tiêu chuẩn chính quy cho hệ phương trình cahn hilliard navier stokes nén được

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.32 MB, 33 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duoc

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Phạm Thị Thủy. Do đây là những kiến thức khá mới mẻ và khoảng thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót.Tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của q thầy cơ và mọi người để luận

văn được hoàn thiện hơn.

Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thị Thủy đã trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các quý thầy cô đã quan tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học. Tơi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ tơi trong suốt q trình học và

hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn!

Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duoc332412067:57:25 PM7:57:25 PM332412067:57:25 PM7:57:25 PM332412067:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2021

Người viết luận văn

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

MỤC LỤC

123docz.net - File bi loi xin lienhe: Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocTieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duoc332412067:57:25 PM7:57:25 PM332412067:57:25 PM7:57:25 PM332412067:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Lời nói đầu

Hệ phương trình Navier-Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822. Từ đó đến nay, đã có nhiều cơng trình nghiên cứu về hệ phương trình này. Muốn hiểu được hiện tượngchuyển động của dòng chảy chất lỏng và khơng khí tự nhiên, sóng dập sau đi con tàu chạy trên mặt nước, hiện tượng hỗn loạn của khơng khí sau đuôi máybay khi bay trên bầu trời... chúng ta đều phải tìm cách giải phương trình Navier – Stokes. Do đó, việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính chính quy của nghiệm, đẳng thức năng lượng và đánh giá của nghiệm là rất cần thiết. Việc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm, chẳng hạn tính chính quy của nghiệm của các phương trình vi phân đóng vai trị cực kỳ quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Gần đây có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu về hệ phương trình Navier-Stokes và đã đạt được những thành tựu quan trọng như T. Buckmaster, Z. Liang, A. Giorgini, A. Miranville, J. Shuai, R. Temam,…Đặc biệt, phương pháp sử dụng đẳng thức năng lượng để nghiên cứu tính chính quy của nghiệm được nhiều nhà khoa học quan tâm.

Luận văn: “Tiêu chuẩn chính quy cho hệ phương trình Navier-Stokes nén được” nghiên cứu và trình bày sự tồn tại, tính chính quy của nghiệm của hệ phương trình Cahn-Hilliard-Navier-Stokesnén được, mối quan hệ giữa bảo toàn năng lượng và bậc chính quy cho nghiệm yếu.

Cahn-Hilliard-Luận văn được bố cục thành 2 chương cùng với lời nói đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Trong đó, Chương 2 là nội dung chính của luận văn.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm và kết quả cơ sở cần thiết được sử dụng trong Chương 2.

Chương 2: Tính chính quy dựa trên đẳng thức năng lượng cho hệ phương trình

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tơi trình bày về phương trình Navier-Stokes; một số các khơng gian hàm và tính chất, các bất đẳng thức thông dụng và một vài khái niệm khác để bổ trợ cho việc nghiên cứu Chương 2. Tài liệu được trích dẫn từ [1],[3],[7],[10].

1.1. Phương trình Navier-Stokes.

Giả sử

  n

là miền tổng quát, không rỗng với biên là



.

Cho

u t x

( )

, =

(

u t x u t x1

( ) ( )

, , 2 , ,...,u t xn

( )

)là vận tốc của chất lỏng tại điểm

( ) (

t x, = t x x, ,12,...,xn

)

,t[0, ),Tx

và cho

p t x

( )

là áp suất của chất lỏng tại

uv uuupfu

−  +  +  =



(1.1) với

t



0,T

)

,x, hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình Navier-

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Hơn nữa, ta sẽ thêm điều kiện ban đầu u( )0=u

0

(1.3)với vận tốc ban đầu u

0

tại thời điểm

t =0

. Điều này có nghĩa là

( )

0, 0

( )

Hệ phương trình (1.1) cùng với điều kiện (1.2), (1.3) được gọi là bài toán với điều kiện hỗn hợp ban đầu f u,

0

cho hệ phương trình Navier-Stokes. Trong (1.1) bỏ qua số hạng phi tuyến

u.u

ta được hệ phương trình Navier-Stokes tuyến tính và

0, (0) ,

gọi là hệ Stokes không dừng.

v upfdiv uu 

Bỏ qua

ut

trong (1.1) ta được hệ Navier-Stokes dừng.

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

1.2. Các không gian hàm 1.2.1. Không gian hàm trơn

Cho

kN

, thì

C k( )

là khơng gian của tất cả các hàm

u: → ,xu x( )

thỏa mãn

D u

tồn tại và liên tục trong



với

 0n, 0 k

.

0( )

C 

là không gian các hàm liên tục

u  →:

.

được gọi là không gian của các hàm trơn trên



.

Kí hiệu

M

là bao đóng của tập M. Thì

Suppu = x u x 

được gọi là giá trị của hàm

u  →:

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

1.2.2. Không gian

qL

Định nghĩa. Cho

  n,n1,

là một miền, và cho

1 q  

thì

L q( )

được định nghĩa là không gian Banach của các hàm đo được Lebesgue

u

xác định trên



cùng với chuẩn hữu hạn

cùng với chuẩn ess-sup hữu hạn

, L () L : ess-sup ( ) .

xu = u   = u  = u  =  u x

Đặt

' :1

1.2.3. Khơng gian Sobolev

Lý thuyết của phương trình Navier-Stokes sẽ được xác định bằng cách sử dụng các không gian Sobolev bên dưới. Ở đây

  n

là một miền tùy ý với

n 1

. Giả sử

kN

và

1 q  

thì khơng gian

q

L

- Sobolev bậc

,

Wk q( )

k 

được định nghĩa là không gian của mọi

uLq( )

sao cho

( )

D u L 

với mọi

 k,

Chuẩn trong

,

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

( )

( ) CkGF  C 

không đổi với mọi

C0( ).

Khơng gian tuyến tính

C0( ) '

của tất cả các phiếm hàm tuyến tính

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Đặc biệt, với mỗi

1

( )

f L 

, hàm suy rộng

D f =D f ,.C0( ) '

được định nghĩa bởi

kDa D 

( )

f L 

và

( 1,..., ) n0n

=   

. Nếu

D f

chính quy,

1

( )

D f L 

ta gọi

D f

đạo hàm cấp cao yếu hoặc đạo hàm suy rộng của

f

. Nếu

1 q  

, kí hiệu

( ),

qD f L 

tức là

D f

chính quy và là một hàm chứa trong

L q( )

. Ta viết đơn giản

( )

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

 

 nghĩa là

Df

chính quy và là một hàm trong

L q( )

.

Ta cần các không gian tương ứng cho trường vectơ. Giả sử

mN

và



F,

 

= F,

 

:= F1,1



+...



Fm,m



Ta gọi

 =   

. Thì

f =( ,...,f1 fm)

định nghĩa hàm suy rộng

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Kí hiệu

D F Df D F , , 

và

Df

được định nghĩa như trên. Ví dụ, giả sử

( )n

uL 

với

u,. : u, , C0,( ),

ta được phép nhúng tự nhiên

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

( ) ( ) '.

L  C 

Sau đó, ta sẽ sử dụng phép chiếu trực giao

: ( )n ( )

P L  →L 

từ

2

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

f p c

33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:25 PM7:57:25 PM

33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM33Wednesday, June 12, 20247:57:26 PM7:57:26 PM

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

</div>

tiêu chuẩn chính quy cho hệ phương trình cahn hilliard navier stokes nén được

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM </b>

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM </b>

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

<b>LỜI CẢM ƠN </b>

<b>văn được hoàn thiện hơn. </b>

<b>hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn! </b>

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

<b>LỜI CAM ĐOAN </b>

<i> Thái Nguyên, tháng 7 năm 2021 </i>

<b> Người viết luận văn </b>

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

<b>MỤC LỤC </b>

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

<b>Lời nói đầu </b>

Cahn-Hilliard-Luận văn được bố cục thành 2 chương cùng với lời nói đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Trong đó, Chương 2 là nội dung chính của luận văn.

<b>Chương 1: Kiến thức chuẩn bị </b>

Chương này trình bày các khái niệm và kết quả cơ sở cần thiết được sử dụng trong Chương 2.

<b>Chương 2: Tính chính quy dựa trên đẳng thức năng lượng cho hệ phương trình </b>

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

<b>Chương 1 </b>

<b>Kiến thức chuẩn bị </b>

<b>1.1. Phương trình Navier-Stokes. </b>

Giả sử

là miền tổng quát, không rỗng với biên là

<b>. </b>

Cho

( )

(

( ) ( )

( )

)là vận tốc của chất lỏng tại điểm

( ) (

)

và cho

( )

là áp suất của chất lỏng tại

<sub> (1.1) </sub>với



)

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

Hơn nữa, ta sẽ thêm điều kiện ban đầu <i>u</i>( )0=<i>u</i>

<sub> </sub>(1.3)với vận tốc ban đầu <i>u</i>

tại thời điểm

. Điều này có nghĩa là

( )

( )

Hệ phương trình (1.1) cùng với điều kiện (1.2), (1.3) được gọi là bài toán với điều kiện hỗn hợp ban đầu <i>f u</i>,

cho hệ phương trình Navier-Stokes. Trong (1.1) bỏ qua số hạng phi tuyến

ta được hệ phương trình Navier-Stokes tuyến tính và

gọi là hệ Stokes không dừng.

Bỏ qua

<b>trong (1.1) ta được hệ Navier-Stokes dừng. </b>

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

<b>1.2. Các không gian hàm 1.2.1. Không gian hàm trơn </b>

Cho

, thì

là khơng gian của tất cả các hàm

thỏa mãn

tồn tại và liên tục trong

với

.

là không gian các hàm liên tục

.

được gọi là không gian của các hàm trơn trên

<sub>. </sub>

Kí hiệu

là bao đóng của tập M. Thì

được gọi là giá trị của hàm

33Tieu chuan chinh quy cho he phuong trinh Cahn Hilliard Navier Stokes nen duocWednesday, June 12, 2024

<b>1.2.2. Không gian </b>

<i><b>Định nghĩa. Cho </b></i>

<i> là một miền, và cho </i>

<i>thì </i>

<i>được định nghĩa là không gian Banach của các hàm đo được Lebesgue </i>

<i> xác định trên </i>

<i>cùng với chuẩn hữu hạn </i>