ứng dụng bất đẳng thức harnack nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương trong c

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (14.02 MB, 71 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

TRONG C

LUẬN VĂN THẠC SĨKHÓA: K40

ĐÀ NẴNG, 2022

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahghghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahg

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

TRONG C

CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨMÃ SỐ: 846.01.02

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

123docz.net - File bi loi xin lienhe: 712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

1.5.1Khái niệm và một số chú ý mở đầu . . . .281.5.2Tính chất của hàm phân tuyến tính . . . .292Một số kết quả trên lớp hàm điều hòa dương liên quan đến

2.1Hàm điều hòa và một số kết quả . . . .322.2Bài tốn Dirichlet cho hàm điều hịa trên đĩa . . . .342.3Hàm điều hòa dương và bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm

điều hòa dương. . . .412.4Khoảng cách Harnack và một số kết quả . . . .43

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Lớp hàm điều hịa là đối tượng nghiên cứu chính của lĩnh vực giải tíchphức bên cạnh các lớp hàm khác như hàm chỉnh hình và hàm điều hịa dưới.Lớp hàm điều hịa cũng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của tốnhọc như giải tích Fourier, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và các lĩnhvực khác như vật lý tốn. Hàm điều hịa được hiểu như là hàm khả vi hailần và thỏa mãn phương trình Laplace∆(.) = 0(là một nghiệm của phươngtrình Laplace). Tuy nhiên, sau này khái niệm đạo hàm được mở rộng theonghĩa phân bố thì hàm điều hịa được mở rộng tới lớp hàm khả tích địaphương và thỏa mãn phương trình Laplace suy rộng.

Bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm điều hòa dương được đề xuất vàchứng minh bởi nhà toán học cùng tên (A. Harnack) vào năm 1887 trongcơng trình nghiên cứu [6]. Sau này, vào các năm 1955, 1961 và 1964, các nhàtoán học J. Serrin và J. Moser đã tổng quát bất đẳng thức Harnack cho cácnghiệm của phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic và parabolic trong cáccơng trình [7], [8], [9]. Bất đẳng thức Harnack ra đời như một tính chất củahàm điều hịa dương. Nhưng chính nó lại trở thành một công cụ hữu hiệuđể nghiên cứu lại lớp hàm điều hòa dương và làm cho lớp hàm này có nhiềutính chất phong phú hơn lớp hàm điều hịa nói chung.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn lĩnh vực giải tích phức nói chung vàlớp hàm điều hịa nói riêng, và góp phần nâng cao năng lực toán học chobản thân, cùng với sự hướng dẫn khoa học của TS. Hồng Nhật Quy, tơiquyết định chọn đề tài nghiên cứu: Ứng dụng bất đẳng thức Harnacknghiên cứu lớp hàm điều hòa dương trong C. Đề tài được kỳ vọng là

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

có những kết quả là tài liệu tham khảo tốt cho các bạn sinh viên và học viêncao học nghiên cứu về lĩnh vực tốn giải tích và giải tích ứng dụng. Ngồira, đề tài cũng sẽ góp phần làm phong phú, sâu sắc hơn lĩnh vực toán họcphổ thông khi biết triển khai ứng dụng một cách phù hợp.

2. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp hàm điều hịa nói chung và lớp hàmđiều hịa dương nói riêng.

3. Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực giải tích phức. Cụ thể là ứngdụng bất đẳng thức Harnack để nghiên cứu các tính chất của lớp hàm điềuhịa dương.

4. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản của giải tích phức.

Nghiên cứu về lớp hàm điều hịa nói chung và hàm điều hịa dương nóiriêng. Đặc biệt xây dựng bất đẳng thức Harnack và ứng dụng nó đểnghiên cứu các tính chất của lớp hàm điều hòa dương.

5. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến lĩnh vực của đề tài.

Tham gia các seminar cùng nhóm nghiên cứu để bổ sung và hoàn thiệnnội dung nghiên cứu.

Tổng hợp, phân loại các thông tin thu thập được và xậy dựng nội dungnghiên cứu của luận văn.

6. Cấu trúc luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

•Mở đầu: Giới thiệu về tổng quan nghiên cứu và lý do chọn đề tài củaluận văn nghiên cứu.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

•Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thểnhư sau:

Chương 1. NHẮC LẠI VỀ GIẢI TÍCH PHỨC1.1 Sơ lược về số phức

1.2 Sơ lược về tô pô trên mặt phẳng phức.1.3 Hàm chỉnh hình và một số kết quả.

1.4 Nhắc lại về hàm phân hình và hàm bảo giác.1.5 Hàm phân tuyến tính.

Chương 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN LỚP HÀM ĐIỀU HÒADƯƠNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC HARNACK2.1 Hàm điều hòa và một số kết quả.

2.2 Hàm điều hòa dương và bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm điềuhòa dương.

2.3 Một số ứng dụng của Bất đẳng thức Harnack trên lớp hàm điều hòadương.

2.4 Khoảng cách Harnack và một số kết quả.

•Kết luận

•Tài liệu tham khảo

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Chương 1

Nhắc lại về giải tích phức

Nội dung của chương này được dành để trình bày về số phức, hàm chỉnhhình và một số tính chất quan trọng của hàm chỉnh hình. Do lớp hàm chỉnhhình có mối quan hệ chặt chẽ với lớp hàm điều hòa nên các kết quả ở đây làsự chuẩn bị cần thiết để nghiên cứu các kết quả về hàm điều hịa nói chungvà hàm điều hịa dương nói riêng ở chương 2. Nội dung của chương này đượctham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4].

1.1.1Định nghĩa số phức

Ta xét phương trình

x

2

+ 1 = 0.

Rõ ràng là phương trình này khơng có nghiệm thuộc R vìx

2

+1 ≥ 1,∀x ∈R.

Do đó một vấn đề đặt ra là tìm một tập hợp (ta ký hiệu là C) thỏa mãn cácđiều kiện sau:

1. C là một trường.2. R⊂C.

3. Phương trìnhx

2

+ 1có nghiệm trong C.

Vì tập hợp các số thực R là một tập con của C nên khi xác định các phép

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

tính cơ bản trên các số phức ta cần đòi hỏi rằng khi áp dụng cho các số thựccác phép tốn đó đưa lại kết quả như kết quả thu được trong số học các sốthực. Mặt khác, nếu ta mong muốn các số phức có những ứng dụng trongcác vấn đề của giải tích thì ta cần địi hỏi rằng các phép tốn cơ bản đượcđưa vào đó phải thỏa mãn các tiên đề thông thường của số học các số thực.Định nghĩa 1.1.1. ([2]) Mỗi cặp số thực có thứ tự(a, b),∀a ∈R,∀b ∈R

được gọi là số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phépcộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:I.

(a, b) = (c, d) ⇔

a = c,b = d.

II. Phép cộng(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)và cặp(a + c, b + d)được gọi làtổng các cặp(a, b)và(c, d).

III. Phép nhân(a, b).(c, d) = (ac − bd, ad + bc)và cặp(ac − bd, ad + bc)đuợcgọi là tích các cặp(a, b)và(c, d).

IV. Cặp(a, 0)được đồng nhất với số thựca, nghĩa là:

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

rằng(a, b).(1, 0) = (a.1 − b.0, a.0 + b.1) = (a, b)và phần tử không của C làcặp(0, 0)vì rằng(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b). Để chứng tỏ C làmột trường, ta chỉ cần kiểm nghiệm sự tồn tại của phần tử nghịch đảo. Giảsửz = (a, b) ̸= (0, 0). Ta sẽ tìmz

′

= (a

′

, b

′

)sao cho:

hay là

a

2

− b

2

+ 1 = 0,2ab = 0.

.

3. Hiển nhiên.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Các phép toán trừ và chia được định nghĩa như các phép toán ngược vớiphép toán cộng và nhân. Đối với phép trừ, ta có:

Định lý 1.1.5. ([2]) Giả sửz

1

vàz

2

∈C. Khi đó tồn tại một và chỉ một số

Từ đóz = (−z

1

) + z

2

và như vậy định lý được chứng minh.

.

Chứng minh. 1. Nếuz = z

2−1

.z

1

thìz

2

.z = z

2

.(z

2−1

.z

1

) = z

1

2

.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Số thương thường được ký hiệu làz

1

z

2

.

+ b

22

+ i

với các số phức của C, trong đó mỗi số phứcz = x + iy ∈C sẽ

∋ (x, y) 7→ x + iy ∈C,

như đã mô tả ở trên được gọi là mặt phẳng phức và cũng được kí hiệu là C.Có thể nói một cách khác: mặt phẳng và các điểm của nó được dùng để mơtả số phức gọi là mặt phẳng phức. Các số thực được mô tả bởi các điểm trục

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Oxnên trục đó được gọi là trục thực. Các số thuần ảo được mô tả bởi cácđiểm trên trụcOynên trụcOyđược gọi là trục ảo.

Ta cũng có thể xác lập phép tương ứng giữa các phần thực và phần ảo của sốphức với các tọa độ của vector với gốc, chẳng hạn, tại gốc tọa độ. Sự tươngứng giữa các số phức và các vector trên mặt phẳng phức với gốc tạiOlà mộtphép tương ứng đơn trị một - một. Do đó số phứczcịn có thể biểu diễn bởimột vector với gốc tọa độ tạiOvà đầu mút tại điểmzvà ta có thể sử dụngthuật ngữ "số phứcz" và "vectorz" như những thuật ngữ đồng nghĩa.Nhờ cách minh họa vector đối với các số phức, về mặt hình học có thể thựchiện phép cộng và phép trừ các số phức theo quy tắc cộng trừ các vector.

1.1.4Module của số phức

Bây giờ ta xét các tọa độ cực điểm của điểm biểu diễn số phứczbằng cáchchọn gốc tọa độ làm gốc - cực và phần dương của trục thực làm trục cực.Như ta đã biết, các tọa độ cực của điểm gồm có bán kính vector của nó vàgốc cực tạo bởi hướng dương của trục cực và vector đi từ cực đến điểmz.Định nghĩa 1.1.4. Độ dài của bán kính vector của điểm biểu diễn số phức

zđược gọi là Module của số phức và được kí hiệu là|z|.Rõ ràng nếuz = a + ibthì

|z| =√z.¯z = (a

2

+ b

2

)

12

.

Đối với số phứcz ∈C bất kì Module của nó xác định một cách đơn trị.

Trong trường hợp khizlà số thực thì Module củaztrùng với giá trị tuyệtđối của nó.

Định lý 1.1.7. Module của số phứczcó các tính chất sau:1.|z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0;

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Trên C và C ta đã đưa vào các metric tương ứng biến C và C thành nhữngkhông gian metric. Bây giờ ta đưa vào các tập hợp được xét những topotương ứng với những metric ấy và qua đó trình bày vắn tắt những tính chấtcơ bản của mặt phẳng phức.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Do đó ta hiểuϵ- lân cận của điểm∞là tập hợp

U (∞, ϵ) =

z ∈C: z >1ϵ

nếu mọi điểmz ∈ Ađều là điểm trong của nó.

Định lý 1.2.1. ([2]) Họ các tập con mở của C thỏa mãn các tính chất sauđây (các tiên đề cấu trúc tơpơ):

1.∅và C là những tập hợp mở.

2. Hợp của một số hữu hạn hay vô hạn bất kỳ các tập hợp mở là một tập hợp

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

U (z

0

, ϵ

i

) ⊂ U

i

.

Hiển nhiên rằngU (z

0

, ϵ

i

) ⊂ U

0

, trong đó

ϵ = min

i=1,n

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

1.2.2Phần trong và phần ngoài

Định nghĩa 1.2.5. ([2]) Giả sửA ⊂C, A ̸= ∅. Tập hợp các điểm trong của

Ađược gọi là phần trong củaAvà được ký hiệu là ˚A.Từ Định nghĩa 1.2.3 ta suy ra rằng A là tập hợp mở.

Định lý 1.2.5. ([2]) Điểmz

0

∈C là điểm ngoài của tập hợpAkhi và chỉkhid(z

0

, A) > 0, trong đó khoảng cách:

∈C được gọi là điểm tụ (hay điểm giới

hạn) của tậpA ⊂C nếu trong lân cận bất kỳ của nó có vơ số điểm củaA.Tập hợp các điểm tụ của tập hợpAđược ký hiệu làA

′

. Từ định nghĩa 1.2.6suy rằng lân cận bất kì của điểmzgiao vớiAkhi và chỉ khiz ∈ Ahoặcz

là điểm tụ củaA. . Vì vậy, có thể mơ tả khái niệm tập hợp đóng theo ngơnngữ lân cận như sau:

Định nghĩa 1.2.7. ([2]) Ánh xạz

n

:N→C được gọi là một dãy điểm trên

C và được kí hiệu là{z

n

}

n≥0

. Dãy{z

n

} ⊂C được gọi là hội tụ tới điểmz

nếu: với mọi lân cậnVcủaz, đều∃m

0

∈N: ∀m ∈N, m > m

0

thìz

m

∈ V.Định lý 1.2.6. ([2]) Trong C mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

1.2.4Biên của tập hợp

Định nghĩa 1.2.8. ([2]) Tập hợp những điểm của C không phụ thuộc phầntrong và khơng phụ thuộc phần ngồi của tập hợpA ⊂C được gọi là biên

củaAvà ký hiệu là∂A.

Định lý 1.2.7. ([2]) Điểma ∈ ∂Akhi và chỉ khi lân cận bất kì của điểma

đồng thời chứa điểm củaAvà củaC

A

.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

1.2.5Tập hợp compact

Định nghĩa 1.2.9. ([2]) 1. Tập hợpA ⊂C được gọi là tập hợp compact

nếu nó đóng và bị chặn.

2. Tập hợpA ⊂ ¯C được gọi là tập compact nếuAlà tập hợp đóng trongC.¯

Giả sửUlà họ tùy ý các tập hợp phủ mở tập hợp Compact A, tức là mỗiđiểmz ∈ ađều thuộc ít nhất mỗi tập của họU. Người ta cũng nói rằngU

là một phủ mở củaA. Đối với các tậpA ⊂C hai điều kiện sau đây là tương

đương với nhau:(I)Alà tập compact.

(II) Từ mọi phủ củaAđều có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là cómột số hữu hạn chỉ cói

1

, i

2

, .., i

n

sao cho:

A ⊂ U

i1

∩ U

i2

∩ .. ∩ U

in

, U

ik

∈ U, k = 1, 2, ..., n.

Đó chính là nội dung của bổ đề Heine-Borel-Lebesgue.

Một trong những hệ quả quan trọng nhất của bổ đề Heine-Borel-Lebesguelà nguyên lý Bolzano - Weierstrass.

Định lý 1.2.8. ([2]) (nguyên lý Bolzano - Weierstrass). Dãy vô hạn bất kì

các điểm của tập hơp compactK ⊂ ¯C có ít nhất một điểm tụ.

Chứng minh. Giả thiết nào khơng có điểm nào củaKlà điểm giới hạn củadãy (1.1). Điều đó có nghĩa là∀z ∈ K, ∃δ > 0, sao choU (z, δ)chứa khôngquá một số hữu hạn điểm của dãy (1,1).Ta kí hiệuUlà họ các tập hợp mở

U (z, δ)khizchạy trênK. Đó là phủ mở củaKvà theo bổ đề Heine - Lebesgue có thể trích phủ con hữu hạn phủK:

)].

Vì mỗi dãyU (z

k′

, δ

k

)chứa không quá một số hữu hạn điểm của dãy (1.1) nêndãy (1.1) không thể là dãy vô hạn. Nghĩa là giả thiết của chúng ta khôngđúng. Do đó nguyên lý Bolzano - Weierstrass được chứng minh.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

1.2.6Tập liên thông

Giả sửAlà tập hợp con của mặt phẳng phức C. Ta có:

Định nghĩa 1.2.10. ([2]) Tập hợpA ⊂C được gọi là tập hợp liên thông

nếu không tồn tại hai tập hợp mởA

1

vàA

2

trong C sao cho :1.A ∩ A

1

̸= ∅, A ∩ A

2

̸= ∅;

2.A ∩ A

1

∩ A

2

= ∅;3.A ⊂ A

1

∪ A

2

.

Định nghĩa 1.2.11. ([2]) Tập hợpA ⊂C được gọi là tập hợp liên thông

nếu trongAkhông tồn tại một tập hợp con nào đồng thời vừa đóng vừa mởtrongAtrừ chính tập hợpAvà tập hợp∅.

Định nghĩa 1.2.12. ([2]) Tập hợpD ⊂C đươc gọi là một miền nếu nó thỏa

mãn hai điều kiện sau:1.Dlà tập mở.

2.Dlà tập liên thông.

1.2.7Hàm phức biến thực. Tuyến và đường cong

Bây giờ ta chuyển sang khái niệm hàm phức biến thực.

Định nghĩa 1.2.13. ([2]) Giả sửI = [a, b] ⊂R . Một hàm phức biến thựcγ : [a, b] →C;

là một quy tắc cho ứng mỗit ∈ [a, b]với mỗi số phứcz = γ(t).

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Định nghĩa 1.2.14. ([2]) Nếu tồn tại giới hạn

h→0

δ(h) = lim

h→0

x(t + h) − x(t)

y(t + h) − y(t)h

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàmz(t)tại điểmtvà kí hiệu là:

dz(t)dt= z

Định nghĩa 1.2.16. ([2]) 1. Nếu ánh xạγ : [a, b] →C liên tục và đơn trị

một thì tuyếnz = γ(t), t ∈ [a, b]được gọi tuyến Jordan.

2. Tuyếnz = γ(t), t ∈ [a, b]được gọi tuyến trơn nếu tại mọi điểmt ∈ [a, b]

đều tồn tại đạo hàm liên lụcγ

′

(t).

3. Tuyếnz = γ(t)được gọi tuyến trơn từng khúc nếu hàmz = γ(t)liên tụctrên[a, b]và[a, b]có thể chia thành một số hữu hạn đoạn thẳng sao cho hạnchế củaγ(t)trên mỗi đoạn thẳng đều xác định tuyến trơn.

4. Tuyếnz = γ(t), t ∈ [a, b]được gọi đo được nếu nếu hàmγ(t)có biến phânbị chặn.

Định nghĩa 1.2.17. ([2]) Hai tuyếnz = γ

1

(t) : [a, b] →C vàz = γ

2

(r) :[c, d] →C được gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại hàmr = g(t)liên tụcvà đơn điệu tăng trên[a, b]và ánh xạ[a, b]lên[c, d]sao choγ

1

(t) = γ

2

g(t).Định nghĩa 1.2.18. ([2]) Lớp các tuyến tương đương được gọi là một đườngcong.

Định nghĩa 1.2.19. ([2]) Đường congΓđược gọi là đường cong Jordan nếutồn tại tham số hóaγ : [0, 1] →C của nó sao choγ(t)đơn điệu một-mộttrên đoạn[0, 1]. Nếuγ(0) = γ(1)thìΓlà đường cong đóng Jordan.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

1.2.8Phép đồng luân

Định nghĩa 1.2.20. ([2]) 1. Giả sử hai tuyến:

γ

0

: I → Dγ

1

: I → D

δ(t, 0) = γ

0

(t),

δ(0, u) = γ

0

(0) = γ

1

(0),

1.2.9Miền đơn liên và đa liên

Định nghĩa 1.2.21. ([2]) MiềnD ⊂C được gọi là miền đơn liên nếu mọi

tuyến đóngγở trongDđều đồng luân với0 (γ ≈ 0).

Định lý 1.2.10. ([2]) (Định lý Jordan) Mọi đường cong đóng Jordan đềuchia mặt phẳng phức mở rộngC thành hai miền đơn liên mà nó là biên của¯

mỗi miền; một miền là phần trong (không chứa điểm vô cùng) và miền lialà miền ngồi chứa điểm vơ cùng.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

1.3Hàm chỉnh hình và một số kết quả1.3.1Một số khái niệm mở đầu

Định nghĩa 1.3.1 (Hàm biến phức). ChoΩ ⊂C là một tập mở. Ta gọi

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

vớiu(x, y)vàv(x, y)là các hàm thực hai biến.

Định nghĩa 1.3.2 (Đạo hàm phức). Cho hàmf (z)xác định trên tập mở

Ω ⊂C. Xét giới hạn

f (z + ∆z) − f (z)

Định nghĩa 1.3.3 (Hàm C-khả vi và hàm R

2

-khả vi). Hàmf (z)xácđịnh trên tập mởΩđược gọi là C - khả vi trênΩnếu nó có đạo hàm phức tạimọiz ∈ Ω. Và hàmf (z)được gọi là R

2

- khả vi nếu các hàmu(x, y), v(x, y)

là các hàm khả vi tại mọi điểm(x, y) ∈ Ω.

Định nghĩa 1.3.4 (Hàm chỉnh hình). Hàmfxác định trong miềnΩ ⊂C

với giá trị trong C gọi là chỉnh hình tạiz

0

∈ Ωnếu tồn tạir > 0đểflà C- khả vi tại mọiz ∈ ∆(z

0

, r) ⊂ Ω. Nếufchỉnh hình tại mọiz ∈ Ωta nóif

chỉnh hình trênΩ.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

∂x

=

∂v∂y

,

∂u

∂y

= −

∂v∂x

.

Các hệ thức (1.6) được gọi là điều kiện Cauchy - Riemann.

Chứng minh. + Điều kiện cần. Giả sửflà C - khả vi tạiz = x + iy ∈ Ω.Khi đó tồn tại giới hạn

f

′

(z) = lim

∆z→0

u(x + ∆x, y) + iy(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y)

= lim

∆z→0

u(x = ∆x, y) − u(x, y)

= i lim

∆z→0

Tương tự khi chọn∆z = i∆yta có

f

′

(z) = −i∂u

∂y(x, y) +∂v

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Từ 1.11 và 1.12 ta có

∂x(x, y) =∂v

∂y(x, y).∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x∆y+σ(∆z) =∂u∂x∆x+

∂y∆y+σ(|∆z|)∆v =∂v∂x∆x+

∂x∆y+σ(∆z) =∂v∂x∆x+

Điều đó có nghĩauvàvkhả vi tại(x, y).

+ Điều kiện đủ. Vìuvàvkhả vi tại(x, y)nên

∆u =∂u

∂x(∆x) +∂u

∂x∆y + σ(|∆z|)∆v =∂v

∂x∆x +∂u

∂x∆y + σ(|∆z|)

Từ hai đẳng thức trên ta có

∆u∆z+ i

∂x+ i∂v∂x+

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Vì vậy

∂u∂x+ i

δ ¯z(f + g) =δfδ ¯z+

δgδ ¯z,δ

δ ¯z(f.g) =δf

δ ¯z.g + f.δgδ ¯z.

Từ đó suy ra (1)và (2). Để chứng minh (3), ta nhận xét rằngδfδx,

chỉ nhận giá trị thực. Nhưng mặt khác:

δfδx= i

nên suy raδf

δy≡ 0. Vậyflà hằng số.

Định lý 1.3.3. ([2]) (về hàm hợp) Nếuf (ω)là hàm chỉnh hình trongD

∗

vànếug : D → D

∗

là hàm chỉnh hình trongDthì hàm hợpf [g(z)]chỉnh hìnhtrongD.

Chứng minh. Thật vậy dễ dàng thấy rằng

∂[f (g)]∂(¯z)=

∂g∂ ¯z+

∂f∂ ¯w.

∂ ¯g∂ ¯z.

Theo giả thiết∂f∂ ¯w= 0,

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

môt miềnDlên miềnD

∗

. Điều đó có nghĩa là theo hàm đã cho mỗiz ∈ D

đều tương ứng với mỗi giá trịw ∈ D

∗

và đồng thời theo quy luật đó mỗi

w ∈ D

∗

tương ứng với mỗiz ∈ D. Từ đó xác định được hàm đơn trị

∗

. Nhờ hàm ngược, các điểm này tương ứngvớiz, z + ∆z. Theo giả thiết hàmfcó đạo hàm tại điểmznênf (z)liên tụctại đó:∆w → 0nếu∆z → 0.

Do đó tính đơn trị một-một ta có thể khẳng định ngược lại∆z → 0nếu

∆w → 0.Nhưng khi đó

∆w= lim

∆w→0

1∆w

Vìwlà điểm tùy ý củaD

∗

,f

′

(z)liên tục vàf

′

(z) ̸= 0nên hàmφ(w)chỉnhhình trênD

∗

.

Ta xét ví dụ hàm

w = az + b, a ̸= 0,

là hàm tuyến tính nguyên. Hàm này ánh xạ đơn trị một-một mặt phẳng phức

zlên mặt phẳng phứcw. Hàm ngược của nó có dạng

z =w − ba.

Dễ thấy rằng hàmw = az + bvà hàm ngược của nóz =w − b

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Định lý 1.3.4. ([2]) Giả sử chuỗi lũy thừaX

được tìm theo công thức

f

′

(z) =X

n≥0

(I) Lớp các hàm thỏa mãn khả năng thứ nhất được gọi là lớp các hàm đơntrị;

(II) Lớp các hàm thỏa mãn khả năng thứ hai được gọi là lớp các hàm đa trị.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

2. Hàm phân hình

Ta lưu ý rằng hàm đơn trị được gọi là hàm phân hình nếu trong tồn mặtphẳng (có thể trừ điểm∞) nó chỉ có các điểm bất thường là cực điểm.Hàm phân hình có thể có một số hữu hạn hoặc vơ hạn cực điểm. Nếu nó cóvơ số cực điểm thì các cực điểm khơng thể có điểm tụ trong C vì điểm tụ đólà điểm bất thường nhưng khơng cơ lập và trong mọi trường hợp nó khơngphải là cực điểm. Điều đó trái với định nghĩa hàm phân hình.

Bây giờ ta xét các đường trịnC

n

vàC

n+1

với bán kính bằngnvàn + 1

tương ứng. Suy ra rằng giữa các đường trịn này chỉ có một số hữu hạn cựcđiểm của hàm phân hình. Từ đó chứng tỏ rằng các cực điểm có thể đánh sốtheo thứ tự khơng giảm đối với Module của chúng

là phần chính của khai triển Laurent tại lân cận của điểma

n

.

f

′

(z) ̸= 0, ∀z ∈ D. Khi đó ánh xạω = f (z)bảo giác trong miềnD.

Chứng minh. Vìf

′

(z) ̸= 0, ∀z ∈ Dnên độ co giãn là đều qua ánh xạ đó. Tacần chứng minh rằng góc giữa các đường cong được bảo tồn qua ánh xạ đó.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Thật vậy, giả sửz

0

là điểm tùy ýD,γ

1

vàγ

2

là hai cung trơn Jordan xuấtphát từz

0

, ở đây

Định lý 1.4.2. ([2]) Giả sử hàmω = f (z)thực hiện ánh xạ bảo giác miền

Dlên miềnD

∗

. Khi đó hàmf ∈ H(D)vàf

′

(z) ̸= 0với mọiz ∈ D.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Chứng minh. Đặt∆w = ∆f = f (z + ∆z) − f (z), ∀z, z + ∆z ∈ D. Theo điềukiện định lí,flà ánh xạ bảo giác tại điểmz

0

∈ Dbất kỳ ánh xạw = f (z)

có tính chất nào bảo tồn góc và độ co giãn đều. Do đó, với mọiz

1

, z

2

thuộclân cận củaz

0

, với sự sai khác đại lượng vơ cùng bé, ta có:

∆z

1

= α.(1.13)

và do đó tồn tại đạo hàmf

′

(z

0

). VìA ̸= 0nên

∆w∆z= f

′

(z

0

) ̸= 0.

Vìz

0

là điểm tùy ýD, nênfchỉnh hình trongD.

712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM712413069:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM71Thursday, June 13, 20249:20:23 PM9:20:23 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM71Thursday, June 13, 20249:20:24 PM9:20:24 PM

71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM71Thursday, June 13, 20249:20:25 PM9:20:25 PM

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

</div>

ứng dụng bất đẳng thức harnack nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương trong c

TRONG C

LUẬN VĂN THẠC SĨKHÓA: K40

ĐÀ NẴNG, 2022

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

TRONG C

CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨMÃ SỐ: 846.01.02

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

1.5.1Khái niệm và một số chú ý mở đầu . . . .281.5.2Tính chất của hàm phân tuyến tính . . . .292Một số kết quả trên lớp hàm điều hòa dương liên quan đến

2.1Hàm điều hòa và một số kết quả . . . .322.2Bài tốn Dirichlet cho hàm điều hịa trên đĩa . . . .342.3Hàm điều hòa dương và bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm

điều hòa dương. . . .412.4Khoảng cách Harnack và một số kết quả . . . .43

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

2. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp hàm điều hịa nói chung và lớp hàmđiều hịa dương nói riêng.

3. Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực giải tích phức. Cụ thể là ứngdụng bất đẳng thức Harnack để nghiên cứu các tính chất của lớp hàm điềuhịa dương.

4. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản của giải tích phức.

Nghiên cứu về lớp hàm điều hịa nói chung và hàm điều hịa dương nóiriêng. Đặc biệt xây dựng bất đẳng thức Harnack và ứng dụng nó đểnghiên cứu các tính chất của lớp hàm điều hòa dương.

5. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến lĩnh vực của đề tài.

Tham gia các seminar cùng nhóm nghiên cứu để bổ sung và hoàn thiệnnội dung nghiên cứu.

Tổng hợp, phân loại các thông tin thu thập được và xậy dựng nội dungnghiên cứu của luận văn.

6. Cấu trúc luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

•Mở đầu: Giới thiệu về tổng quan nghiên cứu và lý do chọn đề tài củaluận văn nghiên cứu.

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

•Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thểnhư sau:

Chương 1. NHẮC LẠI VỀ GIẢI TÍCH PHỨC1.1 Sơ lược về số phức

1.2 Sơ lược về tô pô trên mặt phẳng phức.1.3 Hàm chỉnh hình và một số kết quả.

1.4 Nhắc lại về hàm phân hình và hàm bảo giác.1.5 Hàm phân tuyến tính.

Chương 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN LỚP HÀM ĐIỀU HÒADƯƠNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC HARNACK2.1 Hàm điều hòa và một số kết quả.

2.2 Hàm điều hòa dương và bất đẳng thức Harnack cho lớp hàm điềuhòa dương.

2.3 Một số ứng dụng của Bất đẳng thức Harnack trên lớp hàm điều hòadương.

2.4 Khoảng cách Harnack và một số kết quả.

•Kết luận

•Tài liệu tham khảo

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

Chương 1

Nhắc lại về giải tích phức

1.1.1Định nghĩa số phức

Ta xét phương trình

x

+ 1 = 0.

Rõ ràng là phương trình này khơng có nghiệm thuộc R vìx

+1 ≥ 1,∀x ∈<sub>R.</sub>

Do đó một vấn đề đặt ra là tìm một tập hợp (ta ký hiệu là C) thỏa mãn cácđiều kiện sau:

1. C là một trường.2. R⊂<sub>C.</sub>

3. Phương trìnhx

+ 1có nghiệm trong C.

Vì tập hợp các số thực R là một tập con của C nên khi xác định các phép

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

được gọi là số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phépcộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:I.

(a, b) = (c, d) ⇔

a = c,b = d.

II. Phép cộng(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)và cặp(a + c, b + d)được gọi làtổng các cặp(a, b)và(c, d).

III. Phép nhân(a, b).(c, d) = (ac − bd, ad + bc)và cặp(ac − bd, ad + bc)đuợcgọi là tích các cặp(a, b)và(c, d).

IV. Cặp(a, 0)được đồng nhất với số thựca, nghĩa là:

71hghieh euu eohg tae ke toah tieh luohg va eae khoah trieh theo luohg tai eohg ty thhh thuohg mai va xay duhg uhue thahgThursday, June 13, 2024

= (a

, b

)sao cho:

(a, b).(a

, b

) = (1, 0).

Từ I và III suy ra:

aa

− bb

= 1,ab

+ a

b = 0.

Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản của giải tích phức.

Nghiên cứu về lớp hàm điều hịa nói chung và hàm điều hịa dương nóiriêng. Đặc biệt xây dựng bất đẳng thức Harnack và ứng dụng nó đểnghiên cứu các tính chất của lớp hàm điều hòa dương.

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến lĩnh vực của đề tài.

Tham gia các seminar cùng nhóm nghiên cứu để bổ sung và hoàn thiệnnội dung nghiên cứu.

Tổng hợp, phân loại các thông tin thu thập được và xậy dựng nội dungnghiên cứu của luận văn.