Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.53 MB, 34 trang )
<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">
1 PHẦN MỞ ĐẦU
Đào Minh Dũng - 20183503Nguyễn Văn Duy - 20183514Nguyễn Tiến Long - 20180129Đỗ Tiến Đạt - 20183881Vũ Quang Huy - 20183930Lương Đức Long - 20183945Đào Hoàng Long - 20183579Trần Hữu Hiếu - 20180078Nguyễn Thành Long - 20183948
2
</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">min{f(x), x ∈ D ⊂ R<small>n</small>}
Khi f là hàm lồi và D là tập lồi thì có kết luận gì. Lấy ví dụ để cùnghàm mục tiêu f nhưng hai bài tốn này có nghiệm tối ưu khác nhau.
Lời giảii) Bài toán min{f(x), x ∈ R<small>n</small>} (1)Điều kiện cần:
- Điều kiện bậc nhất: Cho hàm f xác định khả vi trên R<small>n</small>. Điều kiện để
)≥ 0Nếu
∇f(x<small>∗</small>) = 0∇<small>2</small>
) > 0 thì x<small>∗</small>là nghiệm cực tiểu địa phương chặt.
ii) Bài toán min{f(x), x ∈ D ⊂ R<small>n</small>
} (2)3
</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">2.2 Bài tập 15 trang 291 2 BÀI TẬP GIÁO TRÌNHĐiều kiện cần: Giả sử f khả vi trên một tập mở chứa D. Nếu x<small>∗</small>
∈ D lànghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (2) thì
), vi ≥ 0 ∀v ∈ T (D, x<small>∗</small>)trong đó T (D, x<small>∗</small>
) là nón tiếp xúc với D tạix<small>∗</small> .∈ DNếu x<small>∗</small>
∈ D thỏa mãn h∇f(x<small>∗</small>
), vi > 0 ∀v ∈ T (D, x<small>∗</small>
) thì x<small>∗</small>là nghiệmcực tiểu địa phương chặt của bài toán (2).
Nếu f lồi, khả vi trên một tập mở chứa tập lồi D ⊂ R<small>n</small>. Ta có điều kiệncần và đủ để x<small>∗</small>
∈ D là điểm cực tiểu tồn cục của bài tốn (2) là:h∇f(x<small>∗</small>
), vi ≥ 0 ∀v ∈ T (D, x<small>∗</small>
)Ví dụ:
minf(x) = (x + 2)<small>2</small>
| x ∈ Rđạt tối ưu tạix=−2.
minf(x) = (x + 2)<small>2</small>
| x ∈ [−1; 1] ⊂ Rđạt tối ưu tạix=−1.
Bài toánXét bài toán min
f(x) =<sup>1</sup>
<small>T</small>Qx+ c<small>T</small>x| Ax ≤ b
, trong đó Q là ma trậnđối xứng xác định dương, khơng suy biến cấp (n×n), ma trận A cấp(m×n),véc tơ c, x ∈ R<small>n</small>và b ∈ R<small>m</small>. Viết điều kiện Kuhn-Tucker cho bài tốn này.
Lời giảiTa có: f(x) lồi ⇔ Q đối xứng xác định dương.
4
</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">Ax− b là hàm afin ⇒ Điều kiện chính quy cho bài toán được thỏa mãn.⇒ Áp dụng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán quy hoạch lồi.
<small>T</small>Qx+ c<small>T</small>
x) + λ∇<small>x</small>(Ax− b) = 0λ≥ 0
λ(Ax− b) = 0
Ax≤bQx+ c + λA<small>T</small>= 0
λ≥ 0λ(Ax− b) = 0
Bài toán
Sử dụng Định lý Karush-Kuhn-Tucker tìm nghiệm tối ưu và giá trị tốiưu của bài tốn của các bài tốn sau. Giải thích chi tiết từng điều kiện ápdụng và cách lấy nghiệm.
− 8x<small>1</small>− 4x<small>2</small>| x<small>1</small>+ x<small>2</small>≤ 2, x<small>1</small>≥ 0, x<small>2</small>≥ 0}Lời giải
i) min{f(x) = x<small>1</small>| x( <small>1</small>− 1)<small>2</small>+ x<small>2</small>≤ 1, x<small>2</small>+ x<small>2</small>
≤ 2}f(x) =x<small>1</small>là hàm lồi.
Và g<small>1</small>(x) = (x<small>1</small>− 1)<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 1, g<small>2</small>(x) =x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 2 cũng là các hàm lồi.Ta có g<small>1</small>(0, 5; 0, 5) < 0, g<small>2</small>(0, 5; 0, 5) < 0⇒ Điều kiện Slater được thỏa mãn⇒ Điểm cực tiểu của bài toán là điểm KKT.
g<small>1</small>(x), g<small>2</small>( )x ≤ 0∇<small>x</small>(x<small>1</small>) + λ<small>1</small>∇<small>x</small>g<small>1</small>(x) + λ<small>2</small>∇<small>x</small>g<small>2</small>(x) = 0
λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0λ<small>1</small>g<small>1</small>(x) = λ<small>2</small>g(x) = 0
g<small>1</small>(x), g<small>2</small>( )x ≤ 01 + λ<small>1</small>2(x<small>1</small>− 1) + λ<small>2</small>2x<small>1</small>= 0
λ<small>1</small>2x<small>2</small>+ λ<small>2</small>2x<small>2</small>= 0λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0λ<small>1</small>g<small>1</small>(x) = λ<small>2</small>g<small>2</small>(x) = 0
5
</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">2.3 Bài tập 16 trang 291 2 BÀI TẬP GIÁO TRÌNH
• Nếu x<small>2</small>= 0⇒
(x<small>1</small>− 1)<small>2</small> 1≤x<small>2</small>
≤ 21 + 2λ<small>1</small>(x<small>1</small>−1) + 2λ<small>2</small>x<small>1</small>= 0
λ<small>1</small>((x<small>1</small>−1)<small>2</small>−1) = 0λ<small>2</small>(x<small>2</small>
− 2) = 0⇔
2λ<small>1</small>= 0λ<small>2</small>= −1
x<small>1</small>= 0λ<small>1</small>=<sup>1</sup>2λ<small>2</small>= 0Do λ<small>1</small>, λ<small>2</small>> 0 ⇒ Ta chọn(x<small>1</small>; x<small>2</small>) = (0; 0).
• Nếu x<small>2</small>6= 0 ⇒
(x<small>1</small>− 1)<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 1 ≤ 0x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
≤ 2λ<small>1</small>=−λ<small>2</small>= 01 + 2λ<small>1</small>(x<small>1</small>−1) + 2λ<small>2</small>x<small>1</small>= 0
Vô lý.Vậy min f(x) = 0 khi(x<small>1</small>; x<small>2</small>) = (0; 0).
ii) min{f(x) = x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 8x<small>1</small>− 4x<small>2</small>| x<small>1</small>+ x<small>2</small>≤ 2, x<small>1</small>≥ 0, x<small>2</small>≥ 0}
Ta có: ∇<small>x</small>f(x) =2x<small>1</small>− 82x<small>2</small>− 4
⇒ ∇<small>2</small>
<small>x</small>f(x) =2 00 2
⇒ f là hàm lồi chặt.Và đặt X = {(x<small>1</small>, x<small>2</small>)| g<small>1</small>(x) = x<small>1</small>+ x<small>2</small>− 2 ≤ 0, g<small>2</small>(x) =−x<small>1</small>≤ 0, g<small>3</small>(x) =−x<small>2</small>≤ 0}.
Vì g<small>i</small>(x) là các hàm lồi và ¯x= (1; 1) thỏa mãn điều kiện Slater. Khi đó giảsử x<small>∗</small>là nghiệm cực tiểu cảu bài tốn thìx<small>∗</small>là điểm KKT.
g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 3∇<small>x</small>L(x, λ<small>1</small>, λ , λ<small>23</small>) = 0
λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3λ<small>i</small>g<small>i</small>(x) = 0, i = 1, 3
g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 32x<small>1</small>− 8 + λ<small>1</small>− λ<small>2</small>= 02x<small>2</small>− 4 + λ<small>1</small>− λ<small>3</small>= 0
λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3λ<small>1</small>(x<small>1</small>+x<small>2</small>− 2) = 0
λ<small>2</small>x<small>1</small>= λ<small>3</small>x<small>2</small>= 0⇔
g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 3x<small>1</small>= 0λ<small>1</small>= λ<small>2</small>+ 82x<small>2</small>− 4 + λ<small>1</small>− λ<small>3</small>= 0λ<small>1</small>(x<small>2</small>− 2) =λ<small>3</small>x<small>2</small>= 0
λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3
g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 3λ<small>2</small>= 0λ<small>1</small>+ 2x<small>1</small>− 8 = 02x<small>2</small>− 4 + λ<small>1</small>−λ<small>3</small>= 0λ<small>1</small>(x<small>1</small>+ x<small>2</small>− 2) = λ<small>3</small>x<small>2</small>= 0
λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3
6
</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 3x<small>1</small>= 0, x<small>2</small>= 2λ<small>3</small>= 0, λ<small>1</small>= 0, λ<small>2</small>=−8
λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3hoặc
g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 3x<small>1</small>= 0, x<small>2</small>= 0λ<small>1</small>= 0, λ<small>3</small>=−4, λ<small>2</small>=−8
λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3
g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 3λ<small>2</small>= 0, x<small>2</small>= 02x<small>1</small>− 8 + λ<small>1</small>= 0
λ<small>1</small>− λ<small>3</small>− 4 = 0λ<small>1</small>(x<small>1</small>− 2) = 0λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3⇔
x<small>1</small>= 2, x<small>2</small>= 0λ<small>1</small>= 4, λ<small>2</small>= λ<small>3</small>= 0
Vậy min f(x) = −12 khi(x<small>1</small>; x<small>2</small>) = (2; 0).
− 2x<small>1</small>+ x<small>2</small>
− x<small>2</small>
+ 4x<small>3</small>| x<small>1</small>− x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>= 2}.iii) min{f(x) = 3x<small>1</small>+ 4x<small>2</small>| (x<small>1</small>+ 1)<small>2</small>
+ x<small>2</small>
= 1, (x<small>1</small>− 1)<small>2</small>
+ x<small>2</small>
= 1}.Lời giải
Phương pháp Langrange giải bài toán trơn với ràng buộc đẳng thức:Với các hàm f, h , j<small>j</small> = 1, ..., k là các hàm khả vi liên tục trên R<small>n</small>. Khi đóđiểm x ∈ R<small>n</small>là nghiệm cực tiểu của bài tốn và tại đó điều kiện chính quyđược thỏa mãn thì x<small>∗</small>thỏa mãn điều kiện KKT.
∇<small>x</small>L(x, µ<small>1</small>, ..., µ<small>k</small>) =∇f(x) +P<small>k</small>
<small>j=1</small>µ<small>j</small>∇h<small>j</small>(x) = 0h<small>1</small>(x) = 0, ..., h<small>k</small>( ) = 0x
7
</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">2.4 Bài tập 17 trang 291 2 BÀI TẬP GIÁO TRÌNHi) min{f(x) = x<small>2</small>
xác định dương ⇒ f là hàm lồi chặt trên X. ⇒ Ápdụng điều kiện KKT cho bài toán quy hoạch lồi: Nghiệm x<small>0</small>là nghiệm tốiưu của bài toán ⇔ x<small>0</small>là điểm KKT.
∇<small>x</small>L(x, µ) = 0
h(x) = 0 ⇔∇<small>x</small>f(x) + µ∇<small>x</small>h( ) = 0xx<small>1</small>+x<small>2</small>= 10 ⇔
2x<small>1</small>+ µ = 02x<small>2</small>+ µ = 0x<small>1</small>+x<small>2</small>= 10
µ=−10x<small>1</small>= x<small>2</small>= 5Vậymin f (x) = 50⇔ x = (5, 5)<small>T</small>.
ii) min{f(x) = x<small>2</small>− 2x<small>1</small>+ x<small>2</small>
− x<small>2</small>
+ 4x<small>3</small>| x<small>1</small>− x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>= 2}.
ĐặtX={(x1, x , x2 3)∈ R<small>3</small> x .| <small>1</small>− x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>= 2
Ta có h(x) = x<small>1</small>− x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>− 2 là hàm afin. Do đó điều kiện chính quy thỏamãn tại ∀x ∈ X. Dễ thấy f(x), h( ) khả vi liên tục trênx <sub>R</sub><small>3</small>.
Do đó nếu x là nghiệm cực tiểu địa phương của bài tốn thì thỏa mãn điềukiện KKT
∇<small>x</small>L(x, µ) = 0
h(x) = 0 ⇔∇<small>x</small>f(x) + µ∇<small>x</small>h(x) = 0x<small>1</small>−x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>= 2 ⇔
2x<small>1</small>− 2 + µ = 02x<small>2</small>− µ = 0−2x<small>3</small>+ 4 + 2µ = 0
x<small>1</small>−x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>= 2
2x<small>3</small>=−1Ta chứng minh x =<sup> 5</sup>
2 <sup>,</sup>−1<small>T</small>
là nghiệm cực tiểu tồn cục của bài tốn.Với x<small>1</small>−x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>= 2 ta có
</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">= 2x<small>2</small>
− 6x<small>1</small>+ 3x<small>2</small>
− 4x<small>3</small>+ 4x<small>1</small>x<small>3</small>
= 2(x<small>1</small>+ x<small>3</small>−<sup>3</sup>2<sup>)</sup>
<small>2</small>+ (x<small>3</small>+ 1)<small>2</small>
−<sup>3</sup>2≥ −<sup>3</sup><sub>2</sub>.Đẳng thức xảy ra tại x = (<sup>5</sup>
2 <sup>,</sup>−1)<small>T</small>.Vậy min f(x) = −<sub>2</sub><sup>3</sup>⇔ x = (<sup>5</sup><sub>2</sub>,−3
2 <sup>,</sup>−1)<small>T</small>.
iii) min{f(x) = 3x<small>1</small>+ 4x<small>2</small>| (x<small>1</small>+ 1)<small>2</small>+ x<small>2</small>= 1, (x<small>1</small>− 1)<small>2</small>+ x<small>2</small>
= 1}.Đặt X = {(x<small>1</small>, x<small>2</small>)∈ R<small>2</small> x
| h<small>1</small>(x) = ( <small>1</small>+ 1)<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 1 = 0, h<small>2</small>(x) = (x<small>1</small>− 1)<small>2</small>
− 1 = 0}.
Xét điều kiện KKT của bài toán:
∇L(x, µ<small>1</small>, µ<small>2</small>) = 0(x<small>1</small>+ 1)<small>2</small>+ x<small>2</small>= 1(x<small>1</small>− 1)<small>2</small>
+ x<small>2</small>
= 1⇔
3 + 2µ<small>1</small>(x<small>1</small>+ 1) + 2µ<small>2</small>(x<small>1</small>− 1) = 04 + 2µ<small>1</small>x<small>2</small>+ 2µ<small>2</small>x<small>2</small>= 0
(x<small>1</small>+ 1)<small>2</small>
+ x<small>2</small>
= 1(x<small>1</small>− 1)<small>2</small>
+ x<small>2</small>
= 1
Hệ vơ nghiệm. Do đó nếu x<small>∗</small>là nghiệm cực tiểu địa phương của bài tốn thìx<small>∗</small>khơng thỏa mãn điều kiện chính quy.
Tức là tồn tại (α, β) 6= (0, 0) sao cho<sub>α∇h</sub><small>1</small>(x) + β∇h<small>2</small>(x) = 0.
Dễ thấy tập X chỉ chứa duy nhất điểm (0 0), <small>T</small>. Kiểm tra thấy (0 0), <small>T</small>khôngthỏa mãn điều kiện chính quy (ví dụ α = β = 1).
Vậy min f(x) = 0 khix= (0, 0)<small>T</small>.
Bài toánXét bài toán
min{x<small>1</small>| −(x<small>1</small>−2)<small>2</small> 4( 2)− x<small>2</small>− <small>2</small>
+ 4≤ 0}Điểm x<small>0</small>
= (4, 2)<small>T</small>có phải là điểm KKT khơng? Điểm x<small>0</small>có phải nghiệm tốiưu địa phương của bài tốn đang xét khơng? Giải thích?
9
</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">2.6 Bài tập 21 trang 292 2 BÀI TẬP GIÁO TRÌNHLời giải
ĐặtX={(x<small>1</small>, x<small>2</small>)∈ R<small>2</small> .| g(x) = 4 −(x<small>1</small>−2)<small>2</small>
− 4(x<small>2</small>− 2)<small>2</small>
≤ 0Xét điều kiện KKT của bài toán:
4− (x<small>1</small>− 2)<small>2</small> 4( 2) 0− x<small>2</small>− <small>2</small>
+ λ −2x<small>1</small>+ 4−8x<small>2</small>+ 16
= 0λ≥ 0λ(4− (x<small>1</small>− 2)<small>2</small>
− 4(x<small>2</small>− 2)<small>2</small>
) = 0Dễ thấy λ = 0 không thỏa mãn.
Xét (x<small>1</small>− 2)<small>2</small> 2)+ 4(x<small>2</small>− <small>2</small>
= 4 ta có:(
x<small>1</small>=<sup>1 + 4λ</sup>2λx<small>2</small>= 2
x<small>2</small>= 2x<small>1</small>= 4λ=<sup>1</sup>
x<small>2</small>= 2x<small>1</small>= 0λ=−1
4 <sup><</sup><sup>0</sup>
Do đó điểm x<small>0</small>= (4, 2)<small>T</small>là điểm KKT của bài tốn.
•Ta chứng minh điểm x<small>0</small>= (4, 2)<small>T</small> khơng phải điểm cực trị địa phương củabài tốn.
Giả sử phản chứng x<small>0</small>= (4, 2)<small>T</small>là cực tiểu địa phương, khi đó ∃B(x<small>0</small>, ǫ) là 1lân cận của x<small>0</small>thoả mãn :∀x ∈ B(x<small>0</small> .
, ǫ)∩ X : f(x) ≥ f(x<small>0</small>
) = 4Xét x ∈ B(x<small>0</small>, ǫ)∩ X thì ∃ α, β : x = (4 + α, 2 + β) thoả mãn :
pα<small>2</small>+ β<small>2</small>
≤ ǫ(2 + α)<small>2</small>
+ 4β<small>2</small> 4≥Với ǫ < 1, ta có |α| < 1 nên2 + α > 0.Suy ra (2 + α)<small>2</small>
+ 4β<small>2</small>
≥ 4 ⇔ α ≥p4 − 4β<small>2</small> 2− .Ta thấy A = (−pǫ<small>2</small>
− β<small>2</small>,pǫ<small>2</small>
− β<small>2</small>)∩ (p4 − 4β<small>2</small> 2
− , 0) 6= ∅ nên chọn ǫ ∈ Athì (ǫ, β) thoả mãn (*), hơn nữa ǫ < 0 nên khi đó f(x) = 4 + ǫ < 4 ( mâuthuẫn với giả thiết).
Vậy điểm x<small>0</small>= (4, 2)<small>T</small>không phải điểm cực trị địa phương của bài toán.
</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">Lời giải
Xét hàm f(x) ta có ∇<small>x</small>f(x) =
2x<small>1</small>+ x<small>2</small>
2x<small>2</small>+ x<small>1</small>+ x<small>3</small>
2x<small>3</small>+ x<small>2</small>
⇒ ∇<small>2x</small>f(x) =
2 1 01 2 10 1 2
xác định dương. ⇒ f(x) lồi.
| g<small>1</small>(x) = 2− x<small>1</small>≤ 0, g<small>2</small>(x) = 4− x<small>2</small>≤ 0, g<small>3</small>(x) =−x<small>3</small>≤ 0}Do g<small>i</small>(x) là các hàm afin và điều kiện Slater được thỏa mãn (ví dụ tại x =(1,1,1)<small>T</small>⇒ ∀x ∈ X đều là điểm chính quy.
Do đó x là nghiệm cực tiểu của bài toán<sub>⇔ x</sub>là điểm KKT.
g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 3▽<small>x</small>f(x) +P<small>3</small>
<small>i=1</small>λ<small>i</small>▽<small>x</small>g<small>i</small>(x) = 0λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3λ<small>i</small>g<small>i</small>(x) = 0, i = 1, 3
g<small>i</small>(x)≤ 0, i = 1, 32x<small>1</small>+ x<small>2</small>− λ<small>1</small>= 02x<small>2</small>+x<small>1</small>+x<small>3</small>− λ<small>2</small>= 0
2x<small>3</small>+ x<small>2</small>− λ<small>3</small>= 0λ<small>i</small>≥ 0, i = 1, 3λ<small>1</small>(2− x<small>1</small>) =λ<small>2</small>(4− x<small>2</small>) =λ<small>3</small>x<small>3</small>= 0⇔<sup> x</sup><small>1</small>= 2, x<small>2</small>= 4, x<small>3</small>= 0
λ<small>1</small>= 8, λ<small>2</small>= 10, λ<small>3</small>= 4
Vậy điểm x<small>0</small>= (2, 4, 0)<small>T</small> là nghiệm tối ưu địa phương và là nghiệm tối ưutoàn cục của bài toán.
11
</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">3 BÀI TẬP LÀM THÊM
Xét bài toánmin
<small>x</small> x<small>1</small>− 4x<small>2</small>+ x<small>3</small> (P<small>1</small>)s.t.
x<small>1</small>+ 2x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>=−2x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
≤ 1Tìm nghiệm của bài tốn trên dựa vào điều kiện KKT
Lời giải
f(x) =x<small>1</small>−4x<small>2</small>+x<small>3</small>liên tục trên X = {(x<small>1</small>, x , x<small>23</small>)∈ R<small>3</small> x x x| <small>1</small>+2 <small>2</small>+2 <small>3</small>=−2, x<small>2</small>+ x<small>2</small>+ x<small>2</small>
≤ 1}, mà X là tập compact nên bài tốn (P<small>1</small>) có nghiệmf(x), g( ) =x x<small>2</small>
+ x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 1, h(x) = x<small>1</small>+ 2x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>+ 2 là các hàm khảvi liên tục trên tập mở chứa X và ¯x =
thỏa mãn g(¯x) < 0 vàh(¯x) = 0 nên điều kiện Slater thỏa mãn
h(x) là hàm afin, g( ) là hàm lồi vìx ∇<small>2</small> xg( ) =
2 0 00 2 00 0 2
xác định dươngnên điều kiện chính quy thỏa mãn tại x<small>∗</small>
∈ X. Khi đó nghiệm của (P<small>1</small>) thỏamãn điều kiện KKT:
x<small>2</small>+ x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 1 ≤ 0x<small>1</small>+ 2x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>+ 2 = 0
1+ λ
+ µ
122= 0λ, µ≥ 0
</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">λ, µ≥ 0x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
= 1x<small>1</small>+ 2x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>+ 2 = 01 + 2λx<small>1</small>+ µ = 0−4 + 2λx<small>2</small>+ 2µ = 01 + 2λx<small>3</small>+ 2µ = 0
λ= 0, µ≥ 0x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 1 ≤ 0x<small>1</small>+ 2x<small>2</small>+ 2x<small>3</small>+ 2 = 0
1+ µ
= 0 (vô lý)
λ, µ≥ 0x<small>2</small>+ x<small>2</small>+ x<small>2</small>= 19µ− 5 − 4λ = 0x<small>1</small>=−2µ − 2
9µ− 5x<small>2</small>=<sup>8</sup>− 4µ
9µ− 5x<small>3</small>=−4µ − 2
9µ− 5⇒
µ=<sup>25 + 2</sup>√
x<small>1</small>=−274 − 14<sup>√</sup>6851233x<small>2</small>=<sup>26</sup>
√685− 5481233x<small>3</small>=−548 − 19<sup>√</sup>685
min f (x) =<sup>10</sup>−<sup>√</sup>6859khi
(x<small>1</small>; x<small>2</small>; x<small>3</small>) = −274 − 14<sup>√</sup>6851233 <sup>;</sup>
26√685− 5481233 <sup>;</sup>
−548 − 19<sup>√</sup>6851233
x<small>1</small>− x<small>2</small>+ 8≤0x<small>2</small>≥ 0
13
</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">3.2 Bài 2 3 BÀI TẬP LÀM THÊM(ii)
<small>x</small> 3x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
3x<small>2</small>+ x<small>2</small>+ x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 0, 1≤ 0x<small>2</small>+ 10≥0
<small>x</small> 2x<small>1</small>+ x<small>2</small>
4x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 2 ≤ 04x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 3≤0(iv)
<small>x</small> x<small>4</small>
− x<small>2</small>
x<small>2</small>+ x<small>2</small>
≤ 12x<small>2</small>+ 1≤0Lời giải(i) Xét f(x) = 3x<small>2</small>+ x<small>2</small>
, X={(x<small>1</small>, x<small>2</small>)∈ R<small>2</small>
| x<small>1</small>− x<small>2</small>+ 8≤ 0, −x<small>2</small>≤ 0}∇f(x) =<sup>6x</sup><small>1</small>
f(x) =6 00 2
xác định dương nên f(x) là hàm lồi khả vi trên tập mở chứa X
g<small>1</small>(x) =x<small>1</small>− x<small>2</small>+ 8, g<small>2</small>( ) =x −x<small>2</small>là các hàm lồi khả vi trên tập mở chứaX.Với ¯x = (−11, −2) thì g( ¯x<small>1</small>) < 0, g( ¯x<small>2</small>) < 0 nên điều kiện Slater thỏa mãn⇒Bài toán quy hoạch lồi với điều kiện chính quy thỏa mãn tại mọi x ∈ X
14
</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">⇒ Nghiệm cực tiểu của bài toán thỏa mãn điều kiện KKT:
x<small>1</small>− x<small>2</small>+ 8≤0−x<small>2</small>≤ 0
!+ λ<small>1</small>
!+ λ<small>2</small>
!= 0λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0
λ<small>1</small>(x<small>1</small>−x<small>2</small>+ 8) = 0λ<small>2</small>x<small>2</small>= 0
x<small>1</small>=−2x<small>2</small>= 6λ<small>1</small>= 12λ<small>2</small>= 0
Vậy min f(x) = 48 khi (x<small>1</small>; x<small>2</small>) = (−2; 6)(ii) Xét f(x) = 3x<small>2</small>+ x<small>2</small>có ∇<small>2</small>f(x) =6 0
0 2
xác định dương ⇒ f(x) làhàm lồi khả vi
g<small>1</small>(x) = 3x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
+ x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 0, 1 có∇g<small>1</small>(x) =6x<small>1</small>+ 12x<small>2</small>+ 1
g<small>1</small>(x) =6 00 2
xác định dương nên g<small>1</small>(x) là hàm lồi khả vig<small>2</small>(x) =−x<small>2</small>− 10 là hàm lồi khả vi.
Lại có với ¯x = (−0, 1; −0, 1)<small>T</small> thì g<small>1</small>(¯x) < 0, g<small>2</small>(¯x) < 0 nên điều kiện Slaterđược thỏa mãn
⇒ Bài tốn quy hoạch lồi và điều kiện chính quy thỏa mãn tại mọi x ∈ X⇒ Nghiệm cực tiểu của bài toán thỏa mãn điều kiện KKT:
3x<small>2</small>+ x<small>2</small>+ x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 0, 1≤ 0−x<small>2</small>− 10 ≤ 0
!+ λ<small>1</small>
6x<small>1</small>+ 12x<small>2</small>+ 1!
+ λ<small>2</small>
!= 0λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0
+ x<small>2</small>+ x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 0, 1) = 0λ<small>2</small>(x<small>2</small>+ 10) = 0
• λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0 thì từ phương trình thứ 3 suy ra x<small>1</small>= x<small>2</small>= 0, khơng thỏamãn phương trình 1
15
</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">3.2 Bài 2 3 BÀI TẬP LÀM THÊM• λ<small>1</small>= 0, x<small>2</small>=−10
6x<small>1</small>= 0
−20 − λ<small>2</small>= 0 ⇔(
x<small>1</small>= 0
λ<small>2</small>=−20 (khơng thỏa mãn λ<small>2</small>≥ 0)• λ<small>2</small>= 0; 3x<small>2</small>+ x<small>2</small>+ x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 0, 1 = 0
6x<small>1</small>+ λ<small>1</small>(6x<small>1</small>+ 1) = 02x<small>2</small>+ λ<small>1</small>(2x<small>2</small>+ 1) = 03x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
+ x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 0, 1 = 0⇒
6x<small>1</small>+ λ<small>1</small>(6x<small>1</small>+ 1) = 0x<small>2</small>= 3x<small>1</small>
+ x<small>2</small>
+ x<small>1</small>+ x<small>2</small>=−0, 1
x<small>1</small>=−2 +<sup>√</sup>2.812x<small>2</small>=−2 +<sup>√</sup>2.8
4λ<small>1</small>= −6x<small>1</small>
6x<small>1</small>+ 1<sup>></sup><sup>0</sup>hoặc
x<small>1</small>=−2 −<sup>√</sup>2.812x<small>2</small>=−2 −<sup>√</sup>2.8
4λ<small>1</small>= −6x<small>1</small>
6x<small>1</small>+ 1<sup><</sup><sup>0 (loại)</sup>• x<small>2</small>=−10; 3x<small>2</small>+ x<small>2</small>+ x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 0, 1 = 0 (x<small>1</small>vô nghiệm)Vậy min f(x) ≈ 0, 00889 khi
(x<small>1</small>; x<small>2</small>) = −2 +<sup>√</sup>2, 812 <sup>;</sup>
−2 +<sup>√</sup>2, 84
+ x<small>2</small>
≤ 24x<small>1</small>+ x<small>2</small>≤ −32 + 8λ<small>1</small>x<small>1</small>+ 4λ<small>2</small>= 01 + 2λ<small>1</small>x<small>2</small>+ λ<small>2</small>= 0λ<small>1</small>(4x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 2) = 0λ<small>2</small>(4x<small>1</small>+ x<small>2</small>+ 3) = 0
• Nếu λ<small>1</small>= 0 : (1)⇒(
2 + 4λ<small>2</small>= 01 + λ<small>2</small>= 0 ⇒
λ<small>2</small>=−<sup>1</sup><sub>2</sub>λ<small>2</small>=−1 (vô lý)16
</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">• Nếu λ<small>1</small>>0 : (1)⇔
+ x<small>2</small>
= 24x<small>1</small>+ x<small>2</small>≤ −3x<small>1</small>=−1 − 2λ<small>2</small>
x<small>2</small>=−1 − λ<small>2</small>
λ<small>2</small>(4x<small>1</small>+x<small>2</small>+ 3) = 0( )∗λ<small>2</small>≥ 0, λ<small>1</small>>0
Nếu λ<small>2</small>= 0 ta có
+ x<small>2</small>
= 24x<small>1</small>+ x<small>2</small>≤ 3x<small>1</small>= −1
x<small>2</small>= −12λ<small>1</small>
⇒ ¯x =
g<small>1</small>(¯x) = 0g<small>2</small>(¯x) = 0
Lại có
∇g<small>1</small>(¯x) = −4−2!
∇g<small>2</small>(¯x) = −21
• Nếu(
λ<small>2</small>6= 0
4x<small>1</small>+ x<small>2</small>=−3 <sup>: (1)</sup><sup>⇔</sup>
4x<small>2</small>+ x<small>2</small>= 24x<small>1</small>+ x<small>2</small>=−3x<small>1</small>=−1 − 2λ<small>2</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">3.2 Bài 2 3 BÀI TẬP LÀM THÊM
x<small>1</small>=−<sup>1</sup>2<sup>, x</sup><small>2</small>=−1x<small>1</small>=−7
10<sup>, x</sup><sup>2</sup><sup>=</sup>−1
5x<small>1</small>=−1 − 2λ<small>2</small>
λ<small>2</small>= 0λ<small>1</small>=<sup>1</sup>2λ<small>1</small>, λ<small>2</small>>0
Vơ lý do λ<small>2</small>6= 0
Nếu x<small>1</small>=−710<sup>, x</sup><small>2</small>=−1
5 ta có (1) ⇔
1 + 2λ<small>2</small>=<sup>14</sup>5<sup>λ</sup><sup>1</sup>1 + λ<small>2</small>=<sup>2</sup>
5<sup>λ</sup><sup>1</sup>λ<small>1</small>, λ<small>2</small>>0⇒
+ x<small>2</small>
− 1 ≤ 0} là tập compact nên bài tốn có nghiệm tối ưuGiả sử ¯x = ( ¯x<small>1</small>,x¯<small>2</small>) là nghiệm tối ưu địa phương của bài tốn và ¯xthỏamãn điều kiện chính quy. Khi đó ¯x là nghiệm của hệ KKT:
+ x<small>2</small>
≤ 13x<small>2</small>
+ λ2x<small>1</small>= 03x<small>2</small>
+ λ2x<small>2</small>= 0λ(x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 1) = 0 (*)λ≥ 0
Từ (*) ⇒
λ= 0x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
= 1
18
</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">• Nếu λ = 0(1) ⇔
x<small>2</small>+ x<small>2</small>
≤ 1x<small>2</small>= 0x<small>2</small>
= 0
⇔ x<small>1</small>= x<small>2</small>= 0. Ta thấy<sub>∀x ∈ X</sub> sao cho
x<small>1</small>, x<small>2</small><0 : f (x) < 0 nên x không là nghiệm cực tiểu địa phương
• Nếu x<small>2</small>+ x<small>2</small>
= 1 (1) ⇔
x<small>1</small>(3x<small>1</small>+ 2λ) = 0x<small>2</small>(3x<small>2</small>+ 2λ) = 0λ≥ 0
x<small>1</small>= 0x<small>1</small>=−2λ
x<small>2</small>= 0x<small>2</small>=−2λ
3λ≥ 0– Nếu x<small>1</small>=x<small>2</small>= 0⇒ x<small>2</small>+ x<small>2</small>= 06= 1 (Vô lý)– Nếu x<small>1</small>= 0, x<small>2</small>=−<sup>2λ</sup>
3<sup>(λ</sup>≥ 0) ⇒<sup>4λ</sup>
9 <sup>= 1</sup>⇔ λ =<sup>3</sup><sub>2</sub>⇔ x<small>2</small>=−1∇g<small>1</small>(0,−1) =<sup> 0</sup>
nên thỏa mãn điều kiện chính quyvà f(x) = 1<sub>−</sub>
– Nếu x<small>1</small>=−<sup>2λ</sup>
3<sup>, x</sup><small>2</small>= 0. Tương tự ta tính ra x<small>1</small>=−1, nghiệm thỏamãn điều kiện chính quy và f(x) = 1<sub>−</sub>
– Nếu x<small>1</small>= x<small>2</small>=−<sup>2λ</sup>3 ⇒
= 1⇔ λ = <sup>3</sup>2√
√22∇g<small>1</small> −
nên thỏa mãn điều kiệnchính quy và f(x) =
Do đó: nghiệm tồn cục của bài toán là (−1, 0) và (0 1),−(v) Rõ ràng f(x) = x<small>4</small>
− x<small>2</small>
là hàm liên tục trên tập X = {(x<small>1</small>, x<small>2</small>)∈ R<small>2</small>
|g<small>1</small>(x) =x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 1 ≤ 0, g<small>2</small>(x) = 2x<small>2</small>+ 1≤ 0} là tập compact nên bài toán19
</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">3.2 Bài 2 3 BÀI TẬP LÀM THÊMcó nghiệm tối ưu
Gọi ¯x = ( ¯x<small>1</small>,x¯<small>2</small>) là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán và ¯xthỏa mãnđiều kiện chính quy. Khi đó ¯x là nghiệm của hệ KKT:
x<small>2</small>+ x<small>2</small>
≤ 12x<small>2</small>+ 1≤04x<small>3</small>
+ 2λ<small>1</small>x<small>1</small>= 0 (*)−2x<small>2</small>+ 2λ<small>1</small>x<small>2</small>+ 2λ<small>2</small>= 0λ<small>1</small>(x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 1) = 0λ<small>2</small>(2x<small>2</small>+ 1) = 0λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0
Từ (*) ⇔ x<small>1</small>(2x<small>2</small>
+ λ<small>1</small>) = 0⇔ x<small>1</small>= 0 (vì λ<small>1</small>≥ 0). Khi đó:
(1) ⇔
≤ 1x<small>2</small>≤ −<sup>1</sup>
−2x<small>2</small>+ 2λ<small>1</small>x<small>2</small>+ 2λ<small>2</small>= 0λ<small>1</small>(x<small>2</small>
− 1) = 0λ<small>2</small>(2x<small>2</small>+ 1) = 0λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0
−1 ≤ x<small>2</small>≤ −<sup>1</sup><sub>2</sub>(λ<small>1</small>− 1)x<small>2</small>=−λ<small>2</small>
− 1) = 0λ<small>2</small>(2x<small>2</small>+ 1) = 0 (**)λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0
Từ (**) ⇔"λ<small>2</small>= 0
x<small>2</small>=−<sup>1</sup>2• Nếu λ<small>2</small>= 0 ta có
(1) ⇔
−1 ≤ x<small>2</small>≤ −<sup>1</sup><sub>2</sub>(λ<small>1</small>− 1)x<small>2</small>= 0λ<small>2</small>(x<small>2</small>
− 1) = 0⇔
−1 ≤ x<small>2</small>≤ −<sup>1</sup><sub>2</sub>λ<small>1</small>= 1x<small>2</small>
= 1
x<small>2</small>=−1λ<small>1</small>= 1
⇒ ¯x = (0, −1) ⇒(
g<small>1</small>(¯x) = 0g<small>2</small>(¯x) =−1 6= 0∇g<small>1</small>(¯x) = 0
nên thỏa mãn điều kiện chính quy. Dễ thấy ¯xlà nghiệm cực tiểu tồn cục vì x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
≤ 1 ⇒ x<small>4</small>
− x<small>2</small>
≥ −1 = f(¯x)20
</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">• Nếu x<small>2</small>=−<sup>1</sup>
2ta có (1) ⇔
λ<small>1</small>= 0
g<small>1</small>(x) =x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 4 ≤ 0g<small>2</small>(x) =x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 4x<small>1</small>+ 3≤0a) CMR: Bài tốn trên có nghiệm tối ưu
b) Tìm tất cả các nghiệm KKT của bài tốnc) Tìm nghiệm tối ưu tồn cục của bài toán trên
Lời giảia) Ta thấy D = {x ∈ R<small>2</small>
| g<small>1</small>(x)≤ 0, g<small>2</small>(x)≤ 0} là tập compact và hàm f(x)liên tục trên D. Vậy bài tốn có nghiệm tối ưu
b) ∇f(x) =<sup>−4x</sup><small>1</small>+ 44x<small>2</small>
Xét hệ:
g<small>1</small>(x), g<small>2</small>(x)≤ 0
∇f(x) + λ<small>1</small>∇g<small>1</small>(x) + λ<small>2</small>∇g<small>2</small>(x) = 0λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0
λ<small>1</small>g<small>1</small>(x) = 0λ<small>2</small>g<small>2</small>(x) = 0
x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 4 ≤ 0x<small>2</small>+ x<small>2</small>
− 4x<small>1</small>+ 3≤0
(−4x<small>1</small>+ 4) + λ<small>1</small>(2x<small>1</small>) + λ<small>2</small>(2x<small>1</small>− 4) = 04x<small>2</small>+ λ<small>1</small>(2x<small>2</small>) + λ<small>2</small>(2x<small>2</small>) = 0
λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0λ<small>1</small>(x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 4) = 0λ<small>2</small>(x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 4x<small>1</small>+ 3) = 021
</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">3.4 Bài 4 3 BÀI TẬP LÀM THÊMTừ biểu thức thứ 4 và 5 của hệ suy ra x<small>2</small>= 0
• λ<small>1</small>= λ<small>2</small>= 0⇒ x<small>1</small>= 1 thỏa mãn hệ• λ<small>1</small>= 0, λ<small>2</small>6= 0 ⇒
−4x<small>1</small>+ 4 + λ<small>2</small>(2x<small>1</small>− 4) = 0x<small>2</small>
− 4x<small>1</small>+ 3 = 0
x<small>1</small>= 2 + <sup>2</sup>λ<small>2</small>− 2"
x<small>1</small>= 1x<small>1</small>= 3
⇔<sup>x</sup><small>1</small>= 1, λ<small>2</small>= 0 (loại)x<small>1</small>= 3, λ<small>2</small>= 4 (loại do điều kiện 1)
• λ<small>1</small>6= 0, λ<small>2</small>= 0⇒(
−4x<small>1</small>+ 4 + 2λ<small>1</small>x<small>1</small>= 0x<small>2</small>
− 4 = 0 <sup>⇔</sup>
λ<small>1</small>= 2− <sup>2</sup>x<small>1</small>
x<small>1</small>=±2⇔<sup> x</sup><small>1</small>= 2, λ<small>1</small>= 1
x<small>1</small>=−2, λ<small>1</small>= 3 (loại do điều kiện 2)• λ<small>1</small>6= 0, λ<small>2</small>6= 0⇒
− 4 = 0x<small>2</small>
− 4x<small>1</small>+ 3 = 0 (loại)
Vậy các điểm KKT là:(
(1, 0) với λ<small>1</small>= λ<small>2</small>= 0(2, 0) với λ<small>1</small>= 1, λ<small>2</small>= 0
c) Ta có f(x), g<small>1</small>( ), gx <small>2</small>( ) là các hàm lồi khả vi trên Rx <small>2</small>và điều kiện Slatethỏa mãn tại x =<sup> 3</sup>
2<sup>; 0</sup>
nên nghiệm tối ưu là một trong các điểm KKT.Thay vào ta có min f(x) = 0 với x = (2; 0)
h<small>1</small>(x) = x<small>2</small>
+ x<small>2</small>
− 1 = 0g<small>1</small>(x) =−x<small>1</small>≤ 0g<small>2</small>(x) =−x<small>2</small>≤ 0
22
</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">Lời giảiTa có
L(x, λ<small>1</small>, λ , µ<small>21</small>) = f x) + λ( <small>1</small>g<small>1</small>(x) + λ<small>2</small>g<small>2</small>(x) + µ<small>1</small>h<small>1</small>(x)= x<small>2</small>
x<small>1</small>+x<small>2</small>= 1x<small>1</small>, x<small>2</small>≥ 0
2x<small>1</small>+ 4x<small>2</small>− λ<small>1</small>+ µ<small>1</small>= 04x<small>2</small>+ 4x<small>1</small>− λ<small>2</small>+ µ<small>1</small>= 0λ<small>1</small>, λ<small>2</small>≥ 0
λ<small>1</small>x<small>1</small>= λ<small>2</small>x<small>2</small>= 0
ã <small>1</small>=<small>2</small>= 0
x<small>1</small>+x<small>2</small>= 1x<small>1</small>, x<small>2</small> 02x<small>1</small>+ 4x<small>2</small>+ à<small>1</small>= 04x<small>2</small>+ 4x<small>1</small>+ µ<small>1</small>= 0
x<small>1</small>= 0, x<small>2</small>= 1µ<small>1</small>=−4
• λ<small>1</small>6= 0, λ<small>2</small>= 0⇔
x<small>1</small>= 0, x<small>2</small>= 14− λ<small>1</small>+ µ<small>1</small>= 04− λ<small>2</small>+ µ<small>1</small>= 0
⇔ λ<small>1</small>= λ<small>2</small>= 0 (loại)
• λ<small>1</small>= 0, λ<small>2</small>6= 0 ⇔
x<small>1</small>= 1, x<small>2</small>= 02− λ<small>1</small>+ µ<small>1</small>= 04− λ<small>2</small>+ µ<small>1</small>= 0
</div>