TIÊU CHUẨN LOẠI MASSERA CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HÒA Chuyên ngành Toán giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Quốc An

TIÊU CHUẨN LOẠI MASSERA CHO
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
CỦA HÀM TRUNG HÒA

Chuyên ngành : Toán giải tích.
Mã số
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng
trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực đều có thể ứng dụng : y khoa,
xây dựng, điện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu,
nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân ,phương trình đạo hàm riêng, đặc
biệt là phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa có chứa hàm làm chậm
bị chặn, chứa hàm làm chậm không bị chặn được các nhà toán học trên thế
giới sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh. Sử dụng tiêu
chuẩn loại Massera là một trong những phương pháp tìm lời giải tuần hoàn

của phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa .
Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy
mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn .
Trong [12] mối liên hệ này được giải thích bởi phương trình vi phân thường
tuần hoàn hai chiều. Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem xét những
mối quan hê tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n –
chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương trình
hàm với điều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi phân.
Gần đây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, đã chỉ ra sự tồn tại lời
giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng


x (t )  Ax (t )  F (t, xt ) ,

(1.3)

x0    C  C ([r ,0]: X ) ,

Với A là phần tử vi phân của nữa nhóm Compact của những toán tử tuyến
tính bị chặn trong Không gian Banach.
Mục đích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả tương
tự như những kết quả trong [3], cho phương trình đạo hàm riêng của hàm


trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2). Đó là lý do tôi chọn đề tài
“Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình đạo hàm riêng của hàm
trung hòa”.
2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn của
phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa chứa hàm làm chậm bị chặn,

chứa hàm làm chậm không bị chặn .
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Lời giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa .
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Tiêu chuẩn loại Massera là một công cụ rất mạnh để chỉ ra mối liên hệ
giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn của phương trình đạo hàm riêng của
hàm trung hòa .
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn chúng tôi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể :
Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài
Phần nội dung :
Chương 1 : Giới thiệu chung về những kết quả nghiên cứu có liên quan
đến đề tài, các ký hiệu được sử dụng trong đề tài ,các kết quả
sẽ được sử dụng.
Chương 2 : Lời giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm
trung hòa có hàm làm chậm bị chặn.
Trong chương này chúng ta chứng minh sự tồn tại lời giải tuần hoàn của
bài toán giá trị đầu :
d
( x(t )  G (t , xt ))  Ax  t   F (t , xt )
dt
x0    C  C [r ,0]: X 

 2.1
 2.2 


Chương 3 : Lời giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm
trung hòa có hàm làm chậm không bị chặn :

Trong chương này chúng ta tập trung đến sự tồn tại của lời giải  - tuần
hoàn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa với mô hình làm
chậm không bị chặn có dạng :

d
 x  t   G  t , xt    Ax  t   F  t , xt 
dt
x    B

 3.1
 3.2 

Với xt : (,0]  X , xt ( )  x(t   ) thuộc vào không gian pha B trừu

tượng xác định trước và F , G :

 B  X là những hàm liên tục.

Chương 4: Ứng dụng
Trong chương này chúng ta sẽ minh họa một số kết quả của việc sử dụng
tiêu chuẩn loại Massera để tìm lời giải tuần hoàn của hàm trung hòa có hàm
làm chậm bị chặn (hoặc hàm làm chậm không bị chặn) .
Phần kết luận : Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt
được và đưa ra những đề xuất (nếu có ).


Chương 1
GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÓ
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ,CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG
TRONG ĐỀ TÀI, CÁC KẾT QUẢ SẼ ĐƯỢC SỬ DỤNG

1.1. Giới thiệu

Bằng cách sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chúng ta chứng minh sự tồn
tại lời giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa.
d
( x (t )  G(t, xt ))  Ax(t )  F (t, xt ) , t  0
dt
x0    D

(1.1)
(1.2)

Với A là phần tử vi phân của nữa nhóm Compact, giải tích của những
toán tử tuyến

(T (t ))t 0

trên không gian Banach X. Hàm chậm

x t , x t ( )  x (t   ) thuộc không gian pha D thích hợp và G, F :

 D  X là

những hàm liên tục.
Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy
mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn .
Trong [12] mối liên hệ này được giải thích bởi phương trình vi phân
thường tuần hoàn hai chiều. Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem
xét những mối quan hệ tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi
phân n – chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương

trình hàm với điều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi
phân. Gần đây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, đã chỉ ra sự tồn
tại lời giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng


x (t )  Ax (t )  F (t, xt ) ,
x0    C  C ([r ,0]: X ) ,

(1.3)


Với A là phần tử vi phân của nữa nhóm Compact của những toán tử
tuyến tính bị chặn trong Không gian Banach.
Mục đích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả
tương tự như những kết quả trong [3], cho phương trình đạo hàm riêng của
hàm trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2).
Những phương trình vi phân trung hòa được phát triển trong nhiều lĩnh
vực của toán ứng dụng và những phương trình như vậy được mở rộng nhiều
trong những năm gần đây.Một tài liệu hướng dẫn rất hay về phương trình vi
phân của hàm trung hòa với điều kiện làm chậm là cuốn sách của nhà toán
học Hale [8] với những chỉ dẫn ở trong đó. Làm việc đầu tiên với phương
trình đạo hàm riêng của của hàm trung hòa với điều kiện làm chậm là
Hernandez và Henriquez trong [9,10]. Trong những bài báo này, Họ đã chứng
minh tồn tại lời giải yếu, mạnh và lời giải tuần hoàn cho phương trình trung
hòa

d
( x (t )  G(t, xt ))  Ax (t )  F (t, xt ) ,
dt
x0    B

(1.4)

Với A là phần tử vi phân của nữa nhóm giải tích của những toán tử tuyến
tính trên Không gian Banach và B là pha không gian xác định bởi các tiên
đề. Trong trường hợp tổng quát, những kết quả này được suy từ định lý nữa
nhóm và định lý điểm bất động của Sadovskii.
Luận văn này có năm chương. Trong chương 2 chúng ta tập trung đến sự
tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa
xác định trên

 C ([ r ,0]: X ) . Trong chương 3, bằng cách sử dụng kết quả

của chương 2, chúng ta xét sự tồn tại của lời giải tuần hoàn cho phương trình
trung hòa với với mô hình làm chậm bị chặn trên

 B ,với B là một pha

không gian định nghĩa bởi các tiên đề như trong Hale và Kato [5]. Chương 4


sẽ chứa những ví dụ minh họa .Những kết quả của chúng ta có được dựa trên
những tính chất của nữa nhóm giải tích và những ý tưởng, kỹ thuật chứng
minh của Harnandez và Henriquez [9,10] và Ezzinbi[3].
1.2. Ký hiệu

Trong luận văn này, ta sẽ được ký hiệu X là một Không gian Banach với
chuẩn . , A ký hiệu là phần tử vi phân của nữa nhóm giải tích, Compact,
(T (t ))t 0 ,của những toán tử tuyến tính trên X và được định nghĩa như sau :
T (t ) x  x



A : D( A)  X với D( A)   x  X : lim
toàn taïi  và
t 0
t


T (t ) x  x dT (t ) x

vôùi x  D( A)
t 0
t
dt t 0

Ax  lim

Dựa vào định lý C 0 nữa nhóm của Pazy [13].
Trong luận văn này, x (., ) ký hiệu lời giải của (1.1) - (1.2). Hơn nữa,
B r (x : Z ),(B r [x : Z ]) ký hiệu là quả cầu mở, (quả cầu đóng) trong không

gian Metric Z với tâm tại x và bán kính bằng r .Với hàm bị chặn

 :[a,b ]  [0, )

và

a t b

a ,t  sup{ (s ) : s  [a,t ]}

chúng

ta

sẽ

ký

hiệu

a ,t

bởi

(1.6)

Nếu D là không gian pha Banach, chuẩn trong D sẽ được ký hiệu . D .
Để chứng minh những kết quả chính của luận văn ,chúng ta sẽ sử dụng
những kết quả sau.
1.3. Một số kết quả được sử dụng trong luận văn
1.3.1. Định lý 1.2 [5].

Cho Y là không gian Banach và  : 1  y với 1 :Y Y là toán tử
tuyến tính bị chặn và y Y . Nếu tồn tại x 0 Y sao cho tập { n (x 0 ) : n  }
là Compact tương đối trong Y, thì  có điểm bất động trong Y.


1.3.2. Định lý 1.3 [4]

Cho X là không gian Banach và M là tập con lồi, khác rỗng của X. nếu
 : M  2 X là ánh xạ đa trị sao cho

(i)

Với mỗi x  M thì tập (x ) lồi, đóng khác rỗng.

(ii) Tập (M )   (x ) là Compact tương đối
x M

(iii)  là nữa liên tục trên.
Thì  có điểm bất động trong M.
1.3.3. Định lý Ascoli

Tập M  C ( K , R n ) là tập Compact tương đối nếu và chỉ nếu M bị chặn
đều và đẳng liên tục .
1.3.4. Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue

Cho dãy hàm số { fn} hội tụ theo độ đo đến hàm số f trên một tập hợp A
và fn  g h.k.n trên A với mọi n, trong đó g là một hàm số khả tích trên A
thì lim  fn d    fd 
n

A

A

1.3.5. Định lý điểm bất động của Sadovskii
1.3.5.1. Định nghĩa độ đo phi compact Kuratovskii

Cho X là không gian Banach, A là tập con bị chặn .Độ đo phi compact
Kuratovski định bởi :  (A) = inf {d > 0 / A được phủ bởi một số hữu hạn các
tập hợp A1, A2,...An có đường kính  d}.
Tính chất :

( i )  (A)= (A)= (coA)
(ii )  ( A)  0  A là Compact tương đối .
(iii )  ( A  B)  max   ( A),  ( B)
(iv )  ( A  B)   ( A)   ( B)
(v )  (tA)  t  ( A)


1.3.5.2. Định nghĩa toán tử cô đặc

Ánh xạ f : D  X  X được gọi là k – cô đặc nếu tồn tại k(0,1) sao
cho:  ( f ( A))  k  ( A) với mọi A bị chặn chứa trong D.
1.3.5.3. Định lý điểm bất động của Sadovskii

Giả sử
(i)

Toán tử T : M  X  M là k – cô đặc, ở đây

(ii)

M khác rỗng, đóng, bị chặn và là tập con lồi của không gian

Banach X .
Khi đó T có điểm bất động .
1.3.6. Một số định lý C0 nữa nhóm

1.3.6.1. Định nghĩa nữa nhóm (định nghĩa 1.1) [13]

Cho X là không gian Banach. Một họ tham biến T (t ),0  t   của những
toán tử tuyến tính từ X vào X là một nhóm của những toán tử tuyến tính bị
chặn trên X nếu:
(i) T (0) = I (I là toán tử đồng nhất trên X)
(ii) T ( t + s ) = T(t)T(s) với mỗi s, t  0 (Tính chất nữa nhóm).
1.3.6.2. Định nghĩa C0 nữa nhóm (định nghĩa 2.1) [13]

Một nữa nhóm T (t ),0  t   ,của những toán tử tuyến tính bị chặn
trên X là nữa nhóm liên tục mạnh của những toán tử tuyến tính bị chặn nếu

lim T (t ) x  x với mỗi x  X .
t 0

Nữa nhóm liên tục mạnh của những toán tử tuyến tính trên X được gọi
là nữa nhóm của lớp C0 hay đơn giản là C0 nữa nhóm .
1.3.6.3. Định lý 2.2 [13]

Nếu T (t ) là C0 nữa nhóm.
Khi đó tồn hằng số  và M  1 sao cho T (t )  Met , 0  t  


1.3.6.3.1. Hệ quả 2.3 [13]

Nếu T (t ) là C0 nữa nhóm khi đó với mỗi x  X , t  T (t ) x là hàm liên
tục từ


0

( đường thẳng thực không âm ) vào X.

1.3.6.4. Định lý 2.3 [13]

Cho T (t ) là C0 nữa nhóm và A là phần tử vi phân của nó. Khi đó :
1
a) Với x  X , lim
h0 h

th

 T (s) xds  T (t) x
t

t

t

b) Với x  X ,  T (s) xds  D( A) vaø A   T (s) xds   T (t ) x  x
0
0


c) Với x  D(A) , T (t ) x  D(A) vaø

d
T (t ) x  AT (t ) x  T (t ) Ax
dt

t

t

s

s

d) Vôùi x  D(A) , T (t ) x  T (s) x   T ( ) Axd   AT ( ) xd
1.3.6.4.1. Hệ quả 2.5 [13]

Nếu A là phần tử vi phân của C0 nữa nhóm T (t ) , khi đó D (A), miền
xác định của A, trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng .
1.3.6.5. Định lý 3.2 [13, tr.48]

Cho T (t ) là C0 nữa nhóm. Nếu T (t ) là compact với t  t0 thì T (t ) liên tục
trên không gian tô pô những toán tử đều với t  t0 .
Nếu (T (t ))t 0 là nữa nhóm giải tích và bị chặn đều sao cho 0   (A ) thì
nó có thể định nghĩa bậc hữu tỉ (A ) ,   (0,1] ,như là toán tử tuyến tính
đóng trên miền xác định của nó D( A) . Hơn nữa không gian con D( A) là
trù mật trong X và biểu thức x



 ( A) x , x  D( A) , định nghĩa là

chuẩn trong D( A) . Nếu X  biểu diễn không gian D( A) xác định bởi
chuẩn .  , thì theo [11, tr.74] ta có những tính chất sau :

1.3.6.6. Bổ đề 1.1

Nếu các điều kiện trên đúng, thì
1. Nếu 0    1 thì X  là không gian Banach.
2. Nếu 0      1 thì X  X  và phép nhúng là Compact với mỗi
giải thức của toán tử A là Compact.
3. Với mỗi 0    1 thì tồn tại C   0 sao cho ( A ) T (t ) 

C
,t  0
t

Trong những phần sau, để tránh những ký hiệu không cần thiết, chúng ta
giả sử rằng
( A) T (t ) 

0   (A )

C
,t  0
t

và với mỗi

0    1,

T (t )  M ,t  0 và

(1.5) với mỗi hằng số C  0 .

Trong luận văn này, 0    1 và   0 là những số không đổi,
G, F :

 D  X liên tục và chúng ta sử dụng những điều kiện sau

H1: Hàm G nhận giá trị trong X  và ( A ) G liên tục.
H2: G (t , ) V (t , )  h (t ) với V, h

nhận giá trị trong X  ;

( A )V ,(A ) h liên tục ; ( A )V (., ),(A ) h tuần hoàn với

chu kỳ  và ( A )V (t ,.) tuyến tính .
H3: G (t , ) V (t , )  G1 (t , ) với V ,G1 nhận giá trị trong X  ;

( A )V ,(A ) G1 liên tục ; ( A )V (., ),(A ) G1 (., ) tuần hoàn

với chu kỳ  và ( A )V (t ,.) tuyến tính.
H4: F (t , )  L (t , )  f (t ) với L , f liên tục ; L (., ), f tuần hoàn với

chu kỳ  và L (t ,.) tuyến tính.
H5: F (t , )  L (t , )  F1 (t , ) với L , F1 liên tục ; L (., ), F1 (., ) tuần

hoàn với chu kỳ  và L (t ,.) tuyến tính.


H6: Với mỗi R  0 và với mọi T  0 , tập những hàm số

{s  G (s , x s ) : x C ((,T ]: X ), sup x ( )  } đẳng liên tục
 [  r ,T ]

trên đoạn [0,T]
H7:

Với mỗi R  0 và với mọi T  0 , tập những hàm số
{s  G (s , x s ) : x C b ((,T ]: X ), sup x ( )  } đẳng liên tục
 [  ,T ]

trên đoạn [0,T]


Chương 2
LỜI GIẢI TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
CỦA HÀM TRUNG HÒA CHỨA HÀM LÀM CHẬM BỊ CHẶN

Trong chương này, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của lời giải tuần
hoàn của bài toán giá trị đầu
d
(x (t )  G (t , x t ))  A x (t )  F (t , x t ),
dt
x o   C  C ([ r ,0]: X )

 2.1
 2.2 

2.1. Định nghĩa

Hàm x :[ r ,T ]  X là lời giải yếu của bài toán Cauchy trừu tượng (2.1)
– (2.2) nếu : x 0   ; thu hẹp của x  . trên đoạn [0,T] liên tục ; với mỗi
0  t  T hàm AT  t  s  G  s, xs  , s  [0, t ), khả tích và

t

x t   T t    0   G  0,    G t , x t    A T t  s G  s , x s  ds
0

t

+ T t - s F  s , x s  ds ,

t  [0,T ]

 2.3

0

Sự tồn tại lời giải yếu của bài toán Cauchy trừu tượng (2.1) – (2.2) theo
[9,định lý 2.1,2.2], với lý do này chúng ta sẽ bỏ qua việc chứng minh chi tiết
hai kết quả kế tiếp
2.2. Định lý 2.1

Cho  C ,T  0 và giả sử rằng các điều kiện sau đúng :
(a) Tồn tai hằng số    0,1 và L  0 sao cho hàm G nhận giá trị trong
X  , L  A 



 1 và


A

G t , 1 A G s , 2 L t s 1 2


C

, 2.4

vi

mi 0 s ,t T v 1 , 2 C
(b) Hm F liờn tc v bin nhng tp b chn thnh nhng tp b chn.
Khi ú tn ti li gii yu x (., ) ca bi Cauchy tru tng (2.1) (2.2)
xỏc nh trờn [-r,b], vi mi 0 b T
2.3. nh lý 2.2

Cho C v T 0 . Gi s rng iu kin (a) ca nh lý (2.1) ỳng v
tn ti N 0 sao cho F (t , ) F (t , ) N

C

vi mi 0 t T v

vi mi , C . Khi ú tn ti duy nht li gii yu x (., ) ca (2.1) (2.2)
xỏc nh trờn [-r, b]

vi mi 0 b T . Hn na, b cú th chn l

min{T, b0 }, õy b0 l hng s dng c lp vi .
chng minh kt qu chớnh ca mc ny, ú l nhng kt qu c bn
k tip .
2.4. nh lý 2.3

Cho T > r v gi s rng H 1 , H 6 ỳng. Gi s thờm rng, cỏc iu kin
sau õy ỳng
(a) Vi mi C tp





X x C r ,T : X : x laứ lụứi giaỷi cuỷa 2.1 2.2

b chn.
(b) Vi mi R 0 , tp

A G s , x , F s , x : s [0,T ], x X vaứ


s

b chn.

s

C

R




Khi đó ánh xạ đa trị  : C  2C ;  X T    x T : x  X  
Compact, nghĩa là, với mỗi R  0 tập UR ,T   XT  
 C R

là

là Compact tương

đối ở trong C
Chứng minh

Cho R  0 và UR   X   . Từ (b), chúng ta cố định N  0 sao cho
 C R

 A 



G s ,x s   N

F s , x s   N

và

với mỗi x  UR

và với mỗi

s  [0,T ] . Mặt khác ,sử dụng định lý Ascoli ta sẽ chia chứng minh ra hai

bước .
Bước 1 : Tập UR  t    x  t  : x  UR  là Compact tương đối với mỗi

t  (0,T ] .

Cho 0    t  T . Vì T t  t 0 giải tích, hàm toán tử s  A T  s  liên
tục trong không gian tô pô các toán tử đều trên (0, T], bằng cách ước lượng

  A

1 

T  t  s   A  G  s, xs  


hàm s  A T t  s G  s , x s 

C1  N

t  s

1 

 2.6 

, s  [0, t ), x  UR

suy

khả tích trên [0,t ) với mỗi x  UR .

những điều kiện trước, với x  UR ta có
x t   T   T t    (0)  G (0, )    A 

+T   

t 

  A 

1 



 A 



G t , x t 

T t  s    A  G  s , x s  ds


0

t

+   -A 

1 

T t  s   A  G  s , x s  ds


t-

t 

+T     T t  s    F  s , x s  ds 
0

t

 T t  s  F  s , x ds
s

t

ra
Với

Với

 T ( )T (t   )( (0)  G (0, ))  T ( ) T (t   ) (  (0)  G (0, ) )
 T ( ) M .( R  ( A)  ( A)  G (0, )
 T ( ) M .( R  N )
 ( A)  G (t , xt )  N  ( A)   ( A)  G (t , xt )  ( A)   BN [0 : X ]
t 

 W1 (t )  T ( )  ( A)1  T (t  s   )( A) G(s, xs )ds
0

t 

 ( A)



1 

T (t  s)( A) G(s, xs )ds ( do tính chaát nöõa nhoùm)

0

t 

 W2 (t )  T ( )  T (t  s   )F (s, xs )ds
0

t 

 T (t  s)F(s, x )ds



s

( do tính chaát nöõa nhoùm )

0

t

 C1 

 ( A)

1 

T (t  s )( A)  G ( s, xs )ds va

t-


diamC  
.Nds  2C1  N
(t  s )1 

t 
C1

t

1

t

 C 
2

 T (t  s) F (s, x )ds và
s

t

t

diam(C ) 
2

 T (t  s) . F (s, x ) ds
s

t

t



 M .Nds  M .N

t

và do đó


x t  T    MB
B N [0, X ] W t 1  C 1 W t 2  C 2 ,
R  N [0, X ]    A 

với mỗi W1 là Compact, thật vậy :
Với   0 cố định. Cho 0    t0  t sao cho t  t0    


t 

W1 (t )  W1 (t0 )  T ( )  ( A)1  T (t  s   )( A)  G ( s, xs )ds 
0

T ( )

t0 

 ( A)

1 

T (t0  s   )( A)  G ( s, xs )ds

0

=T ( )

t0 

 ( A)

1 

(T (t  s   )  T (t0  s   ))( A)  G ( s, xs )ds 

0

+T ( )

t 

 ( A)

1 

T (t  s   )( A)  G ( s, xs )ds

t0 
t 



 ( A)

1 

(T (t  s )  T (t0  s ))( A)  G ( s, xs )ds 

0

t 



 ( A)

1 

T (t  s )( A)  G ( s, xs )ds

t0 

Suy ra :
W1 (t )  W1 (t0 )  N .     t   t0  (t  t0   )   
 N .2 

C1 



C1 



  .N

  .N

nên W1 đẳng liên tục bên phải tại t0 .Tính liên tục tại t0  0 được chứng minh
tương tự, do đó W1 đẳng liên tục trên [0; t ) .
Mặt khác,
t 

W1 (t ) 

C1 

 (t  s)

1 

.Nds

0

 N.
 N.

C1 



C1



t 

.(t  s)


0

.(T     )


Do đó W1 là ánh xạ compact.
Tương tự ta cũng chứng minh được W2 là ánh xạ compact.


diam C    2C 1  N

1

Vì   A 

và

 

 
diam C 2  2MN

là Compact, những chú ý này dẫn tới UR  t  hoàn toàn bị



chặn và kết quả là UR  t  Compact tương đối trong X.
Bước 2 : U R hoàn toàn liên tục trên ( 0 ,T].

Cho 0    t 0  T . Sự liên tục mạnh của T t  t 0 dẫn đến tập những
hàm

s  T  s  x : x T   B

R N

 0, X 

đồng liên tục trên [0, T] .Cho

0     sao cho
T  s  x  T  s '  x   , x T    B R  N  0, X  ,



G t ,ut   G t 0 ,ut 0

  ,

u C [ r ,T ]: X  , u

 r ,T

R N

khi s  s '   ,0  s , s '  T và 0  t  t 0  
Với những điều kiện trên, cho x  UR và 0  t  t 0   chúng ta có

x  t0   x  t 
  T  t0     T  t     T      0   G  0,  





+ G t 0 , xt0  G  t, xt 
+

t 0 

  A

1 

T  t0  s     I  T  t  t0   T     A  G  s, xs  ds


0

+

t0



I  T  t  t0 

 A

1 

T  t0  s    A  G  s, xs  ds

t 0 

+

t

  A

t0

1 

T  t  s   A  G  s, xs  ds





+

t 0 



T  t0  s     I  T  t  t0   T    F  s, x s  ds

0

t0

 T  t

+

0

t0 

t

 s   T  t  s   F  s, xs  ds   T  t  s  F  s, xs  ds
t0

Với :

 T( )( (0)  G(0, ))  T ( )BR  N (0, X ). Do ñoù :
(T(t 0   )  T (t   ))T ( )( (0)  G(0, ))  
 G(t0 , xt0 )  G(t, xt )  

 ( A)1  T (t0  s   )( I  T (t  t0 ))T ( )( A) G(s, xs ) 
 ( A)1 T (t0  s   ) . (I  T (t  t0 ))T ( )( A) G(s, xs )




C1 
(t0  s   )

1 

C1 
(t0  s   )1 

t 0 



. (T (t0  t0 )  T (t  t0 ))T ( )( A) G(s, xs )
.

. Do ñoù :

( A ) T (t 0  s   )(I  T (t  t 0 ))T ( )(A ) G (s , x s )   .C 1 
1 



(t 0   )



0

 I  T (t  t0 ) . ( A )1  T (t0  s)( A ) G (s, x s ) 
 ( T (t0  t0 )  T (t  t0) ) ) ( A )1  T (t0  s) ( A ) G (s, x s )  2.M .


t0



I  T (t  t0 ) . (  A )

1 

T (t0  s)( A ) G (s, x s ) 


t0 

t0



t0 

2.M .

C1 
(t0  s)1 

C1 

(t0  s)1 

 2.MC1 

Do ñoù :

 ( A)

t0

1 

t

T (t  s)( A) G(s, xs )  


t0

C1
(t  s)1

.Nds




 ( A)1 T (t  s)( A) G(s, xs )  ( A)1 T (t  s) . ( A) G(s, xs ) 
t

.N

.Nds  N .C1 .

C1
(t  s)1

(t  t0 )



.N


 T (t0  s   )(I  T (t  t0 ))T ( )F(s, xs )  T (t0  s   ) . (I  T (t  t0 ))T ( )F(s, xs )
 M.
Do ñoù :

t 0 



T (t0  s   )(I  T (t  t0 ))T ( )F(s, xs ) ds 

0

t0 

 M.  M. (t

0

)

0

 (T (t0  s)  T (t  s))F (s, xs )  T (t0  s)  T (t  s) . F (s, xs ) 
 ( T (t0  s)  T (t  s) ).N  2.M .N
t0



Do ñoù :

t0

(T (t0  s)  T (t  s))F (s, xs ) ds 

t0 

 2.M .Nds  2.M .N

t0 

 T (t  s)F (s, xs )  T (t  s) . F (s, xs )  M .N
t

t

 T (t  s)F(s, x ) ds   M .Nds  M .N (t  t )

Do ñoù :

0

s

t0

t0

Suy ra : x (t 0 )  x (t )  2 + C1-

t 0   




t  t 0  


 2MC 1  N
 NC 1 




   MN
 t  t  ,
+ M t 0    +2MN

0
và do đó
x t 0   x t   c1  c 2   c 3   c 4

với các hằng số c i độc lập với x  . . Vì vậy, UR hoàn toàn liên tục bên phải tại

t 0  0 . Tính hoàn toàn liên tục tại t 0  0 được chứng minh tương tự. Do đó,

UR hoàn toàn liên tục trên ( 0,T] .





Từ bước 1 và 2, đã chỉ ra rằng x [  ,T ] : x  UR là Compact tương đối trong

C [ ,T ]: X



với mỗi   0 , dẫn tới UR ,T là Compact tương đối trong

C [ r ,0]: X



. Đpcm.


2.4.1. Hệ quả 2.4

Giả sử rằng các giả thiết trong định lý 2.2 và định lý 2.3 là đầy đủ. Khi
đó ánh xạ   x T  .,  là hoàn toàn liên tục.
Chứng minh

Vì T t  t 0 giải tích, hàm toán tử s  A T  s  liên tục trong không gian
tô pô các toán tử đều trên (0, T], bằng cách ước lượng

  A

1 

T  t  s   A  G  s, xs  


suy ra hàm s  A T t  s G  s , x s 

C1  N

 2.6 

, s  [0, t ), x  UR

t  s

1 

khả tích trên [0,t ) với mỗi x  UR .

Với những điều kiện trước, với x  UR ta có

x t   T   T t    (0)  G (0, )    A 
+T   

t 

  A 

1 



 A 



G t , x t 

T t  s    A  G  s , x s  ds


0

t

+   -A 

1 

T t  s   A  G  s , x s  ds



t-

t 

+T     T t  s    F  s , x s  ds 
0

t

 T t  s  F  s , x ds
s

t 

Do đó :

xT  t   T    T  t  T    (0)  G(0, )     A 
+T   

t T 

   A

1 



  A



G  t  T , x t T 

T  t  s  T     A  G  s, xs  ds


0

+

t+T

   -A 

1 

T  t  T  s   A  G  s, xs  ds


t+T-

+T   

t T 

t T

 T  t  T  s    F  s, x  ds    T  t  T  s  F  s, x  ds

s

0

s

t T 


xT UR ,T khi vaứ chổ khi
xT (t ) T T t T (0) G(0, ) A
+T

t T

A

1



A



G t T , x t T

T t s T A G s, xs ds

0

+

t+T

T t T s A G s, xs ds

-A

1



t+T-

+T

t T

t T

T t T s F s, x ds T t T s F s, x ds
s

s

0

t T

Gi xtnT , xsn l nhng dóy hi t n xt T , xs trong X T ( ) khi n v
gi thit ca nh lý 2.3, ta cú :

xTn (t ) T ( ) M .BR N [0, X ] ( A) .BN [0, X ] W1 (t ) C1 W2 (t ) C2
Trong ú,


Wi , i 1,2 laứ nhửừng aựnh xaù compact vaứ diam(C ) 2C1
,

1

diam(C2 ) 2 MN ,( A) laứ compact.
p dng nh lý hi t, b chn Lebesgue ,ta cú :
n
xTn (t )
xT (t ) T T t T (0) G(0, )

A



+T

A



t T

G t T , xt T

A

1

T t s T A G s, xs ds


0

+

t+T

-A

1

T t T s A G s, xs ds


t+T-

+T

t T

t T

T t T s F s, x ds T t T s F s, x ds
s

0

s

t T

Do ú : xT (t ) UR ,T (t ) . ỏp dng nh lý 2.3 ta cú xT (., ) hon ton
liờn tc.


2.5. Định nghĩa

Hàm x :

X

là lời giải tuần hoàn với chu kỳ  của phương trình

(2.1) nếu : x (. ) là lời giải yếu của (2.1) và x t     x t  với mỗi t  .
Sử dụng những ý tưởng và kỹ thuật trong [10], ta có thể thiết lập đầy đủ
những điều kiện cho sự tồn tại lời giải toàn cục của phương trình (2.1). Trong
phần sau, chúng ta luôn giả sử rằng lời giải yếu được xác định trên [0, )
2.6. Định lý 2.5

Cho các điều kiện H 2 , H 4 , H 6 được thỏa mãn. Nếu phương trình (2.1)
có lời giải yếu bị chặn, thì tồn tại lời giải tuần hoàn với chu kỳ  của (2.1).

Chứng minh

Để lời giải yếu x  .  x  .,  , chúng ta đưa vào sự khai triển
x  .  v  .  z  . với v  . là lời giải yếu của

d
u t  V t ,ut    A u t   L t ,ut  ,
dt
u0  
và z (.) là lời giải yếu của

d
u t  V t ,ut   h t    A u t   L t ,ut   f t  ,
dt
u 0  0.
Gọi y :[ r , )  X là lời giải yếu, bị chặn của (2.1) và  :C  C là
ánh xạ    : 1    z  : v   z  . Vì 1 là toán tử tuyến tính bị chặn và

  n  y 0    y n : n 

n 1



là Compact tương đối ở trong C , từ định lý 2.3 và

định lý 1.2 ta thấy  có điểm bất động trong C . Điểm bất động này chính là
lời giải tuần hoàn. Định lý được chứng minh.

Trong

CP u :

phn

sau

CP

X : u tuan hoaứn vụựi chu kyứ

l

khụng

gian

xỏc nh bi tụ pụ hi t u.

Bõy gi, ta s chng minh kt qu chớnh ca lun vn .
2.7. nh lý 2.6

Cho cỏc iu kin H 3 , H 5 , H 6 tha món v gi s rng cỏc iu kin
sau õy l y
(a) Cỏc hm

A

V , A G1 , L v F1 bin nhng tp b chn thnh


nhng tp b chn .
(b) Cú s 0 sao cho vi mi v B [0,CP ] phng trỡnh trung hũa

d
x (t ) V (t , x t ) G1(t ,v t ) A x (t ) L (t , x t ) F1(t ,v t )
dt
cú li gii tun hon vi chu k l u .,v B [0,CP ]
Khi ú phng trỡnh (2.1) cú li gii tun hon vi chu k .
Chng minh

Trờn B B [0,CP ] , ta nh ngha ỏnh x a tr : B 2

B

bi : x (v )

nu v ch nu ,

x t T t s x s V s , x s G1 s ,v s V t , x t G1 t ,v t
t

A T t V , x G1 ,v d
s

t

T t L , x F1 ,v d

,

t s

s

Tip theo ta chng minh tha món cỏc iu kin (i) (iii) ca nh lý
1.3. Rừ rng gi iu kin (i) l ỳng. iu kin (ii) c chng minh thụng
qua cỏc bc chng minh nh lý 2.3. Trong mi quan h vi (iii), ta nhn xột



rng (ii) l suy ra l úng. Nu v n
hi t trong CP ti nhng im v , x thỡ

n



v x n

n

l nhng dóy


V  , x   G  ,v    A  V  , x   G  ,v  ,
T t   L  , x   F  ,v    T t   L  , x   F  ,v   ,

 A 



n

1



n

với mỗi  



1



n

1





n



1







và t  s .



  AT  t    V  , x   G  , v   d   T  t     L  , x   F  , v   d

x n  t   T  t  s  x n  s   V  s, xsn   G1  s, vsn   V  t , xtn   G1  t , vtn 
t

t

n

n



n



1

n



s



1

s





 T  t  s  x n  s   V  s, xsn   G1  s, vsn   V  t , xtn   G1  t , vtn 



t



  ( A)1  T  t    ( A)  V  , xn   G1  , vn  d
s



t



  T  t    L  , xn   F1  , vn  d
s

 M   M ( ( A)  V  s, xsn   ( A)  G1  s, vsn   ( A)  V  t , xtn  
 ( A) G1  t , v


n
t

t

   ( A)

1 





T  t    ( A)  V  , xn   G1  , vn  d

s



t



  T  t    L  , xn   F1  , vn  d ( do V , G1 nhaän giaù trò trong X  )
s

Giả sử có (a) và ta ước lượng







 AT  t  s  V  , xn   G1  , vn   ( A)1 T (t  s)( A) V  , xn   G1  , vn 



 ( A)1 T (t  s) . ( A) V ( , xn )  G1 ( ,n )

 C1

  A



V  , x   G  , v 
n

1



 t  s

1 

 T (t  s )( L( , xn )  F1 ( , vn ))  M . L( , xn )  F1 ( , vn )

n

