bài toán josephus

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 51 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅCo0o

51Wednesday, June 12, 20244:38:16 PM4:38:16 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:16 PM4:38:16 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:16 PM4:38:16 PMBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅCo0o

LÞ NGÅC CHUNG

BI TON JOSEPHUS

LUN VN THC S TON HCChuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp

NGìI HìẻNG DN KHOA HCTS. NGặ VN NH

ThĂi Nguyản, thĂng 01 nôm 2021

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

BÊng kỵ hiằu

a | bal ÷ỵc cõa b hay b l bëi cõa aa ≡ b mod paỗng dữ vợi b modulo p

daeSố nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bơng abacSố nguyản lợn nhĐt nhọ hỡn hoc bơng a

2< 1

2thọa mÂn a + l sè nguy¶n

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

M Ưu

Bi toĂn Josephus l mởt bi toĂn ữủc gồi theo tản cừa mởt sỷ giangữới Do ThĂi Flavius Josephus, sinh sống vo thá k thự nhĐt sau cổngnguyản. Bi toĂn xuĐt phĂt tứ sỹ tữớng trẳnh cừa Josephus vÃ mởt cƠuchuyằn trong cuởc xung ởt giỳa ngữới La MÂ v ngữới Do ThĂi nôm67 sau cổng nguyản. Khi ngữới La MÂ chiám ữủc thnh phố Jotapata,Josephus cũng 40 ngữới lẵnh b quƠn La MÂ vƠy hÂm trong mởt hang ởng.Nhỳng ngữới lẵnh ny th tỹ sĂt chự khổng chu Ưu hng. Josephus vmởt ngữới bÔn cừa ổng khổng ỗng tẳnh vợi suy nghắ ny. Vẳ vêy, hồ Âby ra mët trá chìi: t§t c£ bån hå ùng váng quanh thnh mởt vỏng trỏnv ám tứ 1 án 3 liản tửc, ai l ngữới thự ba phÊi tỹ sĂt, liản tửc lm nhữvêy cho án khi ch cỏn 2 ngữới cán sèng s³ ph£i tü s¡t ci cịng. B¬ngc¡ch chån c¡c và tr½ 31 v 16 trong váng trán, Josephus v ngữới bÔn cừaổng Đy Â thoĂt chát.

Ta s mổ h¼nh hâa b i to¡n têng qu¡t hìn. Ta ¡nh sènvà tr½ xungquanh váng trán bði c¡c sè0, 1, 2, . . . , n 1v bưt Ưu ám tứ số 0, cựphƯn tỷ thựks b xõa. Kỵ hiằuj(n, k, i)l v trẵ cừa phƯn tỷ b xõa thựi. Bơng c¡ch x¡c ành h mjn y, ta câ thº t¼m ra líi giÊi cho bi toĂnJosephus. NhiÃu khẵa cÔnh cừa bi toĂn Josephus v nhiÃu tẵnh chĐt cừahmjữủc tẳm ra. Mởt số vẵ dử nhữ cổng thực ằ quy cừaj(n, k, n)vmởt số tẵnh chĐt ỗng dữ cừa số Josephus, thuêt toĂn tẵnh hmjvgiÊi phữỡng trẳnhj(n, k, i) = ltheoikhi cho trữợcnvkhay cổng thựchin cừa hmj. RĐt nhiÃu tẵnh chĐt cừa hmjữủc tẳm ra. Dữợi sỹ hữợngdăn cừa thƯy TS. Ngổ V«n ành, tỉi chån · t i B i to¡n Josephus ºl m luên vôn cừa mẳnh.

Mửc ẵch cừa Ã ti l tẳm hiu v trẳnh by lÔi mởt số kát quÊ liảnquan án bi toĂn Josephus v m rởng cừa nõ. Ơy l mởt trong nhỳngvĐn Ã thú v cừa lỵ thuyát số, ữủc nhiÃu ngữới quan tƠm nghiản cựuv Â cõ rĐt nhiÃu kát quÊ phong phú. Luên vôn cõ nhiằm vử tẳm hiucĂc phữỡng phĂp giÊi bi toĂn Josephus trong mởt số trữớng hủp riảng vtrữớng hủp tờng quĂt. ỗng thới, luên vôn trẳnh by mởt số kát quÊ liản

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

quan ¸n b i to¡n Josephus.

Ngo i phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo, Ã ti gỗm 2 chữỡng,cử th:

Chữỡng 1. Kián thực chuân b

Trong chữỡng ny, luên vôn trẳnh by mởt số kián thực chuân b chophƯn sau, nhữ cĂc kián thực vÃ biu diạn số tỹ nhiản theo cỡ sốbbĐt kẳ,hằ nh phƠn, php toĂn ỗng dữ, khĂi niằm hm sn, hm trƯn.

Chữỡng 2. Bi toĂn Josephus

Trong chữỡng 2, luên vôn trẳnh b y v· b i to¡n Josephus, mỉ h¼nh hâav t¼m líi giÊi cho bi toĂn. ỗng thới, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊữủc cổng bố gƯn Ơy liản quan án bi toĂn Josephus. Ti liằu tham khÊochẵnh cừa chữỡng ny l cĂc ti liằu [3] v [4].

Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂiNguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS. Ngổ Vôn nh, Trữớng Ôi hồc Khoahồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản.

Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt tợi TS. Ngổ Vôn nh, ngữớiÂ nh hữợng chồn Ã ti v tên tẳnh hữợng dăn tổi hon thnh luênvôn ny.

Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi S GiĂo dửc v o tÔo BưcKÔn, cĂc thƯy cổ giĂo dÔy cao hồc chuyản ngnh Phữỡng phĂp toĂn sỡcĐp, trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Â giúp ù tổi trongsuốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn tốt nghiằp.

Xin cÊm ỡn nhỳng ngữới thƠn trong gia ẳnh v tĐt cÊ nhỳng ngữới bÔnthƠn yảu Â hát sực thổng cÊm, chia s v tÔo i·u ki»n tèt nh§t cho tỉiº tỉi câ thº håc têp, nghiản cựu v thỹc hiằn luên vôn cừa mẳnh.

Xin chƠn thnh cÊm ỡn.

ThĂi Nguyản, thĂng 01 nôm 2021Ngữới viát luên vôn

Lỵ Ngồc Chung

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Ch÷ìng 1

Kián thực chuân b

Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực chuân b chochữỡng sau, nhữ cĂc kián thực vÃ biu diạn số tỹ nhiản theo cỡ sốbbĐtkẳ, hằ nh phƠn, php toĂn ỗng dữ, khĂi niằm hm sn, hm trƯn trongsố hồc.

1.1 Biu diạn số nguyản theo cỡ số b

Nhữ ta Â biát, mồi số tỹ nhiảnn = a

k

a

k1

Ã Ã Ã a

1

a

0

Ãu cõ th ữủcbiu diạn dữợi dÔng

n = a

k

10

k

+ a

k1

10

k1

+ Ã Ã Ã + a

1

10 + a

0

,

trong â1 ≤ a

k

≤ 9, 0 ≤ a

j

≤ 9, vỵik > j ≥ 0. Biºu diạn ny ữủc gồi lbiu diạn thêp phƠn hay biu diạn cỡ số10cừa số tỹ nhiảnn. Mc dũ hƯuhát mồi ngữới quen thuởc vợi cĂch biu diạn số nhữ ny, những tờng quĂthỡn, ta cõ th biu diạn số theo cỡ sốbnguyản dữỡng bĐt ký nhữ sau.nh lỵ 1.1.1 ([2]). GiÊ sỷbl mởt số nguyản lợn hỡn1. Vợi bĐt ký sốnguyảnn 1tỗn tÔi duy nhĐt bở số nguyản(k, a

0

, a

1

, . . . , a

k

)sao cho0 ≤ a

i

≤ b − 1,i = 0, 1, . . . , k, a

k

6= 0v

n = a

k

b

k

+ a

k−1

b

k−1

+ · · · + a

1

b + a

0

.(∗)

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Chựng minh. chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa () ta Ăp dửng liản tiáp thuêttoĂn chia:

n = q

1

b + r

1

, 0 ≤ r

1

≤ b − 1,q

1

= q

2

b + r

2

, 0 ≤ r

2

≤ b − 1,

. . . .

q

k−1

= q

k

b + r

k

, 0 ≤ r

k

≤ b − 1,trong âq

k

l th÷ìng kh¡c khỉng cuèi còng. °t

q

0

= n, a

0

= n − q

1

b, a

1

= q

1

− q

2

b, . . . , a

k−1

= q

k−1

− q

k

b, a

k

= q

k

.Khi â

a

i

b

i

=

k

X

(q

i

− q

i+1

b)b

i

= q

0

+

k

X

q

i

b

i

−

k

X

≤ (b − 1)(1 + b + · · · + b

k

) = b

k+1

− 1 < b

k+1

,ta suy ra mƠu thuăn.

Náuh = kthẳ

a

0

+ a

1

b + · · · + a

k

b

k

= c

0

+ c

1

b + · · · c

k

b

k

,n¶nb | (a

0

− c

0

). M°t kh¡c,|a

0

− c

0

| < b, do âa

0

= c

0

. Do â

a

1

+ a

2

b + · · · + a

k

b

k−1

= c

1

+ c

2

b + Ã Ã Ã c

k

b

k1

.

Bơng cĂch lp lÔi thõ tưc tr¶n, ta suy raa

1

= c

1

, a

2

= c

2

, . . .v a

k

= c

k

.

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

H» thùc (∗) ÷đc gåi l biºu diạn cỡ sốbcừanv kỵ hiằu ln = (a

k

a

k1

Ã Ã Ã a

0

)

b

.

Ta gồia

0

, a

1

, . . .tữỡng ựng l kẵ tỹ thù nh§t, thù hai, . . . cõantrong cìsèb. Khib = 10thẳ biu diạn cỡ số10ữủc gồi l biu diạn thêp phƠn, takỵ hiằu gồn lÔi thnhn = a

k

a

k1

Ã Ã · a

0

.

Quy tc chuyºn êi mët sè tø h» thªp phƠn sang hằ cõ cỡ sốb(b 6= 10):LĐy số thêp chia cho cỡ sốbcho án khi phƯn thữỡng cừa php chia bơng0,số ời chẵnh l cĂc phƯn dữ cừa php chia theo thự tỹ ngữủc lÔi.

Vẵ dử 1.1.2. Viát1211trong cỡ số3, viát6trong cỡ số2.

GiÊi. Thỹc hiằn liản tiáp php chia1211cho 3, cĂc phƯn dữ thu ữủc lcĂc kẵ tỹ trong biu diạn cỡ số 3 theo thự tỹ ngữủc lÔi. Ta thüc hi»n c¡cph²p chia nh÷ sau:

1211 = 3 · 403 +2403 = 3 · 134 +1134 = 3 · 44 +2

44 = 3 · 14 +214 = 3 · 4 +2

4 = 3 · 1 +11 = 3 · 0 +1Do õ1211 = 1122212

3

.

Thỹc hiằn liản tiáp php chia6cho 2, cĂc phƯn dữ thu ữủc l cĂc kẵtỹ trong biu diạn cỡ số 2 theo thự tỹ ngữủc lÔi.

6 = 2 · 3 +03 = 2 · 1 +1

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

1 = 2 · 0 +1.Do â6 = 2

2

+ 2

1

+ 0 = 110

2

.

Quy tc chuyºn êi mët sè tø h» cì sốbbĐt ký vÃ hằ thêp phƠn: Ta sỷdửng cổng thực ().

Vẵ dử 1.1.3. Chuyn cĂc số sau sang số thêp ph¥n:452

6

,101101

2

,107

9

,101011

2

.Gi£i.

452

6

= 4 · 6

2

+ 5 · 6

1

+ 2 = 144 + 30 + 2 = 176,

101101

2

= 1 · 2

5

+ 0 · 2

4

+ 1 · 2

3

+ 1 · 2

2

+ 0 · 2

1

+ 1 = 45,107

9

= 1 · 9

2

+ 0 · 9

2

+ 7 = 88,

101011

2

= 1 · 2

6

+ 0 · 2

5

+ 1 · 2

4

+ 0 · 2

3

+ 0 · 2

2

+ 1 · 2 + 1= 64 + 16 + 2 + 1 = 83.

V½ dử 1.1.4. XĂc nh tĐt cÊ cĂc số nguyản dữỡngnsao cho11111

n

lsố chẵnh phữỡng.

GiÊi. Ta cõ

11111

n

= n

4

+ n

3

+ n

2

+ n + 1.Náunchđn thẳn

2

+n

2vn

2

+n

2+ 1l hai số nguyản liản tiáp. Ta cõ

n

2

+n2

= n

4

+ n

3

+n

2

4 < n

4

+ n

3

+ n

2

+ n + 1<n

2

+n

2+ 1

2

Do â

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

11111

n

khổng l số chẵnh phữỡng.

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Náunl thẳn

2

+n21

2vn

2

+n2+

< n

4

+ n

3

+ n

2

+ n + 1.M°t kh¡c

n

2

+n2+

= n

4

+ n

3

+5n

2

4+

14= n

4

+ n

3

+ n

2

+ n + 1 +n

2

− 2n − 34

v n

2

+n2+

Do õ11111

n

khổng l số chẵnh phữỡng vợi bĐt ký số nguyản dữỡng khĂc3. Vợin = 3ta cõ11111

3

= 121 = 11

2

.

1.2 Hằ nh phƠn

Hằ nh phƠn l hằ ữủc sỷ dửng nhiÃu ối vợi mĂy tẵnh iằn tỷ. Hằ nhphƠn l mët h» ¸m dịng cì sèb = 2, tùc hai kỵ tỹ0v1 biu Ôtmởt giĂ tr số. Theo () ta câ

n = a

k

· 2

k

+ a

k−1

· 2

k−1

+ · · · + a

1

· 2 + a

0

(∗∗)trong âa

k

= 1,a

i

∈ {0, 1}, i = 0, 1, . . . , k 1. Kỵ hiằu

n = (a

k

a

k−1

· · · a

0

)

2

.V½ dư

14 = 8 + 4 + 2 + 0

= 1 · 2

3

+ 1 · 2

2

+ 1 · 2

1

+ 0 · 2

0

= 1110

2

.

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

BÊng dữợi liằt kả biu diạn nh phƠn cừa mởt số tỹ nhiản

Quy tưc chuyn ời mởt số tứ hằ thêp phƠn sang hằ nh phƠn: LĐy số thêpchia cho2cho án khi phƯn thữỡng cừa php chia bơng0,số ời chẵnh lcĂc phƯn dữ cừa php chia theo thự tỹ ngữủc lÔi.

Vẵ dử 1.2.1. Chuyn cĂc số 21, 32 sang hằ nh phƠn.

GiÊi. LĐy21chia cho2, sau õ lĐy tiáp phƯn thữỡng chia cho2, số nhphƠn thu ữủc l têp hủp cĂc số dữ cừa cĂc php chia theo thự tỹ ngữủclÔi.

21 = 2 Ã 10 +110 = 2 · 5 +0

5 = 2 · 2 +12 = 2 · 1 +01 = 2 · 0 +1Do õ21 = 10101

2

. Tiáp tửc vợi32ta cõ

32 = 2 · 16 +016 = 2 · 8 +0

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

8 = 2 · 4 +04 = 2 · 2 +02 = 2 · 1 +01 = 2 · 0 +1.Do â32 = 100000

2

.

Quy tc chuyºn êi mët sè tø h» nhà ph¥n v· hằ thêp phƠn: Ta sỷ dửngcổng thực ().

Vẵ dử 1.2.2. Chuyn cĂc số sau sang số thêp phƠn:110011

2

,10011001

2

.GiÊi. p dửng cæng thùc (∗∗) ta câ

110011

2

= 1 · 2

5

+ 1 · 2

4

+ 0 · 2

3

+ 0 · 2

2

+ 1 · 2

1

+ 1 · 2

0

= 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51,

10011001

2

= 1 · 2

7

+ 0 · 2

6

+ 0 · 2

5

+ 1 · 2

4

+ 1 · 2

3

+ 0 · 2

2

+ 0 · 2

1

+ 1 · 2

0

= 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 153.

Php tẵnh dũng trong hằ nh phƠn cụng tữỡng tỹ nhữ cĂc php tẵnhữủc Ăp dửng trong cĂc hằ khĂc. Tẵnh cởng, tẵnh trứ, tẵnh nhƠn v tẵnhchia cụng cõ th ữủc Ăp dửng vợi cĂc giĂ tr số nh phƠn.

Php cởng: Php tẵnh ỡn giÊn nhĐt trong hằ nh phƠn l tẵnh cởng.Cởng hai ỡn v trong hằ nh phƠn ữủc lm nhữ sau:

0

2

+ 0

2

= 0

2

0

2

+ 1

2

= 1

2

1

2

+ 0

2

= 0

2

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

1

2

+ 1

2

= 0

2

v nhợ1lản hng thự2.

Cởng hai số1

2

vợi nhau tÔo nản giĂ tr10

2

. Hiằn tữủng ny ữủc gồi lnhợ. Khi tờng số vữủt lản trản gốc cừa hằ số, phữỡng thực lm l nhợmởt sang v trẵ bản trĂi, thảm mởt hng. Khi cởng ta cởng tứ phÊi quatrĂi giống nhữ vợi hằ thêp phƠn.

Vẵ dử 1.2.3. Thỹc hiằn php cởng01101

2

+ 10111

2

.GiÊi. Ta thỹc hiằn php tẵnh nhữ sau

0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 110 0 1 0 0

Bưt Ưu bơng cởt ngoi cũng bản phÊi,1

2

+ 1

2

= 10

2

.1ữủc mang sangbản trĂi, v 0 ữủc viát vo hng tờng phẵa dữợi, cởt ngoi cũng bản phÊi.Cởt thự hai bản phÊi ữủc cởng tiáp theo:1

2

+ 0

2

+ 1

2

= 10

2

, số 1 lÔi ữủcnhợ lÔi v mang sang bản trĂi v số 0 ữủc viát xuống hng tờng. Cởt thựba:1

2

+ 1

2

+ 1

2

= 11

2

. LƯn ny 1 ữủc nhợ v mang sang hng bản cÔnh,v 1 ữủc viát xuống hng tờng. Tiáp tửc khai trin theo quy luêt tr¶ncho chóng ta ¡p ¡n ci cịng l 100100

2

.

Ph²p trø: Ph²p tẵnh trứ theo quy chá tữỡng tỹ:0

2

0

2

= 0

2

0

2

1

2

= 1

2

mữủn1 bit tiáp theo.1

2

0

2

= 1

2

1

2

1

2

= 0

2

Php nhƠn: Php tẵnh nhƠn trong hằ nh phƠn cụng tữỡng tỹ nhữ phữỡngphĂp lm trong hằ thêp phƠn. Hai sốAvBữủc nhƠn vợi nhau bi nhỳngtẵch riảng: vợi mội con số

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

B, tẵch cừa nõ vợi sè mët con sè trongA÷đc

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

tẵnh v viát xuống mởt hng mợi, mội hng mợi phÊi chuyn dch v trẵsang bản tr¡i. Têng cõa c¡c t½ch cưc bë n y cho ta kát quÊ tẵch số cuốicũng.

Vẳ ch cõ hai con số trong hằ nh phƠn, nản ch cõ 2 kát quÊ khÊ quantrong tẵch cửc bở:

Náu con số trongBl 0, tẵch cửc bở s l 0.

Náu con số trongBl 1, tẵch cöc bë s³ l sè ð trongA.

Ph²p chia: Ph²p chia nh phƠn cụng tữỡng tỹ nhữ php chia trong hằthêp phƠn. Php chia số nh phƠn tữỡng ối phực tÔp hìn ph²p cëng, trøv nh¥n.

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

(a)a ≡ a mod m,

(b) náua b mod mthẳb a mod m,

(c) n¸ua ≡ b mod mv b ≡ c mod mthẳa c mod m.

Vợi cĂc php toĂn thổng thữớng cừa số nguyản, náua b mod mthẳ(d)a + c ≡ b + c mod m,

(e)a − c ≡ b − c mod m,(f)ac ≡ bc mod m,

(g) N¸ua ≡ b mod mth¼ac ≡ bc mod mc.Ta câ thº £o ngữủc tẵnh chĐt (g):

(h) Náuac bc mod mcvc 6= 0thẳa b mod m.(i) Náuac bc mod mcv(c, m) = 1th¼a ≡ b mod m.

Ngo i ra, ph²p cëng, trứ, nhƠn cĂc số ỗng dữ vợi cũng số chia thẳ vănỗng dữ. Nõi cĂch khĂc, náua b mod mv c ≡ d mod mth¼

(j)a + c ≡ b + d mod m,(k)a − c ≡ b − d mod m,

(l)ac ≡ bd mod m.

Ta công câ thº mð rëng cĂc tẵnh chĐt trản trong trữớng hủp cõ nhiÃusố ỗng dữ; bơng cĂch lp liản tiáp tẵnh chĐt (l) cũng cũng ỗng dữ, tathu ữủc

(m) Náua b mod mvnl số nguyản dữỡng thẳa

n

b

n

mod m.(n) Náuf (x)l a thực hằ số nguyản va b mod mthẳ

f (a) ≡ f (b)mod m.

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Vẵ dử 1.3.4. Tẳm phƯn dữ khi chia6

1987

cho37.

GiÊi. Vẳ6

2

1 mod 37nản6

1987

6 Ã 6

1986

≡ 6(6

2

)

993

≡ 6(−1)

993

≡−6 ≡ 31 (mod 37).

V½ dư 1.3.5. Chựng minh7l ữợc cừa3

2n+1

+ 2

n+2

vợi mồi số tỹ nhiảnn.

GiÊi. Trữợc hát ta cõ nhên xt3

2n+1

3Ã9

n

3·2

n

mod 7v 2

n+2

≡ 4·2

n

mod 7.Do â

3

2n+1

+ 2

n+2

≡ 7 Ã 2

n

0mod 7vợi mồi số tỹ nhiảnn.

Vẵ dử 1.3.6. Tẳm hng ỡn v cừa7

77

.

Chựng minh. Ta cƯn tẳm7

77

mod 10. Ta câ7

2

≡ −1 mod 10,n¶n7

3

≡7

2

· 7 ≡ −7 ≡ 3 mod 10v 7

4

≡ (7

2

)

2

≡ 1 mod 10. Ngo i ra7

2

≡ 1mod 4n¶n7

7

≡ (7

2

)

3

· 7 3 mod 4,nghắa l tỗn tÔi số nguyảntsao cho7

7

= 3 + 4t.Kát hủp lÔi ta ữủc

7

77

7

4t+3

≡ (7

4

)

t

· 7

3

≡ 1

t

· 3 ≡ 3mod 10.Do â, h ng ìn và cõa7

77

l 3.

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

ành ngh¾a 1.4.2 ([1]). Cho sè thücx, sè nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hocbơngxữủc gồi l trƯn cừax, kỵ hiằudxe.

Khixl số nguyản thẳbxc = dxev{x} = 0.Náuxkhổng l số nguyảnthẳ ta cõdxe = bxc + 1.

Vẵ dử, vợix = 34.73th¼bxc = 34, dxe = 35, {x} = 0.73; vợiy = 12.05thẳbyc = 12, dye = 13, {y} = 0.05.

Vẵ dử 1.4.3. GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau:

x + byc + {z} = 200.0,{x} + y + bzc = 190.0,bxc + {y} + z = 178.8

Gi£i. Bði v¼x = bxc + {x}vợi mồi số thỹcx, cởng ba phữỡng trẳnh taữủc

2x + 2y + 2z = 568.9ho°cx + y + z = 284.45.

LĐy phữỡng trẳnh trản trứ cho lƯn lữủt ba phữỡng trẳnh ban Ưu ta ữủc{y} + bzc = 84.45

bxc + {z} = 94.35{x} + byb= 105.65.

Do â84 = b84.45c = bbzc+{y}c = bzc, v do âbzc = 84v {y} = 0.45.T÷ìng tü, ta thu ÷đcbyc = 105,v do ây = 105.45,x = 94.65v z = 84.35.

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Ch÷ìng 2

B i to¡n Josephus

Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi s³ tr¼nh b y ph¡t biºu cõa b i to¡n phusj(n, k, j), mỉ h¼nh hâa v t¼m cỉng thùc nghi»m cho bi toĂn trongtrữớng hủp riảngk = 2, k = 3, k = 4, cên trản cừaj(n, k, i)trong trữớnghủpk 5.

Jose-2.1 C¥u chuy»n làch sû v· b i to¡n Josephus

B i to¡n Josephus l mởt bi toĂn ữủc gồi theo tản cừa mët sû giang÷íi Do Th¡i Flavius Josephus, sinh sèng v o thá k thự nhĐt sau cổngnguyản. Bi toĂn xuĐt phĂt tứ sỹ tữớng trẳnh cừa Josephus vÃ mởt cƠuchuyằn trong cuởc xung ởt giỳa ngữới La MÂ v ngữới Do ThĂi nôm 67sau cổng nguyản.

Khi ngữới La MÂ chiám ữủc thnh phố Jotapata, Josephus cũng 40ngữới lẵnh b quƠn La MÂ vƠy hÂm trong mởt hang ởng. Nhỳng ngữớilẵnh ny th tü s¡t chù khỉng chàu ¦u h ng. Josephus v mởt ngữới bÔncừa ổng khổng ỗng tẳnh vợi suy nghắ n y nh÷ng sđ ph£i nâi ra sü ph£nèi cõa hå v cơng khỉng mn sü hy sinh cõa måi ng÷íi l vổ nghắa.Vẳ vêy, hồ Â by ra mởt trỏ chìi: t§t c£ bån hå ùng váng quanh th nhmët váng trỏn v ám tứ 1 án 3 liản tửc, ai l ngữới thự ba phÊi tỹ sĂt,liản tửc lm nhữ vêy cho án khi ch cỏn 2 ngữới cỏn sống s³ ph£i tü s¡t

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

cuối cũng. Bơng cĂch chồn cĂc v trẵ 31 v 16 trong vỏng trỏn, Josephusv ngữới bÔn cừa ổng Đy Â thoĂt chát.

Ta quy ữợc mởt số kẵ hiằu º mi¶u t£ b i to¡n n y mët c¡ch têng qu¡t.Ta Ănh sốnv trẵ xung quanh hẳnh trỏn bi cĂc số 0, 1, 2, . . . ,n − 1v bt ¦u ám tứ số 0. Sau õ, cự phƯn tỷ thựks bà xâa. °t

j(n, k, i),(n ≥ 1, k ≥ 1, 1 i n),l v trẵ cừa phƯn tỷ b xõa thựi.

Vẵ dử 2.1.1. Vợin = 5ngữới ữủc ựng thnh vỏng trỏn ữủc Ănh sốv trẵ0, 1, 2, 3, 4v vỵik = 3ta câj(5, 3, 1) = 2, j(5, 3, 2) = 0, j(5, 3, 3) =4, j(5, 3, 4) = 1, j(5, 3, 5) = 3, xem H¼nh 2.1. Vªy sè ci cịng bà xâa l sè 3 (ta Ănh số bưt Ưu tứ số0).

Hẳnh 2.1: DÂy Josephus khi n = 5, k = 3.

Vẵ dử 2.1.2. Vợin = 8ngữới ữủc ựng thnh vỏng trỏn ữủc Ănh sốv trẵ0, 1, 2, . . . , 7v vỵik = 3ta câ (xem H¼nh 2.2).

j(8, 3, 1) = 2,j(8, 3, 2) = 5,j(8, 3, 3) = 0,j(8, 3, 4) = 4,j(8, 3, 5) = 1,j(8, 3, 6) = 7,j(8, 3, 7) = 3,j(8, 3, 8) = 6.

Vªy sè bà xâa cuèi cịng l sè 6 (ta ¡nh sè bt ¦u tø sè0).

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

H¼nh 2.2: DÂy Josephus khi n = 8, k = 3.

Vẵ dử 2.1.3. Kim tra lÔi kát quÊ bi toĂn trong cƠu chuyằn cừa Josephus.Vợin = 41ngữới ựng thnh vỏng ữủc Ănh số v trẵ tứ0tợi40v vợik = 3, bơng cĂch ám thổng thữớng ta thu ữủc dÂy kát quÊ sau.

BÊng 2.1: D¢y Josephus khi n = 41, k = 3.

Hai sè cán thi¸u trong B£ng 2.1 l j(41, 3, 40) = 15v j(41, 3, 41) = 30

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

tữỡng ựng vợi v trẵ số 16 v 31 trong hẳnh trỏn cừa Josephus v bÔn cừaổng.

2.2 Trữớng hủp k = 2

Trữợc tiản, chúng tổi trẳnh by cổng thực cử th cừa hmj(n, k, i)trong trữớng hủpk = 2vẳ Ơy l trữớng hủp ỡn giÊn nhĐt, dạ khÊo sĂtv Â tẳm ữủc cổng thực hin cừa hmj. Cử th, ta x²t b i to¡n sau.B i to¡n 2.2.1 ([4]). Gi£ sû cõnngữới ữủc Ănh số tứ1ánnquanhmởt vỏng trỏn v ám tứ1án2liản tửc, ai l ngữới thự hai phÊi tỹ sĂt,liản tửc lm nhữ vêy cho án khi ch cỏn mởt ngữới sống sõt. XĂc nh vtrẵJ (n)cừa ngữới sống sõt.

Vẵ dử 2.2.2. Vỵin = 10, thù tü khû l 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9. Vêy ngữớithự 5 cỏn sống hayJ (10) = 5.

Theo vẵ dử trản, ta cõJ (10) = 5. Ta cõ th dỹ oĂn rơng náunchđnthẳJ (n) = n/2, mët v½ dư ìn gi£n l khin = 2thẳJ (2) = 1. Những xtthảm mởt số trữớng hủp nhọ khĂc, vẵ dử vợin = 4vn = 6ta thĐy dỹoĂn sai. BÊng sau liằt kả mởt số giĂ trà cõaJ (n)

n 1 2 3 4 5 6J (n) 1 1 3 1 3 5

Tø b£ng tr¶n, ta dü oĂnJ (n)luổn luổn l.Tẵnh chĐt 2.2.3 ([4]).J (n)luổn nhên giĂ trà l´.

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Chùng minh. Lữủt Ưu tiản quanh vỏng trỏn ta xõa hát nhỳng v trẵ chđnnản ch cỏn lÔi nhỳng v trẵ l´ ºJ (n)câ thº nhªn gi¡ trà. Do â,J (n)ln nhên giĂ tr l.

Ngoi ra, náunl mởt số chđn, ta thĐy sau lữủt Ưu tiản quanh vỏngtrỏn viằc khỷ tữỡng tỹ nhữ khi ta bưt Ưu ngoÔi trứ ch cỏn bơng mởt nỷasố ngữới, v số cừa hồ Â thay ời. Do õ, ta thu ữủc tẵnh chĐt sau.Tẵnh chĐt 2.2.4 ([4]).J (2n) = 2J (n) − 1,n ≥ 1.

Chùng minh. GiÊ sỷ cõ2nngữới. Sau lữủt khỷ vỏng Ưu tiản, ta khỷ hátv trẵ chđn v cỏn lÔi vợi cĂc và tr½ l´ l 1, 3, 5, 7, . . . , 2n − 3, 2n − 1.

Lóc n y, 3 l ngữới b khỷ tiáp theo. Viằc ny tữỡng ữỡng vợi bưt Ưuvợinngữới, ngoÔi trứ số cừa mội ngữới ữủc gĐp ổi lản rỗi giÊm i 1.Tực l

J (5 Ã 2

m

) = J (2

m−1

· 10) = 2J(2

m−2

· 10) − 1

= 2(2J (2

m−3

· 10) − 1) − 1 = 2

2

J (2

m−3

· 10) − 2 − 1

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

= 2

2

(2J (2

m−4

· 10) − 1) − 2 − 1 = 2

3

J (2

m−4

· 10) − 2

2

− 2 − 1= . . . .

= 2

m−1

J (2

0

· 10) − 2

m−2

− 2

m−3

− · · · − 2

2

− 2 − 1= 5 · 2

m−1

− (1 + 2 + 2

2

+ · · · + 2

m−2

)

= 5 · 2

m−1

−2

m−1

− 1

2 − 1= 4 · 2

m−1

+ 1 = 2

m+1

+ 1.

Nh÷ng cán trữớng hủpnl thẳ sao? Vợi2n + 1ngữới, ta thĐy sau lữủtƯu tiản quanh vỏng trỏn, ngữới v trẵ số 1 s b khỷ ngay sau khi ngữới v trẵ thự2nb khỷ v cỏn lÔinngữới. Viằc khỷ tữỡng tỹ nhữ khi tabưt Ưu ngoÔi trứ ch cỏnnngữới v số cừa hồ Â thay ời. Do õ, ta thuữủc tẵnh chĐt sau.

Tẵnh chĐt 2.2.5 ([4]).J (2n + 1) = 2J (n) + 1,n 1.

Chựng minh. Vợi2n + 1ngữới, ngữới v trẵ số 1 s b khỷ ngay sau khingữới v trẵ thự2nb khỷ, v ta cỏn lÔi cĂc và tr½3, 5, 7, 9, . . . , 2n 1, 2n + 1nhữ minh hồa trong hẳnh v bản dữợi.

Lúc ny, 5 l ngữới b khỷ tiáp theo. Viằc ny tữỡng ữỡng vợi bưt Ưuvợinngữới, ngoÔi trứ số cừa mội ngữới ữủc gĐp ổi lản rỗi tông thảm 1.Do â, ta câ

J (2n + 1) = 2J (n) + 1,n 1.

Kát hủp Tẵnh chĐt 2.2.4 v 2.2.5 vợiJ (1) = 1ta thu ữủc cổng thựcằ quy cừaJúng vợi måi tr÷íng hđp:

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

nh lỵ 2.2.6 ([4]). HmJ (n)thọa mÂn tẵnh chĐt:J (1) = 1

J (2n) = 2J (n) − 1,n ≥ 1(2.1)J (2n + 1) = 2J (n) + 1,n ≥ 1.

V½ dư 2.2.7. Vỵin = 50, ta câ

J (50) = 2J (25) − 1 = 2(2J (12) + 1) − 1 = 4J (12) + 1= 4(2J (6) − 1) + 1 = 8J (6) − 3 = 8(2J (3) − 1) − 3= 16J (3) − 11 = 16(2J (1) + 1) − 11

= 32J (1) + 5 = 32 · 1 + 5 = 37.Vỵin = 89,ta câ

J (89) = 2J (44) + 1 = 2(2J (22) − 1) + 1 = 4J (22) − 1

= 4(2J (11) − 1) − 1 = 8J (11) − 5 = 8(2J (5) + 1) − 5= 16J (5) + 3 = 16(2J (2) + 1) + 3 = 32J (2) + 19

= 32(2J (1) − 1) + 19 = 64J (1) − 13 = 64 · 1 − 13 = 51.Nhªn xt 2.2.8 ([4]). Thay vẳ tẵnhJ (n)tứJ (n 1), h» thùc » quy n yhi»u qu£ hìn bði v¼ méi lƯn lpngiÊm mởt nỷa. Ta cõ th tẵnhJ (1000000)bơng cĂch Ăp dửng (2.1) 19 lƯn. Những ta văn muốn tẳm cổng thực dÔnghin bi vẳ nõ văn nhanh hỡn v cung cĐp nhiÃu thổng tin hỡn v vẳ Ơyl vĐn · sèng ho°c ch¸t.

Tø cỉng thùc » quy ta x¡c ành ÷đc b£ng gi¡ trà. Hy vång tø b£ngta câ th suy ra quy luêt rỗi dỹ oĂn cổng thực.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16J (n) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

Bai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan JosephusBai toan Josephus

51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM51Wednesday, June 12, 20244:38:17 PM4:38:17 PM

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

</div>

bài toán josephus

I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅCo0o

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅCo0o

LÞ NGÅC CHUNG

BI TON JOSEPHUS

LUN VN THC S TON HCChuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp

NGìI HìẻNG DN KHOA HCTS. NGặ VN NH

ThĂi Nguyản, thĂng 01 nôm 2021

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

BÊng kỵ hiằu

a | bal ÷ỵc cõa b hay b l bëi cõa aa ≡ b mod paỗng dữ vợi b modulo p

daeSố nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bơng abacSố nguyản lợn nhĐt nhọ hỡn hoc bơng a

2<sup>< </sup>1

2thọa mÂn a + l sè nguy¶n

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

M Ưu

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

quan ¸n b i to¡n Josephus.

Ngo i phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo, Ã ti gỗm 2 chữỡng,cử th:

Chữỡng 1. Kián thực chuân b

Trong chữỡng ny, luên vôn trẳnh by mởt số kián thực chuân b chophƯn sau, nhữ cĂc kián thực vÃ biu diạn số tỹ nhiản theo cỡ sốbbĐt kẳ,hằ nh phƠn, php toĂn ỗng dữ, khĂi niằm hm sn, hm trƯn.

Chữỡng 2. Bi toĂn Josephus

Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂiNguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS. Ngổ Vôn nh, Trữớng Ôi hồc Khoahồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản.

Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt tợi TS. Ngổ Vôn nh, ngữớiÂ nh hữợng chồn Ã ti v tên tẳnh hữợng dăn  tổi hon thnh luênvôn ny.

Xin cÊm ỡn nhỳng ngữới thƠn trong gia ẳnh v tĐt cÊ nhỳng ngữới bÔnthƠn yảu Â hát sực thổng cÊm, chia s v tÔo i·u ki»n tèt nh§t cho tỉiº tỉi câ thº håc têp, nghiản cựu v thỹc hiằn luên vôn cừa mẳnh.

Xin chƠn thnh cÊm ỡn.

ThĂi Nguyản, thĂng 01 nôm 2021Ngữới viát luên vôn

Lỵ Ngồc Chung

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

Ch÷ìng 1

Kián thực chuân b

Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực chuân b chochữỡng sau, nhữ cĂc kián thực vÃ biu diạn số tỹ nhiản theo cỡ sốbbĐtkẳ, hằ nh phƠn, php toĂn ỗng dữ, khĂi niằm hm sn, hm trƯn trongsố hồc.

1.1 Biu diạn số nguyản theo cỡ số b

Nhữ ta Â biát, mồi số tỹ nhiảnn = a

a

Ã Ã Ã a

a

Ãu cõ th ữủcbiu diạn dữợi dÔng

n = a

10

+ a

10

+ Ã Ã Ã + a

10 + a

,

trong â1 ≤ a

≤ 9, 0 ≤ a

, a

, . . . , a

)sao cho0 ≤ a

≤ b − 1,i = 0, 1, . . . , k, a

6= 0v

n = a

b

+ a

b

+ · · · + a

b + a

.(∗)

51Bai toan JosephusWednesday, June 12, 2024

Chựng minh.  chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa () ta Ăp dửng liản tiáp thuêttoĂn chia:

n = q

b + r

, 0 ≤ r

≤ b − 1,q

= q

b + r

, 0 ≤ r

≤ b − 1,

. . . .

q

= q

b + r

, 0 ≤ r

≤ b − 1,trong âq

l th÷ìng kh¡c khỉng cuèi còng. °t

I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅCo0o

I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅCo0o

BI TON JOSEPHUS

LUN VN THC S TON HCChuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp

NGìI HìẻNG DN KHOA HCTS. NGặ VN NH

a | bal ÷ỵc cõa b hay b l bëi cõa aa ≡ b mod paỗng dữ vợi b modulo p

M Ưu

quan ¸n b i to¡n Josephus.

Ngo i phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo, Ã ti gỗm 2 chữỡng,cử th:

Trong chữỡng ny, luên vôn trẳnh by mởt số kián thực chuân b chophƯn sau, nhữ cĂc kián thực vÃ biu diạn số tỹ nhiản theo cỡ sốbbĐt kẳ,hằ nh phƠn, php toĂn ỗng dữ, khĂi niằm hm sn, hm trƯn.

Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂiNguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS. Ngổ Vôn nh, Trữớng Ôi hồc Khoahồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản.

Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt tợi TS. Ngổ Vôn nh, ngữớiÂ nh hữợng chồn Ã ti v tên tẳnh hữợng dăn tổi hon thnh luênvôn ny.

Xin cÊm ỡn nhỳng ngữới thƠn trong gia ẳnh v tĐt cÊ nhỳng ngữới bÔnthƠn yảu Â hát sực thổng cÊm, chia s v tÔo i·u ki»n tèt nh§t cho tỉiº tỉi câ thº håc têp, nghiản cựu v thỹc hiằn luên vôn cừa mẳnh.

Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực chuân b chochữỡng sau, nhữ cĂc kián thực vÃ biu diạn số tỹ nhiản theo cỡ sốbbĐtkẳ, hằ nh phƠn, php toĂn ỗng dữ, khĂi niằm hm sn, hm trƯn trongsố hồc.

Nhữ ta Â biát, mồi số tỹ nhiảnn = a

Ãu cõ th ữủcbiu diạn dữợi dÔng

trong â1 ≤ a

Chựng minh. chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa () ta Ăp dửng liản tiáp thuêttoĂn chia:

≤ b − 1,trong âq

l th÷ìng kh¡c khỉng cuèi còng. °t

.Khi â

| < b, do âa

. Do â

H» thùc (∗) ÷đc gåi l biºu diạn cỡ sốbcừanv kỵ hiằu ln = (a