Bài toán quy hoạch phi tuyến với kỹ thuật phân rã và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Phan Ngọc Tú

BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN
VỚI KỸ THUẬT PHÂN RÃ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Hà Nội - 2014


1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

QHTT

Quy hoạch tuyến tính.

QHPT

Quy hoạch phi tuyến.

Rn

Không gian thực n chiều.

∇ f (x)

Gradient của hàm f tại điểm x.

∇2 f ( x )
.

∂ f (x)
x

Ma trận Hessian của hàm f tại điểm x.
Chuẩn Euclid.
Đạo hàm riêng của hàm f theo biến x.


Mục lục
Lời nói đầu

iii

1 Các kiến thức cơ bản

1

1.1

Một số kiến thức về bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Phân rã trong quy hoạch tuyến tính
2.1

2.2

Những ràng buộc phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.1

Cấu trúc bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

Sự phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.3

Thuật toán phân rã Dantzig-Wolfe . . . . . . . . . . . .

21

Những biến phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.1

Cấu trúc bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.2

Thuật toán phân rã Benders . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3 Phân rã trong quy hoạch phi tuyến
3.1

12

44

Phương pháp giảm dư Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.1.1

45

Sự phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i


3.2

3.1.2

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.1.3

Đối ngẫu bất khả thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.1.4

Cập nhật hệ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Phân rã Lagrange gia tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.2.1

Sự phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.2.2

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2.3

Tính tách được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2.4

Cập nhật hệ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2.5

Cập nhật tham số phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

62

ii


Lời nói đầu
Tối ưu hóa là một môn toán học ứng dụng đang được nghiên cứu, giảng dạy
và học tập ở nhiều trường Đại học - Cao đẳng, góp phần quan trọng trong
việc ứng dụng khoa học công nghệ vào cuộc sống và sản xuất.
Ngày nay, Quy hoạch tuyến tính (QHTT) vẫn là một phần quan trọng và
được phát triển hoàn thiện nhất trong lý thuyết tối ưu hóa. Phần ít được đề
cập hơn là tối ưu phi tuyến, còn gọi là quy hoạch phi tuyến (QHPT). Ở cả hai
phần này, một số bài toán thực tế trong cuộc sống ta hay gặp các bài toán có
kích thước lớn, do đó việc xử lý chúng như thông thường là điều không thể.
Vì vậy việc thiết kế những thuật toán theo hướng giải quyết các bài toán lớn
là một trong những vấn đề vẫn đang được quan tâm xử lý hiện nay.
Trong luận văn xem xét chú ý đến những trường hợp riêng của các bài
toán tối ưu hóa, những bài toán có cấu trúc phân rã có thể khai thác thuận

lợi. Các bài toán phân rã tối ưu hóa là những bài toán phổ biến trong kỹ thuật
và khoa học ứng dụng. Luận văn đề cập đến các bài toán QHTT và QHPT
với các trường hợp ràng buộc phức tạp và biến phức tạp. Các kỹ thuật phân
rã bao gồm Dantzig - Wolfe, Benders, phương pháp giảm dư Lagrange và
những kỹ thuật khác.
Bố cục của luận văn bao gồm ba chương
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản về tối ưu hóa, định lý Karush
- Kuhn - Tucker, bài toán đối ngẫu.
Chương 2 tập trung vào các bài toán có cấu trúc phân rã trong QHTT,
iii


trong đó thuật toán phân rã Dantzig - Wolfe được đề cập đến trong trường
hợp ràng buộc phức tạp và thuật toán Benders trong trường hợp biến phức
tạp. Ở đó có các ví dụ minh họa rõ hơn.
Chương 3 tập trung vào một số bài toán có cấu trúc phân rã trong QHPT,
trong đó với trường hợp ràng buộc phức tạp được xem xét qua các ví dụ sử
dụng phương pháp giảm dư Lagrange và phương pháp Lagrange gia tăng.
Trong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót,
tôi mong nhận được sự góp ý và những ý kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn
đọc. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS
Nguyễn Hữu Điển, người đã giúp đỡ em trong quá trình thực hiện luận văn.

Hà Nội, tháng 09 năm 2014
Học viên

Phan Ngọc Tú

iv

Chương 1

Các kiến thức cơ bản
1.1 Một số kiến thức về bài toán tối ưu
Trong không gian vectơ R n , cho D ⊆ R n là một tập khác rỗng và hàm số thực
f : D → R tùy ý. Bài toán tối ưu có dạng

(P)

min{ f ( x) : x ∈ D }

là bài toán tìm vectơ (điểm) x∗ ∈ D sao cho f ( x∗ ) ≤ f ( x) với mọi x ∈ D.
Trường hợp D = R n ta có bài toán tối ưu không ràng buộc
min{ f ( x) : x ∈ R n } hay minn f ( x)
x ∈R

Trái lại, (P) là bài toán tối ưu có ràng buộc. Khi ấy tập D thường được cho
bởi
(1.1)

D = x ∈ R n : gi ( x )

0, i = 1, . . . , m; h j ( x) = 0, j = 1, . . . , p

với gi , h j : R n → R là các hàm số cho trước, gọi là các hàm ràng buộc.

Các hệ thức gi ( x) ≥ 0 gọi là các ràng buộc bất đẳng thức, các hệ thức h j ( x) =

0 gọi là các ràng buộc đẳng thức. Bài toán (P) với f (x) không tuyến tính hoặc

tập D cho bởi (1.1) trong đó có ít nhất một trong các hàm gi , h j là phi tuyến.
Các bài toán tối ưu phi tuyến thuộc loại bài toán tối ưu liên tục (không ràng
buộc khi D = R n hay có ràng buộc khi D cho bởi các đẳng thức và bất đẳng
thức).
1


Định nghĩa 1.1. (Hàm nửa liên tục)
+ Hàm f : D → R gọi là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với mỗi ε > 0
có một δ > 0 sao cho f ( x ) − ε f ( x) với mọi x thuộc D, x − x < δ. Hàm f gọi
là nửa liên tục dưới trên D nếu f liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ D.
Định nghĩa trên tương đương với limx ∈ D,x →x f ( x) f ( x ).
+ Hàm f : D → R gọi là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với mỗi ǫ > 0
có một δ > 0 sao cho f ( x) f ( x ) + ε với mọi x thuộc D, x − x < δ. Hàm f gọi
là nửa liên tục trên trên D nếu f liên tục trên tại mọi điểm x ∈ D.

Định lí 1.1. Một hàm f(x) nửa liên tục dưới trên một tập compact D khác rỗng phải
đạt cực tiểu trên D. Tương tự, một hàm f(x) nửa liên tục trên trên một tập compact
D khác rỗng phải đạt cực đại trên D.
Định lí 1.2. a) Một hàm f : D → R nửa liên tục dưới trên một tập đóng D khác
rỗng mà bức (coercive) trên D, nghĩa là f ( x) → +∞ khi x ∈ D, x → +∞, thì f
phải có cực tiểu trên D.
b) Một hàm f : D → R nửa liên tục trên trên một tập đóng D khác rỗng mà - f bức
trên D, nghĩa là f ( x) → −∞ khi x ∈ D, x → +∞, thì f phải có cực đại trên D.
Định lí 1.3. (Định lý Karush - Kuhn - Tucker).
Giả sử các hàm f, gi , h j (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , p) khả vi trên một tập mở chứa D,
x∗ ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của bài toán ở trên và x∗ là điểm chính qui.
Khi đó, tồn tại vectơ λ∗ = (λ1∗ , . . . , λ∗m )T , µ∗ = (µ1∗ , . . . , µ∗p )T thỏa mãn

p

m

∗
∗
∗


(1.1)
∇ f ( x ) + ∑ λi ∇ gi ( x ) + ∑ µ∗j ∇h j ( x∗ )


i =1
j =1

λi∗ gi ( x∗ ) = 0 và λi∗ 0, i = 1, . . . , m
(1.2)




gi ( x∗ ) 0, i = 1, . . . , m; h j ( x∗ ) = 0, j = 1, . . . , p (1.3)

Chứng minh. Do x∗ là điểm cực tiểu địa phương nên theo điều kiện cần tối
ưu cấp 1 ta có < ∇ f ( x∗ ), d > 0 với mọi d ∈ TD ( x∗ ). Do x∗ là điểm chính
qui (tức là TD ( x∗ ) = S( x∗ )) nên bất đẳng thức này đúng với mọi d ∈ S( x∗ ),
nghĩa là với mọi d ∈ R n nghiệm đúng hệ phương trình trên với x∗ thay cho
x0 .
Áp dụng bổ đề Farkas cho ma trận A với ma trận chuyển vị AT có các cột là

−∇ gi ( x∗ ), i ∈ I ( x∗ ), ∇h j ( x∗ ), −∇h j ( x∗ ) ( j = 1, . . . , p).

2


Ta tìm được các số thực λi∗
∗

∇ f (x ) = −

0(i ∈ I ( x∗ )), α j

∑
i∈T (x∗ )

λi∗ ∇ gi ( x∗ ) +

0, β j

0( j = 1, . . . , p). sao cho

p

∑ (α j − β j )∇h j (x∗ ).

j =1

Bằng cách đặt λi∗ = 0 với mọi i ∈
/ I ( x∗ ), µ∗j = β j − α j với mọi j = 1, . . . , p ta
nhận được hai điều đầu tiên. Do x∗ ∈ D nên ta có điều cuối cùng.

Nhận xét 1.1. a) Đối với bài toán (P) ta lập hàm số sau đây, gọi là hàm Lagrange

tương ứng với (P)
p

m

L( x, λ, µ) = f ( x) + ∑ λi gi ( x) +
i =1

(x ∈ R n , λi
thành

∑ µ j h j ( x).
j =1

0 với mọi i và µ j tùy ý với mọi j). Khi đó điều kiện KKT được viết lại

∇x L( x, λ, µ) = 0, λT ∇λ L( x, λ, µ) = 0,

∇λ L( x, λ, µ)

0, ∇µ L( x, λ, µ) = 0,

điều kiện (1.1) gọi là điều kiện dừng, bởi vì ∇x L( x, λ, µ) = 0; (1.2) là điều kiện bù
và (1.3) là điều kiện chấp nhận được.
b) Trường hợp tập D có thêm ràng buộc xk 0 với k ∈ K ⊂ {1, . . . , n}, tức là
D = { x ∈ R n : gi ( x )

0, i = 1, . . . , m;

h j ( x) = 0, j = 1, . . . , p; xk

0, k ∈ K},

thì điều kiện (1.1) đổi thành (các điều kiện (1.2), (1.3) không thay đổi)
(1.1a)

(1.1b)

(1.1c)

p
m
∂h j ( x∗ )
∂gi ( x∗ )
∂ f (x∗ )
+ ∑ λi
+ ∑ µj
= 0 ∀k ∈
/ K,
∂xk
∂xk
∂xk
i =1
j =1
m
∂h j ( x∗ )
∂gi ( x∗ )
∂ f (x∗ )
+ ∑ λi
+ ∑ µj

∂xk
∂x
∂xk
k
i =1
j =1
p

xk∗ [

0, xk∗

0 ∀k ∈ K,

p
m
∂h j ( x∗ )
∂g ( x∗ )
∂ f (x∗ )
+ ∑ λi i
+ ∑ µj
] = 0, ∀k ∈ K.
∂xk
∂x
∂x
k
k
i =1
j =1

Ví dụ 1.1. a) Tìm điều kiện KKT cho bài toán sau
(P)

min{ f ( x) = − log x1 − log x2 : x1 + x2 − 2
3

0, x1

0, x2

0 }.


tại điểm cực tiểu địa phương x∗ = ( x1∗ , x2∗ ) của (P).
Trong ví dụ này g(x) = x1 + x2 − 2. Hàm Lagrange có dạng
L( x, λ) = f ( x) + λg( x) = − log x1 − log x2 + λ( x1 + x2 − 2).
Điều kiện KKT tại x∗ là

 − 1 + λ 0, − 1 + λ 0, x (λ − 1 ) = 0, x2 (λ − 1 ) = 0
1
x1
x2
x1
x2

λ( x1 + x2 − 2) = 0, x1 + x2 − 2 0, x1 0, x2 0, λ 0

Giải hệ trên ta được điểm KKT duy nhất là x∗ = (1, 1)T với λ∗ = 1.
Đó chính là nghiệm cực tiểu của bài toán trên (Chú ý (P) là bài toán lồi).
b) Một ví dụ khác. Kiểm tra điều kiện KKT đối với bài toán sau

3
1
min ( x1 − )2 + ( x2 − )4 , với các điều kiện
x
2
2
g1 ( x ) = x 1 + x 2 − 1

g3 ( x ) = − x 1 + x 2 − 1

0, g2 ( x) = x1 − x2 − 1

0,

0, g4 ( x) = − x1 − x2 − 1

0.

Có thể thấy x∗ = (1, 0)T là điểm cực tiểu, I ( x∗ ) = {1, 2}. Ta có


−1
1
1
, ∇ g2 ( x ∗ ) =
.
∇ f ( x ∗ ) =  1  , ∇ g1 ( x ∗ ) =
1
−1
−

2

Vì thế điều kiện KKT được thỏa mãn nếu đặt λ∗ = ( 43 , 41 , 0, 0)T .
1.2 Bài toán đối ngẫu

Những kết quả thu được cho bài toán quy hoạch tuyến tính được khái quát
cho bài toán quy hoạch phi tuyến. Xét bài toán gốc phi tuyến tổng quát
min f ( x), với
x

(1)

h( x) = 0,
g( x )

4

0.


trong đó f : R n → R, h : R n → R l , g : R n → R m .

Bài toán đối ngẫu đòi hỏi về hàm đối ngẫu được định nghĩa như sau
Φ(λ, µ) = inf { f ( x) + λT h( x) + µT g( x)} .
x

trong đó λ∗ , µ∗ là những hệ số liên hợp với những ràng buộc (1) về nghiệm
tối ưu x∗ của bài toán trên.
Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc trên được định nghĩa như sau
max z D = Φ(λ, µ), µ

λ,µ

0.

Sử dụng hàm Lagrange: L( x, λ, µ) = f ( x) + λT h( x) + µT g( x).
Chúng ta có thể viết lại bài toán đối ngẫu như sau
inf L( x, λ, µ) .

max

x

λ,µ;µ 0

Định nghĩa 1.2. (Điều kiện đủ thứ hai). Giả sử f , h.g ∈ C2 . Những điều kiện sau
là đủ để điểm x∗ thỏa mãn (1) trở thành cực tiểu tương đối ngặt của bài toán trên
(a) Những ràng buộc ở định lý Karush - Kuhn - Tucker đáp ứng.
(b) Ma trận Hessian L( x∗ ) = F( x∗ ) + λT H ( x∗ ) + µT G( x∗ ) là xác định dương
trên không gian con
y : ∇ H ( x∗ ) T y = 0, ∇ g j ( x∗ ) T y = 0; ∀ j ∈ J ,
trong đó J = { j: g j ( x∗ ) = 0, µ j > 0} .
Định nghĩa 1.3. (Điều kiện cần thứ hai). Giả sử f , h.g ∈ C2 . Nếu x∗ là một điểm
chính quy cực tiểu tương đối của bài toán trên, khi đó tồn tại những vectơ λ và
µ ≥ 0 mà điều kiện (1.1) và µ j 0 được đáp ứng và ma trận Hessian L( x∗ ) =
F( x∗ ) + λT H ( x∗ ) + µT G( x∗ ) là xác định dương trên không gian tiếp xúc của
những ràng buộc tại x∗ .
Ví dụ 1.2. (Hàm đối ngẫu). Xét bài toán
min z = x12 + x2 , với
x1 ,x2

− x1 + 2x2 = 0,
x1 x2

5

2.


Giải: Hàm Lagrange là
L( x1 , x2 , λ, µ) = x12 + x2 + λ(− x1 + 2x2 ) + µ(− x1 x2 + 2),
và điều kiện KKT trở thành
∂L( x1 , x2 , λ, µ)
= 2x1 − λ − µx2 = 0,
∂x1
∂L( x1 , x2 , λ, µ)
= 1 + 2λ − µx1 = 0,
∂x2
− x1 + 2x2 = 0,

− x1 x2 + 2

0,

µ(− x1 x2 + 2) = 0,
µ

0.

dẫn đến những nghiệm gốc và đối ngẫu là
9

7
z∗ = 5, x1∗ = 2, x2∗ = 1, λ∗ = , µ∗ = .
4
4
Để thu được bài toán đối ngẫu đầu tiên chúng ta tính toán hàm đối ngẫu
Φ(λ, µ) = inf L( x, y, λ, µ) = inf x12 + x2 + λ(− x1 + 2x2 ) + µ(− x1 x2 + 2) .
x1 ,x2

x1 ,x2

Và khi

∂L( x1 , x2 , λ, µ)
= 2x1 − λ − µx2 = 0,
∂x1
∂L( x1 , x2 , λ, µ)
= 1 + 2λ − µx1 = 0.
∂x2

Dẫn đến
x=

1 + 2λ
2 + 4λ − λµ
,y =
.
µ
µ2

Hàm đối ngẫu trở thành

(1 + 2λ)2 − λµ(1 + 2λ) + 2µ3
.
Φ(λ, µ) =
µ2
Và do đó bài toán đối ngẫu là

(1 + 2λ)2 − λµ(1 + 2λ) + 2µ3
max Φ(λ, µ) =
, với µ
µ2
λ,µ

6

0.


Cuối cùng, do
4λ(2 − µ) − µ + 4
∂Φ(λ, µ)
=
= 0,
∂λ
µ2
(1 + 2λ) [ λ(µ − 4) − 2]
∂Φ(λ, µ)
=2+
= 0,
∂µ

µ3
dẫn đến λ∗ = 74 , µ∗ = 49 , là nghiệm của bài toán đối ngẫu, và rõ ràng trùng
khớp với nghiệm thu được từ điều kiện KKT ở trên.
Định nghĩa 1.4. (Dưới gradient và dưới vi phân).
Cho C là một tập lồi không âm trong R n và cho Φ : C → R là lồi. Khi đó, α được
gọi là một dưới gradient của Φ(λ) tại λ ∈ C nếu
Φ(λ)

Φ(λ ) + αT (λ − λ ); ∀λ ∈ C.

Tương tự vậy, cho Φ : C → R là lõm. Khi đó, α được gọi là một dưới gradient của
λ ∈ C nếu
Φ(λ) Φ(λ ) + αT (λ − λ ); ∀λ ∈ C.
Tập tất cả các dưới gradient của Φ(λ) trong λ là một tập lồi được biết như dưới vi
phân của Φ(λ) tại λ.
Định lí 1.4. (Đối ngẫu yếu). Đối với bất kỳ nghiệm khả thi x của bài toán gốc và
bất kỳ nghiệm khả thi λ, µ của bài toán đối ngẫu, ta luôn có
f (x)

φ(λ, µ).

Định nghĩa 1.5. (Độ lệch đối ngẫu). Hiệu số giữa
sup{Φ(λ, µ)| µ

0} − inf{ f ( x)| h( x) = 0, g( x)

được gọi là độ lệch đối ngẫu của bài toán đối ngẫu và bài toán gốc.
Ví dụ 1.3. Xét bài toán sau đây
min −2x1 + x2 , với
x1 ,x2

5
x1 + x2 = , ( x1 , x2 ) ∈ X.
2
Trong đó X = { (0,0), (0,2), (2,0), (2,2), ( 45 , 45 )} .

7

0 },


Hàm đối ngẫu của nó được cho bởi

3λ


−2 +
nếu λ 1,


2


λ
Φ(λ) = −4 − nếu − 1 λ

2




5λ

−
nếu λ 2,
2

2,

biểu diễn trong hình vẽ. Nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu là λ∗ = −1 với
giá trị hàm mục tiêu Φ(λ∗ ) = − 72 . Dễ dàng để thấy rằng x1∗ = 45 và x2∗ = 45 là
nghiệm tối ưu của bài toán gốc với một giá trị hàm mục tiêu bằng f ( x∗ ) =
− 45 .
Do đó, hiệu số f ( x∗ ) − Φ(λ∗ ) = − 54 + 27 = 49 là độ lệch đối ngẫu được biểu
diễn trong hình vẽ.

Hình 1.1: Đồ thị minh họa độ lệch đối ngẫu trong ví dụ minh họa 1.3.

Bây giờ để hiểu được về sự phân rã trong bài toán tối ưu ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1.4. (Tính toán lưu vực sông). Xét một lưu vực sông bao gồm hai hồ
chứa như minh họa trong hình vẽ. Mỗi hồ chứa đã kết hợp một nhà máy thủy
điện sản xuất điện. Các dòng vào tự nhiên tới hồ 1 và 2 trong suốt khoảng
8


Hình 1.2: minh họa của ví dụ tính toán lưu vực sông.

thời gian t được định nghĩa tương ứng bằng wt1 và wt2 . Dung lượng nước
của hồ 1 và 2 tại thời điểm cuối của chu kỳ t được định nghĩa tương ứng bởi
rt1 và rt2 . Nước xả ra trong suốt khoảng thời gian t bởi hồ 1 và 2 tương ứng là
dt1 và dt2 . Các dung lượng được giới hạn trên và dưới tương ứng bởi những

hằng số r1max, r1min , r2max , r2min . Tương tự, thể tích nước xả được giới hạn trên
max
bởi dmax
1 , d2 . Giả sử rằng nước tháo ra trong hồ 1 đến ngay lập tức hồ 2, đó
là giả định hợp lý nếu các hồ không quá xa nhau.
Tổng số năng lượng sản xuất bởi nhà máy điện 1 và 2 trong suốt khoảng
thời gian t là tỷ lệ thuận tương ứng với sự xả nước trong khoảng thời gian t
đó. Hằng số tỷ lệ cho nhà máy 1 và 2 là k 1 và k 2 .
Hệ thống sông được vận hành để cung cấp cho nhu cầu điện năng của
địa phương trong mỗi khoảng thời gian, et . Nếu năng lượng bổ sung có thể
được sản xuất trong suốt thời gian t, nó được bán với giá thị trường λt , với
mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận.
Xét một thời gian là 2h và giả sử rằng dung lượng hồ tại lúc bắt đầu của
tầng thời gian là r01 và r02 , tương ứng cho hồ 1 và 2.
Bài toán tối đa hóa lợi nhuận là
max

r11 ,r12 ,r21 ,r22 ,d11 ,d12 ,d21 ,d22

λ1 (k 1 d11 + k 2 d12 − e1 ) + λ2 (k 1 d21 + k 2 d22 − e2 ).

9


Với những ràng buộc cân bằng nước
r11 = r01 + w11 − d11 ,

r21 = r11 + w21 − d21 ,

r12 = r02 + w12 − d12 + d11 ,

r22 = r12 + w22 − d22 + d21 ,

r21 + r22 = r01 + r02 + w11 + w21 + w12 + w22 − d12 − d22 .

Trong đó ràng buộc cuối cùng là ràng buộc rườm rà mà nó thuận tiện để kết
hợp bởi vì nó diển tả một dạng ma trận thích hợp của bài toán; những ràng
buộc yêu cầu
k 1 d11 + k 2 d12 e1 ,
k 1 d21 + k 2 d22

e2 .

Những giới hạn cấp độ hồ
r1min

r11 , r21

r1max ; r2min

r12 , r22

r2max.

Và những giới hạn cho phép xả
0

d11 , d21

dmax

1 ; 0

d12 , d22

dmax
2 .

Phân loại những biến theo thứ tự r11 , r21 , r12 , r22 , d11 , d21 , d12 , d22 , ma trận tương
ứng với các ràng buộc mà không phải giới hạn là: Cấu trúc của ma trận này

cho thấy một cấu trúc có thể khai thác. Nếu hai ràng buộc cuối cùng được
giảm đi, ma trận còn lại có một cấu trúc mạng cho phép sử dụng các thuật
toán giải hiệu quả cao. Ma trận này bao gồm trong mỗi cột chỉ có một 1 và -1.
Tuy nhiên, hai ràng buộc cuối cùng ngăn chặn việc sử dụng một thuật toán
hiệu quả trừ khi một cơ chế phân rã thích hợp được sử dụng như thuật toán
phân rã Dantzig-Wolfe. Kỹ thuật phân rã được giải thích trong chương tiếp
theo.
10


Trong thực tế, số lượng thiết bị sản xuất có thể cao như 100, và việc xây
dựng khía cạnh của bài toán chi phí sản xuất năng lượng tối thiểu, không có
ràng buộc tuyến tính bổ sung, yêu cầu 2100 − 1 ràng buộc, một con số có thể
ngăn chặn thậm chí viết ra bài toán. Tuy nhiên, nghiệm của nó là tầm thường
bằng cách sử dụng quy tắc trật tự. Tuy nhiên, nếu ràng buộc tuyến tính thêm
được bao gồm, kết quả bài toán sẽ trở nên không viết được và nan giải, trừ
khi một kỹ thuật phân rã được sử dụng để giảm bớt những ràng buộc phức
tạp. Kỹ thuật phân rã được giải thích trong chương tiếp theo.

11

Chương 2

Phân rã trong quy hoạch tuyến tính
2.1 Những ràng buộc phức tạp
Kích thước của một bài toán quy hoạch tuyến tính có thể rất lớn. Người ta có
thể gặp phải trong thực tế những bài toán với hàng trăm hàng ngàn phương
trình hoặc ẩn số. Để giải quyết những bài toán này phải sử dụng một số kỹ
thuật đặc biệt cho thuận tiện và cần thiết. Ngoài ra, một giải pháp phân phối
của các bài toán lớn có thể được mong muốn vì lý do kỹ thuật hoặc thực tế.
Kỹ thuật phân rã cho phép loại nhất định của các bài toán được giải quyết
một cách phân cấp hoặc phân phối. Ngoài ra, chúng dẫn đến sự đơn giản
hóa thủ tục nghiệm của bài toán được nghiên cứu.
Đối với một kỹ thuật phân rã có ích , bài toán ở đây phải có cấu trúc thích
hợp. Hai trường hợp như vậy xảy ra trong thực tế: các ràng buộc phức tạp
và cấu trúc biến phức tạp. Hai trường hợp này được xem xét trong chương
này. Trong một bài toán quy hoạch tuyến tính, các ràng buộc phức tạp liên
quan đến các biến từ các khối khác nhau rõ ràng, ràng buộc phức tạp cản trở
một nghiệm của bài toán bằng các khối.

12


2.1.1

Cấu trúc bài toán

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính
n

(2.1)

min

x1 ,x2 ,...,xn

∑ c j x j , với
j =1

n

(2.2)

∑ eij x j = fi ; i = 1, . . . , q,
j =1
n

(2.3)

∑ aij x j = bi ; i = 1, . . . , m,
j =1

(2.4)

0

up

x j ; j = 1, . . . , n.

xj

Trong đó những ràng buộc (2.2) có một cấu trúc phân rã trong r khối, mỗi
khối có kích cỡ là nk (k = 1, . . . , r ), tức là chúng có thể được viết như sau
nk

∑
j = n k − 1 +1

eij x j = f i ; i = qk−1 + 1, . . . , qk .

Chú ý rằng n0 = q0 = 0, qr = q và nr = n.
Mặt khác, khi những ràng buộc (2.3) không có cấu trúc phân rã, chúng là
những ràng buộc phức tạp.
up

Chú ý rằng những cận trên x j ( j = 1, . . . , n) được xem xét cho tất cả các
biến tối ưu x j ( j = 1, . . . , n). Giả định này cho phép làm việc với một miền
khả thi compact (hữu hạn), dẫn đến một phân tích lý thuyết đơn giản của
bài toán (2.1) - (2.4). Giả định này là hợp lý bởi tính chất bị chặn của hầu hết
biến kỹ thuật.
Hình 2.1 cho thấy cấu trúc của bài toán nêu trên đối với trường hợp r = 3.

13


Cụ thể bài toán này có thể được viết như sau

min

x [1] ,x [2] ,x [3]

c [1 ]

T

| c [ 2]

T

| c [3 ]

T



[1 ]



x


 [2 ] 
x .


[3 ]
x

Trong đó những chỉ số trong ngoặc đề cập đến những phân vùng, với




[ 1]
f
E [1 ] | |
 −−−−−−−−−−−−−   [1]   −− 
 x



  −−   [2] 

[ 2]
f
|
E
|



 
 −−−−−−−−−−−−−  

[ 2]  = 
−−



.

 x−−  


3
[
]
[
3
]
 f 



|
|
E
 −−−−−−−−−−−−−  x[3]
 −− 




A [ 1] | A [ 2] | A [ 3]
b

Trong trường hợp tổng quát bài toán ban đầu có thể được viết như sau

Hình 2.1: ma trận phân rã với những ràng buộc phức tạp

r

min

x [1] ,x [2] ,...,x [r ]

∑

c[ k]

k =1

14

T

x[k] , với


E[k] x[k] = f [k] ; k = 1, . . . , r;
r

∑ A[k] x[k] = b;
k =1

x [ k]

0

x[k]up ; k = 1, . . . , r.

Trong đó với mỗi k = 1, . . . , r ta có
c[ k]
x [ k]

T
T

x[k]up

= ( c n k − 1 +1 . . . c n k ),
= ( x n k − 1 +1 . . . x n k ),
T

up

up

= ( x n k − 1 +1 . . . n k ),

E[k] = (eij ); i = qk−1 + 1, . . . , qk ; j = nk−1 + 1, . . . , nk ;
f [ k]

T

= ( aij ); i = 1, . . . , m; j = nk−1 + 1, . . . , nk ;

bT = (b1 . . . bm ).

Nếu những ràng buộc phức tạp được bỏ qua, tức là chúng được giảm bớt
đi, bài toán gốc trở thành
r

Min

x [1] ,x [2] ,...,x [r ]

∑

c[k]

T

x [ k] ,

k =1

E[k] x[k] = f [k] ; k = 1, . . . , r;
0

x [ k]

x[k]up ; k = 1, . . . , r.

Bài toán này được gọi là phiên bản rút gọn của bài toán.
Do đó phân rã bài toán con thứ k là
min c[k]
x [k]

T

x [ k] ,

E[ k] x [ k] = f [ k] , 0

15

x [k]

x[k]up .


Hoặc:

nk

xn

min

k −1 +1

,xn

k −1 +2

,...,xnk

nk

∑
j = n k − 1 +1

0

∑

cj xj;

j = n k − 1 +1

eij x j = f i ; i = qk−1 + 1, . . . , qk ;
up

x j ; j = nk−1 + 1, . . . , nk .

xj

Ví dụ 2.1. Bài toán với cấu trúc phân rã Xét bài toán
min

x1 ,x2 ,x3 ,y1 ,y2 ,y3 ,z1 ,z2 ,z3 ,w1

−4x1 − y1 − 6z1 , với

x1 − x2
x1

=1

+ x3

=2

y1 − y2

y1

=1

+ y3

=2

z1 − z2

z1
3x1

+ 2y1

+ z3

+ 4z1

=1
=2
+ w1 = 17

x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 , z 1 , z 2 , z 3 , w1

0

có một cấu trúc phân rã trong ba khối, trong đó đẳng thức cuối cùng
3x1 + 2y1 + 4z1 + w1 = 17,
là ràng buộc phức tạp.
2.1.2

Sự phân rã

Giả sử rằng mỗi bài toán (bài toán giảm dư) được giải quyết p lần với hàm
mục tiêu khác nhau và tùy ý, và giả sử rằng p nghiệm chấp nhận được cơ

16


bản của bài toán giảm dư là
(1)

(1)

(1)

x1 , x2 . . . x n
.

. . .

( p)

( p)

( p)

x1 , x2 . . . x n ,
( s)

trong đó x j

là thành phần thứ j của nghiệm s, nơi mà tất cả các biến từ tất

cả các bài toán được xem xét, và p giá trị hàm mục tiêu tối ưu tương ứng là
z (1)
z (2)
...
z( p)
Trong đó z(s) là giá trị hàm mục tiêu của nghiệm s. Chú ý rằng chúng ta
dùng chỉ số (s) để đề cập đến nghiệm thứ s.
Những giá trị của m ràng buộc phức tạp cho p nghiệm trên là
(1)

(1)

(1)

r1 , r2 . . . r m
.

. . .

( p)

( p)

( p)

r1 , r2 . . . r m ,
( s)

trong đó r j

là giá trị của ràng buộc phức tạp thứ i cho nghiệm thứ s, tức là
( s)
ri

n

=

( s)

∑ aij x j

.

j =1

Đối với mục dưới đây, cần nhấn mạnh rằng một sự kết hợp lồi tuyến tính
của các nghiệm cơ bản khả thi của một bài toán quy hoạch tuyến tính là một

nghiệm khả thi của bài toán đó.
p nghiệm cơ bản khả thi trên của bài toán có thể được sử dụng để tạo nên
một nghiệm khả thi của bài toán gốc (không giảm dư). Trường hợp trong đó
một nghiệm khả thi không thể được tạo ra được xử lý dưới đây. Thực hiện
17


việc này bằng cách giải quyết các bài toán trọng lượng dưới đây, cái được gọi
là bài toán chủ.

p

z(s) us , với
∑
u1 ,...,u p
min

s =1

p

( s)

∑ ri

us = bi : λi ;

i = 1, . . . , m;

s =1

p

∑ us = 1 : σ;
s =1

0; s = 1, . . . , p.

us

Trong đó những biến đối ngẫu λi và σ được chỉ định.
1. Mọi nghiệm của bài toán trên là sự kết hợp lồi của các nghiệm cơ bản
khả thi của bài toán giảm dư; do đó, nó chính là một nghiệm cơ bản khả thi
của bài toán giảm dư.
2. Ràng buộc phức tạp được thực thi; do đó, các nghiệm của bài toán trên
là một nghiệm cơ bản khả thi cho bài toán gốc (không giảm dư).
Hãy xem xét rằng một nghiệm cơ bản khả thi mới tiềm năng được thêm
vào bài toán nêu trên. Giá trị hàm mục tiêu của nghiệm này là z và những
giá trị ràng buộc phức tạp của nó là r1 , . . . , rm .
Bài toán trọng lượng mới trở thành
p

z(s) us + zu, với
∑
u1 ,...,u p ,u
min

s =1

p

( s)

∑ (r i

us + ri u) = bi : λi ;

i = 1, . . . , m;

s =1
p

∑ us + u = 1 : σ;
s =1

u, us

0; s = 1, . . . , p.

Chi phí giảm của biến trọng mới u, kết hợp với các nghiệm cơ bản khả thi

18


mới dự kiến, có thể được tính như
m

d = z − ∑ λi ri − α.
i =1

Nếu tính rằng:

n

z = ∑ cj xj,
j =1

trong đó x j ( j = 1, . . . , n) là nghiệm cơ bản khả thi tiềm năng mới, và
n

ri =

∑ aij x j .
j =1

Chi phí giảm biến trọng lượng u trở thành
n

m

n

j =1

i =1

j =1

∑ c j x j − ∑ λi ∑ aij x j

d=

− σ,

làm giảm đến
m

n

d=

∑
j =1

c j − ∑ λi aij
i =1

x j − σ.

Để tìm giảm chi phí tối thiểu liên quan đến việc biến trọng u và tương ứng
với một giải pháp cơ bản khả thi của bài toán giảm dư, các bài toán sau đây
được giải quyết.
n

min

x1 ,x2 ,...,xn

m

c j − ∑ λi aij

∑
j =1

i =1

x j − σ, với

n

∑ eij x j = fi ;

i = 1, . . . , q;

j =1

0

up

xj

j = 1, . . . , n.

xj ;

Lưu ý rằng các ràng buộc của bài toán giảm dư phải được thêm vào.
Nếu hằng số σ được giảm từ hàm mục tiêu, bài toán trên trở thành
n

min

x1 ,x2 ,...,xn

∑
j =1

m

c j − ∑ λi aij
i =1

19

x j , với