Ứng dụng bất đẳng thức

Phép biến đổi tơng đơng
áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị
I - Phép biến đổi tơng đơng
1) Phơng pháp chung
- Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tơng đơng về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngợc
lại)
- Một số ví dụ;
VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a
3
+ b
3
+ abc

ab (a + b + c)
Lời giải:
Ta có a
3
+ b
3
+ abc

ab (a + b + c)

a
3
+ b
3
+ abc

a
2

b + ab
2
+ abc

(a+b)(a
2
_ab+b
2
)

ab (a+b)

(a+b) (a-b)
2


0
Ta có: a; b; > 0

a + b > 0
(a - b)
2


0

a, b

(a + b).(a - b)
2

0 (Luôn đúng)

a, b > 0

a3 + b3 + abc

ab (a+b+c) (ĐpCM)
VD2: Cho a, b, c > 0 CM:
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +
Lời giải:
Ta có
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c

2
a
2


abc (a + b + c)

2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)

2 abc(a + b + c)

(a
2
b
2
+ b
2
c

2
- 2ab
2
c)+ (a
2
b
2
+ a
2
c
2
- 2a
2
bc) + (b
2
c
2
+ c
2
a
2
- 2abc
2
)

0

b
2
(a - c) + a

2
(b - c)
2
+ c
2
(a - b)
2


0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 )
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của

Cm:
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
a b c a c b
1
b c a c b a
+ + <
Bài làm
Đặt M =
a b c a c b
b c a c b a
+ +
có M =
a b b c c a
b a c b a c
+ +
2 2 2 2 2 2
a b b c c a

M
ab bc ac

= + +
2 2 2 2 2 2
1
M . ca cb ab ac bc ba
abc
= + +
(Vì a; b; c > 0)
( ) ( )
1
M . a c . b2 ac ab bc
abc
= +
( ) ( ) ( )
1
M . a c . c b . b a
abc
=
có
c a b>
a b c>

b c a>
a b . b c . c a a.b.c <
( ) ( ) ( )
1 1
. a b b c c a .abc 2
abc abc

M 1
< =
<
Vậy
a b c c b
1
b c a a a
+ + <
VD4 :Cho ab

1 CM:
1 1 2
(1)
a2 1 b2 1 ab 1
+
+ + +
Bài giải
Ta có (1)
2 2
2 2 2 2
a b 2 2
ab 1
a b 1 a b
+ +

+
+ + +

2
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
a b 2 . ab 1 . a b a b 12 + + + + + +
(Vì ab
1
)

3 3 2 2 2 2
a b ab 2a b a b 2ab 0 + +

( ) ( )
2 2 2 2
ab. a 2ab b a 2ab b 0 + +

( ) ( )
2
ab 1 . a b 0
( Luôn đúng
n
a 1
)

2
1 1 2
b2 1 ab 1
a 1
+

+ +
+
Dấu = xảy ra
a b
ab 1
=



=

VD5:Cho
a 1; b 1; c 1
CM:
3 3 3
1 1 1 3
1 abc
a 1 b 1 c 1
+ +
+
+ + +
Bài làm
áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có:
(
)
3 3 2
3 3
3
1 1 1 2
1 a 1 b

1 a b
1 a
+ =
+ +
+
+
Tơng tự:
3
4
1 1 2
1 abc
c 1
abc 1
+
+
+
+
3 3 3
3 3 4
1 1 1 1 1 1
1 abc
1 a 1 b 1 c
1 a b abc 1

+ + + +
ữ
ữ
+
+ + +
+ +

mà :
(
)
(
)
2 2
3 3 4
4 4
3 3 4
4
4 4 4
1 1 1 1
2
1 a b abc 1
1 a b 1 abc
2 4
2.
1 abc
1 a b c

ữ

+ = +
ữ
ữ
ữ
+ +
ữ

+ +
ữ

=
+
+
3 3 3
1 1 1 1 4
1 abc 1 abc
1 a 1 b 1 c
+ + +
+ +
+ + +
3 3 3
1 1 1 3
1 abc
1 a 1 b 1 c
+ +
+
+ + +
3
A
C
h
a
B
a
b
c
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

Dấu = xảy ra

a = b = c = d
VD6: Cho

abc Với: A

B

C
a b c b a c
b c a a c b
h h h h h h
h h h h h h
+ + + +
(ha ; hb ; hc lần lợt là các đờng cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của

)
Bài làm:
Gọi S là diện tích

ABC
a a
1 2S
S a.h h
2 a
= =
tơng tự:

b c
2S 2S
h ; h
b c
= =
(1)
2S 2S 2S 2S 2S 2S
a b c b a c
2S 2S 2S 2S 2S 2
ab
S
b a c b
+ + + +

2 2 2 2 2 2
2
2
b c a a c b
a b c b a c
b c c a a b a c c b b a
c(b a)(a b) c (b a) ab(b a) 0
(b a)(ac bc c ab) 0
(b a)(c b)(a c) 0
+ + + +
+ + + +
+
+

Lại có A

B

C

a

b

c (Quan hệ cạnh góc trong

)
( ) ( ) ( )
b a 0
a c 0 b a c b a c 0
c b 0










Đpcm
Dấu= xảy ra (=)
a c
a b
c a

=


=


=

VD7 : CM: a
2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca
4
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
Từ đó chứng minh:
8 8 8
3 3 3
a b c 1 1 1
a b c
a .b .c
+ +
+ +
Với a , b , c , > 0
Bài giải:
a

2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca (*)

2(a
2
+ b
2
+ c
2
) - 2.(ab + bc + ca)

0
(=) (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2


0 ( luôn đúng )
Dấu = xảy ra (=) a = b = c
Ta có : a
2

+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca
a
4
+ b
4
+ c
4

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
a
8
+ b
8

+ c
8


a
4
b
4
+ b
4
c
4
+ c
4
a
4
áp dụng (*)

a
8
+ b
8
+ c
8


a
4
b
4

+ b
4
c
4
+ c
4
a
4


a
2
b
3
c
3
+ a
3
b
2
c
3
+ a
3
b
3
c
2
8 8 8 3 3 3
1 1 1

a b c a b c
a b c

+ + + +
ữ

8 8 8
3 3 3
a b c 1 1 1
a b c
a b c
+ +
+ +
Dấu đẳng thức xảy ra (=) a = b = c
VD 8: Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1

; p là nửa chu vi
Cm:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +
ữ


Bài giải
Từ bất đẳng thức
1 1 1
x y x y

+
+
(x ; y không âm ; xy

0 )
(Dễ dàng CM đợc BĐT Côsi)
Ta có:
1 1 4 4
p a p b 2p a b c
+ =


1 1 4
p b p c a
1 1 4
p c p a b
+

+

Cộng từng vế của BĐT trên ta đợc:
5
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

1 1 1 1 1 1
2 4
p a p b p c a b c


+ + + +

ữ
ữ




1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +
ữ


*Chú ý : Biến đổi ngợc lại ta sẽ đợc một bài C/m BĐT bằng cách biến đổi tơng đ-
ơng thực sự.
VD 9: Cho a> b > 0 ; m > n
n N ; m N


m m n n
m m n n
a b a b
CM :
a b a b

>
+ +
(*)
Bài làm:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
m m n n n n m m
m n m n m n m n n m n m n m m n
m n n m
n n m n m n
(*) a b a b a b a b
a .a a .b b .a b .b a .a a .b b .a b .b
2 a .b a .b 0
2.a .b a b 0 (1)

+ > +
+ > +
>
>
Có a > b
m n m 1
a b

>

(1) luôn đúng

(*) luôn đúng

Đpcm
*Một số bài tập áp dụng:
1) Cho
z y x 0 >

C/m:
( ) ( )
1 1 1 1 1
y x z x z (*)
x z y x z

+ + + + +
ữ ữ

2) Cho a , b , c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1
CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ +
+ + +
( Chú ý BĐT Nesôlsit )
6
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
x y z 3
y z x z x y 2
+ +
+ + +
3) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1

CM: a(b - c)
2
+ b(c - a)

2
+ c(a + b)
2
> a
3
+ b
3
+ c
3
(*)
4) CM:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d+ + + + + +
5) CM:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b d c a c b d a d b c ab bc cd da
ac bd
+ + + + + + + + + + +
+ +
(a, b, c, d

0)
6) CM:
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
+ + + +

ữ

7) CM:
a)
a b c
1 (a,b,c 0)
a b b c a c
+ + > >
+ + +
b)
2 2 2 2 2
x x z y z
(0 x y z)
z x y z x
+ +
< < < < <
+ +
8) Cho a, b, c

0 CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c a b c a b c a b c 3abc+ + + + +
II - áp dụng BĐT để tìm cực trị
- Một số BĐT thờng gặp để tìm cực trị
* BĐT Côsi: Cho n số không âm: a
1
, a

2
, a
n
ta có:
(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
n
1 2 n
n a a a
* BĐT Bunhiacôpxki: Cho 2 bộ số (a
1
, a
2
, a
n
) và (b
1
, b
2,
, b
n
)
Ta có:
7
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 n
a b a b a b a a a b b+ + + + + + + +
Dấu = xảy ra
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
= = =
* BĐT trị tuyệt đối
a b a b
+ +
* BĐT trong tam giác
Ta phải áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức trên để có thể tìm đợc cực trị
Khi tìm cực trị của các biểu thức ta nên xem xét các biểu thức phụ nh -A;
1
A
;
A
2
để bài toán thêm ngắn gọn
* Sau đây ta xét một vài ví dụ cơ bản
VD1: Tìm max có biểu thức:
A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z không âm và x+y+z=1
+ Có một bạn giải nh sau:
áp dụng BĐT:

( )
2
a b 4ab+
Ta có:
( ) ( )
2
4 x y z x y z 1+ + + =
( ) ( )
2
4 x y x x y z 1+ + + =
( ) ( )
2
4 x y y x y z 1+ + + =
( ) ( ) ( )
64xyz x y y z z x 1
1
max A
64
+ + +
=
*Chú ý: Lời giải trên là hoàn toàn sai lầm do cha tìm ra dấu bằng khi áp
dụng BĐT.
+ Ta có lời giải hoàn chỉnh nh sau:
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
3
x y z 1
xyz (1)
3 27
+ +

=
ữ

8
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

( ) ( ) ( )
( )
3
2 x y z
8
x y y z z x (2)
3 27

+ +
+ + + =
ữ

Nhân từng vế của (1) và (2) ta đợc
( ) ( ) ( )
2
8 8
xy x y y z z x
729
27
+ + + + =
Dấu = xảy ra

x = y = z =
1

3
** Tơng tự ta dễ mắc phải sai lầm trong ví dụ sau
- Tìm min của A = 2x +3y biết 2x
2
+ 3y
2


5
Lời giải sai: Gọi B = 2x
2
+ 3y
2
ta có B

5
Xét A + B =
( )
2
2
1 5 5
2 x 1 3 y (1)
2 4 4

+ + +
ữ

Mà
B 5 B 5

Cộng từng vế của (1); (2)
25
A
4

*Chú ý : Sai lầm ở đây chính là ở chỗ ta cha xét dấu bằng ở cả hai BĐT
* Một số bài tập cơ bản áp dụng BĐT Côsi:
1) Tìm min của
( )
x2 4x 4
A x 0
x
+ +
= >

( )
( )
3
2
x 1
B x 0
x
1 5
C 0 x 1
1 x x
+
= >
= + < <

L ời giải:

2
x 4x 4 4 4
) A x 4 4 2 x
x x x
A 8 A min 8 x 2
+ +
+ = = + + +
= =

Tơng tự giải bài B,C
+)
3
3
2 2 2 2
3
x 1 1 x x 1 x.x 3
B x 3
2 2
x x x 2.2x
3 4
+
= = + = + + =
9
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

3
3
3
B min B x 2
4

= =
( ) ( )
5 1 x 5 1 x
1 5 x x
) C 5 5 2 2 2 5
1 x x 4 x x 1 x x
5 5
C min 5 2 5 x
4

+ = + = + + + = +


= +
2) Tìm max của
A = (2x-1) (3-5x)
( )
2
3
2
2
x
B
x 2
x
C
x 2
=
+
=

+
Bài giải
( ) ( ) ( )
2
2 3
A 2x 1 3 5x 3x . 3 5x
5 2
2 1 5 2 1 1 1
. 5x 3 5x . .
5 4 2 5 4 4 40
1 11
A max A x
40 20

= =
ữ


+ = =
ữ

= =
Tơng tự chúng ta dễ dàng giả đợc phần B; C
3) Cho a, b, c > 1 Tìm min của
2 2 2
4a 5b 3c
A
a 1 b 1 c 1
= + +

Xét:
( )
( )
2 2
4a 4a 4 4 4
4 a 1
a 1 a 1 a 1
4
4 a 1 8
a 1
+
= = + +

= + +

áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 4 (a -1);
4
a 1
ta có:
10
Gi¸o ¸n §¹i sè - Gi¸o viªn: NguyÔn Ph¬ng H¹nh
2
4a
2 16 8 16
a 1
≥ + =
−
T¬ng tù víi
2 2
5b 3c

;
b 1 c 1− −
ta t×m ®îc min A = 48
4) Cho a, b, c kh«ng ©m CMR a + b + c =
3
T×m min cña A =
2 2 2 2 2
a 2ab b 2c c 2a+ + + + +
DÔ dµng CM ®îc
2
2 2 2
x y z
x y z 3
3
+ +
 
+ + ≥
 ÷
 
¸p dông B§T trªn ta cã:
( )
2
2 2 2 2 2
2 2
a b b
a 2b a b b 3
3
1
a 2b a 2b
3

+ +
 
+ = + + ≥
 ÷
 
⇒ + ≥ +
T¬ng tù:
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1
b 2c b 2c
3
1
c 2a 2a c
3
1
a 2b b 2c c 2a a b c
3
A 3
+ ≥ +
+ ≥ +
⇒ + + + + + ≥ + +
⇒ ≥
DÊu “=” x¶y ra (=)
1
a b c

3
= = =
* ¸ p dông B§T Bunhiacopxki
1) T×m min; max cña
( )
( )
2
A 3 x 2 4 5 x 1 x 5
B 3x 4 3 x 3 x 3
= − + − ≤ ≤
= + − − ≤ ≤
Bµi lµm
A 3 x 1 4 5 x= − + −
11
Gi¸o ¸n §¹i sè - Gi¸o viªn: NguyÔn Ph¬ng H¹nh
¸p dông B§T Bunhia copxti cã 2 bé sè (3; 4) vµ
( )
( )
x 1 ; 5 x− −
ta cã
Cã:
( )
( )
( )
2
2 2 2
A 3 x 1 4 5 x 3 4 . x 1 5 x 100
A 10
= − + − ≤ + − + − =
⇒ ≤

( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
x4 5 x 61
A max 10 khi x tm
3 4 25
A 3 x 1 4 5 x 3 x 1 3 5 x
9 x 1 5 x
5 x 1 5 x 36
A 6 A min 6 x 5
−
= = ⇔ =
= − + − ≥ − + −
= − + −
≥ − + − =
⇒ ≥ ⇒ = ⇔ =
T¬ng tù gi¶i cho B
* Chó ý thªm B§T suy ra tõ B§T C«si
1 1 4
(2)
x y x y
+ ≥
+
Dùa vµo B§T trªn ta gi¶i bµi tËp sau:
Cho x; y > 0 TM:

1 1 1
4
x y 2
+ + =
T×m

max; CM:
1 1 1
A 1
2x y z x 2y z x y 2z
= + + <
+ + + + + +
Theo B§T ta cã
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2x y z x y x z 4 x y x z 16 x y x z
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2x y z 4 x y x z 16 x y x z
   
= ≤ + ≤ + + +
 ÷  ÷
+ + + + + + +
   
   
⇒ ≤ + ≤ + + +
 ÷  ÷
+ + + +
   
DÊu “=”x¶y ra
⇔

x = y = z
T¬ng tù:

1 1 1 1 1 1
x 2y z 16 x y y z
1 1 1 1 1 1
x y 2z 16 x z y z
 
≤ + + +
 ÷
+ +
 
 
≤ + + +
 ÷
+ +
 
12
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
Cộng từng vế 3 BĐT trên
1 1 1
1
2x y z x 2y z x y 2z
+ +
= + + + + +
Dấu = xảy ra (=) x= y = z =
3
4
* Một bài toán tìm cực trị ta có thể áp dụng nhiều BĐT để giải
Vídụ : Cho 3 số dơng a, b, c ; a +b +c = m là 1 hằng số

Tìm min của A
2 2 2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
3
2 a b c 3 a b b c a c 0
1 1 1 1
3 0
a b b c a c a b b c c a
1 1 1
2 a b c 9
a b b c c a
+ + + + + >
+ + >
+ + + + + +

+ + + +
ữ
+ + +

a b c a b c a b c 9
a b b c a c 2
c a b 3

a b b c a c 2
+ + + + + +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
( ) ( )
2 2 2
c a b 3
. a b c a b c
a b b c a c 2
a b c a b c m
b c c a a b 2 2
min

+ + + + + +
ữ
+ + +

+ +
+ + =
+ + +

Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ta có:
2 2
a b c a b c
2 a
b c 4 b c 4
+ +
+ ì =

+ +
Tơng tự:
2
2
b c a
b
c a 4
c a b
c
a b 4
+
+
+
+
+
+
13
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
Cộng từng vế
m
A
2


Cách 3: áp dụng BĐT Bunhia copxti ta có:
( )
2 2 2
2
a b c
. b c c a b

b c c a a b
a b c
. b c . c a . a b
b c c a a b


+ + + + + +
ữ
+ + +


+ + + + +
ữ
+ + +


Cách 4: Giả sử
2 2 2
a b c 0 suy ra a b c >

1 1 1
b c c a a b

+ + +
áp dụng BĐT Trêbsép cho 6 số trên
( )
2 2
2 2 2
1 1 1 1 a b 1
a b c

3 b c c a a b b c a c a b


+ + + + + +
ữ
ữ
+ + + + + +


( )
( ) ( )
2 2 2
2
1
a b c 1 1 1 1
a b c .
b c a c a b 9 b c c a a b
1 m
a b c 9 Theo C
18 2

+ + + + + +
ữ
+ + + + + =

+ + =
* Một số bài toán áp dụng BĐT trị tuyệt đối.
Ví dụ: Tìm min ; max của
A x 1 x 2 x 3 x 4
= + + +

H ớng dẫn :
Đổi:
( ) ( )
A x 1 2 x 3 x x 4
x 2 3 x 2 x x 4
x 1 3 x 2 x x 4
4

= + + +
= + + +
+ + +
=
*áp dụng BĐT về 3 điểm
14
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
* Một số bài tập
Bài 1: Tìm min của

B 2 x 1 x 2 x 3
= + +
Bài 2: Tìm min; max của p = x
2
+y
2
với x, y là 2 số thoả mãn x
2
+ xy + y
2
= 1
Bài 3: Tìm max p

a) A = 4x
3
- x
4
b) B =
x y
y x
+
với
[ ]
x, y 1; 2
c)
( )
C xy 2xy x 4y z= +
với
[ ]
x 0 ; 2
và
1
y 0 ;
2




Bài 4: Tìm max a.a

x y z
p
y x x

= + +
với
[ ]
x, y, z 1; 2
Bài 5: Tìm min của
a)
4 4 4
A x y z= + +
với x, y, z TM: xy + yz + zx = 1
b)
B x 1 y 1 z 1= + +
với x, y, z TM:
x y z 5+ + =
Bài 6: Cho a, b >0 ; a + b =1
Tìm Max
a b
Q
1 2a 1 2b
= +
+ +
Bài

7: Cho a, b, c, d >0
Tìm min của
a c b d c a d b
a b b c c d d a
+ + + +
+ + +
+ + + +
(ĐS = 4)

Bài 8: Cho x, y, z, t > 0 TM x + y + z + t = 1
Tìm Min của
1 1 1 1
x y z t
+ + +
(ĐS = 16)
Bài 9: Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác có a + b + c = m là một hằng số
Tìm Max của
2 2 2 2 2 2
a b b c c a+ + + + +
15
Gi¸o ¸n §¹i sè - Gi¸o viªn: NguyÔn Ph¬ng H¹nh
Bµi

10: Cho x, y, z TM
2xyz + xy + yz + zx 1≤
T×m Min cña xyz §S =
1 1
x y z
8 2
 
= = =
 ÷
 
Bµi11: Cho 3 sè d¬ng x, y, z > 0 TM
( )
3
2 2 2
x y z x y z 4 29xyz+ + + + + + =
T×m Min cña xyz §S: 8 x=y=z=2

Bµi12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c = 1
T×m Max cña
a b b c c a+ + + + +
§S:
1
6 a b c
3
⇔ = = =
b) Cho a, b, c lµ 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c
T×m Max cña biÓu thøc
b c a c a b
A 3 . 3 . 3
a b c
+ + +
     
= − − −
 ÷  ÷  ÷
     
16