khóa luận tốt nghiệp ứng dụng bất đẳng thức cauchy giải một số bài toán

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận được hồn thành tại trường Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướng dẫn
tận tình của Th.S. Nguyễn Thị Thành. Trước hết, tôi xin được bày tỏ lịng cảm
ơn sâu sắc tới cơ giáo hướng dẫn, người đã định hướng nghiên cứu, tận tình chỉ
bảo và giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực hiện nghiên cứu và hồn thành khố
luận.
Đồng thời qua đây tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các
thầy giáo, cô giáo trong khoa Sư phạm Tự nhiên, đặc biệt là các thầy cơ trong tổ
Tốn cũng như q thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Hà Tĩnh đã tận
tình dạy bảo, tạo điều kiện giúp đỡ và động viên tơi trong q trình học tập cũng
như thời gian làm đề tài.
Mặc dù đã rất cố gắng song khóa luận khơng thể tránh khỏi những sai sót.
Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cơ giáo để khóa luận
được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Hà Tĩnh, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Đinh Thị Trình


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả và các
số liệu trong khố luận chưa được ai cơng bố dưới bất kỳ hình thức nào. Tơi
hồn tồn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này.
Hà Tĩnh, ngày

tháng 05 năm 2014
Tác giả

Đinh Thị Trình

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình Tốn học phổ thơng,
nhưng lại một phần ln có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tịi, óc sáng tạo của
những người u tốn. Và cũng từ đó đã có nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với
tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng như BĐT Bunhiacopski, BĐT
Becnuli, BĐT Schur,… Trong đó nổi bật hơn cả mà ta khơng thể khơng nhắc
đến là bất đẳng thức Cauchy (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân của các số). Đó là bất đẳng thức cơ bản, gần gũi nhưng lại là một bất đẳng
thức mạnh và có nhiều ứng dụng trong Toán học. Các bài toán sử dụng bất đẳng
thức Cauchy thường có mặt trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi hay các
kỳ thi Olimpic và là một thử thách thực sự với các thí sinh. Để giải các bài tốn
này địi hỏi chúng ta phải có một kiến thức tổng hợp tương đối vững vàng.
Thực tiễn cho thấy: Mặc dù bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức cơ bản
nhưng trong q trình vận dụng nó để giải tốn một số học sinh cịn bộc lộ các
hạn chế như nhìn các đối tượng tốn học một cách rời rạc, chưa thấy được các
mối liên hệ giữa các yếu tố, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, máy móc. Chưa
có tính độc đáo khi tìm lời giải bài tốn. Từ đó dẫn đến nhiều học sinh gặp khó
khăn khi giải các bài tập sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
Nhận thức được vấn đề trên nên tôi chọn nội dung “Ứng dụng bất đẳng
thức Cauchy giải một số bài tốn” làm đề tài khố luận.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm tổng hợp các kỹ thuật để giúp học sinh nắm bắt một số phương pháp
sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải các bài tốn trong chương trình Tốn phổ
thơng, trong kỳ thi Tuyển sinh Đại học và trong kỳ thi học sinh giỏi khác. Qua
đó rèn luyện kỹ năng và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng thú tìm tịi, khám
phá cho học sinh và sáng tạo bài toán mới.

3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình,
hệ phương trình và các bài tốn liên quan bằng phương pháp sử dụng bất đẳng
thức Cauchy.
2


4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập về bất đẳng thức Cauchy với nội dung
kiến thức phong phú, sâu sắc mà giáo viên và học sinh biết khai thác triệt để các
bài tập đó thì sẽ giải quyết các bài toán một cách hiệu quả hơn. Khóa luận có thể
là tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thơng, sinh viên ngành Tốn, các giáo
viên trẻ mới vào nghề và những ai muốn giải quyết tốt các bài tập sử dụng bất
đẳng thức Cauchy.
5. Phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi mơn học Tốn sơ cấp tơi chỉ trình bày một phần nhỏ về
“Bất đẳng thức Cauchy giải một số bài toán”.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống hóa lí luận những vấn đề liên quan đến đối tượng nghiên cứu của
đề tài là: “Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy giải một số bài toán”.
Đưa ra một số phương pháp giải, và dạng bài tập nhằm giúp sinh viên, học
sinh dễ dàng tiếp thu các kiến thức cũng như nắm được các ứng dụng của bất
đẳng thức Cauchy.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về các tạp chí, sách báo,
sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan
đến bất đẳng thức Cauchy.
- Hỏi ý kiến chuyên gia.
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2

chương:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương 2. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy giải một số bài toán

3


NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Bất đẳng thức Cauchy
1.1.1. Định lý
* Bất đẳng thức Cauchy tổng quát:
Cho a1 , a 2 ,..., a n là các số không âm. Khi đó:

a 1  a 2  ...  a n n
 a 1a 2 ...a n (1)
n
Dấu bằng xảy ra trong (1) khi và chỉ khi a1  a 2  ...  a n .
Chứng minh:
Ta sử dụng ngun lí quy nạp tốn học để chứng minh.
+) Với n  2 , bất đẳng thức ở dạng:

ab
 ab , a, b  0 (1)
2

a  b
Khi đó (1) 

2

4

 ab  a 2  b2  2ab  4ab .
2

 a 2  b2  2ab  0   a  b   0 hiển nhiên đúng.
Đẳng thức xảy ra  a  b .
+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n số không âm. Xét 2n số không âm

a1, a 2 ,..., a n , a n1 , ..., a 2n , ta có:
1
1 a  a  ...  a n a n 1  a n  2  ...  a 2n 

 a1  a 2  ...  a 2n    1 2

2n
2
n
n

1
 n a1a 2 ...a n  n a n 1a n 2 ...a 2n  n a1a 2 ...a n n a n 1a n 2 ...a 2n
2
 2n a1a 2 ...a n a n 1a n 2 ...a 2n





Đẳng thức xảy ra khi:

a1  a 2  ...  a n

 a1  a 2  ...  a n  a n 1  a n  2  ...  a 2n
a n 1  a n  2  ...  a 2n
a a ...a  a a ...a
n 1 n  2
2n
 1 2 n
+) Giả sử bất đẳng thức đúng cho n số không âm. Lấy n  1 số không âm

a1 , a 2 , ..., a n 1 .
Đặt: a n 

a1  a 2  ...  a n 1
  a n  0 .
n 1
4


Ta có:

1
a1  a 2  ...  a n 1 
 a1  a 2  ...  a n 1 
 a1  a 2  ...  a n 1 
  n a1a 2 ...a n 1.

n

n 1
n 1



Hay

a 1  a 2  ...  a n 1
 a  a 2  ...  a n 1 
 n a1a 2 ...a n 1. 1

n 1
n 1



Nâng cả hai vế lên luỹ thừa bậc n, ta được:
n

 a1  a 2  ...  a n 1 
 a1  a 2  ...  a n 1 

  a1a 2 ...a n 1.

n 1
n 1





Vì chỉ cần xét trường hợp a1  a 2  ...  a n 1  0 , nên suy ra:

 a 1  a 2  ...  a n 1 


n 1



n 1

 a1a 2 ...a n 1

Hiển nhiên đẳng thức xảy ra khi:

a1  a 2  ...  a n 1
 a1  a 2  ...  a n 1 .
n 1
* Bất đẳng thức Cauchy còn viết dưới các dạng khác:
a1  a 2  ...  a n 1 

a1  a 2  ...  a n  n n a1a 2 ...a n
n

 a1  a 2  ...  a n 

  a1a 2 ...a n
n



* Bất đẳng thức Cauchy suy rộng
Với các số a1 , a 2 ,..., a n không âm và 1 ,  2 ,...,  n dương ta có:

1a1   2a 2  ...   n a n   1   2  ...   n   a a ...a
1 2
1
2

n
n



1
1  2 ...n

Dấu bằng xảy ra khi a1  a 2  ...  a n .
1.1.2. Một số bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
* Các bất đẳng thức dạng phân thức
1) a, b  0 , ta có:

1 1
4
 
a b ab

Đẳng thức xảy ra  a  b .

9
1 1 1

2)     
a, b, c  0 .
a b c a bc
Đẳng thức xảy ra  a  b  c .
5

.


Chứng minh
1) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

a  b  2 ab (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b).

1 1
1 1
1
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  ).
 2
a b
a b
ab

1
1 1
4
1 1
Do đó:  a  b      2 ab.2
4  
ab

a b ab
a b
a  b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1 1  a  b .
 a  b
2) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

a  b  c  3 3 abc (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c).

1 1 1
1 1 1
1
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   ).
   33
a b c
a b c
abc

1
1 1 1
Do đó:  a  b  c       3 3 abc.3 3
 9.
abc
a b c
9
1 1 1
Hay     
.
a b c a bc

a  b  c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1 1 1  a  b  c .
 a  b  c
Tổng quát hơn ta có:

1 1
1
n2
  ...  
a1 , a 2 , ..., a n  0 .(*)
a1 a 2
a n a 1  a 2  ...  a n
Đẳng thức xảy ra  a1  a 2  ...  a n
* Các bất đẳng thức dạng đa thức
x, y, z  0 , ta có:

1) x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx
2) 3  x 2  y 2  z 2    x  y  z 

2

2

3)  x  y  z   3  xy  yz  zx 
Dấu bằng xảy ra khi x  y  z .
6


Chứng minh

1) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

x 2  y 2  2xy (Dấu bằng xảy ra khi x  y );
y2  z 2  2yz (Dấu bằng xảy ra khi y  z );
z 2  x 2  2zx (Dấu bằng xảy ra khi z  x ).
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
2  x 2  y 2  z 2   2  xy  yz  zx  hay x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx .
Dấu bằng xảy ra khi x  y  z .
2) Từ bất đẳng thức trên ta có:

3  x 2  y2  z 2   x 2  y 2  z 2  2  x 2  y 2  z 2 
 x 2  y2  z 2  2  xy  yz  zx    x  y  z 

2

Dấu bằng xảy ra khi x  y  z .
3) Từ x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx , ta có:

 x  y  z

2

 x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx   3  xy  yz  zx  .

Dấu bằng xảy ra khi x  y  z .
1.1.3. Hệ quả
n

S
Hệ quả 1: Nếu a1  a 2  ...  a n  S  const thì max P  a1a 2 ...a n    khi

n
S
.
n
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình
vng có diện tích lớn nhất.
a1  a 2  ...  a n 

Hệ quả 2: a1a 2 ...a n  P  const thì min S  a1  a 2  ...  a n  n n P khi

a1  a 2  ...  a n  n P .
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình
vng có chu vi nhỏ nhất.
1.1.4. Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy
* Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì các số phải là những số không âm.
* BĐT Cauchy thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng
minh có tổng và tích.
* Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau.
7


1.2. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Nói chung, ta ít gặp các bài tốn sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà
thường biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức
Cauchy. Khi biến đổi, ta nên lưu ý một số kỹ thuật biến đổi sau:
1.2.1. Kỹ thuật thêm, tách, ghép bộ số
Trong mục này chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức lấy từ các kỳ thi
Olimpic quốc tế và Olimpic quốc gia của một số nước mà cách giải chủ yếu dựa
vào tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số a k  trong bất đẳng thức Cauchy. Kỹ
thuật này nó phụ thuộc vào từng bài toán và sự nhạy bén của người làm toán.

Một điểm cần chú ý là ta phải tách ghép sao cho dấu bằng xảy ra của bất đẳng
thức vẫn đảm bảo. Để minh hoạ và để tính tốn đơn giản, ta chủ yếu xết các ví
dụ với cặp bộ ba biến. Ta có một số phương pháp nhỏ như sau:
* Bậc của số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng
bậc của số hạng cần mơ tả.
Ví dụ 1: Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a 3 b 3 c3
   ab  bc  ca .
b c a
Phân tích bài tốn: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số
hạng bên phải khơng chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số
hạng vào bên trái của bất đẳng thức. Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc
của số hạng thêm vào cũng là hai.

a3
có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa
b
nhân tử b. Bậc của số hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab.
Chẳng hạn, số hạng

a3
 ab  2a 2 .
b
Tương tự như vậy ta có lời giải sau:
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
3
a3

2 b
2 c
 ab  2a ,
 bc  2b ,  ca  2c 2 .
b
c
a
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

a 3 b 3 c3
   ab  bc  ca  2  a 2  b 2  c 2  (1)
b c a
8


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

 a3
 b  ab
a 2  b 2
 3
a  b
 2
b

2
  bc   b  c  b  c  a  b  c .
c
c 2  a 2
c  a



 c3

ca

a
Lại có, a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca (2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Từ (1) và (2) suy ra:

a 3 b 3 c3
   ab  bc  ca  2  ab  bc  ca 
b c a

a 3 b3 c3
   ab  bc  ca
b c
a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Ví dụ 2: Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:


a 3 b 3 c3
 
 a  b  c.
bc ca ab
Phân tích bài tốn: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số
hạng bên phải khơng chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số
hạng vào bên trái của bất đẳng thức. Bậc của số hạng cần mô tả là một, nên bậc

của các số hạng thêm vào cũng là một.

a3
Chẳng hạn, số hạng
có chứa mẫu là b, c và bậc của số hạng thêm vào là
bc
a3
1 nên các số hạng thêm vào là b, c:
 b  c  3a .
bc
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a3
b3
c3
 b  c  3a ,
 c  a  3b,
 a  b  3c
bc
ca
ab
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

a 3 b3 c3
   2  a  b  c   3 a  b  c 
bc ca ab
.
a 3 b3 c3
   abc
bc ca ab

9


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

 a3
 bc  b  c
 3
b
 ca a bc
 ca
 c3
 a b
 ab
* Khi bậc không bằng nhau số hạng cộng thêm có thể là hằng số.
Ví dụ 3: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 4  a  b  c   3abc ,

1 1 1 3
   . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
a 3 b 3 c3 8
1
1
1 3
   .
Phân tích bài tốn: Biến đổi điều kiện, ta được:
ab bc ca 4
Cho a  b  c thay vào điều kiện ta tính được a  b  c  2 .
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n  3 cùng với số hạng hằng số, số hạng
chứa biến thích hợp để mơ tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh.
1

Chẳng hạn, với số hạng
trong điều kiện, ta sử dụng bất đẳng thức
ab
1 1 1
Cauchy cho các số dương 3 , 3 , , ta có:
a b 8
chứng minh rằng:

1 1 1
1 1 1 3 1
 3   33 3 . 3 .  . .
3
a
b 8
a b 8 2 ab
Giải
1
1
1 3
Ta có: 4  a  b  c   3abc 
   .
ab bc ca 4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1 1 1 3 1
   .
a 3 b3 8 2 ab
1 1 1 3 1
   .
b3 c3 8 2 bc
1 1 1 3 1

   .
c3 a 3 8 2 ca
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
1
1  9
1 1 1 3
 1 1 1  3 3 1
2 3  3  3     
   3  3  3  .
b c  8 2  ab bc ca  8
a
b c 8
a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
10


1 1 1 1
 a  b  c  2
 a  b c  2.

1
1
1
3
   
 ab bc ca 4
Ví dụ 4: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  1,
chứng minh rằng:
a 3  b 3  c3 

1
.
3

Phân tích bài tốn: Cho a  b  c thay vào điều kiện ta tính được

abc

1
. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n  3 cùng với số hạng hằng
3

số, số hạng chứa biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng
minh. Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số
hạng a 3 , b3 ,

1
3 3

, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số này ta có:

a 3  b3 

1
3 3

 3 3 a 3b 3

1

3 3

 ab 3 .

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

a 3  b3 

1
3 3

 ab 3, b3  c3 

1
3 3

 bc 3, c3  a 3 

1
3 3

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

1
 3  ab  bc  ca   3
3
2
1
 2  a 3  b 3  c3  

 a 3  b3  c3 
3
3
2  a 3  b 3  c3  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

1

a

b


3

b  c  1
1

a bc
3

3

1
c  a 
3

ab  bc  ca  1
11

 ca 3 .


* Ghép đối xứng: kỹ thuật này thường được sử dụng để hạ bậc từng vế của
bất đẳng thức.

2  x  y  z    x  y    y  z    z  x 

- Phép cộng: 
xy yz zx


x  y  z 

2
2
2
 x 2 y 2z 2   xy  yz  zx 
- Phép nhân: 
 x, y, z  0  .
 xyz  xy yz zx
Ví dụ 5: Cho ba số thực abc  0 . Chứng

minh

rằng:

a 2 b2 c2 b c a
 

   .
b2 c2 a 2 a b c
Giải
Ta có:

a 2 b2 c 2 1  a 2 b2  1  b2 c2  1  c2 a 2 
           
b2 c2 a 2 2  b2 c2  2  c2 a 2  2  a 2 b 2 

a 2 b2
b2 c2
c2 a 2
b c a b c a

 2. 2  2. 2       .
2
2
b c
c a
a b
a b c a b c
Ví dụ 6: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 . Chứng minh rằng:
bc ca a b


 a  b  c 3.
a
b
c
Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 bc
b  c c  a a  b 2 bc 2 ca 2 ab
ca
ab 





 2



b
c 
a
b
c
a
b
c
 a
 bc
ca   ca
ab   ab
bc 








b   b
c   c
a 
 a
bc ca
2
a b

2
2



ca ab
2
b c

 

a b c 

ab bc
c a

 

a b c 

a b c

 a  b  c  33 a b c  a  b  c  3
Vậy

bc ca a b


 a  b  c 3.
a
b
c
12




* Tách nghịch đảo: Tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang
trung bình nhân thì các phần tử chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
4
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: a 
 3 , a  b  0 .
2
 a  b  b  1
Phân tích: Để sử dụng được bất đẳng thức Cauchy ta cần biến đổi tổng này
về dạng tổng mới; các số hạng trong tổng mới là dương, tích các số hạng trong
tổng mới không đổi, khi cho các số hạng trong tổng mới bằng nhau thì hệ
phương trình tương ứng phải có nghiệm. Muốn vậy phải chú ý: trong bài tốn

trên mẫu số là tích các luỹ thừa cơ số là a  b, b  1 và chú ý đến số mũ của các
cơ số đó nên ta phân tích a   a  b    b  1   a  b  

b 1
. Ta có lời giải cho
2

bài tốn như sau:
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
4
 b  1   b  1 
a
 a  b 
2
2
2
 a  b  b  1

 4.

 a  b .
4

 b  1 .  b  1 .
2

2

1

1
b  1  b  1

a  b
2
2

1
1  3
b  1  b  1

a  b
2
2

* Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo
Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau:
Với n  N và x1 , x 2 ,..., x n  0 thì

1
1
1 

 ..    n 2 .
xn 
 x1 x 2
Ví dụ 8: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
bc ca ab



 6.
a
b
c
Giải
bc ca a b  bc  ca   a b
Ta có:


 1 
  1 
  1 
3
a
b
c
a  
b  
c 


 x1  x 2  ...  x n  

abc bca ca b


3
a
b
c

1 1 1
  a  b  c      3  9  3  6
a b c


13


Ví dụ 9: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  1 . Chứng minh bất
đẳng thức sau:

1
1
1
 2
 2
 9.
a  2bc b  2ca c  2ab
2

Giải
Do a  b  c  1 , ta có:

1
1
1
1
1
1
2


 2
 2
  a  b  c  2
 2
 2

a  2bc b  2ca c  2ab
 a  2bc b  2ca c  2ab 
2

1
1
1


  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac   2
 2
 2

 a  2bc b  2ca c  2ab 
1
1
1


  a 2  2bc    b2  2ac    c 2  2ab    2
 2
 2
9

 a  2bc b  2ca c  2ab 
1.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với một số bất đẳng thức phụ
Sử dụng các bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức Cauchy và một số bất
đẳng thức quen thuộc khác.
Ví dụ 1: Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a5
b5
c5


 a 2  b 2  c2 .
2
2
2
bc ca
ab
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

a5
a5 2
2
3
 c  ab  3
.c .ab  3a 2 .
2
2
bc
bc

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a5
 c 2  ab  a  b  c .
2
bc

Tương tự, ta có:

b5
 a 2  bc  3b 2 (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c )
2
ca
c5
 b 2  ca  3c 2 (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c )
2
ab
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

a5
b5
c5
 2  2  a 2  b2  c 2  ab  bc  ca  3  a 2  b2  c 2 
2
bc ca
ab
5
5
a
b

c5
 2  2  2  a 2  b 2  c 2   a 2  b2  c 2  ab  bc  ca 
bc
ca
ab
14


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Áp dụng bất đẳng thức phụ: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx .
(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z )

a5
b5
c5


 a 2  b2  c2 .
2
2
2
bc ca
ab
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c .
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A năm 2003)
Cho x, y, z là các số dương và x  y  z  1 . Chứng minh rằng:
Ta có:

x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82 .
2
x
y
z

Giải
Bất đẳng thức phụ 1: với các số dương a, b, c, d, ta có:

a 2  b 2  c2  d 2 

a  c

2

 b  d

2

Thật vậy, ta có:

a 2  b2  c2  d 2 

 a 2  b2  c2  d 2  2

a



2

a  c

a

2

2

 b  d

2

 b 2  c2  d 2   a 2  b2  c2  d 2  2ac  2bd

 b2  c2  d 2   ac  bd

 a 2c 2  b 2c 2  a 2d 2  b 2d 2  a 2c 2  b 2d 2  2abcd
2

  ad  bc   0
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

1
1
1
x  2  y2  2  z 2  2 

x
y
z
2

2

1 1
1
 x  y       z2  2
z
x y
2

 1 1 1
 x  y  z     
x y z

2

2

Bất đẳng thức phụ 2: Với các số dương x, y, z ta có:

1

1 1 1
9
  
x y z x yz

2

 1 1 1
81
2
  x  y  z        x  y  z 
2
 x  y  z
x y z
2

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:  x  y  z  
15

 2

1

 x  y  z

2

2


Theo giả thiết: x  y  z  1 

1
80
1
 80
2
xyz
 x  y  z

Do đó:

 x  y  z

2



81

 x  y  z

1

2

2

  x  y  z 
 2  80  82

 x  y  z

 3

2



80

 x  y  z

2

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.
1.2.3. Kỹ thuật đánh giá mẫu số
Như ta đã biết khi giải bất đẳng thức thì ta nhìn rồi phân tích, nhận xét trên
nhiều khía cạnh để đi đến lời giải. Trong đó kỹ thuật nhìn và đánh giá mẫu số là
một kỹ thuật tương đối quan trọng và thường gặp.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

1
1
1
1
 3 3
 3 3

, a, b, c  0
3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
Phân tích bài tốn: Biểu thức cần chứng minh vai trị a, b, c giống nhau

nên điểm rơi là a  b  c . Đồng thời mỗi số phức tạp do đó ta chọn phương án
đánh giá mẫu số cụ thể như sau:
3

Giải
Cauchy

Ta có: x 3  y 3   x  y   x 2  y 2  xy  



 x  y  2xy  xy    x  y  xy

1
1
1


a 3  b3  abc  a  b  ab  abc ab  a  b  c 

Tương tự:

1
1
1
1

, 3 3

3

b  c  abc bc  a  b  c  c  a  abc ac  a  b  c 
3

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

1
1
1
1
1
1 1
 1
 3 3
 3 3

   
3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc a  b  c  ab bc ca  abc
3

Ví dụ 2: Cho a, b, c  0; abc  1 . Chứng minh rằng:

1
1
1


 1.
a  b 1 b  c 1 c  a 1
Phân tích bài toán: Với điều kiện đã cho và biểu thức dưới mẫu số của bất

đẳng thức cần chứng minh gợi ý cho ta nên thay thế mẫu số và đánh giá mẫu. Nếu
học sinh khơng có kinh nghiệm thì khơng nhìn thấy điều này. Cụ thể như sau:
16


Giải
Ta có:
3

3

      a  b   a  ab  b   ab 
 a  b  1  ab  a  b   abc  ab  a  b  c 
ab

3

a

3



3



1

a  b 1

3

b

3

3

3



3

3

3

3

2

3

3

3

3

2

3

3

3

a3b

3

b

3

c

a3b3c

1
Tương tự ta có:

b  c 1


3



a

1
,

3
3
3
a  b  c c  a 1





3

3

a b3c

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được:
1
1
1


 1.
a  b 1 b  c 1 c  a 1
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.

Ví dụ 3: Cho các số dương a, b, c : ab  bc  ca  3. Chứng minh rằng:

1
1
1
1



.
2
2
1  a (b  c) 1  b (c  a) 1  c (a  b) abc
2

Giải
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ab, bc và ca, ta có:
3  ab  bc  ca  3 3 (abc) 2  abc  1 .

Suy ra: 1  a 2 (b  c)  abc  a 2 (b  c)  a(ab  bc  ca)  3a


Tương tự ta có:



1
1

(1)

1  a (b  c) 3a
2

1
1

(2),
1  b (c  a) 3b
2

1
1
 (3).
1  c (a  b) 3c
2

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
1
1
1
1 1 1 1


 (   )
2
2
2
1  a (b  c) 1  b (c  a) 1  c (a  b) 3 c b c
ab  bc  ca
1



3abc
abc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc  1, ab  bc  ca  3 .

 a  b  c  1, (a, b, c  0) .
17




1.2.4. Kỹ thật đưa về bất đẳng thức một biến
Biến đổi bài tốn về bài tốn mới có thể tách thành các bất đẳng một biến
để chứng minh cho thuận tiện. Kỹ thuật này thường áp dụng cho các bất đẳng
thức hốn vị.
Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a 2  b 2  c2  1. Chứng

a
b
c
3 3
 2
 2

.
2
2
2
b c c a

a b
2
Phân tích bài tốn: Khơng mất tính tổng qt, giả sử 0  a  b  c thoả

minh rằng:

2

mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  1 , vậy ta có thể suy ra 0  a  b  c  1 hay khơng?.
Như vậy điều kiện a, b, c khơng chính xác vì dấu bằng chỉ xảy ra khi:

0  a  b  c
1 


a,
b,
c

0;
 2

2
2
.
a

b

c


1
3



Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán? Từ giả thiết a 2  b 2  c 2  1 , ta có thể
viết b 2  c2  1  a 2 , c2  a 2  1  b2 , a 2  b 2  1  c2 . Như vậy ta đưa bài toán về

a
b
c
3 3



.
2
2
2
1 a 1 b 1 c
2
Vì vai trị của a, b c như nhau và 2 ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách

dạng chứng minh:

phân tích:

a
b

c
3 3 2



a  b 2  c 2  và cần chứng minh:

2
2
2
1 a 1 b 1 c
2
 a
3 3 2

a

2
1

a
2

 b
3 3 2

b

2
2

1  b
 c
3 3 2

c

2
1

c
2

Giải
2

2

2

Từ giả thiết a  b  c  1, bài toán cần phải chứng minh là:

a
b
c
3 3 2



a  b 2  c2 


2
2
2
1 a 1 b 1 c
2
Ta có:



a
3 3 2
1
3 3
2

a 

a
 a 1  a 2 
2
2
1 a
2
1 a
2
3 3

2
2
4

8
 a 2 1  a 2  
 2a 2 1  a 2 
27
27

18


 2a 2 1  a 2 2  2a 2 1  a 2 1  a 2 

Thật vậy, dễ thấy: 
2
2
2
 2a  1  a   1  a   2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2  2a 2  1  a 2   1  a 2   3 3 2a 2 1  a 2 1  a 2 
2
2 3 2
8
 2a 1  a 2 1  a 2  
 2a 2 1  a 2 
3
27
2
2
8
8

Tương tự ta cũng có:
 2b 2 1  b2  ,
 2c 2 1  c 2  .
27
27



Hay

b2
3 3 2
c2
3 3 2

b
;

c .
2
2
b 1  b 2 
c 1  c 2 

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

a
b
c
3 3




.
b 2  c2 c2  a 2 a 2  b 2
2
1
Ví dụ 2: Với 0  a, b, c  thoả mãn điều kiện a  b  c  1 , chứng minh
2
1
1
1


 27 .
rằng: P 
a  2b  2c  1 b  2a  2b  1 c  2a  2b  1
Giải
Từ giả thiết a  b  c  1 , ta đưa bài toán về chứng minh:
1
1
1
P


 27  a  b  c  .
a 1  2a  b 1  2b  c 1  2c 
Ta có:
hay

1
1
1
 27a . Thật vậy: từ a 3  a 3 
 a 2  a 2 1  2a  
a 1  2a 
27
27

1
 27a (1).
a 1  2a 
Tương tự ta cũng có:

1
1
 27b (2);
 27c (3).
b 1  2b 
c 1  2c 

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có đpcm.
1.2.5. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức thuần nhất, vì thế chúng rất hữu
hiệu trong việc chứng minh các bất đẳng thức thuần nhất. Tuy nhiên do điều
kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức rất nghiêm ngặt nên việc áp dụng
trực tiếp và máy móc đơi khi khó đem lại kết quả. Để áp dụng tốt các bất đẳng
19