này cũng như cungcấp những định hướng khả thi để nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực toán họcnày.

3. Đối tượng nghiên cứu

Giả nghịch đảo Moore - Penrose và tích của nhiều hơn hai ma trận.4. Phạm vi nghiên cứu

Vấn đề luật nghịch đảo thứ tự đối với tích hai ma trận từ đó tổng qtvới tích nhiều hơn hai ma trận, các lớp khác nhau của nghịch đảo tổngquát.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Khóa luận góp phần bổ sung thêm các tính chất đại số trên nghịch đảocủa ma trận.

- Khóa luận có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và cácnghiên cứu sinh đang nghiên cứu về mảng này.

7. Cấu trúc luận văn

Nội dung khóa luận được trình bày qua hai chương. Ngồi ra, khóa luậncịn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, Phần kết luậnvà Tài liệu tham khảo.

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi xin trình bày một số kiến thức liên quanđến ma trận, nhắm hỗ trợ cho phần đọc hiểu ở chương tiếp theo.

1.1. Giả nghịch đảo Moore - Penrose

Định nghĩa 1.1.1. ChoA ∈ M (m, n;<sub>K</sub>). Ma trận giả nghịch đảo Penrose (hay còn gọi là giả nghịch đảo) củaAlà ma trậnA

∈ M (n, m;<sub>K</sub>)thỏa mãn bốn điều kiện sau:

Moore-(1)AA

A = A.(2)A

AA

= A

(3)(AA

)

= AA

và(4)(A

A)

= A

A.

Chú ý 1.1.2. Ma trậnA

tồn tại và duy nhất.

Với bất kìA, kí hiệuA {i, j, ..., k}biểu thị tập hợp tất cả các ma trậnX thỏa mãn các phương trình(i), (j)..., (k)trong số các phương trình từ(1) − (4).

X ∈ A {i, j, ..., k}là một{i, j, ..., k} −nghịch đảo củaAvà được kí hiệulàA

. Với quy ước này ta cóA {1, 2, 3, 4} =<sup></sup>A

.

Nhận xét 1.1.3. - NếuAlà ma trận thực, thìA

cũng là ma trận thực.- NếuAkhả nghịch, thì ma trận nghịch đảo và giả nghịch đảo là một:A

= A

- Giả nghịch đảo của ma trận không là chuyển vị của nó.

- Giả nghịch đảo của giả nghịch đảo chính là ma trận ban đầu:(A

)

= A

381Ma tran nghich dao tong quatTuesday, June 11, 2024

1.2. Không gian null của ma trận

Định nghĩa 1.2.1. ChoA ∈ M (m, n;<sub>K</sub>). Không gian null của ma trậnA, kí hiệu làN (A), là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình thuầnnhấtAx = 0.

. Với quy ước này ta cóA {1, 2, 3, 4} =<sup></sup>A